src/float/transcendental/cl_LF_eulerconst.cc

   1 // eulerconst().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_F_tran.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cln/lfloat.h"
  13 #include "cl_LF_tran.h"
  14 #include "cl_LF.h"
  15 #include "cln/integer.h"
  16 #include "cl_alloca.h"
  17 #include "cln/abort.h"
  18
  19 namespace cln {
  20
  21 #if 0 // works, but besselintegral4 is always faster
  22
  23 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral (uintC len)
  24 {
  25         // [Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM.
  26         //  Wiley 1987. Section 10.2.3, exercise 11, p. 336]
  27         // Use the following formula for the modified exponential integral
  28         // (valid for Re(z) > 0)
  29         //   E1(z) := integral(t = z..+infty, exp(-t)/t dt)
  30         //   E1(z) = - log z - C + sum(n=1..infty, (-1)^(n-1) z^n / (n*n!))
  31         // [Hint for proving this formula:
  32         //  1. Learn about the elementary properties of the Gamma function.
  33         //  2. -C = derivative of Gamma at 1
  34         //        = lim_{z -> 0} (Gamma(z) - 1/z)
  35         //        = integral(t = 0..1, (exp(-t)-1)/t dt)
  36         //          + integral(t = 1..infty, exp(-t)/t dt)
  37         //  3. Add
  38         //     0 = integral(t=0..1, 1/(t+1)) - integral(t=1..infty, 1/t(t+1) dt)
  39         //     to get
  40         //     -C = integral(t = 0..infty, (exp(-t)/t - 1/t(t+1)) dt)
  41         //  4. Compute E1(z) + C and note that E1(z) + C + log z is the integral
  42         //     of an entire function, hence an entire function as well.]
  43         // Of course we also have the estimate
  44         //   |E1(z)| < exp(-Re(z)).
  45         // This means that we can get C by computing
  46         //   sum(n=1..infty, (-1)^(n-1) z^n / (n*n!)) - log z
  47         // for large z.
  48         // In order to get M bits of precision, we first choose z (real) such
  49         // that exp(-z) < 2^-M. This will make |E1(z)| small enough. z should
  50         // be chosen as an integer, this is the key to computing the series
  51         // sum very fast. z = M*log(2) + O(1).
  52         // Then we choose the number N of terms:
  53         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
  54         //     n*log(z) - n*log(n) + n - 3/2*log(n) - log(sqrt(2 pi)) + o(1).
  55         //   The derivative of this with respect to n is
  56         //     log(z) - log(n) - 3/(2n) + o(1/n),
  57         //   hence is increasing for n < z and decreasing for n > z.
  58         //   The maximum value is attained at n = z + O(1), and is z + O(log z),
  59         //   which means that we need z/log(2) + O(log z) bits before the
  60         //   decimal point.
  61         //   We can cut off the series when
  62         //    n*log(z) - n*log(n) + n - 3/2*log(n) - log(sqrt(2 pi)) < -M*log(2)
  63         //   This happens at n = alpha*z - 3/(2*log(alpha))*log(z) + O(1),
  64         //   where alpha = 3.591121477... is the solution of
  65         //     -alpha*log(alpha) + alpha + 1 = 0.
  66         //   [Use the Newton iteration  alpha --> (alpha+1)/log(alpha)  to
  67         //    compute this number.]
  68         // Finally we compute the series's sum as
  69         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
  70         // with a(n) = 1, b(n) = n+1, p(n) = z for n=0, -z for n>0, q(n) = n+1.
  71         // If we computed this with floating-point numbers, we would have
  72         // to more than double the floating-point precision because of the large
  73         // extinction which takes place. But luckily we compute with integers.
  74         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
  75         var uintL z = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
  76         var uintL N = (uintL)(3.591121477*z);
  77         CL_ALLOCA_STACK;
  78         var cl_I* bv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  79         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  80         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
  81         var uintL n;
  82         for (n = 0; n < N; n++) {
  83                 init1(cl_I, bv[n]) (n+1);
  84                 init1(cl_I, pv[n]) (n==0 ? (cl_I)z : -(cl_I)z);
  85                 init1(cl_I, qv[n]) (n+1);
  86         }
  87         var cl_pqb_series series;
  88         series.bv = bv;
  89         series.pv = pv; series.qv = qv; series.qsv = NULL;
  90         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,series,actuallen);
  91         for (n = 0; n < N; n++) {
  92                 bv[n].~cl_I();
  93                 pv[n].~cl_I();
  94                 qv[n].~cl_I();
  95         }
  96         fsum = fsum - ln(cl_I_to_LF(z,actuallen)); // log(z) subtrahieren
  97         return shorten(fsum,len); // verkürzen und fertig
  98 }
  99 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
 100
 101 #endif
 102
 103 #if 0 // works, but besselintegral1 is twice as fast
 104
 105 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral1 (uintC len)
 106 {
 107         // Define f(z) := sum(n=0..infty, z^n/n!) = exp(z)
 108         // and    g(z) := sum(n=0..infty, H_n*z^n/n!)
