Bugs w.r.t. raising/lowering dummy indices when doing simplify_indexed.
[ginac.git] / check / exam_clifford.cpp
index 06396e1a0fb5dd8b09011a85ad48c7a587b357b4..e8ee3f70939e2131ede1bc549c554f18eaabd5a2 100644 (file)
@@ -3,7 +3,7 @@
  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
 
 /*
- *  GiNaC Copyright (C) 1999-2004 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
+ *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
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+ *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  */
 
 #include "exams.h"
 
+const numeric half(1, 2);
+
 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = e1 - e2;
+       ex e = normal(e1 - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << e1 << "-" << e2 << " erroneously returned "
+               clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
                     << e << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
@@ -35,15 +37,62 @@ static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 
 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = simplify_indexed(e1) - e2;
+       ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
-                    << e << " instead of 0" << endl;
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << e << " instead of 0" << endl;
+               return 1;
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
+               ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
+               if (!e.normal().is_zero()) {
+                       clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                            << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+
+       for (int j=0; j<4; j++) {
+               ex esub = e.subs(
+                               is_a<varidx>(mu)
+                                       ? lst (
+                                                       mu == idx(j, mu.get_dim()),
+                                                       ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())
+                                               )
+                                       : lst(mu == idx(j, mu.get_dim()))
+                       );
+               if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
+                       clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                                << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+       if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
        return 0;
 }
 
+
 static unsigned clifford_check1()
 {
        // checks general identities and contractions
@@ -194,7 +243,9 @@ static unsigned clifford_check3()
        e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
        result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
        result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
-       result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), e);
+       // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck. 
+       // TODO: better check.
+       //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
        result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 
        return result;
@@ -262,106 +313,159 @@ static unsigned clifford_check5()
        return result;
 }
 
-static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
+/* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
+ * the cases when used indexes have or have not variance.
+ * To this end we recycle the code through the following macros */
+
+template <typename IDX> unsigned clifford_check6(const matrix &A)
 {
-       varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
+       unsigned result = 0;
+
+       matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
+       A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
+       A2 = A_symm.mul(A_symm);
+
+       IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
               psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
               xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
+       ex mu_TOGGLE = is_a<varidx>(mu) ? ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() : mu;
+       ex nu_TOGGLE = is_a<varidx>(nu) ? ex_to<varidx>(nu).toggle_variance() : nu;
+       ex rho_TOGGLE
+               = is_a<varidx>(rho) ? ex_to<varidx>(rho).toggle_variance() : rho;
 
-       ex G = A;
-
-       matrix A2(4, 4);
-       A2 = A.mul(A);
        ex e, e1;
 
-       int result = 0;
+/* checks general identities and contractions for clifford_unit*/
+       e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
+       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 
-       // checks general identities and contractions for clifford_unit
-       e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
-       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)
+         * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);
+       result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(varidx(2, 4), G) * clifford_unit(varidx(1, 4), G)
-         * clifford_unit(varidx(1, 4), G) * clifford_unit(varidx(2, 4), G);
+       e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
+         * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
        result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
        result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu, G);
-       result += check_equal_simplify(e, indexed(G, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(G, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, G) - A.trace()*clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 
-       e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
        result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
        result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 
-       e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu_TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 
-       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
-       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
-       result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu)) * clifford_unit(mu, G));
+       e = clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 
-       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho, G)
-         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G);
-       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
-       result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu))* clifford_unit(mu, G));
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 
-       // canonicalize_clifford() checks
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
-
-       e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
-          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
-          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
-         + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
-         - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
-         + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
-         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+       e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 
-       // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
-       symbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
+       e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
        
-       e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, G) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, G);
-       e1 = clifford_inverse(e);
-       result += check_equal((e*e1).simplify_indexed().normal(), dirac_ONE());
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
+
+       e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
+                + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+                - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
+                - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
+               - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
+               - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+
+/* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/
+       realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
 
+       ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
+       e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
+       e1 = clifford_inverse(e);
+       result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
+
+/* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */
+       matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
+       c = clifford_unit(nu, A);
+
+       e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(), 
+                                                        dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); 
+/* this is just the inversion*/
+       M1 = 0, dirac_ONE(),
+               dirac_ONE(), 0;
+       e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); 
+/* the inversion again*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A), 
+                                                        0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); 
+/*this is just a shift*/
+       M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
+               0, dirac_ONE();
+       e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); 
+/* the same shift*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
+
+/* Check the group law for Moebius maps */
+       e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c);
+/*composition of M1 and M2*/
+       e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c);
+/* the product M1*M2*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
        return result;
 }
 
-static unsigned clifford_check7()
+static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 {
        // checks general identities and contractions
 
        unsigned result = 0;
 
-       symbol dim("D");
        varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
               psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 
        ex e;
-
-       ex G = minkmetric();
-
+       clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
+       ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
+       
        e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
        result += check_equal(e, dirac_ONE());
 
@@ -370,37 +474,53 @@ static unsigned clifford_check7()
 
        e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
          * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
-       result += check_equal(e, dirac_ONE());
+       result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
 
        e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
          * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
+       result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
 
        e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
          * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
-       result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE() - pow(dim, 2)*dirac_ONE());
+       result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
 
        e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
          * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
        e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
-       result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
-
-       // canonicalize_clifford() checks
-       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
-
-       e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
-          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
-          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
-          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
-          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
-         + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
-         - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
-         + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
-         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
-       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
-
+       result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
+
+       // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
+       if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
+                       - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
+                       + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+       } else {
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
+                       - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
+                       + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+       }
        return result;
 }
 
@@ -417,32 +537,58 @@ unsigned exam_clifford()
        result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
        result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 
+       // anticommuting, symmetric examples
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));
+       result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))));; cout << '.' << flush;
+
+       realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))));; cout << '.' << flush;
+
        matrix A(4, 4);
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 1, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0, 1;
-       result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
-
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0,-1, 0, 0,
-            0, 0,-1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
-       result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
-       
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 1, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
-       result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
-
-       A = -1, 0, 0, 0,
-            0, 0, 0, 0,
-            0, 0, 1, 0,
-            0, 0, 0,-1;
-       result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
-
-       result += clifford_check7(); cout << '.' << flush;
+       A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
+               0, -1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, 1, 0; 
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
+               0, 1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, 1, 0; 
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
+               0, -1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, -1, 0; 
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
+               0, 1, 0, 0,
+               0, 0, 0, -1,
+               0, 0, -1, 0; 
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
+               0, 1, 1, 0,
+               0, 0, 1, 1,
+               0, 0, 0, 1; 
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       symbol dim("D");
+       result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
+
+       varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
+       result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 
        if (!result) {
                cout << " passed " << endl;