ginac/normal.cpp

   1 /** @file normal.cpp
   2  *
   3  *  This file implements several functions that work on univariate and
   4  *  multivariate polynomials and rational functions.
   5  *  These functions include polynomial quotient and remainder, GCD and LCM
   6  *  computation, square-free factorization and rational function normalization.
   7  */
   8
   9 /*
  10  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  11  *
  12  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  13  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  14  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  15  *  (at your option) any later version.
  16  *
  17  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  18  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  19  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  20  *  GNU General Public License for more details.
  21  *
  22  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  23  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  24  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  25  */
  26
  27 #include <stdexcept>
  28 #include <algorithm>
  29 #include <map>
  30
  31 #include "normal.h"
  32 #include "basic.h"
  33 #include "ex.h"
  34 #include "add.h"
  35 #include "constant.h"
  36 #include "expairseq.h"
  37 #include "fail.h"
  38 #include "indexed.h"
  39 #include "inifcns.h"
  40 #include "lst.h"
  41 #include "mul.h"
  42 #include "ncmul.h"
  43 #include "numeric.h"
  44 #include "power.h"
  45 #include "relational.h"
  46 #include "pseries.h"
  47 #include "symbol.h"
  48 #include "utils.h"
  49
  50 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  51 namespace GiNaC {
  52 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  53
  54 // If comparing expressions (ex::compare()) is fast, you can set this to 1.
  55 // Some routines like quo(), rem() and gcd() will then return a quick answer
  56 // when they are called with two identical arguments.
  57 #define FAST_COMPARE 1
  58
  59 // Set this if you want divide_in_z() to use remembering
  60 #define USE_REMEMBER 1
  61
  62
  63 /** Return pointer to first symbol found in expression.  Due to GiNaC´s
  64  *  internal ordering of terms, it may not be obvious which symbol this
  65  *  function returns for a given expression.
  66  *
  67  *  @param e  expression to search
  68  *  @param x  pointer to first symbol found (returned)
  69  *  @return "false" if no symbol was found, "true" otherwise */
  70
  71 static bool get_first_symbol(const ex &e, const symbol *&x)
  72 {
  73     if (is_ex_exactly_of_type(e, symbol)) {
  74         x = static_cast<symbol *>(e.bp);
  75         return true;
  76     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add) || is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
  77         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
  78             if (get_first_symbol(e.op(i), x))
  79                 return true;
  80     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
  81         if (get_first_symbol(e.op(0), x))
  82             return true;
  83     }
  84     return false;
  85 }
  86
  87
  88 /*
  89  *  Statistical information about symbols in polynomials
  90  */
  91
  92 /** This structure holds information about the highest and lowest degrees
  93  *  in which a symbol appears in two multivariate polynomials "a" and "b".
  94  *  A vector of these structures with information about all symbols in
  95  *  two polynomials can be created with the function get_symbol_stats().
  96  *
  97  *  @see get_symbol_stats */
  98 struct sym_desc {
  99     /** Pointer to symbol */
 100     const symbol *sym;
 101
 102     /** Highest degree of symbol in polynomial "a" */
 103     int deg_a;
 104
 105     /** Highest degree of symbol in polynomial "b" */
 106     int deg_b;
 107
 108     /** Lowest degree of symbol in polynomial "a" */
 109     int ldeg_a;
 110
 111     /** Lowest degree of symbol in polynomial "b" */
 112     int ldeg_b;
 113
 114     /** Minimum of ldeg_a and ldeg_b (Used for sorting) */
 115     int min_deg;
 116
 117     /** Commparison operator for sorting */
 118     bool operator<(const sym_desc &x) const {return min_deg < x.min_deg;}
 119 };
 120
 121 // Vector of sym_desc structures
 122 typedef vector<sym_desc> sym_desc_vec;
 123
 124 // Add symbol the sym_desc_vec (used internally by get_symbol_stats())
 125 static void add_symbol(const symbol *s, sym_desc_vec &v)
 126 {
 127     sym_desc_vec::iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 128     while (it != itend) {
 129         if (it->sym->compare(*s) == 0)  // If it's already in there, don't add it a second time
 130             return;
 131         it++;
 132     }
 133     sym_desc d;
 134     d.sym = s;
 135     v.push_back(d);
 136 }
 137
 138 // Collect all symbols of an expression (used internally by get_symbol_stats())
 139 static void collect_symbols(const ex &e, sym_desc_vec &v)
 140 {
 141     if (is_ex_exactly_of_type(e, symbol)) {
 142         add_symbol(static_cast<symbol *>(e.bp), v);
 143     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add) || is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 144         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 145             collect_symbols(e.op(i), v);
 146     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
 147         collect_symbols(e.op(0), v);
 148     }
 149 }
 150
 151 /** Collect statistical information about symbols in polynomials.
 152  *  This function fills in a vector of "sym_desc" structs which contain
 153  *  information about the highest and lowest degrees of all symbols that
 154  *  appear in two polynomials. The vector is then sorted by minimum
 155  *  degree (lowest to highest). The information gathered by this
 156  *  function is used by the GCD routines to identify trivial factors
 157  *  and to determine which variable to choose as the main variable
 158  *  for GCD computation.
 159  *
 160  *  @param a  first multivariate polynomial
 161  *  @param b  second multivariate polynomial
 162  *  @param v  vector of sym_desc structs (filled in) */
 163
 164 static void get_symbol_stats(const ex &a, const ex &b, sym_desc_vec &v)
 165 {
 166     collect_symbols(a.eval(), v);   // eval() to expand assigned symbols
 167     collect_symbols(b.eval(), v);
 168     sym_desc_vec::iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 169     while (it != itend) {
 170         int deg_a = a.degree(*(it->sym));
 171         int deg_b = b.degree(*(it->sym));
 172         it->deg_a = deg_a;
 173         it->deg_b = deg_b;
 174         it->min_deg = min(deg_a, deg_b);
 175         it->ldeg_a = a.ldegree(*(it->sym));
 176         it->ldeg_b = b.ldegree(*(it->sym));
 177         it++;
 178     }
 179     sort(v.begin(), v.end());
 180 }
 181
 182
 183 /*
 184  *  Computation of LCM of denominators of coefficients of a polynomial
 185  */
 186
 187 // Compute LCM of denominators of coefficients by going through the
 188 // expression recursively (used internally by lcm_of_coefficients_denominators())
 189 static numeric lcmcoeff(const ex &e, const numeric &l)
 190 {
 191     if (e.info(info_flags::rational))
 192         return lcm(ex_to_numeric(e).denom(), l);
 193     else if (is_ex_exactly_of_type(e, add)) {
 194         numeric c = _num1();
 195         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 196             c = lcmcoeff(e.op(i), c);
 197         return lcm(c, l);
 198     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 199         numeric c = _num1();
 200         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 201             c *= lcmcoeff(e.op(i), _num1());
 202         return lcm(c, l);
 203     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power))
 204         return pow(lcmcoeff(e.op(0), l), ex_to_numeric(e.op(1)));
 205     return l;
 206 }
 207
 208 /** Compute LCM of denominators of coefficients of a polynomial.
