Bug fix in the routine H_evalf (a minus sign should not be forgotten).
[ginac.git] / ginac / inifcns_nstdsums.cpp
1 /** @file inifcns_nstdsums.cpp
2  *
3  *  Implementation of some special functions that have a representation as nested sums.
4  *
5  *  The functions are:
6  *    classical polylogarithm              Li(n,x)
7  *    multiple polylogarithm               Li(lst{m_1,...,m_k},lst{x_1,...,x_k})
8  *                                         G(lst{a_1,...,a_k},y) or G(lst{a_1,...,a_k},lst{s_1,...,s_k},y)
9  *    Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
10  *    harmonic polylogarithm               H(m,x) or H(lst{m_1,...,m_k},x)
11  *    multiple zeta value                  zeta(m) or zeta(lst{m_1,...,m_k})
12  *    alternating Euler sum                zeta(m,s) or zeta(lst{m_1,...,m_k},lst{s_1,...,s_k})
13  *
14  *  Some remarks:
15  *
16  *    - All formulae used can be looked up in the following publications:
17  *      [Kol] Nielsen's Generalized Polylogarithms, K.S.Kolbig, SIAM J.Math.Anal. 17 (1986), pp. 1232-1258.
18  *      [Cra] Fast Evaluation of Multiple Zeta Sums, R.E.Crandall, Math.Comp. 67 (1998), pp. 1163-1172.
19  *      [ReV] Harmonic Polylogarithms, E.Remiddi, J.A.M.Vermaseren, Int.J.Mod.Phys. A15 (2000), pp. 725-754
20  *      [BBB] Special Values of Multiple Polylogarithms, J.Borwein, D.Bradley, D.Broadhurst, P.Lisonek, Trans.Amer.Math.Soc. 353/3 (2001), pp. 907-941
21  *      [VSW] Numerical evaluation of multiple polylogarithms, J.Vollinga, S.Weinzierl, hep-ph/0410259
22  *
23  *    - The order of parameters and arguments of Li and zeta is defined according to the nested sums
24  *      representation. The parameters for H are understood as in [ReV]. They can be in expanded --- only
25  *      0, 1 and -1 --- or in compactified --- a string with zeros in front of 1 or -1 is written as a single
26  *      number --- notation.
27  *
28  *    - All functions can be numerically evaluated with arguments in the whole complex plane. The parameters
29  *      for Li, zeta and S must be positive integers. If you want to have an alternating Euler sum, you have
30  *      to give the signs of the parameters as a second argument s to zeta(m,s) containing 1 and -1.
31  *
32  *    - The calculation of classical polylogarithms is speeded up by using Bernoulli numbers and 
33  *      look-up tables. S uses look-up tables as well. The zeta function applies the algorithms in
34  *      [Cra] and [BBB] for speed up. Multiple polylogarithms use Hoelder convolution [BBB].
35  *
36  *    - The functions have no means to do a series expansion into nested sums. To do this, you have to convert
37  *      these functions into the appropriate objects from the nestedsums library, do the expansion and convert
38  *      the result back.
39  *
40  *    - Numerical testing of this implementation has been performed by doing a comparison of results
41  *      between this software and the commercial M.......... 4.1. Multiple zeta values have been checked
42  *      by means of evaluations into simple zeta values. Harmonic polylogarithms have been checked by
43  *      comparison to S(n,p,x) for corresponding parameter combinations and by continuity checks
44  *      around |x|=1 along with comparisons to corresponding zeta functions. Multiple polylogarithms were
45  *      checked against H and zeta and by means of shuffle and quasi-shuffle relations.
46  *
47  */
48
49 /*
50  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2021 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
51  *
52  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
53  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
54  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
55  *  (at your option) any later version.
56  *
57  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
58  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
59  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
60  *  GNU General Public License for more details.
61  *
62  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
63  *  along with this program; if not, write to the Free Software
64  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
65  */
66
67 #include "inifcns.h"
68
69 #include "add.h"
70 #include "constant.h"
71 #include "lst.h"
72 #include "mul.h"
73 #include "numeric.h"
74 #include "operators.h"
75 #include "power.h"
76 #include "pseries.h"
77 #include "relational.h"
78 #include "symbol.h"
79 #include "utils.h"
80 #include "wildcard.h"
81
82 #include <cln/cln.h>
83 #include <sstream>
84 #include <stdexcept>
85 #include <vector>
86 #include <cmath>
87
88 namespace GiNaC {
89
90
91 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
92 //
93 // Classical polylogarithm  Li(n,x)
94 //
95 // helper functions
96 //
97 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
98
99
100 // anonymous namespace for helper functions
101 namespace {
102
103
104 // lookup table for factors built from Bernoulli numbers
105 // see fill_Xn()
106 std::vector<std::vector<cln::cl_N>> Xn;
107 // initial size of Xn that should suffice for 32bit machines (must be even)
108 const int xninitsizestep = 26;
109 int xninitsize = xninitsizestep;
110 int xnsize = 0;
111
112
113 // This function calculates the X_n. The X_n are needed for speed up of classical polylogarithms.
114 // With these numbers the polylogs can be calculated as follows:
115 //   Li_p (x)  =  \sum_{n=0}^\infty X_{p-2}(n) u^{n+1}/(n+1)! with  u = -log(1-x)
116 //   X_0(n) = B_n (Bernoulli numbers)
117 //   X_p(n) = \sum_{k=0}^n binomial(n,k) B_{n-k} / (k+1) * X_{p-1}(k)
118 // The calculation of Xn depends on X0 and X{n-1}.
119 // X_0 is special, it holds only the non-zero Bernoulli numbers with index 2 or greater.
120 // This results in a slightly more complicated algorithm for the X_n.
121 // The first index in Xn corresponds to the index of the polylog minus 2.
122 // The second index in Xn corresponds to the index from the actual sum.
123 void fill_Xn(int n)
124 {
125         if (n>1) {
126                 // calculate X_2 and higher (corresponding to Li_4 and higher)
127                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize);
128                 auto it = buf.begin();
129                 cln::cl_N result;
130                 *it = -(cln::expt(cln::cl_I(2),n+1) - 1) / cln::expt(cln::cl_I(2),n+1); // i == 1
131                 it++;
132                 for (int i=2; i<=xninitsize; i++) {
133                         if (i&1) {
134                                 result = 0; // k == 0
135                         } else {
136                                 result = Xn[0][i/2-1]; // k == 0
137                         }
138                         for (int k=1; k<i-1; k++) {
139                                 if ( !(((i-k) & 1) && ((i-k) > 1)) ) {
140                                         result = result + cln::binomial(i,k) * Xn[0][(i-k)/2-1] * Xn[n-1][k-1] / (k+1);
141                                 }
142                         }
143                         result = result - cln::binomial(i,i-1) * Xn[n-1][i-2] / 2 / i; // k == i-1
144                         result = result + Xn[n-1][i-1] / (i+1); // k == i
145                         
146                         *it = result;
147                         it++;
148                 }
149                 Xn.push_back(buf);
150         } else if (n==1) {
151                 // special case to handle the X_0 correct
152                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize);
153                 auto it = buf.begin();
154                 cln::cl_N result;
155                 *it = cln::cl_I(-3)/cln::cl_I(4); // i == 1
156                 it++;
157                 *it = cln::cl_I(17)/cln::cl_I(36); // i == 2
158                 it++;
159                 for (int i=3; i<=xninitsize; i++) {
160                         if (i & 1) {
161                                 result = -Xn[0][(i-3)/2]/2;
162                                 *it = (cln::binomial(i,1)/cln::cl_I(2) + cln::binomial(i,i-1)/cln::cl_I(i))*result;
163                                 it++;
164                         } else {
165                                 result = Xn[0][i/2-1] + Xn[0][i/2-1]/(i+1);
166                                 for (int k=1; k<i/2; k++) {
167                                         result = result + cln::binomial(i,k*2) * Xn[0][k-1] * Xn[0][i/2-k-1] / (k*2+1);
168                                 }
169                                 *it = result;
170                                 it++;
171                         }
172                 }
173                 Xn.push_back(buf);
174         } else {
175                 // calculate X_0
176                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize/2);
177                 auto it = buf.begin();
178                 for (int i=1; i<=xninitsize/2; i++) {
179                         *it = bernoulli(i*2).to_cl_N();
180                         it++;
181                 }
182                 Xn.push_back(buf);
183         }
184
185         xnsize++;
186 }
187
188 // doubles the number of entries in each Xn[]
189 void double_Xn()
190 {
191         const int pos0 = xninitsize / 2;
192         // X_0
193         for (int i=1; i<=xninitsizestep/2; ++i) {
194                 Xn[0].push_back(bernoulli((i+pos0)*2).to_cl_N());
195         }
196         if (Xn.size() > 1) {
197                 int xend = xninitsize + xninitsizestep;
198                 cln::cl_N result;
199                 // X_1
200                 for (int i=xninitsize+1; i<=xend; ++i) {
201                         if (i & 1) {
202                                 result = -Xn[0][(i-3)/2]/2;
203                                 Xn[1].push_back((cln::binomial(i,1)/cln::cl_I(2) + cln::binomial(i,i-1)/cln::cl_I(i))*result);
204                         } else {
205                                 result = Xn[0][i/2-1] + Xn[0][i/2-1]/(i+1);
206                                 for (int k=1; k<i/2; k++) {
207                                         result = result + cln::binomial(i,k*2) * Xn[0][k-1] * Xn[0][i/2-k-1] / (k*2+1);
208                                 }
209                                 Xn[1].push_back(result);
210                         }
211                 }
212                 // X_n
213                 for (size_t n=2; n<Xn.size(); ++n) {
214                         for (int i=xninitsize+1; i<=xend; ++i) {
215                                 if (i & 1) {
216                                         result = 0; // k == 0
217                                 } else {
218                                         result = Xn[0][i/2-1]; // k == 0
219                                 }
220                                 for (int k=1; k<i-1; ++k) {
221                                         if ( !(((i-k) & 1) && ((i-k) > 1)) ) {
222                                                 result = result + cln::binomial(i,k) * Xn[0][(i-k)/2-1] * Xn[n-1][k-1] / (k+1);
223                                         }
224                                 }
225                                 result = result - cln::binomial(i,i-1) * Xn[n-1][i-2] / 2 / i; // k == i-1
226                                 result = result + Xn[n-1][i-1] / (i+1); // k == i
227                                 Xn[n].push_back(result);
228                         }
229                 }
230         }
231         xninitsize += xninitsizestep;
232 }
233
234
235 // calculates Li(2,x) without Xn
236 cln::cl_N Li2_do_sum(const cln::cl_N& x)
237 {
238         cln::cl_N res = x;
239         cln::cl_N resbuf;
240         cln::cl_N num = x * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
241         cln::cl_I den = 1; // n^2 = 1
242         unsigned i = 3;
243         do {
244                 resbuf = res;
245                 num = num * x;
246                 den = den + i;  // n^2 = 4, 9, 16, ...
247                 i += 2;
248                 res = res + num / den;
249         } while (res != resbuf);
250         return res;
251 }
252
253
254 // calculates Li(2,x) with Xn
255 cln::cl_N Li2_do_sum_Xn(const cln::cl_N& x)
256 {
257         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator it = Xn[0].begin();
258         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator xend = Xn[0].end();
259         cln::cl_N u = -cln::log(1-x);
260         cln::cl_N factor = u * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
261         cln::cl_N uu = cln::square(u);
262         cln::cl_N res = u - uu/4;
263         cln::cl_N resbuf;
264         unsigned i = 1;
265         do {
266                 resbuf = res;
267                 factor = factor * uu / (2*i * (2*i+1));
268                 res = res + (*it) * factor;
269                 i++;
270                 if (++it == xend) {
271                         double_Xn();
272                         it = Xn[0].begin() + (i-1);
273                         xend = Xn[0].end();
274                 }
275         } while (res != resbuf);
276         return res;
277 }
278
279
280 // calculates Li(n,x), n>2 without Xn
281 cln::cl_N Lin_do_sum(int n, const cln::cl_N& x)
282 {
283         cln::cl_N factor = x * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
284         cln::cl_N res = x;
285         cln::cl_N resbuf;
286         int i=2;
287         do {
288                 resbuf = res;
289                 factor = factor * x;
290                 res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n);
291                 i++;
292         } while (res != resbuf);
293         return res;
294 }
295
296
297 // calculates Li(n,x), n>2 with Xn
298 cln::cl_N Lin_do_sum_Xn(int n, const cln::cl_N& x)
299 {
300         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator it = Xn[n-2].begin();
301         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator xend = Xn[n-2].end();
302         cln::cl_N u = -cln::log(1-x);
303         cln::cl_N factor = u * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
304         cln::cl_N res = u;
305         cln::cl_N resbuf;
306         unsigned i=2;
307         do {
308                 resbuf = res;
309                 factor = factor * u / i;
310                 res = res + (*it) * factor;
311                 i++;
312                 if (++it == xend) {
313                         double_Xn();
314                         it = Xn[n-2].begin() + (i-2);
315                         xend = Xn[n-2].end();
316                 }
317         } while (res != resbuf);
318         return res;
319 }
320
321
322 // forward declaration needed by function Li_projection and C below
323 const cln::cl_N S_num(int n, int p, const cln::cl_N& x);
324
325
326 // helper function for classical polylog Li
327 cln::cl_N Li_projection(int n, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
328 {
329         // treat n=2 as special case
330         if (n == 2) {
331                 // check if precalculated X0 exists
332                 if (xnsize == 0) {
333                         fill_Xn(0);
334                 }
335
336                 if (cln::realpart(x) < 0.5) {
337                         // choose the faster algorithm
338                         // the switching point was empirically determined. the optimal point
339                         // depends on hardware, Digits, ... so an approx value is okay.
