ginac/matrix.cpp

   1 /** @file matrix.cpp
   2  *
   3  *  Implementation of symbolic matrices */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include <algorithm>
  24 #include <map>
  25 #include <stdexcept>
  26
  27 #include "matrix.h"
  28 #include "archive.h"
  29 #include "numeric.h"
  30 #include "lst.h"
  31 #include "utils.h"
  32 #include "debugmsg.h"
  33 #include "power.h"
  34 #include "symbol.h"
  35 #include "normal.h"
  36
  37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  38 namespace GiNaC {
  39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  40
  41 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(matrix, basic)
  42
  43 //////////
  44 // default constructor, destructor, copy constructor, assignment operator
  45 // and helpers:
  46 //////////
  47
  48 // public
  49
  50 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
  51 matrix::matrix()
  52     : inherited(TINFO_matrix), row(1), col(1)
  53 {
  54     debugmsg("matrix default constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  55     m.push_back(_ex0());
  56 }
  57
  58 matrix::~matrix()
  59 {
  60     debugmsg("matrix destructor",LOGLEVEL_DESTRUCT);
  61 }
  62
  63 matrix::matrix(const matrix & other)
  64 {
  65     debugmsg("matrix copy constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  66     copy(other);
  67 }
  68
  69 const matrix & matrix::operator=(const matrix & other)
  70 {
  71     debugmsg("matrix operator=",LOGLEVEL_ASSIGNMENT);
  72     if (this != &other) {
  73         destroy(1);
  74         copy(other);
  75     }
  76     return *this;
  77 }
  78
  79 // protected
  80
  81 void matrix::copy(const matrix & other)
  82 {
  83     inherited::copy(other);
  84     row = other.row;
  85     col = other.col;
  86     m = other.m;  // STL's vector copying invoked here
  87 }
  88
  89 void matrix::destroy(bool call_parent)
  90 {
  91     if (call_parent) inherited::destroy(call_parent);
  92 }
  93
  94 //////////
  95 // other constructors
  96 //////////
  97
  98 // public
  99
 100 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
 101  *
 102  *  @param r number of rows
 103  *  @param c number of cols */
 104 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
 105     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
 106 {
 107     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 108     m.resize(r*c, _ex0());
 109 }
 110
 111  // protected
 112
 113 /** Ctor from representation, for internal use only. */
 114 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
 115     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c), m(m2)
 116 {
 117     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned,exvector",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 118 }
 119
 120 //////////
 121 // archiving
 122 //////////
 123
 124 /** Construct object from archive_node. */
 125 matrix::matrix(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 126 {
 127     debugmsg("matrix constructor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 128     if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
 129         throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
 130     m.reserve(row * col);
 131     for (unsigned int i=0; true; i++) {
 132         ex e;
 133         if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
 134             m.push_back(e);
 135         else
 136             break;
 137     }
 138 }
 139
 140 /** Unarchive the object. */
 141 ex matrix::unarchive(const archive_node &n, const lst &sym_lst)
 142 {
 143     return (new matrix(n, sym_lst))->setflag(status_flags::dynallocated);
 144 }
 145
 146 /** Archive the object. */
 147 void matrix::archive(archive_node &n) const
 148 {
 149     inherited::archive(n);
 150     n.add_unsigned("row", row);
 151     n.add_unsigned("col", col);
 152     exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
 153     while (i != iend) {
 154         n.add_ex("m", *i);
 155         i++;
 156     }
 157 }
 158
 159 //////////
 160 // functions overriding virtual functions from bases classes
 161 //////////
 162
 163 // public
 164
 165 basic * matrix::duplicate() const
 166 {
 167     debugmsg("matrix duplicate",LOGLEVEL_DUPLICATE);
 168     return new matrix(*this);
 169 }
 170
 171 void matrix::print(ostream & os, unsigned upper_precedence) const
 172 {
 173     debugmsg("matrix print",LOGLEVEL_PRINT);
 174     os << "[[ ";
 175     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 176         os << "[[";
 177         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 178             os << m[r*col+c] << ",";
 179         }
 180         os << m[col*(r+1)-1] << "]], ";
 181     }
 182     os << "[[";
 183     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 184         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 185     }
 186     os << m[row*col-1] << "]] ]]";
 187 }
 188
 189 void matrix::printraw(ostream & os) const
 190 {
 191     debugmsg("matrix printraw",LOGLEVEL_PRINT);
 192     os << "matrix(" << row << "," << col <<",";
 193     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 194         os << "(";
 195         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 196             os << m[r*col+c] << ",";
 197         }
 198         os << m[col*(r-1)-1] << "),";
 199     }
 200     os << "(";
 201     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 202         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 203     }
 204     os << m[row*col-1] << "))";
 205 }
 206
 207 /** nops is defined to be rows x columns. */
 208 unsigned matrix::nops() const
 209 {
 210     return row*col;
 211 }
 212
 213 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 214 ex matrix::op(int i) const
 215 {
 216     return m[i];
 217 }
 218
 219 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 220 ex & matrix::let_op(int i)
 221 {
 222     return m[i];
 223 }
 224
 225 /** expands the elements of a matrix entry by entry. */