 209  *  Given a polynomial with rational coefficients, this function computes
 210  *  the LCM of the denominators of all coefficients. This can be used
 211  *  to bring a polynomial from Q[X] to Z[X].
 212  *
 213  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 214  *  @return LCM of denominators of coefficients */
 215
 216 static numeric lcm_of_coefficients_denominators(const ex &e)
 217 {
 218     return lcmcoeff(e, _num1());
 219 }
 220
 221 /** Bring polynomial from Q[X] to Z[X] by multiplying in the previously
 222  *  determined LCM of the coefficient's denominators.
 223  *
 224  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 225  *  @param lcm  LCM to multiply in */
 226
 227 static ex multiply_lcm(const ex &e, const numeric &lcm)
 228 {
 229         if (is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 230                 ex c = _ex1();
 231                 numeric lcm_accum = _num1();
 232                 for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++) {
 233                         numeric op_lcm = lcmcoeff(e.op(i), _num1());
 234                         c *= multiply_lcm(e.op(i), op_lcm);
 235                         lcm_accum *= op_lcm;
 236                 }
 237                 c *= lcm / lcm_accum;
 238                 return c;
 239         } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add)) {
 240                 ex c = _ex0();
 241                 for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 242                         c += multiply_lcm(e.op(i), lcm);
 243                 return c;
 244         } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
 245                 return pow(multiply_lcm(e.op(0), lcm.power(ex_to_numeric(e.op(1)).inverse())), e.op(1));
 246         } else
 247                 return e * lcm;
 248 }
 249
 250
 251 /** Compute the integer content (= GCD of all numeric coefficients) of an
 252  *  expanded polynomial.
 253  *
 254  *  @param e  expanded polynomial
 255  *  @return integer content */
 256
 257 numeric ex::integer_content(void) const
 258 {
 259     GINAC_ASSERT(bp!=0);
 260     return bp->integer_content();
 261 }
 262
 263 numeric basic::integer_content(void) const
 264 {
 265     return _num1();
 266 }
 267
 268 numeric numeric::integer_content(void) const
 269 {
 270     return abs(*this);
 271 }
 272
 273 numeric add::integer_content(void) const
 274 {
 275     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 276     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 277     numeric c = _num0();
 278     while (it != itend) {
 279         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
 280         GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(it->coeff,numeric));
 281         c = gcd(ex_to_numeric(it->coeff), c);
 282         it++;
 283     }
 284     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 285     c = gcd(ex_to_numeric(overall_coeff),c);
 286     return c;
 287 }
 288
 289 numeric mul::integer_content(void) const
 290 {
 291 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 292     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 293     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 294     while (it != itend) {
 295         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
 296         ++it;
 297     }
 298 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 299     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 300     return abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
 301 }
 302
 303
 304 /*
 305  *  Polynomial quotients and remainders
 306  */
 307
 308 /** Quotient q(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 309  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 310  *
 311  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 312  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 313  *  @param x  a and b are polynomials in x
 314  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 315  *         coefficients (defaults to "true")
 316  *  @return quotient of a and b in Q[x] */
 317
 318 ex quo(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 319 {
 320     if (b.is_zero())
 321         throw(std::overflow_error("quo: division by zero"));
 322     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 323         return a / b;
 324 #if FAST_COMPARE
 325     if (a.is_equal(b))
 326         return _ex1();
 327 #endif
 328     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 329         throw(std::invalid_argument("quo: arguments must be polynomials over the rationals"));
 330
 331     // Polynomial long division
 332     ex q = _ex0();
 333     ex r = a.expand();
 334     if (r.is_zero())
 335         return r;
 336     int bdeg = b.degree(x);
 337     int rdeg = r.degree(x);
 338     ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 339     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 340     while (rdeg >= bdeg) {
 341         ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 342         if (blcoeff_is_numeric)
 343             term = rcoeff / blcoeff;
 344         else {
 345             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 346                 return *new ex(fail());
 347         }
 348         term *= power(x, rdeg - bdeg);
 349         q += term;
 350         r -= (term * b).expand();
 351         if (r.is_zero())
 352             break;
 353         rdeg = r.degree(x);
 354     }
 355     return q;
 356 }
 357
 358
 359 /** Remainder r(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 360  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 361  *
 362  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 363  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 364  *  @param x  a and b are polynomials in x
 365  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 366  *         coefficients (defaults to "true")
 367  *  @return remainder of a(x) and b(x) in Q[x] */
 368
 369 ex rem(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 370 {
 371     if (b.is_zero())
 372         throw(std::overflow_error("rem: division by zero"));
 373     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 374         if  (is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 375             return _ex0();
 376         else
 377             return b;
 378     }
 379 #if FAST_COMPARE
 380     if (a.is_equal(b))
 381         return _ex0();
 382 #endif
 383     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 384         throw(std::invalid_argument("rem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 385
 386     // Polynomial long division
 387     ex r = a.expand();
 388     if (r.is_zero())
 389         return r;
 390     int bdeg = b.degree(x);
 391     int rdeg = r.degree(x);
 392     ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 393     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 394     while (rdeg >= bdeg) {
 395         ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 396         if (blcoeff_is_numeric)
 397             term = rcoeff / blcoeff;
 398         else {
 399             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 400                 return *new ex(fail());
 401         }
 402         term *= power(x, rdeg - bdeg);
 403         r -= (term * b).expand();
 404         if (r.is_zero())
 405             break;
 406         rdeg = r.degree(x);
 407     }
 408     return r;
 409 }
 410
 411
 412 /** Pseudo-remainder of polynomials a(x) and b(x) in Z[x].
 413  *
 414  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 415  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 416  *  @param x  a and b are polynomials in x
 417  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 418  *         coefficients (defaults to "true")
 419  *  @return pseudo-remainder of a(x) and b(x) in Z[x] */
 420
 421 ex prem(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 422 {
 423     if (b.is_zero())
 424         throw(std::overflow_error("prem: division by zero"));
 425     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 426         if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 427             return _ex0();
 428         else
 429             return b;
 430     }
 431     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 432         throw(std::invalid_argument("prem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 433
 434     // Polynomial long division
 435     ex r = a.expand();
 436     ex eb = b.expand();
 437     int rdeg = r.degree(x);
 438     int bdeg = eb.degree(x);
 439     ex blcoeff;
 440     if (bdeg <= rdeg) {
 441         blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 442         if (bdeg == 0)
 443             eb = _ex0();
 444         else
 445             eb -= blcoeff * power(x, bdeg);
 446     } else
 447         blcoeff = _ex1();
 448
 449     int delta = rdeg - bdeg + 1, i = 0;
 450     while (rdeg >= bdeg && !r.is_zero()) {
 451         ex rlcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 452         ex term = (power(x, rdeg - bdeg) * eb * rlcoeff).expand();
 453         if (rdeg == 0)
 454             r = _ex0();
 455         else
 456             r -= rlcoeff * power(x, rdeg);
 457         r = (blcoeff * r).expand() - term;
 458         rdeg = r.degree(x);
 459         i++;
 460     }
 461     return power(blcoeff, delta - i) * r;
 462 }
 463
 464
 465 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Q[X].