340                         // it solves also the problem with precision due to the u=-log(1-x) transformation
341                         if (cln::abs(x) < 0.25) {
342                                 return Li2_do_sum(x);
343                         } else {
344                                 // Li2_do_sum practically doesn't converge near x == ±I
345                                 return Li2_do_sum_Xn(x);
346                         }
347                 } else {
348                         // choose the faster algorithm
349                         if (cln::abs(cln::realpart(x)) > 0.75) {
350                                 if ( x == 1 ) {
351                                         return cln::zeta(2);
352                                 } else {
353                                         return -Li2_do_sum(1-x) - cln::log(x) * cln::log(1-x) + cln::zeta(2);
354                                 }
355                         } else {
356                                 return -Li2_do_sum_Xn(1-x) - cln::log(x) * cln::log(1-x) + cln::zeta(2);
357                         }
358                 }
359         } else {
360                 // check if precalculated Xn exist
361                 if (n > xnsize+1) {
362                         for (int i=xnsize; i<n-1; i++) {
363                                 fill_Xn(i);
364                         }
365                 }
366
367                 if (cln::realpart(x) < 0.5) {
368                         // choose the faster algorithm
369                         // with n>=12 the "normal" summation always wins against the method with Xn
370                         if ((cln::abs(x) < 0.3) || (n >= 12)) {
371                                 return Lin_do_sum(n, x);
372                         } else {
373                                 // Li2_do_sum practically doesn't converge near x == ±I
374                                 return Lin_do_sum_Xn(n, x);
375                         }
376                 } else {
377                         cln::cl_N result = 0;
378                         if ( x != 1 ) result = -cln::expt(cln::log(x), n-1) * cln::log(1-x) / cln::factorial(n-1);
379                         for (int j=0; j<n-1; j++) {
380                                 result = result + (S_num(n-j-1, 1, 1) - S_num(1, n-j-1, 1-x))
381                                                   * cln::expt(cln::log(x), j) / cln::factorial(j);
382                         }
383                         return result;
384                 }
385         }
386 }
387
388 // helper function for classical polylog Li
389 const cln::cl_N Lin_numeric(const int n, const cln::cl_N& x)
390 {
391         if (n == 1) {
392                 // just a log
393                 return -cln::log(1-x);
394         }
395         if (zerop(x)) {
396                 return 0;
397         }
398         if (x == 1) {
399                 // [Kol] (2.22)
400                 return cln::zeta(n);
401         }
402         else if (x == -1) {
403                 // [Kol] (2.22)
404                 return -(1-cln::expt(cln::cl_I(2),1-n)) * cln::zeta(n);
405         }
406         if (cln::abs(realpart(x)) < 0.4 && cln::abs(cln::abs(x)-1) < 0.01) {
407                 cln::cl_N result = -cln::expt(cln::log(x), n-1) * cln::log(1-x) / cln::factorial(n-1);
408                 for (int j=0; j<n-1; j++) {
409                         result = result + (S_num(n-j-1, 1, 1) - S_num(1, n-j-1, 1-x))
410                                 * cln::expt(cln::log(x), j) / cln::factorial(j);
411                 }
412                 return result;
413         }
414
415         // what is the desired float format?
416         // first guess: default format
417         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
418         const cln::cl_N value = x;
419         // second guess: the argument's format
420         if (!instanceof(realpart(x), cln::cl_RA_ring))
421                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
422         else if (!instanceof(imagpart(x), cln::cl_RA_ring))
423                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
424         
425         // [Kol] (5.15)
426         if (cln::abs(value) > 1) {
427                 cln::cl_N result = -cln::expt(cln::log(-value),n) / cln::factorial(n);
428                 // check if argument is complex. if it is real, the new polylog has to be conjugated.
429                 if (cln::zerop(cln::imagpart(value))) {
430                         if (n & 1) {
431                                 result = result + conjugate(Li_projection(n, cln::recip(value), prec));
432                         }
433                         else {
434                                 result = result - conjugate(Li_projection(n, cln::recip(value), prec));
435                         }
436                 }
437                 else {
438                         if (n & 1) {
439                                 result = result + Li_projection(n, cln::recip(value), prec);
440                         }
441                         else {
442                                 result = result - Li_projection(n, cln::recip(value), prec);
443                         }
444                 }
445                 cln::cl_N add;
446                 for (int j=0; j<n-1; j++) {
447                         add = add + (1+cln::expt(cln::cl_I(-1),n-j)) * (1-cln::expt(cln::cl_I(2),1-n+j))
448                                     * Lin_numeric(n-j,1) * cln::expt(cln::log(-value),j) / cln::factorial(j);
449                 }
450                 result = result - add;
451                 return result;
452         }
453         else {
454                 return Li_projection(n, value, prec);
455         }
456 }
457
458
459 } // end of anonymous namespace
460
461
462 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
463 //
464 // Multiple polylogarithm  Li(n,x)
465 //
466 // helper function
467 //
468 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
469
470
471 // anonymous namespace for helper function
472 namespace {
473
474
475 // performs the actual series summation for multiple polylogarithms
476 cln::cl_N multipleLi_do_sum(const std::vector<int>& s, const std::vector<cln::cl_N>& x)
477 {
478         // ensure all x <> 0.
479         for (const auto & it : x) {
480                 if (it == 0) return cln::cl_float(0, cln::float_format(Digits));
481         }
482
483         const int j = s.size();
484         bool flag_accidental_zero = false;
485
486         std::vector<cln::cl_N> t(j);
487         cln::cl_F one = cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
488
489         cln::cl_N t0buf;
490         int q = 0;
491         do {
492                 t0buf = t[0];
493                 q++;
494                 t[j-1] = t[j-1] + cln::expt(x[j-1], q) / cln::expt(cln::cl_I(q),s[j-1]) * one;
495                 for (int k=j-2; k>=0; k--) {
496                         t[k] = t[k] + t[k+1] * cln::expt(x[k], q+j-1-k) / cln::expt(cln::cl_I(q+j-1-k), s[k]);
497                 }
498                 q++;
499                 t[j-1] = t[j-1] + cln::expt(x[j-1], q) / cln::expt(cln::cl_I(q),s[j-1]) * one;
500                 for (int k=j-2; k>=0; k--) {
501                         flag_accidental_zero = cln::zerop(t[k+1]);
502                         t[k] = t[k] + t[k+1] * cln::expt(x[k], q+j-1-k) / cln::expt(cln::cl_I(q+j-1-k), s[k]);
503                 }
504         } while ( (t[0] != t0buf) || cln::zerop(t[0]) || flag_accidental_zero );
505
506         return t[0];
507 }
508
509
510 // forward declaration for Li_eval()
511 lst convert_parameter_Li_to_H(const lst& m, const lst& x, ex& pf);
512
513
514 // type used by the transformation functions for G
515 typedef std::vector<int> Gparameter;
516
517
518 // G_eval1-function for G transformations
519 ex G_eval1(int a, int scale, const exvector& gsyms)
520 {
521         if (a != 0) {
522                 const ex& scs = gsyms[std::abs(scale)];
523                 const ex& as = gsyms[std::abs(a)];
524                 if (as != scs) {
525                         return -log(1 - scs/as);
526                 } else {
527                         return -zeta(1);
528                 }
529         } else {
530                 return log(gsyms[std::abs(scale)]);
531         }
532 }
533
534
535 // G_eval-function for G transformations
536 ex G_eval(const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
537 {
538         // check for properties of G
539         ex sc = gsyms[std::abs(scale)];
540         lst newa;
541         bool all_zero = true;
542         bool all_ones = true;
543         int count_ones = 0;
544         for (const auto & it : a) {
545                 if (it != 0) {
546                         const ex sym = gsyms[std::abs(it)];
547                         newa.append(sym);
548                         all_zero = false;
549                         if (sym != sc) {
550                                 all_ones = false;
551                         }
552                         if (all_ones) {
553                                 ++count_ones;
554                         }
555                 } else {
556                         all_ones = false;
557                 }
558         }
559
560         // care about divergent G: shuffle to separate divergencies that will be canceled
561         // later on in the transformation
562         if (newa.nops() > 1 && newa.op(0) == sc && !all_ones && a.front()!=0) {
563                 // do shuffle
564                 Gparameter short_a(a.begin()+1, a.end());
565                 ex result = G_eval1(a.front(), scale, gsyms) * G_eval(short_a, scale, gsyms);
566
567                 auto it = short_a.begin();
568                 advance(it, count_ones-1);
569                 for (; it != short_a.end(); ++it) {
570
571                         Gparameter newa(short_a.begin(), it);
572                         newa.push_back(*it);
573                         newa.push_back(a[0]);
574                         newa.insert(newa.end(), it+1, short_a.end());
575                         result -= G_eval(newa, scale, gsyms);
576                 }
577                 return result / count_ones;
578         }
579
580         // G({1,...,1};y) -> G({1};y)^k / k!
581         if (all_ones && a.size() > 1) {
582                 return pow(G_eval1(a.front(),scale, gsyms), count_ones) / factorial(count_ones);
583         }
584
585         // G({0,...,0};y) -> log(y)^k / k!
586         if (all_zero) {
587                 return pow(log(gsyms[std::abs(scale)]), a.size()) / factorial(a.size());
588         }
589
590         // no special cases anymore -> convert it into Li
591         lst m;
592         lst x;
593         ex argbuf = gsyms[std::abs(scale)];
594         ex mval = _ex1;
595         for (const auto & it : a) {
596                 if (it != 0) {
597                         const ex& sym = gsyms[std::abs(it)];
598                         x.append(argbuf / sym);
599                         m.append(mval);
600                         mval = _ex1;
601                         argbuf = sym;
602                 } else {
603                         ++mval;
604                 }
605         }
606         return pow(-1, x.nops()) * Li(m, x);
607 }
608
609 // convert back to standard G-function, keep information on small imaginary parts
610 ex G_eval_to_G(const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
611 {
612         lst z;
613         lst s;
614         for (const auto & it : a) {
615                 if (it != 0) {
616                         z.append(gsyms[std::abs(it)]);
617                         if ( it<0 ) {
618                           s.append(-1);
619                         } else {
620                           s.append(1);
621                         }
622                 } else {
623                         z.append(0);
624                         s.append(1);
625                 }
626         }
627         return G(z,s,gsyms[std::abs(scale)]);
628 }
629
630
631 // converts data for G: pending_integrals -> a
632 Gparameter convert_pending_integrals_G(const Gparameter& pending_integrals)
633 {
634         GINAC_ASSERT(pending_integrals.size() != 1);
635
636         if (pending_integrals.size() > 0) {
637                 // get rid of the first element, which would stand for the new upper limit
638                 Gparameter new_a(pending_integrals.begin()+1, pending_integrals.end());
639                 return new_a;
640         } else {
641                 // just return empty parameter list
642                 Gparameter new_a;
643                 return new_a;
644         }
645 }
646
647
648 // check the parameters a and scale for G and return information about convergence, depth, etc.