 226 ex matrix::expand(unsigned options) const
 227 {
 228     exvector tmp(row*col);
 229     for (unsigned i=0; i<row*col; ++i) {
 230         tmp[i]=m[i].expand(options);
 231     }
 232     return matrix(row, col, tmp);
 233 }
 234
 235 /** Search ocurrences.  A matrix 'has' an expression if it is the expression
 236  *  itself or one of the elements 'has' it. */
 237 bool matrix::has(const ex & other) const
 238 {
 239     GINAC_ASSERT(other.bp!=0);
 240
 241     // tautology: it is the expression itself
 242     if (is_equal(*other.bp)) return true;
 243
 244     // search all the elements
 245     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 246         if ((*r).has(other)) return true;
 247     }
 248     return false;
 249 }
 250
 251 /** evaluate matrix entry by entry. */
 252 ex matrix::eval(int level) const
 253 {
 254     debugmsg("matrix eval",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 255
 256     // check if we have to do anything at all
 257     if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
 258         return *this;
 259
 260     // emergency break
 261     if (level == -max_recursion_level)
 262         throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
 263
 264     // eval() entry by entry
 265     exvector m2(row*col);
 266     --level;
 267     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 268         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 269             m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
 270         }
 271     }
 272
 273     return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
 274                                                status_flags::evaluated );
 275 }
 276
 277 /** evaluate matrix numerically entry by entry. */
 278 ex matrix::evalf(int level) const
 279 {
 280     debugmsg("matrix evalf",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 281
 282     // check if we have to do anything at all
 283     if (level==1)
 284         return *this;
 285
 286     // emergency break
 287     if (level == -max_recursion_level) {
 288         throw (std::runtime_error("matrix::evalf(): recursion limit exceeded"));
 289     }
 290
 291     // evalf() entry by entry
 292     exvector m2(row*col);
 293     --level;
 294     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 295         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 296             m2[r*col+c] = m[r*col+c].evalf(level);
 297         }
 298     }
 299     return matrix(row, col, m2);
 300 }
 301
 302 // protected
 303
 304 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
 305 {
 306     GINAC_ASSERT(is_exactly_of_type(other, matrix));
 307     const matrix & o = static_cast<matrix &>(const_cast<basic &>(other));
 308
 309     // compare number of rows
 310     if (row != o.rows())
 311         return row < o.rows() ? -1 : 1;
 312
 313     // compare number of columns
 314     if (col != o.cols())
 315         return col < o.cols() ? -1 : 1;
 316
 317     // equal number of rows and columns, compare individual elements
 318     int cmpval;
 319     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 320         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 321             cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
 322             if (cmpval!=0) return cmpval;
 323         }
 324     }
 325     // all elements are equal => matrices are equal;
 326     return 0;
 327 }
 328
 329 //////////
 330 // non-virtual functions in this class
 331 //////////
 332
 333 // public
 334
 335 /** Sum of matrices.
 336  *
 337  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 338 matrix matrix::add(const matrix & other) const
 339 {
 340     if (col != other.col || row != other.row)
 341         throw (std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices"));
 342
 343     exvector sum(this->m);
 344     exvector::iterator i;
 345     exvector::const_iterator ci;
 346     for (i=sum.begin(), ci=other.m.begin();
 347          i!=sum.end();
 348          ++i, ++ci) {
 349         (*i) += (*ci);
 350     }
 351     return matrix(row,col,sum);
 352 }
 353
 354
 355 /** Difference of matrices.
 356  *
 357  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 358 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
 359 {
 360     if (col != other.col || row != other.row)
 361         throw (std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices"));
 362
 363     exvector dif(this->m);
 364     exvector::iterator i;
 365     exvector::const_iterator ci;
 366     for (i=dif.begin(), ci=other.m.begin();
 367          i!=dif.end();
 368          ++i, ++ci) {
 369         (*i) -= (*ci);
 370     }
 371     return matrix(row,col,dif);
 372 }
 373
 374
 375 /** Product of matrices.
 376  *
 377  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 378 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
 379 {
 380     if (col != other.row)
 381         throw (std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices"));
 382
 383     exvector prod(row*other.col);
 384
 385     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 386         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 387             if (m[r1*col+c].is_zero())
 388                 continue;
 389             for (unsigned r2=0; r2<other.col; ++r2)
 390                 prod[r1*other.col+r2] += m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2];
 391         }
 392     }
 393     return matrix(row, other.col, prod);
 394 }
 395
 396
 397 /** operator() to access elements.
 398  *
 399  *  @param ro row of element
 400  *  @param co column of element
 401  *  @exception range_error (index out of range) */
 402 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
 403 {
 404     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 405         throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 406
 407     return m[ro*col+co];
 408 }
 409
 410
 411 /** Set individual elements manually.
