ginac/numeric.cpp

   1 /** @file numeric.cpp
   2  *
   3  *  This file contains the interface to the underlying bignum package.
   4  *  Its most important design principle is to completely hide the inner
   5  *  working of that other package from the user of GiNaC.  It must either
   6  *  provide implementation of arithmetic operators and numerical evaluation
   7  *  of special functions or implement the interface to the bignum package. */
   8
   9 /*
  10  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2001 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  11  *
  12  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  13  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  14  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  15  *  (at your option) any later version.
  16  *
  17  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  18  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  19  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  20  *  GNU General Public License for more details.
  21  *
  22  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  23  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  24  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  25  */
  26
  27 #include "config.h"
  28
  29 #include <vector>
  30 #include <stdexcept>
  31 #include <string>
  32
  33 #if defined(HAVE_SSTREAM)
  34 #include <sstream>
  35 #elif defined(HAVE_STRSTREAM)
  36 #include <strstream>
  37 #else
  38 #error Need either sstream or strstream
  39 #endif
  40
  41 #include "numeric.h"
  42 #include "ex.h"
  43 #include "print.h"
  44 #include "archive.h"
  45 #include "debugmsg.h"
  46 #include "utils.h"
  47
  48 // CLN should pollute the global namespace as little as possible.  Hence, we
  49 // include most of it here and include only the part needed for properly
  50 // declaring cln::cl_number in numeric.h.  This can only be safely done in
  51 // namespaced versions of CLN, i.e. version > 1.1.0.  Also, we only need a
  52 // subset of CLN, so we don't include the complete <cln/cln.h> but only the
  53 // essential stuff:
  54 #include <cln/output.h>
  55 #include <cln/integer_io.h>
  56 #include <cln/integer_ring.h>
  57 #include <cln/rational_io.h>
  58 #include <cln/rational_ring.h>
  59 #include <cln/lfloat_class.h>
  60 #include <cln/lfloat_io.h>
  61 #include <cln/real_io.h>
  62 #include <cln/real_ring.h>
  63 #include <cln/complex_io.h>
  64 #include <cln/complex_ring.h>
  65 #include <cln/numtheory.h>
  66
  67 namespace GiNaC {
  68
  69 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(numeric, basic)
  70
  71 //////////
  72 // default ctor, dtor, copy ctor assignment
  73 // operator and helpers
  74 //////////
  75
  76 /** default ctor. Numerically it initializes to an integer zero. */
  77 numeric::numeric() : basic(TINFO_numeric)
  78 {
  79         debugmsg("numeric default ctor", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  80         value = cln::cl_I(0);
  81         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
  82 }
  83
  84 void numeric::copy(const numeric &other)
  85 {
  86         inherited::copy(other);
  87         value = other.value;
  88 }
  89
  90 DEFAULT_DESTROY(numeric)
  91
  92 //////////
  93 // other ctors
  94 //////////
  95
  96 // public
  97
  98 numeric::numeric(int i) : basic(TINFO_numeric)
  99 {
 100         debugmsg("numeric ctor from int",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 101         // Not the whole int-range is available if we don't cast to long
 102         // first.  This is due to the behaviour of the cl_I-ctor, which
 103         // emphasizes efficiency.  However, if the integer is small enough,
 104         // i.e. satisfies cl_immediate_p(), we save space and dereferences by
 105         // using an immediate type:
 106         if (cln::cl_immediate_p(i))
 107                 value = cln::cl_I(i);
 108         else
 109                 value = cln::cl_I((long) i);
 110         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 111 }
 112
 113
 114 numeric::numeric(unsigned int i) : basic(TINFO_numeric)
 115 {
 116         debugmsg("numeric ctor from uint",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 117         // Not the whole uint-range is available if we don't cast to ulong
 118         // first.  This is due to the behaviour of the cl_I-ctor, which
 119         // emphasizes efficiency.  However, if the integer is small enough,
 120         // i.e. satisfies cl_immediate_p(), we save space and dereferences by
 121         // using an immediate type:
 122         if (cln::cl_immediate_p(i))
 123                 value = cln::cl_I(i);
 124         else
 125                 value = cln::cl_I((unsigned long) i);
 126         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 127 }
 128
 129
 130 numeric::numeric(long i) : basic(TINFO_numeric)
 131 {
 132         debugmsg("numeric ctor from long",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 133         value = cln::cl_I(i);
 134         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 135 }
 136
 137
 138 numeric::numeric(unsigned long i) : basic(TINFO_numeric)
 139 {
 140         debugmsg("numeric ctor from ulong",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 141         value = cln::cl_I(i);
 142         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 143 }
 144
 145 /** Ctor for rational numerics a/b.
 146  *
 147  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 148 numeric::numeric(long numer, long denom) : basic(TINFO_numeric)
 149 {
 150         debugmsg("numeric ctor from long/long",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 151         if (!denom)
 152                 throw std::overflow_error("division by zero");
 153         value = cln::cl_I(numer) / cln::cl_I(denom);
 154         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 155 }
 156
 157
 158 numeric::numeric(double d) : basic(TINFO_numeric)
 159 {
 160         debugmsg("numeric ctor from double",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 161         // We really want to explicitly use the type cl_LF instead of the
 162         // more general cl_F, since that would give us a cl_DF only which
 163         // will not be promoted to cl_LF if overflow occurs:
 164         value = cln::cl_float(d, cln::default_float_format);
 165         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 166 }
 167
 168
 169 /** ctor from C-style string.  It also accepts complex numbers in GiNaC
 170  *  notation like "2+5*I". */
 171 numeric::numeric(const char *s) : basic(TINFO_numeric)
 172 {
 173         debugmsg("numeric ctor from string",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 174         cln::cl_N ctorval = 0;
 175         // parse complex numbers (functional but not completely safe, unfortunately
 176         // std::string does not understand regexpese):
 177         // ss should represent a simple sum like 2+5*I
 178         std::string ss(s);
 179         // make it safe by adding explicit sign
 180         if (ss.at(0) != '+' && ss.at(0) != '-' && ss.at(0) != '#')
 181                 ss = '+' + ss;
 182         std::string::size_type delim;
 183         do {
 184                 // chop ss into terms from left to right
 185                 std::string term;
 186                 bool imaginary = false;
 187                 delim = ss.find_first_of(std::string("+-"),1);
 188                 // Do we have an exponent marker like "31.415E-1"?  If so, hop on!
 189                 if ((delim != std::string::npos) && (ss.at(delim-1) == 'E'))
 190                         delim = ss.find_first_of(std::string("+-"),delim+1);
 191                 term = ss.substr(0,delim);
 192                 if (delim != std::string::npos)
 193                         ss = ss.substr(delim);
 194                 // is the term imaginary?
 195                 if (term.find("I") != std::string::npos) {
 196                         // erase 'I':
 197                         term = term.replace(term.find("I"),1,"");
 198                         // erase '*':
 199                         if (term.find("*") != std::string::npos)
 200                                 term = term.replace(term.find("*"),1,"");
 201                         // correct for trivial +/-I without explicit factor on I:
 202                         if (term.size() == 1)
 203                                 term += "1";
 204                         imaginary = true;
 205                 }
 206                 if (term.find(".") != std::string::npos) {
 207                         // CLN's short type cl_SF is not very useful within the GiNaC
 208                         // framework where we are mainly interested in the arbitrary
 209                         // precision type cl_LF.  Hence we go straight to the construction
 210                         // of generic floats.  In order to create them we have to convert
 211                         // our own floating point notation used for output and construction
 212                         // from char * to CLN's generic notation:
 213                         // 3.14      -->   3.14e0_<Digits>
 214                         // 31.4E-1   -->   31.4e-1_<Digits>
 215                         // and s on.
 216                         // No exponent marker?  Let's add a trivial one.
 217                         if (term.find("E") == std::string::npos)
 218                                 term += "E0";
 219                         // E to lower case
 220                         term = term.replace(term.find("E"),1,"e");
 221                         // append _<Digits> to term
 222 #if defined(HAVE_SSTREAM)
 223                         std::ostringstream buf;
 224                         buf << unsigned(Digits) << std::ends;
 225                         term += "_" + buf.str();
 226 #else
 227                         char buf[14];
 228                         std::ostrstream(buf,sizeof(buf)) << unsigned(Digits) << std::ends;
 229                         term += "_" + std::string(buf);
 230 #endif
 231                         // construct float using cln::cl_F(const char *) ctor.