649 // convergent     : true if G(a,scale) is convergent
650 // depth          : depth of G(a,scale)
651 // trailing_zeros : number of trailing zeros of a
652 // min_it         : iterator of a pointing on the smallest element in a
653 Gparameter::const_iterator check_parameter_G(const Gparameter& a, int scale,
654                                              bool& convergent, int& depth, int& trailing_zeros, Gparameter::const_iterator& min_it)
655 {
656         convergent = true;
657         depth = 0;
658         trailing_zeros = 0;
659         min_it = a.end();
660         auto lastnonzero = a.end();
661         for (auto it = a.begin(); it != a.end(); ++it) {
662                 if (std::abs(*it) > 0) {
663                         ++depth;
664                         trailing_zeros = 0;
665                         lastnonzero = it;
666                         if (std::abs(*it) < scale) {
667                                 convergent = false;
668                                 if ((min_it == a.end()) || (std::abs(*it) < std::abs(*min_it))) {
669                                         min_it = it;
670                                 }
671                         }
672                 } else {
673                         ++trailing_zeros;
674                 }
675         }
676         if (lastnonzero == a.end())
677                 return a.end();
678         return ++lastnonzero;
679 }
680
681
682 // add scale to pending_integrals if pending_integrals is empty
683 Gparameter prepare_pending_integrals(const Gparameter& pending_integrals, int scale)
684 {
685         GINAC_ASSERT(pending_integrals.size() != 1);
686
687         if (pending_integrals.size() > 0) {
688                 return pending_integrals;
689         } else {
690                 Gparameter new_pending_integrals;
691                 new_pending_integrals.push_back(scale);
692                 return new_pending_integrals;
693         }
694 }
695
696
697 // handles trailing zeroes for an otherwise convergent integral
698 ex trailing_zeros_G(const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
699 {
700         bool convergent;
701         int depth, trailing_zeros;
702         Gparameter::const_iterator last, dummyit;
703         last = check_parameter_G(a, scale, convergent, depth, trailing_zeros, dummyit);
704
705         GINAC_ASSERT(convergent);
706
707         if ((trailing_zeros > 0) && (depth > 0)) {
708                 ex result;
709                 Gparameter new_a(a.begin(), a.end()-1);
710                 result += G_eval1(0, scale, gsyms) * trailing_zeros_G(new_a, scale, gsyms);
711                 for (auto it = a.begin(); it != last; ++it) {
712                         Gparameter new_a(a.begin(), it);
713                         new_a.push_back(0);
714                         new_a.insert(new_a.end(), it, a.end()-1);
715                         result -= trailing_zeros_G(new_a, scale, gsyms);
716                 }
717
718                 return result / trailing_zeros;
719         } else {
720                 return G_eval(a, scale, gsyms);
721         }
722 }
723
724
725 // G transformation [VSW] (57),(58)
726 ex depth_one_trafo_G(const Gparameter& pending_integrals, const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
727 {
728         // pendint = ( y1, b1, ..., br )
729         //       a = ( 0, ..., 0, amin )
730         //   scale = y2
731         //
732         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(0, ..., 0, sr; y2)
733         // where sr replaces amin
734
735         GINAC_ASSERT(a.back() != 0);
736         GINAC_ASSERT(a.size() > 0);
737
738         ex result;
739         Gparameter new_pending_integrals = prepare_pending_integrals(pending_integrals, std::abs(a.back()));
740         const int psize = pending_integrals.size();
741
742         // length == 1
743         // G(sr_{+-}; y2 ) = G(y2_{-+}; sr) - G(0; sr) + ln(-y2_{-+})
744
745         if (a.size() == 1) {
746
747           // ln(-y2_{-+})
748           result += log(gsyms[ex_to<numeric>(scale).to_int()]);
749                 if (a.back() > 0) {
750                         new_pending_integrals.push_back(-scale);
751                         result += I*Pi;
752                 } else {
753                         new_pending_integrals.push_back(scale);
754                         result -= I*Pi;
755                 }
756                 if (psize) {
757                         result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
758                                                    pending_integrals.front(),
759                                                    gsyms);
760                 }
761                 
762                 // G(y2_{-+}; sr)
763                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pending_integrals),
764                                            new_pending_integrals.front(),
765                                            gsyms);
766                 
767                 // G(0; sr)
768                 new_pending_integrals.back() = 0;
769                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pending_integrals),
770                                            new_pending_integrals.front(),
771                                            gsyms);
772
773                 return result;
774         }
775
776         // length > 1
777         // G_m(sr_{+-}; y2) = -zeta_m + int_0^y2 dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
778         //                            - int_0^sr dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
779
780         //term zeta_m
781         result -= zeta(a.size());
782         if (psize) {
783                 result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
784                                            pending_integrals.front(),
785                                            gsyms);
786         }
787         
788         // term int_0^sr dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
789         //    = int_0^sr dt/t G_{m-1}( t_{+-}; y2 )
790         Gparameter new_a(a.begin()+1, a.end());
791         new_pending_integrals.push_back(0);
792         result -= depth_one_trafo_G(new_pending_integrals, new_a, scale, gsyms);
793         
794         // term int_0^y2 dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
795         //    = int_0^y2 dt/t G_{m-1}( t_{+-}; y2 )
796         Gparameter new_pending_integrals_2;
797         new_pending_integrals_2.push_back(scale);
798         new_pending_integrals_2.push_back(0);
799         if (psize) {
800                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
801                                            pending_integrals.front(),
802                                            gsyms)
803                           * depth_one_trafo_G(new_pending_integrals_2, new_a, scale, gsyms);
804         } else {
805                 result += depth_one_trafo_G(new_pending_integrals_2, new_a, scale, gsyms);
806         }
807
808         return result;
809 }
810
811
812 // forward declaration
813 ex shuffle_G(const Gparameter & a0, const Gparameter & a1, const Gparameter & a2,
814              const Gparameter& pendint, const Gparameter& a_old, int scale,
815              const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only);
816
817
818 // G transformation [VSW]
819 ex G_transform(const Gparameter& pendint, const Gparameter& a, int scale,
820                const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only)
821 {
822         // main recursion routine
823         //
824         // pendint = ( y1, b1, ..., br )
825         //       a = ( a1, ..., amin, ..., aw )
826         //   scale = y2
827         //
828         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,sr,...,aw,y2)
829         // where sr replaces amin
830
831         // find smallest alpha, determine depth and trailing zeros, and check for convergence
832         bool convergent;
833         int depth, trailing_zeros;
834         Gparameter::const_iterator min_it;
835         auto firstzero = check_parameter_G(a, scale, convergent, depth, trailing_zeros, min_it);
836         int min_it_pos = distance(a.begin(), min_it);
837
838         // special case: all a's are zero
839         if (depth == 0) {
840                 ex result;
841
842                 if (a.size() == 0) {
843                         result = 1;
844                 } else {
845                         result = G_eval(a, scale, gsyms);
846                 }
847                 if (pendint.size() > 0) {
848                         result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pendint),
849                                                    pendint.front(),
850                                                    gsyms);
851                 } 
852                 return result;
853         }
854
855         // handle trailing zeros
856         if (trailing_zeros > 0) {
857                 ex result;
858                 Gparameter new_a(a.begin(), a.end()-1);
859                 result += G_eval1(0, scale, gsyms) * G_transform(pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
860                 for (auto it = a.begin(); it != firstzero; ++it) {
861                         Gparameter new_a(a.begin(), it);
862                         new_a.push_back(0);
863                         new_a.insert(new_a.end(), it, a.end()-1);
864                         result -= G_transform(pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
865                 }
866                 return result / trailing_zeros;
867         }
868
869         // flag_trailing_zeros_only: in this case we don't have pending integrals
870         if (flag_trailing_zeros_only)
871                 return G_eval_to_G(a, scale, gsyms);
872
873         // convergence case
874         if (convergent) {
875                 if (pendint.size() > 0) {
876                         return G_eval(convert_pending_integrals_G(pendint),
877                                       pendint.front(), gsyms) *
878                                G_eval(a, scale, gsyms);
879                 } else {
880                         return G_eval(a, scale, gsyms);
881                 }
882         }
883
884         // call basic transformation for depth equal one
885         if (depth == 1) {
886                 return depth_one_trafo_G(pendint, a, scale, gsyms);
887         }
888
889         // do recursion
890         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,sr,...,aw,y2)
891         //  =  int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,0,...,aw,y2)
892         //   + int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) int_0^{sr} ds_{r+1} d/ds_{r+1} G(a1,...,s_{r+1},...,aw,y2)
893
894         // smallest element in last place
895         if (min_it + 1 == a.end()) {
896                 do { --min_it; } while (*min_it == 0);
897                 Gparameter empty;
898                 Gparameter a1(a.begin(),min_it+1);
899                 Gparameter a2(min_it+1,a.end());
900
901                 ex result = G_transform(pendint, a2, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only)*
902                             G_transform(empty, a1, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
903
904                 result -= shuffle_G(empty, a1, a2, pendint, a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
905                 return result;
906         }
907
908         Gparameter empty;
909         Gparameter::iterator changeit;
910
911         // first term G(a_1,..,0,...,a_w;a_0)
912         Gparameter new_pendint = prepare_pending_integrals(pendint, a[min_it_pos]);
913         Gparameter new_a = a;
914         new_a[min_it_pos] = 0;
915         ex result = G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
916         if (pendint.size() > 0) {
917                 result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pendint),
918                                            pendint.front(), gsyms);
919         }
920
921         // other terms
922         changeit = new_a.begin() + min_it_pos;
923         changeit = new_a.erase(changeit);
924         if (changeit != new_a.begin()) {
925                 // smallest in the middle
926                 new_pendint.push_back(*changeit);
927                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
928                                            new_pendint.front(), gsyms)*
929                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
930                 int buffer = *changeit;
931                 *changeit = *min_it;
932                 result += G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
933                 *changeit = buffer;
934                 new_pendint.pop_back();
935                 --changeit;
936                 new_pendint.push_back(*changeit);
937                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
938                                            new_pendint.front(), gsyms)*
939                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
940                 *changeit = *min_it;
941                 result -= G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
942         } else {
943                 // smallest at the front
944                 new_pendint.push_back(scale);
945                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
946                                            new_pendint.front(), gsyms)*
947                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
948                 new_pendint.back() =  *changeit;
949                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
950                                            new_pendint.front(), gsyms)*
951                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
952                 *changeit = *min_it;
953                 result += G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
954         }
955         return result;
956 }
957
958
959 // shuffles the two parameter list a1 and a2 and calls G_transform for every term except
960 // for the one that is equal to a_old
961 ex shuffle_G(const Gparameter & a0, const Gparameter & a1, const Gparameter & a2,
962              const Gparameter& pendint, const Gparameter& a_old, int scale,
963              const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only)
964 {
965         if (a1.size()==0 && a2.size()==0) {
966                 // veto the one configuration we don't want
967                 if ( a0 == a_old ) return 0;
968
969                 return G_transform(pendint, a0, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
970         }
971
972         if (a2.size()==0) {
973                 Gparameter empty;
974                 Gparameter aa0 = a0;
975                 aa0.insert(aa0.end(),a1.begin(),a1.end());
976                 return shuffle_G(aa0, empty, empty, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
977         }
978
979         if (a1.size()==0) {
980                 Gparameter empty;
981                 Gparameter aa0 = a0;
982                 aa0.insert(aa0.end(),a2.begin(),a2.end());
983                 return shuffle_G(aa0, empty, empty, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
984         }
985
986         Gparameter a1_removed(a1.begin()+1,a1.end());
987         Gparameter a2_removed(a2.begin()+1,a2.end());
988
989         Gparameter a01 = a0;
990         Gparameter a02 = a0;
991
992         a01.push_back( a1[0] );
993         a02.push_back( a2[0] );
994
995         return shuffle_G(a01, a1_removed, a2, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only)
996              + shuffle_G(a02, a1, a2_removed, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
997 }
998
999 // handles the transformations and the numerical evaluation of G
1000 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1001 static cln::cl_N
1002 G_numeric(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
1003           const cln::cl_N& y);
1004
1005 // do acceleration transformation (hoelder convolution [BBB])
1006 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1007 static cln::cl_N
1008 G_do_hoelder(std::vector<cln::cl_N> x, /* yes, it's passed by value */
1009              const std::vector<int>& s, const cln::cl_N& y)
1010 {
1011         cln::cl_N result;
1012         const std::size_t size = x.size();
1013         for (std::size_t i = 0; i < size; ++i)
1014                 x[i] = x[i]/y;
1015
1016         // 24.03.2021: this block can be outside the loop over r 
1017         cln::cl_RA p(2);
1018         bool adjustp;
1019         do {
1020                 adjustp = false;
1021                 for (std::size_t i = 0; i < size; ++i) {
1022                         // 24.03.2021: replaced (x[i] == cln::cl_RA(1)/p) by (cln::zerop(x[i] - cln::cl_RA(1)/p)
1023                         //             in the case where we compare a float with a rational, CLN behaves differently in the two versions
1024                         if (cln::zerop(x[i] - cln::cl_RA(1)/p) ) {
1025                                 p = p/2 + cln::cl_RA(3)/2;
1026                                 adjustp = true;
1027                                 continue;
1028                         }
1029                 }
1030         } while (adjustp);
1031         cln::cl_RA q = p/(p-1);
1032
1033         for (std::size_t r = 0; r <= size; ++r) {
1034                 cln::cl_N buffer(1 & r ? -1 : 1);
1035                 std::vector<cln::cl_N> qlstx;
1036                 std::vector<int> qlsts;
1037                 for (std::size_t j = r; j >= 1; --j) {
1038                         qlstx.push_back(cln::cl_N(1) - x[j-1]);
1039                         if (imagpart(x[j-1])==0 && realpart(x[j-1]) >= 1) {
1040                                 qlsts.push_back(1);
1041                         } else {
1042                                 qlsts.push_back(-s[j-1]);
1043                         }
1044                 }
1045                 if (qlstx.size() > 0) {
1046                         buffer = buffer*G_numeric(qlstx, qlsts, 1/q);
1047                 }
1048                 std::vector<cln::cl_N> plstx;
1049                 std::vector<int> plsts;
1050                 for (std::size_t j = r+1; j <= size; ++j) {
1051                         plstx.push_back(x[j-1]);
1052                         plsts.push_back(s[j-1]);
1053                 }
1054                 if (plstx.size() > 0) {
1055                         buffer = buffer*G_numeric(plstx, plsts, 1/p);
1056                 }
1057                 result = result + buffer;
1058         }
1059         return result;
1060 }
1061
1062 class less_object_for_cl_N
1063 {
1064 public:
1065         bool operator() (const cln::cl_N & a, const cln::cl_N & b) const
1066         {
1067                 // absolute value?