 412  *
 413  *  @exception range_error (index out of range) */
 414 matrix & matrix::set(unsigned ro, unsigned co, ex value)
 415 {
 416     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 417         throw (std::range_error("matrix::set(): index out of range"));
 418
 419     ensure_if_modifiable();
 420     m[ro*col+co] = value;
 421     return *this;
 422 }
 423
 424
 425 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
 426  *  represents the transposed. */
 427 matrix matrix::transpose(void) const
 428 {
 429     exvector trans(col*row);
 430
 431     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 432         for (unsigned c=0; c<row; ++c)
 433             trans[r*row+c] = m[c*col+r];
 434
 435     return matrix(col,row,trans);
 436 }
 437
 438
 439 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
 440  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
 441  *  call.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
 442  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
 443  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
 444  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
 445  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
 446  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
 447  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
 448  *
 449  *  @return    the determinant as a new expression
 450  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 451 ex matrix::determinant(void) const
 452 {
 453     if (row!=col)
 454         throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
 455     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 456     if (this->row==1)  // continuation would be pointless
 457         return m[0];
 458
 459     bool numeric_flag = true;
 460     bool normal_flag = false;
 461     unsigned sparse_count = 0;  // count non-zero elements
 462     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 463         if (!(*r).is_zero()) {
 464             ++sparse_count;
 465         }
 466         if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
 467             numeric_flag = false;
 468         }
 469         if ((*r).info(info_flags::rational_function) &&
 470             !(*r).info(info_flags::crational_polynomial)) {
 471             normal_flag = true;
 472         }
 473     }
 474
 475     if (numeric_flag)  // purely numeric matrix
 476         return determinant_numeric();
 477
 478     // Does anybody really know when a matrix is sparse?
 479     if (4*sparse_count<row*col) {  // < row/2 nonzero elements average in a row
 480         return determinant_bareiss(normal_flag);
 481     }
 482
 483     // Now come the minor expansion schemes.  We always develop such that the
 484     // smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the rightmost column.
 485     // For this to be efficient it turns out that the emptiest columns (i.e.
 486     // the ones with most zeros) should be the ones on the right hand side.
 487     // Therefore we presort the columns of the matrix:
 488     typedef pair<unsigned,unsigned> uintpair;  // # of zeros, column
 489     vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
 490     for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 491         unsigned acc = 0;
 492         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 493             if (m[r*col+c].is_zero())
 494                 ++acc;
 495         c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
 496     }
 497     sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
 498     vector<unsigned> pre_sort;  // unfortunately vector<uintpair> can't be used
 499                                 // for permutation_sign.
 500     for (vector<uintpair>::iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
 501         pre_sort.push_back(i->second);
 502     int sign = permutation_sign(pre_sort);
 503     exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
 504     unsigned c = 0;
 505     for (vector<unsigned>::iterator i=pre_sort.begin();
 506          i!=pre_sort.end();
 507          ++i,++c) {
 508         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 509             result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
 510     }
 511
 512     if (normal_flag)
 513         return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor().normal();
 514     return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
 515 }
 516
 517
 518 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
 519  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
 520  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
 521  *
 522  *  @return    the sum of diagonal elements
 523  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 524 ex matrix::trace(void) const
 525 {
 526     if (row != col)
 527         throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
 528     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 529
 530     ex tr;
 531     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 532         tr += m[r*col+r];
 533
 534     if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
 535         !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
 536         return tr.normal();
 537     else
 538         return tr.expand();
 539 }
 540
 541
 542 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
 543  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
 544  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
 545  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
 546  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
 547  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
 548  *  new expression.
 549  *
 550  *  @return    characteristic polynomial as new expression
 551  *  @exception logic_error (matrix not square)
 552  *  @see       matrix::determinant() */
 553 ex matrix::charpoly(const symbol & lambda) const
 554 {
 555     if (row != col)
 556         throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
 557
 558     bool numeric_flag = true;
 559     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 560         if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
 561             numeric_flag = false;
 562         }
 563     }
 564
 565     // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
 566     // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
 567     // every coefficient.  The expensive section is the matrix multiplication.
 568     if (numeric_flag) {
 569         matrix B(*this);
 570         ex c = B.trace();
 571         ex poly = power(lambda,row)-c*power(lambda,row-1);
 572         for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
 573             for (unsigned j=0; j<row; ++j)
 574                 B.m[j*col+j] -= c;
 575             B = this->mul(B);
 576             c = B.trace()/ex(i+1);
 577             poly -= c*power(lambda,row-i-1);
 578         }
 579         if (row%2)
 580             return -poly;
 581         else
 582             return poly;
 583     }
 584
 585     matrix M(*this);
 586     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 587         M.m[r*col+r] -= lambda;
 588
 589     return M.determinant().collect(lambda);
 590 }
 591
 592
 593 /** Inverse of this matrix.