 232                         if (imaginary)
 233                                 ctorval = ctorval + cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_F(term.c_str()));
 234                         else
 235                                 ctorval = ctorval + cln::cl_F(term.c_str());
 236                 } else {
 237                         // not a floating point number...
 238                         if (imaginary)
 239                                 ctorval = ctorval + cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_R(term.c_str()));
 240                         else
 241                                 ctorval = ctorval + cln::cl_R(term.c_str());
 242                 }
 243         } while(delim != std::string::npos);
 244         value = ctorval;
 245         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 246 }
 247
 248
 249 /** Ctor from CLN types.  This is for the initiated user or internal use
 250  *  only. */
 251 numeric::numeric(const cln::cl_N &z) : basic(TINFO_numeric)
 252 {
 253         debugmsg("numeric ctor from cl_N", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 254         value = z;
 255         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 256 }
 257
 258 //////////
 259 // archiving
 260 //////////
 261
 262 numeric::numeric(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 263 {
 264         debugmsg("numeric ctor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 265         cln::cl_N ctorval = 0;
 266
 267         // Read number as string
 268         std::string str;
 269         if (n.find_string("number", str)) {
 270 #ifdef HAVE_SSTREAM
 271                 std::istringstream s(str);
 272 #else
 273                 std::istrstream s(str.c_str(), str.size() + 1);
 274 #endif
 275                 cln::cl_idecoded_float re, im;
 276                 char c;
 277                 s.get(c);
 278                 switch (c) {
 279                         case 'R':    // Integer-decoded real number
 280                                 s >> re.sign >> re.mantissa >> re.exponent;
 281                                 ctorval = re.sign * re.mantissa * cln::expt(cln::cl_float(2.0, cln::default_float_format), re.exponent);
 282                                 break;
 283                         case 'C':    // Integer-decoded complex number
 284                                 s >> re.sign >> re.mantissa >> re.exponent;
 285                                 s >> im.sign >> im.mantissa >> im.exponent;
 286                                 ctorval = cln::complex(re.sign * re.mantissa * cln::expt(cln::cl_float(2.0, cln::default_float_format), re.exponent),
 287                                                        im.sign * im.mantissa * cln::expt(cln::cl_float(2.0, cln::default_float_format), im.exponent));
 288                                 break;
 289                         default:    // Ordinary number
 290                                 s.putback(c);
 291                                 s >> ctorval;
 292                                 break;
 293                 }
 294         }
 295         value = ctorval;
 296         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 297 }
 298
 299 void numeric::archive(archive_node &n) const
 300 {
 301         inherited::archive(n);
 302
 303         // Write number as string
 304 #ifdef HAVE_SSTREAM
 305         std::ostringstream s;
 306 #else
 307         char buf[1024];
 308         std::ostrstream s(buf, 1024);
 309 #endif
 310         if (this->is_crational())
 311                 s << cln::the<cln::cl_N>(value);
 312         else {
 313                 // Non-rational numbers are written in an integer-decoded format
 314                 // to preserve the precision
 315                 if (this->is_real()) {
 316                         cln::cl_idecoded_float re = cln::integer_decode_float(cln::the<cln::cl_F>(value));
 317                         s << "R";
 318                         s << re.sign << " " << re.mantissa << " " << re.exponent;
 319                 } else {
 320                         cln::cl_idecoded_float re = cln::integer_decode_float(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value))));
 321                         cln::cl_idecoded_float im = cln::integer_decode_float(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value))));
 322                         s << "C";
 323                         s << re.sign << " " << re.mantissa << " " << re.exponent << " ";
 324                         s << im.sign << " " << im.mantissa << " " << im.exponent;
 325                 }
 326         }
 327 #ifdef HAVE_SSTREAM
 328         n.add_string("number", s.str());
 329 #else
 330         s << ends;
 331         std::string str(buf);
 332         n.add_string("number", str);
 333 #endif
 334 }
 335
 336 DEFAULT_UNARCHIVE(numeric)
 337
 338 //////////
 339 // functions overriding virtual functions from base classes
 340 //////////
 341
 342 /** Helper function to print a real number in a nicer way than is CLN's
 343  *  default.  Instead of printing 42.0L0 this just prints 42.0 to ostream os
 344  *  and instead of 3.99168L7 it prints 3.99168E7.  This is fine in GiNaC as
 345  *  long as it only uses cl_LF and no other floating point types that we might
 346  *  want to visibly distinguish from cl_LF.
 347  *
 348  *  @see numeric::print() */
 349 static void print_real_number(const print_context & c, const cln::cl_R &x)
 350 {
 351         cln::cl_print_flags ourflags;
 352         if (cln::instanceof(x, cln::cl_RA_ring)) {
 353                 // case 1: integer or rational
 354                 if (cln::instanceof(x, cln::cl_I_ring) ||
 355                     !is_a<print_latex>(c)) {
 356                         cln::print_real(c.s, ourflags, x);
 357                 } else {  // rational output in LaTeX context
 358                         c.s << "\\frac{";
 359                         cln::print_real(c.s, ourflags, cln::numerator(cln::the<cln::cl_RA>(x)));
 360                         c.s << "}{";
 361                         cln::print_real(c.s, ourflags, cln::denominator(cln::the<cln::cl_RA>(x)));
 362                         c.s << '}';
 363                 }
 364         } else {
 365                 // case 2: float
 366                 // make CLN believe this number has default_float_format, so it prints
 367                 // 'E' as exponent marker instead of 'L':
 368                 ourflags.default_float_format = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(x));
 369                 cln::print_real(c.s, ourflags, x);
 370         }
 371 }
 372
 373 /** This method adds to the output so it blends more consistently together
 374  *  with the other routines and produces something compatible to ginsh input.
 375  *
 376  *  @see print_real_number() */
 377 void numeric::print(const print_context & c, unsigned level) const
 378 {
 379         debugmsg("numeric print", LOGLEVEL_PRINT);
 380
 381         if (is_a<print_tree>(c)) {
 382
 383                 c.s << std::string(level, ' ') << cln::the<cln::cl_N>(value)
 384                     << " (" << class_name() << ")"
 385                     << std::hex << ", hash=0x" << hashvalue << ", flags=0x" << flags << std::dec
 386                     << std::endl;
 387
 388         } else if (is_a<print_csrc>(c)) {
 389
 390                 std::ios::fmtflags oldflags = c.s.flags();
 391                 c.s.setf(std::ios::scientific);
 392                 if (this->is_rational() && !this->is_integer()) {
 393                         if (compare(_num0) > 0) {
 394                                 c.s << "(";
 395                                 if (is_a<print_csrc_cl_N>(c))
 396                                         c.s << "cln::cl_F(\"" << numer().evalf() << "\")";
 397                                 else
 398                                         c.s << numer().to_double();
 399                         } else {
 400                                 c.s << "-(";
 401                                 if (is_a<print_csrc_cl_N>(c))
 402                                         c.s << "cln::cl_F(\"" << -numer().evalf() << "\")";
 403                                 else
 404                                         c.s << -numer().to_double();
 405                         }
 406                         c.s << "/";
 407                         if (is_a<print_csrc_cl_N>(c))
 408                                 c.s << "cln::cl_F(\"" << denom().evalf() << "\")";
 409                         else
 410                                 c.s << denom().to_double();
 411                         c.s << ")";
 412                 } else {
 413                         if (is_a<print_csrc_cl_N>(c))
 414                                 c.s << "cln::cl_F(\"" << evalf() << "\")";
 415                         else
 416                                 c.s << to_double();
 417                 }
 418                 c.s.flags(oldflags);
 419
 420         } else {
 421                 const std::string par_open  = is_a<print_latex>(c) ? "{(" : "(";
 422                 const std::string par_close = is_a<print_latex>(c) ? ")}" : ")";
 423                 const std::string imag_sym  = is_a<print_latex>(c) ? "i" : "I";
 424                 const std::string mul_sym   = is_a<print_latex>(c) ? " " : "*";
 425                 const cln::cl_R r = cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value));
 426                 const cln::cl_R i = cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value));
 427                 if (cln::zerop(i)) {
 428                         // case 1, real:  x  or  -x
 429                         if ((precedence() <= level) && (!this->is_nonneg_integer())) {
 430                                 c.s << par_open;
 431                                 print_real_number(c, r);
 432                                 c.s << par_close;
 433                         } else {
 434                                 print_real_number(c, r);
 435                         }
 436                 } else {
 437                         if (cln::zerop(r)) {
 438                                 // case 2, imaginary:  y*I  or  -y*I
 439                                 if ((precedence() <= level) && (i < 0)) {
 440                                         if (i == -1) {
 441                                                 c.s << par_open+imag_sym+par_close;
 442                                         } else {
 443                                                 c.s << par_open;
