src/float/transcendental/cl_LF_pi.cc

   1 // cl_pi().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_F_tran.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cl_lfloat.h"
  13 #include "cl_LF_tran.h"
  14 #include "cl_LF.h"
  15 #include "cl_integer.h"
  16 #include "cl_alloca.h"
  17
  18 ALL_cl_LF_OPERATIONS_SAME_PRECISION()
  19
  20 // For the next algorithms, I warmly recommend
  21 // [Jörg Arndt: hfloat documentation, august 1996,
  22 //  http://www.tu-chemnitz.de/~arndt/ hfdoc.dvi
  23 //  But beware of the typos in his formulas! ]
  24
  25 const cl_LF compute_pi_brent_salamin (uintC len)
  26 {
  27         // Methode:
  28         // [Richard P. Brent: Fast multiple-precision evaluation of elementary
  29         //  functions. J. ACM 23(1976), 242-251.]
  30         // [Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM.
  31         //  Wiley 1987. Algorithm 2.2, p. 48.]
  32         // [Jörg Arndt, formula (4.51)-(4.52).]
  33         //    pi = AGM(1,1/sqrt(2))^2 * 2/(1 - sum(k=0..infty, 2^k c_k^2)).
  34         // where the AGM iteration reads
  35         //    a_0 := 1, b_0 := 1/sqrt(2).
  36         //    a_(k+1) := (a_k + b_k)/2, b_(k+1) := sqrt(a_k*b_k).
  37         // and we set
  38         //    c_k^2 := a_k^2 - b_k^2,
  39         // i.e. c_0^2 = 1/2,
  40         //      c_(k+1)^2 = a_(k+1)^2 - b_(k+1)^2 = (a_k - b_k)^2/4
  41         //                = (a_k - a_(k+1))^2.
  42         // (Actually c_(k+1) is _defined_ as  = a_k - a_(k+1) = (a_k - b_k)/2.)
  43         // d=len, n:=intDsize*d. Verwende Long-Floats mit intDsize*(d+1)
  44         // Mantissenbits.
  45         // (let* ((a (coerce 1 'long-float)) ; 1
  46         //        (b (sqrt (scale-float a -1))) ; 2^-(1/2)
  47         //        (eps (scale-float a (- n))) ; 2^-n
  48         //        (t (scale-float a -2)) ; 1/4
  49         //        (k 0)
  50         //       )
  51         //   (loop
  52         //     (when (< (- a b) eps) (return))
  53         //     (let ((y a))
  54         //       (setq a (scale-float (+ a b) -1))
  55         //       (setq b (sqrt (* b y)))
  56         //       (setq t (- t (scale-float (expt (- a y) 2) k)))
  57         //     )
  58         //     (incf k)
  59         //   )
  60         //   (/ (expt a 2) t)
  61         // )
  62         var uintC actuallen = len + 1; // 1 Schutz-Digit
  63         var uintL uexp_limit = LF_exp_mid - intDsize*(uintL)len;
  64         // Ein Long-Float ist genau dann betragsmäßig <2^-n, wenn
  65         // sein Exponent < LF_exp_mid-n = uexp_limit ist.
  66         var cl_LF a = cl_I_to_LF(1,actuallen);
  67         var cl_LF b = sqrt(scale_float(a,-1));
  68         var uintL k = 0;
  69         var cl_LF t = scale_float(a,-2);
  70         until (TheLfloat(a-b)->expo < uexp_limit) {
  71                 // |a-b| < 2^-n -> fertig
  72                 var cl_LF new_a = scale_float(a+b,-1); // (a+b)/2
  73                 b = sqrt(a*b);
  74                 var cl_LF a_diff = new_a - a;
  75                 t = t - scale_float(square(a_diff),k);
  76                 a = new_a;
  77                 k++;
  78         }
  79         var cl_LF pi = square(a)/t; // a^2/t
  80         return shorten(pi,len); // verkürzen und fertig
  81 }
  82 // Bit complexity (N := len): O(log(N)*M(N)).
  83
  84 const cl_LF compute_pi_brent_salamin_quartic (uintC len)
  85 {
  86         // See [Borwein, Borwein, section 1.4, exercise 3, p. 17].
  87         // See also [Jörg Arndt], formulas (4.52) and (3.30)[wrong!].
  88         // As above, we are using the formula
  89         //    pi = AGM(1,1/sqrt(2))^2 * 2/(1 - sum(k=0..infty, 2^k c_k^2)).
  90         // where the AGM iteration reads
  91         //    a_0 := 1, b_0 := 1/sqrt(2).
  92         //    a_(k+1) := (a_k + b_k)/2, b_(k+1) := sqrt(a_k*b_k).
  93         // But we keep computing with
  94         //    wa_k := sqrt(a_k)  and  wb_k := sqrt(b_k)
  95         // at the same time and do two iteration steps at once.
  96         // The iteration takes now takes the form
  97         //    wa_0 := 1, wb_0 := 2^-1/4,
  98         //    (wa_k, wb_k, a_k, b_k)
  99         //    -->         ((wa_k^2 + wb_k^2)/2, wa_k*wb_k)
 100         //    -->         (((wa_k + wb_k)/2)^2, sqrt(wa_k*wb_k*(wa_k^2 + wb_k^2)/2)),
 101         //    i.e. wa_(k+2) = (wa_k + wb_k)/2 and
 102         //         wb_(k+2) = sqrt(sqrt(wa_k*wb_k*(wa_k^2 + wb_k^2)/2)).
 103         // For the sum, we can group two successive items together:
 104         //   2^k * c_k^2 + 2^(k+1) * c_(k+1)^2
 105         //   = 2^k * [(a_k^2 - b_k^2) + 2*((a_k - b_k)/2)^2]
 106         //   = 2^k * [3/2*a_k^2 - a_k*b_k - 1/2*b_k^2]
 107         //   = 2^k * [2*a_k^2 - 1/2*(a_k+b_k)^2]
 108         //   = 2^(k+1) * [a_k^2 - ((a_k+b_k)/2)^2]
 109         //   = 2^(k+1) * [wa_k^4 - ((wa_k^2+wb_k^2)/2)^2].
 110         // Hence,
 111         //   pi = AGM(1,1/sqrt(2))^2 * 1/(1/2 - sum(k even, 2^k*[....])).
 112         var uintC actuallen = len + 1; // 1 Schutz-Digit
 113         var uintL uexp_limit = LF_exp_mid - intDsize*(uintL)len;
 114         var cl_LF one = cl_I_to_LF(1,actuallen);
 115         var cl_LF a = one;
 116         var cl_LF wa = one;
 117         var cl_LF b = sqrt(scale_float(one,-1));
 118         var cl_LF wb = sqrt(b);
 119         // We keep a = wa^2, b = wb^2.
 120         var uintL k = 0;
 121         var cl_LF t = scale_float(one,-1);
 122         until (TheLfloat(wa-wb)->expo < uexp_limit) {
 123                 // |wa-wb| < 2^-n -> fertig
 124                 var cl_LF wawb = wa*wb;
 125                 var cl_LF new_wa = scale_float(wa+wb,-1);
 126                 var cl_LF a_b = scale_float(a+b,-1);
 127                 var cl_LF new_a = scale_float(a_b+wawb,-1);
 128                 var cl_LF new_b = sqrt(wawb*a_b);
 129                 var cl_LF new_wb = sqrt(new_b);
 130                 t = t - scale_float((a - a_b)*(a + a_b),k);
 131                 a = new_a; wa = new_wa;
 132                 b = new_b; wb = new_wb;
 133                 k += 2;
 134         }
 135         var cl_LF pi = square(a)/t;
 136         return shorten(pi,len); // verkürzen und fertig
 137 }
 138 // Bit complexity (N := len): O(log(N)*M(N)).
 139
 140 const cl_LF compute_pi_ramanujan_163 (uintC len)
 141 {
 142         // 1/pi = 1/sqrt(-1728 J)
 143         //        * sum(n=0..infty, (6n)! (A+nB) / 12^(3n) (3n)! n!^3 J^n)
 144         // mit J = -53360^3 = - (2^4 5 23 29)^3
 145         //     A = 163096908 = 2^2 3 13 1045493
 146         //     B = 6541681608 = 2^3 3^3 7 11 19 127 163
 147         // See [Jörg Arndt], formulas (4.27)-(4.30).
 148         // This is also the formula used in Pari.
 149         // The absolute value of the n-th summand is approximately
 150         //   |J|^-n * n^(-1/2) * B/(2*pi^(3/2)),
 151         // hence every summand gives more than 14 new decimal digits
 152         // in precision.
 153         // The sum is best evaluated using fixed-point arithmetic,
 154         // so that the precision is reduced for the later summands.
 155         var uintL actuallen = len + 4; // 4 Schutz-Digits
 156         var sintL scale = intDsize*actuallen;
 157         static const cl_I A = "163096908";
 158         static const cl_I B = "6541681608";
 159         //static const cl_I J1 = "10939058860032000"; // 72*abs(J)
 160         static const cl_I J2 = "333833583375"; // odd part of J1
 161         var cl_I sum = 0;
 162         var cl_I n = 0;
 163         var cl_I factor = ash(1,scale);
 164         while (!zerop(factor)) {
 165                 sum = sum + factor * (A+n*B);
 166                 factor = factor * ((6*n+1)*(2*n+1)*(6*n+5));
 167                 n = n+1;
 168                 factor = truncate1(factor,n*n*n*J2);
 169                 // Finally divide by 2^15 and change sign.
 170                 if (minusp(factor))
 171                         factor = (-factor) >> 15;
 172                 else
 173                         factor = -(factor >> 15);
 174         }
 175         var cl_LF fsum = scale_float(cl_I_to_LF(sum,actuallen),-scale);
 176         static const cl_I J3 = "262537412640768000"; // -1728*J
 177         var cl_LF pi = sqrt(cl_I_to_LF(J3,actuallen)) / fsum;
 178         return shorten(pi,len); // verkürzen und fertig
 179 }
 180 // Bit complexity (N := len): O(N^2).
 181
 182 #if defined(__mips__) && !defined(__GNUC__) // workaround SGI CC bug
 183 #define A A_fast
 184 #define B B_fast
 185 #define J3 J3_fast
 186 #endif
 187
 188 const cl_LF compute_pi_ramanujan_163_fast (uintC len)
 189 {
 190         // Same formula as above, using a binary splitting evaluation.
 191         // See [Borwein, Borwein, section 10.2.3].
 192         var uintL actuallen = len + 4; // 4 Schutz-Digits
 193         static const cl_I A = "163096908";
 194         static const cl_I B = "6541681608";
 195         static const cl_I J1 = "10939058860032000"; // 72*abs(J)
 196         // Evaluate a sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
 197         // with appropriate N, and
 198         //   a(n) = A+n*B, b(n) = 1,
 199         //   p(n) = -(6n-5)(2n-1)(6n-1) for n>0,
 200         //   q(n) = 72*|J|*n^3 for n>0.
 201         var const uintL n_slope = (uintL)(intDsize*32*0.02122673)+1;
 202         // n_slope >= 32*intDsize*log(2)/log(|J|), normally n_slope = 22.
 203         var uintL N = (n_slope*actuallen)/32 + 1;
 204         // N > intDsize*log(2)/log(|J|) * actuallen, hence
 205         // |J|^-N < 2^(-intDsize*actuallen).
 206         CL_ALLOCA_STACK;
 207         var cl_I* av = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 208         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 209         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 210         var uintL* qsv = (uintL*) cl_alloca(N*sizeof(uintL));
 211         var uintL n;
 212         for (n = 0; n < N; n++) {
 213                 init1(cl_I, av[n]) (A+n*B);
 214                 if (n==0) {
 215                         init1(cl_I, pv[n]) (1);
 216                         init1(cl_I, qv[n]) (1);
 217                 } else {
 218                         init1(cl_I, pv[n]) (-((cl_I)(6*n-5)*(cl_I)(2*n-1)*(cl_I)(6*n-1)));
 219                         init1(cl_I, qv[n]) ((cl_I)n*(cl_I)n*(cl_I)n*J1);
 220                 }
 221         }
 222         var cl_pqa_series series;
 223         series.av = av;
 224         series.pv = pv; series.qv = qv;
 225         series.qsv = (len >= 35 ? qsv : 0); // 5% speedup for large len's
 226         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,series,actuallen);
 227         for (n = 0; n < N; n++) {
 228                 av[n].~cl_I();
 229                 pv[n].~cl_I();
 230                 qv[n].~cl_I();
 231         }
 232         static const cl_I J3 = "262537412640768000"; // -1728*J
 233         var cl_LF pi = sqrt(cl_I_to_LF(J3,actuallen)) / fsum;
 234         return shorten(pi,len); // verkürzen und fertig
 235 }
 236 // Bit complexity (N := len): O(log(N)^2*M(N)).
 237
 238 // Timings of the above algorithms, on an i486 33 MHz, running Linux.
 239 //    N      Brent   Brent4  R 163   R 163 fast
 240 //    10     0.0079  0.0079  0.0052  0.0042
 241 //    25     0.026   0.026   0.014   0.012
 242 //    50     0.085   0.090   0.037   0.033
 243 //   100     0.29    0.29    0.113   0.098
 244 //   250     1.55    1.63    0.60    0.49
 245 //   500     5.7     5.7     2.24    1.71
 246 //  1000    21.6    22.9     8.5     5.5
 247 //  2500    89      95      49      19.6
 248 //  5000   217     218     188      49
 249 // 10000   509     540     747     117
 250 // 25000  1304    1310    4912     343
 251 // We see that
 252 //   - "Brent4" isn't worth it: No speed improvement over "Brent".
 253 //   - "R 163" is pretty fast at the beginning, but it is an O(N^2)
 254 //     algorithm, hence it loses in the end,
 255 //   - "R 163 fast", which uses the same formula as "R 163", but evaluates
 256 //     it using binary splitting, is an O(log N * M(N)) algorithm, and
 257 //     outperforms all of the others.
 258
 259 const cl_LF cl_pi (uintC len)
 260 {
 261         var uintC oldlen = TheLfloat(cl_LF_pi)->len; // vorhandene Länge
 262         if (len < oldlen)
 263                 return shorten(cl_LF_pi,len);
 264         if (len == oldlen)
 265                 return cl_LF_pi;
 266
 267         // TheLfloat(cl_LF_pi)->len um mindestens einen konstanten Faktor
 268         // > 1 wachsen lassen, damit es nicht zu häufig nachberechnet wird:
 269         var uintC newlen = len;
 270         oldlen += floor(oldlen,2); // oldlen * 3/2
 271         if (newlen < oldlen)
 272                 newlen = oldlen;
 273
 274         // gewünschte > vorhandene Länge -> muß nachberechnen:
 275         cl_LF_pi = compute_pi_ramanujan_163_fast(newlen);
 276         return (len < newlen ? shorten(cl_LF_pi,len) : cl_LF_pi);
 277 }