1068                 if (abs(a) != abs(b))
1069                         return (abs(a) < abs(b)) ? true : false;
1070
1071                 // complex phase?
1072                 if (phase(a) != phase(b))
1073                         return (phase(a) < phase(b)) ? true : false;
1074
1075                 // equal, therefore "less" is not true
1076                 return false;
1077         }
1078 };
1079
1080
1081 // convergence transformation, used for numerical evaluation of G function.
1082 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1083 static cln::cl_N
1084 G_do_trafo(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
1085            const cln::cl_N& y, bool flag_trailing_zeros_only)
1086 {
1087         // sort (|x|<->position) to determine indices
1088         typedef std::multimap<cln::cl_N, std::size_t, less_object_for_cl_N> sortmap_t;
1089         sortmap_t sortmap;
1090         std::size_t size = 0;
1091         for (std::size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
1092                 if (!zerop(x[i])) {
1093                         sortmap.insert(std::make_pair(x[i], i));
1094                         ++size;
1095                 }
1096         }
1097         // include upper limit (scale)
1098         sortmap.insert(std::make_pair(y, x.size()));
1099
1100         // generate missing dummy-symbols
1101         int i = 1;
1102         // holding dummy-symbols for the G/Li transformations
1103         exvector gsyms;
1104         gsyms.push_back(symbol("GSYMS_ERROR"));
1105         cln::cl_N lastentry(0);
1106         for (sortmap_t::const_iterator it = sortmap.begin(); it != sortmap.end(); ++it) {
1107                 if (it != sortmap.begin()) {
1108                         if (it->second < x.size()) {
1109                                 if (x[it->second] == lastentry) {
1110                                         gsyms.push_back(gsyms.back());
1111                                         continue;
1112                                 }
1113                         } else {
1114                                 if (y == lastentry) {
1115                                         gsyms.push_back(gsyms.back());
1116                                         continue;
1117                                 }
1118                         }
1119                 }
1120                 std::ostringstream os;
1121                 os << "a" << i;
1122                 gsyms.push_back(symbol(os.str()));
1123                 ++i;
1124                 if (it->second < x.size()) {
1125                         lastentry = x[it->second];
1126                 } else {
1127                         lastentry = y;
1128                 }
1129         }
1130
1131         // fill position data according to sorted indices and prepare substitution list
1132         Gparameter a(x.size());
1133         exmap subslst;
1134         std::size_t pos = 1;
1135         int scale = pos;
1136         for (sortmap_t::const_iterator it = sortmap.begin(); it != sortmap.end(); ++it) {
1137                 if (it->second < x.size()) {
1138                         if (s[it->second] > 0) {
1139                                 a[it->second] = pos;
1140                         } else {
1141                                 a[it->second] = -int(pos);
1142                         }
1143                         subslst[gsyms[pos]] = numeric(x[it->second]);
1144                 } else {
1145                         scale = pos;
1146                         subslst[gsyms[pos]] = numeric(y);
1147                 }
1148                 ++pos;
1149         }
1150
1151         // do transformation
1152         Gparameter pendint;
1153         ex result = G_transform(pendint, a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
1154         // replace dummy symbols with their values
1155         result = result.expand();
1156         result = result.subs(subslst).evalf();
1157         if (!is_a<numeric>(result))
1158                 throw std::logic_error("G_do_trafo: G_transform returned non-numeric result");
1159         
1160         cln::cl_N ret = ex_to<numeric>(result).to_cl_N();
1161         return ret;
1162 }
1163
1164 // handles the transformations and the numerical evaluation of G
1165 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1166 static cln::cl_N
1167 G_numeric(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
1168           const cln::cl_N& y)
1169 {
1170         // check for convergence and necessary accelerations
1171         bool need_trafo = false;
1172         bool need_hoelder = false;
1173         bool have_trailing_zero = false;
1174         std::size_t depth = 0;
1175         for (auto & xi : x) {
1176                 if (!zerop(xi)) {
1177                         ++depth;
1178                         const cln::cl_N x_y = abs(xi) - y;
1179                         if (instanceof(x_y, cln::cl_R_ring) &&
1180                             realpart(x_y) < cln::least_negative_float(cln::float_format(Digits - 2)))
1181                                 need_trafo = true;
1182
1183                         if (abs(abs(xi/y) - 1) < 0.01)
1184                                 need_hoelder = true;
1185                 }
1186         }
1187         if (zerop(x.back())) {
1188                 have_trailing_zero = true;
1189                 need_trafo = true;
1190         }
1191
1192         if (depth == 1 && x.size() == 2 && !need_trafo)
1193                 return - Li_projection(2, y/x[1], cln::float_format(Digits));
1194         
1195         // do acceleration transformation (hoelder convolution [BBB])
1196         if (need_hoelder && !have_trailing_zero)
1197                 return G_do_hoelder(x, s, y);
1198         
1199         // convergence transformation
1200         if (need_trafo)
1201                 return G_do_trafo(x, s, y, have_trailing_zero);
1202
1203         // do summation
1204         std::vector<cln::cl_N> newx;
1205         newx.reserve(x.size());
1206         std::vector<int> m;
1207         m.reserve(x.size());
1208         int mcount = 1;
1209         int sign = 1;
1210         cln::cl_N factor = y;
1211         for (auto & xi : x) {
1212                 if (zerop(xi)) {
1213                         ++mcount;
1214                 } else {
1215                         newx.push_back(factor/xi);
1216                         factor = xi;
1217                         m.push_back(mcount);
1218                         mcount = 1;
1219                         sign = -sign;
1220                 }
1221         }
1222
1223         return sign*multipleLi_do_sum(m, newx);
1224 }
1225
1226
1227 ex mLi_numeric(const lst& m, const lst& x)
1228 {
1229         // let G_numeric do the transformation
1230         std::vector<cln::cl_N> newx;
1231         newx.reserve(x.nops());
1232         std::vector<int> s;
1233         s.reserve(x.nops());
1234         cln::cl_N factor(1);
1235         for (auto itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1236                 for (int i = 1; i < *itm; ++i) {
1237                         newx.push_back(cln::cl_N(0));
1238                         s.push_back(1);
1239                 }
1240                 const cln::cl_N xi = ex_to<numeric>(*itx).to_cl_N();
1241                 factor = factor/xi;
1242                 newx.push_back(factor);
1243                 if ( !instanceof(factor, cln::cl_R_ring) && imagpart(factor) < 0 ) {
1244                         s.push_back(-1);
1245                 }
1246                 else {
1247                         s.push_back(1);
1248                 }
1249         }
1250         return numeric(cln::cl_N(1 & m.nops() ? - 1 : 1)*G_numeric(newx, s, cln::cl_N(1)));
1251 }
1252
1253
1254 } // end of anonymous namespace
1255
1256
1257 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1258 //
1259 // Generalized multiple polylogarithm  G(x, y) and G(x, s, y)
1260 //
1261 // GiNaC function
1262 //
1263 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1264
1265
1266 static ex G2_evalf(const ex& x_, const ex& y)
1267 {
1268         if ((!y.info(info_flags::numeric)) || (!y.info(info_flags::positive))) {
1269                 return G(x_, y).hold();
1270         }
1271         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst{x_};
1272         if (x.nops() == 0) {
1273                 return _ex1;
1274         }
1275         if (x.op(0) == y) {
1276                 return G(x_, y).hold();
1277         }
1278         std::vector<int> s;
1279         s.reserve(x.nops());
1280         bool all_zero = true;
1281         for (const auto & it : x) {
1282                 if (!it.info(info_flags::numeric)) {
1283                         return G(x_, y).hold();
1284                 }
1285                 if (it != _ex0) {
1286                         all_zero = false;
1287                 }
1288                 if ( !ex_to<numeric>(it).is_real() && ex_to<numeric>(it).imag() < 0 ) {
1289                         s.push_back(-1);
1290                 }
1291                 else {
1292                         s.push_back(1);
1293                 }
1294         }
1295         if (all_zero) {
1296                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1297         }
1298         std::vector<cln::cl_N> xv;
1299         xv.reserve(x.nops());
1300         for (const auto & it : x)
1301                 xv.push_back(ex_to<numeric>(it).to_cl_N());
1302         cln::cl_N result = G_numeric(xv, s, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1303         return numeric(result);
1304 }
1305
1306
1307 static ex G2_eval(const ex& x_, const ex& y)
1308 {
1309         //TODO eval to MZV or H or S or Lin
1310
1311         if ((!y.info(info_flags::numeric)) || (!y.info(info_flags::positive))) {
1312                 return G(x_, y).hold();
1313         }
1314         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst{x_};
1315         if (x.nops() == 0) {
1316                 return _ex1;
1317         }
1318         if (x.op(0) == y) {
1319                 return G(x_, y).hold();
1320         }
1321         std::vector<int> s;
1322         s.reserve(x.nops());
1323         bool all_zero = true;
1324         bool crational = true;
1325         for (const auto & it : x) {
1326                 if (!it.info(info_flags::numeric)) {
1327                         return G(x_, y).hold();
1328                 }
1329                 if (!it.info(info_flags::crational)) {
1330                         crational = false;
1331                 }
1332                 if (it != _ex0) {
1333                         all_zero = false;
1334                 }
1335                 if ( !ex_to<numeric>(it).is_real() && ex_to<numeric>(it).imag() < 0 ) {
1336                         s.push_back(-1);
1337                 }
1338                 else {
1339                         s.push_back(+1);
1340                 }
1341         }
1342         if (all_zero) {
1343                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1344         }
1345         if (!y.info(info_flags::crational)) {
1346                 crational = false;
1347         }
1348         if (crational) {
1349                 return G(x_, y).hold();
1350         }
1351         std::vector<cln::cl_N> xv;
1352         xv.reserve(x.nops());
1353         for (const auto & it : x)
1354                 xv.push_back(ex_to<numeric>(it).to_cl_N());
1355         cln::cl_N result = G_numeric(xv, s, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1356         return numeric(result);
1357 }
1358
1359
1360 // option do_not_evalf_params() removed.
1361 unsigned G2_SERIAL::serial = function::register_new(function_options("G", 2).
1362                                 evalf_func(G2_evalf).
1363                                 eval_func(G2_eval).
1364                                 overloaded(2));
1365 //TODO
1366 //                                derivative_func(G2_deriv).
1367 //                                print_func<print_latex>(G2_print_latex).
1368
1369
1370 static ex G3_evalf(const ex& x_, const ex& s_, const ex& y)
1371 {
1372         if ((!y.info(info_flags::numeric)) || (!y.info(info_flags::positive))) {
1373                 return G(x_, s_, y).hold();
1374         }
1375         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst{x_};
1376         lst s = is_a<lst>(s_) ? ex_to<lst>(s_) : lst{s_};
1377         if (x.nops() != s.nops()) {
1378                 return G(x_, s_, y).hold();
1379         }
1380         if (x.nops() == 0) {
1381                 return _ex1;
1382         }
1383         if (x.op(0) == y) {
1384                 return G(x_, s_, y).hold();
1385         }
1386         std::vector<int> sn;
1387         sn.reserve(s.nops());
1388         bool all_zero = true;
1389         for (auto itx = x.begin(), its = s.begin(); itx != x.end(); ++itx, ++its) {
1390                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1391                         return G(x_, y).hold();
1392                 }
1393                 if (!(*its).info(info_flags::real)) {
1394                         return G(x_, y).hold();
1395                 }
1396                 if (*itx != _ex0) {
1397                         all_zero = false;
1398                 }
1399                 if ( ex_to<numeric>(*itx).is_real() ) {
1400                         if ( ex_to<numeric>(*itx).is_positive() ) {
1401                                 if ( *its >= 0 ) {
1402                                         sn.push_back(1);
1403                                 }
1404                                 else {
1405                                         sn.push_back(-1);
1406                                 }
1407                         } else {
1408                                 sn.push_back(1);
1409                         }
1410                 }
1411                 else {
1412                         if ( ex_to<numeric>(*itx).imag() > 0 ) {
1413                                 sn.push_back(1);
1414                         }
1415                         else {
1416                                 sn.push_back(-1);
1417                         }
1418                 }
1419         }
1420         if (all_zero) {
1421                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1422         }
1423         std::vector<cln::cl_N> xn;
1424         xn.reserve(x.nops());
1425         for (const auto & it : x)
1426                 xn.push_back(ex_to<numeric>(it).to_cl_N());
1427         cln::cl_N result = G_numeric(xn, sn, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1428         return numeric(result);
1429 }
1430
1431
1432 static ex G3_eval(const ex& x_, const ex& s_, const ex& y)
1433 {
1434         //TODO eval to MZV or H or S or Lin
1435
1436         if ((!y.info(info_flags::numeric)) || (!y.info(info_flags::positive))) {
1437                 return G(x_, s_, y).hold();
1438         }
1439         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst{x_};
1440         lst s = is_a<lst>(s_) ? ex_to<lst>(s_) : lst{s_};
1441         if (x.nops() != s.nops()) {
1442                 return G(x_, s_, y).hold();
1443         }
1444         if (x.nops() == 0) {
1445                 return _ex1;
1446         }
1447         if (x.op(0) == y) {
1448                 return G(x_, s_, y).hold();
1449         }
1450         std::vector<int> sn;
1451         sn.reserve(s.nops());
1452         bool all_zero = true;
1453         bool crational = true;
1454         for (auto itx = x.begin(), its = s.begin(); itx != x.end(); ++itx, ++its) {
1455                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1456                         return G(x_, s_, y).hold();
1457                 }
1458                 if (!(*its).info(info_flags::real)) {
1459                         return G(x_, s_, y).hold();
1460                 }
1461                 if (!(*itx).info(info_flags::crational)) {
1462                         crational = false;
1463                 }
1464                 if (*itx != _ex0) {
1465                         all_zero = false;
1466                 }
1467                 if ( ex_to<numeric>(*itx).is_real() ) {
1468                         if ( ex_to<numeric>(*itx).is_positive() ) {
1469                                 if ( *its >= 0 ) {
1470                                         sn.push_back(1);
1471                                 }
1472                                 else {
1473                                         sn.push_back(-1);
1474                                 }
1475                         } else {
1476                                 sn.push_back(1);
1477                         }
1478                 }
1479                 else {
1480                         if ( ex_to<numeric>(*itx).imag() > 0 ) {
1481                                 sn.push_back(1);
1482                         }
1483                         else {
1484                                 sn.push_back(-1);
1485                         }
1486                 }
1487         }
1488         if (all_zero) {
1489                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1490         }
1491         if (!y.info(info_flags::crational)) {
1492                 crational = false;
1493         }
1494         if (crational) {
1495                 return G(x_, s_, y).hold();
1496         }
1497         std::vector<cln::cl_N> xn;
1498         xn.reserve(x.nops());
1499         for (const auto & it : x)
1500                 xn.push_back(ex_to<numeric>(it).to_cl_N());
1501         cln::cl_N result = G_numeric(xn, sn, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1502         return numeric(result);
1503 }
1504
1505
1506 // option do_not_evalf_params() removed.