 444                                                 print_real_number(c, i);
 445                                                 c.s << mul_sym+imag_sym+par_close;
 446                                         }
 447                                 } else {
 448                                         if (i == 1) {
 449                                                 c.s << imag_sym;
 450                                         } else {
 451                                                 if (i == -1) {
 452                                                         c.s << "-" << imag_sym;
 453                                                 } else {
 454                                                         print_real_number(c, i);
 455                                                         c.s << mul_sym+imag_sym;
 456                                                 }
 457                                         }
 458                                 }
 459                         } else {
 460                                 // case 3, complex:  x+y*I  or  x-y*I  or  -x+y*I  or  -x-y*I
 461                                 if (precedence() <= level)
 462                                         c.s << par_open;
 463                                 print_real_number(c, r);
 464                                 if (i < 0) {
 465                                         if (i == -1) {
 466                                                 c.s << "-"+imag_sym;
 467                                         } else {
 468                                                 print_real_number(c, i);
 469                                                 c.s << mul_sym+imag_sym;
 470                                         }
 471                                 } else {
 472                                         if (i == 1) {
 473                                                 c.s << "+"+imag_sym;
 474                                         } else {
 475                                                 c.s << "+";
 476                                                 print_real_number(c, i);
 477                                                 c.s << mul_sym+imag_sym;
 478                                         }
 479                                 }
 480                                 if (precedence() <= level)
 481                                         c.s << par_close;
 482                         }
 483                 }
 484         }
 485 }
 486
 487 bool numeric::info(unsigned inf) const
 488 {
 489         switch (inf) {
 490                 case info_flags::numeric:
 491                 case info_flags::polynomial:
 492                 case info_flags::rational_function:
 493                         return true;
 494                 case info_flags::real:
 495                         return is_real();
 496                 case info_flags::rational:
 497                 case info_flags::rational_polynomial:
 498                         return is_rational();
 499                 case info_flags::crational:
 500                 case info_flags::crational_polynomial:
 501                         return is_crational();
 502                 case info_flags::integer:
 503                 case info_flags::integer_polynomial:
 504                         return is_integer();
 505                 case info_flags::cinteger:
 506                 case info_flags::cinteger_polynomial:
 507                         return is_cinteger();
 508                 case info_flags::positive:
 509                         return is_positive();
 510                 case info_flags::negative:
 511                         return is_negative();
 512                 case info_flags::nonnegative:
 513                         return !is_negative();
 514                 case info_flags::posint:
 515                         return is_pos_integer();
 516                 case info_flags::negint:
 517                         return is_integer() && is_negative();
 518                 case info_flags::nonnegint:
 519                         return is_nonneg_integer();
 520                 case info_flags::even:
 521                         return is_even();
 522                 case info_flags::odd:
 523                         return is_odd();
 524                 case info_flags::prime:
 525                         return is_prime();
 526                 case info_flags::algebraic:
 527                         return !is_real();
 528         }
 529         return false;
 530 }
 531
 532 /** Disassemble real part and imaginary part to scan for the occurrence of a
 533  *  single number.  Also handles the imaginary unit.  It ignores the sign on
 534  *  both this and the argument, which may lead to what might appear as funny
 535  *  results:  (2+I).has(-2) -> true.  But this is consistent, since we also
 536  *  would like to have (-2+I).has(2) -> true and we want to think about the
 537  *  sign as a multiplicative factor. */
 538 bool numeric::has(const ex &other) const
 539 {
 540         if (!is_ex_exactly_of_type(other, numeric))
 541                 return false;
 542         const numeric &o = ex_to<numeric>(other);
 543         if (this->is_equal(o) || this->is_equal(-o))
 544                 return true;
 545         if (o.imag().is_zero())  // e.g. scan for 3 in -3*I
 546                 return (this->real().is_equal(o) || this->imag().is_equal(o) ||
 547                         this->real().is_equal(-o) || this->imag().is_equal(-o));
 548         else {
 549                 if (o.is_equal(I))  // e.g scan for I in 42*I
 550                         return !this->is_real();
 551                 if (o.real().is_zero())  // e.g. scan for 2*I in 2*I+1
 552                         return (this->real().has(o*I) || this->imag().has(o*I) ||
 553                                 this->real().has(-o*I) || this->imag().has(-o*I));
 554         }
 555         return false;
 556 }
 557
 558
 559 /** Evaluation of numbers doesn't do anything at all. */
 560 ex numeric::eval(int level) const
 561 {
 562         // Warning: if this is ever gonna do something, the ex ctors from all kinds
 563         // of numbers should be checking for status_flags::evaluated.
 564         return this->hold();
 565 }
 566
 567
 568 /** Cast numeric into a floating-point object.  For example exact numeric(1) is
 569  *  returned as a 1.0000000000000000000000 and so on according to how Digits is
 570  *  currently set.  In case the object already was a floating point number the
 571  *  precision is trimmed to match the currently set default.
 572  *
 573  *  @param level  ignored, only needed for overriding basic::evalf.
 574  *  @return  an ex-handle to a numeric. */
 575 ex numeric::evalf(int level) const
 576 {
 577         // level can safely be discarded for numeric objects.
 578         return numeric(cln::cl_float(1.0, cln::default_float_format) *
 579                        (cln::the<cln::cl_N>(value)));
 580 }
 581
 582 // protected
 583
 584 int numeric::compare_same_type(const basic &other) const
 585 {
 586         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(other));
 587         const numeric &o = static_cast<const numeric &>(other);
 588
 589         return this->compare(o);
 590 }
 591
 592
 593 bool numeric::is_equal_same_type(const basic &other) const
 594 {
 595         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(other));
 596         const numeric &o = static_cast<const numeric &>(other);
 597
 598         return this->is_equal(o);
 599 }
 600
 601
 602 unsigned numeric::calchash(void) const
 603 {
 604         // Use CLN's hashcode.  Warning: It depends only on the number's value, not
 605         // its type or precision (i.e. a true equivalence relation on numbers).  As
 606         // a consequence, 3 and 3.0 share the same hashvalue.
 607         setflag(status_flags::hash_calculated);
 608         return (hashvalue = cln::equal_hashcode(cln::the<cln::cl_N>(value)) | 0x80000000U);
 609 }
 610
 611
 612 //////////
 613 // new virtual functions which can be overridden by derived classes
 614 //////////
 615
 616 // none
 617
 618 //////////
 619 // non-virtual functions in this class
 620 //////////
 621
 622 // public
 623
 624 /** Numerical addition method.  Adds argument to *this and returns result as
 625  *  a numeric object. */
 626 const numeric numeric::add(const numeric &other) const
 627 {
 628         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.
 629         if (this==_num0_p)
 630                 return other;
 631         else if (&other==_num0_p)
 632                 return *this;
 633
 634         return numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)+cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 635 }
 636
 637
 638 /** Numerical subtraction method.  Subtracts argument from *this and returns
 639  *  result as a numeric object. */
 640 const numeric numeric::sub(const numeric &other) const
 641 {
 642         return numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)-cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 643 }
 644
 645
 646 /** Numerical multiplication method.  Multiplies *this and argument and returns
 647  *  result as a numeric object. */
 648 const numeric numeric::mul(const numeric &other) const
 649 {
 650         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.
 651         if (this==_num1_p)
 652                 return other;
 653         else if (&other==_num1_p)
 654                 return *this;
 655
 656         return numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)*cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 657 }
 658
 659
 660 /** Numerical division method.  Divides *this by argument and returns result as
 661  *  a numeric object.
 662  *
 663  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 664 const numeric numeric::div(const numeric &other) const
 665 {
 666         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(other.value)))
 667                 throw std::overflow_error("numeric::div(): division by zero");
 668         return numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)/cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 669 }
 670
 671
 672 /** Numerical exponentiation.  Raises *this to the power given as argument and
 673  *  returns result as a numeric object. */
 674 const numeric numeric::power(const numeric &other) const
 675 {
 676         // Efficiency shortcut: trap the neutral exponent by pointer.