 466  *
 467  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 468  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 469  *  @param q  quotient (returned)
 470  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 471  *         coefficients (defaults to "true")
 472  *  @return "true" when exact division succeeds (quotient returned in q),
 473  *          "false" otherwise */
 474
 475 bool divide(const ex &a, const ex &b, ex &q, bool check_args)
 476 {
 477     q = _ex0();
 478     if (b.is_zero())
 479         throw(std::overflow_error("divide: division by zero"));
 480     if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
 481         q = a / b;
 482         return true;
 483     } else if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric))
 484         return false;
 485 #if FAST_COMPARE
 486     if (a.is_equal(b)) {
 487         q = _ex1();
 488         return true;
 489     }
 490 #endif
 491     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 492         throw(std::invalid_argument("divide: arguments must be polynomials over the rationals"));
 493
 494     // Find first symbol
 495     const symbol *x;
 496     if (!get_first_symbol(a, x) && !get_first_symbol(b, x))
 497         throw(std::invalid_argument("invalid expression in divide()"));
 498
 499     // Polynomial long division (recursive)
 500     ex r = a.expand();
 501     if (r.is_zero())
 502         return true;
 503     int bdeg = b.degree(*x);
 504     int rdeg = r.degree(*x);
 505     ex blcoeff = b.expand().coeff(*x, bdeg);
 506     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 507     while (rdeg >= bdeg) {
 508         ex term, rcoeff = r.coeff(*x, rdeg);
 509         if (blcoeff_is_numeric)
 510             term = rcoeff / blcoeff;
 511         else
 512             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 513                 return false;
 514         term *= power(*x, rdeg - bdeg);
 515         q += term;
 516         r -= (term * b).expand();
 517         if (r.is_zero())
 518             return true;
 519         rdeg = r.degree(*x);
 520     }
 521     return false;
 522 }
 523
 524
 525 #if USE_REMEMBER
 526 /*
 527  *  Remembering
 528  */
 529
 530 typedef pair<ex, ex> ex2;
 531 typedef pair<ex, bool> exbool;
 532
 533 struct ex2_less {
 534     bool operator() (const ex2 p, const ex2 q) const
 535     {
 536         return p.first.compare(q.first) < 0 || (!(q.first.compare(p.first) < 0) && p.second.compare(q.second) < 0);
 537     }
 538 };
 539
 540 typedef map<ex2, exbool, ex2_less> ex2_exbool_remember;
 541 #endif
 542
 543
 544 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Z[X].
 545  *  This functions works like divide() but the input and output polynomials are
 546  *  in Z[X] instead of Q[X] (i.e. they have integer coefficients). Unlike
 547  *  divide(), it doesn´t check whether the input polynomials really are integer
 548  *  polynomials, so be careful of what you pass in. Also, you have to run
 549  *  get_symbol_stats() over the input polynomials before calling this function
 550  *  and pass an iterator to the first element of the sym_desc vector. This
 551  *  function is used internally by the heur_gcd().
 552  *
 553  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 554  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 555  *  @param q  quotient (returned)
 556  *  @param var  iterator to first element of vector of sym_desc structs
 557  *  @return "true" when exact division succeeds (the quotient is returned in
 558  *          q), "false" otherwise.
 559  *  @see get_symbol_stats, heur_gcd */
 560 static bool divide_in_z(const ex &a, const ex &b, ex &q, sym_desc_vec::const_iterator var)
 561 {
 562     q = _ex0();
 563     if (b.is_zero())
 564         throw(std::overflow_error("divide_in_z: division by zero"));
 565     if (b.is_equal(_ex1())) {
 566         q = a;
 567         return true;
 568     }
 569     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 570         if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
 571             q = a / b;
 572             return q.info(info_flags::integer);
 573         } else
 574             return false;
 575     }
 576 #if FAST_COMPARE
 577     if (a.is_equal(b)) {
 578         q = _ex1();
 579         return true;
 580     }
 581 #endif
 582
 583 #if USE_REMEMBER
 584     // Remembering
 585     static ex2_exbool_remember dr_remember;
 586     ex2_exbool_remember::const_iterator remembered = dr_remember.find(ex2(a, b));
 587     if (remembered != dr_remember.end()) {
 588         q = remembered->second.first;
 589         return remembered->second.second;
 590     }
 591 #endif
 592
 593     // Main symbol
 594     const symbol *x = var->sym;
 595
 596     // Compare degrees
 597     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 598     if (bdeg > adeg)
 599         return false;
 600
 601 #if 1
 602
 603     // Polynomial long division (recursive)
 604     ex r = a.expand();
 605     if (r.is_zero())
 606         return true;
 607     int rdeg = adeg;
 608     ex eb = b.expand();
 609     ex blcoeff = eb.coeff(*x, bdeg);
 610     while (rdeg >= bdeg) {
 611         ex term, rcoeff = r.coeff(*x, rdeg);
 612         if (!divide_in_z(rcoeff, blcoeff, term, var+1))
 613             break;
 614         term = (term * power(*x, rdeg - bdeg)).expand();
 615         q += term;
 616         r -= (term * eb).expand();
 617         if (r.is_zero()) {
 618 #if USE_REMEMBER
 619             dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, true);
 620 #endif
 621             return true;
 622         }
 623         rdeg = r.degree(*x);
 624     }
 625 #if USE_REMEMBER
 626     dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, false);
 627 #endif
 628     return false;
 629
 630 #else
 631
 632     // Trial division using polynomial interpolation
 633     int i, k;
 634
 635     // Compute values at evaluation points 0..adeg
 636     vector<numeric> alpha; alpha.reserve(adeg + 1);
 637     exvector u; u.reserve(adeg + 1);
 638     numeric point = _num0();
 639     ex c;
 640     for (i=0; i<=adeg; i++) {
 641         ex bs = b.subs(*x == point);
 642         while (bs.is_zero()) {
 643             point += _num1();
 644             bs = b.subs(*x == point);
 645         }
 646         if (!divide_in_z(a.subs(*x == point), bs, c, var+1))
 647             return false;
 648         alpha.push_back(point);
 649         u.push_back(c);
 650         point += _num1();
 651     }
 652
 653     // Compute inverses
 654     vector<numeric> rcp; rcp.reserve(adeg + 1);
 655     rcp.push_back(0);
 656     for (k=1; k<=adeg; k++) {
 657         numeric product = alpha[k] - alpha[0];
 658         for (i=1; i<k; i++)
 659             product *= alpha[k] - alpha[i];
 660         rcp.push_back(product.inverse());
 661     }
 662
 663     // Compute Newton coefficients
 664     exvector v; v.reserve(adeg + 1);
 665     v.push_back(u[0]);
 666     for (k=1; k<=adeg; k++) {
 667         ex temp = v[k - 1];
 668         for (i=k-2; i>=0; i--)
 669             temp = temp * (alpha[k] - alpha[i]) + v[i];
 670         v.push_back((u[k] - temp) * rcp[k]);
 671     }
 672
 673     // Convert from Newton form to standard form
 674     c = v[adeg];
 675     for (k=adeg-1; k>=0; k--)
 676         c = c * (*x - alpha[k]) + v[k];
 677
 678     if (c.degree(*x) == (adeg - bdeg)) {
 679         q = c.expand();
 680         return true;
 681     } else
 682         return false;
 683 #endif
 684 }
 685
 686
 687 /*
 688  *  Separation of unit part, content part and primitive part of polynomials
 689  */
 690
 691 /** Compute unit part (= sign of leading coefficient) of a multivariate
 692  *  polynomial in Z[x]. The product of unit part, content part, and primitive
 693  *  part is the polynomial itself.