1507 // This is safe: in the code above it only matters if s_ > 0 or s_ < 0,
1508 // s_ is allowed to be of floating type.
1509 unsigned G3_SERIAL::serial = function::register_new(function_options("G", 3).
1510                                 evalf_func(G3_evalf).
1511                                 eval_func(G3_eval).
1512                                 overloaded(2));
1513 //TODO
1514 //                                derivative_func(G3_deriv).
1515 //                                print_func<print_latex>(G3_print_latex).
1516
1517
1518 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1519 //
1520 // Classical polylogarithm and multiple polylogarithm  Li(m,x)
1521 //
1522 // GiNaC function
1523 //
1524 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1525
1526
1527 static ex Li_evalf(const ex& m_, const ex& x_)
1528 {
1529         // classical polylogs
1530         if (m_.info(info_flags::posint)) {
1531                 if (x_.info(info_flags::numeric)) {
1532                         int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1533                         const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_).to_cl_N();
1534                         const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1535                         return numeric(result);
1536                 } else {
1537                         // try to numerically evaluate second argument
1538                         ex x_val = x_.evalf();
1539                         if (x_val.info(info_flags::numeric)) {
1540                                 int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1541                                 const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_val).to_cl_N();
1542                                 const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1543                                 return numeric(result);
1544                         }
1545                 }
1546         }
1547         // multiple polylogs
1548         if (is_a<lst>(m_) && is_a<lst>(x_)) {
1549
1550                 const lst& m = ex_to<lst>(m_);
1551                 const lst& x = ex_to<lst>(x_);
1552                 if (m.nops() != x.nops()) {
1553                         return Li(m_,x_).hold();
1554                 }
1555                 if (x.nops() == 0) {
1556                         return _ex1;
1557                 }
1558                 if ((m.op(0) == _ex1) && (x.op(0) == _ex1)) {
1559                         return Li(m_,x_).hold();
1560                 }
1561
1562                 for (auto itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1563                         if (!(*itm).info(info_flags::posint)) {
1564                                 return Li(m_, x_).hold();
1565                         }
1566                         if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1567                                 return Li(m_, x_).hold();
1568                         }
1569                         if (*itx == _ex0) {
1570                                 return _ex0;
1571                         }
1572                 }
1573
1574                 return mLi_numeric(m, x);
1575         }
1576
1577         return Li(m_,x_).hold();
1578 }
1579
1580
1581 static ex Li_eval(const ex& m_, const ex& x_)
1582 {
1583         if (is_a<lst>(m_)) {
1584                 if (is_a<lst>(x_)) {
1585                         // multiple polylogs
1586                         const lst& m = ex_to<lst>(m_);
1587                         const lst& x = ex_to<lst>(x_);
1588                         if (m.nops() != x.nops()) {
1589                                 return Li(m_,x_).hold();
1590                         }
1591                         if (x.nops() == 0) {
1592                                 return _ex1;
1593                         }
1594                         bool is_H = true;
1595                         bool is_zeta = true;
1596                         bool do_evalf = true;
1597                         bool crational = true;
1598                         for (auto itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1599                                 if (!(*itm).info(info_flags::posint)) {
1600                                         return Li(m_,x_).hold();
1601                                 }
1602                                 if ((*itx != _ex1) && (*itx != _ex_1)) {
1603                                         if (itx != x.begin()) {
1604                                                 is_H = false;
1605                                         }
1606                                         is_zeta = false;
1607                                 }
1608                                 if (*itx == _ex0) {
1609                                         return _ex0;
1610                                 }
1611                                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1612                                         do_evalf = false;
1613                                 }
1614                                 if (!(*itx).info(info_flags::crational)) {
1615                                         crational = false;
1616                                 }
1617                         }
1618                         if (is_zeta) {
1619                                 lst newx;
1620                                 for (const auto & itx : x) {
1621                                         GINAC_ASSERT((itx == _ex1) || (itx == _ex_1));
1622                                         // XXX: 1 + 0.0*I is considered equal to 1. However
1623                                         // the former is a not automatically converted
1624                                         // to a real number. Do the conversion explicitly
1625                                         // to avoid the "numeric::operator>(): complex inequality"
1626                                         // exception (and similar problems).
1627                                         newx.append(itx != _ex_1 ? _ex1 : _ex_1);
1628                                 }
1629                                 return zeta(m_, newx);
1630                         }
1631                         if (is_H) {
1632                                 ex prefactor;
1633                                 lst newm = convert_parameter_Li_to_H(m, x, prefactor);
1634                                 return prefactor * H(newm, x[0]);
1635                         }
1636                         if (do_evalf && !crational) {
1637                                 return mLi_numeric(m,x);
1638                         }
1639                 }
1640                 return Li(m_, x_).hold();
1641         } else if (is_a<lst>(x_)) {
1642                 return Li(m_, x_).hold();
1643         }
1644
1645         // classical polylogs
1646         if (x_ == _ex0) {
1647                 return _ex0;
1648         }
1649         if (x_ == _ex1) {
1650                 return zeta(m_);
1651         }
1652         if (x_ == _ex_1) {
1653                 return (pow(2,1-m_)-1) * zeta(m_);
1654         }
1655         if (m_ == _ex1) {
1656                 return -log(1-x_);
1657         }
1658         if (m_ == _ex2) {
1659                 if (x_.is_equal(I)) {
1660                         return power(Pi,_ex2)/_ex_48 + Catalan*I;
1661                 }
1662                 if (x_.is_equal(-I)) {
1663                         return power(Pi,_ex2)/_ex_48 - Catalan*I;
1664                 }
1665         }
1666         if (m_.info(info_flags::posint) && x_.info(info_flags::numeric) && !x_.info(info_flags::crational)) {
1667                 int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1668                 const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_).to_cl_N();
1669                 const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1670                 return numeric(result);
1671         }
1672
1673         return Li(m_, x_).hold();
1674 }
1675
1676
1677 static ex Li_series(const ex& m, const ex& x, const relational& rel, int order, unsigned options)
1678 {
1679         if (is_a<lst>(m) || is_a<lst>(x)) {
1680                 // multiple polylog
1681                 epvector seq { expair(Li(m, x), 0) };
1682                 return pseries(rel, std::move(seq));
1683         }
1684         
1685         // classical polylog
1686         const ex x_pt = x.subs(rel, subs_options::no_pattern);
1687         if (m.info(info_flags::numeric) && x_pt.info(info_flags::numeric)) {
1688                 // First special case: x==0 (derivatives have poles)
1689                 if (x_pt.is_zero()) {
1690                         const symbol s;
1691                         ex ser;
1692                         // manually construct the primitive expansion
1693                         for (int i=1; i<order; ++i)
1694                                 ser += pow(s,i) / pow(numeric(i), m);
1695                         // substitute the argument's series expansion
1696                         ser = ser.subs(s==x.series(rel, order), subs_options::no_pattern);
1697                         // maybe that was terminating, so add a proper order term
1698                         epvector nseq { expair(Order(_ex1), order) };
1699                         ser += pseries(rel, std::move(nseq));
1700                         // reexpanding it will collapse the series again
1701                         return ser.series(rel, order);
1702                 }
1703                 // TODO special cases: x==1 (branch point) and x real, >=1 (branch cut)
1704                 throw std::runtime_error("Li_series: don't know how to do the series expansion at this point!");
1705         }
1706         // all other cases should be safe, by now:
1707         throw do_taylor();  // caught by function::series()
1708 }
1709
1710
1711 static ex Li_deriv(const ex& m_, const ex& x_, unsigned deriv_param)
1712 {
1713         GINAC_ASSERT(deriv_param < 2);
1714         if (deriv_param == 0) {
1715                 return _ex0;
1716         }
1717         if (m_.nops() > 1) {
1718                 throw std::runtime_error("don't know how to derivate multiple polylogarithm!");
1719         }
1720         ex m;
1721         if (is_a<lst>(m_)) {
1722                 m = m_.op(0);
1723         } else {
1724                 m = m_;
1725         }
1726         ex x;
1727         if (is_a<lst>(x_)) {
1728                 x = x_.op(0);
1729         } else {
1730                 x = x_;
1731         }
1732         if (m > 0) {
1733                 return Li(m-1, x) / x;
1734         } else {
1735                 return 1/(1-x);
1736         }
1737 }
1738
1739
1740 static void Li_print_latex(const ex& m_, const ex& x_, const print_context& c)
1741 {
1742         lst m;
1743         if (is_a<lst>(m_)) {
1744                 m = ex_to<lst>(m_);
1745         } else {
1746                 m = lst{m_};
1747         }
1748         lst x;
1749         if (is_a<lst>(x_)) {
1750                 x = ex_to<lst>(x_);
1751         } else {
1752                 x = lst{x_};
1753         }
1754         c.s << "\\mathrm{Li}_{";
1755         auto itm = m.begin();
1756         (*itm).print(c);
1757         itm++;
1758         for (; itm != m.end(); itm++) {
1759                 c.s << ",";
1760                 (*itm).print(c);
1761         }
1762         c.s << "}(";
1763         auto itx = x.begin();
1764         (*itx).print(c);
1765         itx++;
1766         for (; itx != x.end(); itx++) {
1767                 c.s << ",";
1768                 (*itx).print(c);
1769         }
1770         c.s << ")";
1771 }
1772
1773
1774 REGISTER_FUNCTION(Li,
1775                   evalf_func(Li_evalf).
1776                   eval_func(Li_eval).
1777                   series_func(Li_series).
1778                   derivative_func(Li_deriv).
1779                   print_func<print_latex>(Li_print_latex).
1780                   do_not_evalf_params());
1781
1782
1783 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1784 //
1785 // Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
1786 //
1787 // helper functions
1788 //
1789 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1790
1791
1792 // anonymous namespace for helper functions
1793 namespace {
1794
1795
1796 // lookup table for special Euler-Zagier-Sums (used for S_n,p(x))
1797 // see fill_Yn()
1798 std::vector<std::vector<cln::cl_N>> Yn;
1799 int ynsize = 0; // number of Yn[]
1800 int ynlength = 100; // initial length of all Yn[i]
1801
1802
1803 // This function calculates the Y_n. The Y_n are needed for the evaluation of S_{n,p}(x).
1804 // The Y_n are basically Euler-Zagier sums with all m_i=1. They are subsums in the Z-sum
1805 // representing S_{n,p}(x).
1806 // The first index in Y_n corresponds to the parameter p minus one, i.e. the depth of the
1807 // equivalent Z-sum.
1808 // The second index in Y_n corresponds to the running index of the outermost sum in the full Z-sum
1809 // representing S_{n,p}(x).
1810 // The calculation of Y_n uses the values from Y_{n-1}.