 677         if (&other==_num1_p)
 678                 return *this;
 679
 680         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(value))) {
 681                 if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(other.value)))
 682                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,0) is undefined");
 683                 else if (cln::zerop(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value))))
 684                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,I) is undefined");
 685                 else if (cln::minusp(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value))))
 686                         throw std::overflow_error("numeric::eval(): division by zero");
 687                 else
 688                         return _num0;
 689         }
 690         return numeric(cln::expt(cln::the<cln::cl_N>(value),cln::the<cln::cl_N>(other.value)));
 691 }
 692
 693
 694 const numeric &numeric::add_dyn(const numeric &other) const
 695 {
 696         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.
 697         if (this==_num0_p)
 698                 return other;
 699         else if (&other==_num0_p)
 700                 return *this;
 701
 702         return static_cast<const numeric &>((new numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)+cln::the<cln::cl_N>(other.value)))->
 703                                                                                 setflag(status_flags::dynallocated));
 704 }
 705
 706
 707 const numeric &numeric::sub_dyn(const numeric &other) const
 708 {
 709         return static_cast<const numeric &>((new numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)-cln::the<cln::cl_N>(other.value)))->
 710                                                                                 setflag(status_flags::dynallocated));
 711 }
 712
 713
 714 const numeric &numeric::mul_dyn(const numeric &other) const
 715 {
 716         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.
 717         if (this==_num1_p)
 718                 return other;
 719         else if (&other==_num1_p)
 720                 return *this;
 721
 722         return static_cast<const numeric &>((new numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)*cln::the<cln::cl_N>(other.value)))->
 723                                                                                 setflag(status_flags::dynallocated));
 724 }
 725
 726
 727 const numeric &numeric::div_dyn(const numeric &other) const
 728 {
 729         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(other.value)))
 730                 throw std::overflow_error("division by zero");
 731         return static_cast<const numeric &>((new numeric(cln::the<cln::cl_N>(value)/cln::the<cln::cl_N>(other.value)))->
 732                                                                                 setflag(status_flags::dynallocated));
 733 }
 734
 735
 736 const numeric &numeric::power_dyn(const numeric &other) const
 737 {
 738         // Efficiency shortcut: trap the neutral exponent by pointer.
 739         if (&other==_num1_p)
 740                 return *this;
 741
 742         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(value))) {
 743                 if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(other.value)))
 744                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,0) is undefined");
 745                 else if (cln::zerop(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value))))
 746                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,I) is undefined");
 747                 else if (cln::minusp(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value))))
 748                         throw std::overflow_error("numeric::eval(): division by zero");
 749                 else
 750                         return _num0;
 751         }
 752         return static_cast<const numeric &>((new numeric(cln::expt(cln::the<cln::cl_N>(value),cln::the<cln::cl_N>(other.value))))->
 753                                              setflag(status_flags::dynallocated));
 754 }
 755
 756
 757 const numeric &numeric::operator=(int i)
 758 {
 759         return operator=(numeric(i));
 760 }
 761
 762
 763 const numeric &numeric::operator=(unsigned int i)
 764 {
 765         return operator=(numeric(i));
 766 }
 767
 768
 769 const numeric &numeric::operator=(long i)
 770 {
 771         return operator=(numeric(i));
 772 }
 773
 774
 775 const numeric &numeric::operator=(unsigned long i)
 776 {
 777         return operator=(numeric(i));
 778 }
 779
 780
 781 const numeric &numeric::operator=(double d)
 782 {
 783         return operator=(numeric(d));
 784 }
 785
 786
 787 const numeric &numeric::operator=(const char * s)
 788 {
 789         return operator=(numeric(s));
 790 }
 791
 792
 793 /** Inverse of a number. */
 794 const numeric numeric::inverse(void) const
 795 {
 796         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(value)))
 797                 throw std::overflow_error("numeric::inverse(): division by zero");
 798         return numeric(cln::recip(cln::the<cln::cl_N>(value)));
 799 }
 800
 801
 802 /** Return the complex half-plane (left or right) in which the number lies.
 803  *  csgn(x)==0 for x==0, csgn(x)==1 for Re(x)>0 or Re(x)=0 and Im(x)>0,
 804  *  csgn(x)==-1 for Re(x)<0 or Re(x)=0 and Im(x)<0.
 805  *
 806  *  @see numeric::compare(const numeric &other) */
 807 int numeric::csgn(void) const
 808 {
 809         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(value)))
 810                 return 0;
 811         cln::cl_R r = cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value));
 812         if (!cln::zerop(r)) {
 813                 if (cln::plusp(r))
 814                         return 1;
 815                 else
 816                         return -1;
 817         } else {
 818                 if (cln::plusp(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value))))
 819                         return 1;
 820                 else
 821                         return -1;
 822         }
 823 }
 824
 825
 826 /** This method establishes a canonical order on all numbers.  For complex
 827  *  numbers this is not possible in a mathematically consistent way but we need
 828  *  to establish some order and it ought to be fast.  So we simply define it
 829  *  to be compatible with our method csgn.
 830  *
 831  *  @return csgn(*this-other)
 832  *  @see numeric::csgn(void) */
 833 int numeric::compare(const numeric &other) const
 834 {
 835         // Comparing two real numbers?
 836         if (cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring) &&
 837                 cln::instanceof(other.value, cln::cl_R_ring))
 838                 // Yes, so just cln::compare them
 839                 return cln::compare(cln::the<cln::cl_R>(value), cln::the<cln::cl_R>(other.value));
 840         else {
 841                 // No, first cln::compare real parts...
 842                 cl_signean real_cmp = cln::compare(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value)));
 843                 if (real_cmp)
 844                         return real_cmp;
 845                 // ...and then the imaginary parts.
 846                 return cln::compare(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(other.value)));
 847         }
 848 }
 849
 850
 851 bool numeric::is_equal(const numeric &other) const
 852 {
 853         return cln::equal(cln::the<cln::cl_N>(value),cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 854 }
 855
 856
 857 /** True if object is zero. */
 858 bool numeric::is_zero(void) const
 859 {
 860         return cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(value));
 861 }
 862
 863
 864 /** True if object is not complex and greater than zero. */
 865 bool numeric::is_positive(void) const
 866 {
 867         if (this->is_real())
 868                 return cln::plusp(cln::the<cln::cl_R>(value));
 869         return false;
 870 }
 871
 872
 873 /** True if object is not complex and less than zero. */
 874 bool numeric::is_negative(void) const
 875 {
 876         if (this->is_real())
 877                 return cln::minusp(cln::the<cln::cl_R>(value));
 878         return false;
 879 }
 880
 881
 882 /** True if object is a non-complex integer. */
 883 bool numeric::is_integer(void) const
 884 {
 885         return cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring);
 886 }
 887
 888
 889 /** True if object is an exact integer greater than zero. */
 890 bool numeric::is_pos_integer(void) const
 891 {
 892         return (this->is_integer() && cln::plusp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
 893 }
 894
 895
 896 /** True if object is an exact integer greater or equal zero. */
 897 bool numeric::is_nonneg_integer(void) const
 898 {
 899         return (this->is_integer() && !cln::minusp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
 900 }
 901
 902
 903 /** True if object is an exact even integer. */
 904 bool numeric::is_even(void) const
 905 {
 906         return (this->is_integer() && cln::evenp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
 907 }
 908
 909
 910 /** True if object is an exact odd integer. */
 911 bool numeric::is_odd(void) const
 912 {
 913         return (this->is_integer() && cln::oddp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
 914 }
 915
 916
 917 /** Probabilistic primality test.
 918  *
 919  *  @return  true if object is exact integer and prime. */
 920 bool numeric::is_prime(void) const
 921 {
 922         return (this->is_integer() && cln::isprobprime(cln::the<cln::cl_I>(value)));
 923 }
 924
 925
 926 /** True if object is an exact rational number, may even be complex
 927  *  (denominator may be unity). */
 928 bool numeric::is_rational(void) const
 929 {
 930         return cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring);
 931 }
 932
 933
 934 /** True if object is a real integer, rational or float (but not complex). */
 935 bool numeric::is_real(void) const
 936 {
 937         return cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring);
 938 }
 939
 940
 941 bool numeric::operator==(const numeric &other) const
 942 {
 943         return cln::equal(cln::the<cln::cl_N>(value), cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 944 }
 945
 946
 947 bool numeric::operator!=(const numeric &other) const
 948 {
 949         return !cln::equal(cln::the<cln::cl_N>(value), cln::the<cln::cl_N>(other.value));
 950 }
 951
 952
 953 /** True if object is element of the domain of integers extended by I, i.e. is
 954  *  of the form a+b*I, where a and b are integers. */
 955 bool numeric::is_cinteger(void) const
 956 {
 957         if (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring))
 958                 return true;
 959         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle n+m*I
 960                 if (cln::instanceof(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::cl_I_ring) &&
 961                     cln::instanceof(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::cl_I_ring))
 962                         return true;
 963         }
 964         return false;
 965 }
 966
 967
 968 /** True if object is an exact rational number, may even be complex
 969  *  (denominator may be unity). */
 970 bool numeric::is_crational(void) const
 971 {
 972         if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
 973                 return true;
 974         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 975                 if (cln::instanceof(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::cl_RA_ring) &&
 976                     cln::instanceof(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)), cln::cl_RA_ring))
 977                         return true;
 978         }
 979         return false;
 980 }
 981
 982
 983 /** Numerical comparison: less.
 984  *
 985  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 986 bool numeric::operator<(const numeric &other) const
 987 {
 988         if (this->is_real() && other.is_real())
 989                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) < cln::the<cln::cl_R>(other.value));
 990         throw std::invalid_argument("numeric::operator<(): complex inequality");
 991 }
 992
 993
 994 /** Numerical comparison: less or equal.
 995  *
 996  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 997 bool numeric::operator<=(const numeric &other) const
 998 {
 999         if (this->is_real() && other.is_real())
1000                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) <= cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1001         throw std::invalid_argument("numeric::operator<=(): complex inequality");
1002 }
1003
1004
1005 /** Numerical comparison: greater.
1006  *
1007  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1008 bool numeric::operator>(const numeric &other) const
1009 {
1010         if (this->is_real() && other.is_real())
1011                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) > cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1012         throw std::invalid_argument("numeric::operator>(): complex inequality");
1013 }
1014
1015
1016 /** Numerical comparison: greater or equal.
1017  *
1018  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1019 bool numeric::operator>=(const numeric &other) const
1020 {
1021         if (this->is_real() && other.is_real())
1022                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) >= cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1023         throw std::invalid_argument("numeric::operator>=(): complex inequality");
1024 }
1025
1026
1027 /** Converts numeric types to machine's int.  You should check with
1028  *  is_integer() if the number is really an integer before calling this method.
1029  *  You may also consider checking the range first. */
1030 int numeric::to_int(void) const
1031 {
1032         GINAC_ASSERT(this->is_integer());
1033         return cln::cl_I_to_int(cln::the<cln::cl_I>(value));
1034 }
1035
1036
1037 /** Converts numeric types to machine's long.  You should check with
1038  *  is_integer() if the number is really an integer before calling this method.
1039  *  You may also consider checking the range first. */
1040 long numeric::to_long(void) const
1041 {
1042         GINAC_ASSERT(this->is_integer());
1043         return cln::cl_I_to_long(cln::the<cln::cl_I>(value));
1044 }
1045
1046
1047 /** Converts numeric types to machine's double. You should check with is_real()
1048  *  if the number is really not complex before calling this method. */
1049 double numeric::to_double(void) const
1050 {
1051         GINAC_ASSERT(this->is_real());
1052         return cln::double_approx(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1053 }
1054
1055
1056 /** Returns a new CLN object of type cl_N, representing the value of *this.
1057  *  This method may be used when mixing GiNaC and CLN in one project.
1058  */
1059 cln::cl_N numeric::to_cl_N(void) const
1060 {
1061         return cln::cl_N(cln::the<cln::cl_N>(value));
1062 }
1063
1064
1065 /** Real part of a number. */
1066 const numeric numeric::real(void) const
1067 {
1068         return numeric(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1069 }
1070
1071
1072 /** Imaginary part of a number. */
1073 const numeric numeric::imag(void) const
1074 {
1075         return numeric(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1076 }
1077
1078
1079 /** Numerator.  Computes the numerator of rational numbers, rationalized
1080  *  numerator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
1081  *  (i.e numer(4/3+5/6*I) == 8+5*I), the number carrying the sign in all other
1082  *  cases. */
1083 const numeric numeric::numer(void) const
1084 {
1085         if (this->is_integer())
1086                 return numeric(*this);
1087
1088         else if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
1089                 return numeric(cln::numerator(cln::the<cln::cl_RA>(value)));
1090
1091         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
1092                 const cln::cl_RA r = cln::the<cln::cl_RA>(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1093                 const cln::cl_RA i = cln::the<cln::cl_RA>(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1094                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1095                         return numeric(*this);
1096                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1097                         return numeric(cln::complex(r*cln::denominator(i), cln::numerator(i)));
1098                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1099                         return numeric(cln::complex(cln::numerator(r), i*cln::denominator(r)));
1100                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring)) {
1101                         const cln::cl_I s = cln::lcm(cln::denominator(r), cln::denominator(i));
1102                         return numeric(cln::complex(cln::numerator(r)*(cln::exquo(s,cln::denominator(r))),
1103                                                             cln::numerator(i)*(cln::exquo(s,cln::denominator(i)))));
1104                 }
1105         }
1106         // at least one float encountered
1107         return numeric(*this);
1108 }
1109
1110
1111 /** Denominator.  Computes the denominator of rational numbers, common integer
1112  *  denominator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
1113  *  (i.e denom(4/3+5/6*I) == 6), one in all other cases. */
1114 const numeric numeric::denom(void) const
1115 {
1116         if (this->is_integer())
1117                 return _num1;
1118
1119         if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
1120                 return numeric(cln::denominator(cln::the<cln::cl_RA>(value)));
1121
1122         if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
1123                 const cln::cl_RA r = cln::the<cln::cl_RA>(cln::realpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1124                 const cln::cl_RA i = cln::the<cln::cl_RA>(cln::imagpart(cln::the<cln::cl_N>(value)));
1125                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1126                         return _num1;
1127                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1128                         return numeric(cln::denominator(i));
1129                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1130                         return numeric(cln::denominator(r));
1131                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1132                         return numeric(cln::lcm(cln::denominator(r), cln::denominator(i)));
1133         }
1134         // at least one float encountered
1135         return _num1;
1136 }
1137
1138
1139 /** Size in binary notation.  For integers, this is the smallest n >= 0 such
1140  *  that -2^n <= x < 2^n. If x > 0, this is the unique n > 0 such that
1141  *  2^(n-1) <= x < 2^n.
1142  *
1143  *  @return  number of bits (excluding sign) needed to represent that number
1144  *  in two's complement if it is an integer, 0 otherwise. */
1145 int numeric::int_length(void) const
1146 {
1147         if (this->is_integer())
1148                 return cln::integer_length(cln::the<cln::cl_I>(value));
1149         else
1150                 return 0;
1151 }
1152
1153 //////////
1154 // global constants
1155 //////////
1156
1157 /** Imaginary unit.  This is not a constant but a numeric since we are
1158  *  natively handing complex numbers anyways, so in each expression containing
1159  *  an I it is automatically eval'ed away anyhow. */
1160 const numeric I = numeric(cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_I(1)));
1161
1162
1163 /** Exponential function.
1164  *
1165  *  @return  arbitrary precision numerical exp(x). */
1166 const numeric exp(const numeric &x)
1167 {
1168         return cln::exp(x.to_cl_N());
1169 }
1170
1171
1172 /** Natural logarithm.
1173  *
1174  *  @param z complex number
1175  *  @return  arbitrary precision numerical log(x).
1176  *  @exception pole_error("log(): logarithmic pole",0) */
1177 const numeric log(const numeric &z)
1178 {
1179         if (z.is_zero())
1180                 throw pole_error("log(): logarithmic pole",0);
1181         return cln::log(z.to_cl_N());
1182 }
1183
1184
1185 /** Numeric sine (trigonometric function).
1186  *
1187  *  @return  arbitrary precision numerical sin(x). */
1188 const numeric sin(const numeric &x)
1189 {
1190         return cln::sin(x.to_cl_N());
1191 }
1192
1193
1194 /** Numeric cosine (trigonometric function).
1195  *
1196  *  @return  arbitrary precision numerical cos(x). */
1197 const numeric cos(const numeric &x)
1198 {
1199         return cln::cos(x.to_cl_N());
1200 }
1201
1202
1203 /** Numeric tangent (trigonometric function).
1204  *
1205  *  @return  arbitrary precision numerical tan(x). */
1206 const numeric tan(const numeric &x)
1207 {
1208         return cln::tan(x.to_cl_N());
1209 }
1210
1211
1212 /** Numeric inverse sine (trigonometric function).
1213  *
1214  *  @return  arbitrary precision numerical asin(x). */
1215 const numeric asin(const numeric &x)
1216 {
1217         return cln::asin(x.to_cl_N());
1218 }
1219
1220
1221 /** Numeric inverse cosine (trigonometric function).
1222  *
1223  *  @return  arbitrary precision numerical acos(x). */
1224 const numeric acos(const numeric &x)
1225 {
1226         return cln::acos(x.to_cl_N());
1227 }
1228
1229
1230 /** Arcustangent.
1231  *
1232  *  @param z complex number
1233  *  @return atan(z)
1234  *  @exception pole_error("atan(): logarithmic pole",0) */
1235 const numeric atan(const numeric &x)
1236 {
1237         if (!x.is_real() &&
1238             x.real().is_zero() &&
1239             abs(x.imag()).is_equal(_num1))
1240                 throw pole_error("atan(): logarithmic pole",0);
1241         return cln::atan(x.to_cl_N());
1242 }
1243
1244
1245 /** Arcustangent.
1246  *
1247  *  @param x real number
1248  *  @param y real number
1249  *  @return atan(y/x) */
1250 const numeric atan(const numeric &y, const numeric &x)
1251 {
1252         if (x.is_real() && y.is_real())
1253                 return cln::atan(cln::the<cln::cl_R>(x.to_cl_N()),
1254                                  cln::the<cln::cl_R>(y.to_cl_N()));
1255         else
1256                 throw std::invalid_argument("atan(): complex argument");
1257 }
1258
1259
1260 /** Numeric hyperbolic sine (trigonometric function).
1261  *
1262  *  @return  arbitrary precision numerical sinh(x). */
1263 const numeric sinh(const numeric &x)
1264 {
1265         return cln::sinh(x.to_cl_N());
1266 }
1267
1268
1269 /** Numeric hyperbolic cosine (trigonometric function).
1270  *
1271  *  @return  arbitrary precision numerical cosh(x). */
1272 const numeric cosh(const numeric &x)
1273 {
1274         return cln::cosh(x.to_cl_N());
1275 }
1276
1277
1278 /** Numeric hyperbolic tangent (trigonometric function).
1279  *
1280  *  @return  arbitrary precision numerical tanh(x). */
1281 const numeric tanh(const numeric &x)
1282 {
1283         return cln::tanh(x.to_cl_N());
1284 }
1285
1286
1287 /** Numeric inverse hyperbolic sine (trigonometric function).
1288  *
1289  *  @return  arbitrary precision numerical asinh(x). */
1290 const numeric asinh(const numeric &x)
1291 {
1292         return cln::asinh(x.to_cl_N());
1293 }
1294
1295
1296 /** Numeric inverse hyperbolic cosine (trigonometric function).
1297  *
1298  *  @return  arbitrary precision numerical acosh(x). */
1299 const numeric acosh(const numeric &x)
1300 {
1301         return cln::acosh(x.to_cl_N());
1302 }
1303
1304
1305 /** Numeric inverse hyperbolic tangent (trigonometric function).
1306  *
1307  *  @return  arbitrary precision numerical atanh(x). */
1308 const numeric atanh(const numeric &x)
1309 {
1310         return cln::atanh(x.to_cl_N());
1311 }
1312
1313
1314 /*static cln::cl_N Li2_series(const ::cl_N &x,
1315                             const ::float_format_t &prec)
1316 {
1317         // Note: argument must be in the unit circle
1318         // This is very inefficient unless we have fast floating point Bernoulli
1319         // numbers implemented!
1320         cln::cl_N c1 = -cln::log(1-x);
1321         cln::cl_N c2 = c1;
1322         // hard-wire the first two Bernoulli numbers
1323         cln::cl_N acc = c1 - cln::square(c1)/4;
1324         cln::cl_N aug;
1325         cln::cl_F pisq = cln::square(cln::cl_pi(prec));  // pi^2
1326         cln::cl_F piac = cln::cl_float(1, prec);  // accumulator: pi^(2*i)
1327         unsigned i = 1;
1328         c1 = cln::square(c1);
1329         do {
1330                 c2 = c1 * c2;
1331                 piac = piac * pisq;
1332                 aug = c2 * (*(bernoulli(numeric(2*i)).clnptr())) / cln::factorial(2*i+1);
1333                 // aug = c2 * cln::cl_I(i%2 ? 1 : -1) / cln::cl_I(2*i+1) * cln::cl_zeta(2*i, prec) / piac / (cln::cl_I(1)<<(2*i-1));
1334                 acc = acc + aug;
1335                 ++i;
1336         } while (acc != acc+aug);
1337         return acc;
1338 }*/
1339
1340 /** Numeric evaluation of Dilogarithm within circle of convergence (unit
1341  *  circle) using a power series. */
1342 static cln::cl_N Li2_series(const cln::cl_N &x,
1343                             const cln::float_format_t &prec)
1344 {
1345         // Note: argument must be in the unit circle
1346         cln::cl_N aug, acc;
1347         cln::cl_N num = cln::complex(cln::cl_float(1, prec), 0);
1348         cln::cl_I den = 0;
1349         unsigned i = 1;
1350         do {
1351                 num = num * x;
1352                 den = den + i;  // 1, 4, 9, 16, ...
1353                 i += 2;
1354                 aug = num / den;
1355                 acc = acc + aug;
1356         } while (acc != acc+aug);
1357         return acc;
1358 }
1359
1360 /** Folds Li2's argument inside a small rectangle to enhance convergence. */
1361 static cln::cl_N Li2_projection(const cln::cl_N &x,
1362                                 const cln::float_format_t &prec)
1363 {
1364         const cln::cl_R re = cln::realpart(x);
1365         const cln::cl_R im = cln::imagpart(x);
1366         if (re > cln::cl_F(".5"))
1367                 // zeta(2) - Li2(1-x) - log(x)*log(1-x)
1368                 return(cln::zeta(2)
1369                        - Li2_series(1-x, prec)
1370                        - cln::log(x)*cln::log(1-x));
1371         if ((re <= 0 && cln::abs(im) > cln::cl_F(".75")) || (re < cln::cl_F("-.5")))
1372                 // -log(1-x)^2 / 2 - Li2(x/(x-1))
1373                 return(- cln::square(cln::log(1-x))/2
1374                        - Li2_series(x/(x-1), prec));
1375         if (re > 0 && cln::abs(im) > cln::cl_LF(".75"))
1376                 // Li2(x^2)/2 - Li2(-x)
1377                 return(Li2_projection(cln::square(x), prec)/2
1378                        - Li2_projection(-x, prec));
1379         return Li2_series(x, prec);
1380 }
1381
1382 /** Numeric evaluation of Dilogarithm.  The domain is the entire complex plane,
1383  *  the branch cut lies along the positive real axis, starting at 1 and
1384  *  continuous with quadrant IV.
1385  *
1386  *  @return  arbitrary precision numerical Li2(x). */
1387 const numeric Li2(const numeric &x)
1388 {
1389         if (x.is_zero())
1390                 return _num0;
1391
1392         // what is the desired float format?
1393         // first guess: default format
1394         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
1395         const cln::cl_N value = x.to_cl_N();
1396         // second guess: the argument's format
1397         if (!x.real().is_rational())
1398                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
1399         else if (!x.imag().is_rational())
1400                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
1401
1402         if (cln::the<cln::cl_N>(value)==1)  // may cause trouble with log(1-x)
1403                 return cln::zeta(2, prec);
1404
1405         if (cln::abs(value) > 1)
1406                 // -log(-x)^2 / 2 - zeta(2) - Li2(1/x)
1407                 return(- cln::square(cln::log(-value))/2
1408                        - cln::zeta(2, prec)
1409                        - Li2_projection(cln::recip(value), prec));
1410         else
1411                 return Li2_projection(x.to_cl_N(), prec);
1412 }
1413
1414
1415 /** Numeric evaluation of Riemann's Zeta function.  Currently works only for
1416  *  integer arguments. */
1417 const numeric zeta(const numeric &x)
1418 {
1419         // A dirty hack to allow for things like zeta(3.0), since CLN currently
1420         // only knows about integer arguments and zeta(3).evalf() automatically
1421         // cascades down to zeta(3.0).evalf().  The trick is to rely on 3.0-3
1422         // being an exact zero for CLN, which can be tested and then we can just
1423         // pass the number casted to an int:
1424         if (x.is_real()) {
1425                 const int aux = (int)(cln::double_approx(cln::the<cln::cl_R>(x.to_cl_N())));
1426                 if (cln::zerop(x.to_cl_N()-aux))
1427                         return cln::zeta(aux);
1428         }
1429         throw dunno();
1430 }
1431
1432
1433 /** The Gamma function.
1434  *  This is only a stub! */
1435 const numeric lgamma(const numeric &x)
1436 {
1437         throw dunno();
1438 }
1439 const numeric tgamma(const numeric &x)
1440 {
1441         throw dunno();
1442 }
1443
1444
1445 /** The psi function (aka polygamma function).
1446  *  This is only a stub! */
1447 const numeric psi(const numeric &x)
1448 {
1449         throw dunno();
1450 }
1451
1452
1453 /** The psi functions (aka polygamma functions).
1454  *  This is only a stub! */
1455 const numeric psi(const numeric &n, const numeric &x)
1456 {
1457         throw dunno();
1458 }
1459
1460
1461 /** Factorial combinatorial function.
1462  *
1463  *  @param n  integer argument >= 0
1464  *  @exception range_error (argument must be integer >= 0) */
1465 const numeric factorial(const numeric &n)
1466 {
1467         if (!n.is_nonneg_integer())
1468                 throw std::range_error("numeric::factorial(): argument must be integer >= 0");
1469         return numeric(cln::factorial(n.to_int()));
1470 }
1471
1472
1473 /** The double factorial combinatorial function.  (Scarcely used, but still
1474  *  useful in cases, like for exact results of tgamma(n+1/2) for instance.)
1475  *
1476  *  @param n  integer argument >= -1
1477  *  @return n!! == n * (n-2) * (n-4) * ... * ({1|2}) with 0!! == (-1)!! == 1
1478  *  @exception range_error (argument must be integer >= -1) */
1479 const numeric doublefactorial(const numeric &n)
1480 {
1481         if (n.is_equal(_num_1))
1482                 return _num1;
1483
1484         if (!n.is_nonneg_integer())
1485                 throw std::range_error("numeric::doublefactorial(): argument must be integer >= -1");
1486
1487         return numeric(cln::doublefactorial(n.to_int()));
1488 }
1489
1490
1491 /** The Binomial coefficients.  It computes the binomial coefficients.  For
1492  *  integer n and k and positive n this is the number of ways of choosing k
1493  *  objects from n distinct objects.  If n is negative, the formula
1494  *  binomial(n,k) == (-1)^k*binomial(k-n-1,k) is used to compute the result. */
1495 const numeric binomial(const numeric &n, const numeric &k)
1496 {
1497         if (n.is_integer() && k.is_integer()) {
1498                 if (n.is_nonneg_integer()) {
1499                         if (k.compare(n)!=1 && k.compare(_num0)!=-1)
1500                                 return numeric(cln::binomial(n.to_int(),k.to_int()));
1501                         else
1502                                 return _num0;
1503                 } else {
1504                         return _num_1.power(k)*binomial(k-n-_num1,k);
1505                 }
1506         }
1507
1508         // should really be gamma(n+1)/gamma(r+1)/gamma(n-r+1) or a suitable limit
1509         throw std::range_error("numeric::binomial(): don´t know how to evaluate that.");
1510 }
1511
1512
1513 /** Bernoulli number.  The nth Bernoulli number is the coefficient of x^n/n!
1514  *  in the expansion of the function x/(e^x-1).
1515  *
1516  *  @return the nth Bernoulli number (a rational number).
1517  *  @exception range_error (argument must be integer >= 0) */
1518 const numeric bernoulli(const numeric &nn)
1519 {
1520         if (!nn.is_integer() || nn.is_negative())
1521                 throw std::range_error("numeric::bernoulli(): argument must be integer >= 0");
1522
1523         // Method:
1524         //
1525         // The Bernoulli numbers are rational numbers that may be computed using
1526         // the relation
1527         //
1528         //     B_n = - 1/(n+1) * sum_{k=0}^{n-1}(binomial(n+1,k)*B_k)
1529         //
1530         // with B(0) = 1.  Since the n'th Bernoulli number depends on all the
1531         // previous ones, the computation is necessarily very expensive.  There are
1532         // several other ways of computing them, a particularly good one being
1533         // cl_I s = 1;
1534         // cl_I c = n+1;
1535         // cl_RA Bern = 0;
1536         // for (unsigned i=0; i<n; i++) {
1537         //     c = exquo(c*(i-n),(i+2));
1538         //     Bern = Bern + c*s/(i+2);
1539         //     s = s + expt_pos(cl_I(i+2),n);
1540         // }
1541         // return Bern;
1542         //
1543         // But if somebody works with the n'th Bernoulli number she is likely to
1544         // also need all previous Bernoulli numbers. So we need a complete remember
1545         // table and above divide and conquer algorithm is not suited to build one
1546         // up.  The code below is adapted from Pari's function bernvec().
1547         //
1548         // (There is an interesting relation with the tangent polynomials described
1549         // in `Concrete Mathematics', which leads to a program twice as fast as our
1550         // implementation below, but it requires storing one such polynomial in
1551         // addition to the remember table.  This doubles the memory footprint so
1552         // we don't use it.)
1553
1554         // the special cases not covered by the algorithm below
1555         if (nn.is_equal(_num1))
1556                 return _num_1_2;
1557         if (nn.is_odd())
1558                 return _num0;
1559
1560         // store nonvanishing Bernoulli numbers here
1561         static std::vector< cln::cl_RA > results;
1562         static int highest_result = 0;
1563         // algorithm not applicable to B(0), so just store it
1564         if (results.empty())
1565                 results.push_back(cln::cl_RA(1));
1566
1567         int n = nn.to_long();
1568         for (int i=highest_result; i<n/2; ++i) {
1569                 cln::cl_RA B = 0;
1570                 long n = 8;
1571                 long m = 5;
1572                 long d1 = i;
1573                 long d2 = 2*i-1;
1574                 for (int j=i; j>0; --j) {
1575                         B = cln::cl_I(n*m) * (B+results[j]) / (d1*d2);
1576                         n += 4;
1577                         m += 2;
1578                         d1 -= 1;
1579                         d2 -= 2;
1580                 }
1581                 B = (1 - ((B+1)/(2*i+3))) / (cln::cl_I(1)<<(2*i+2));
1582                 results.push_back(B);
1583                 ++highest_result;
1584         }
1585         return results[n/2];
1586 }
1587
1588
1589 /** Fibonacci number.  The nth Fibonacci number F(n) is defined by the
1590  *  recurrence formula F(n)==F(n-1)+F(n-2) with F(0)==0 and F(1)==1.
1591  *
1592  *  @param n an integer
1593  *  @return the nth Fibonacci number F(n) (an integer number)
1594  *  @exception range_error (argument must be an integer) */
1595 const numeric fibonacci(const numeric &n)
1596 {
1597         if (!n.is_integer())
1598                 throw std::range_error("numeric::fibonacci(): argument must be integer");
1599         // Method:
1600         //
1601         // The following addition formula holds:
1602         //
1603         //      F(n+m)   = F(m-1)*F(n) + F(m)*F(n+1)  for m >= 1, n >= 0.
1604         //
1605         // (Proof: For fixed m, the LHS and the RHS satisfy the same recurrence
1606         // w.r.t. n, and the initial values (n=0, n=1) agree. Hence all values
1607         // agree.)
1608         // Replace m by m+1:
1609         //      F(n+m+1) = F(m)*F(n) + F(m+1)*F(n+1)      for m >= 0, n >= 0
1610         // Now put in m = n, to get
1611         //      F(2n) = (F(n+1)-F(n))*F(n) + F(n)*F(n+1) = F(n)*(2*F(n+1) - F(n))
1612         //      F(2n+1) = F(n)^2 + F(n+1)^2
1613         // hence
1614         //      F(2n+2) = F(n+1)*(2*F(n) + F(n+1))
1615         if (n.is_zero())
1616                 return _num0;
1617         if (n.is_negative())
1618                 if (n.is_even())
1619                         return -fibonacci(-n);
1620                 else
1621                         return fibonacci(-n);
1622
1623         cln::cl_I u(0);
1624         cln::cl_I v(1);
1625         cln::cl_I m = cln::the<cln::cl_I>(n.to_cl_N()) >> 1L;  // floor(n/2);
1626         for (uintL bit=cln::integer_length(m); bit>0; --bit) {
1627                 // Since a squaring is cheaper than a multiplication, better use
1628                 // three squarings instead of one multiplication and two squarings.
1629                 cln::cl_I u2 = cln::square(u);
1630                 cln::cl_I v2 = cln::square(v);
1631                 if (cln::logbitp(bit-1, m)) {
1632                         v = cln::square(u + v) - u2;
1633                         u = u2 + v2;
1634                 } else {
1635                         u = v2 - cln::square(v - u);
1636                         v = u2 + v2;
1637                 }
1638         }
1639         if (n.is_even())
1640                 // Here we don't use the squaring formula because one multiplication
1641                 // is cheaper than two squarings.
1642                 return u * ((v << 1) - u);
1643         else
1644                 return cln::square(u) + cln::square(v);
1645 }
1646
1647
1648 /** Absolute value. */
1649 const numeric abs(const numeric& x)
1650 {
1651         return cln::abs(x.to_cl_N());
1652 }
1653
1654
1655 /** Modulus (in positive representation).
1656  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and rem(a,b) has the
1657  *  sign of a or is zero. This is different from Maple's modp, where the sign
1658  *  of b is ignored. It is in agreement with Mathematica's Mod.
1659  *
1660  *  @return a mod b in the range [0,abs(b)-1] with sign of b if both are
1661  *  integer, 0 otherwise. */
1662 const numeric mod(const numeric &a, const numeric &b)
1663 {
1664         if (a.is_integer() && b.is_integer())
1665                 return cln::mod(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1666                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1667         else
1668                 return _num0;
1669 }
1670
1671
1672 /** Modulus (in symmetric representation).
1673  *  Equivalent to Maple's mods.
1674  *
1675  *  @return a mod b in the range [-iquo(abs(m)-1,2), iquo(abs(m),2)]. */
1676 const numeric smod(const numeric &a, const numeric &b)
1677 {
1678         if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1679                 const cln::cl_I b2 = cln::ceiling1(cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()) >> 1) - 1;
1680                 return cln::mod(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()) + b2,
1681                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())) - b2;
1682         } else
1683                 return _num0;
1684 }
1685
1686
1687 /** Numeric integer remainder.
1688  *  Equivalent to Maple's irem(a,b) as far as sign conventions are concerned.
1689  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and irem(a,b) has the
1690  *  sign of a or is zero.
1691  *
1692  *  @return remainder of a/b if both are integer, 0 otherwise. */
1693 const numeric irem(const numeric &a, const numeric &b)
1694 {
1695         if (a.is_integer() && b.is_integer())
1696                 return cln::rem(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1697                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1698         else
1699                 return _num0;
1700 }
1701
1702
1703 /** Numeric integer remainder.
1704  *  Equivalent to Maple's irem(a,b,'q') it obeyes the relation
1705  *  irem(a,b,q) == a - q*b.  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero,
1706  *  and irem(a,b) has the sign of a or is zero.
1707  *
1708  *  @return remainder of a/b and quotient stored in q if both are integer,
1709  *  0 otherwise. */
1710 const numeric irem(const numeric &a, const numeric &b, numeric &q)
1711 {
1712         if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1713                 const cln::cl_I_div_t rem_quo = cln::truncate2(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1714                                                                cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1715                 q = rem_quo.quotient;
1716                 return rem_quo.remainder;
1717         } else {
1718                 q = _num0;
1719                 return _num0;
1720         }
1721 }
1722
1723
1724 /** Numeric integer quotient.
1725  *  Equivalent to Maple's iquo as far as sign conventions are concerned.
1726  *
1727  *  @return truncated quotient of a/b if both are integer, 0 otherwise. */
1728 const numeric iquo(const numeric &a, const numeric &b)
1729 {
1730         if (a.is_integer() && b.is_integer())
1731                 return cln::truncate1(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1732                                   cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1733         else
1734                 return _num0;
1735 }
1736
1737
1738 /** Numeric integer quotient.
1739  *  Equivalent to Maple's iquo(a,b,'r') it obeyes the relation
1740  *  r == a - iquo(a,b,r)*b.
1741  *
1742  *  @return truncated quotient of a/b and remainder stored in r if both are
1743  *  integer, 0 otherwise. */
1744 const numeric iquo(const numeric &a, const numeric &b, numeric &r)
1745 {
1746         if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1747                 const cln::cl_I_div_t rem_quo = cln::truncate2(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1748                                                                cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1749                 r = rem_quo.remainder;
1750                 return rem_quo.quotient;
1751         } else {
1752                 r = _num0;
1753                 return _num0;
1754         }
1755 }
1756
1757
1758 /** Greatest Common Divisor.
1759  *
1760  *  @return  The GCD of two numbers if both are integer, a numerical 1
1761  *  if they are not. */
1762 const numeric gcd(const numeric &a, const numeric &b)
1763 {
1764         if (a.is_integer() && b.is_integer())
1765                 return cln::gcd(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1766                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1767         else
1768                 return _num1;
1769 }
1770
1771
1772 /** Least Common Multiple.
1773  *
1774  *  @return  The LCM of two numbers if both are integer, the product of those
1775  *  two numbers if they are not. */
1776 const numeric lcm(const numeric &a, const numeric &b)
1777 {
1778         if (a.is_integer() && b.is_integer())
1779                 return cln::lcm(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
1780                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
1781         else
1782                 return a.mul(b);
1783 }
1784
1785
1786 /** Numeric square root.
1787  *  If possible, sqrt(z) should respect squares of exact numbers, i.e. sqrt(4)
1788  *  should return integer 2.
1789  *
1790  *  @param z numeric argument
1791  *  @return square root of z. Branch cut along negative real axis, the negative
1792  *  real axis itself where imag(z)==0 and real(z)<0 belongs to the upper part
1793  *  where imag(z)>0. */
1794 const numeric sqrt(const numeric &z)
1795 {
1796         return cln::sqrt(z.to_cl_N());
1797 }
1798
1799
1800 /** Integer numeric square root. */
1801 const numeric isqrt(const numeric &x)
1802 {
1803         if (x.is_integer()) {
1804                 cln::cl_I root;
1805                 cln::isqrt(cln::the<cln::cl_I>(x.to_cl_N()), &root);
1806                 return root;
1807         } else
1808                 return _num0;
1809 }
1810
1811
1812 /** Floating point evaluation of Archimedes' constant Pi. */
1813 ex PiEvalf(void)
1814 {
1815         return numeric(cln::pi(cln::default_float_format));
1816 }
1817
1818
1819 /** Floating point evaluation of Euler's constant gamma. */
1820 ex EulerEvalf(void)
1821 {
1822         return numeric(cln::eulerconst(cln::default_float_format));
1823 }
1824
1825
1826 /** Floating point evaluation of Catalan's constant. */
1827 ex CatalanEvalf(void)
1828 {
1829         return numeric(cln::catalanconst(cln::default_float_format));
1830 }
1831
1832
1833 /** _numeric_digits default ctor, checking for singleton invariance. */
1834 _numeric_digits::_numeric_digits()
1835   : digits(17)
1836 {
1837         // It initializes to 17 digits, because in CLN float_format(17) turns out
1838         // to be 61 (<64) while float_format(18)=65.  The reason is we want to
1839         // have a cl_LF instead of cl_SF, cl_FF or cl_DF.
1840         if (too_late)
1841                 throw(std::runtime_error("I told you not to do instantiate me!"));
1842         too_late = true;
1843         cln::default_float_format = cln::float_format(17);
1844 }
1845
1846
1847 /** Assign a native long to global Digits object. */
1848 _numeric_digits& _numeric_digits::operator=(long prec)
1849 {
1850         digits = prec;
1851         cln::default_float_format = cln::float_format(prec);
1852         return *this;
1853 }
1854
1855
1856 /** Convert global Digits object to native type long. */
1857 _numeric_digits::operator long()
1858 {
1859         // BTW, this is approx. unsigned(cln::default_float_format*0.301)-1
1860         return (long)digits;
1861 }
1862
1863
1864 /** Append global Digits object to ostream. */
1865 void _numeric_digits::print(std::ostream &os) const
1866 {
1867         debugmsg("_numeric_digits print", LOGLEVEL_PRINT);
1868         os << digits;
1869 }
1870
1871
1872 std::ostream& operator<<(std::ostream &os, const _numeric_digits &e)
1873 {
1874         e.print(os);
1875         return os;
1876 }
1877
1878 //////////
1879 // static member variables
1880 //////////
1881
1882 // private
1883
1884 bool _numeric_digits::too_late = false;
1885
1886
1887 /** Accuracy in decimal digits.  Only object of this type!  Can be set using
1888  *  assignment from C++ unsigned ints and evaluated like any built-in type. */
1889 _numeric_digits Digits;
1890
1891 } // namespace GiNaC