 109         // where H_n := 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.
 110         // The following formula can be proved:
 111         //   g'(z) - g(z) = (exp(z)-1)/z,
 112         //   g(z) = exp(z)*(log(z) + c3 + integral(t=..z, exp(-t)/t dt))
 113         // The Laplace method for determining the asymptotics of an integral
 114         // or sum yields for real x>0 (the terms n = x+O(x^(1/2)) are
 115         // dominating):
 116         //   f(x) = exp(x)*(1 + O(x^(-1/2)))
 117         //   g(x) = exp(x)*(log(x) + C + O(log(x)*x^(-1/2)))
 118         // Hence
 119         //   g(x)/f(x) - log(x) - C = O(log(x)*x^(-1/2))
 120         // This determines the constant c3, we thus have
 121         //   g(z) = exp(z)*(log(z) + C + integral(t=z..infty, exp(-t)/t dt))
 122         // Hence we have for x -> infty:
 123         //   g(x)/f(x) - log(x) - C == O(exp(-x))
 124         // This means that we can get C by computing
 125         //   g(x)/f(x) - log(x)
 126         // for large x.
 127         // In order to get M bits of precision, we first choose x (real) such
 128         // that exp(-x) < 2^-M. This will make the absolute value of the
 129         // integral small enough. x should be chosen as an integer, this is
 130         // the key to computing the series sum very fast. x = M*log(2) + O(1).
 131         // Then we choose the number N of terms:
 132         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
 133         //     n*log(x) - n*log(n) + n - 1/2*log(n) - 1/2*log(2 pi) + o(1).
 134         //   The derivative of this with respect to n is
 135         //     log(x) - log(n) - 1/2n + o(1/n),
 136         //   hence is increasing for n < x and decreasing for n > x.
 137         //   The maximum value is attained at n = x + O(1), and is
 138         //   x + O(log x), which means that we need x/log(2) + O(log x)
 139         //   bits before the decimal point. This also follows from the
 140         //   asymptotic estimate for f(x).
 141         //   We can cut off the series when the relative error is < 2^-M,
 142         //   i.e. when the absolute error is < 2^-M*exp(x), i.e.
 143         //     n*log(x) - n*log(n) + n - 1/2*log(n) - 1/2*log(2 pi) <
 144         //     < -M*log(2) + x
 145         //   This happens at n = e*x - 1/2*log(x) + O(1).
 146         // Finally we compute the sums of the series f(x) and g(x) with N terms
 147         // each.
 148         // We compute f(x) classically and g(x) using the partial sums of f(x).
 149         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 150         var uintL x = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 151         var uintL N = (uintL)(2.718281828*x);
 152         var cl_LF one = cl_I_to_LF(1,actuallen);
 153         var cl_LF fterm = one;
 154         var cl_LF fsum = fterm;
 155         var cl_LF gterm = cl_I_to_LF(0,actuallen);
 156         var cl_LF gsum = gterm;
 157         var uintL n;
 158         // After n loops
 159         //   fterm = x^n/n!, fsum = 1 + x/1! + ... + x^n/n!,
 160         //   gterm = H_n*x^n/n!, gsum = H_1*x/1! + ... + H_n*x^n/n!.
 161         for (n = 1; n < N; n++) {
 162                 fterm = The(cl_LF)(fterm*x)/n;
 163                 gterm = (The(cl_LF)(gterm*x) + fterm)/n;
 164                 if (len < 10 || n <= x) {
 165                         fsum = fsum + fterm;
 166                         gsum = gsum + gterm;
 167                 } else {
 168                         // For n > x, the terms are decreasing.
 169                         // So we can reduce the precision accordingly.