 594  *
 595  *  @return    the inverted matrix
 596  *  @exception logic_error (matrix not square)
 597  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 598 matrix matrix::inverse(void) const
 599 {
 600     if (row != col)
 601         throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
 602
 603     matrix tmp(row,col);
 604     // set tmp to the unit matrix
 605     for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 606         tmp.m[i*col+i] = _ex1();
 607
 608     // create a copy of this matrix
 609     matrix cpy(*this);
 610     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 611         int indx = cpy.pivot(r1);
 612         if (indx == -1) {
 613             throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
 614         }
 615         if (indx != 0) {  // swap rows r and indx of matrix tmp
 616             for (unsigned i=0; i<col; ++i) {
 617                 tmp.m[r1*col+i].swap(tmp.m[indx*col+i]);
 618             }
 619         }
 620         ex a1 = cpy.m[r1*col+r1];
 621         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 622             cpy.m[r1*col+c] /= a1;
 623             tmp.m[r1*col+c] /= a1;
 624         }
 625         for (unsigned r2=0; r2<row; ++r2) {
 626             if (r2 != r1) {
 627                 ex a2 = cpy.m[r2*col+r1];
 628                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 629                     cpy.m[r2*col+c] -= a2 * cpy.m[r1*col+c];
 630                     tmp.m[r2*col+c] -= a2 * tmp.m[r1*col+c];
 631                 }
 632             }
 633         }
 634     }
 635     return tmp;
 636 }
 637
 638
 639 // superfluous helper function
 640 void matrix::ffe_swap(unsigned r1, unsigned c1, unsigned r2 ,unsigned c2)
 641 {
 642     ensure_if_modifiable();
 643
 644     ex tmp = ffe_get(r1,c1);
 645     ffe_set(r1,c1,ffe_get(r2,c2));
 646     ffe_set(r2,c2,tmp);
 647 }
 648
 649 // superfluous helper function
 650 void matrix::ffe_set(unsigned r, unsigned c, ex e)
 651 {
 652     set(r-1,c-1,e);
 653 }
 654
 655 // superfluous helper function
 656 ex matrix::ffe_get(unsigned r, unsigned c) const
 657 {
 658     return operator()(r-1,c-1);
 659 }
 660
 661 /** Solve a set of equations for an m x n matrix by fraction-free Gaussian
 662  *  elimination.  Based on algorithm 9.1 from 'Algorithms for Computer Algebra'
 663  *  by Keith O. Geddes et al.
 664  *
 665  *  @param vars n x p matrix
 666  *  @param rhs m x p matrix
 667  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 668  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 669 matrix matrix::fraction_free_elim(const matrix & vars,
 670                                   const matrix & rhs) const
 671 {
 672     // FIXME: use implementation of matrix::fraction_free_elim
 673     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 674         throw (std::logic_error("matrix::fraction_free_elim(): incompatible matrices"));
 675
 676     matrix a(*this);  // make a copy of the matrix
 677     matrix b(rhs);    // make a copy of the rhs vector
 678
 679     // given an m x n matrix a, reduce it to upper echelon form
 680     unsigned m = a.row;
 681     unsigned n = a.col;
 682     int sign = 1;
 683     ex divisor = 1;
 684     unsigned r = 1;
 685
 686     // eliminate below row r, with pivot in column k
 687     for (unsigned k=1; (k<=n)&&(r<=m); ++k) {
 688         // find a nonzero pivot
 689         unsigned p;
 690         for (p=r; (p<=m)&&(a.ffe_get(p,k).is_equal(_ex0())); ++p) {}
 691         // pivot is in row p
 692         if (p<=m) {
 693             if (p!=r) {
 694                 // switch rows p and r
 695                 for (unsigned j=k; j<=n; ++j)
 696                     a.ffe_swap(p,j,r,j);
 697                 b.ffe_swap(p,1,r,1);
 698                 // keep track of sign changes due to row exchange
 699                 sign = -sign;
 700             }
 701             for (unsigned i=r+1; i<=m; ++i) {
 702                 for (unsigned j=k+1; j<=n; ++j) {
 703                     a.ffe_set(i,j,(a.ffe_get(r,k)*a.ffe_get(i,j)
 704                                   -a.ffe_get(r,j)*a.ffe_get(i,k))/divisor);
 705                     a.ffe_set(i,j,a.ffe_get(i,j).normal() /*.normal() */ );
 706                 }
 707                 b.ffe_set(i,1,(a.ffe_get(r,k)*b.ffe_get(i,1)
 708                               -b.ffe_get(r,1)*a.ffe_get(i,k))/divisor);
 709                 b.ffe_set(i,1,b.ffe_get(i,1).normal() /*.normal() */ );
 710                 a.ffe_set(i,k,0);
 711             }
 712             divisor = a.ffe_get(r,k);
