* Now two different simplification paths in clifford::contract_with().
authorJens Vollinga <vollinga@thep.physik.uni-mainz.de>
Fri, 3 Jun 2005 18:32:05 +0000 (18:32 +0000)
committerJens Vollinga <vollinga@thep.physik.uni-mainz.de>
Fri, 3 Jun 2005 18:32:05 +0000 (18:32 +0000)
* Clifford now works with non-symmetric metric as well.
* Several small corrections and update of tutorial and automatic checks.
[V.Kisil]

check/exam_clifford.cpp
doc/tutorial/ginac.texi
ginac/clifford.cpp
ginac/clifford.h

index 3a9c65d..75110bf 100644 (file)
 
 #include "exams.h"
 
+const numeric half(1, 2);
+
 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = e1 - e2;
+       ex e = normal(e1 - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << e1 << "-" << e2 << " erroneously returned "
+               clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
                     << e << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
@@ -35,15 +37,55 @@ static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 
 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = simplify_indexed(e1) - e2;
+       ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
-                    << e << " instead of 0" << endl;
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << e << " instead of 0" << endl;
+               return 1;
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       for(int i = 0; i++; i < e1.nops()) {
+               ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
+               if (!e.is_zero()) {
+                       clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                            << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, varidx & mu)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+
+       for (int j=0; j<4; j++) {
+               ex esub = e.subs(lst(mu == idx(j, mu.get_dim()), mu.toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())));
+               if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
+                       clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                                << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+       if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
        return 0;
 }
 
+
 static unsigned clifford_check1()
 {
        // checks general identities and contractions
@@ -262,106 +304,163 @@ static unsigned clifford_check5()
        return result;
 }
 
+
 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
 {
        varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
               psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
               xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 
-       ex G = A;
+       matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
+       A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
+       A2 = A_symm.mul(A_symm);
 
-       matrix A2(4, 4);
-       A2 = A.mul(A);
        ex e, e1;
-
+       bool anticommuting = ex_to<clifford>(clifford_unit(nu, A)).is_anticommuting();
        int result = 0;
 
        // checks general identities and contractions for clifford_unit
-       e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
-       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
+       e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
+       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 
-       e = clifford_unit(varidx(2, 4), G) * clifford_unit(varidx(1, 4), G)
-         * clifford_unit(varidx(1, 4), G) * clifford_unit(varidx(2, 4), G);
+       e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)
+         * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);
        result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(varidx(2, 4), A) * clifford_unit(varidx(1, 4), A)
+         * clifford_unit(varidx(1, 4), A) * clifford_unit(varidx(2, 4), A);
+       result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
        result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu, G);
-       result += check_equal_simplify(e, indexed(G, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(G, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, G) - A.trace()*clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
+       if (anticommuting)
+               result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, A) - A.trace()*clifford_unit(mu, A));
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
        result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
        result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
+       if (anticommuting) 
+               result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu.toggle_variance()) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
-       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
-       result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu)) * clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
+       if (anticommuting) {
+               result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+               e1 = remove_dirac_ONE(simplify_indexed(e));
+               result += check_equal(e1, 2*A2.trace() - pow(A.trace(), 2));
+       }
 
-       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho, G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G);
-       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
-       result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu))* clifford_unit(mu, G));
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 
-       // canonicalize_clifford() checks
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
-
-       e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
-          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
-          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
-         + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
-         - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
-         + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
-         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
+       if (anticommuting)
+               result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4 * indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2)) * clifford_unit(mu, A));
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
+       if (anticommuting)
+               result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2))* clifford_unit(mu, A));
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
+
+       e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
+                + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+                - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
+                - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
+               - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
+               - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
        result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 
        // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
-       symbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
+       realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
        
-       ex c = clifford_unit(nu, G, 1);
-       e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, G, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
+       ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
+       e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
        e1 = clifford_inverse(e);
-       result += check_equal((e*e1).simplify_indexed().normal(), dirac_ONE(1));
+       result += check_equal_lst((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
+
+       // Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only 
+       matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
+       c = clifford_unit(nu, A);
+       
+       e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(), 
+                                                        dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); // this is just the inversion
+       M1 = 0, dirac_ONE(),
+               dirac_ONE(), 0;
+       e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); // the inversion again
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+       
+       e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+       
+       e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A), 
+                                                        0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); //this is just a shift
+       M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
+               0, dirac_ONE();
+       e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); // the same shift
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+               
+       result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
+       
+       // Check the group law for Moebius maps 
+       e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c); //composition of M1 and M2
+       e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c); // the product M1*M2
+       result += check_equal_lst(e, e1);
 
        return result;
 }
 
-static unsigned clifford_check7()
+
+static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 {
        // checks general identities and contractions
 
        unsigned result = 0;
 
-       symbol dim("D");
        varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
               psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 
-       ex e;
+       ex e, G_base;
 
-       ex G = minkmetric();
+       if (is_a<indexed>(G))
+               G_base = G.op(0);
+       else
+               G_base = G;
 
        e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
        result += check_equal(e, dirac_ONE());
@@ -386,22 +485,38 @@ static unsigned clifford_check7()
        e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
        result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 
-       // canonicalize_clifford() checks
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
-
-       e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
-          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
-          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
-         + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
-         - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
-         + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
-         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
-
+       // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
+       if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G_base, sy_symm(), nu, mu));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + indexed(G_base, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
+                       - indexed(G_base, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
+                       + indexed(G_base, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+       } else {
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(indexed(G_base, mu, nu) + indexed(G_base, nu, mu)));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + half * (indexed(G_base,  mu, nu) + indexed(G_base,  nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
+                       - half * (indexed(G_base, mu, lam) + indexed(G_base, lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
+                       + half * (indexed(G_base, nu, lam) + indexed(G_base, lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+       }
        return result;
 }
 
@@ -418,32 +533,52 @@ unsigned exam_clifford()
        result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
        result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 
+       // anticommuting, symmetric examples
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1)))); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1)))); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1)))); cout << '.' << flush;
+
+       realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
+       result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t)))); cout << '.' << flush;
+
        matrix A(4, 4);
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 1, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0, 1;
+       A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
+               0, -1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, 1, 0; 
        result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0,-1, 0, 0,
-            0, 0,-1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
+       A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
+               0, 1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, 1, 0; 
        result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
-       
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 1, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
+
+       A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
+               0, -1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, -1, 0; 
        result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 0, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
+       A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
+               0, 1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, -1, 0; 
        result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 
-       result += clifford_check7(); cout << '.' << flush;
+       A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
+               0, 1, 1, 0,
+               0, 0, 1, 1,
+               0, 0, 0, 1; 
+       result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
+
+       symbol dim("D");
+       result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
+
+       varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
+       result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 
        if (!result) {
                cout << " passed " << endl;
index 232f883..02d9e50 100644 (file)
@@ -2567,6 +2567,47 @@ of a sum are consistent:
 @}
 @end example
 
+@cindex @code{expand_dummy_sum()}
+A dummy index summation like 
+@tex
+$ a_i b^i$
+@end tex
+@ifnottex
+a.i b~i
+@end ifnottex
+can be expanded for indices with numeric
+dimensions (e.g. 3)  into the explicit sum like
+@tex
+$a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3 $.
+@end tex
+@ifnottex
+a.1 b~1 + a.2 b~2 + a.3 b~3.
+@end ifnottex
+This is performed by the function
+
+@example
+    ex expand_dummy_sum(const ex & e, bool subs_idx = false);
+@end example
+
+which takes an expression @code{e} and returns the expanded sum for all
+dummy indices with numeric dimensions. If the parameter @code{subs_idx}
+is set to @code{true} then all substitutions are made by @code{idx} class
+indices, i.e. without variance. In this case the above sum 
+@tex
+$ a_i b^i$
+@end tex
+@ifnottex
+a.i b~i
+@end ifnottex
+will be expanded to
+@tex
+$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $.
+@end tex
+@ifnottex
+a.1 b.1 + a.2 b.2 + a.3 b.3.
+@end ifnottex
+
+
 @cindex @code{simplify_indexed()}
 @subsection Simplifying indexed expressions
 
@@ -3189,27 +3230,51 @@ generators
 @end tex 
 satisfying the identities 
 @tex
-$e_i e_j + e_j e_i = M(i, j) $
+$e_i e_j + e_j e_i = M(i, j) + M(j, i) $
 @end tex
 @ifnottex
-e~i e~j + e~j e~i = M(i, j)
+e~i e~j + e~j e~i = M(i, j) + M(j, i) 
 @end ifnottex
-for some matrix (@code{metric})
-@math{M(i, j)}, which may be non-symmetric and containing symbolic
-entries. Such generators are created by the function
+for some bilinear form (@code{metric})
+@math{M(i, j)}, which may be non-symmetric (see arXiv:math.QA/9911180) 
+and contain symbolic entries. Such generators are created by the
+function 
 
 @example
-    ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
+    ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0, 
+                                bool anticommuting = false);    
 @end example
 
 where @code{mu} should be a @code{varidx} class object indexing the
-generators, @code{metr} defines the metric @math{M(i, j)} and can be
+generators, an index @code{mu} with a numeric value may be of type
+@code{idx} as well.
+Parameter @code{metr} defines the metric @math{M(i, j)} and can be
 represented by a square @code{matrix}, @code{tensormetric} or @code{indexed} class
-object, optional parameter @code{rl} allows to distinguish different
-Clifford algebras (which will commute with each other). Note that the call
-@code{clifford_unit(mu, minkmetric())} creates something very close to
-@code{dirac_gamma(mu)}. The method @code{clifford::get_metric()} returns a
-metric defining this Clifford number.
+object. Optional parameter @code{rl} allows to distinguish different
+Clifford algebras, which will commute with each other. The last
+optional parameter @code{anticommuting} defines if the anticommuting
+assumption (i.e.
+@tex
+$e_i e_j + e_j e_i = 0$)
+@end tex
+@ifnottex
+e~i e~j + e~j e~i = 0)
+@end ifnottex
+will be used for contraction of Clifford units. If the @code{metric} is
+supplied by a @code{matrix} object, then the value of
+@code{anticommuting} is calculated automatically and the supplied one
+will be ignored. One can overcome this by giving @code{metric} through
+matrix wrapped into an @code{indexed} object.
+
+Note that the call @code{clifford_unit(mu, minkmetric())} creates
+something very close to @code{dirac_gamma(mu)}, although
+@code{dirac_gamma} have more efficient simplification mechanism. 
+@cindex @code{clifford::get_metric()}
+The method @code{clifford::get_metric()} returns a metric defining this
+Clifford number.
+@cindex @code{clifford::is_anticommuting()}
+The method @code{clifford::is_anticommuting()} returns the
+@code{anticommuting} property of a unit.
 
 If the matrix @math{M(i, j)} is in fact symmetric you may prefer to create
 the Clifford algebra units with a call like that
@@ -3218,7 +3283,9 @@ the Clifford algebra units with a call like that
     ex e = clifford_unit(mu, indexed(M, sy_symm(), i, j));
 @end example
 
-since this may yield some further automatic simplifications.
+since this may yield some further automatic simplifications. Again, for a
+metric defined through a @code{matrix} such a symmetry is detected
+automatically. 
 
 Individual generators of a Clifford algebra can be accessed in several
 ways. For example 
@@ -3243,7 +3310,8 @@ will produce four anti-commuting generators of a Clifford algebra with propertie
 $e_0^2=1 $, $e_1^2=-1$,  $e_2^2=0$ and $e_3^2=s$.
 @end tex
 @ifnottex
-@code{pow(e0, 2) = 1},  @code{pow(e1, 2) = -1},   @code{pow(e2, 2) = 0} and   @code{pow(e3, 2) = s}. 
+@code{pow(e0, 2) = 1}, @code{pow(e1, 2) = -1}, @code{pow(e2, 2) = 0} and
+@code{pow(e3, 2) = s}.
 @end ifnottex
 
 @cindex @code{lst_to_clifford()}
@@ -3251,7 +3319,7 @@ A similar effect can be achieved from the function
 
 @example
     ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr,
-                       unsigned char rl = 0);
+                       unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
     ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 @end example
 
@@ -3273,7 +3341,7 @@ $v^0 e_0 + v^1 e_1 + ... + v^n e_n$
 with @samp{e.k}
 directly supplied in the second form of the procedure. In the first form
 the Clifford unit @samp{e.k} is generated by the call of
-@code{clifford_unit(mu, metr, rl)}. The previous code may be rewritten
+@code{clifford_unit(mu, metr, rl, anticommuting)}. The previous code may be rewritten
 with the help of @code{lst_to_clifford()} as follows
 
 @example
@@ -3321,7 +3389,7 @@ $(e c_k + c_k e)/c_k^2$. If $c_k^2$
 @ifnottex
 @samp{(e c.k + c.k e)/pow(c.k, 2)}.   If @samp{pow(c.k, 2)} 
 @end ifnottex
-is zero or is not @code{numeric} for some @samp{k}
+is zero or is not @code{numeric} for some @samp{k}
 then the method will be automatically changed to symbolic. The same effect
 is obtained by the assignment (@code{algebraic = false}) in the procedure call.
 
@@ -3410,30 +3478,44 @@ expression by the function
 The function @code{canonicalize_clifford()} works for a
 generic Clifford algebra in a similar way as for Dirac gammas.
 
-The last provided function is
+The next provided function is
 
 @cindex @code{clifford_moebius_map()}
 @example
     ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c,
                             const ex & d, const ex & v, const ex & G,
-                            unsigned char rl = 0);
+                            unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
     ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G,
-                            unsigned char rl = 0);
+                            unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 @end example 
 
 It takes a list or vector @code{v} and makes the Moebius (conformal or
 linear-fractional) transformation @samp{v -> (av+b)/(cv+d)} defined by
 the matrix @samp{M = [[a, b], [c, d]]}. The parameter @code{G} defines
-the metric of the surrounding (pseudo-)Euclidean space. This can be a
-matrix or a Clifford unit, in the later case the parameter @code{rl} is
-ignored even if supplied.  The returned value of this function is a list
-of components of the resulting vector.
-
-LaTeX output for Clifford units looks like @code{\clifford[1]@{e@}^@{@{\nu@}@}},
-where @code{1} is the @code{representation_label} and @code{\nu} is the
-index of the corresponding unit. This provides a flexible typesetting
-with a suitable defintion of the @code{\clifford} command. For example, the
-definition 
+the metric of the surrounding (pseudo-)Euclidean space. This can be an
+indexed object, tensormetric, matrix or a Clifford unit, in the later
+case the optional parameters @code{rl} and @code{anticommuting} are ignored
+even if supplied.  The returned value of this function is a list of
+components of the resulting vector.
+
+@cindex @code{clifford_max_label()}
+Finally the function
+
+@example
+char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
+@end example
+
+can detect a presence of Clifford objects in the expression @code{e}: if
+such objects are found it returns the maximal
+@code{representation_label} of them, otherwise @code{-1}. The optional
+parameter @code{ignore_ONE} indicates if @code{dirac_ONE} objects should
+be ignored during the search.
+LaTeX output for Clifford units looks like
+@code{\clifford[1]@{e@}^@{@{\nu@}@}}, where @code{1} is the
+@code{representation_label} and @code{\nu} is the index of the
+corresponding unit. This provides a flexible typesetting with a suitable
+defintion of the @code{\clifford} command. For example, the definition
 @example
     \newcommand@{\clifford@}[1][]@{@}
 @end example
index 99c5a65..6100738 100644 (file)
@@ -20,6 +20,8 @@
  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  */
 
+#include <stdexcept>
+
 #include "clifford.h"
 
 #include "ex.h"
@@ -78,7 +80,7 @@ static ex default_metric()
        return m;
 }
 
-clifford::clifford() : representation_label(0), metric(default_metric())
+clifford::clifford() : representation_label(0), metric(default_metric()), anticommuting(false)
 {
        tinfo_key = TINFO_clifford;
 }
@@ -97,7 +99,7 @@ DEFAULT_CTOR(diracgammaR)
 /** Construct object without any indices. This constructor is for internal
  *  use only. Use the dirac_ONE() function instead.
  *  @see dirac_ONE */
-clifford::clifford(const ex & b, unsigned char rl) : inherited(b), representation_label(rl), metric(0)
+clifford::clifford(const ex & b, unsigned char rl, bool anticommut) : inherited(b), representation_label(rl), metric(0), anticommuting(anticommut)
 {
        tinfo_key = TINFO_clifford;
 }
@@ -106,18 +108,18 @@ clifford::clifford(const ex & b, unsigned char rl) : inherited(b), representatio
  *  use only. Use the clifford_unit() or dirac_gamma() functions instead.
  *  @see clifford_unit
  *  @see dirac_gamma */
-clifford::clifford(const ex & b, const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl) : inherited(b, mu), representation_label(rl), metric(metr)
+clifford::clifford(const ex & b, const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl, bool anticommut) : inherited(b, mu), representation_label(rl), metric(metr), anticommuting(anticommut)
 {
        GINAC_ASSERT(is_a<varidx>(mu));
        tinfo_key = TINFO_clifford;
 }
 
-clifford::clifford(unsigned char rl, const ex & metr, const exvector & v, bool discardable) : inherited(not_symmetric(), v, discardable), representation_label(rl), metric(metr)
+clifford::clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, const exvector & v, bool discardable) : inherited(not_symmetric(), v, discardable), representation_label(rl), metric(metr), anticommuting(anticommut)
 {
        tinfo_key = TINFO_clifford;
 }
 
-clifford::clifford(unsigned char rl, const ex & metr, std::auto_ptr<exvector> vp) : inherited(not_symmetric(), vp), representation_label(rl), metric(metr)
+clifford::clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, std::auto_ptr<exvector> vp) : inherited(not_symmetric(), vp), representation_label(rl), metric(metr), anticommuting(anticommut)
 {
        tinfo_key = TINFO_clifford;
 }
@@ -132,6 +134,7 @@ clifford::clifford(const archive_node & n, lst & sym_lst) : inherited(n, sym_lst
        n.find_unsigned("label", rl);
        representation_label = rl;
        n.find_ex("metric", metric, sym_lst);
+       n.find_bool("anticommuting", anticommuting);
 }
 
 void clifford::archive(archive_node & n) const
@@ -139,6 +142,7 @@ void clifford::archive(archive_node & n) const
        inherited::archive(n);
        n.add_unsigned("label", representation_label);
        n.add_ex("metric", metric);
+       n.add_bool("anticommuting", anticommuting);
 }
 
 DEFAULT_UNARCHIVE(clifford)
@@ -153,15 +157,29 @@ DEFAULT_ARCHIVING(diracgammaR)
 // functions overriding virtual functions from base classes
 //////////
 
-ex clifford::get_metric(const ex & i, const ex & j) const
+ex clifford::get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised) const
 {
-       return indexed(metric, symmetric2(), i, j);
+       if (is_a<indexed>(metric)) {
+               if (symmetrised && !(ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(metric).get_symmetry()).has_symmetry())) {
+                       if (is_a<matrix>(metric.op(0))) {
+                               return indexed((ex_to<matrix>(metric.op(0)).add(ex_to<matrix>(metric.op(0)).transpose())).mul(numeric(1,2)),
+                                              symmetric2(), i, j);
+                       } else {
+                               return simplify_indexed(indexed(metric.op(0)*_ex1_2, i, j) + indexed(metric.op(0)*_ex1_2, j, i));
+                       }
+               } else {
+                       return indexed(metric.op(0), ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(metric).get_symmetry()), i, j);
+               }
+       } else {
+               // should not really happen since all constructors but clifford() make the metric an indexed object
+               return indexed(metric, i, j);
+       }
 }
 
 bool clifford::same_metric(const ex & other) const
 {
        if (is_a<clifford>(other)) {
-               return get_metric().is_equal(ex_to<clifford>(other).get_metric());
+               return same_metric(ex_to<clifford>(other).get_metric());
        } else if (is_a<indexed>(other)) {
                return get_metric(other.op(1), other.op(2)).is_equal(other);
        } else
@@ -375,15 +393,16 @@ bool diracgamma::contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other
  *  used in cliffordunit::contract_with(). */
 static int find_same_metric(exvector & v, ex & c)
 {
-       for (int i=0; i<v.size();i++) {
-               if (!is_a<clifford>(v[i]) && is_a<indexed>(v[i])
-                   && ex_to<clifford>(c).same_metric(v[i]) 
-                   && (ex_to<varidx>(c.op(1)) == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[0]
-                       || ex_to<varidx>(c.op(1)).toggle_variance() == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[0])) {
-                       return ++i; // next to found
+       for (size_t i=0; i<v.size(); i++) {
+               if (is_a<indexed>(v[i]) && !is_a<clifford>(v[i])
+                   && ((ex_to<varidx>(c.op(1)) == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[0]
+                   && ex_to<varidx>(c.op(1)) == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[1])
+                   || (ex_to<varidx>(c.op(1)).toggle_variance() == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[0]
+                   && ex_to<varidx>(c.op(1)).toggle_variance() == ex_to<indexed>(v[i]).get_indices()[1]))) {
+                       return i; // the index of the found
                }
        }
-       return 0; //nothing found
+       return -1; //nothing found
 }
 
 /** Contraction of a Clifford unit with something else. */
@@ -403,70 +422,88 @@ bool cliffordunit::contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator oth
                        return false;
 
                // Find if a previous contraction produces the square of self
-               int prev_square = find_same_metric(v, self[0]);
-               varidx d((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<idx>(self->op(1)).get_dim());
-               ex squared_metric = unit.get_metric(self->op(1), d) * unit.get_metric(d.toggle_variance(), other->op(1));
+               int prev_square = find_same_metric(v, *self);
+               const varidx d((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<idx>(self->op(1)).get_dim()),
+                       in1((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<idx>(self->op(1)).get_dim()),
+                       in2((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<idx>(self->op(1)).get_dim());
+               ex squared_metric;
+               if (prev_square > -1)
+                       squared_metric = simplify_indexed(indexed(v[prev_square].op(0), in1, d) 
+                                                                                         * unit.get_metric(d.toggle_variance(), in2, true)).op(0);
+
+               exvector::iterator before_other = other - 1;
+               const varidx & mu = ex_to<varidx>(self->op(1));
+               const varidx & mu_toggle = ex_to<varidx>(other->op(1));
+               const varidx & alpha = ex_to<varidx>(before_other->op(1));
 
                // e~mu e.mu = Tr ONE
                if (other - self == 1) {
-                       if (prev_square != 0) {
-                               *self = squared_metric;
-                               v[prev_square-1] = _ex1;
-                       } else
-                               *self = unit.get_metric(self->op(1), other->op(1));
+                       if (prev_square > -1) {
+                               *self = indexed(squared_metric, mu, mu_toggle);
+                               v[prev_square] = _ex1;
+                       } else {
+                               *self = unit.get_metric(mu, mu_toggle, true);
+                       }
                        *other = dirac_ONE(rl);
                        return true;
 
-               // e~mu e~alpha e.mu = (2e~alpha^2-Tr) e~alpha
-               } else if (other - self == 2
-                       && is_a<clifford>(self[1])) {
-
-                       const ex & ia = self[1].op(1);
-                       const ex & ib = self[1].op(1);
-                       if (is_a<tensmetric>(unit.get_metric()))
-                               *self = 2 - unit.get_metric(self->op(1), other->op(1));
-                       else if (prev_square != 0) {
-                               *self = 2-squared_metric;
-                               v[prev_square-1] = _ex1;
-                       } else 
-                               *self = 2*unit.get_metric(ia, ib) - unit.get_metric(self->op(1), other->op(1));
-                       *other = _ex1;
-                       return true;
-
-               // e~mu S e~alpha e.mu = 2 e~alpha^3 S - e~mu S e.mu e~alpha
+               } else if (other - self == 2) {
+                       if (is_a<clifford>(*before_other) && ex_to<clifford>(*before_other).get_representation_label() == rl) {
+                               if (ex_to<clifford>(*self).is_anticommuting()) {
+                                       // e~mu e~alpha e.mu = (2*pow(e~alpha, 2) -Tr(B)) e~alpha
+                                       if (prev_square > -1) {
+                                               *self = 2 * indexed(squared_metric, alpha, alpha)
+                                                       - indexed(squared_metric, mu, mu_toggle);
+                                               v[prev_square] = _ex1;
+                                       } else {
+                                               *self = 2 * unit.get_metric(alpha, alpha, true) - unit.get_metric(mu, mu_toggle, true);
+                                       }
+                                       *other = _ex1;
+                                       return true;
+
+                               } else {
+                                       // e~mu e~alpha e.mu = 2*e~mu B(alpha, mu.toggle_variance())-Tr(B) e~alpha
+                                       *self = 2 * (*self) * unit.get_metric(alpha, mu_toggle, true) - unit.get_metric(mu, mu_toggle, true) * (*before_other);
+                                       *before_other = _ex1;
+                                       *other = _ex1;
+                                       return true;
+                               }
+                       } else {
+                               // e~mu S e.mu = Tr S ONE
+                               *self = unit.get_metric(mu, mu_toggle, true);
+                               *other = dirac_ONE(rl);
+                               return true;
+                       }
+               } else {
+               // e~mu S e~alpha e.mu = 2 e~mu S B(alpha, mu.toggle_variance()) - e~mu S e.mu e~alpha
                // (commutate contracted indices towards each other, simplify_indexed()
                // will re-expand and re-run the simplification)
-               } else {
-                       exvector::iterator it = self + 1, next_to_last = other - 1;
-                       while (it != other) {
-                               if (!is_a<clifford>(*it))
-                                       return false;
-                               ++it;
+                       if (std::find_if(self + 1, other, is_not_a_clifford()) != other) {
+                               return false;
                        }
-
-                       it = self + 1;
-                       ex S = _ex1;
-                       while (it != next_to_last) {
-                               S *= *it;
-                               *it++ = _ex1;
+                       
+                       ex S = ncmul(exvector(self + 1, before_other), true);
+
+                       if (is_a<clifford>(*before_other) && ex_to<clifford>(*before_other).get_representation_label() == rl) {
+                               if (ex_to<clifford>(*self).is_anticommuting()) {
+                                       if (prev_square > -1) {
+                                               *self = 2 * (*before_other) * S * indexed(squared_metric, alpha, alpha)
+                                                       - (*self) * S * (*other) * (*before_other);
+                                       } else {
+                                               *self = 2 * (*before_other) * S * unit.get_metric(alpha, alpha, true) - (*self) * S * (*other) * (*before_other);
+                                       }
+                               } else {
+                                       *self = 2 * (*self) * S * unit.get_metric(alpha, mu_toggle, true) - (*self) * S * (*other) * (*before_other);
+                               }
+                       } else {
+                               // simply commutes
+                               *self = (*self) * S * (*other) * (*before_other);
                        }
-
-                       const ex & ia = next_to_last->op(1);
-                       const ex & ib = next_to_last->op(1);
-                       if (is_a<tensmetric>(unit.get_metric()))
-                               *self = 2 * (*next_to_last) * S - (*self) * S * (*other) * (*next_to_last);
-                       else if (prev_square != 0) {
-                               *self = 2 * (*next_to_last) * S  - (*self) * S * (*other) * (*next_to_last)*unit.get_metric(self->op(1),self->op(1));
-                               v[prev_square-1] = _ex1;
-                       } else 
-                               *self = 2 * (*next_to_last) * S* unit.get_metric(ia,ib) - (*self) * S * (*other) * (*next_to_last);
-                       *next_to_last = _ex1;
-                       *other = _ex1;
+                               
+                       std::fill(self + 1, other + 1, _ex1);
                        return true;
                }
-
-       } 
-
+       }
        return false;
 }
 
@@ -580,7 +617,7 @@ ex clifford::eval_ncmul(const exvector & v) const
                                const ex & ia = a.op(1);
                                const ex & ib = b.op(1);
                                if (ia.is_equal(ib)) { // gamma~alpha gamma~alpha -> g~alpha~alpha
-                                       a = ex_to<clifford>(a).get_metric(ia, ib);
+                                       a = ex_to<clifford>(a).get_metric(ia, ib, true);
                                        b = dirac_ONE(representation_label);
                                        something_changed = true;
                                }
@@ -630,7 +667,7 @@ ex clifford::eval_ncmul(const exvector & v) const
        }
 
        if (s.empty())
-               return clifford(diracone(), representation_label) * sign;
+               return dirac_ONE(representation_label) * sign;
        if (something_changed)
                return reeval_ncmul(s) * sign;
        else
@@ -639,12 +676,12 @@ ex clifford::eval_ncmul(const exvector & v) const
 
 ex clifford::thiscontainer(const exvector & v) const
 {
-       return clifford(representation_label, get_metric(), v);
+       return clifford(representation_label, get_metric(), is_anticommuting(), v);
 }
 
 ex clifford::thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const
 {
-       return clifford(representation_label, get_metric(), vp);
+       return clifford(representation_label, get_metric(), is_anticommuting(), vp);
 }
 
 ex diracgamma5::conjugate() const
@@ -669,22 +706,56 @@ ex diracgammaR::conjugate() const
 ex dirac_ONE(unsigned char rl)
 {
        static ex ONE = (new diracone)->setflag(status_flags::dynallocated);
-       return clifford(ONE, rl);
+       return clifford(ONE, rl, false);
 }
 
-ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl)
+ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl, bool anticommuting)
 {
        static ex unit = (new cliffordunit)->setflag(status_flags::dynallocated);
 
-       if (!is_a<varidx>(mu))
-               throw(std::invalid_argument("index of Clifford unit must be of type varidx"));
+       if (!is_a<idx>(mu))
+               throw(std::invalid_argument("clifford_unit(): index of Clifford unit must be of type idx or varidx"));
 
-       if (is_a<indexed>(metr))
-               return clifford(unit, mu, metr.op(0), rl);
-       else if(is_a<tensmetric>(metr) || is_a<matrix>(metr)) 
-               return clifford(unit, mu, metr, rl);
-       else
-               throw(std::invalid_argument("metric for Clifford unit must be of type indexed, tensormetric or matrix"));
+       if (ex_to<idx>(mu).is_symbolic() && !is_a<varidx>(mu))
+               throw(std::invalid_argument("clifford_unit(): symbolic index of Clifford unit must be of type varidx (not idx)"));
+
+       if (is_a<indexed>(metr)) {
+               exvector indices = ex_to<indexed>(metr).get_indices();
+               if ((indices.size() == 2) && is_a<varidx>(indices[0]) && is_a<varidx>(indices[1])) {
+                       return clifford(unit, mu, metr, rl, anticommuting);
+               } else {
+                       throw(std::invalid_argument("clifford_unit(): metric for Clifford unit must be indexed exactly by two indices of same type as the given index"));
+               }
+       } else if (is_a<tensmetric>(metr)) {
+               static varidx xi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<varidx>(mu).get_dim()),
+                       chi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<varidx>(mu).get_dim());
+               return clifford(unit, mu, indexed(metr, xi, chi), rl, anticommuting);
+       } else if (is_a<matrix>(metr)) {
+               matrix M = ex_to<matrix>(metr);
+               unsigned n = M.rows();
+               bool symmetric = true;
+               anticommuting = true;
+
+               static varidx xi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), n),
+                       chi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), n);
+               if ((n ==  M.cols()) && (n == ex_to<varidx>(mu).get_dim())) {
+                       for (unsigned i = 0; i < n; i++) {
+                               for (unsigned j = i+1; j < n; j++) {
+                                       if (M(i, j) != M(j, i)) {
+                                               symmetric = false;
+                                       }
+                                       if (M(i, j) != -M(j, i)) {
+                                               anticommuting = false;
+                                       }
+                               }
+                       }
+                       return clifford(unit, mu, indexed(metr, symmetric?symmetric2():not_symmetric(), xi, chi), rl, anticommuting);
+               } else {
+                       throw(std::invalid_argument("clifford_unit(): metric for Clifford unit must be a square matrix with the same dimensions as index"));
+               }
+       } else {
+               throw(std::invalid_argument("clifford_unit(): metric for Clifford unit must be of type indexed, tensormetric or matrix"));
+       }
 }
 
 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl)
@@ -692,9 +763,11 @@ ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl)
        static ex gamma = (new diracgamma)->setflag(status_flags::dynallocated);
 
        if (!is_a<varidx>(mu))
-               throw(std::invalid_argument("index of Dirac gamma must be of type varidx"));
+               throw(std::invalid_argument("dirac_gamma(): index of Dirac gamma must be of type varidx"));
 
-       return clifford(gamma, mu, default_metric(), rl);
+       static varidx xi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<varidx>(mu).get_dim()),
+               chi((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), ex_to<varidx>(mu).get_dim());
+       return clifford(gamma, mu, indexed(default_metric(), symmetric2(), xi, chi), rl, true);
 }
 
 ex dirac_gamma5(unsigned char rl)
@@ -984,7 +1057,7 @@ ex canonicalize_clifford(const ex & e_)
                                                ex b1, i1, b2, i2;
                                                base_and_index(it[0], b1, i1);
                                                base_and_index(it[1], b2, i2);
-                                               it[0] = (ex_to<clifford>(save0).get_metric(i1, i2) * b1 * b2).simplify_indexed();
+                                               it[0] = (ex_to<clifford>(save0).get_metric(i1, i2, true) * b1 * b2).simplify_indexed();
                                                it[1] = v.size() == 2 ? _ex2 * dirac_ONE(ex_to<clifford>(it[1]).get_representation_label()) : _ex2;
                                                ex sum = ncmul(v);
                                                it[0] = save1;
@@ -1016,42 +1089,81 @@ ex clifford_prime(const ex & e)
                return e;
 }
 
-ex remove_dirac_ONE(const ex & e,  unsigned char rl)
+ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl, unsigned options)
 {
-       pointer_to_map_function_1arg<unsigned char> fcn(remove_dirac_ONE, rl);
-       if (is_a<clifford>(e) && ex_to<clifford>(e).get_representation_label() >= rl) {
-               if (is_a<diracone>(e.op(0)))
+       pointer_to_map_function_2args<unsigned char, unsigned> fcn(remove_dirac_ONE, rl, options | 1);
+       bool need_reevaluation = false;
+       ex e1 = e;
+       if (! (options & 1) )  { // is not a child
+               if (options & 2)
+                       e1 = expand_dummy_sum(e, true);
+               e1 = canonicalize_clifford(e1);
+       }
+       
+       if (is_a<clifford>(e1) && ex_to<clifford>(e1).get_representation_label() >= rl) {
+               if (is_a<diracone>(e1.op(0)))
                        return 1;
+               else 
+                       throw(std::invalid_argument("remove_dirac_ONE(): expression is a non-scalar Clifford number!"));
+       } else if (is_a<add>(e1) || is_a<ncmul>(e1) || is_a<mul>(e1)  
+                          || is_a<matrix>(e1) || is_a<lst>(e1)) {
+               if (options & 3) // is a child or was already expanded
+                       return e1.map(fcn);
                else
-                       throw(std::invalid_argument("Expression is a non-scalar Clifford number!"));
-       } else if (is_a<add>(e) || is_a<ncmul>(e) || is_a<mul>(e)  // || is_a<pseries>(e) || is_a<integral>(e)
-                          || is_a<matrix>(e) || is_a<lst>(e)) {
-               return e.map(fcn);
-       } else if (is_a<power>(e)) {
-               return pow(remove_dirac_ONE(e.op(0)), e.op(1));
-       } else
-               return e;
+                       try {
+                               return e1.map(fcn);
+                       } catch (std::exception &p) {
+                               need_reevaluation = true;
+                       }
+       } else if (is_a<power>(e1)) {
+               if (options & 3) // is a child or was already expanded
+                       return pow(remove_dirac_ONE(e1.op(0), rl, options | 1), e1.op(1));
+               else
+                       try {
+                               return pow(remove_dirac_ONE(e1.op(0), rl, options | 1), e1.op(1));
+                       } catch (std::exception &p) {
+                               need_reevaluation = true;
+                       }
+       } 
+       if (need_reevaluation)
+               return remove_dirac_ONE(e, rl, options | 2);
+       return e1;
 }
 
-ex clifford_norm(const ex & e)
+char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE)
 {
-       return sqrt(remove_dirac_ONE(canonicalize_clifford(e * clifford_bar(e)).simplify_indexed()));
+       if (is_a<clifford>(e))
+               if (ignore_ONE && is_a<diracone>(e.op(0)))
+                       return -1;
+               else
+                       return ex_to<clifford>(e).get_representation_label();
+       else {
+               char rl = -1;
+               for (size_t i=0; i < e.nops(); i++) 
+                       rl = (rl > clifford_max_label(e.op(i), ignore_ONE)) ? rl : clifford_max_label(e.op(i), ignore_ONE);
+               return rl;
+       }
 }
 
+ex clifford_norm(const ex & e)
+{
+       return sqrt(remove_dirac_ONE(e * clifford_bar(e)));
+}
+       
 ex clifford_inverse(const ex & e)
 {
        ex norm = clifford_norm(e);
        if (!norm.is_zero())
                return clifford_bar(e) / pow(norm, 2);
        else 
-               throw(std::invalid_argument("Cannot find inverse of Clifford number with zero norm!"));
+               throw(std::invalid_argument("clifford_inverse(): cannot find inverse of Clifford number with zero norm!"));
 }
 
-ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl)
+ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl, bool anticommuting)
 {
        if (!ex_to<idx>(mu).is_dim_numeric())
-               throw(std::invalid_argument("Index should have a numeric dimension"));
-       ex e = clifford_unit(mu, metr, rl);
+               throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): Index should have a numeric dimension"));
+       ex e = clifford_unit(mu, metr, rl, anticommuting);
        return lst_to_clifford(v, e);
 }
 
@@ -1074,20 +1186,20 @@ ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e) {
                                if (dim == max)
                                        return indexed(v, ex_to<varidx>(mu).toggle_variance()) * e;
                                else
-                                       throw(std::invalid_argument("Dimensions of vector and clifford unit mismatch"));
+                                       throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): dimensions of vector and clifford unit mismatch"));
                        } else
-                               throw(std::invalid_argument("First argument should be a vector vector"));
+                               throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): first argument should be a vector vector"));
                } else if (is_a<lst>(v)) {
                        if (dim == ex_to<lst>(v).nops())
                                return indexed(matrix(dim, 1, ex_to<lst>(v)), ex_to<varidx>(mu).toggle_variance()) * e;
                        else
-                               throw(std::invalid_argument("List length and dimension of clifford unit mismatch"));
+                               throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): list length and dimension of clifford unit mismatch"));
                } else
-                       throw(std::invalid_argument("Cannot construct from anything but list or vector"));
+                       throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): cannot construct from anything but list or vector"));
        } else
-               throw(std::invalid_argument("The second argument should be a Clifford unit"));
+               throw(std::invalid_argument("lst_to_clifford(): the second argument should be a Clifford unit"));
 }
-
 /** Auxiliary structure to define a function for striping one Clifford unit
  * from vectors. Used in  clifford_to_lst(). */
 static ex get_clifford_comp(const ex & e, const ex & c) 
@@ -1106,7 +1218,7 @@ static ex get_clifford_comp(const ex & e, const ex & c)
                                if (ind > e.nops()) 
                                        ind = j;
                                else 
-                                       throw(std::invalid_argument("Expression is a Clifford multi-vector"));
+                                       throw(std::invalid_argument("get_clifford_comp(): expression is a Clifford multi-vector"));
                if (ind < e.nops()) {
                        ex S = 1;
                        bool same_value_index, found_dummy;
@@ -1131,7 +1243,7 @@ static ex get_clifford_comp(const ex & e, const ex & c)
                                        }
                        return (found_dummy ? S : 0);
                } else
-                       throw(std::invalid_argument("Expression is not a Clifford vector to the given units"));
+                       throw(std::invalid_argument("get_clifford_comp(): expression is not a Clifford vector to the given units"));
        } else if (e.is_zero()) 
                return e;
        else if (is_a<clifford>(e) && ex_to<clifford>(e).same_metric(c))
@@ -1141,7 +1253,7 @@ static ex get_clifford_comp(const ex & e, const ex & c)
                else 
                        return 1;
        else
-               throw(std::invalid_argument("Expression is not usable as a Clifford vector"));
+               throw(std::invalid_argument("get_clifford_comp(): expression is not usable as a Clifford vector"));
 }
 
 
@@ -1150,7 +1262,7 @@ lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic)
        GINAC_ASSERT(is_a<clifford>(c));
        varidx mu = ex_to<varidx>(c.op(1));
        if (! mu.is_dim_numeric())
-               throw(std::invalid_argument("Index should have a numeric dimension"));
+               throw(std::invalid_argument("clifford_to_lst(): index should have a numeric dimension"));
        unsigned int D = ex_to<numeric>(mu.get_dim()).to_int();
 
        if (algebraic) // check if algebraic method is applicable
@@ -1159,26 +1271,33 @@ lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic)
                                or (not is_a<numeric>(pow(c.subs(mu == i), 2))))
                                algebraic = false;
        lst V; 
-       if (algebraic) 
+       if (algebraic) {
                for (unsigned int i = 0; i < D; i++) 
                        V.append(remove_dirac_ONE(
                                                simplify_indexed(canonicalize_clifford(e * c.subs(mu == i) +  c.subs(mu == i) * e))
                                                / (2*pow(c.subs(mu == i), 2))));
-       else {
+       else {
                ex e1 = canonicalize_clifford(e);
-               for (unsigned int i = 0; i < D; i++) 
-                       V.append(get_clifford_comp(e1, c.subs(c.op(1) == i)));
+               try {
+                       for (unsigned int i = 0; i < D; i++) 
+                               V.append(get_clifford_comp(e1, c.subs(c.op(1) == i)));
+               } catch  (std::exception &p) {
+                       /* Try to expand dummy summations to simplify the expression*/
+                       e1 = canonicalize_clifford(expand_dummy_sum(e1, true));
+                       for (unsigned int i = 0; i < D; i++) 
+                               V.append(get_clifford_comp(e1, c.subs(c.op(1) == i)));
+               }
        }
        return V;
 }
 
 
-ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl)
+ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl, bool anticommuting)
 {
        ex x, D, cu;
        
        if (! is_a<matrix>(v) && ! is_a<lst>(v))
-               throw(std::invalid_argument("parameter v should be either vector or list"));
+               throw(std::invalid_argument("clifford_moebius_map(): parameter v should be either vector or list"));
        
        if (is_a<clifford>(G)) {
                cu = G;
@@ -1187,24 +1306,24 @@ ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d,
                        D = ex_to<varidx>(G.op(1)).get_dim();
                else if (is_a<matrix>(G)) 
                        D = ex_to<matrix>(G).rows(); 
-               else throw(std::invalid_argument("metric should be an indexed object, matrix, or a Clifford unit"));
+               else throw(std::invalid_argument("clifford_moebius_map(): metric should be an indexed object, matrix, or a Clifford unit"));
                
                varidx mu((new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated), D);
-               cu = clifford_unit(mu, G, rl);
+               cu = clifford_unit(mu, G, rl, anticommuting);
        }
-
+       
        x = lst_to_clifford(v, cu); 
        ex e = simplify_indexed(canonicalize_clifford((a * x + b) * clifford_inverse(c * x + d)));
        return clifford_to_lst(e, cu, false);
 }
 
-ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl)
+ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl, bool anticommuting)
 {
        if (is_a<matrix>(M)) 
-               return clifford_moebius_map(ex_to<matrix>(M)(0,0), ex_to<matrix>(M)(0,1), 
-                                               ex_to<matrix>(M)(1,0), ex_to<matrix>(M)(1,1), v, G, rl);
+               return clifford_moebius_map(ex_to<matrix>(M)(0,0), ex_to<matrix>(M)(0,1),
+                                           ex_to<matrix>(M)(1,0), ex_to<matrix>(M)(1,1), v, G, rl, anticommuting);
        else
-               throw(std::invalid_argument("parameter M should be a matrix"));
+               throw(std::invalid_argument("clifford_moebius_map(): parameter M should be a matrix"));
 }
 
 } // namespace GiNaC
index c9b17a9..7b12073 100644 (file)
@@ -44,12 +44,12 @@ class clifford : public indexed
 
        // other constructors
 public:
-       clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
-       clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
+       clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false);
+       clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false);
 
        // internal constructors
-       clifford(unsigned char rl, const ex & metr, const exvector & v, bool discardable = false);
-       clifford(unsigned char rl, const ex & metr, std::auto_ptr<exvector> vp);
+       clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, const exvector & v, bool discardable = false);
+       clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, std::auto_ptr<exvector> vp);
 
        // functions overriding virtual functions from base classes
 public:
@@ -66,8 +66,9 @@ protected:
 public:
        unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
        ex get_metric() const { return metric; }
-       ex get_metric(const ex & i, const ex & j) const;
+       ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
        bool same_metric(const ex & other) const;
+       bool is_anticommuting() const { return anticommuting; } //**< See the member variable anticommuting */
 
 protected:
        void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
@@ -76,7 +77,8 @@ protected:
        // member variables
 private:
        unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
-       ex metric;
+       ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
+       bool anticommuting; /**< Simplifications for anticommuting units is much simpler and we need this info readily available */
 };
 
 
@@ -193,10 +195,10 @@ ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 /** Create a Clifford unit object.
  *
  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
- *  @param metr Metric (should be of class tensmetric or a derived class, or a matrix)
+ *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
  *  @param rl Representation label
  *  @return newly constructed Clifford unit object */
-ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
+ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 
 /** Create a Dirac gamma object.
  *
@@ -280,10 +282,18 @@ inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any 
  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
- *  
+ *
+ *  @param e Expression to be processed
+ *  @param rl Value of representation label 
+ *  @param options Defines some internal use */
+ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
+
+/** Returns the maximal representation label of a clifford object 
+ *  if e contains at least one, otherwise returns -1 
+ *
  *  @param e Expression to be processed
- *  @param rl Value of representation label */
-ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0);
+ *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
+char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 
 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 ex clifford_norm(const ex & e);
@@ -295,11 +305,11 @@ ex clifford_inverse(const ex & e);
  *
  *  @param v List or vector of coordinates
  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
- *  @param metr Metric (should be of class tensmetric or a derived class, or a matrix)
+ *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
  *  @param rl Representation label
  *  @param e Clifford unit object
  *  @return Clifford vector with given components */
-ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
+ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 
 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
@@ -327,8 +337,9 @@ lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
  *  @param v Vector to be transformed
  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
  *  @param rl Representation label 
+ *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
  *  @return List of components of the transformed vector*/
-ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
+ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 
 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
@@ -337,8 +348,9 @@ ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d,
  *  @param v Vector to be transformed
  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
  *  @param rl Representation label 
+ *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
  *  @return List of components of the transformed vector*/
-ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
+ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 
 } // namespace GiNaC