 694  *
 695  *  @param x  variable in which to compute the unit part
 696  *  @return unit part
 697  *  @see ex::content, ex::primpart */
 698 ex ex::unit(const symbol &x) const
 699 {
 700     ex c = expand().lcoeff(x);
 701     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 702         return c < _ex0() ? _ex_1() : _ex1();
 703     else {
 704         const symbol *y;
 705         if (get_first_symbol(c, y))
 706             return c.unit(*y);
 707         else
 708             throw(std::invalid_argument("invalid expression in unit()"));
 709     }
 710 }
 711
 712
 713 /** Compute content part (= unit normal GCD of all coefficients) of a
 714  *  multivariate polynomial in Z[x].  The product of unit part, content part,
 715  *  and primitive part is the polynomial itself.
 716  *
 717  *  @param x  variable in which to compute the content part
 718  *  @return content part
 719  *  @see ex::unit, ex::primpart */
 720 ex ex::content(const symbol &x) const
 721 {
 722     if (is_zero())
 723         return _ex0();
 724     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 725         return info(info_flags::negative) ? -*this : *this;
 726     ex e = expand();
 727     if (e.is_zero())
 728         return _ex0();
 729
 730     // First, try the integer content
 731     ex c = e.integer_content();
 732     ex r = e / c;
 733     ex lcoeff = r.lcoeff(x);
 734     if (lcoeff.info(info_flags::integer))
 735         return c;
 736
 737     // GCD of all coefficients
 738     int deg = e.degree(x);
 739     int ldeg = e.ldegree(x);
 740     if (deg == ldeg)
 741         return e.lcoeff(x) / e.unit(x);
 742     c = _ex0();
 743     for (int i=ldeg; i<=deg; i++)
 744         c = gcd(e.coeff(x, i), c, NULL, NULL, false);
 745     return c;
 746 }
 747
 748
 749 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Z[x].
 750  *  The product of unit part, content part, and primitive part is the
 751  *  polynomial itself.
 752  *
 753  *  @param x  variable in which to compute the primitive part
 754  *  @return primitive part
 755  *  @see ex::unit, ex::content */
 756 ex ex::primpart(const symbol &x) const
 757 {
 758     if (is_zero())
 759         return _ex0();
 760     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 761         return _ex1();
 762
 763     ex c = content(x);
 764     if (c.is_zero())
 765         return _ex0();
 766     ex u = unit(x);
 767     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 768         return *this / (c * u);
 769     else
 770         return quo(*this, c * u, x, false);
 771 }
 772
 773
 774 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Z[x] when the
 775  *  content part is already known. This function is faster in computing the
 776  *  primitive part than the previous function.
 777  *
 778  *  @param x  variable in which to compute the primitive part
 779  *  @param c  previously computed content part
 780  *  @return primitive part */
 781
 782 ex ex::primpart(const symbol &x, const ex &c) const
 783 {
 784     if (is_zero())
 785         return _ex0();
 786     if (c.is_zero())
 787         return _ex0();
 788     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 789         return _ex1();
 790
 791     ex u = unit(x);
 792     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 793         return *this / (c * u);
 794     else
 795         return quo(*this, c * u, x, false);
 796 }
 797
 798
 799 /*
 800  *  GCD of multivariate polynomials
 801  */
 802
 803 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the subresultant PRS
 804  *  algorithm. This function is used internally gy gcd().
 805  *
 806  *  @param a  first multivariate polynomial
 807  *  @param b  second multivariate polynomial
 808  *  @param x  pointer to symbol (main variable) in which to compute the GCD in
 809  *  @return the GCD as a new expression
 810  *  @see gcd */
 811
 812 static ex sr_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol *x)
 813 {
 814     // Sort c and d so that c has higher degree
 815     ex c, d;
 816     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 817     int cdeg, ddeg;
 818     if (adeg >= bdeg) {
 819         c = a;
 820         d = b;
 821         cdeg = adeg;
 822         ddeg = bdeg;
 823     } else {
 824         c = b;
 825         d = a;
 826         cdeg = bdeg;
 827         ddeg = adeg;
 828     }
 829
 830     // Remove content from c and d, to be attached to GCD later
 831     ex cont_c = c.content(*x);
 832     ex cont_d = d.content(*x);
 833     ex gamma = gcd(cont_c, cont_d, NULL, NULL, false);
 834     if (ddeg == 0)
 835         return gamma;
 836     c = c.primpart(*x, cont_c);
 837     d = d.primpart(*x, cont_d);
 838
 839     // First element of subresultant sequence
 840     ex r = _ex0(), ri = _ex1(), psi = _ex1();
 841     int delta = cdeg - ddeg;
 842
 843     for (;;) {
 844         // Calculate polynomial pseudo-remainder
 845         r = prem(c, d, *x, false);
 846         if (r.is_zero())
 847             return gamma * d.primpart(*x);
 848         c = d;
 849         cdeg = ddeg;
 850         if (!divide(r, ri * power(psi, delta), d, false))
 851             throw(std::runtime_error("invalid expression in sr_gcd(), division failed"));
 852         ddeg = d.degree(*x);
 853         if (ddeg == 0) {
 854             if (is_ex_exactly_of_type(r, numeric))
 855                 return gamma;
 856             else
 857                 return gamma * r.primpart(*x);
 858         }
 859
 860         // Next element of subresultant sequence
 861         ri = c.expand().lcoeff(*x);
 862         if (delta == 1)
 863             psi = ri;
 864         else if (delta)
 865             divide(power(ri, delta), power(psi, delta-1), psi, false);
 866         delta = cdeg - ddeg;
 867     }
 868 }
 869
 870
 871 /** Return maximum (absolute value) coefficient of a polynomial.
 872  *  This function is used internally by heur_gcd().
 873  *
 874  *  @param e  expanded multivariate polynomial
 875  *  @return maximum coefficient
 876  *  @see heur_gcd */
 877
 878 numeric ex::max_coefficient(void) const
 879 {
 880     GINAC_ASSERT(bp!=0);
 881     return bp->max_coefficient();
 882 }
 883
 884 numeric basic::max_coefficient(void) const
 885 {
 886     return _num1();
 887 }
 888
 889 numeric numeric::max_coefficient(void) const
 890 {
 891     return abs(*this);
 892 }
 893
 894 numeric add::max_coefficient(void) const
 895 {
 896     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 897     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 898     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 899     numeric cur_max = abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
 900     while (it != itend) {
 901         numeric a;
 902         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
 903         a = abs(ex_to_numeric(it->coeff));
 904         if (a > cur_max)
 905             cur_max = a;
 906         it++;
 907     }
 908     return cur_max;
 909 }
 910
 911 numeric mul::max_coefficient(void) const
 912 {
 913 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 914     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 915     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 916     while (it != itend) {
 917         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
 918         it++;
 919     }
 920 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 921     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 922     return abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
 923 }
 924
 925
 926 /** Apply symmetric modular homomorphism to a multivariate polynomial.