1811 void fill_Yn(int n, const cln::float_format_t& prec)
1812 {
1813         const int initsize = ynlength;
1814         //const int initsize = initsize_Yn;
1815         cln::cl_N one = cln::cl_float(1, prec);
1816
1817         if (n) {
1818                 std::vector<cln::cl_N> buf(initsize);
1819                 auto it = buf.begin();
1820                 auto itprev = Yn[n-1].begin();
1821                 *it = (*itprev) / cln::cl_N(n+1) * one;
1822                 it++;
1823                 itprev++;
1824                 // sums with an index smaller than the depth are zero and need not to be calculated.
1825                 // calculation starts with depth, which is n+2)
1826                 for (int i=n+2; i<=initsize+n; i++) {
1827                         *it = *(it-1) + (*itprev) / cln::cl_N(i) * one;
1828                         it++;
1829                         itprev++;
1830                 }
1831                 Yn.push_back(buf);
1832         } else {
1833                 std::vector<cln::cl_N> buf(initsize);
1834                 auto it = buf.begin();
1835                 *it = 1 * one;
1836                 it++;
1837                 for (int i=2; i<=initsize; i++) {
1838                         *it = *(it-1) + 1 / cln::cl_N(i) * one;
1839                         it++;
1840                 }
1841                 Yn.push_back(buf);
1842         }
1843         ynsize++;
1844 }
1845
1846
1847 // make Yn longer ... 
1848 void make_Yn_longer(int newsize, const cln::float_format_t& prec)
1849 {
1850
1851         cln::cl_N one = cln::cl_float(1, prec);
1852
1853         Yn[0].resize(newsize);
1854         auto it = Yn[0].begin();
1855         it += ynlength;
1856         for (int i=ynlength+1; i<=newsize; i++) {
1857                 *it = *(it-1) + 1 / cln::cl_N(i) * one;
1858                 it++;
1859         }
1860
1861         for (int n=1; n<ynsize; n++) {
1862                 Yn[n].resize(newsize);
1863                 auto it = Yn[n].begin();
1864                 auto itprev = Yn[n-1].begin();
1865                 it += ynlength;
1866                 itprev += ynlength;
1867                 for (int i=ynlength+n+1; i<=newsize+n; i++) {
1868                         *it = *(it-1) + (*itprev) / cln::cl_N(i) * one;
1869                         it++;
1870                         itprev++;
1871                 }
1872         }
1873         
1874         ynlength = newsize;
1875 }
1876
1877
1878 // helper function for S(n,p,x)
1879 // [Kol] (7.2)
1880 cln::cl_N C(int n, int p)
1881 {
1882         cln::cl_N result;
1883
1884         for (int k=0; k<p; k++) {
1885                 for (int j=0; j<=(n+k-1)/2; j++) {
1886                         if (k == 0) {
1887                                 if (n & 1) {
1888                                         if (j & 1) {
1889                                                 result = result - 2 * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n-2*j,p,1) / cln::factorial(2*j);
1890                                         }
1891                                         else {
1892                                                 result = result + 2 * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n-2*j,p,1) / cln::factorial(2*j);
1893                                         }
1894                                 }
1895                         }
1896                         else {
1897                                 if (k & 1) {
1898                                         if (j & 1) {
1899                                                 result = result + cln::factorial(n+k-1)
1900                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1901                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1902                                         }
1903                                         else {
1904                                                 result = result - cln::factorial(n+k-1)
1905                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1906                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1907                                         }
1908                                 }
1909                                 else {
1910                                         if (j & 1) {
1911                                                 result = result - cln::factorial(n+k-1) * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1912                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1913                                         }
1914                                         else {
1915                                                 result = result + cln::factorial(n+k-1)
1916                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1917                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1918                                         }
1919                                 }
1920                         }
1921                 }
1922         }
1923         int np = n+p;
1924         if ((np-1) & 1) {
1925                 if (((np)/2+n) & 1) {
1926                         result = -result - cln::expt(cln::pi(),np) / (np * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(p));
1927                 }
1928                 else {
1929                         result = -result + cln::expt(cln::pi(),np) / (np * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(p));
1930                 }
1931         }
1932
1933         return result;
1934 }
1935
1936
1937 // helper function for S(n,p,x)
1938 // [Kol] remark to (9.1)
1939 cln::cl_N a_k(int k)
1940 {
1941         cln::cl_N result;
1942
1943         if (k == 0) {
1944                 return 1;
1945         }
1946
1947         result = result;
1948         for (int m=2; m<=k; m++) {
1949                 result = result + cln::expt(cln::cl_N(-1),m) * cln::zeta(m) * a_k(k-m);
1950         }
1951
1952         return -result / k;
1953 }
1954
1955
1956 // helper function for S(n,p,x)
1957 // [Kol] remark to (9.1)
1958 cln::cl_N b_k(int k)
1959 {
1960         cln::cl_N result;
1961
1962         if (k == 0) {
1963                 return 1;
1964         }
1965
1966         result = result;
1967         for (int m=2; m<=k; m++) {
1968                 result = result + cln::expt(cln::cl_N(-1),m) * cln::zeta(m) * b_k(k-m);
1969         }
1970
1971         return result / k;
1972 }
1973
1974
1975 // helper function for S(n,p,x)
1976 cln::cl_N S_do_sum(int n, int p, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
1977 {
1978         static cln::float_format_t oldprec = cln::default_float_format;
1979
1980         if (p==1) {
1981                 return Li_projection(n+1, x, prec);
1982         }
1983
1984         // precision has changed, we need to clear lookup table Yn
1985         if ( oldprec != prec ) {
1986                 Yn.clear();
1987                 ynsize = 0;
1988                 ynlength = 100;
1989                 oldprec = prec;
1990         }
1991                 
1992         // check if precalculated values are sufficient
1993         if (p > ynsize+1) {
1994                 for (int i=ynsize; i<p-1; i++) {
1995                         fill_Yn(i, prec);
1996                 }
1997         }
1998
1999         // should be done otherwise
2000         cln::cl_F one = cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
2001         cln::cl_N xf = x * one;
2002         //cln::cl_N xf = x * cln::cl_float(1, prec);
2003
2004         cln::cl_N res;
2005         cln::cl_N resbuf;
2006         cln::cl_N factor = cln::expt(xf, p);
2007         int i = p;
2008         do {
2009                 resbuf = res;
2010                 if (i-p >= ynlength) {
2011                         // make Yn longer
2012                         make_Yn_longer(ynlength*2, prec);
2013                 }
2014                 res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n+1) * Yn[p-2][i-p]; // should we check it? or rely on magic number? ...
2015                 //res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n+1) * (*it); // should we check it? or rely on magic number? ...
2016                 factor = factor * xf;
2017                 i++;
2018         } while (res != resbuf);
2019         
2020         return res;
2021 }
2022
2023
2024 // helper function for S(n,p,x)
2025 cln::cl_N S_projection(int n, int p, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
2026 {
2027         // [Kol] (5.3)
2028         if (cln::abs(cln::realpart(x)) > cln::cl_F("0.5")) {
2029
2030                 cln::cl_N result = cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * cln::expt(cln::log(x),n)
2031                                    * cln::expt(cln::log(1-x),p) / cln::factorial(n) / cln::factorial(p);
2032
2033                 for (int s=0; s<n; s++) {
2034                         cln::cl_N res2;
2035                         for (int r=0; r<p; r++) {
2036                                 res2 = res2 + cln::expt(cln::cl_I(-1),r) * cln::expt(cln::log(1-x),r)
2037                                               * S_do_sum(p-r,n-s,1-x,prec) / cln::factorial(r);
2038                         }
2039                         result = result + cln::expt(cln::log(x),s) * (S_num(n-s,p,1) - res2) / cln::factorial(s);
2040                 }
2041
2042                 return result;
2043         }
2044         
2045         return S_do_sum(n, p, x, prec);
2046 }
2047
2048
2049 // helper function for S(n,p,x)
2050 const cln::cl_N S_num(int n, int p, const cln::cl_N& x)
2051 {
2052         if (x == 1) {
2053                 if (n == 1) {
2054                     // [Kol] (2.22) with (2.21)
2055                         return cln::zeta(p+1);
2056                 }
2057
2058                 if (p == 1) {
2059                     // [Kol] (2.22)
2060                         return cln::zeta(n+1);
2061                 }
2062
2063                 // [Kol] (9.1)
2064                 cln::cl_N result;
2065                 for (int nu=0; nu<n; nu++) {
2066                         for (int rho=0; rho<=p; rho++) {
2067                                 result = result + b_k(n-nu-1) * b_k(p-rho) * a_k(nu+rho+1)
2068                                                   * cln::factorial(nu+rho+1) / cln::factorial(rho) / cln::factorial(nu+1);
2069                         }
2070                 }
2071                 result = result * cln::expt(cln::cl_I(-1),n+p-1);
2072
2073                 return result;
2074         }
2075         else if (x == -1) {
2076                 // [Kol] (2.22)
2077                 if (p == 1) {
2078                         return -(1-cln::expt(cln::cl_I(2),-n)) * cln::zeta(n+1);
2079                 }
2080 //              throw std::runtime_error("don't know how to evaluate this function!");
2081         }
2082
2083         // what is the desired float format?
2084         // first guess: default format
2085         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
2086         const cln::cl_N value = x;
2087         // second guess: the argument's format
2088         if (!instanceof(realpart(value), cln::cl_RA_ring))
2089                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
2090         else if (!instanceof(imagpart(value), cln::cl_RA_ring))
2091                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
2092
2093         // [Kol] (5.3)
2094         // the condition abs(1-value)>1 avoids an infinite recursion in the region abs(value)<=1 && abs(value)>0.95 && abs(1-value)<=1 && abs(1-value)>0.95
2095         // we don't care here about abs(value)<1 && real(value)>0.5, this will be taken care of in S_projection
2096         if ((cln::realpart(value) < -0.5) || (n == 0) || ((cln::abs(value) <= 1) && (cln::abs(value) > 0.95) && (cln::abs(1-value) > 1) )) {
2097
2098                 cln::cl_N result = cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * cln::expt(cln::log(value),n)
2099                                    * cln::expt(cln::log(1-value),p) / cln::factorial(n) / cln::factorial(p);
2100
2101                 for (int s=0; s<n; s++) {
2102                         cln::cl_N res2;
2103                         for (int r=0; r<p; r++) {
2104                                 res2 = res2 + cln::expt(cln::cl_I(-1),r) * cln::expt(cln::log(1-value),r)
2105                                               * S_num(p-r,n-s,1-value) / cln::factorial(r);
2106                         }
2107                         result = result + cln::expt(cln::log(value),s) * (S_num(n-s,p,1) - res2) / cln::factorial(s);
2108                 }
2109
2110                 return result;
2111                 
2112         }
2113         // [Kol] (5.12)
2114         if (cln::abs(value) > 1) {
2115                 
2116                 cln::cl_N result;
2117
2118                 for (int s=0; s<p; s++) {
2119                         for (int r=0; r<=s; r++) {
2120                                 result = result + cln::expt(cln::cl_I(-1),s) * cln::expt(cln::log(-value),r) * cln::factorial(n+s-r-1)
2121                                                   / cln::factorial(r) / cln::factorial(s-r) / cln::factorial(n-1)
2122                                                   * S_num(n+s-r,p-s,cln::recip(value));
2123                         }
2124                 }
2125                 result = result * cln::expt(cln::cl_I(-1),n);
2126
2127                 cln::cl_N res2;
2128                 for (int r=0; r<n; r++) {
2129                         res2 = res2 + cln::expt(cln::log(-value),r) * C(n-r,p) / cln::factorial(r);
2130                 }
2131                 res2 = res2 + cln::expt(cln::log(-value),n+p) / cln::factorial(n+p);
2132
2133                 result = result + cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * res2;
2134
2135                 return result;
2136         }
2137
2138         if ((cln::abs(value) > 0.95) && (cln::abs(value-9.53) < 9.47)) {
2139                 lst m;
2140                 m.append(n+1);
2141                 for (int s=0; s<p-1; s++)
2142                         m.append(1);
2143
2144                 ex res = H(m,numeric(value)).evalf();
2145                 return ex_to<numeric>(res).to_cl_N();
2146         }
2147         else {
2148                 return S_projection(n, p, value, prec);
2149         }
2150 }
2151
2152
2153 } // end of anonymous namespace
2154
2155
2156 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2157 //
2158 // Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
2159 //
2160 // GiNaC function
2161 //
2162 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2163
2164
2165 static ex S_evalf(const ex& n, const ex& p, const ex& x)
2166 {
2167         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint)) {
2168                 const int n_ = ex_to<numeric>(n).to_int();
2169                 const int p_ = ex_to<numeric>(p).to_int();
2170                 if (is_a<numeric>(x)) {
2171                         const cln::cl_N x_ = ex_to<numeric>(x).to_cl_N();
2172                         const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_);
2173                         return numeric(result);
2174                 } else {
2175                         ex x_val = x.evalf();
2176                         if (is_a<numeric>(x_val)) {
2177                                 const cln::cl_N x_val_ = ex_to<numeric>(x_val).to_cl_N();
2178                                 const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_val_);
2179                                 return numeric(result);
2180                         }
2181                 }
2182         }
2183         return S(n, p, x).hold();
2184 }
2185
2186
2187 static ex S_eval(const ex& n, const ex& p, const ex& x)
2188 {
2189         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint)) {
2190                 if (x == 0) {
2191                         return _ex0;
2192                 }
2193                 if (x == 1) {
2194                         lst m{n+1};
2195                         for (int i=ex_to<numeric>(p).to_int()-1; i>0; i--) {