 713             r++;
 714         }
 715     }
 716     // optionally compute the determinant for square or augmented matrices
 717     // if (r==m+1) { det = sign*divisor; } else { det = 0; }
 718
 719     /*
 720     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 721         for (unsigned c=1; c<=n; ++c) {
 722             cout << a.ffe_get(r,c) << "\t";
 723         }
 724         cout << " | " <<  b.ffe_get(r,1) << endl;
 725     }
 726     */
 727
 728 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 729     // test if we really have an upper echelon matrix
 730     int zero_in_last_row = -1;
 731     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 732         int zero_in_this_row=0;
 733         for (unsigned c=1; c<=n; ++c) {
 734             if (a.ffe_get(r,c).is_equal(_ex0()))
 735                zero_in_this_row++;
 736             else
 737                 break;
 738         }
 739         GINAC_ASSERT((zero_in_this_row>zero_in_last_row)||(zero_in_this_row=n));
 740         zero_in_last_row = zero_in_this_row;
 741     }
 742 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 743
 744     /*
 745     cout << "after" << endl;
 746     cout << "a=" << a << endl;
 747     cout << "b=" << b << endl;
 748     */
 749
 750     // assemble solution
 751     matrix sol(n,1);
 752     unsigned last_assigned_sol = n+1;
 753     for (unsigned r=m; r>0; --r) {
 754         unsigned first_non_zero = 1;
 755         while ((first_non_zero<=n)&&(a.ffe_get(r,first_non_zero).is_zero()))
 756             first_non_zero++;
 757         if (first_non_zero>n) {
 758             // row consists only of zeroes, corresponding rhs must be 0 as well
 759             if (!b.ffe_get(r,1).is_zero()) {
 760                 throw (std::runtime_error("matrix::fraction_free_elim(): singular matrix"));
 761             }
 762         } else {
 763             // assign solutions for vars between first_non_zero+1 and
 764             // last_assigned_sol-1: free parameters
 765             for (unsigned c=first_non_zero+1; c<=last_assigned_sol-1; ++c) {
 766                 sol.ffe_set(c,1,vars.ffe_get(c,1));
 767             }
 768             ex e = b.ffe_get(r,1);
 769             for (unsigned c=first_non_zero+1; c<=n; ++c) {
 770                 e=e-a.ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 771             }
 772             sol.ffe_set(first_non_zero,1,
 773                         (e/a.ffe_get(r,first_non_zero)).normal());
 774             last_assigned_sol = first_non_zero;
 775         }
 776     }
 777     // assign solutions for vars between 1 and
 778     // last_assigned_sol-1: free parameters
 779     for (unsigned c=1; c<=last_assigned_sol-1; ++c)
 780         sol.ffe_set(c,1,vars.ffe_get(c,1));
 781
 782 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 783     // test solution with echelon matrix
 784     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 785         ex e = 0;
 786         for (unsigned c=1; c<=n; ++c)
 787             e = e+a.ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 788         if (!(e-b.ffe_get(r,1)).normal().is_zero()) {
 789             cout << "e=" << e;
 790             cout << "b.ffe_get(" << r<<",1)=" << b.ffe_get(r,1) << endl;
 791             cout << "diff=" << (e-b.ffe_get(r,1)).normal() << endl;
 792         }
 793         GINAC_ASSERT((e-b.ffe_get(r,1)).normal().is_zero());
 794     }
 795
 796     // test solution with original matrix
 797     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 798         ex e = 0;
 799         for (unsigned c=1; c<=n; ++c)
 800             e = e+ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 801         try {
 802             if (!(e-rhs.ffe_get(r,1)).normal().is_zero()) {
 803                 cout << "e=" << e << endl;
 804                 e.printtree(cout);
 805                 ex en = e.normal();
 806                 cout << "e.normal()=" << en << endl;
 807                 en.printtree(cout);
 808                 cout << "rhs.ffe_get(" << r<<",1)=" << rhs.ffe_get(r,1) << endl;
 809                 cout << "diff=" << (e-rhs.ffe_get(r,1)).normal() << endl;
 810             }
 811         } catch (...) {
 812             ex xxx = e - rhs.ffe_get(r,1);
 813             cerr << "xxx=" << xxx << endl << endl;
 814         }
 815         GINAC_ASSERT((e-rhs.ffe_get(r,1)).normal().is_zero());
 816     }
 817 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 818
 819     return sol;
 820 }
 821
 822 /** Solve a set of equations for an m x n matrix.
 823  *
 824  *  @param vars n x p matrix
 825  *  @param rhs m x p matrix
 826  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 827  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 828 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
 829                      const matrix & rhs) const
 830 {
 831     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 832         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 833
 834     throw (std::runtime_error("FIXME: need implementation."));
 835 }
 836
 837 /** Old and obsolete interface: */
 838 matrix matrix::old_solve(const matrix & v) const
 839 {
 840     if ((v.row != col) || (col != v.row))
 841         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 842
 843     // build the augmented matrix of *this with v attached to the right
 844     matrix tmp(row,col+v.col);
 845     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 846         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 847             tmp.m[r*tmp.col+c] = this->m[r*col+c];
 848         for (unsigned c=0; c<v.col; ++c)
 849             tmp.m[r*tmp.col+c+col] = v.m[r*v.col+c];
 850     }
 851     // cout << "augmented: " << tmp << endl;
 852     tmp.gauss_elimination();
 853     // cout << "degaussed: " << tmp << endl;
 854     // assemble the solution matrix
 855     exvector sol(v.row*v.col);
 856     for (unsigned c=0; c<v.col; ++c) {
 857         for (unsigned r=row; r>0; --r) {
 858             for (unsigned i=r; i<col; ++i)
 859                 sol[(r-1)*v.col+c] -= tmp.m[(r-1)*tmp.col+i]*sol[i*v.col+c];
 860             sol[(r-1)*v.col+c] += tmp.m[(r-1)*tmp.col+col+c];
 861             sol[(r-1)*v.col+c] = (sol[(r-1)*v.col+c]/tmp.m[(r-1)*tmp.col+(r-1)]).normal();
 862         }
 863     }
 864     return matrix(v.row, v.col, sol);
 865 }
 866
 867
 868 // protected
 869
 870 /** Determinant of purely numeric matrix, using pivoting.
 871  *
 872  *  @see       matrix::determinant() */
 873 ex matrix::determinant_numeric(void) const
 874 {
 875     matrix tmp(*this);
 876     ex det = _ex1();
 877     ex piv;
 878
 879     // standard Gauss method:
 880     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 881         int indx = tmp.pivot(r1);
 882         if (indx == -1)
 883             return _ex0();
 884         if (indx != 0)
 885             det *= _ex_1();
 886         det = det * tmp.m[r1*col+r1];
 887         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
 888             piv = tmp.m[r2*col+r1] / tmp.m[r1*col+r1];
 889             for (unsigned c=r1+1; c<col; c++) {
 890                 tmp.m[r2*col+c] -= piv * tmp.m[r1*col+c];
 891             }
 892         }
 893     }
 894
 895     return det;
 896 }
 897
 898
 899 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
 900  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
 901  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
 902  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
 903  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
 904  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
 905  *  matrix' dimesion is larger than 7.
 906  *
 907  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
 908  *  @see matrix::determinant() */
 909 ex matrix::determinant_minor(void) const
 910 {
 911     // for small matrices the algorithm does not make any sense:
 912     if (this->row==1)
 913         return m[0];
 914     if (this->row==2)
 915         return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
 916     if (this->row==3)
 917         return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
 918                 m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
 919                 m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
 920
 921     // This algorithm can best be understood by looking at a naive
 922     // implementation of Laplace-expansion, like this one:
 923     // ex det;
 924     // matrix minorM(this->row-1,this->col-1);
 925     // for (unsigned r1=0; r1<this->row; ++r1) {
 926     //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
 927     //     if (m[r1*col].is_zero())
 928     //         continue;
 929     //     // assemble the minor matrix
 930     //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
 931     //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
 932     //             if (r<r1)
 933     //                 minorM.set(r,c,m[r*col+c+1]);
 934     //             else
 935     //                 minorM.set(r,c,m[(r+1)*col+c+1]);
 936     //         }
 937     //     }
 938     //     // recurse down and care for sign:
 939     //     if (r1%2)
 940     //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 941     //     else
 942     //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 943     // }
 944     // return det.expand();
 945     // What happens is that while proceeding down many of the minors are
 946     // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
 947     // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
 948     // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
 949     // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
 950     // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most
 951     // 2*binomial(n,n/2) minors.
 952
 953     // Unique flipper counter for partitioning into minors
 954     vector<unsigned> Pkey;
 955     Pkey.reserve(this->col);
 956     // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
 957     vector<unsigned> Mkey;
 958     Mkey.reserve(this->col-1);
 959     // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
 960     typedef map<vector<unsigned>,class ex> Rmap;
 961     typedef map<vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
 962     Rmap A;
 963     Rmap B;
 964     ex det;
 965     // initialize A with last column:
 966     for (unsigned r=0; r<this->col; ++r) {
 967         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
 968         Pkey.push_back(r);
 969         A.insert(Rmap_value(Pkey,m[this->col*r+this->col-1]));
 970     }
 971     // proceed from right to left through matrix
 972     for (int c=this->col-2; c>=0; --c) {
 973         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
 974         Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 975         for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 976             Pkey.push_back(i);
 977         unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
 978         do {
 979             det = _ex0();
 980             for (unsigned r=0; r<this->col-c; ++r) {
 981                 // maybe there is nothing to do?
 982                 if (m[Pkey[r]*this->col+c].is_zero())
 983                     continue;
 984                 // create the sorted key for all possible minors
 985                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 986                 for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 987                     if (i!=r)
 988                         Mkey.push_back(Pkey[i]);
 989                 // Fetch the minors and compute the new determinant
 990                 if (r%2)
 991                     det -= m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 992                 else
 993                     det += m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 994             }
 995             // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
 996             det = det.expand();
 997             // store the new determinant at its place in B:
 998             if (!det.is_zero())
 999                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
1000             // increment our strange flipper counter
1001             for (fc=this->col-c; fc>0; --fc) {
1002                 ++Pkey[fc-1];
1003                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
1004                     break;
1005             }
1006             if (fc<this->col-c)
1007                 for (unsigned j=fc; j<this->col-c; ++j)
1008                     Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
1009         } while(fc);
1010         // next column, so change the role of A and B:
1011         A = B;
1012         B.clear();
1013     }
1014
1015     return det;
1016 }
1017
1018 /** Helper function to divide rational functions, as needed in any Bareiss
1019  *  elimination scheme over a quotient field.
1020  *
1021  *  @see divide() */
1022 bool rat_divide(const ex & a, const ex & b, ex & q, bool check_args = true)
1023 {
1024     q = _ex0();
1025     if (b.is_zero())
1026         throw(std::overflow_error("rat_divide(): division by zero"));
1027     if (a.is_zero())
1028         return true;
1029     if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
1030         q = a / b;
1031         return true;
1032     } else if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric))
1033         return false;
1034     ex a_n = a.numer();
1035     ex a_d = a.denom();
1036     ex b_n = b.numer();
1037     ex b_d = b.denom();
1038     ex n;  // new numerator
1039     ex d;  // new denominator
1040     bool check = true;
1041     check &= divide(a_n, b_n, n, check_args);
1042     check &= divide(a_d, b_d, d, check_args);
1043     q = n/d;
1044     return check;
1045 }
1046
1047
1048 /** Determinant computed by using fraction free elimination.  This
1049  *  routine is only called internally by matrix::determinant().
1050  *
1051  *  @param normalize may be set to false only in integral domains. */
1052 ex matrix::determinant_bareiss(bool normalize) const
1053 {
1054     if (rows()==1)
1055         return m[0];
1056
1057     int sign = 1;
1058     ex divisor = 1;
1059     ex dividend;
1060
1061     // we populate a tmp matrix to subsequently operate on, it should
1062     // be normalized even though this algorithm doesn't need GCDs since
1063     // the elements of *this might be unnormalized, which complicates
1064     // things:
1065     matrix tmp(*this);
1066     exvector::const_iterator i = m.begin();
1067     exvector::iterator ti = tmp.m.begin();
1068     for (; i!= m.end(); ++i, ++ti) {
1069         if (normalize)
1070             (*ti) = (*i).normal();
1071         else
1072             (*ti) = (*i);
1073     }
1074
1075     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1076         int indx = tmp.pivot(r1);
1077         if (indx==-1)
1078             return _ex0();
1079         if (indx>0)
1080             sign = -sign;
1081         if (r1>0) {
1082             divisor = tmp.m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1083             // delete the elements we don't need anymore:
1084             for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1085                 tmp.m[(r1-1)*col+c] = _ex0();
1086         }
1087         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1088             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c) {
1089                 lst srl;  // symbol replacement list for .to_rational()
1090                 dividend = (tmp.m[r1*tmp.col+r1]*tmp.m[r2*tmp.col+c]
1091                            -tmp.m[r2*tmp.col+r1]*tmp.m[r1*tmp.col+c]).expand();
1092                 if (normalize) {
1093 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1094                     GINAC_ASSERT(rat_divide(dividend.to_rational(srl),
1095                                             divisor.to_rational(srl),
1096                                             tmp.m[r2*tmp.col+c],true));
1097 #else
1098                     rat_divide(dividend.to_rational(srl),
1099                                divisor.to_rational(srl),
1100                                tmp.m[r2*tmp.col+c],false);
1101 #endif
1102                 }
1103                 else {
1104 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1105                     GINAC_ASSERT(divide(dividend.to_rational(srl),
1106                                         divisor.to_rational(srl),
1107                                         tmp.m[r2*tmp.col+c],true));
1108 #else
1109                     divide(dividend.to_rational(srl),
1110                            divisor.to_rational(srl),
1111                            tmp.m[r2*tmp.col+c],false);
1112 #endif
1113                 }
1114                 tmp.m[r2*tmp.col+c] = tmp.m[r2*tmp.col+c].subs(srl);
1115             }
1116             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1117                 tmp.m[r2*tmp.col+c] = _ex0();
1118         }
1119     }
1120
1121     return sign*tmp.m[tmp.row*tmp.col-1];
1122 }
1123
1124
1125 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the matrix
1126  *  into an upper echelon form.