 927  *  This function is used internally by heur_gcd().
 928  *
 929  *  @param e  expanded multivariate polynomial
 930  *  @param xi  modulus
 931  *  @return mapped polynomial
 932  *  @see heur_gcd */
 933
 934 ex ex::smod(const numeric &xi) const
 935 {
 936     GINAC_ASSERT(bp!=0);
 937     return bp->smod(xi);
 938 }
 939
 940 ex basic::smod(const numeric &xi) const
 941 {
 942     return *this;
 943 }
 944
 945 ex numeric::smod(const numeric &xi) const
 946 {
 947 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
 948     return GiNaC::smod(*this, xi);
 949 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 950     return ::smod(*this, xi);
 951 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 952 }
 953
 954 ex add::smod(const numeric &xi) const
 955 {
 956     epvector newseq;
 957     newseq.reserve(seq.size()+1);
 958     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 959     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 960     while (it != itend) {
 961         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
 962 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
 963         numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(it->coeff), xi);
 964 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 965         numeric coeff = ::smod(ex_to_numeric(it->coeff), xi);
 966 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 967         if (!coeff.is_zero())
 968             newseq.push_back(expair(it->rest, coeff));
 969         it++;
 970     }
 971     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 972 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
 973     numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(overall_coeff), xi);
 974 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 975     numeric coeff = ::smod(ex_to_numeric(overall_coeff), xi);
 976 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 977     return (new add(newseq,coeff))->setflag(status_flags::dynallocated);
 978 }
 979
 980 ex mul::smod(const numeric &xi) const
 981 {
 982 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 983     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 984     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 985     while (it != itend) {
 986         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
 987         it++;
 988     }
 989 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 990     mul * mulcopyp=new mul(*this);
 991     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 992 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
 993     mulcopyp->overall_coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(overall_coeff),xi);
 994 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 995     mulcopyp->overall_coeff = ::smod(ex_to_numeric(overall_coeff),xi);
 996 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
 997     mulcopyp->clearflag(status_flags::evaluated);
 998     mulcopyp->clearflag(status_flags::hash_calculated);
 999     return mulcopyp->setflag(status_flags::dynallocated);
1000 }
1001
1002
1003 /** Exception thrown by heur_gcd() to signal failure. */
1004 class gcdheu_failed {};
1005
1006 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the heuristic GCD algorithm.
1007  *  get_symbol_stats() must have been called previously with the input
1008  *  polynomials and an iterator to the first element of the sym_desc vector
1009  *  passed in. This function is used internally by gcd().
1010  *
1011  *  @param a  first multivariate polynomial (expanded)
1012  *  @param b  second multivariate polynomial (expanded)
1013  *  @param ca  cofactor of polynomial a (returned), NULL to suppress
1014  *             calculation of cofactor
1015  *  @param cb  cofactor of polynomial b (returned), NULL to suppress
1016  *             calculation of cofactor
1017  *  @param var iterator to first element of vector of sym_desc structs
1018  *  @return the GCD as a new expression
1019  *  @see gcd
1020  *  @exception gcdheu_failed() */
1021
1022 static ex heur_gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, sym_desc_vec::const_iterator var)
1023 {
1024     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
1025         numeric g = gcd(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1026         numeric rg;
1027         if (ca || cb)
1028             rg = g.inverse();
1029         if (ca)
1030             *ca = ex_to_numeric(a).mul(rg);
1031         if (cb)
1032             *cb = ex_to_numeric(b).mul(rg);
1033         return g;
1034     }
1035
1036     // The first symbol is our main variable
1037     const symbol *x = var->sym;
1038
1039     // Remove integer content
1040     numeric gc = gcd(a.integer_content(), b.integer_content());
1041     numeric rgc = gc.inverse();
1042     ex p = a * rgc;
1043     ex q = b * rgc;
1044     int maxdeg = max(p.degree(*x), q.degree(*x));
1045
1046     // Find evaluation point
1047     numeric mp = p.max_coefficient(), mq = q.max_coefficient();
1048     numeric xi;
1049     if (mp > mq)
1050         xi = mq * _num2() + _num2();
1051     else
1052         xi = mp * _num2() + _num2();
1053
1054     // 6 tries maximum
1055     for (int t=0; t<6; t++) {
1056         if (xi.int_length() * maxdeg > 50000)
1057             throw gcdheu_failed();
1058
1059         // Apply evaluation homomorphism and calculate GCD
1060         ex gamma = heur_gcd(p.subs(*x == xi), q.subs(*x == xi), NULL, NULL, var+1).expand();
1061         if (!is_ex_exactly_of_type(gamma, fail)) {
1062
1063             // Reconstruct polynomial from GCD of mapped polynomials
1064             ex g = _ex0();
1065             numeric rxi = xi.inverse();
1066             for (int i=0; !gamma.is_zero(); i++) {
1067                 ex gi = gamma.smod(xi);
1068                 g += gi * power(*x, i);
1069                 gamma = (gamma - gi) * rxi;
1070             }
1071             // Remove integer content
1072             g /= g.integer_content();
1073
1074             // If the calculated polynomial divides both a and b, this is the GCD
1075             ex dummy;
1076             if (divide_in_z(p, g, ca ? *ca : dummy, var) && divide_in_z(q, g, cb ? *cb : dummy, var)) {
1077                 g *= gc;
1078                 ex lc = g.lcoeff(*x);
1079                 if (is_ex_exactly_of_type(lc, numeric) && ex_to_numeric(lc).is_negative())
1080                     return -g;
1081                 else
1082                     return g;
1083             }
1084         }
1085
1086         // Next evaluation point
1087         xi = iquo(xi * isqrt(isqrt(xi)) * numeric(73794), numeric(27011));
1088     }
1089     return *new ex(fail());
1090 }
1091
1092
1093 /** Compute GCD (Greatest Common Divisor) of multivariate polynomials a(X)
1094  *  and b(X) in Z[X].
1095  *
1096  *  @param a  first multivariate polynomial
1097  *  @param b  second multivariate polynomial
1098  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1099  *         coefficients (defaults to "true")
1100  *  @return the GCD as a new expression */
1101
1102 ex gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, bool check_args)
1103 {
1104         // Partially factored cases (to avoid expanding large expressions)
1105         if (is_ex_exactly_of_type(a, mul)) {
1106                 if (is_ex_exactly_of_type(b, mul) && b.nops() > a.nops())
1107                         goto factored_b;
1108 factored_a:
1109                 ex g = _ex1();
1110                 ex acc_ca = _ex1();
1111                 ex part_b = b;
1112                 for (unsigned i=0; i<a.nops(); i++) {
1113                         ex part_ca, part_cb;
1114                         g *= gcd(a.op(i), part_b, &part_ca, &part_cb, check_args);
1115                         acc_ca *= part_ca;
1116                         part_b = part_cb;
1117                 }
1118                 if (ca)
1119                         *ca = acc_ca;
1120                 if (cb)
1121                         *cb = part_b;
1122                 return g;
1123         } else if (is_ex_exactly_of_type(b, mul)) {
1124                 if (is_ex_exactly_of_type(a, mul) && a.nops() > b.nops())
1125                         goto factored_a;
1126 factored_b:
1127                 ex g = _ex1();
1128                 ex acc_cb = _ex1();
1129                 ex part_a = a;
1130                 for (unsigned i=0; i<b.nops(); i++) {
1131                         ex part_ca, part_cb;
1132                         g *= gcd(part_a, b.op(i), &part_ca, &part_cb, check_args);
1133                         acc_cb *= part_cb;
1134                         part_a = part_ca;
1135                 }
1136                 if (ca)
1137                         *ca = part_a;
1138                 if (cb)
1139                         *cb = acc_cb;
1140                 return g;
1141         }
1142
1143     // Some trivial cases
1144         ex aex = a.expand(), bex = b.expand();
1145     if (aex.is_zero()) {
1146         if (ca)
1147             *ca = _ex0();
1148         if (cb)
1149             *cb = _ex1();
1150         return b;
1151     }
1152     if (bex.is_zero()) {
1153         if (ca)
1154             *ca = _ex1();
1155         if (cb)
1156             *cb = _ex0();
1157         return a;
1158     }
1159     if (aex.is_equal(_ex1()) || bex.is_equal(_ex1())) {
1160         if (ca)
1161             *ca = a;
1162         if (cb)
1163             *cb = b;
1164         return _ex1();
1165     }
1166 #if FAST_COMPARE
1167     if (a.is_equal(b)) {
1168         if (ca)
1169             *ca = _ex1();
1170         if (cb)
1171             *cb = _ex1();
1172         return a;
1173     }
1174 #endif
1175     if (is_ex_exactly_of_type(aex, numeric) && is_ex_exactly_of_type(bex, numeric)) {
1176         numeric g = gcd(ex_to_numeric(aex), ex_to_numeric(bex));
1177         if (ca)
1178             *ca = ex_to_numeric(aex) / g;
1179         if (cb)
1180             *cb = ex_to_numeric(bex) / g;
1181         return g;
1182     }
1183     if (check_args && !a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)) {
1184         throw(std::invalid_argument("gcd: arguments must be polynomials over the rationals"));
1185     }
1186
1187     // Gather symbol statistics
1188     sym_desc_vec sym_stats;
1189     get_symbol_stats(a, b, sym_stats);
1190
1191     // The symbol with least degree is our main variable
1192     sym_desc_vec::const_iterator var = sym_stats.begin();
1193     const symbol *x = var->sym;
1194
1195     // Cancel trivial common factor
1196     int ldeg_a = var->ldeg_a;
1197     int ldeg_b = var->ldeg_b;
1198     int min_ldeg = min(ldeg_a, ldeg_b);
1199     if (min_ldeg > 0) {
1200         ex common = power(*x, min_ldeg);
1201 //clog << "trivial common factor " << common << endl;
1202         return gcd((aex / common).expand(), (bex / common).expand(), ca, cb, false) * common;
1203     }
1204
1205     // Try to eliminate variables
1206     if (var->deg_a == 0) {
1207 //clog << "eliminating variable " << *x << " from b" << endl;
1208         ex c = bex.content(*x);
1209         ex g = gcd(aex, c, ca, cb, false);
1210         if (cb)
1211             *cb *= bex.unit(*x) * bex.primpart(*x, c);
1212         return g;
1213     } else if (var->deg_b == 0) {
1214 //clog << "eliminating variable " << *x << " from a" << endl;
1215         ex c = aex.content(*x);
1216         ex g = gcd(c, bex, ca, cb, false);
1217         if (ca)
1218             *ca *= aex.unit(*x) * aex.primpart(*x, c);
1219         return g;
1220     }
1221
1222     // Try heuristic algorithm first, fall back to PRS if that failed
1223     ex g;
1224     try {
1225         g = heur_gcd(aex, bex, ca, cb, var);
1226     } catch (gcdheu_failed) {
1227         g = *new ex(fail());
1228     }
1229     if (is_ex_exactly_of_type(g, fail)) {
1230 //clog << "heuristics failed" << endl;
1231         g = sr_gcd(aex, bex, x);
1232         if (ca)
1233             divide(aex, g, *ca, false);
1234         if (cb)
1235             divide(bex, g, *cb, false);
1236     }
1237     return g;
1238 }
1239
1240
1241 /** Compute LCM (Least Common Multiple) of multivariate polynomials in Z[X].
1242  *
1243  *  @param a  first multivariate polynomial
1244  *  @param b  second multivariate polynomial
1245  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1246  *         coefficients (defaults to "true")
1247  *  @return the LCM as a new expression */
1248 ex lcm(const ex &a, const ex &b, bool check_args)
1249 {
1250     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
1251         return lcm(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1252     if (check_args && !a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial))
1253         throw(std::invalid_argument("lcm: arguments must be polynomials over the rationals"));
1254
1255     ex ca, cb;
1256     ex g = gcd(a, b, &ca, &cb, false);
1257     return ca * cb * g;
1258 }
1259
1260
1261 /*
1262  *  Square-free factorization
1263  */
1264
1265 // Univariate GCD of polynomials in Q[x] (used internally by sqrfree()).
1266 // a and b can be multivariate polynomials but they are treated as univariate polynomials in x.
1267 static ex univariate_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol &x)
1268 {
1269     if (a.is_zero())
1270         return b;
1271     if (b.is_zero())
1272         return a;
1273     if (a.is_equal(_ex1()) || b.is_equal(_ex1()))
1274         return _ex1();
1275     if (is_ex_of_type(a, numeric) && is_ex_of_type(b, numeric))
1276         return gcd(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1277     if (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial))
1278         throw(std::invalid_argument("univariate_gcd: arguments must be polynomials over the rationals"));
1279
1280     // Euclidean algorithm
1281     ex c, d, r;
1282     if (a.degree(x) >= b.degree(x)) {
1283         c = a;
1284         d = b;
1285     } else {
1286         c = b;
1287         d = a;
1288     }
1289     for (;;) {
1290         r = rem(c, d, x, false);
1291         if (r.is_zero())
1292             break;
1293         c = d;
1294         d = r;
1295     }
1296     return d / d.lcoeff(x);
1297 }
1298
1299
1300 /** Compute square-free factorization of multivariate polynomial a(x) using
1301  *  Yun´s algorithm.
1302  *
1303  * @param a  multivariate polynomial
1304  * @param x  variable to factor in
1305  * @return factored polynomial */
1306 ex sqrfree(const ex &a, const symbol &x)
1307 {
1308     int i = 1;
1309     ex res = _ex1();
1310     ex b = a.diff(x);
1311     ex c = univariate_gcd(a, b, x);
1312     ex w;
1313     if (c.is_equal(_ex1())) {
1314         w = a;
1315     } else {
1316         w = quo(a, c, x);
1317         ex y = quo(b, c, x);
1318         ex z = y - w.diff(x);
1319         while (!z.is_zero()) {
1320             ex g = univariate_gcd(w, z, x);
1321             res *= power(g, i);
1322             w = quo(w, g, x);
1323             y = quo(z, g, x);
1324             z = y - w.diff(x);
1325             i++;
1326         }
1327     }
1328     return res * power(w, i);
1329 }
1330
1331
1332 /*
1333  *  Normal form of rational functions
1334  */
1335
1336 /*
1337  *  Note: The internal normal() functions (= basic::normal() and overloaded
1338  *  functions) all return lists of the form {numerator, denominator}. This
1339  *  is to get around mul::eval()'s automatic expansion of numeric coefficients.
1340  *  E.g. (a+b)/3 is automatically converted to a/3+b/3 but we want to keep
1341  *  the information that (a+b) is the numerator and 3 is the denominator.
1342  */
1343
1344 /** Create a symbol for replacing the expression "e" (or return a previously
1345  *  assigned symbol). The symbol is appended to sym_list and returned, the
1346  *  expression is appended to repl_list.
1347  *  @see ex::normal */
1348 static ex replace_with_symbol(const ex &e, lst &sym_lst, lst &repl_lst)
1349 {
1350     // Expression already in repl_lst? Then return the assigned symbol
1351     for (unsigned i=0; i<repl_lst.nops(); i++)
1352         if (repl_lst.op(i).is_equal(e))
1353             return sym_lst.op(i);
1354
1355     // Otherwise create new symbol and add to list, taking care that the
1356         // replacement expression doesn't contain symbols from the sym_lst
1357         // because subs() is not recursive
1358         symbol s;
1359         ex es(s);
1360         ex e_replaced = e.subs(sym_lst, repl_lst);
1361     sym_lst.append(es);
1362     repl_lst.append(e_replaced);
1363     return es;
1364 }
1365
1366
1367 /** Default implementation of ex::normal(). It replaces the object with a
1368  *  temporary symbol.
1369  *  @see ex::normal */
1370 ex basic::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1371 {
1372     return (new lst(replace_with_symbol(*this, sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1373 }
1374
1375
1376 /** Implementation of ex::normal() for symbols. This returns the unmodified symbol.
1377  *  @see ex::normal */
1378 ex symbol::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1379 {
1380     return (new lst(*this, _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1381 }
1382
1383
1384 /** Implementation of ex::normal() for a numeric. It splits complex numbers
1385  *  into re+I*im and replaces I and non-rational real numbers with a temporary
1386  *  symbol.
1387  *  @see ex::normal */
1388 ex numeric::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1389 {
1390         numeric num = numer();
1391         ex numex = num;
1392
1393     if (num.is_real()) {
1394         if (!num.is_integer())
1395             numex = replace_with_symbol(numex, sym_lst, repl_lst);
1396     } else { // complex
1397         numeric re = num.real(), im = num.imag();
1398         ex re_ex = re.is_rational() ? re : replace_with_symbol(re, sym_lst, repl_lst);
1399         ex im_ex = im.is_rational() ? im : replace_with_symbol(im, sym_lst, repl_lst);
1400         numex = re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, sym_lst, repl_lst);
1401     }
1402
1403         // Denominator is always a real integer (see numeric::denom())
1404         return (new lst(numex, denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1405 }
1406
1407
1408 /** Fraction cancellation.
1409  *  @param n  numerator
1410  *  @param d  denominator
1411  *  @return cancelled fraction {n, d} as a list */
1412 static ex frac_cancel(const ex &n, const ex &d)
1413 {
1414     ex num = n;
1415     ex den = d;
1416     numeric pre_factor = _num1();
1417
1418 //clog << "frac_cancel num = " << num << ", den = " << den << endl;
1419
1420     // Handle special cases where numerator or denominator is 0
1421     if (num.is_zero())
1422                 return (new lst(_ex0(), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1423     if (den.expand().is_zero())
1424         throw(std::overflow_error("frac_cancel: division by zero in frac_cancel"));
1425
1426     // Bring numerator and denominator to Z[X] by multiplying with
1427     // LCM of all coefficients' denominators
1428     numeric num_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(num);
1429     numeric den_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(den);
1430         num = multiply_lcm(num, num_lcm);
1431         den = multiply_lcm(den, den_lcm);
1432     pre_factor = den_lcm / num_lcm;
1433
1434     // Cancel GCD from numerator and denominator
1435     ex cnum, cden;
1436     if (gcd(num, den, &cnum, &cden, false) != _ex1()) {
1437                 num = cnum;
1438                 den = cden;
1439         }
1440
1441         // Make denominator unit normal (i.e. coefficient of first symbol
1442         // as defined by get_first_symbol() is made positive)
1443         const symbol *x;
1444         if (get_first_symbol(den, x)) {
1445                 GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(den.unit(*x),numeric));
1446                 if (ex_to_numeric(den.unit(*x)).is_negative()) {
1447                         num *= _ex_1();
1448                         den *= _ex_1();
1449                 }
1450         }
1451
1452         // Return result as list
1453 //clog << " returns num = " << num << ", den = " << den << ", pre_factor = " << pre_factor << endl;
1454     return (new lst(num * pre_factor.numer(), den * pre_factor.denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1455 }
1456
1457
1458 /** Implementation of ex::normal() for a sum. It expands terms and performs
1459  *  fractional addition.
1460  *  @see ex::normal */
1461 ex add::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1462 {
1463     // Normalize and expand children, chop into summands
1464     exvector o;
1465     o.reserve(seq.size()+1);
1466     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1467     while (it != itend) {
1468
1469                 // Normalize and expand child
1470         ex n = recombine_pair_to_ex(*it).bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1).expand();
1471
1472                 // If numerator is a sum, chop into summands
1473         if (is_ex_exactly_of_type(n.op(0), add)) {
1474             epvector::const_iterator bit = ex_to_add(n.op(0)).seq.begin(), bitend = ex_to_add(n.op(0)).seq.end();
1475             while (bit != bitend) {
1476                 o.push_back((new lst(recombine_pair_to_ex(*bit), n.op(1)))->setflag(status_flags::dynallocated));
1477                 bit++;
1478             }
1479
1480                         // The overall_coeff is already normalized (== rational), we just
1481                         // split it into numerator and denominator
1482                         GINAC_ASSERT(ex_to_numeric(ex_to_add(n.op(0)).overall_coeff).is_rational());
1483                         numeric overall = ex_to_numeric(ex_to_add(n.op(0)).overall_coeff);
1484             o.push_back((new lst(overall.numer(), overall.denom() * n.op(1)))->setflag(status_flags::dynallocated));
1485         } else
1486             o.push_back(n);
1487         it++;
1488     }
1489     o.push_back(overall_coeff.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1));
1490
1491         // o is now a vector of {numerator, denominator} lists
1492
1493     // Determine common denominator
1494     ex den = _ex1();
1495     exvector::const_iterator ait = o.begin(), aitend = o.end();
1496 //clog << "add::normal uses the following summands:\n";
1497     while (ait != aitend) {
1498 //clog << " num = " << ait->op(0) << ", den = " << ait->op(1) << endl;
1499         den = lcm(ait->op(1), den, false);
1500         ait++;
1501     }
1502 //clog << " common denominator = " << den << endl;
1503
1504     // Add fractions
1505     if (den.is_equal(_ex1())) {
1506
1507                 // Common denominator is 1, simply add all numerators
1508         exvector num_seq;
1509                 for (ait=o.begin(); ait!=aitend; ait++) {
1510                         num_seq.push_back(ait->op(0));
1511                 }
1512                 return (new lst((new add(num_seq))->setflag(status_flags::dynallocated), den))->setflag(status_flags::dynallocated);
1513
1514         } else {
1515
1516                 // Perform fractional addition
1517         exvector num_seq;
1518         for (ait=o.begin(); ait!=aitend; ait++) {
1519             ex q;
1520             if (!divide(den, ait->op(1), q, false)) {
1521                 // should not happen
1522                 throw(std::runtime_error("invalid expression in add::normal, division failed"));
1523             }
1524             num_seq.push_back((ait->op(0) * q).expand());
1525         }
1526         ex num = (new add(num_seq))->setflag(status_flags::dynallocated);
1527
1528         // Cancel common factors from num/den
1529         return frac_cancel(num, den);
1530     }
1531 }
1532
1533
1534 /** Implementation of ex::normal() for a product. It cancels common factors
1535  *  from fractions.
1536  *  @see ex::normal() */
1537 ex mul::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1538 {
1539     // Normalize children, separate into numerator and denominator
1540         ex num = _ex1();
1541         ex den = _ex1();
1542         ex n;
1543     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1544     while (it != itend) {
1545                 n = recombine_pair_to_ex(*it).bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
1546                 num *= n.op(0);
1547                 den *= n.op(1);
1548         it++;
1549     }
1550         n = overall_coeff.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
1551         num *= n.op(0);
1552         den *= n.op(1);
1553
1554         // Perform fraction cancellation
1555     return frac_cancel(num, den);
1556 }
1557
1558
1559 /** Implementation of ex::normal() for powers. It normalizes the basis,
1560  *  distributes integer exponents to numerator and denominator, and replaces
1561  *  non-integer powers by temporary symbols.
1562  *  @see ex::normal */
1563 ex power::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1564 {
1565         // Normalize basis
1566     ex n = basis.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
1567
1568         if (exponent.info(info_flags::integer)) {
1569
1570             if (exponent.info(info_flags::positive)) {
1571
1572                         // (a/b)^n -> {a^n, b^n}
1573                         return (new lst(power(n.op(0), exponent), power(n.op(1), exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
1574
1575                 } else if (exponent.info(info_flags::negint)) {
1576
1577                         // (a/b)^-n -> {b^n, a^n}
1578                         return (new lst(power(n.op(1), -exponent), power(n.op(0), -exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
1579                 }
1580
1581         } else {
1582                 if (exponent.info(info_flags::positive)) {
1583
1584                         // (a/b)^z -> {sym((a/b)^z), 1}
1585                         return (new lst(replace_with_symbol(power(n.op(0) / n.op(1), exponent), sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1586
1587                 } else {
1588
1589                         if (n.op(1).is_equal(_ex1())) {
1590
1591                                 // a^-x -> {1, sym(a^x)}
1592                                 return (new lst(_ex1(), replace_with_symbol(power(n.op(0), -exponent), sym_lst, repl_lst)))->setflag(status_flags::dynallocated);
1593
1594                         } else {
1595
1596                                 // (a/b)^-x -> {(b/a)^x, 1}
1597                                 return (new lst(replace_with_symbol(power(n.op(1) / n.op(0), -exponent), sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1598                         }
1599                 }
1600     }
1601 }
1602
1603
1604 /** Implementation of ex::normal() for pseries. It normalizes each coefficient and
1605  *  replaces the series by a temporary symbol.
1606  *  @see ex::normal */
1607 ex pseries::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1608 {
1609     epvector new_seq;
1610     new_seq.reserve(seq.size());
1611
1612     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1613     while (it != itend) {
1614         new_seq.push_back(expair(it->rest.normal(), it->coeff));
1615         it++;
1616     }
1617     ex n = pseries(var, point, new_seq);
1618         return (new lst(replace_with_symbol(n, sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1619 }
1620
1621
1622 /** Normalization of rational functions.
1623  *  This function converts an expression to its normal form
1624  *  "numerator/denominator", where numerator and denominator are (relatively
1625  *  prime) polynomials. Any subexpressions which are not rational functions
1626  *  (like non-rational numbers, non-integer powers or functions like Sin(),
1627  *  Cos() etc.) are replaced by temporary symbols which are re-substituted by
1628  *  the (normalized) subexpressions before normal() returns (this way, any
1629  *  expression can be treated as a rational function). normal() is applied
1630  *  recursively to arguments of functions etc.
1631  *
1632  *  @param level maximum depth of recursion
1633  *  @return normalized expression */
1634 ex ex::normal(int level) const
1635 {
1636     lst sym_lst, repl_lst;
1637
1638     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, level);
1639         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
1640
1641         // Re-insert replaced symbols
1642     if (sym_lst.nops() > 0)
1643         e = e.subs(sym_lst, repl_lst);
1644
1645         // Convert {numerator, denominator} form back to fraction
1646     return e.op(0) / e.op(1);
1647 }
1648
1649 /** Numerator of an expression. If the expression is not of the normal form
1650  *  "numerator/denominator", it is first converted to this form and then the
1651  *  numerator is returned.
1652  *
1653  *  @see ex::normal
1654  *  @return numerator */
1655 ex ex::numer(void) const
1656 {
1657     lst sym_lst, repl_lst;
1658
1659     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, 0);
1660         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
1661
1662         // Re-insert replaced symbols
1663     if (sym_lst.nops() > 0)
1664         return e.op(0).subs(sym_lst, repl_lst);
1665         else
1666                 return e.op(0);
1667 }
1668
1669 /** Denominator of an expression. If the expression is not of the normal form
1670  *  "numerator/denominator", it is first converted to this form and then the
1671  *  denominator is returned.
1672  *
1673  *  @see ex::normal
1674  *  @return denominator */
1675 ex ex::denom(void) const
1676 {
1677     lst sym_lst, repl_lst;
1678
1679     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, 0);
1680         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
1681
1682         // Re-insert replaced symbols
1683     if (sym_lst.nops() > 0)
1684         return e.op(1).subs(sym_lst, repl_lst);
1685         else
1686                 return e.op(1);
1687 }
1688
1689 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1690 } // namespace GiNaC
1691 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC