power::series(): handle someg (trivial) singularities of the exponent...
[ginac.git] / check / exam_pseries.cpp
index 1857385f912a647d97c0bab918e0f66a6ad22df5..a0f87eade96c06cadbda75a74ac5045d228c8434 100644 (file)
@@ -1,9 +1,9 @@
-/** @file exam_pseries.cpp
+/** @File exam_pseries.cpp
  *
  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
 
 /*
- *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
+ *  GiNaC Copyright (C) 1999-2010 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  *
  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  *
  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  *  along with this program; if not, write to the Free Software
- *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
+ *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  */
 
-#include "exams.h"
+#include "ginac.h"
+using namespace GiNaC;
+
+#include <iostream>
+using namespace std;
 
 static symbol x("x");
 
 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
 {
-    ex es = e.series(x==point, order);
-    ex ep = ex_to_pseries(es).convert_to_poly();
-    if (!(ep - d).is_zero()) {
-        clog << "series expansion of " << e << " at " << point
-             << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
-             << ")" << endl;
-        (ep-d).printtree(clog);
-        return 1;
-    }
-    return 0;
+       ex es = e.series(x==point, order);
+       ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
+       if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
+               clog << "series expansion of " << e << " at " << point
+                    << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
+                    << ")" << endl;
+               clog << tree << (ep-d) << dflt;
+               return 1;
+       }
+       return 0;
 }
 
 // Series expansion
-static unsigned exam_series1(void)
-{
-    unsigned result = 0;
-    ex e, d;
-    
-    e = sin(x);
-    d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = cos(x);
-    d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = exp(x);
-    d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = pow(1 - x, -1);
-    d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = x + pow(x, -1);
-    d = x + pow(x, -1);
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = x + pow(x, -1);
-    d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
-    result += check_series(e, 1, d);
-    
-    e = pow(x + pow(x, 3), -1);
-    d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + Order(pow(x, 7));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
-    d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + Order(pow(x, 6));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = pow(sin(x), -2);
-    d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + Order(pow(x, 5));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = sin(x) / cos(x);
-    d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = cos(x) / sin(x);
-    d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 + Order(pow(x, 6));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    e = pow(numeric(2), x);
-    ex t = log(ex(2)) * x;
-    d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d.expand());
-    
-    e = pow(Pi, x);
-    t = log(Pi) * x;
-    d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
-    result += check_series(e, 0, d.expand());
-    
-    return result;
+static unsigned exam_series1()
+{
+       using GiNaC::log;
+
+       symbol a("a");
+       symbol b("b");
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       
+       e = pow(a+b, x);
+       d = 1 + Order(pow(x, 1));
+       result += check_series(e, 0, d, 1);
+
+       e = sin(x);
+       d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = cos(x);
+       d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = exp(x);
+       d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = pow(1 - x, -1);
+       d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = x + pow(x, -1);
+       d = x + pow(x, -1);
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = x + pow(x, -1);
+       d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
+       result += check_series(e, 1, d);
+       
+       e = pow(x + pow(x, 3), -1);
+       d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
+       d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = pow(sin(x), -2);
+       d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = sin(x) / cos(x);
+       d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = cos(x) / sin(x);
+       d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = pow(numeric(2), x);
+       ex t = log(2) * x;
+       d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d.expand());
+       
+       e = pow(Pi, x);
+       t = log(Pi) * x;
+       d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d.expand());
+       
+       e = log(x);
+       d = e;
+       result += check_series(e, 0, d, 1);
+       result += check_series(e, 0, d, 2);
+       
+       e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
+       d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
+       result += check_series(e, 0, d, 6);
+       
+       e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
+       d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
+           + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
+           + Order(pow(x, 2));
+       result += check_series(e, 0, d, 2);
+       
+       e = sqrt(1+x*x) * sqrt(1+2*x*x);
+       d = 1 + Order(pow(x, 2));
+       result += check_series(e, 0, d, 2);
+
+       e = pow(x, 4) * sin(a) + pow(x, 2);
+       d = pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
+       result += check_series(e, 0, d, 3);
+
+       e = log(a*x + b*x*x*log(x));
+       d = log(a*x) + b/a*log(x)*x - pow(b/a, 2)/2*pow(log(x)*x, 2) + Order(pow(x, 3));
+       result += check_series(e, 0, d, 3);
+
+       e = pow((x+a), b);
+       d = pow(a, b) + (pow(a, b)*b/a)*x + (pow(a, b)*b*b/a/a/2 - pow(a, b)*b/a/a/2)*pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
+       result += check_series(e, 0, d, 3);
+
+       return result;
 }
 
 // Series addition
-static unsigned exam_series2(void)
+static unsigned exam_series2()
 {
-    unsigned result = 0;
-    ex e, d;
-    
-    e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
-    d = Order(pow(x, 6));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    return result;
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       
+       e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
+       d = Order(pow(x, 8));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       return result;
 }
 
 // Series multiplication
-static unsigned exam_series3(void)
+static unsigned exam_series3()
+{
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       
+       e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
+       d = 1 + Order(pow(x, 7));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       return result;
+}
+
+// Series exponentiation
+static unsigned exam_series4()
 {
-    unsigned result = 0;
-    ex e, d;
-    
-    e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
-    d = 1 + Order(pow(x, 7));
-    result += check_series(e, 0, d);
-    
-    return result;
+       using GiNaC::tgamma;
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       
+       e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
+       d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
+       d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2)) 
+               + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
+       result += check_series(e, 0, d);
+       
+       return result;
 }
 
 // Order term handling
-static unsigned exam_series4(void)
-{
-    unsigned result = 0;
-    ex e, d;
-
-    e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
-    d = Order(1);
-    result += check_series(e, 0, d, 0);
-    d = 1 + Order(x);
-    result += check_series(e, 0, d, 1);
-    d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
-    result += check_series(e, 0, d, 2);
-    d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
-    result += check_series(e, 0, d, 3);
-    d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
-    result += check_series(e, 0, d, 4);
-    return result;
-}
-
-// Series of special functions
-static unsigned exam_series5(void)
-{
-    unsigned result = 0;
-    ex e, d;
-    
-    // tgamma(-1):
-    e = tgamma(2*x);
-    d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
-        pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
-                    numeric(1,2)*Euler) +
-        pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
-                    numeric(3,2)*Euler +
-                    numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
-                    numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
-        pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
-                    numeric(7,2)*Euler -
-                    numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
-                    numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
-                    numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
-                    numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
-                    numeric(2,3)*zeta(3)) +
-        pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
-                    numeric(15,2)*Euler +
-                    numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
-                    numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
-                    numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
-                    numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
-                    numeric(2)*zeta(3) +
-                    numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
-                    numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
-                    numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
-        Order(pow(x+1,4));
-    result += check_series(e, -1, d, 4);
-    
-    // tan(Pi/2)
-    e = tan(x*Pi/2);
-    d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) +
-        pow(x-1,1)*Pi/6 +
-        pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360 +
-        pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 +
-        pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800 +
-        Order(pow(x-1,8));
-    result += check_series(e,1,d,8);
-    
-    return result;
-}
-
-unsigned exam_pseries(void)
-{
-    unsigned result = 0;
-    
-    cout << "examining series expansion" << flush;
-    clog << "----------series expansion:" << endl;
-    
-    result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
-    result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
-    result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
-    result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
-    result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
-    
-    if (!result) {
-        cout << " passed " << endl;
-        clog << "(no output)" << endl;
-    } else {
-        cout << " failed " << endl;
-    }
-    return result;
+static unsigned exam_series5()
+{
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+
+       e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
+       d = Order(1);
+       result += check_series(e, 0, d, 0);
+       d = 1 + Order(x);
+       result += check_series(e, 0, d, 1);
+       d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
+       result += check_series(e, 0, d, 2);
+       d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
+       result += check_series(e, 0, d, 3);
+       d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
+       result += check_series(e, 0, d, 4);
+       return result;
+}
+
+// Series expansion of tgamma(-1)
+static unsigned exam_series6()
+{
+       using GiNaC::tgamma;
+       ex e = tgamma(2*x);
+       ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
+              pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
+                          numeric(1,2)*Euler) +
+              pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
+                          numeric(3,2)*Euler +
+                          numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
+                          numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
+              pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
+                          numeric(7,2)*Euler -
+                          numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
+                          numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
+                          numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
+                          numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
+                          numeric(2,3)*zeta(3)) +
+              pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
+                          numeric(15,2)*Euler +
+                          numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
+                          numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
+                          numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
+                          numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
+                          numeric(2)*zeta(3) +
+                          numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
+                          numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
+                          numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
+              Order(pow(x+1,4));
+       return check_series(e, -1, d, 4);
+}
+       
+// Series expansion of tan(x==Pi/2)
+static unsigned exam_series7()
+{
+       ex e = tan(x*Pi/2);
+       ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
+             +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
+             +Order(pow(x-1,9));
+       return check_series(e,1,d,9);
+}
+
+// Series expansion of log(sin(x==0))
+static unsigned exam_series8()
+{
+       ex e = log(sin(x));
+       ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
+       return check_series(e,0,d,9);
+}
+
+// Series expansion of Li2(sin(x==0))
+static unsigned exam_series9()
+{
+       ex e = Li2(sin(x));
+       ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
+              - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
+              + Order(pow(x,8));
+       return check_series(e,0,d,8);
+}
+
+// Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
+static unsigned exam_series10()
+{
+       using GiNaC::log;
+
+       ex e = Li2(pow(x,2));
+       ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
+              + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
+              + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
+              + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
+              + Order(pow(x-2,5));
+       return check_series(e,2,d,5);
+}
+
+// Series expansion of logarithms around branch points
+static unsigned exam_series11()
+{
+       using GiNaC::log;
+
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       symbol a("a");
+       
+       e = log(x);
+       d = log(x);
+       result += check_series(e,0,d,5);
+       
+       e = log(3/x);
+       d = log(3)-log(x);
+       result += check_series(e,0,d,5);
+       
+       e = log(3*pow(x,2));
+       d = log(3)+2*log(x);
+       result += check_series(e,0,d,5);
+       
+       // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
+       // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
+       e = log(-x);
+       d = e;
+       result += check_series(e,0,d,5);
+       
+       e = log(I*(x-123));
+       d = e;
+       result += check_series(e,123,d,5);
+       
+       e = log(a*x);
+       d = e;  // we don't know anything about a!
+       result += check_series(e,0,d,5);
+       
+       e = log((1-x)/x);
+       d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
+       result += check_series(e,1,d,5);
+       
+       return result;
+}
+
+// Series expansion of other functions around branch points
+static unsigned exam_series12()
+{
+       using GiNaC::log;
+       using GiNaC::atanh;
+
+       unsigned result = 0;
+       ex e, d;
+       
+       // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
+       // takes into account that by assumption |x|<1.
+       e = atan(x);
+       d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
+       result += check_series(e,I,d,3);
+       
+       // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
+       // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
+       e = atan(x);
+       d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
+       result += check_series(e,-I,d,3);
+       
+       // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
+       e = atanh(x);
+       d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
+       result += check_series(e,-1,d,3);
+       
+       return result;
+}
+
+// Test of the patch of Stefan Weinzierl that prevents an infinite loop if
+// a factor in a product is a complicated way of writing zero.
+static unsigned exam_series13()
+{
+       unsigned result = 0;
+
+       ex e = (new mul(pow(2,x), (1/x*(-(1+x)/(1-x)) + (1+x)/x/(1-x)))
+              )->setflag(status_flags::evaluated);
+       ex d = Order(x);
+       result += check_series(e,0,d,1);
+
+       return result;
+}
+
+// Test if (1+x)^(1/x) can be expanded.
+static unsigned exam_series14()
+{
+       unsigned result = 0;
+
+       ex e = pow(1+x, sin(x)/x);
+       ex d = 1 + x - pow(x,3)/6 + Order(pow(x,4));
+       try {
+               result += check_series(e,0,d,4);
+       } catch (const pole_error& err) {
+               clog << "series expansion of " << e << " at 0 raised an exception." << endl;
+               ++result;
+       }
+
+       return result;
+}
+
+unsigned exam_pseries()
+{
+       unsigned result = 0;
+       
+       cout << "examining series expansion" << flush;
+       
+       result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series13();  cout << '.' << flush;
+       result += exam_series14();  cout << '.' << flush;
+       
+       return result;
+}
+
+int main(int argc, char** argv)
+{
+       return exam_pseries();
 }