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[ginac.git] / check / exam_clifford.cpp
index 8eee701..b067438 100644 (file)
@@ -3,7 +3,7 @@
  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
 
 /*
- *  GiNaC Copyright (C) 1999-2001 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
+ *  GiNaC Copyright (C) 1999-2019 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
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+ *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  */
 
-#include "exams.h"
+#include "ginac.h"
+using namespace GiNaC;
+
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+const numeric half(1, 2);
 
 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = e1 - e2;
+       ex e = normal(e1 - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << e1 << "-" << e2 << " erroneously returned "
+               clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
                     << e << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
@@ -35,23 +41,70 @@ static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
 
 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
 {
-       ex e = simplify_indexed(e1) - e2;
+       ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
        if (!e.is_zero()) {
-               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
-                    << e << " instead of 0" << endl;
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << e << " instead of 0" << endl;
                return 1;
        }
        return 0;
 }
 
-static unsigned clifford_check1(void)
+static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
+               ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
+               if (!e.normal().is_zero()) {
+                       clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                            << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+
+       for (int j=0; j<4; j++) {
+               ex esub = e.subs(
+                               is_a<varidx>(mu)
+                                       ? lst {
+                                                       mu == idx(j, mu.get_dim()),
+                                                       ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())
+                                               }
+                                       : lst{mu == idx(j, mu.get_dim())}
+                       );
+               if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
+                       clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                                << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
+                       return 1;
+               }
+       }
+       return 0;
+}
+
+static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
+{
+       ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
+       if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
+               clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
+                        << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
+               return 1;
+       }
+       return 0;
+}
+
+
+static unsigned clifford_check1()
 {
        // checks general identities and contractions
 
        unsigned result = 0;
 
        symbol dim("D");
-       varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
+       varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
        ex e;
 
        e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
@@ -72,10 +125,15 @@ static unsigned clifford_check1(void)
            dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
        result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 
+       e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
+           dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
+       e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
+       result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
+
        return result;
 }
 
-static unsigned clifford_check2(void)
+static unsigned clifford_check2()
 {
        // checks identities relating to gamma5
 
@@ -94,7 +152,7 @@ static unsigned clifford_check2(void)
        return result;
 }
 
-static unsigned clifford_check3(void)
+static unsigned clifford_check3()
 {
        // checks traces
 
@@ -102,7 +160,7 @@ static unsigned clifford_check3(void)
 
        symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
        varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
-              sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), 4);
+              sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
        ex e;
 
        e = dirac_gamma(mu);
@@ -149,45 +207,460 @@ static unsigned clifford_check3(void)
        // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
        e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
          + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
-       e = dirac_trace(e);
+       e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
        e = (e / (dim - 4)).normal();
-       result += check_equal(e, 8 * eps0123(nu, rho, sig, kap));
+       result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 
        // one-loop vacuum polarization in QED
        e = dirac_gamma(mu) *
-           (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, dim) + m * dirac_ONE()) *
+           (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
            dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
            (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
        e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
        result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 
-       e = dirac_slash(q, dim) *
-           (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, dim) + m * dirac_ONE()) *
-           dirac_slash(q, dim) *
+       e = dirac_slash(q, 4) *
+           (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
+           dirac_slash(q, 4) *
            (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
        e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
        result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 
+       // stuff that had problems in the past
+       ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
+       e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
+       e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
+         - dirac_trace(prop * e);
+       result += check_equal(e, 0);
+
+       e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
+       e = dirac_trace(e);
+       result += check_equal(e, 4);
+
+       // traces with multiple representation labels
+       e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
+       result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
+       result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
+       result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
+       result += check_equal(dirac_trace(e, lst{0, 1}), 1);
+
+       e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
+       result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
+       result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
+       // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamma matrices with different rl depends on luck.
+       // TODO: better check.
+       //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
+       result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst{0, 1}), 16 * dim);
+
        return result;
 }
 
-unsigned exam_clifford(void)
+static unsigned clifford_check4()
 {
+       // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
+
        unsigned result = 0;
+
+       symbol dim("D");
+       varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
+              sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
+       ex e, t1, t2;
+
+       e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
+       t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
+       t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
+       result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
+
+       e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
+       t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
+       t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
+       result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
+
+       e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
+       t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
+       t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
+       result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
+
+       e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
+       t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
+       t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
+       result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
+
+       return result;
+}
+
+static unsigned clifford_check5()
+{
+       // canonicalize_clifford() checks
+
+       unsigned result = 0;
+
+       symbol dim("D");
+       varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
+       ex e;
+
+       e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
+
+       e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
+          + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
+          + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
+          - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
+          - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
+          - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
+         + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
+         - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
+         + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
+         - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+
+       return result;
+}
+
+/* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
+ * the cases when used indexes have or have not variance.
+ * To this end we recycle the code through the following macros */
+
+template <typename IDX> unsigned clifford_check6(const matrix &A)
+{
+       unsigned result = 0;
+
+       matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
+       A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
+       A2 = A_symm.mul(A_symm);
+
+       IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
+              psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
+              xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
+       ex mu_TOGGLE = is_a<varidx>(mu) ? ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() : mu;
+       ex nu_TOGGLE = is_a<varidx>(nu) ? ex_to<varidx>(nu).toggle_variance() : nu;
+       ex rho_TOGGLE
+               = is_a<varidx>(rho) ? ex_to<varidx>(rho).toggle_variance() : rho;
+
+       ex e, e1;
+
+/* checks general identities and contractions for clifford_unit*/
+       e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
+       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
+
+       e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
+         * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
+       result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
+         * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
+       result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
+       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
        
-       cout << "examining clifford objects" << flush;
-       clog << "----------clifford objects:" << endl;
+       result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
+       result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
+       result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
+
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu_TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 
-       result += clifford_check1();  cout << '.' << flush;
-       result += clifford_check2();  cout << '.' << flush;
-       result += clifford_check3();  cout << '.' << flush;
+       result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
+       
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)
+         * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
        
-       if (!result) {
-               cout << " passed " << endl;
-               clog << "(no output)" << endl;
+       result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) 
+                                           - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) 
+                                                            + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
+
+       e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
+
+       e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
+                + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
+                - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
+                - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
+                - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
+               - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
+               + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
+               - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
+       result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
+
+/* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/
+       realsymbol s("s"), t("t"), x("x"), y("y"), z("z");
+
+       ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
+       e = lst_to_clifford(lst{t, x, y, z}, mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst{1, 2, 3, 4}, c);
+       e1 = clifford_inverse(e);
+       result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
+
+/* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for vectors*/
+       e = lst{t, x, y, z};
+       result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
+       result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
+
+/* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for pseudovectors*/
+       e = lst{s, t, x, y, z};
+       result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
+       result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
+
+/* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */
+       c = clifford_unit(nu, A);
+
+       e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(), 
+                                dirac_ONE(), 0, lst{t, x, y, z}, A);
+/* this is just the inversion*/
+       matrix M1 = {{0, dirac_ONE()},
+                    {dirac_ONE(), 0}};
+       e1 = clifford_moebius_map(M1, lst{t, x, y, z}, A);
+/* the inversion again*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst{t, x, y, z}, mu, A)), c);
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst{1, 2, 3, 4}, nu, A),
+                                0, dirac_ONE(), lst{t, x, y, z}, A);
+/*this is just a shift*/
+       matrix M2 = {{dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst{1, 2, 3, 4}, c),},
+                    {0, dirac_ONE()}};
+       e1 = clifford_moebius_map(M2, lst{t, x, y, z}, c);
+/* the same shift*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+
+       result += check_equal(e, lst{t+1, x+2, y+3, z+4});
+
+/* Check the group law for Moebius maps */
+       e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c);
+/*composition of M1 and M2*/
+       e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst{t, x, y, z}, c);
+/* the product M1*M2*/
+       result += check_equal_lst(e, e1);
+       return result;
+}
+
+static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
+{
+       // checks general identities and contractions
+
+       unsigned result = 0;
+
+       varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
+              psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
+
+       ex e;
+       clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
+       ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
+       
+       e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
+       result += check_equal(e, dirac_ONE());
+
+       e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
+       result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
+
+       e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
+         * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
+       result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
+
+       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+         * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
+       result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+         * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
+       result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
+
+       e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
+         * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
+       e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
+       result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
+
+       // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
+       if (is_a<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()) &&
+           ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
+                       - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
+                       + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
        } else {
-               cout << " failed " << endl;
+               e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
+               
+               e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
+                        - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
+                        - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
+                        - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
+                       + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
+                       - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
+                       + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
+                       - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
+               result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
        }
+       return result;
+}
+
+static unsigned clifford_check8()
+{
+       unsigned result = 0;
+
+       realsymbol a("a"), b("b"), x("x");
+       varidx mu(symbol("mu", "\\mu"), 1);
+
+       ex e = clifford_unit(mu, diag_matrix({-1})), e0 = e.subs(mu==0);
+       result += ( exp(a*e0)*e0*e0 == -exp(e0*a) ) ? 0 : 1;
+
+       ex P = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))*(x*dirac_ONE()+sqrt(x-1)*e0);
+       ex P_prime = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))*(x*dirac_ONE()-sqrt(x-1)*e0);
+
+       result += check_equal(clifford_prime(P), P_prime);
+       result += check_equal(clifford_star(P), P);
+       result += check_equal(clifford_bar(P), P_prime);
+
+       return result;
+}
+
+static unsigned clifford_check9()
+{
+       unsigned result = 0;
+
+       realsymbol a("a"), b("b"), x("x");;
+       varidx mu(symbol("mu", "\\mu"), 4),  nu(symbol("nu", "\\nu"), 4);
+
+       ex e = clifford_unit(mu, lorentz_g(mu, nu));
+       ex e0 = e.subs(mu==0);
+       ex e1 = e.subs(mu==1);
+       ex e2 = e.subs(mu==2);
+       ex e3 = e.subs(mu==3);
+       ex one = dirac_ONE();
+
+       ex P = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))
+              *(x*one+sqrt(x-1)*e0+sqrt(x-2)*e0*e1 +sqrt(x-3)*e0*e1*e2 +sqrt(x-4)*e0*e1*e2*e3);
+       ex P_prime = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))
+              *(x*one-sqrt(x-1)*e0+sqrt(x-2)*e0*e1 -sqrt(x-3)*e0*e1*e2 +sqrt(x-4)*e0*e1*e2*e3);
+       ex P_star = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))
+              *(x*one+sqrt(x-1)*e0+sqrt(x-2)*e1*e0 +sqrt(x-3)*e2*e1*e0 +sqrt(x-4)*e3*e2*e1*e0);
+       ex P_bar = color_T(idx(a,8))*color_T(idx(b,8))
+              *(x*one-sqrt(x-1)*e0+sqrt(x-2)*e1*e0 -sqrt(x-3)*e2*e1*e0 +sqrt(x-4)*e3*e2*e1*e0);
+
+       result += check_equal(clifford_prime(P), P_prime);
+       result += check_equal(clifford_star(P), P_star);
+       result += check_equal(clifford_bar(P), P_bar);
+
+       return result;
+}
+
+unsigned exam_clifford()
+{
+       unsigned result = 0;
        
+       cout << "examining clifford objects" << flush;
+
+       result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
+
+       // anticommuting, symmetric examples
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, 1, 1})));
+       result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, 1, 1})));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, -1, -1, -1})))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, -1, -1, -1})));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, 1, -1})))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, 1, -1})));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 0, 1, -1})))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 0, 1, -1})));; cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-3, 0, 2, -1})))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-3, 0, 2, -1})));; cout << '.' << flush;
+
+       realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matrix
+       result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, s, t})))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix({-1, 1, s, t})));; cout << '.' << flush;
+
+       matrix A(4, 4);
+       A = {{1,  0,  0,  0}, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
+            {0, -1,  0,  0},
+            {0,  0,  0, -1},
+            {0,  0,  1,  0}};
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = {{1,  0,  0,  0}, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
+            {0,  1,  0,  0},
+            {0,  0,  0, -1},
+            {0,  0,  1,  0}};
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = {{1,  0,  0,  0}, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
+            {0, -1,  0,  0},
+            {0,  0,  0, -1},
+            {0,  0, -1,  0}};
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = {{1,  0,  0,  0}, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
+            {0,  1,  0,  0},
+            {0,  0,  0, -1},
+            {0,  0, -1,  0}};
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       A = {{1,  1,  0,  0}, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
+            {0,  1,  1,  0},
+            {0,  0,  1,  1},
+            {0,  0,  0,  1}};
+       result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
+
+       symbol dim("D");
+       result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
+
+       varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
+       result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+       result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check8(); cout << '.' << flush;
+
+       result += clifford_check9(); cout << '.' << flush;
+
        return result;
 }
+
+int main(int argc, char** argv)
+{
+       return exam_clifford();
+}