 170                         fterm = cl_LF_shortenwith(fterm,one);
 171                         gterm = cl_LF_shortenwith(gterm,one);
 172                         fsum = fsum + LF_to_LF(fterm,actuallen);
 173                         gsum = gsum + LF_to_LF(gterm,actuallen);
 174                 }
 175         }
 176         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(x,actuallen));
 177         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 178 }
 179 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 180
 181 #endif
 182
 183 #if 0 // works, but besselintegral4 is always faster
 184
 185 // Same algorithm as expintegral1, but using binary splitting to evaluate
 186 // the sums.
 187 const cl_LF compute_eulerconst_expintegral2 (uintC len)
 188 {
 189         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 190         var uintL x = (uintL)(0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 191         var uintL N = (uintL)(2.718281828*x);
 192         CL_ALLOCA_STACK;
 193         var cl_pqd_series_term* args = (cl_pqd_series_term*) cl_alloca(N*sizeof(cl_pqd_series_term));
 194         var uintL n;
 195         for (n = 0; n < N; n++) {
 196                 init1(cl_I, args[n].p) (x);
 197                 init1(cl_I, args[n].q) (n+1);
 198                 init1(cl_I, args[n].d) (n+1);
 199         }
 200         var cl_pqd_series_result sums;
 201         eval_pqd_series_aux(N,args,sums);
 202         // Instead of computing  fsum = 1 + T/Q  and  gsum = V/(D*Q)
 203         // and then dividing them, to compute  gsum/fsum, we save two
 204         // divisions by computing  V/(D*(Q+T)).
 205         var cl_LF result =
 206           cl_I_to_LF(sums.V,actuallen)
 207           / The(cl_LF)(sums.D * cl_I_to_LF(sums.Q+sums.T,actuallen))
 208           - ln(cl_I_to_LF(x,actuallen));
 209         for (n = 0; n < N; n++) {
 210                 args[n].p.~cl_I();
 211                 args[n].q.~cl_I();
 212                 args[n].d.~cl_I();
 213         }
 214         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 215 }
 216 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
 217
 218 #endif
 219
 220 // cl_LF compute_eulerconst_besselintegral (uintC len)
 221         // This is basically the algorithm used in Pari.
 222         // Define f(z) := sum(n=0..infty, z^n/n!^2)
 223         // and    g(z) := sum(n=0..infty, H_n*z^n/n!^2)
 224         // where H_n := 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.
 225         // [f(z) and g(z) are intimately related to the Bessel functions:
 226         //  f(x^2) = I_0(2*x), g(x^2) = K_0(2*x) + I_0(2*x*)*(C + log(x)).]
 227         // The following formulas can be proved:
 228         //   z f''(z) + f'(z) - f(z) = 0,
 229         //   z g''(z) + g'(z) - g(z) = f'(z),
 230         //   g(z) = (log(z)/2 + c3 - 1/2 integral(t=..z, 1/(t f(t)^2) dt)) f(z)
 231         // The Laplace method for determining the asymptotics of an integral
 232         // or sum yields for real x>0 (the terms n = sqrt(x)+O(x^(1/4)) are
 233         // dominating):
 234         //   f(x) = exp(2*sqrt(x))*x^(-1/4)*1/(2*sqrt(pi))*(1 + O(x^(-1/4)))
 235         //   g(x) = exp(2*sqrt(x))*x^(-1/4)*1/(2*sqrt(pi))*
 236         //          (1/2*log(x) + C + O(log(x)*x^(-1/4)))
 237         // Hence
 238         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x) - C = O(log(x)*x^(-1/4))
 239         // This determines the constant c3, we thus have
 240         // g(z)= (log(z)/2 + C + 1/2 integral(t=z..infty, 1/(t f(t)^2) dt)) f(z)
 241         // Hence we have for x -> infty:
 242         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x) - C == pi*exp(-4*sqrt(x)) [approx.]
 243         // This means that we can get C by computing
 244         //   g(x)/f(x) - 1/2*log(x)
 245         // for large x.
 246         // In order to get M bits of precision, we first choose x (real) such
 247         // that exp(-4*sqrt(x)) < 2^-(M+2). This will make the absolute value
 248         // of the integral small enough. x should be chosen as an integer,
 249         // this is the key to computing the series sum very fast. sqrt(x)
 250         // need not be an integer. Set sx = sqrt(x).
 251         // sx = M*log(2)/4 + O(1).
 252         // Then we choose the number N of terms:
 253         //   Note than the n-th term's absolute value is (logarithmically)
 254         //     n*log(x) - 2*n*log(n) + 2*n - log(n) - log(2 pi) + o(1).
 255         //   The derivative of this with respect to n is
 256         //     log(x) - 2*log(n) - 1/n + o(1/n),
 257         //   hence is increasing for n < sx and decreasing for n > sx.
 258         //   The maximum value is attained at n = sx + O(1), and is
 259         //   2*sx + O(log x), which means that we need 2*sx/log(2) + O(log x)
 260         //   bits before the decimal point. This also follows from the
 261         //   asymptotic estimate for f(x).
 262         //   We can cut off the series when the relative error is < 2^-M,
 263         //   i.e. when the absolute error is
 264         //      < 2^-M*exp(2*sx)*sx^(-1/2)*1/(2*sqrt(pi)),
 265         //   i.e.
 266         //     n*log(x) - 2*n*log(n) + 2*n - log(n) - log(2 pi) <
 267         //     < -M*log(2) + 2*sx - 1/2*log(sx) - log(2 sqrt(pi))
 268         //   This happens at n = alpha*sx - 1/(4*log(alpha))*log(sx) + O(1),
 269         //   where alpha = 3.591121477... is the solution of
 270         //     -alpha*log(alpha) + alpha + 1 = 0.
 271         //   [Use the Newton iteration  alpha --> (alpha+1)/log(alpha)  to
 272         //    compute this number.]
 273         // Finally we compute the sums of the series f(x) and g(x) with N terms
 274         // each.
 275
 276 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral1 (uintC len)
 277 {
 278         // We compute f(x) classically and g(x) using the partial sums of f(x).
 279         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 280         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 281         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 282         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 283         var cl_LF eps = scale_float(cl_I_to_LF(1,LF_minlen),-(sintL)(sx*2.88539+10));
 284         var cl_LF fterm = cl_I_to_LF(1,actuallen);
 285         var cl_LF fsum = fterm;
 286         var cl_LF gterm = cl_I_to_LF(0,actuallen);
 287         var cl_LF gsum = gterm;
 288         var uintL n;
 289         // After n loops
 290         //   fterm = x^n/n!^2, fsum = 1 + x/1!^2 + ... + x^n/n!^2,
 291         //   gterm = H_n*x^n/n!^2, gsum = H_1*x/1!^2 + ... + H_n*x^n/n!^2.
 292         for (n = 1; n < N; n++) {
 293                 fterm = The(cl_LF)(fterm*x)/square((cl_I)n);
 294                 gterm = (The(cl_LF)(gterm*x)/(cl_I)n + fterm)/(cl_I)n;
 295                 if (len < 10 || n <= sx) {
 296                         fsum = fsum + fterm;
 297                         gsum = gsum + gterm;
 298                 } else {
 299                         // For n > sx, the terms are decreasing.
 300                         // So we can reduce the precision accordingly.
 301                         fterm = cl_LF_shortenwith(fterm,eps);
 302                         gterm = cl_LF_shortenwith(gterm,eps);
 303                         fsum = fsum + LF_to_LF(fterm,actuallen);
 304                         gsum = gsum + LF_to_LF(gterm,actuallen);
 305                 }
 306         }
 307         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 308         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 309 }
 310 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 311
 312 #if 0 // works, but besselintegral1 is faster
 313
 314 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral2 (uintC len)
 315 {
 316         // We compute the sum of the series f(x) as
 317         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
 318         // with a(n) = 1, b(n) = 1, p(n) = x for n>0, q(n) = n^2 for n>0.
 319         // and the sum of the series g(x) as
 320         //   sum(0 <= n < N, a(n)/b(n) * (p(0)...p(n))/(q(0)...q(n)))
 321         // with
 322         // a(n) = HN_{n+1}, b(n) = 1, p(n) = x, q(n) = (n+1)^2 * HD_{n+1}/HD_{n}
 323         // where HD_n := lcm(1,...,n) and HN_n := HD_n * H_n. (Note that
 324         // HD_n need not be the lowest possible denominator of H_n. For
 325         // example, n=6: H_6 = 49/20, but HD_6 = 60.)
 326         // WARNING: The memory used by this algorithm grown quadratically in N.
 327         // (Because HD_n grows like exp(n), hence HN_n grows like exp(n) as
 328         // well, and we store all HN_n values in an array!)
 329         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 330         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 331         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 332         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 333         CL_ALLOCA_STACK;
 334         var cl_I* av = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 335         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 336         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 337         var uintL n;
 338         // Evaluate f(x).
 339         init1(cl_I, pv[0]) (1);
 340         init1(cl_I, qv[0]) (1);
 341         for (n = 1; n < N; n++) {
 342                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 343                 init1(cl_I, qv[n]) ((cl_I)n*(cl_I)n);
 344         }
 345         var cl_pq_series fseries;
 346         fseries.pv = pv; fseries.qv = qv; fseries.qsv = NULL;
 347         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,fseries,actuallen);
 348         for (n = 0; n < N; n++) {
 349                 pv[n].~cl_I();
 350                 qv[n].~cl_I();
 351         }
 352         // Evaluate g(x).
 353         var cl_I HN = 0;
 354         var cl_I HD = 1;
 355         for (n = 0; n < N; n++) {
 356                 // Now HN/HD = H_n.
 357                 var cl_I Hu = gcd(HD,n+1);
 358                 var cl_I Hv = exquopos(n+1,Hu);
 359                 HN = HN*Hv + exquopos(HD,Hu);
 360                 HD = HD*Hv;
 361                 // Now HN/HD = H_{n+1}.
 362                 init1(cl_I, av[n]) (HN);
 363                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 364                 init1(cl_I, qv[n]) (Hv*(cl_I)(n+1)*(cl_I)(n+1));
 365         }
 366         var cl_pqa_series gseries;
 367         gseries.av = av;
 368         gseries.pv = pv; gseries.qv = qv; gseries.qsv = NULL;
 369         var cl_LF gsum = eval_rational_series(N,gseries,actuallen);
 370         for (n = 0; n < N; n++) {
 371                 av[n].~cl_I();
 372                 pv[n].~cl_I();
 373                 qv[n].~cl_I();
 374         }
 375         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 376         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 377 }
 378 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 379 // Memory consumption: O(N^2).
 380
 381 // Same algorithm as besselintegral2, but without quadratic memory consumption.
 382 #define cl_rational_series_for_g cl_rational_series_for_besselintegral3_g
 383 struct cl_rational_series_for_g : cl_pqa_series_stream {
 384         uintL n;
 385         cl_I HN;
 386         cl_I HD;
 387         cl_I x;
 388         static cl_pqa_series_term computenext (cl_pqa_series_stream& thisss)
 389         {
 390                 var cl_rational_series_for_g& thiss = (cl_rational_series_for_g&)thisss;
 391                 var uintL n = thiss.n;
 392                 // Now HN/HD = H_n.
 393                 var cl_I Hu = gcd(thiss.HD,n+1);
 394                 var cl_I Hv = exquopos(n+1,Hu);
 395                 thiss.HN = thiss.HN*Hv + exquopos(thiss.HD,Hu);
 396                 thiss.HD = thiss.HD*Hv;
 397                 // Now HN/HD = H_{n+1}.
 398                 var cl_pqa_series_term result;
 399                 result.p = thiss.x;
 400                 result.q = Hv*(cl_I)(n+1)*(cl_I)(n+1);
 401                 result.a = thiss.HN;
 402                 thiss.n = n+1;
 403                 return result;
 404         }
 405         cl_rational_series_for_g (const cl_I& _x)
 406                 : cl_pqa_series_stream (cl_rational_series_for_g::computenext),
 407                   n (0), HN (0), HD (1), x (_x) {}
 408 };
 409 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral3 (uintC len)
 410 {
 411         var uintC actuallen = len+1; // 1 Schutz-Digit
 412         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 413         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 414         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 415         CL_ALLOCA_STACK;
 416         var cl_I* pv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 417         var cl_I* qv = (cl_I*) cl_alloca(N*sizeof(cl_I));
 418         var uintL n;
 419         // Evaluate f(x).
 420         init1(cl_I, pv[0]) (1);
 421         init1(cl_I, qv[0]) (1);
 422         for (n = 1; n < N; n++) {
 423                 init1(cl_I, pv[n]) (x);
 424                 init1(cl_I, qv[n]) ((cl_I)n*(cl_I)n);
 425         }
 426         var cl_pq_series fseries;
 427         fseries.pv = pv; fseries.qv = qv; fseries.qsv = NULL;
 428         var cl_LF fsum = eval_rational_series(N,fseries,actuallen);
 429         for (n = 0; n < N; n++) {
 430                 pv[n].~cl_I();
 431                 qv[n].~cl_I();
 432         }
 433         // Evaluate g(x).
 434         var cl_rational_series_for_g gseries = cl_rational_series_for_g(x);
 435         var cl_LF gsum = eval_rational_series(N,gseries,actuallen);
 436         var cl_LF result = gsum/fsum - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 437         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 438 }
 439 // Bit complexity (N = len): O(N^2).
 440
 441 #endif
 442
 443 // Same algorithm as besselintegral1, but using binary splitting to evaluate
 444 // the sums.
 445 const cl_LF compute_eulerconst_besselintegral4 (uintC len)
 446 {
 447         var uintC actuallen = len+2; // 2 Schutz-Digits
 448         var uintL sx = (uintL)(0.25*0.693148*intDsize*actuallen)+1;
 449         var uintL N = (uintL)(3.591121477*sx);
 450         var cl_I x = square((cl_I)sx);
 451         CL_ALLOCA_STACK;
 452         var cl_pqd_series_term* args = (cl_pqd_series_term*) cl_alloca(N*sizeof(cl_pqd_series_term));
 453         var uintL n;
 454         for (n = 0; n < N; n++) {
 455                 init1(cl_I, args[n].p) (x);
 456                 init1(cl_I, args[n].q) (square((cl_I)(n+1)));
 457                 init1(cl_I, args[n].d) (n+1);
 458         }
 459         var cl_pqd_series_result sums;
 460         eval_pqd_series_aux(N,args,sums);
 461         // Instead of computing  fsum = 1 + T/Q  and  gsum = V/(D*Q)
 462         // and then dividing them, to compute  gsum/fsum, we save two
 463         // divisions by computing  V/(D*(Q+T)).
 464         var cl_LF result =
 465           cl_I_to_LF(sums.V,actuallen)
 466           / The(cl_LF)(sums.D * cl_I_to_LF(sums.Q+sums.T,actuallen))
 467           - ln(cl_I_to_LF(sx,actuallen));
 468         for (n = 0; n < N; n++) {
 469                 args[n].p.~cl_I();
 470                 args[n].q.~cl_I();
 471                 args[n].d.~cl_I();
 472         }
 473         return shorten(result,len); // verkürzen und fertig
 474 }
 475 // Bit complexity (N = len): O(log(N)^2*M(N)).
 476
 477 // Timings of the above algorithms, on an i486 33 MHz, running Linux.
 478 //    N      exp      exp1    exp2    bessel1   bessel2   bessel3   bessel4
 479 //    10     0.51     0.28    0.52     0.11      0.16      0.16      0.15
 480 //    25     2.23     0.83    2.12     0.36      0.62      0.63      0.62
 481 //    50     6.74     2.23    6.54     0.95      1.95      1.97      1.95
 482 //   100    19.1      6.74   20.6      2.96      6.47      6.42      6.3
 483 //   250    84       37.4    78       16.3      33.6      32.0      28.8
 484 //   500   230      136.5   206       60.5       ---     111        85
 485 //  1000   591      520     536      229         ---     377       241
 486 //  1050                             254                           252
 487 //  1100                             277                           266
 488 //  2500  1744             2108    (1268)                          855 (run)
 489 //  2500  1845             2192    (1269)                          891 (real)
 490 //
 491 // asymp.  FAST      N^2     FAST    N^2        N^2      N^2       FAST
 492 // (FAST means O(log(N)^2*M(N)))
 493 //
 494 // The break-even point between "bessel1" and "bessel4" is at about N = 1050.
 495 const cl_LF compute_eulerconst (uintC len)
 496 {
 497         if (len >= 1050)
 498                 return compute_eulerconst_besselintegral4(len);
 499         else
 500                 return compute_eulerconst_besselintegral1(len);
 501 }
 502
 503 const cl_LF eulerconst (uintC len)
 504 {
 505         var uintC oldlen = TheLfloat(cl_LF_eulerconst)->len; // vorhandene Länge
 506         if (len < oldlen)
 507                 return shorten(cl_LF_eulerconst,len);
 508         if (len == oldlen)
 509                 return cl_LF_eulerconst;
 510
 511         // TheLfloat(cl_LF_eulerconst)->len um mindestens einen konstanten Faktor
 512         // > 1 wachsen lassen, damit es nicht zu häufig nachberechnet wird:
 513         var uintC newlen = len;
 514         oldlen += floor(oldlen,2); // oldlen * 3/2
 515         if (newlen < oldlen)
 516                 newlen = oldlen;
 517
 518         // gewünschte > vorhandene Länge -> muß nachberechnen:
 519         cl_LF_eulerconst = compute_eulerconst(newlen);
 520         return (len < newlen ? shorten(cl_LF_eulerconst,len) : cl_LF_eulerconst);
 521 }
 522
 523 }  // namespace cln