2196                                 m.append(1);
2197                         }
2198                         return zeta(m);
2199                 }
2200                 if (p == 1) {
2201                         return Li(n+1, x);
2202                 }
2203                 if (x.info(info_flags::numeric) && (!x.info(info_flags::crational))) {
2204                         int n_ = ex_to<numeric>(n).to_int();
2205                         int p_ = ex_to<numeric>(p).to_int();
2206                         const cln::cl_N x_ = ex_to<numeric>(x).to_cl_N();
2207                         const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_);
2208                         return numeric(result);
2209                 }
2210         }
2211         if (n.is_zero()) {
2212                 // [Kol] (5.3)
2213                 return pow(-log(1-x), p) / factorial(p);
2214         }
2215         return S(n, p, x).hold();
2216 }
2217
2218
2219 static ex S_series(const ex& n, const ex& p, const ex& x, const relational& rel, int order, unsigned options)
2220 {
2221         if (p == _ex1) {
2222                 return Li(n+1, x).series(rel, order, options);
2223         }
2224
2225         const ex x_pt = x.subs(rel, subs_options::no_pattern);
2226         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint) && x_pt.info(info_flags::numeric)) {
2227                 // First special case: x==0 (derivatives have poles)
2228                 if (x_pt.is_zero()) {
2229                         const symbol s;
2230                         ex ser;
2231                         // manually construct the primitive expansion
2232                         // subsum = Euler-Zagier-Sum is needed
2233                         // dirty hack (slow ...) calculation of subsum:
2234                         std::vector<ex> presubsum, subsum;
2235                         subsum.push_back(0);
2236                         for (int i=1; i<order-1; ++i) {
2237                                 subsum.push_back(subsum[i-1] + numeric(1, i));
2238                         }
2239                         for (int depth=2; depth<p; ++depth) {
2240                                 presubsum = subsum;
2241                                 for (int i=1; i<order-1; ++i) {
2242                                         subsum[i] = subsum[i-1] + numeric(1, i) * presubsum[i-1];
2243                                 }
2244                         }
2245                                 
2246                         for (int i=1; i<order; ++i) {
2247                                 ser += pow(s,i) / pow(numeric(i), n+1) * subsum[i-1];
2248                         }
2249                         // substitute the argument's series expansion
2250                         ser = ser.subs(s==x.series(rel, order), subs_options::no_pattern);
2251                         // maybe that was terminating, so add a proper order term
2252                         epvector nseq { expair(Order(_ex1), order) };
2253                         ser += pseries(rel, std::move(nseq));
2254                         // reexpanding it will collapse the series again
2255                         return ser.series(rel, order);
2256                 }
2257                 // TODO special cases: x==1 (branch point) and x real, >=1 (branch cut)
2258                 throw std::runtime_error("S_series: don't know how to do the series expansion at this point!");
2259         }
2260         // all other cases should be safe, by now:
2261         throw do_taylor();  // caught by function::series()
2262 }
2263
2264
2265 static ex S_deriv(const ex& n, const ex& p, const ex& x, unsigned deriv_param)
2266 {
2267         GINAC_ASSERT(deriv_param < 3);
2268         if (deriv_param < 2) {
2269                 return _ex0;
2270         }
2271         if (n > 0) {
2272                 return S(n-1, p, x) / x;
2273         } else {
2274                 return S(n, p-1, x) / (1-x);
2275         }
2276 }
2277
2278
2279 static void S_print_latex(const ex& n, const ex& p, const ex& x, const print_context& c)
2280 {
2281         c.s << "\\mathrm{S}_{";
2282         n.print(c);
2283         c.s << ",";
2284         p.print(c);
2285         c.s << "}(";
2286         x.print(c);
2287         c.s << ")";
2288 }
2289
2290
2291 REGISTER_FUNCTION(S,
2292                   evalf_func(S_evalf).
2293                   eval_func(S_eval).
2294                   series_func(S_series).
2295                   derivative_func(S_deriv).
2296                   print_func<print_latex>(S_print_latex).
2297                   do_not_evalf_params());
2298
2299
2300 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2301 //
2302 // Harmonic polylogarithm  H(m,x)
2303 //
2304 // helper functions
2305 //
2306 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2307
2308
2309 // anonymous namespace for helper functions
2310 namespace {
2311
2312
2313 // regulates the pole (used by 1/x-transformation)
2314 symbol H_polesign("IMSIGN");
2315
2316
2317 // convert parameters from H to Li representation
2318 // parameters are expected to be in expanded form, i.e. only 0, 1 and -1
2319 // returns true if some parameters are negative
2320 bool convert_parameter_H_to_Li(const lst& l, lst& m, lst& s, ex& pf)
2321 {
2322         // expand parameter list
2323         lst mexp;
2324         for (const auto & it : l) {
2325                 if (it > 1) {
2326                         for (ex count=it-1; count > 0; count--) {
2327                                 mexp.append(0);
2328                         }
2329                         mexp.append(1);
2330                 } else if (it < -1) {
2331                         for (ex count=it+1; count < 0; count++) {
2332                                 mexp.append(0);
2333                         }
2334                         mexp.append(-1);
2335                 } else {
2336                         mexp.append(it);
2337                 }
2338         }
2339         
2340         ex signum = 1;
2341         pf = 1;
2342         bool has_negative_parameters = false;
2343         ex acc = 1;
2344         for (const auto & it : mexp) {
2345                 if (it == 0) {
2346                         acc++;
2347                         continue;
2348                 }
2349                 if (it > 0) {
2350                         m.append((it+acc-1) * signum);
2351                 } else {
2352                         m.append((it-acc+1) * signum);
2353                 }
2354                 acc = 1;
2355                 signum = it;
2356                 pf *= it;
2357                 if (pf < 0) {
2358                         has_negative_parameters = true;
2359                 }
2360         }
2361         if (has_negative_parameters) {
2362                 for (std::size_t i=0; i<m.nops(); i++) {
2363                         if (m.op(i) < 0) {
2364                                 m.let_op(i) = -m.op(i);
2365                                 s.append(-1);
2366                         } else {
2367                                 s.append(1);
2368                         }
2369                 }
2370         }
2371         
2372         return has_negative_parameters;
2373 }
2374
2375
2376 // recursivly transforms H to corresponding multiple polylogarithms
2377 struct map_trafo_H_convert_to_Li : public map_function
2378 {
2379         ex operator()(const ex& e) override
2380         {
2381                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2382                         return e.map(*this);
2383                 }
2384                 if (is_a<function>(e)) {
2385                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2386                         if (name == "H") {
2387                                 lst parameter;
2388                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2389                                         parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2390                                 } else {
2391                                         parameter = lst{e.op(0)};
2392                                 }
2393                                 ex arg = e.op(1);
2394
2395                                 lst m;
2396                                 lst s;
2397                                 ex pf;
2398                                 if (convert_parameter_H_to_Li(parameter, m, s, pf)) {
2399                                         s.let_op(0) = s.op(0) * arg;
2400                                         return pf * Li(m, s).hold();
2401                                 } else {
2402                                         for (std::size_t i=0; i<m.nops(); i++) {
2403                                                 s.append(1);
2404                                         }
2405                                         s.let_op(0) = s.op(0) * arg;
2406                                         return Li(m, s).hold();
2407                                 }
2408                         }
2409                 }
2410                 return e;
2411         }
2412 };
2413
2414
2415 // recursivly transforms H to corresponding zetas
2416 struct map_trafo_H_convert_to_zeta : public map_function
2417 {
2418         ex operator()(const ex& e) override
2419         {
2420                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2421                         return e.map(*this);
2422                 }
2423                 if (is_a<function>(e)) {
2424                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2425                         if (name == "H") {
2426                                 lst parameter;
2427                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2428                                         parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2429                                 } else {
2430                                         parameter = lst{e.op(0)};
2431                                 }
2432
2433                                 lst m;
2434                                 lst s;
2435                                 ex pf;
2436                                 if (convert_parameter_H_to_Li(parameter, m, s, pf)) {
2437                                         return pf * zeta(m, s);
2438                                 } else {
2439                                         return zeta(m);
2440                                 }
2441                         }
2442                 }
2443                 return e;
2444         }
2445 };
2446
2447
2448 // remove trailing zeros from H-parameters
2449 struct map_trafo_H_reduce_trailing_zeros : public map_function
2450 {
2451         ex operator()(const ex& e) override
2452         {
2453                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2454                         return e.map(*this);
2455                 }
2456                 if (is_a<function>(e)) {
2457                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2458                         if (name == "H") {
2459                                 lst parameter;
2460                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2461                                         parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2462                                 } else {
2463                                         parameter = lst{e.op(0)};
2464                                 }
2465                                 ex arg = e.op(1);
2466                                 if (parameter.op(parameter.nops()-1) == 0) {
2467                                         
2468                                         //
2469                                         if (parameter.nops() == 1) {
2470                                                 return log(arg);
2471                                         }
2472                                         
2473                                         //
2474                                         auto it = parameter.begin();
2475                                         while ((it != parameter.end()) && (*it == 0)) {
2476                                                 it++;
2477                                         }
2478                                         if (it == parameter.end()) {
2479                                                 return pow(log(arg),parameter.nops()) / factorial(parameter.nops());
2480                                         }
2481                                         
2482                                         //
2483                                         parameter.remove_last();
2484                                         std::size_t lastentry = parameter.nops();
2485                                         while ((lastentry > 0) && (parameter[lastentry-1] == 0)) {
2486                                                 lastentry--;
2487                                         }
2488                                         
2489                                         //
2490                                         ex result = log(arg) * H(parameter,arg).hold();
2491                                         ex acc = 0;
2492                                         for (ex i=0; i<lastentry; i++) {
2493                                                 if (parameter[i] > 0) {
2494                                                         parameter[i]++;
2495                                                         result -= (acc + parameter[i]-1) * H(parameter, arg).hold();
2496                                                         parameter[i]--;
2497                                                         acc = 0;
2498                                                 } else if (parameter[i] < 0) {
2499                                                         parameter[i]--;
2500                                                         result -= (acc + abs(parameter[i]+1)) * H(parameter, arg).hold();
2501                                                         parameter[i]++;
2502                                                         acc = 0;
2503                                                 } else {
2504                                                         acc++;
2505                                                 }
2506                                         }
2507                                         
2508                                         if (lastentry < parameter.nops()) {
2509                                                 result = result / (parameter.nops()-lastentry+1);
2510                                                 return result.map(*this);
2511                                         } else {
2512                                                 return result;
2513                                         }
2514                                 }
2515                         }
2516                 }
2517                 return e;
2518         }
2519 };
2520
2521
2522 // returns an expression with zeta functions corresponding to the parameter list for H
2523 ex convert_H_to_zeta(const lst& m)
2524 {
2525         symbol xtemp("xtemp");
2526         map_trafo_H_reduce_trailing_zeros filter;
2527         map_trafo_H_convert_to_zeta filter2;
2528         return filter2(filter(H(m, xtemp).hold())).subs(xtemp == 1);
2529 }
2530
2531
2532 // convert signs form Li to H representation
2533 lst convert_parameter_Li_to_H(const lst& m, const lst& x, ex& pf)
2534 {
2535         lst res;
2536         auto itm = m.begin();
2537         auto itx = ++x.begin();
2538         int signum = 1;
2539         pf = _ex1;
2540         res.append(*itm);
2541         itm++;
2542         while (itx != x.end()) {
2543                 GINAC_ASSERT((*itx == _ex1) || (*itx == _ex_1));
2544                 // XXX: 1 + 0.0*I is considered equal to 1. However the former
2545                 // is not automatically converted to a real number.
2546                 // Do the conversion explicitly to avoid the
2547                 // "numeric::operator>(): complex inequality" exception.
2548                 signum *= (*itx != _ex_1) ? 1 : -1;
2549                 pf *= signum;
2550                 res.append((*itm) * signum);
2551                 itm++;
2552                 itx++;
2553         }
2554         return res;
2555 }
2556
2557
2558 // multiplies an one-dimensional H with another H
2559 // [ReV] (18)
2560 ex trafo_H_mult(const ex& h1, const ex& h2)
2561 {
2562         ex res;
2563         ex hshort;
2564         lst hlong;
2565         ex h1nops = h1.op(0).nops();
2566         ex h2nops = h2.op(0).nops();
2567         if (h1nops > 1) {
2568                 hshort = h2.op(0).op(0);
2569                 hlong = ex_to<lst>(h1.op(0));
2570         } else {
2571                 hshort = h1.op(0).op(0);
2572                 if (h2nops > 1) {
2573                         hlong = ex_to<lst>(h2.op(0));
2574                 } else {
2575                         hlong = lst{h2.op(0).op(0)};
2576                 }
2577         }
2578         for (std::size_t i=0; i<=hlong.nops(); i++) {
2579                 lst newparameter;
2580                 std::size_t j=0;
2581                 for (; j<i; j++) {
2582                         newparameter.append(hlong[j]);
2583                 }
2584                 newparameter.append(hshort);
2585                 for (; j<hlong.nops(); j++) {
2586                         newparameter.append(hlong[j]);
2587                 }
2588                 res += H(newparameter, h1.op(1)).hold();
2589         }
2590         return res;
2591 }
2592
2593
2594 // applies trafo_H_mult recursively on expressions
2595 struct map_trafo_H_mult : public map_function
2596 {
2597         ex operator()(const ex& e) override
2598         {
2599                 if (is_a<add>(e)) {
2600                         return e.map(*this);
2601                 }
2602
2603                 if (is_a<mul>(e)) {
2604
2605                         ex result = 1;
2606                         ex firstH;
2607                         lst Hlst;
2608                         for (std::size_t pos=0; pos<e.nops(); pos++) {
2609                                 if (is_a<power>(e.op(pos)) && is_a<function>(e.op(pos).op(0))) {
2610                                         std::string name = ex_to<function>(e.op(pos).op(0)).get_name();
2611                                         if (name == "H") {
2612                                                 for (ex i=0; i<e.op(pos).op(1); i++) {
2613                                                         Hlst.append(e.op(pos).op(0));
2614                                                 }
2615                                                 continue;
2616                                         }
2617                                 } else if (is_a<function>(e.op(pos))) {
2618                                         std::string name = ex_to<function>(e.op(pos)).get_name();
2619                                         if (name == "H") {
2620                                                 if (e.op(pos).op(0).nops() > 1) {
2621                                                         firstH = e.op(pos);
2622                                                 } else {
2623                                                         Hlst.append(e.op(pos));
2624                                                 }
2625                                                 continue;
2626                                         }
2627                                 }
2628                                 result *= e.op(pos);
2629                         }
2630                         if (firstH == 0) {
2631                                 if (Hlst.nops() > 0) {
2632                                         firstH = Hlst[Hlst.nops()-1];
2633                                         Hlst.remove_last();
2634                                 } else {
2635                                         return e;
2636                                 }
2637                         }
2638
2639                         if (Hlst.nops() > 0) {
2640                                 ex buffer = trafo_H_mult(firstH, Hlst.op(0));
2641                                 result *= buffer;
2642                                 for (std::size_t i=1; i<Hlst.nops(); i++) {
2643                                         result *= Hlst.op(i);
2644                                 }
2645                                 result = result.expand();
2646                                 map_trafo_H_mult recursion;
2647                                 return recursion(result);
2648                         } else {
2649                                 return e;
2650                         }
2651
2652                 }
2653                 return e;
2654         }
2655 };
2656
2657
2658 // do integration [ReV] (55)
2659 // put parameter 0 in front of existing parameters
2660 ex trafo_H_1tx_prepend_zero(const ex& e, const ex& arg)
2661 {
2662         ex h;
2663         std::string name;
2664         if (is_a<function>(e)) {
2665                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2666         }
2667         if (name == "H") {
2668                 h = e;
2669         } else {
2670                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2671                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2672                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2673                                 if (name == "H") {
2674                                         h = e.op(i);
2675                                 }
2676                         }
2677                 }
2678         }
2679         if (h != 0) {
2680                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2681                 newparameter.prepend(0);
2682                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(newparameter);
2683                 return e.subs(h == (addzeta-H(newparameter, h.op(1)).hold())).expand();
2684         } else {
2685                 return e * (-H(lst{ex(0)},1/arg).hold());
2686         }
2687 }
2688
2689
2690 // do integration [ReV] (49)
2691 // put parameter 1 in front of existing parameters
2692 ex trafo_H_prepend_one(const ex& e, const ex& arg)
2693 {
2694         ex h;
2695         std::string name;
2696         if (is_a<function>(e)) {
2697                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2698         }
2699         if (name == "H") {
2700                 h = e;
2701         } else {
2702                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2703                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2704                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2705                                 if (name == "H") {
2706                                         h = e.op(i);
2707                                 }
2708                         }
2709                 }
2710         }
2711         if (h != 0) {
2712                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2713                 newparameter.prepend(1);
2714                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold());
2715         } else {
2716                 return e * H(lst{ex(1)},1-arg).hold();
2717         }
2718 }
2719
2720
2721 // do integration [ReV] (55)
2722 // put parameter -1 in front of existing parameters
2723 ex trafo_H_1tx_prepend_minusone(const ex& e, const ex& arg)
2724 {
2725         ex h;
2726         std::string name;
2727         if (is_a<function>(e)) {
2728                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2729         }
2730         if (name == "H") {
2731                 h = e;
2732         } else {
2733                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2734                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2735                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2736                                 if (name == "H") {
2737                                         h = e.op(i);
2738                                 }
2739                         }
2740                 }
2741         }
2742         if (h != 0) {
2743                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2744                 newparameter.prepend(-1);
2745                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(newparameter);
2746                 return e.subs(h == (addzeta-H(newparameter, h.op(1)).hold())).expand();
2747         } else {
2748                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(lst{ex(-1)});
2749                 return (e * (addzeta - H(lst{ex(-1)},1/arg).hold())).expand();
2750         }
2751 }
2752
2753
2754 // do integration [ReV] (55)
2755 // put parameter -1 in front of existing parameters
2756 ex trafo_H_1mxt1px_prepend_minusone(const ex& e, const ex& arg)
2757 {
2758         ex h;
2759         std::string name;
2760         if (is_a<function>(e)) {
2761                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2762         }
2763         if (name == "H") {
2764                 h = e;
2765         } else {
2766                 for (std::size_t i = 0; i < e.nops(); i++) {
2767                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2768                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2769                                 if (name == "H") {
2770                                         h = e.op(i);
2771                                 }
2772                         }
2773                 }
2774         }
2775         if (h != 0) {
2776                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2777                 newparameter.prepend(-1);
2778                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold()).expand();
2779         } else {
2780                 return (e * H(lst{ex(-1)},(1-arg)/(1+arg)).hold()).expand();
2781         }
2782 }
2783
2784
2785 // do integration [ReV] (55)
2786 // put parameter 1 in front of existing parameters
2787 ex trafo_H_1mxt1px_prepend_one(const ex& e, const ex& arg)
2788 {
2789         ex h;
2790         std::string name;
2791         if (is_a<function>(e)) {
2792                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2793         }
2794         if (name == "H") {
2795                 h = e;
2796         } else {
2797                 for (std::size_t i = 0; i < e.nops(); i++) {
2798                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2799                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2800                                 if (name == "H") {
2801                                         h = e.op(i);
2802                                 }
2803                         }
2804                 }
2805         }
2806         if (h != 0) {
2807                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2808                 newparameter.prepend(1);
2809                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold()).expand();
2810         } else {
2811                 return (e * H(lst{ex(1)},(1-arg)/(1+arg)).hold()).expand();
2812         }
2813 }
2814
2815
2816 // do x -> 1-x transformation
2817 struct map_trafo_H_1mx : public map_function
2818 {
2819         ex operator()(const ex& e) override
2820         {
2821                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2822                         return e.map(*this);
2823                 }
2824                 
2825                 if (is_a<function>(e)) {
2826                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2827                         if (name == "H") {
2828
2829                                 lst parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2830                                 ex arg = e.op(1);
2831
2832                                 // special cases if all parameters are either 0, 1 or -1
2833                                 bool allthesame = true;
2834                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2835                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2836                                                 if (parameter.op(i) != 0) {
2837                                                         allthesame = false;
2838                                                         break;
2839                                                 }
2840                                         }
2841                                         if (allthesame) {
2842                                                 lst newparameter;
2843                                                 for (int i=parameter.nops(); i>0; i--) {
2844                                                         newparameter.append(1);
2845                                                 }
2846                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(newparameter, 1-arg).hold();
2847                                         }
2848                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {
2849                                         throw std::runtime_error("map_trafo_H_1mx: cannot handle weights equal -1!");
2850                                 } else {
2851                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2852                                                 if (parameter.op(i) != 1) {
2853                                                         allthesame = false;
2854                                                         break;
2855                                                 }
2856                                         }
2857                                         if (allthesame) {
2858                                                 lst newparameter;
2859                                                 for (int i=parameter.nops(); i>0; i--) {
2860                                                         newparameter.append(0);
2861                                                 }
2862                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(newparameter, 1-arg).hold();
2863                                         }
2864                                 }
2865
2866                                 lst newparameter = parameter;
2867                                 newparameter.remove_first();
2868
2869                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2870
2871                                         // leading zero
2872                                         ex res = convert_H_to_zeta(parameter);
2873                                         //ex res = convert_from_RV(parameter, 1).subs(H(wild(1),wild(2))==zeta(wild(1)));
2874                                         map_trafo_H_1mx recursion;
2875                                         ex buffer = recursion(H(newparameter, arg).hold());
2876                                         if (is_a<add>(buffer)) {
2877                                                 for (std::size_t i = 0; i < buffer.nops(); i++) {
2878                                                         res -= trafo_H_prepend_one(buffer.op(i), arg);
2879                                                 }
2880                                         } else {
2881                                                 res -= trafo_H_prepend_one(buffer, arg);
2882                                         }
2883                                         return res;
2884
2885                                 } else {
2886
2887                                         // leading one
2888                                         map_trafo_H_1mx recursion;
2889                                         map_trafo_H_mult unify;
2890                                         ex res = H(lst{ex(1)}, arg).hold() * H(newparameter, arg).hold();
2891                                         std::size_t firstzero = 0;
2892                                         while (parameter.op(firstzero) == 1) {
2893                                                 firstzero++;
2894                                         }
2895                                         for (std::size_t i = firstzero-1; i < parameter.nops()-1; i++) {
2896                                                 lst newparameter;
2897                                                 std::size_t j=0;
2898                                                 for (; j<=i; j++) {
2899                                                         newparameter.append(parameter[j+1]);
2900                                                 }
2901                                                 newparameter.append(1);
2902                                                 for (; j<parameter.nops()-1; j++) {
2903                                                         newparameter.append(parameter[j+1]);
2904                                                 }
2905                                                 res -= H(newparameter, arg).hold();
2906                                         }
2907                                         res = recursion(res).expand() / firstzero;
2908                                         return unify(res);
2909                                 }
2910                         }
2911                 }
2912                 return e;
2913         }
2914 };
2915
2916
2917 // do x -> 1/x transformation
2918 struct map_trafo_H_1overx : public map_function
2919 {
2920         ex operator()(const ex& e) override
2921         {
2922                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2923                         return e.map(*this);
2924                 }
2925
2926                 if (is_a<function>(e)) {
2927                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2928                         if (name == "H") {
2929
2930                                 lst parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2931                                 ex arg = e.op(1);
2932
2933                                 // special cases if all parameters are either 0, 1 or -1
2934                                 bool allthesame = true;
2935                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2936                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2937                                                 if (parameter.op(i) != 0) {
2938                                                         allthesame = false;
2939                                                         break;
2940                                                 }
2941                                         }
2942                                         if (allthesame) {
2943                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(parameter, 1/arg).hold();
2944                                         }
2945                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {
2946                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2947                                                 if (parameter.op(i) != -1) {
2948                                                         allthesame = false;
2949                                                         break;
2950                                                 }
2951                                         }
2952                                         if (allthesame) {
2953                                                 map_trafo_H_mult unify;
2954                                                 return unify((pow(H(lst{ex(-1)},1/arg).hold() - H(lst{ex(0)},1/arg).hold(), parameter.nops())
2955                                                        / factorial(parameter.nops())).expand());
2956                                         }
2957                                 } else {
2958                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2959                                                 if (parameter.op(i) != 1) {
2960                                                         allthesame = false;
2961                                                         break;
2962                                                 }
2963                                         }
2964                                         if (allthesame) {
2965                                                 map_trafo_H_mult unify;
2966                                                 return unify((pow(H(lst{ex(1)},1/arg).hold() + H(lst{ex(0)},1/arg).hold() + H_polesign, parameter.nops())
2967                                                        / factorial(parameter.nops())).expand());
2968                                         }
2969                                 }
2970
2971                                 lst newparameter = parameter;
2972                                 newparameter.remove_first();
2973
2974                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2975                                         
2976                                         // leading zero
2977                                         ex res = convert_H_to_zeta(parameter);
2978                                         map_trafo_H_1overx recursion;
2979                                         ex buffer = recursion(H(newparameter, arg).hold());
2980                                         if (is_a<add>(buffer)) {
2981                                                 for (std::size_t i = 0; i < buffer.nops(); i++) {
2982                                                         res += trafo_H_1tx_prepend_zero(buffer.op(i), arg);
2983                                                 }
2984                                         } else {
2985                                                 res += trafo_H_1tx_prepend_zero(buffer, arg);
2986                                         }
2987                                         return res;
2988
2989                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {