src/base/digitseq/cl_DS_div.cc

   1 // cl_UDS_divide().
   2
   3 // General includes.
   4 #include "cl_sysdep.h"
   5
   6 // Specification.
   7 #include "cl_DS.h"
   8
   9
  10 // Implementation.
  11
  12 #include "cl_N.h"
  13 #include "cl_abort.h"
  14
  15 // We observe the following timings:
  16 // Time for dividing 2*N digits by N digits, on a i486 33 MHz running Linux:
  17 //      N   standard  Newton
  18 //      10    0.0003  0.0012
  19 //      25    0.0013  0.0044
  20 //      50    0.0047  0.0125
  21 //     100    0.017   0.037
  22 //     250    0.108   0.146
  23 //     500    0.43    0.44
  24 //    1000    1.72    1.32
  25 //    2500   11.2     4.1
  26 //    5000   44.3     9.5
  27 //   10000  187      20.6
  28 //   -----> Newton faster for N >= 550.
  29 // Time for dividing 3*N digits by N digits, on a i486 33 MHz running Linux:
  30 //      N   standard  Newton
  31 //      10    0.0006  0.0025
  32 //      25    0.0026  0.0103
  33 //      50    0.0092  0.030
  34 //     100    0.035   0.089
  35 //     250    0.215   0.362
  36 //     500    0.85    1.10
  37 //    1000    3.44    3.21
  38 //    2500   23.3     7.9
  39 //    5000   89.0    15.6
  40 //   10000  362      33.1
  41 //   -----> Newton faster for N >= 740.
  42 // Time for dividing m digits by n digits:
  43 //   n = 2,3,5,10,25,50,100,250: Newton never faster.
  44 //   n = 400: Newton faster for m >= 440, m < 600
  45 //   n = 500: Newton faster for m >= 530, m < 900
  46 //   n = 600: Newton faster for m >= 630, m < 1250
  47 //   n = 700: Newton faster for m >= 730, m < 1530
  48 //   n = 800: Newton faster for m >= 825, m < 2600 or m >= 5300
  49 //   n = 900: Newton faster for m >= 925, m < 2700 or m >= 3400
  50 //   n = 1000: Newton faster for m >= 1020
  51 //   n = 1500: Newton faster for m >= 1520
  52 //   n = 2000: Newton faster for m >= 2020
  53 //   n = 2500: Newton faster for m >= 2520
  54 //   n = 5000: Newton faster for m >= 5020
  55 // Break-even-point. When in doubt, prefer to choose the standard algorithm.
  56   static inline cl_boolean cl_recip_suitable (uintL m, uintL n) // m > n
  57     { if (n < 500)
  58         return cl_false;
  59       else
  60         if (n < 1000)
  61           return (cl_boolean)((m >= n+30) && (m < 3*n-600));
  62         else
  63           return (cl_boolean)(m >= n+20);
  64     }
  65
  66 // Dividiert zwei Unsigned Digit sequences durcheinander.
  67 // UDS_divide(a_MSDptr,a_len,a_LSDptr, b_MSDptr,b_len,b_LSDptr, &q,&r);
  68 // Die UDS a = a_MSDptr/a_len/a_LSDptr (a>=0) wird durch
  69 // die UDS b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr (b>=0) dividiert:
  70 // a = q * b + r mit 0 <= r < b. Bei b=0 Error.
  71 // q der Quotient, r der Rest.
  72 // q = q_MSDptr/q_len/q_LSDptr, r = r_MSDptr/r_len/r_LSDptr beides
  73 // Normalized Unsigned Digit sequences.
  74 // Vorsicht: q_LSDptr <= r_MSDptr,
  75 //           Vorzeichenerweiterung von r kann q zerstören!
  76 //           Vorzeichenerweiterung von q ist erlaubt.
  77 // a und b werden nicht modifiziert.
  78 //
  79 // Methode:
  80 // erst a und b normalisieren: a=[a[m-1],...,a[0]], b=[b[n-1],...,b[0]]
  81 // mit m>=0 und n>0 (Stellensystem der Basis beta=2^intDsize).
  82 // Falls m<n, ist q:=0 und r:=a.
  83 // Falls m>=n=1, Single-Precision-Division:
  84 //   r:=0, j:=m,
  85 //   while j>0 do
  86 //     {Hier (q[m-1]*beta^(m-1)+...+q[j]*beta^j) * b[0] + r*beta^j =
  87 //           = a[m-1]*beta^(m-1)+...+a[j]*beta^j und 0<=r<b[0]<beta}
  88 //     j:=j-1, r:=r*beta+a[j], q[j]:=floor(r/b[0]), r:=r-b[0]*q[j].
  89 //   Normalisiere [q[m-1],...,q[0]], liefert q.
  90 // Falls m>=n>1, Multiple-Precision-Division:
  91 //   Es gilt a/b < beta^(m-n+1).
  92 //   s:=intDsize-1-(Nummer des höchsten Bits in b[n-1]), 0<=s<intDsize.
  93 //   Schiebe a und b um s Bits nach links und kopiere sie dabei. r:=a.
  94 //   r=[r[m],...,r[0]], b=[b[n-1],...,b[0]] mit b[n-1]>=beta/2.
  95 //   Für j=m-n,...,0: {Hier 0 <= r < b*beta^(j+1).}
  96 //     Berechne q* :
  97 //       q* := floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1])/b[n-1]).
  98 //       Bei Überlauf (q* >= beta) setze q* := beta-1.
  99 //       Berechne c2 := ((r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1])*beta + r[j+n-2]
 100 //       und c3 := b[n-2] * q*.
 101 //       {Es ist 0 <= c2 < 2*beta^2, sogar 0 <= c2 < beta^2 falls kein
 102 //        Überlauf aufgetreten war. Ferner 0 <= c3 < beta^2.
 103 //        Bei Überlauf und r[j+n]*beta+r[j+n-1] - q* * b[n-1] >= beta,
 104 //        das heißt c2 >= beta^2, kann man die nächste Abfrage überspringen.}
 105 //       Solange c3 > c2, {hier 0 <= c2 < c3 < beta^2} setze
 106 //         q* := q* - 1, c2 := c2 + b[n-1]*beta, c3 := c3 - b[n-2].
 107 //       Falls q* > 0:
 108 //         Setze r := r - b * q* * beta^j, im einzelnen:
 109 //           [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] - q* * [b[n-1],...,b[0]].
 110 //           also: u:=0, for i:=0 to n-1 do
 111 //                         u := u + q* * b[i],
 112 //                         r[j+i]:=r[j+i]-(u mod beta) (+ beta, falls Carry),
 113 //                         u:=u div beta (+ 1, falls bei der Subtraktion Carry)
 114 //                 r[n+j]:=r[n+j]-u.
 115 //           {Da stets u = (q* * [b[i-1],...,b[0]] div beta^i) + 1
 116 //                       < q* + 1 <= beta, läuft der Übertrag u nicht über.}
 117 //         Tritt dabei ein negativer Übertrag auf, so setze q* := q* - 1
 118 //           und [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] + [0,b[n-1],...,b[0]].
 119 //     Setze q[j] := q*.
 120 //   Normalisiere [q[m-n],..,q[0]] und erhalte den Quotienten q,
 121 //   Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts, normalisiere und
 122 //   erhalte den Rest r.
 123 //   Dabei kann q[j] auf dem Platz von r[n+j] liegen.
 124   void cl_UDS_divide (const uintD* a_MSDptr, uintC a_len, const uintD* a_LSDptr,
 125                       const uintD* b_MSDptr, uintC b_len, const uintD* b_LSDptr,
 126                       uintD* roomptr, // ab roomptr kommen a_len+1 freie Digits
 127                       DS* q_, DS* r_)
 128     { // a normalisieren (a_MSDptr erhöhen, a_len erniedrigen):
 129       while ((a_len>0) && (mspref(a_MSDptr,0)==0)) { msshrink(a_MSDptr); a_len--; }
 130       // b normalisieren (b_MSDptr erhöhen, b_len erniedrigen):
 131       loop
 132         { if (b_len==0) { cl_error_division_by_0(); }
 133           if (mspref(b_MSDptr,0)==0) { msshrink(b_MSDptr); b_len--; }
 134           else break;
 135         }
 136       // jetzt m=a_len >=0 und n=b_len >0.
 137       if (a_len < b_len)
 138         // m<n: Trivialfall, q=0, r:= Kopie von a.
 139         { var uintD* r_MSDptr = roomptr;
 140           var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop a_len;
 141           // Speicheraufbau: r_MSDptr/0/r_MSDptr/a_len/r_LSDptr
 142           //                    |     q    |       r      |
 143           copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len);
 144           q_->MSDptr = r_MSDptr; q_->len = 0; q_->LSDptr = r_MSDptr; // q = 0, eine NUDS
 145           r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = a_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r = Kopie von a, eine NUDS
 146           return;
 147         }
 148       elif (b_len==1)
 149         // n=1: Single-Precision-Division
 150         { // beta^(m-1) <= a < beta^m  ==>  beta^(m-2) <= a/b < beta^m
 151           var uintD* q_MSDptr = roomptr;
 152           var uintD* q_LSDptr = q_MSDptr mspop a_len;
 153           var uintD* r_MSDptr = q_LSDptr;
 154           var uintD* r_LSDptr = r_MSDptr mspop 1;
 155           // Speicheraufbau: q_MSDptr/a_len/q_LSDptr    r_MSDptr/1/r_LSDptr
 156           //                     |      q      |           |     r    |
 157          {var uintD rest = divucopy_loop_msp(mspref(b_MSDptr,0),a_MSDptr,q_MSDptr,a_len); // Division durch b[0]
 158           var uintC r_len;
 159           if (!(rest==0))
 160             { mspref(r_MSDptr,0) = rest; r_len=1; } // Rest als r ablegen
 161             else
 162             { r_MSDptr = r_LSDptr; r_len=0; } // Rest auf 0 normalisieren
 163           if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
 164             { msshrink(q_MSDptr); a_len--; } // q normalisieren
 165           q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = a_len; q_->LSDptr = q_LSDptr; // q ablegen
 166           r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = r_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r ablegen
 167           return;
 168         }}
 169       else
 170         // n>1: Multiple-Precision-Division
 171         { // beta^(m-1) <= a < beta^m, beta^(n-1) <= b < beta^n  ==>
 172           // beta^(m-n-1) <= a/b < beta^(m-n+1).
 173           var uintL s;
 174           CL_ALLOCA_STACK;
 175           // s bestimmen:
 176           { var uintD msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
 177             #if 0
 178             s = 0;
 179             while ((sintD)msd >= 0) { msd = msd<<1; s++; }
 180             #else // ein wenig effizienter, Abfrage auf s=0 vorwegnehmen
 181             if ((sintD)msd < 0)
 182               { s = 0; goto shift_ok; }
 183               else
 184               { integerlengthD(msd, s = intDsize - ); goto shift; }
 185             #endif
 186           }
 187           // 0 <= s < intDsize.
 188           // Kopiere b und schiebe es dabei um s Bits nach links:
 189           if (!(s==0))
 190             shift:
 191             { var uintD* new_b_MSDptr;
 192               var uintD* new_b_LSDptr;
 193               num_stack_alloc(b_len,new_b_MSDptr=,new_b_LSDptr=);
 194               shiftleftcopy_loop_lsp(b_LSDptr,new_b_LSDptr,b_len,s);
 195               b_MSDptr = new_b_MSDptr; b_LSDptr = new_b_LSDptr;
 196             }
 197           shift_ok:
 198           // Wieder b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr.
 199           // Kopiere a und schiebe es dabei um s Bits nach links, erhalte r:
 200          {var uintD* r_MSDptr = roomptr;
 201           var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop (a_len+1);
 202           // Speicheraufbau:  r_MSDptr/          a_len+1           /r_LSDptr
 203           //                     |                  r                  |
 204           // später:          q_MSDptr/a_len-b_len+1/r_MSDptr/b_len/r_LSDptr
 205           //                     |           q          |       r      |
 206           if (s==0)
 207             { copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len); mspref(r_MSDptr,0) = 0; }
 208             else
 209             { mspref(r_MSDptr,0) = shiftleftcopy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len,s); }
 210           // Nun r = r_MSDptr/a_len+1/r_LSDptr.
 211           var uintC j = a_len-b_len; // m-n
 212           var uintD* q_MSDptr = r_MSDptr;
 213           var uintC q_len = j+1; // q wird m-n+1 Digits haben
 214           if (cl_recip_suitable(a_len,b_len))
 215             { // Bestimme Kehrwert c von b.
 216               var uintD* c_MSDptr;
 217               var uintD* c_LSDptr;
 218               num_stack_alloc(j+3,c_MSDptr=,c_LSDptr=);
 219               cl_UDS_recip(b_MSDptr,b_len,c_MSDptr,j+1);
 220               // c hat j+3 Digits, | beta^(m+2)/b - c | < beta.
 221               // Mit a' = floor(a/beta^n) multiplizieren, liefert d':
 222               var uintD* d_MSDptr;
 223               UDS_UDS_mul_UDS(j+1,r_MSDptr mspop (j+1), j+3,c_MSDptr mspop (j+3),
 224                               d_MSDptr=,,);
 225               // d' has 2*j+4 digits, d := floor(d'/beta^(j+2)) has j+2 digits.
 226               // | beta^(m+2)/b - c | < beta  ==> (since a < beta^(m+1))
 227               // | beta^(m+2)*a/b - a*c | < beta^(m+2),
 228               // 0 <= a - a'*beta^n < beta^n ==> (since c <= 2*beta^(j+2))
 229               // 0 <= a*c - a'*c*beta^n < 2*beta^(m+2) ==>
 230               // -beta^(m+2) < beta^(m+2)*a/b - a'*c*beta^n < 3*beta^(m+2) ==>
 231               // -1 < a/b - a'*c*beta^(-j-2) < 3 ==>
 232               // -1 < a/b - d'*beta^(-j-2) < 3,
 233               // -1 < d'*beta^(-j-2) - d <= 0 ==>
 234               // -2 < a/b - d < 3 ==>
 235               // -2 <= q - d < 3 ==> |q-d| <= 2.
 236               var uintD* d_LSDptr = d_MSDptr mspop (j+2);
 237               // Zur Bestimmung des Restes wieder mit b multiplizieren:
 238               var uintD* p_MSDptr;
 239               var uintD* p_LSDptr;
 240               UDS_UDS_mul_UDS(j+2,d_LSDptr, b_len,b_LSDptr, p_MSDptr=,,p_LSDptr=);
 241               // d ist um höchstens 2 zu groß, muß also evtl. zweimal um 1
 242               // decrementieren, bis das Produkt <= a wird.
 243               if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
 244                 { dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
 245                   if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
 246                     dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
 247                   if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
 248                     { dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
 249                       if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
 250                         dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
 251                       if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
 252                         cl_abort();
 253                 }   }
 254               // Rest bestimmen:
 255               subfrom_loop_lsp(p_LSDptr,r_LSDptr,a_len+1);
 256               if (test_loop_msp(r_MSDptr,j)) cl_abort();
 257               r_MSDptr = r_LSDptr lspop b_len; // = r_MSDptr mspop (j+1);
 258               // d ist um höchstens 2 zu klein, muß also evtl. zweimal um 1
 259               // incrementieren, bis der Rest < b wird.
 260               if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
 261                 { inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
 262                   if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
 263                     lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
 264                   if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
 265                     { inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
 266                       if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
 267                         lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
 268                       if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
 269                         cl_abort();
 270                 }   }
 271               // r ist fertig, q := d.
 272               if (mspref(d_MSDptr,0) > 0) cl_abort();
 273               q_len = j+1; copy_loop_msp(d_MSDptr mspop 1,q_MSDptr,q_len);
 274             }
 275             else
 276             { var uintD* r_ptr = r_LSDptr lspop j; // Pointer oberhalb von r[j]
 277               j = j+1;
 278               var uintD b_msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
 279               var uintD b_2msd = mspref(b_MSDptr,1); // b[n-2]
 280               #if HAVE_DD
 281               var uintDD b_msdd = highlowDD(b_msd,b_2msd); // b[n-1]*beta+b[n-2]
 282               #endif
 283               // Divisions-Schleife: (wird m-n+1 mal durchlaufen)
 284               // j = Herabzähler, b_MSDptr/b_len/b_LSDptr = [b[n-1],...,b[0]], b_len=n,
 285               // r_MSDptr = Pointer auf r[n+j] = Pointer auf q[j],
 286               // r_ptr = Pointer oberhalb von r[j].
 287               do { var uintD q_stern;
 288                    var uintD c1;
 289                    if (mspref(r_MSDptr,0) < b_msd) // r[j+n] < b[n-1] ?
 290                      { // Dividiere r[j+n]*beta+r[j+n-1] durch b[n-1], ohne Überlauf:
 291                        #if HAVE_DD
 292                          divuD(highlowDD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1)),b_msd, q_stern=,c1=);
 293                        #else
 294                          divuD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1),b_msd, q_stern=,c1=);
 295                        #endif
 296                      }
 297                      else
 298                      { // Überlauf, also r[j+n]*beta+r[j+n-1] >= beta*b[n-1]
 299                        q_stern = bitm(intDsize)-1; // q* = beta-1
 300                        // Teste ob r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] >= beta
 301                        // <==> r[j+n]*beta+r[j+n-1] + b[n-1] >= beta*b[n-1]+beta
 302                        // <==> b[n-1] < floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) {<= beta !} ist.
 303                        // Wenn ja, direkt zur Subtraktionschleife.
 304                        // (Andernfalls ist r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] < beta
 305                        //  <==> floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) = b[n-1] ).
 306                        if ((mspref(r_MSDptr,0) > b_msd) || ((c1 = mspref(r_MSDptr,1)+b_msd) < b_msd))
 307                          // r[j+n] >= b[n-1]+1 oder
 308                          // r[j+n] = b[n-1] und Addition r[j+n-1]+b[n-1] gibt Carry ?
 309                          { goto subtract; } // ja -> direkt in die Subtraktion
 310                      }
 311                    // q_stern = q*,
 312                    // c1 = (r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1] (>=0, <beta).
 313                    #if HAVE_DD
 314                      { var uintDD c2 = highlowDD(c1,mspref(r_MSDptr,2)); // c1*beta+r[j+n-2]
 315                        var uintDD c3 = muluD(b_2msd,q_stern); // b[n-2] * q*
 316                        // Solange c2 < c3, c2 erhöhen, c3 erniedrigen:
 317                        // Rechne dabei mit c3-c2:
 318                        // solange >0, um b[n-1]*beta+b[n-2] erniedrigen.
 319                        // Dies kann wegen b[n-1]*beta+b[n-2] >= beta^2/2
 320                        // höchstens zwei mal auftreten.
 321                        if (c3 > c2)
 322                          { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
 323                            if (c3-c2 > b_msdd)
 324                              { q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
 325                      }   }
 326                    #else
 327                      // Wie oben, nur mit zweigeteilten c2=[c2hi|c2lo] und c3=[c3hi|c3lo]:
 328                      #define c2hi c1
 329                      { var uintD c2lo = mspref(r_MSDptr,2); // c2hi*beta+c2lo = c1*beta+r[j+n-2]
 330                        var uintD c3hi;
 331                        var uintD c3lo;
 332                        muluD(b_2msd,q_stern, c3hi=,c3lo=); // c3hi*beta+c3lo = b[n-2] * q*
 333                        if ((c3hi > c2hi) || ((c3hi == c2hi) && (c3lo > c2lo)))
 334                          { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
 335                            c3hi -= c2hi; if (c3lo < c2lo) { c3hi--; }; c3lo -= c2lo; // c3 := c3-c2
 336                            if ((c3hi > b_msd) || ((c3hi == b_msd) && (c3lo > b_2msd)))
 337                              { q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
 338                      }   }
 339                      #undef c2hi
 340                    #endif
 341                    if (!(q_stern==0))
 342                      subtract:
 343                      { // Subtraktionsschleife: r := r - b * q* * beta^j
 344                        var uintD carry = mulusub_loop_lsp(q_stern,b_LSDptr,r_ptr,b_len);
 345                        // Noch r_ptr[-b_len-1] -= carry, d.h. r_MSDptr[0] -= carry
 346                        // durchführen und danach r_MSDptr[0] vergessen:
 347                        if (carry > mspref(r_MSDptr,0))
 348                          // Subtraktion ergab Übertrag
 349                          { q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
 350                            addto_loop_lsp(b_LSDptr,r_ptr,b_len); // Additionsschleife
 351                            // r[n+j] samt Carry kann vergessen werden...
 352                      }   }
 353                    // Berechnung von q* ist fertig.
 354                    msprefnext(r_MSDptr) = q_stern; // als q[j] ablegen
 355                    r_ptr = r_ptr mspop 1;
 356                  }
 357                  until (--j == 0);
 358             }
 359           // Nun ist q = [q[m-n],..,q[0]] = q_MSDptr/q_len/r_MSDptr
 360           // und r = [r[n-1],...,r[0]] = r_MSDptr/b_len/r_LSDptr.
 361           // q normalisieren und ablegen:
 362           if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
 363             { msshrink(q_MSDptr); q_len--; }
 364           q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = q_len; q_->LSDptr = r_MSDptr;
 365           // Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts:
 366           if (!(s==0))
 367             { shiftright_loop_msp(r_MSDptr,b_len,s); }
 368           // r normalisieren und ablegen:
 369           while ((b_len>0) && (mspref(r_MSDptr,0)==0))
 370             { msshrink(r_MSDptr); b_len--; }
 371           r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = b_len; r_->LSDptr = r_LSDptr;
 372           return;
 373         }}
 374     }
 375 // Bit complexity (N = a_len): O(M(N)).
 376