1127  *
1128  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1129  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1130 int matrix::gauss_elimination(void)
1131 {
1132     int sign = 1;
1133     ensure_if_modifiable();
1134     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1135         int indx = pivot(r1);
1136         if (indx == -1)
1137             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1138         if (indx > 0)
1139             sign = -sign;
1140         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1141             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
1142                 this->m[r2*col+c] -= this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c]/this->m[r1*col+r1];
1143             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1144                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1145         }
1146     }
1147
1148     return sign;
1149 }
1150
1151
1152 /** Perform the steps of division free elimination to bring the matrix
1153  *  into an upper echelon form.
1154  *
1155  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1156  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1157 int matrix::division_free_elimination(void)
1158 {
1159     int sign = 1;
1160     ensure_if_modifiable();
1161     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1162         int indx = pivot(r1);
1163         if (indx==-1)
1164             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1165         if (indx>0)
1166             sign = -sign;
1167         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1168             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
1169                 this->m[r2*col+c] = this->m[r1*col+r1]*this->m[r2*col+c] - this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c];
1170             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1171                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1172         }
1173     }
1174
1175     return sign;
1176 }
1177
1178
1179 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1180  *  the matrix into an upper echelon form.
1181  *
1182  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1183  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1184 int matrix::fraction_free_elimination(void)
1185 {
1186     ensure_if_modifiable();
1187
1188     // first normal all elements:
1189     for (exvector::iterator i=m.begin(); i!=m.end(); ++i)
1190         (*i) = (*i).normal();
1191
1192     // FIXME: this is unfinished, once matrix::determinant_bareiss is
1193     // bulletproof, some code ought to be copy from there to here.
1194     int sign = 1;
1195     ex divisor = 1;
1196     ex dividend;
1197     lst srl;      // symbol replacement list for .to_rational()
1198
1199     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1200         int indx = pivot(r1);
1201         if (indx==-1)
1202             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1203         if (indx>0)
1204             sign = -sign;
1205         if (r1>0)
1206             divisor = this->m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1207         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1208             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c) {
1209                 dividend = (this->m[r1*col+r1]*this->m[r2*col+c]
1210                            -this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c]).expand();
1211 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1212                 GINAC_ASSERT(divide(dividend.to_rational(srl),
1213                                     divisor.to_rational(srl),
1214                                     this->m[r2*col+c]));
1215 #else
1216                 divide(dividend.to_rational(srl),
1217                        divisor.to_rational(srl),
1218                        this->m[r2*col+c]);
1219 #endif // DO_GINAC_ASSERT
1220                 this->m[r2*col+c] = this->m[r2*col+c].subs(srl);
1221             }
1222             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1223                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1224         }
1225     }
1226
1227     return sign;
1228 }
1229
1230
1231 /** Partial pivoting method.
1232  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1233  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1234  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1235  *  with the first non-zero element.
1236  *
1237  *  @param ro is the row to be inspected
1238  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1239  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1240  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1241  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1242  */
1243 int matrix::pivot(unsigned ro, bool symbolic)
1244 {
1245     unsigned k = ro;
1246
1247     if (symbolic) {  // search first non-zero
1248         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1249             if (!m[r*col+ro].is_zero()) {
1250                 k = r;
1251                 break;
1252             }
1253         }
1254     } else {  // search largest
1255         numeric tmp(0);
1256         numeric maxn(-1);
1257         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1258             GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(m[r*col+ro],numeric));
1259             if ((tmp = abs(ex_to_numeric(m[r*col+ro]))) > maxn &&
1260                 !tmp.is_zero()) {
1261                 maxn = tmp;
1262                 k = r;
1263             }
1264         }
1265     }
1266     if (m[k*col+ro].is_zero())
1267         return -1;
1268     if (k!=ro) {  // swap rows
1269         ensure_if_modifiable();
1270         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
1271             m[k*col+c].swap(m[ro*col+c]);
1272         }
1273         return k;
1274     }
1275     return 0;
1276 }
1277
1278 /** Convert list of lists to matrix. */
1279 ex lst_to_matrix(const ex &l)
1280 {
1281         if (!is_ex_of_type(l, lst))
1282                 throw(std::invalid_argument("argument to lst_to_matrix() must be a lst"));
1283
1284         // Find number of rows and columns
1285         unsigned rows = l.nops(), cols = 0, i, j;
1286         for (i=0; i<rows; i++)
1287                 if (l.op(i).nops() > cols)
1288                         cols = l.op(i).nops();
1289
1290         // Allocate and fill matrix
1291         matrix &m = *new matrix(rows, cols);
1292         for (i=0; i<rows; i++)
1293                 for (j=0; j<cols; j++)
1294                         if (l.op(i).nops() > j)
1295                                 m.set(i, j, l.op(i).op(j));
1296                         else
1297                                 m.set(i, j, ex(0));
1298         return m;
1299 }
1300
1301 //////////
1302 // global constants
1303 //////////
1304
1305 const matrix some_matrix;
1306 const type_info & typeid_matrix=typeid(some_matrix);
1307
1308 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1309 } // namespace GiNaC
1310 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC