ginac/numeric.cpp

   1 /** @file numeric.cpp
   2  *
   3  *  This file contains the interface to the underlying bignum package.
   4  *  Its most important design principle is to completely hide the inner
   5  *  working of that other package from the user of GiNaC.  It must either
   6  *  provide implementation of arithmetic operators and numerical evaluation
   7  *  of special functions or implement the interface to the bignum package. */
   8
   9 /*
  10  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2020 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  11  *
  12  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  13  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  14  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  15  *  (at your option) any later version.
  16  *
  17  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  18  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  19  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  20  *  GNU General Public License for more details.
  21  *
  22  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  23  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  24  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  25  */
  26
  27 #ifdef HAVE_CONFIG_H
  28 #include "config.h"
  29 #endif
  30
  31 #include "numeric.h"
  32 #include "ex.h"
  33 #include "operators.h"
  34 #include "archive.h"
  35 #include "utils.h"
  36
  37 #include <limits>
  38 #include <sstream>
  39 #include <stdexcept>
  40 #include <string>
  41 #include <vector>
  42
  43 // CLN should pollute the global namespace as little as possible.  Hence, we
  44 // include most of it here and include only the part needed for properly
  45 // declaring cln::cl_number in numeric.h.  This can only be safely done in
  46 // namespaced versions of CLN, i.e. version > 1.1.0.  Also, we only need a
  47 // subset of CLN, so we don't include the complete <cln/cln.h> but only the
  48 // essential stuff:
  49 #include <cln/output.h>
  50 #include <cln/integer_io.h>
  51 #include <cln/integer_ring.h>
  52 #include <cln/rational_io.h>
  53 #include <cln/rational_ring.h>
  54 #include <cln/lfloat_class.h>
  55 #include <cln/lfloat_io.h>
  56 #include <cln/real_io.h>
  57 #include <cln/real_ring.h>
  58 #include <cln/complex_io.h>
  59 #include <cln/complex_ring.h>
  60 #include <cln/numtheory.h>
  61
  62 namespace GiNaC {
  63
  64 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS_OPT(numeric, basic,
  65   print_func<print_context>(&numeric::do_print).
  66   print_func<print_latex>(&numeric::do_print_latex).
  67   print_func<print_csrc>(&numeric::do_print_csrc).
  68   print_func<print_csrc_cl_N>(&numeric::do_print_csrc_cl_N).
  69   print_func<print_tree>(&numeric::do_print_tree).
  70   print_func<print_python_repr>(&numeric::do_print_python_repr))
  71
  72 //////////
  73 // default constructor
  74 //////////
  75
  76 /** default ctor. Numerically it initializes to an integer zero. */
  77 numeric::numeric()
  78 {
  79         value = cln::cl_I(0);
  80         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
  81 }
  82
  83 //////////
  84 // other constructors
  85 //////////
  86
  87 // public
  88
  89 numeric::numeric(int i)
  90 {
  91         // Not the whole int-range is available if we don't cast to long
  92         // first.  This is due to the behavior of the cl_I-ctor, which
  93         // emphasizes efficiency.  However, if the integer is small enough
  94         // we save space and dereferences by using an immediate type.
  95         // (C.f. <cln/object.h>)
  96         // The #if clause prevents compiler warnings on 64bit machines where the
  97         // comparision is always true.
  98 #if cl_value_len >= 32
  99         value = cln::cl_I(i);
 100 #else
 101         if (i < (1L << (cl_value_len-1)) && i >= -(1L << (cl_value_len-1)))
 102                 value = cln::cl_I(i);
 103         else
 104                 value = cln::cl_I(static_cast<long>(i));
 105 #endif
 106         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 107 }
 108
 109
 110 numeric::numeric(unsigned int i)
 111 {
 112         // Not the whole uint-range is available if we don't cast to ulong
 113         // first.  This is due to the behavior of the cl_I-ctor, which
 114         // emphasizes efficiency.  However, if the integer is small enough
 115         // we save space and dereferences by using an immediate type.
 116         // (C.f. <cln/object.h>)
 117         // The #if clause prevents compiler warnings on 64bit machines where the
 118         // comparision is always true.
 119 #if cl_value_len >= 32
 120         value = cln::cl_I(i);
 121 #else
 122         if (i < (1UL << (cl_value_len-1)))
 123                 value = cln::cl_I(i);
 124         else
 125                 value = cln::cl_I(static_cast<unsigned long>(i));
 126 #endif
 127         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 128 }
 129
 130
 131 numeric::numeric(long i)
 132 {
 133         value = cln::cl_I(i);
 134         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 135 }
 136
 137
 138 numeric::numeric(unsigned long i)
 139 {
 140         value = cln::cl_I(i);
 141         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 142 }
 143
 144 numeric::numeric(long long i)
 145 {
 146         value = cln::cl_I(i);
 147         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 148 }
 149
 150 numeric::numeric(unsigned long long i)
 151 {
 152         value = cln::cl_I(i);
 153         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 154 }
 155
 156 /** Constructor for rational numerics a/b.
 157  *
 158  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 159 numeric::numeric(long numer, long denom)
 160 {
 161         if (!denom)
 162                 throw std::overflow_error("division by zero");
 163         value = cln::cl_I(numer) / cln::cl_I(denom);
 164         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 165 }
 166
 167
 168 numeric::numeric(double d)
 169 {
 170         // We really want to explicitly use the type cl_LF instead of the
 171         // more general cl_F, since that would give us a cl_DF only which
 172         // will not be promoted to cl_LF if overflow occurs:
 173         value = cln::cl_float(d, cln::default_float_format);
 174         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 175 }
 176
 177
 178 /** ctor from C-style string.  It also accepts complex numbers in GiNaC
 179  *  notation like "2+5*I". */
 180 numeric::numeric(const char *s)
 181 {
 182         cln::cl_N ctorval = 0;
 183         // parse complex numbers (functional but not completely safe, unfortunately
 184         // std::string does not understand regexpese):
 185         // ss should represent a simple sum like 2+5*I
 186         std::string ss = s;
 187         std::string::size_type delim;
 188
 189         // make this implementation safe by adding explicit sign
 190         if (ss.at(0) != '+' && ss.at(0) != '-' && ss.at(0) != '#')
 191                 ss = '+' + ss;
 192
 193         // We use 'E' as exponent marker in the output, but some people insist on
 194         // writing 'e' at input, so let's substitute them right at the beginning:
 195         while ((delim = ss.find("e"))!=std::string::npos)
 196                 ss.replace(delim,1,"E");
 197
 198         // main parser loop:
 199         do {
 200                 // chop ss into terms from left to right
 201                 std::string term;
 202                 bool imaginary = false;
 203                 delim = ss.find_first_of(std::string("+-"),1);
 204                 // Do we have an exponent marker like "31.415E-1"?  If so, hop on!
 205                 if (delim!=std::string::npos && ss.at(delim-1)=='E')
 206                         delim = ss.find_first_of(std::string("+-"),delim+1);
 207                 term = ss.substr(0,delim);
 208                 if (delim!=std::string::npos)
 209                         ss = ss.substr(delim);
 210                 // is the term imaginary?
 211                 if (term.find("I")!=std::string::npos) {
 212                         // erase 'I':
 213                         term.erase(term.find("I"),1);
 214                         // erase '*':
 215                         if (term.find("*")!=std::string::npos)
 216                                 term.erase(term.find("*"),1);
 217                         // correct for trivial +/-I without explicit factor on I:
 218                         if (term.size()==1)
 219                                 term += '1';
 220                         imaginary = true;
 221                 }
 222                 if (term.find('.')!=std::string::npos || term.find('E')!=std::string::npos) {
 223                         // CLN's short type cl_SF is not very useful within the GiNaC
 224                         // framework where we are mainly interested in the arbitrary
 225                         // precision type cl_LF.  Hence we go straight to the construction
 226                         // of generic floats.  In order to create them we have to convert
 227                         // our own floating point notation used for output and construction
 228                         // from char * to CLN's generic notation:
 229                         // 3.14      -->   3.14e0_<Digits>
 230                         // 31.4E-1   -->   31.4e-1_<Digits>
 231                         // and s on.
 232                         // No exponent marker?  Let's add a trivial one.
 233                         if (term.find("E")==std::string::npos)
 234                                 term += "E0";
 235                         // E to lower case
 236                         term = term.replace(term.find("E"),1,"e");
 237                         // append _<Digits> to term
 238                         term += "_" + std::to_string((unsigned)Digits);
 239                         // construct float using cln::cl_F(const char *) ctor.
 240                         if (imaginary)
 241                                 ctorval = ctorval + cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_F(term.c_str()));
 242                         else
 243                                 ctorval = ctorval + cln::cl_F(term.c_str());
 244                 } else {
 245                         // this is not a floating point number...
 246                         if (imaginary)
 247                                 ctorval = ctorval + cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_R(term.c_str()));
 248                         else
 249                                 ctorval = ctorval + cln::cl_R(term.c_str());
 250                 }
 251         } while (delim != std::string::npos);
 252         value = ctorval;
 253         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 254 }
 255
 256
 257 /** Ctor from CLN types.  This is for the initiated user or internal use
 258  *  only. */
 259 numeric::numeric(const cln::cl_N &z)
 260 {
 261         value = z;
 262         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 263 }
 264
 265
 266 //////////
 267 // archiving
 268 //////////
 269
 270 /**
 271  * Construct a floating point number from sign, mantissa, and exponent
 272  */
 273 static const cln::cl_F make_real_float(const cln::cl_idecoded_float& dec)
 274 {
 275         cln::cl_F x = cln::cl_float(dec.mantissa, cln::default_float_format);
 276         x = cln::scale_float(x, dec.exponent);
 277         cln::cl_F sign = cln::cl_float(dec.sign, cln::default_float_format);
 278         x = cln::float_sign(sign, x);
 279         return x;
 280 }
 281
 282 /**
 283  * Read serialized floating point number
 284  */
 285 static const cln::cl_F read_real_float(std::istream& s)
 286 {
 287         cln::cl_idecoded_float dec;
 288         s >> dec.sign >> dec.mantissa >> dec.exponent;
 289         const cln::cl_F x = make_real_float(dec);
 290         return x;
 291 }
 292
 293 void numeric::read_archive(const archive_node &n, lst &sym_lst)
 294 {
 295         inherited::read_archive(n, sym_lst);
 296         value = 0;
 297
 298         // Read number as string
 299         std::string str;
 300         if (n.find_string("number", str)) {
 301                 std::istringstream s(str);
 302                 cln::cl_R re, im;
 303                 char c;
 304                 s.get(c);
 305                 switch (c) {
 306                         case 'R':
 307                                 // real FP (floating point) number
 308                                 re = read_real_float(s);
 309                                 value = re;
 310                                 break;
 311                         case 'C':
 312                                 // both real and imaginary part are FP numbers
 313                                 re = read_real_float(s);
 314                                 im = read_real_float(s);
 315                                 value = cln::complex(re, im);
 316                                 break;
 317                         case 'H':
 318                                 // real part is a rational number,
 319                                 // imaginary part is a FP number
 320                                 s >> re;
 321                                 im = read_real_float(s);
 322                                 value = cln::complex(re, im);
 323                                 break;
 324                         case 'J':
 325                                 // real part is a FP number,
 326                                 // imaginary part is a rational number
 327                                 re = read_real_float(s);
 328                                 s >> im;
 329                                 value = cln::complex(re, im);
 330                                 break;
 331                         default:
 332                                 // both real and imaginary parts are rational
 333                                 s.putback(c);
 334                                 s >> value;
 335                                 break;
 336                 }
 337         }
 338         setflag(status_flags::evaluated | status_flags::expanded);
 339 }
 340 GINAC_BIND_UNARCHIVER(numeric);
 341
 342 static void write_real_float(std::ostream& s, const cln::cl_R& n)
 343 {
 344         const cln::cl_idecoded_float dec = cln::integer_decode_float(cln::the<cln::cl_F>(n));
 345         s << dec.sign << ' ' << dec.mantissa << ' ' << dec.exponent;
 346 }
 347
 348 void numeric::archive(archive_node &n) const
 349 {
 350         inherited::archive(n);
 351
 352         // Write number as string
 353
 354         const cln::cl_R re = cln::realpart(value);
 355         const cln::cl_R im = cln::imagpart(value);
 356         const bool re_rationalp = cln::instanceof(re, cln::cl_RA_ring);
 357         const bool im_rationalp = cln::instanceof(im, cln::cl_RA_ring);
 358
 359         // Non-rational numbers are written in an integer-decoded format
 360         // to preserve the precision
 361         std::ostringstream s;
 362         if (re_rationalp && im_rationalp)
 363                 s << value;
 364         else if (zerop(im)) {
 365                 // real FP (floating point) number
 366                 s << 'R';
 367                 write_real_float(s, re);
 368         } else if (re_rationalp) {
 369                 s << 'H'; // just any unique character
 370                 // real part is a rational number,
 371                 // imaginary part is a FP number
 372                 s << re << ' ';
 373                 write_real_float(s, im);
 374         } else if (im_rationalp) {
 375                 s << 'J';
 376                 // real part is a FP number,
 377                 // imaginary part is a rational number
 378                 write_real_float(s, re);
 379                 s << ' ' << im;
 380         } else  {
 381                 // both real and imaginary parts are floating point
 382                 s << 'C';
 383                 write_real_float(s, re);
 384                 s << ' ';
 385                 write_real_float(s, im);
 386         }
 387         n.add_string("number", s.str());
 388 }
 389
 390 //////////
 391 // functions overriding virtual functions from base classes
 392 //////////
 393
 394 /** Helper function to print a real number in a nicer way than is CLN's
 395  *  default.  Instead of printing 42.0L0 this just prints 42.0 to ostream os
 396  *  and instead of 3.99168L7 it prints 3.99168E7.  This is fine in GiNaC as
 397  *  long as it only uses cl_LF and no other floating point types that we might
 398  *  want to visibly distinguish from cl_LF.
 399  *
 400  *  @see numeric::print() */
 401 static void print_real_number(const print_context & c, const cln::cl_R & x)
 402 {
 403         cln::cl_print_flags ourflags;
 404         if (cln::instanceof(x, cln::cl_RA_ring)) {
 405                 // case 1: integer or rational
 406                 if (cln::instanceof(x, cln::cl_I_ring) ||
 407                     !is_a<print_latex>(c)) {
 408                         cln::print_real(c.s, ourflags, x);
 409                 } else {  // rational output in LaTeX context
 410                         if (x < 0)
 411                                 c.s << "-";
 412                         c.s << "\\frac{";
 413                         cln::print_real(c.s, ourflags, cln::abs(cln::numerator(cln::the<cln::cl_RA>(x))));
 414                         c.s << "}{";
 415                         cln::print_real(c.s, ourflags, cln::denominator(cln::the<cln::cl_RA>(x)));
 416                         c.s << '}';
 417                 }
 418         } else {
 419                 // case 2: float
 420                 // make CLN believe this number has default_float_format, so it prints
 421                 // 'E' as exponent marker instead of 'L':
 422                 ourflags.default_float_format = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(x));
 423                 cln::print_real(c.s, ourflags, x);
 424         }
 425 }
 426
 427 /** Helper function to print integer number in C++ source format.
 428  *
 429  *  @see numeric::print() */
 430 static void print_integer_csrc(const print_context & c, const cln::cl_I & x)
 431 {
 432         // Print small numbers in compact float format, but larger numbers in
 433         // scientific format
 434         const int max_cln_int = 536870911; // 2^29-1
 435         if (x >= cln::cl_I(-max_cln_int) && x <= cln::cl_I(max_cln_int))
 436                 c.s << cln::cl_I_to_int(x) << ".0";
 437         else
 438                 c.s << cln::double_approx(x);
 439 }
 440
 441 /** Helper function to print real number in C++ source format.
 442  *
 443  *  @see numeric::print() */
 444 static void print_real_csrc(const print_context & c, const cln::cl_R & x)
 445 {
 446         if (cln::instanceof(x, cln::cl_I_ring)) {
 447
 448                 // Integer number
 449                 print_integer_csrc(c, cln::the<cln::cl_I>(x));
 450
 451         } else if (cln::instanceof(x, cln::cl_RA_ring)) {
 452
 453                 // Rational number
 454                 const cln::cl_I numer = cln::numerator(cln::the<cln::cl_RA>(x));
 455                 const cln::cl_I denom = cln::denominator(cln::the<cln::cl_RA>(x));
 456                 if (cln::plusp(x)) {
 457                         c.s << "(";
 458                         print_integer_csrc(c, numer);
 459                 } else {
 460                         c.s << "-(";
 461                         print_integer_csrc(c, -numer);
 462                 }
 463                 c.s << "/";
 464                 print_integer_csrc(c, denom);
 465                 c.s << ")";
 466
 467         } else {
 468
 469                 // Anything else
 470                 c.s << cln::double_approx(x);
 471         }
 472 }
 473
 474 template<typename T1, typename T2>
 475 static inline bool coerce(T1& dst, const T2& arg);
 476
 477 /**
 478  * @brief Check if CLN integer can be converted into int
 479  *
 480  * @sa https://www.ginac.de/pipermail/cln-list/2006-October/000248.html
 481  */
 482 template<>
 483 inline bool coerce<int, cln::cl_I>(int& dst, const cln::cl_I& arg)
 484 {
 485         static const cln::cl_I cl_max_int =
 486                 (cln::cl_I)(long)(std::numeric_limits<int>::max());
 487         static const cln::cl_I cl_min_int =
 488                 (cln::cl_I)(long)(std::numeric_limits<int>::min());
 489         if ((arg >= cl_min_int) && (arg <= cl_max_int)) {
 490                 dst = cl_I_to_int(arg);
 491                 return true;
 492         }
 493         return false;
 494 }
 495
 496 template<>
 497 inline bool coerce<unsigned int, cln::cl_I>(unsigned int& dst, const cln::cl_I& arg)
 498 {
 499         static const cln::cl_I cl_max_uint =
 500                 (cln::cl_I)(unsigned long)(std::numeric_limits<unsigned int>::max());
 501         if ((! minusp(arg)) && (arg <= cl_max_uint)) {
 502                 dst = cl_I_to_uint(arg);
 503                 return true;
 504         }
 505         return false;
 506 }
 507
 508 /** Helper function to print real number in C++ source format using cl_N types.
 509  *
 510  *  @see numeric::print() */
 511 static void print_real_cl_N(const print_context & c, const cln::cl_R & x)
 512 {
 513         if (cln::instanceof(x, cln::cl_I_ring)) {
 514
 515                 int dst;
 516                 // fixnum
 517                 if (coerce(dst, cln::the<cln::cl_I>(x))) {
 518                         // can be converted to native int
 519                         if (dst < 0)
 520                                 c.s << '(' << dst << ')';
 521                         else
 522                                 c.s << dst;
 523                 } else {
 524                         // bignum
 525                         c.s << "cln::cl_I(\"";
 526                         print_real_number(c, x);
 527                         c.s << "\")";
 528                 }
 529         } else if (cln::instanceof(x, cln::cl_RA_ring)) {
 530
 531                 // Rational number
 532                 cln::cl_print_flags ourflags;
 533                 c.s << "cln::cl_RA(\"";
 534                 cln::print_rational(c.s, ourflags, cln::the<cln::cl_RA>(x));
 535                 c.s << "\")";
 536
 537         } else {
 538
 539                 // Anything else
 540                 c.s << "cln::cl_F(\"";
 541                 print_real_number(c, cln::cl_float(1.0, cln::default_float_format) * x);
 542                 c.s << "_" << Digits << "\")";
 543         }
 544 }
 545
 546 void numeric::print_numeric(const print_context & c, const char *par_open, const char *par_close, const char *imag_sym, const char *mul_sym, unsigned level) const
 547 {
 548         const cln::cl_R r = cln::realpart(value);
 549         const cln::cl_R i = cln::imagpart(value);
 550
 551         if (cln::zerop(i)) {
 552
 553                 // case 1, real:  x  or  -x
 554                 if ((precedence() <= level) && (!this->is_nonneg_integer())) {
 555                         c.s << par_open;
 556                         print_real_number(c, r);
 557                         c.s << par_close;
 558                 } else {
 559                         print_real_number(c, r);
 560                 }
 561
 562         } else {
 563                 if (cln::zerop(r)) {
 564
 565                         // case 2, imaginary:  y*I  or  -y*I
 566                         if (i == 1)
 567                                 c.s << imag_sym;
 568                         else {
 569                                 if (precedence()<=level)
 570                                         c.s << par_open;
 571                                 if (i == -1)
 572                                         c.s << "-" << imag_sym;
 573                                 else {
 574                                         print_real_number(c, i);
 575                                         c.s << mul_sym << imag_sym;
 576                                 }
 577                                 if (precedence()<=level)
 578                                         c.s << par_close;
 579                         }
 580
 581                 } else {
 582
 583                         // case 3, complex:  x+y*I  or  x-y*I  or  -x+y*I  or  -x-y*I
 584                         if (precedence() <= level)
 585                                 c.s << par_open;
 586                         print_real_number(c, r);
 587                         if (i < 0) {
 588                                 if (i == -1) {
 589                                         c.s << "-" << imag_sym;
 590                                 } else {
 591                                         print_real_number(c, i);
 592                                         c.s << mul_sym << imag_sym;
 593                                 }
 594                         } else {
 595                                 if (i == 1) {
 596                                         c.s << "+" << imag_sym;
 597                                 } else {
 598                                         c.s << "+";
 599                                         print_real_number(c, i);
 600                                         c.s << mul_sym << imag_sym;
 601                                 }
 602                         }
 603                         if (precedence() <= level)
 604                                 c.s << par_close;
 605                 }
 606         }
 607 }
 608
 609 void numeric::do_print(const print_context & c, unsigned level) const
 610 {
 611         print_numeric(c, "(", ")", "I", "*", level);
 612 }
 613
 614 void numeric::do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const
 615 {
 616         print_numeric(c, "{(", ")}", "i", " ", level);
 617 }
 618
 619 void numeric::do_print_csrc(const print_csrc & c, unsigned level) const
 620 {
 621         std::ios::fmtflags oldflags = c.s.flags();
 622         c.s.setf(std::ios::scientific);
 623         int oldprec = c.s.precision();
 624
 625         // Set precision
 626         if (is_a<print_csrc_double>(c))
 627                 c.s.precision(std::numeric_limits<double>::digits10 + 1);
 628         else
 629                 c.s.precision(std::numeric_limits<float>::digits10 + 1);
 630
 631         if (this->is_real()) {
 632
 633                 // Real number
 634                 print_real_csrc(c, cln::the<cln::cl_R>(value));
 635
 636         } else {
 637
 638                 // Complex number
 639                 c.s << "std::complex<";
 640                 if (is_a<print_csrc_double>(c))
 641                         c.s << "double>(";
 642                 else
 643                         c.s << "float>(";
 644
 645                 print_real_csrc(c, cln::realpart(value));
 646                 c.s << ",";
 647                 print_real_csrc(c, cln::imagpart(value));
 648                 c.s << ")";
 649         }
 650
 651         c.s.flags(oldflags);
 652         c.s.precision(oldprec);
 653 }
 654
 655 void numeric::do_print_csrc_cl_N(const print_csrc_cl_N & c, unsigned level) const
 656 {
 657         if (this->is_real()) {
 658
 659                 // Real number
 660                 print_real_cl_N(c, cln::the<cln::cl_R>(value));
 661
 662         } else {
 663
 664                 // Complex number
 665                 c.s << "cln::complex(";
 666                 print_real_cl_N(c, cln::realpart(value));
 667                 c.s << ",";
 668                 print_real_cl_N(c, cln::imagpart(value));
 669                 c.s << ")";
 670         }
 671 }
 672
 673 void numeric::do_print_tree(const print_tree & c, unsigned level) const
 674 {
 675         c.s << std::string(level, ' ') << value
 676             << " (" << class_name() << ")" << " @" << this
 677             << std::hex << ", hash=0x" << hashvalue << ", flags=0x" << flags << std::dec
 678             << std::endl;
 679 }
 680
 681 void numeric::do_print_python_repr(const print_python_repr & c, unsigned level) const
 682 {
 683         c.s << class_name() << "('";
 684         print_numeric(c, "(", ")", "I", "*", level);
 685         c.s << "')";
 686 }
 687
 688 bool numeric::info(unsigned inf) const
 689 {
 690         switch (inf) {
 691                 case info_flags::numeric:
 692                 case info_flags::polynomial:
 693                 case info_flags::rational_function:
 694                 case info_flags::expanded:
 695                         return true;
 696                 case info_flags::real:
 697                         return is_real();
 698                 case info_flags::rational:
 699                 case info_flags::rational_polynomial:
 700                         return is_rational();
 701                 case info_flags::crational:
 702                 case info_flags::crational_polynomial:
 703                         return is_crational();
 704                 case info_flags::integer:
 705                 case info_flags::integer_polynomial:
 706                         return is_integer();
 707                 case info_flags::cinteger:
 708                 case info_flags::cinteger_polynomial:
 709                         return is_cinteger();
 710                 case info_flags::positive:
 711                         return is_positive();
 712                 case info_flags::negative:
 713                         return is_negative();
 714                 case info_flags::nonnegative:
 715                         return is_zero() || is_positive();
 716                 case info_flags::posint:
 717                         return is_pos_integer();
 718                 case info_flags::negint:
 719                         return is_integer() && is_negative();
 720                 case info_flags::nonnegint:
 721                         return is_nonneg_integer();
 722                 case info_flags::even:
 723                         return is_even();
 724                 case info_flags::odd:
 725                         return is_odd();
 726                 case info_flags::prime:
 727                         return is_prime();
 728         }
 729         return false;
 730 }
 731
 732 bool numeric::is_polynomial(const ex & var) const
 733 {
 734         return true;
 735 }
 736
 737 int numeric::degree(const ex & s) const
 738 {
 739         return 0;
 740 }
 741
 742 int numeric::ldegree(const ex & s) const
 743 {
 744         return 0;
 745 }
 746
 747 ex numeric::coeff(const ex & s, int n) const
 748 {
 749         return n==0 ? *this : _ex0;
 750 }
 751
 752 /** Disassemble real part and imaginary part to scan for the occurrence of a
 753  *  single number.  Also handles the imaginary unit.  It ignores the sign on
 754  *  both this and the argument, which may lead to what might appear as funny
 755  *  results:  (2+I).has(-2) -> true.  But this is consistent, since we also
 756  *  would like to have (-2+I).has(2) -> true and we want to think about the
 757  *  sign as a multiplicative factor. */
 758 bool numeric::has(const ex &other, unsigned options) const
 759 {
 760         if (!is_exactly_a<numeric>(other))
 761                 return false;
 762         const numeric &o = ex_to<numeric>(other);
 763         if (this->is_equal(o) || this->is_equal(-o))
 764                 return true;
 765         if (o.imag().is_zero()) {   // e.g. scan for 3 in -3*I
 766                 if (!this->real().is_equal(*_num0_p))
 767                         if (this->real().is_equal(o) || this->real().is_equal(-o))
 768                                 return true;
 769                 if (!this->imag().is_equal(*_num0_p))
 770                         if (this->imag().is_equal(o) || this->imag().is_equal(-o))
 771                                 return true;
 772                 return false;
 773         }
 774         else {
 775                 if (o.is_equal(I))  // e.g scan for I in 42*I
 776                         return !this->is_real();
 777                 if (o.real().is_zero())  // e.g. scan for 2*I in 2*I+1
 778                         if (!this->imag().is_equal(*_num0_p))
 779                                 if (this->imag().is_equal(o*I) || this->imag().is_equal(-o*I))
 780                                         return true;
 781         }
 782         return false;
 783 }
 784
 785
 786 /** Evaluation of numbers doesn't do anything at all. */
 787 ex numeric::eval() const
 788 {
 789         return this->hold();
 790 }
 791
 792
 793 /** Cast numeric into a floating-point object.  For example exact numeric(1) is
 794  *  returned as a 1.0000000000000000000000 and so on according to how Digits is
 795  *  currently set.  In case the object already was a floating point number the
 796  *  precision is trimmed to match the currently set default.
 797  *
 798  *  @return  an ex-handle to a numeric. */
 799 ex numeric::evalf() const
 800 {
 801         return numeric(cln::cl_float(1.0, cln::default_float_format) * value);
 802 }
 803
 804 ex numeric::conjugate() const
 805 {
 806         if (is_real()) {
 807                 return *this;
 808         }
 809         return numeric(cln::conjugate(this->value));
 810 }
 811
 812 ex numeric::real_part() const
 813 {
 814         return numeric(cln::realpart(value));
 815 }
 816
 817 ex numeric::imag_part() const
 818 {
 819         return numeric(cln::imagpart(value));
 820 }
 821
 822 // protected
 823
 824 int numeric::compare_same_type(const basic &other) const
 825 {
 826         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(other));
 827         const numeric &o = static_cast<const numeric &>(other);
 828
 829         return this->compare(o);
 830 }
 831
 832
 833 bool numeric::is_equal_same_type(const basic &other) const
 834 {
 835         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(other));
 836         const numeric &o = static_cast<const numeric &>(other);
 837
 838         return this->is_equal(o);
 839 }
 840
 841
 842 unsigned numeric::calchash() const
 843 {
 844         // Base computation of hashvalue on CLN's hashcode.  Note: That depends
 845         // only on the number's value, not its type or precision (i.e. a true
 846         // equivalence relation on numbers).  As a consequence, 3 and 3.0 share
 847         // the same hashvalue.  That shouldn't really matter, though.
 848         setflag(status_flags::hash_calculated);
 849         hashvalue = golden_ratio_hash(cln::equal_hashcode(value));
 850         return hashvalue;
 851 }
 852
 853
 854 //////////
 855 // new virtual functions which can be overridden by derived classes
 856 //////////
 857
 858 // none
 859
 860 //////////
 861 // non-virtual functions in this class
 862 //////////
 863
 864 // public
 865
 866 /** Numerical addition method.  Adds argument to *this and returns result as
 867  *  a numeric object. */
 868 const numeric numeric::add(const numeric &other) const
 869 {
 870         return numeric(value + other.value);
 871 }
 872
 873
 874 /** Numerical subtraction method.  Subtracts argument from *this and returns
 875  *  result as a numeric object. */
 876 const numeric numeric::sub(const numeric &other) const
 877 {
 878         return numeric(value - other.value);
 879 }
 880
 881
 882 /** Numerical multiplication method.  Multiplies *this and argument and returns
 883  *  result as a numeric object. */
 884 const numeric numeric::mul(const numeric &other) const
 885 {
 886         return numeric(value * other.value);
 887 }
 888
 889
 890 /** Numerical division method.  Divides *this by argument and returns result as
 891  *  a numeric object.
 892  *
 893  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 894 const numeric numeric::div(const numeric &other) const
 895 {
 896         if (cln::zerop(other.value))
 897                 throw std::overflow_error("numeric::div(): division by zero");
 898         return numeric(value / other.value);
 899 }
 900
 901
 902 /** Numerical exponentiation.  Raises *this to the power given as argument and
 903  *  returns result as a numeric object. */
 904 const numeric numeric::power(const numeric &other) const
 905 {
 906         // Shortcut for efficiency and numeric stability (as in 1.0 exponent):
 907         // trap the neutral exponent.
 908         if (&other==_num1_p || cln::equal(other.value,_num1_p->value))
 909                 return *this;
 910
 911         if (cln::zerop(value)) {
 912                 if (cln::zerop(other.value))
 913                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,0) is undefined");
 914                 else if (cln::zerop(cln::realpart(other.value)))
 915                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,I) is undefined");
 916                 else if (cln::minusp(cln::realpart(other.value)))
 917                         throw std::overflow_error("numeric::eval(): division by zero");
 918                 else
 919                         return *_num0_p;
 920         }
 921         return numeric(cln::expt(value, other.value));
 922 }
 923
 924
 925
 926 /** Numerical addition method.  Adds argument to *this and returns result as
 927  *  a numeric object on the heap.  Use internally only for direct wrapping into
 928  *  an ex object, where the result would end up on the heap anyways. */
 929 const numeric &numeric::add_dyn(const numeric &other) const
 930 {
 931         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.  This hack
 932         // is supposed to keep the number of distinct numeric objects low.
 933         if (this==_num0_p)
 934                 return other;
 935         else if (&other==_num0_p)
 936                 return *this;
 937
 938         return dynallocate<numeric>(value + other.value);
 939 }
 940
 941
 942 /** Numerical subtraction method.  Subtracts argument from *this and returns
 943  *  result as a numeric object on the heap.  Use internally only for direct
 944  *  wrapping into an ex object, where the result would end up on the heap
 945  *  anyways. */
 946 const numeric &numeric::sub_dyn(const numeric &other) const
 947 {
 948         // Efficiency shortcut: trap the neutral exponent (first by pointer).  This
 949         // hack is supposed to keep the number of distinct numeric objects low.
 950         if (&other==_num0_p || cln::zerop(other.value))
 951                 return *this;
 952
 953         return dynallocate<numeric>(value - other.value);
 954 }
 955
 956
 957 /** Numerical multiplication method.  Multiplies *this and argument and returns
 958  *  result as a numeric object on the heap.  Use internally only for direct
 959  *  wrapping into an ex object, where the result would end up on the heap
 960  *  anyways. */
 961 const numeric &numeric::mul_dyn(const numeric &other) const
 962 {
 963         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.  This hack
 964         // is supposed to keep the number of distinct numeric objects low.
 965         if (this==_num1_p)
 966                 return other;
 967         else if (&other==_num1_p)
 968                 return *this;
 969
 970         return dynallocate<numeric>(value * other.value);
 971 }
 972
 973
 974 /** Numerical division method.  Divides *this by argument and returns result as
 975  *  a numeric object on the heap.  Use internally only for direct wrapping
 976  *  into an ex object, where the result would end up on the heap
 977  *  anyways.
 978  *
 979  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 980 const numeric &numeric::div_dyn(const numeric &other) const
 981 {
 982         // Efficiency shortcut: trap the neutral element by pointer.  This hack
 983         // is supposed to keep the number of distinct numeric objects low.
 984         if (&other==_num1_p)
 985                 return *this;
 986         if (cln::zerop(cln::the<cln::cl_N>(other.value)))
 987                 throw std::overflow_error("division by zero");
 988
 989         return dynallocate<numeric>(value / other.value);
 990 }
 991
 992
 993 /** Numerical exponentiation.  Raises *this to the power given as argument and
 994  *  returns result as a numeric object on the heap.  Use internally only for
 995  *  direct wrapping into an ex object, where the result would end up on the
 996  *  heap anyways. */
 997 const numeric &numeric::power_dyn(const numeric &other) const
 998 {
 999         // Efficiency shortcut: trap the neutral exponent (first try by pointer, then
1000         // try harder, since calls to cln::expt() below may return amazing results for
1001         // floating point exponent 1.0).
1002         if (&other==_num1_p || cln::equal(other.value, _num1_p->value))
1003                 return *this;
1004
1005         if (cln::zerop(value)) {
1006                 if (cln::zerop(other.value))
1007                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,0) is undefined");
1008                 else if (cln::zerop(cln::realpart(other.value)))
1009                         throw std::domain_error("numeric::eval(): pow(0,I) is undefined");
1010                 else if (cln::minusp(cln::realpart(other.value)))
1011                         throw std::overflow_error("numeric::eval(): division by zero");
1012                 else
1013                         return *_num0_p;
1014         }
1015
1016         return dynallocate<numeric>(cln::expt(value, other.value));
1017 }
1018
1019
1020 const numeric &numeric::operator=(int i)
1021 {
1022         return operator=(numeric(i));
1023 }
1024
1025
1026 const numeric &numeric::operator=(unsigned int i)
1027 {
1028         return operator=(numeric(i));
1029 }
1030
1031
1032 const numeric &numeric::operator=(long i)
1033 {
1034         return operator=(numeric(i));
1035 }
1036
1037
1038 const numeric &numeric::operator=(unsigned long i)
1039 {
1040         return operator=(numeric(i));
1041 }
1042
1043
1044 const numeric &numeric::operator=(double d)
1045 {
1046         return operator=(numeric(d));
1047 }
1048
1049
1050 const numeric &numeric::operator=(const char * s)
1051 {
1052         return operator=(numeric(s));
1053 }
1054
1055
1056 /** Inverse of a number. */
1057 const numeric numeric::inverse() const
1058 {
1059         if (cln::zerop(value))
1060                 throw std::overflow_error("numeric::inverse(): division by zero");
1061         return numeric(cln::recip(value));
1062 }
1063
1064 /** Return the step function of a numeric. The imaginary part of it is
1065  *  ignored because the step function is generally considered real but
1066  *  a numeric may develop a small imaginary part due to rounding errors.
1067  */
1068 numeric numeric::step() const
1069 {       cln::cl_R r = cln::realpart(value);
1070         if(cln::zerop(r))
1071                 return numeric(1,2);
1072         if(cln::plusp(r))
1073                 return 1;
1074         return 0;
1075 }
1076
1077 /** Return the complex half-plane (left or right) in which the number lies.
1078  *  csgn(x)==0 for x==0, csgn(x)==1 for Re(x)>0 or Re(x)=0 and Im(x)>0,
1079  *  csgn(x)==-1 for Re(x)<0 or Re(x)=0 and Im(x)<0.
1080  *
1081  *  @see numeric::compare(const numeric &other) */
1082 int numeric::csgn() const
1083 {
1084         if (cln::zerop(value))
1085                 return 0;
1086         cln::cl_R r = cln::realpart(value);
1087         if (!cln::zerop(r)) {
1088                 if (cln::plusp(r))
1089                         return 1;
1090                 else
1091                         return -1;
1092         } else {
1093                 if (cln::plusp(cln::imagpart(value)))
1094                         return 1;
1095                 else
1096                         return -1;
1097         }
1098 }
1099
1100
1101 /** This method establishes a canonical order on all numbers.  For complex
1102  *  numbers this is not possible in a mathematically consistent way but we need
1103  *  to establish some order and it ought to be fast.  So we simply define it
1104  *  to be compatible with our method csgn.
1105  *
1106  *  @return csgn(*this-other)
1107  *  @see numeric::csgn() */
1108 int numeric::compare(const numeric &other) const
1109 {
1110         // Comparing two real numbers?
1111         if (cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring) &&
1112                 cln::instanceof(other.value, cln::cl_R_ring))
1113                 // Yes, so just cln::compare them
1114                 return cln::compare(cln::the<cln::cl_R>(value), cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1115         else {
1116                 // No, first cln::compare real parts...
1117                 cl_signean real_cmp = cln::compare(cln::realpart(value), cln::realpart(other.value));
1118                 if (real_cmp)
1119                         return real_cmp;
1120                 // ...and then the imaginary parts.
1121                 return cln::compare(cln::imagpart(value), cln::imagpart(other.value));
1122         }
1123 }
1124
1125
1126 bool numeric::is_equal(const numeric &other) const
1127 {
1128         return cln::equal(value, other.value);
1129 }
1130
1131
1132 /** True if object is zero. */
1133 bool numeric::is_zero() const
1134 {
1135         return cln::zerop(value);
1136 }
1137
1138
1139 /** True if object is not complex and greater than zero. */
1140 bool numeric::is_positive() const
1141 {
1142         if (cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring))  // real?
1143                 return cln::plusp(cln::the<cln::cl_R>(value));
1144         return false;
1145 }
1146
1147
1148 /** True if object is not complex and less than zero. */
1149 bool numeric::is_negative() const
1150 {
1151         if (cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring))  // real?
1152                 return cln::minusp(cln::the<cln::cl_R>(value));
1153         return false;
1154 }
1155
1156
1157 /** True if object is a non-complex integer. */
1158 bool numeric::is_integer() const
1159 {
1160         return cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring);
1161 }
1162
1163
1164 /** True if object is an exact integer greater than zero. */
1165 bool numeric::is_pos_integer() const
1166 {
1167         return (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring) && cln::plusp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
1168 }
1169
1170
1171 /** True if object is an exact integer greater or equal zero. */
1172 bool numeric::is_nonneg_integer() const
1173 {
1174         return (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring) && !cln::minusp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
1175 }
1176
1177
1178 /** True if object is an exact even integer. */
1179 bool numeric::is_even() const
1180 {
1181         return (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring) && cln::evenp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
1182 }
1183
1184
1185 /** True if object is an exact odd integer. */
1186 bool numeric::is_odd() const
1187 {
1188         return (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring) && cln::oddp(cln::the<cln::cl_I>(value)));
1189 }
1190
1191
1192 /** Probabilistic primality test.
1193  *
1194  *  @return  true if object is exact integer and prime. */
1195 bool numeric::is_prime() const
1196 {
1197         return (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring)  // integer?
1198              && cln::plusp(cln::the<cln::cl_I>(value))  // positive?
1199              && cln::isprobprime(cln::the<cln::cl_I>(value)));
1200 }
1201
1202
1203 /** True if object is an exact rational number, may even be complex
1204  *  (denominator may be unity). */
1205 bool numeric::is_rational() const
1206 {
1207         return cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring);
1208 }
1209
1210
1211 /** True if object is a real integer, rational or float (but not complex). */
1212 bool numeric::is_real() const
1213 {
1214         return cln::instanceof(value, cln::cl_R_ring);
1215 }
1216
1217
1218 bool numeric::operator==(const numeric &other) const
1219 {
1220         return cln::equal(value, other.value);
1221 }
1222
1223
1224 bool numeric::operator!=(const numeric &other) const
1225 {
1226         return !cln::equal(value, other.value);
1227 }
1228
1229
1230 /** True if object is element of the domain of integers extended by I, i.e. is
1231  *  of the form a+b*I, where a and b are integers. */
1232 bool numeric::is_cinteger() const
1233 {
1234         if (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring))
1235                 return true;
1236         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle n+m*I
1237                 if (cln::instanceof(cln::realpart(value), cln::cl_I_ring) &&
1238                     cln::instanceof(cln::imagpart(value), cln::cl_I_ring))
1239                         return true;
1240         }
1241         return false;
1242 }
1243
1244
1245 /** True if object is an exact rational number, may even be complex
1246  *  (denominator may be unity). */
1247 bool numeric::is_crational() const
1248 {
1249         if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
1250                 return true;
1251         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
1252                 if (cln::instanceof(cln::realpart(value), cln::cl_RA_ring) &&
1253                     cln::instanceof(cln::imagpart(value), cln::cl_RA_ring))
1254                         return true;
1255         }
1256         return false;
1257 }
1258
1259
1260 /** Numerical comparison: less.
1261  *
1262  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1263 bool numeric::operator<(const numeric &other) const
1264 {
1265         if (this->is_real() && other.is_real())
1266                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) < cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1267         throw std::invalid_argument("numeric::operator<(): complex inequality");
1268 }
1269
1270
1271 /** Numerical comparison: less or equal.
1272  *
1273  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1274 bool numeric::operator<=(const numeric &other) const
1275 {
1276         if (this->is_real() && other.is_real())
1277                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) <= cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1278         throw std::invalid_argument("numeric::operator<=(): complex inequality");
1279 }
1280
1281
1282 /** Numerical comparison: greater.
1283  *
1284  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1285 bool numeric::operator>(const numeric &other) const
1286 {
1287         if (this->is_real() && other.is_real())
1288                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) > cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1289         throw std::invalid_argument("numeric::operator>(): complex inequality");
1290 }
1291
1292
1293 /** Numerical comparison: greater or equal.
1294  *
1295  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
1296 bool numeric::operator>=(const numeric &other) const
1297 {
1298         if (this->is_real() && other.is_real())
1299                 return (cln::the<cln::cl_R>(value) >= cln::the<cln::cl_R>(other.value));
1300         throw std::invalid_argument("numeric::operator>=(): complex inequality");
1301 }
1302
1303
1304 /** Converts numeric types to machine's int.  You should check with
1305  *  is_integer() if the number is really an integer before calling this method.
1306  *  You may also consider checking the range first. */
1307 int numeric::to_int() const
1308 {
1309         GINAC_ASSERT(this->is_integer());
1310         return cln::cl_I_to_int(cln::the<cln::cl_I>(value));
1311 }
1312
1313
1314 /** Converts numeric types to machine's long.  You should check with
1315  *  is_integer() if the number is really an integer before calling this method.
1316  *  You may also consider checking the range first. */
1317 long numeric::to_long() const
1318 {
1319         GINAC_ASSERT(this->is_integer());
1320         return cln::cl_I_to_long(cln::the<cln::cl_I>(value));
1321 }
1322
1323
1324 /** Converts numeric types to machine's double. You should check with is_real()
1325  *  if the number is really not complex before calling this method. */
1326 double numeric::to_double() const
1327 {
1328         GINAC_ASSERT(this->is_real());
1329         return cln::double_approx(cln::realpart(value));
1330 }
1331
1332
1333 /** Returns a new CLN object of type cl_N, representing the value of *this.
1334  *  This method may be used when mixing GiNaC and CLN in one project.
1335  */
1336 cln::cl_N numeric::to_cl_N() const
1337 {
1338         return value;
1339 }
1340
1341
1342 /** Real part of a number. */
1343 const numeric numeric::real() const
1344 {
1345         return numeric(cln::realpart(value));
1346 }
1347
1348
1349 /** Imaginary part of a number. */
1350 const numeric numeric::imag() const
1351 {
1352         return numeric(cln::imagpart(value));
1353 }
1354
1355
1356 /** Numerator.  Computes the numerator of rational numbers, rationalized
1357  *  numerator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
1358  *  (i.e numer(4/3+5/6*I) == 8+5*I), the number carrying the sign in all other
1359  *  cases. */
1360 const numeric numeric::numer() const
1361 {
1362         if (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring))
1363                 return numeric(*this);  // integer case
1364
1365         else if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
1366                 return numeric(cln::numerator(cln::the<cln::cl_RA>(value)));
1367
1368         else if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
1369                 const cln::cl_RA r = cln::the<cln::cl_RA>(cln::realpart(value));
1370                 const cln::cl_RA i = cln::the<cln::cl_RA>(cln::imagpart(value));
1371                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1372                         return numeric(*this);
1373                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1374                         return numeric(cln::complex(r*cln::denominator(i), cln::numerator(i)));
1375                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1376                         return numeric(cln::complex(cln::numerator(r), i*cln::denominator(r)));
1377                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring)) {
1378                         const cln::cl_I s = cln::lcm(cln::denominator(r), cln::denominator(i));
1379                         return numeric(cln::complex(cln::numerator(r)*(cln::exquo(s,cln::denominator(r))),
1380                                                     cln::numerator(i)*(cln::exquo(s,cln::denominator(i)))));
1381                 }
1382         }
1383         // at least one float encountered
1384         return numeric(*this);
1385 }
1386
1387
1388 /** Denominator.  Computes the denominator of rational numbers, common integer
1389  *  denominator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
1390  *  (i.e denom(4/3+5/6*I) == 6), one in all other cases. */
1391 const numeric numeric::denom() const
1392 {
1393         if (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring))
1394                 return *_num1_p;  // integer case
1395
1396         if (cln::instanceof(value, cln::cl_RA_ring))
1397                 return numeric(cln::denominator(cln::the<cln::cl_RA>(value)));
1398
1399         if (!this->is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
1400                 const cln::cl_RA r = cln::the<cln::cl_RA>(cln::realpart(value));
1401                 const cln::cl_RA i = cln::the<cln::cl_RA>(cln::imagpart(value));
1402                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1403                         return *_num1_p;
1404                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_I_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1405                         return numeric(cln::denominator(i));
1406                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_I_ring))
1407                         return numeric(cln::denominator(r));
1408                 if (cln::instanceof(r, cln::cl_RA_ring) && cln::instanceof(i, cln::cl_RA_ring))
1409                         return numeric(cln::lcm(cln::denominator(r), cln::denominator(i)));
1410         }
1411         // at least one float encountered
1412         return *_num1_p;
1413 }
1414
1415
1416 /** Size in binary notation.  For integers, this is the smallest n >= 0 such
1417  *  that -2^n <= x < 2^n. If x > 0, this is the unique n > 0 such that
1418  *  2^(n-1) <= x < 2^n.
1419  *
1420  *  @return  number of bits (excluding sign) needed to represent that number
1421  *  in two's complement if it is an integer, 0 otherwise. */
1422 int numeric::int_length() const
1423 {
1424         if (cln::instanceof(value, cln::cl_I_ring))
1425                 return cln::integer_length(cln::the<cln::cl_I>(value));
1426         else
1427                 return 0;
1428 }
1429
1430 //////////
1431 // global constants
1432 //////////
1433
1434 /** Imaginary unit.  This is not a constant but a numeric since we are
1435  *  natively handing complex numbers anyways, so in each expression containing
1436  *  an I it is automatically eval'ed away anyhow. */
1437 const numeric I = numeric(cln::complex(cln::cl_I(0),cln::cl_I(1)));
1438
1439
1440 /** Exponential function.
1441  *
1442  *  @return  arbitrary precision numerical exp(x). */
1443 const numeric exp(const numeric &x)
1444 {
1445         return numeric(cln::exp(x.to_cl_N()));
1446 }
1447
1448
1449 /** Natural logarithm.
1450  *
1451  *  @param x complex number
1452  *  @return  arbitrary precision numerical log(x).
1453  *  @exception pole_error("log(): logarithmic pole",0) */
1454 const numeric log(const numeric &x)
1455 {
1456         if (x.is_zero())
1457                 throw pole_error("log(): logarithmic pole",0);
1458         return numeric(cln::log(x.to_cl_N()));
1459 }
1460
1461
1462 /** Numeric sine (trigonometric function).
1463  *
1464  *  @return  arbitrary precision numerical sin(x). */
1465 const numeric sin(const numeric &x)
1466 {
1467         return numeric(cln::sin(x.to_cl_N()));
1468 }
1469
1470
1471 /** Numeric cosine (trigonometric function).
1472  *
1473  *  @return  arbitrary precision numerical cos(x). */
1474 const numeric cos(const numeric &x)
1475 {
1476         return numeric(cln::cos(x.to_cl_N()));
1477 }
1478
1479
1480 /** Numeric tangent (trigonometric function).
1481  *
1482  *  @return  arbitrary precision numerical tan(x). */
1483 const numeric tan(const numeric &x)
1484 {
1485         return numeric(cln::tan(x.to_cl_N()));
1486 }
1487
1488
1489 /** Numeric inverse sine (trigonometric function).
1490  *
1491  *  @return  arbitrary precision numerical asin(x). */
1492 const numeric asin(const numeric &x)
1493 {
1494         return numeric(cln::asin(x.to_cl_N()));
1495 }
1496
1497
1498 /** Numeric inverse cosine (trigonometric function).
1499  *
1500  *  @return  arbitrary precision numerical acos(x). */
1501 const numeric acos(const numeric &x)
1502 {
1503         return numeric(cln::acos(x.to_cl_N()));
1504 }
1505
1506
1507 /** Numeric arcustangent.
1508  *
1509  *  @param x complex number
1510  *  @return atan(x)
1511  *  @exception pole_error("atan(): logarithmic pole",0) if x==I or x==-I. */
1512 const numeric atan(const numeric &x)
1513 {
1514         if (!x.is_real() &&
1515             x.real().is_zero() &&
1516             abs(x.imag()).is_equal(*_num1_p))
1517                 throw pole_error("atan(): logarithmic pole",0);
1518         return numeric(cln::atan(x.to_cl_N()));
1519 }
1520
1521
1522 /** Numeric arcustangent of two arguments, analytically continued in a suitable way.
1523  *
1524  *  @param y complex number
1525  *  @param x complex number
1526  *  @return -I*log((x+I*y)/sqrt(x^2+y^2)), which is equal to atan(y/x) if y and
1527  *    x are both real.
1528  *  @exception pole_error("atan(): logarithmic pole",0) if y/x==+I or y/x==-I. */
1529 const numeric atan(const numeric &y, const numeric &x)
1530 {
1531         if (x.is_zero() && y.is_zero())
1532                 return *_num0_p;
1533         if (x.is_real() && y.is_real())
1534                 return numeric(cln::atan(cln::the<cln::cl_R>(x.to_cl_N()),
1535                                          cln::the<cln::cl_R>(y.to_cl_N())));
1536
1537         // Compute -I*log((x+I*y)/sqrt(x^2+y^2))
1538         //      == -I*log((x+I*y)/sqrt((x+I*y)*(x-I*y)))
1539         // Do not "simplify" this to -I/2*log((x+I*y)/(x-I*y))) or likewise.
1540         // The branch cuts are easily messed up.
1541         const cln::cl_N aux_p = x.to_cl_N()+cln::complex(0,1)*y.to_cl_N();
1542         if (cln::zerop(aux_p)) {
1543                 // x+I*y==0 => y/x==I, so this is a pole (we have x!=0).
1544                 throw pole_error("atan(): logarithmic pole",0);
1545         }
1546         const cln::cl_N aux_m = x.to_cl_N()-cln::complex(0,1)*y.to_cl_N();
1547         if (cln::zerop(aux_m)) {
1548                 // x-I*y==0 => y/x==-I, so this is a pole (we have x!=0).
1549                 throw pole_error("atan(): logarithmic pole",0);
1550         }
1551         return numeric(cln::complex(0,-1)*cln::log(aux_p/cln::sqrt(aux_p*aux_m)));
1552 }
1553
1554
1555 /** Numeric hyperbolic sine (trigonometric function).
1556  *
1557  *  @return  arbitrary precision numerical sinh(x). */
1558 const numeric sinh(const numeric &x)
1559 {
1560         return numeric(cln::sinh(x.to_cl_N()));
1561 }
1562
1563
1564 /** Numeric hyperbolic cosine (trigonometric function).
1565  *
1566  *  @return  arbitrary precision numerical cosh(x). */
1567 const numeric cosh(const numeric &x)
1568 {
1569         return numeric(cln::cosh(x.to_cl_N()));
1570 }
1571
1572
1573 /** Numeric hyperbolic tangent (trigonometric function).
1574  *
1575  *  @return  arbitrary precision numerical tanh(x). */
1576 const numeric tanh(const numeric &x)
1577 {
1578         return numeric(cln::tanh(x.to_cl_N()));
1579 }
1580
1581
1582 /** Numeric inverse hyperbolic sine (trigonometric function).
1583  *
1584  *  @return  arbitrary precision numerical asinh(x). */
1585 const numeric asinh(const numeric &x)
1586 {
1587         return numeric(cln::asinh(x.to_cl_N()));
1588 }
1589
1590
1591 /** Numeric inverse hyperbolic cosine (trigonometric function).
1592  *
1593  *  @return  arbitrary precision numerical acosh(x). */
1594 const numeric acosh(const numeric &x)
1595 {
1596         return numeric(cln::acosh(x.to_cl_N()));
1597 }
1598
1599
1600 /** Numeric inverse hyperbolic tangent (trigonometric function).
1601  *
1602  *  @return  arbitrary precision numerical atanh(x). */
1603 const numeric atanh(const numeric &x)
1604 {
1605         return numeric(cln::atanh(x.to_cl_N()));
1606 }
1607
1608
1609 /*static cln::cl_N Li2_series(const ::cl_N &x,
1610                             const ::float_format_t &prec)
1611 {
1612         // Note: argument must be in the unit circle
1613         // This is very inefficient unless we have fast floating point Bernoulli
1614         // numbers implemented!
1615         cln::cl_N c1 = -cln::log(1-x);
1616         cln::cl_N c2 = c1;
1617         // hard-wire the first two Bernoulli numbers
1618         cln::cl_N acc = c1 - cln::square(c1)/4;
1619         cln::cl_N aug;
1620         cln::cl_F pisq = cln::square(cln::cl_pi(prec));  // pi^2
1621         cln::cl_F piac = cln::cl_float(1, prec);  // accumulator: pi^(2*i)
1622         unsigned i = 1;
1623         c1 = cln::square(c1);
1624         do {
1625                 c2 = c1 * c2;
1626                 piac = piac * pisq;
1627                 aug = c2 * (*(bernoulli(numeric(2*i)).clnptr())) / cln::factorial(2*i+1);
1628                 // aug = c2 * cln::cl_I(i%2 ? 1 : -1) / cln::cl_I(2*i+1) * cln::cl_zeta(2*i, prec) / piac / (cln::cl_I(1)<<(2*i-1));
1629                 acc = acc + aug;
1630                 ++i;
1631         } while (acc != acc+aug);
1632         return acc;
1633 }*/
1634
1635 /** Numeric evaluation of Dilogarithm within circle of convergence (unit
1636  *  circle) using a power series. */
1637 static cln::cl_N Li2_series(const cln::cl_N &x,
1638                             const cln::float_format_t &prec)
1639 {
1640         // Note: argument must be in the unit circle
1641         cln::cl_N aug, acc;
1642         cln::cl_N num = cln::complex(cln::cl_float(1, prec), 0);
1643         cln::cl_I den = 0;
1644         unsigned i = 1;
1645         do {
1646                 num = num * x;
1647                 den = den + i;  // 1, 4, 9, 16, ...
1648                 i += 2;
1649                 aug = num / den;
1650                 acc = acc + aug;
1651         } while (acc != acc+aug);
1652         return acc;
1653 }
1654
1655 /** Folds Li2's argument inside a small rectangle to enhance convergence. */
1656 static cln::cl_N Li2_projection(const cln::cl_N &x,
1657                                 const cln::float_format_t &prec)
1658 {
1659         const cln::cl_R re = cln::realpart(x);
1660         const cln::cl_R im = cln::imagpart(x);
1661         if (re > cln::cl_F(".5"))
1662                 // zeta(2) - Li2(1-x) - log(x)*log(1-x)
1663                 return(cln::zeta(2)
1664                        - Li2_series(1-x, prec)
1665                        - cln::log(x)*cln::log(1-x));
1666         if ((re <= 0 && cln::abs(im) > cln::cl_F(".75")) || (re < cln::cl_F("-.5")))
1667                 // -log(1-x)^2 / 2 - Li2(x/(x-1))
1668                 return(- cln::square(cln::log(1-x))/2
1669                        - Li2_series(x/(x-1), prec));
1670         if (re > 0 && cln::abs(im) > cln::cl_LF(".75"))
1671                 // Li2(x^2)/2 - Li2(-x)
1672                 return(Li2_projection(cln::square(x), prec)/2
1673                        - Li2_projection(-x, prec));
1674         return Li2_series(x, prec);
1675 }
1676
1677
1678 /** Numeric evaluation of Dilogarithm.  The domain is the entire complex plane,
1679  *  the branch cut lies along the positive real axis, starting at 1 and
1680  *  continuous with quadrant IV.
1681  *
1682  *  @return  arbitrary precision numerical Li2(x). */
1683 const cln::cl_N Li2_(const cln::cl_N& value)
1684 {
1685         if (zerop(value))
1686                 return 0;
1687
1688         // what is the desired float format?
1689         // first guess: default format
1690         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
1691         // second guess: the argument's format
1692         if (!instanceof(realpart(value), cln::cl_RA_ring))
1693                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
1694         else if (!instanceof(imagpart(value), cln::cl_RA_ring))
1695                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
1696
1697         if (value==1)  // may cause trouble with log(1-x)
1698                 return cln::zeta(2, prec);
1699
1700         if (cln::abs(value) > 1)
1701                 // -log(-x)^2 / 2 - zeta(2) - Li2(1/x)
1702                 return(- cln::square(cln::log(-value))/2
1703                        - cln::zeta(2, prec)
1704                        - Li2_projection(cln::recip(value), prec));
1705         else
1706                 return Li2_projection(value, prec);
1707 }
1708
1709 const numeric Li2(const numeric &x)
1710 {
1711         const cln::cl_N x_ = x.to_cl_N();
1712         if (zerop(x_))
1713                 return *_num0_p;
1714         const cln::cl_N result = Li2_(x_);
1715         return numeric(result);
1716 }
1717
1718
1719 /** Numeric evaluation of Riemann's Zeta function.  Currently works only for
1720  *  integer arguments. */
1721 const numeric zeta(const numeric &x)
1722 {
1723         // A dirty hack to allow for things like zeta(3.0), since CLN currently
1724         // only knows about integer arguments and zeta(3).evalf() automatically
1725         // cascades down to zeta(3.0).evalf().  The trick is to rely on 3.0-3
1726         // being an exact zero for CLN, which can be tested and then we can just
1727         // pass the number casted to an int:
1728         if (x.is_real()) {
1729                 const int aux = (int)(cln::double_approx(cln::the<cln::cl_R>(x.to_cl_N())));
1730                 if (cln::zerop(x.to_cl_N()-aux))
1731                         return numeric(cln::zeta(aux));
1732         }
1733         throw dunno();
1734 }
1735
1736 class lanczos_coeffs
1737 {
1738         public:
1739                 lanczos_coeffs();
1740                 bool sufficiently_accurate(int digits);
1741                 int get_order() const { return current_vector->size(); }
1742                 cln::cl_N calc_lanczos_A(const cln::cl_N &) const;
1743         private:
1744                 // coeffs[0] is used in case Digits <= 20.
1745                 // coeffs[1] is used in case Digits <= 50.
1746                 // coeffs[2] is used in case Digits <= 100.
1747                 // coeffs[3] is used in case Digits <= 200.
1748                 static std::vector<cln::cl_N> *coeffs;
1749                 // Pointer to the vector that is currently in use.
1750                 std::vector<cln::cl_N> *current_vector;
1751 };
1752
1753 std::vector<cln::cl_N>* lanczos_coeffs::coeffs = nullptr;
1754
1755 bool lanczos_coeffs::sufficiently_accurate(int digits)
1756 {       if (digits<=20) {
1757                 current_vector = &(coeffs[0]);
1758                 return true;
1759         }
1760         if (digits<=50) {
1761                 current_vector = &(coeffs[1]);
1762                 return true;
1763         }
1764         if (digits<=100) {
1765                 current_vector = &(coeffs[2]);
1766                 return true;
1767         }
1768         if (digits<=200) {
1769                 current_vector = &(coeffs[3]);
1770                 return true;
1771         }
1772         return false;
1773 }
1774
1775 cln::cl_N lanczos_coeffs::calc_lanczos_A(const cln::cl_N &x) const
1776 {
1777         cln::cl_N A = (*current_vector)[0];
1778         int size = current_vector->size();
1779         for (int i=1; i<size; ++i)
1780                 A = A + (*current_vector)[i]/(x+cln::cl_I(-1+i));
1781         return A;
1782 }
1783
1784 // The values in this function have been calculated using the program
1785 // lanczos.cpp in the directory doc/examples. If you want to add more
1786 // digits, be sure to read the comments in that file.
1787 lanczos_coeffs::lanczos_coeffs()
1788 {       if (coeffs)
1789                 return;
1790         /* Use four different arrays for different accuracies. */
1791         coeffs = new std::vector<cln::cl_N>[4];
1792         std::vector<cln::cl_N> coeffs_12(12);
1793         /* twelve coefficients follow. */
1794         coeffs_12[0] = "1.000000000000000002194974863102775496587";
1795         coeffs_12[1] = "133550.502942477423232096703994753698903";
1796         coeffs_12[2] = "-492930.93529936026920053070245469905582";
1797         coeffs_12[3] = "741287.473697611642492293025524275986598";
1798         coeffs_12[4] = "-585097.37760399665198416642641725036094";
1799         coeffs_12[5] = "260425.270330385275465083772352301818652";
1800         coeffs_12[6] = "-65413.3533961142651069690504470463782994";
1801         coeffs_12[7] = "8801.45963508441793636152568413199291892";
1802         coeffs_12[8] = "-564.805024129362118607692062642312799553";
1803         coeffs_12[9] = "13.80379833961490898061357227729422691903";
1804         coeffs_12[10] = "-0.0807817619724537563116612761921260762075";
1805         coeffs_12[11] = "3.47974801622326717770813986587340515986E-5";
1806         coeffs[0].swap(coeffs_12);
1807         std::vector<cln::cl_N> coeffs_30(30);
1808         /* thirty coefficients follow. */
1809         coeffs_30[0] = "1.0000000000000000000000000000000000000000000000445658922238202528026977308762";
1810         coeffs_30[1] = "1.40445649204966682962030786915579421135474600150789821268713805046080310901683E13";
1811         coeffs_30[2] = "-1.4473384178280338809560100504713144673757322488310852336205875273000116908753E14";
1812         coeffs_30[3] = "6.9392104219998816400402602197781299548036066538116472480223222192156630720206E14";
1813         coeffs_30[4] = "-2.05552680548452350127164925238339710431333013110755662640014074226849466382297E15";
1814         coeffs_30[5] = "4.21346047774975891986783355395961145235696863271597017695734168781011785582523E15";
1815         coeffs_30[6] = "-6.3439111294220458481092019992445750626799029041090235945435769621790257585491E15";
1816         coeffs_30[7] = "7.2684029986336427327225410026373012514882246322145965580608264703248155838791E15";
1817         coeffs_30[8] = "-6.4784969409198000751978874152931803231807770528527455966624850088042561231024E15";
1818         coeffs_30[9] = "4.5545745239457403086706103662737668418631761744785802123770605916210445083544E15";
1819         coeffs_30[10] = "-2.54592491966737919409139938046543941491145224466411852277136834553178078105403E15";
1820         coeffs_30[11] = "1.1356718195163150156198936885250451780214219874255251444701005988134747787666E15";
1821         coeffs_30[12] = "-4.04275236298036712070700727222520609783336229393218886420197964965371362011123E14";
1822         coeffs_30[13] = "1.14472757259832757229433124273590647229089622322597383276758880048004748372644E14";
1823         coeffs_30[14] = "-2.56166271828342920179612184110684658183432315551120625854181503468327037516717E13";
1824         coeffs_30[15] = "4.4861708254018935131376878973710146069395814469656232761173409397653101421558E12";
1825         coeffs_30[16] = "-6.0657495816705687896607821799338217335976369800808791959096705890743701166037E11";
1826         coeffs_30[17] = "6.21975328147406581536747878587069711930541459818297675578654403265380823122363E10";
1827         coeffs_30[18] = "-4.7255003764027411113501086372508071116675161078057298991208060427341079636661E9";
1828         coeffs_30[19] = "2.5814613908651936680441351265410235295992556406609945442133129515256889464315E8";
1829         coeffs_30[20] = "-9752115.5047412418881417732027953903591189993329461844657371497174389592441887";
1830         coeffs_30[21] = "242056.60372411758318197954509546521913927205056839365620249547101194072057318";
1831         coeffs_30[22] = "-3686.17673045938850138289555088011327333352145765167200561022138925168680049115";
1832         coeffs_30[23] = "31.3494924501834034405048975310989414795238339283146314931357877820190435258517";
1833         coeffs_30[24] = "-0.130254774344853676030752542814176943723937677940441021884132211221409382350105";
1834         coeffs_30[25] = "2.16625679868432886771581352257834967866602495378408740265571976698475288337338E-4";
1835         coeffs_30[26] = "-1.05077239977528252603869373455592388508233760416601143477182890107978206726294E-7";
1836         coeffs_30[27] = "8.5728436055212340846907439451102962820713733082683634385104363203776378266115E-12";
1837         coeffs_30[28] = "-3.9175430218003196379961975369936752665267219444417121562332986822123821080906E-17";
1838         coeffs_30[29] = "1.06841715008998384033789050831892757796251622802680860264598247667384268519263E-24";
1839         coeffs[1].swap(coeffs_30);
1840         std::vector<cln::cl_N> coeffs_60(60);
1841         /* sixty coefficients follow. */
1842         coeffs_60[0] = "1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007301368866363013444179014835363181183419450549774";
1843         coeffs_60[1] = "2.13152397525281235754468356918725048606852617746577461250754322057711822075135461598274984226013367948201688447853106595646692682568953E26";
1844         coeffs_60[2] = "-4.548529924829267669336610112411669181387790087825260737133755173032543313325682598833009521765336124891170163525664509845740222794717604E27";
1845         coeffs_60[3] = "4.6879437426294973235875133160595324795437824160731608900005486977197800919261614723948577079551305728583507312310069280623018775850412E28";
1846         coeffs_60[4] = "-3.10861265267020467624457768823845414206135580030123228715133927538323570190367768297139526311161786169387040978744732051184844409191231E29";
1847         coeffs_60[5] = "1.490599577483981276717037178787147902256911799467742317379590487947009001487476793680630580522955117318124168494382267800788736334308E30";
1848         coeffs_60[6] = "-5.50755504045738806940255910881807353185463857314393682608295373644157298562106198431098170107741597645409216199785852260920496247655646E30";
1849         coeffs_60[7] = "1.631668518639067070100242032960081591016027803392225476881353619523143028349554534276268195490790113905102273979193269720381236708853746E31";
1850         coeffs_60[8] = "-3.9823057865511431381368541930378720290638930941334849821428293955264049587073723565727061718251925950255036781219414607001763225298119E31";
1851         coeffs_60[9] = "8.16425963140638737297557821827674142140347732117757126331775708561852858085860735359056658172512163756926693444882201094206795155146202E31";
1852         coeffs_60[10] = "-1.426548236351667330492229413193359354309705120770113917370333660827270957172393778178051742077714657388432785747112574456061555034588373E32";
1853         coeffs_60[11] = "2.14821861694536170414714365485614715949416083667308573285807894910742621740039595483105992136915471547998283891842897000924199509164799E32";
1854         coeffs_60[12] = "-2.81233281290021706519566203146379395136352592819625378308636458418501787286411189089807465993150834399778687427813779950602826375635436E32";
1855         coeffs_60[13] = "3.222783358826786224404373038021509245352188734386849874296356404770508945395436142634892645963851510893216093037595555902121365717716154E32";
1856         coeffs_60[14] = "-3.250409075716999887328836263791911196138647661969351655925350981785153422033954649154242209471752219326556302767677017396179477496948985E32";
1857         coeffs_60[15] = "2.897783210826628399578158893643627107049805015801395657097255344786041806868455726759715576609013221857885740543509045196763816109465777E32";
1858         coeffs_60[16] = "-2.29136919195969647663887561122314618826917230275433296293059354280077561407373070937197721317435316121212106870152659174216557412788874E32";
1859         coeffs_60[17] = "1.611288006928200619663496306945576194382628760891807800193737346171844871295031418730500946186238469256168610033434708290528870722514911E32";
1860         coeffs_60[18] = "-1.009632466053186015034182792930705530447465885425278324598880797572411588461783484686932989855033967294215840157892487264656571258327313E32";
1861         coeffs_60[19] = "5.64520651042784179741815642438421132518008517154942873706221206276337451930555926854271086501686252334516011905237101877044320182980053E31";
1862         coeffs_60[20] = "-2.81912877441595327683492797147781153304080114512116755424671954256427789550109614317215500473322621746416096887803928883800132453510579E31";
1863         coeffs_60[21] = "1.257934257434294354026338893625531254891110662111965279263894740714811495074726866375858553579650295684850594211744093582249745250079168E31";
1864         coeffs_60[22] = "-5.01544407232599962845688086323662774702854661522104499328570796808858930542190600193190967249971520736397504227594619670310759235566195E30";
1865         coeffs_60[23] = "1.786035425040937365122699272239542501767986628253845452136132211710520249195280548478081559036323184490150479070929923213045153333111476E30";
1866         coeffs_60[24] = "-5.67605430104368150038863866362066081946938075036837029856903803768657069745962581310398542442108872722631658677177822712376500859930109E29";
1867         coeffs_60[25] = "1.607878222558573982505999018371559631909289246981490321219650132406126936263403946310818841465409950661433241956831540547593847161412447E29";
1868         coeffs_60[26] = "-4.05332042374309456146169816144083508836132423024788116321074411679252452773181941601763924562378611113519038766273534176937279867894066E28";
1869         coeffs_60[27] = "9.07493596543985672039002802030098143847503854224661484396413496012780904911929710460264147600378604646912175235271954302119768907744722E27";
1870         coeffs_60[28] = "-1.800074018924350353143489874038038169034914082090587278672411654146678304871125651069902339241049552886098125667720181441150399048551683E27";
1871         coeffs_60[29] = "3.154250688078046681602499411296013099183808016176992164829953752437167774310360166977972581670851790753785195101324694758021403186162394E26";
1872         coeffs_60[30] = "-4.86629244083379932983782216256143990390210226006560452979433243294026128577640975980482675864760717747936401374948595060083674140963469E25";
1873         coeffs_60[31] = "6.58428611248406176613133080039790689602908099995907522692286902207707012485115422092589779128693214784991500936878932461139361901566087E24";
1874         coeffs_60[32] = "-7.77846893445970039116628280774361378296946997639645747353868461156972352366479641995295874152354776734003001337605345817120316052066992E23";
1875         coeffs_60[33] = "7.98268735994772082084918485121285571015813651374688487489679943603727447378945977989630573952891101472578977333720105112837324185659362E22";
1876         coeffs_60[34] = "-7.07562692971089746095546542541499489835693326760069291570193808615779224025348460132750549389189539682228913778397783434269420284483726E21";
1877         coeffs_60[35] = "5.381346729881846847476909845563262674288431852755093265786345982700437823098162630059919716651136095720390719236493773958116646152386075E20";
1878         coeffs_60[36] = "-3.4856856542678356876484367392130359114150104987588151214926676834365219571876912071608359944324610844909103855562977795837329347647911E19";
1879         coeffs_60[37] = "1.90665542883474657677037950113781854248329048412482665873254624417996252139138481002200079466749149325431679310476862249520001277129217E18";
1880         coeffs_60[38] = "-8.72254994006151131395107200045641306281165826830744222866994799005490857259177347821280095689079457417603257537321939951004603693393316E16";
1881         coeffs_60[39] = "3.30066663941625244322555483012774856710545517350986120571194216206848716066355962922968824538055042855044917677713272771363157100391997E15";
1882         coeffs_60[40] = "-1.020092089391030771746960980075254826475625668908623135552682999358854102567810002206013823466362488147261886160954607897574298699485318E14";
1883         coeffs_60[41] = "2.537518136375035057088980117582986067754938584307761188810498418760131416720976321039509027979006220650166651208980823946300429957067604E12";
1884         coeffs_60[42] = "-4.99523339577986301543863423322168947825482352498610406809585164155176248614834684219539096936869521198401912030883142734471627752449382E10";
1885         coeffs_60[43] = "7.62961024898383965152735310352890448678585029645218309944823403624458716639413808284778269959424212699922000610764015063766429510499158E8";
1886         coeffs_60[44] = "-8834336.1370238009649936481782352367054397712953420330251745022286767420934395739052638862442455545176778475848478708230456099596423988";
1887         coeffs_60[45] = "75445.9196169409678879362111492280315111800786619928588067631801224813888137547544321383450353324917130013984795690223150786036557545929";
1888         coeffs_60[46] = "-459.8458738886001056822131294892698769439281099450630714273592488999986769567563218319365007529495798105783705491469742412340762305916056";
1889         coeffs_60[47] = "1.922366163948404706136462977961544621491268971185908661903800938507393909575693892375103171073678191394626251633433930639174604982075991";
1890         coeffs_60[48] = "-0.00524987734300376305383172698735851896799115189212445098242699916121836353753886238290792298378658233479210271064792489583846726184351881";
1891         coeffs_60[49] = "8.81521840386771771843311455937479573971716020932982441671173279504850522350287085310420429874536637110755391716691475171030099411021337E-6";
1892         coeffs_60[50] = "-8.42883518072336499031504944519862331274440110738275125460829656821173301216150526266773841539372995424665091651911614576906895281293397E-9";
1893         coeffs_60[51] = "4.1559932977982056953309753711587342647729282359841592558743510304569204546713517319749817560490538963802716194154620384631597656968764E-12";
1894         coeffs_60[52] = "-9.26494376646923216540342478135986593801117330292329759013854851055518195892306285985326338987592590319793280515888731024676428929933443E-16";
1895         coeffs_60[53] = "7.80165274836868312019654872701978288745672229459298320116385383568401529728308916875595120085091565550085090877341856355815270191309086E-20";
1896         coeffs_60[54] = "-1.922049272463411538721456378153955404697617250978865956250065913541261535132290272529565880980548519758359440057376306817458561627984943E-24";
1897         coeffs_60[55] = "9.46189821976955264154519811789356895736753858729897267240554901027053652869864043679401817030067356960879571432881603836052222728024736E-30";
1898         coeffs_60[56] = "-5.06814507370603015985813829025522226614719112357562650414521252967497371724973383019436312018485582224796590023220166954083973156538672E-36";
1899         coeffs_60[57] = "1.022249951013180267209479446016461291488484443236553319305574600271584296178678167457933405768832443689762998392188667506451117069946568E-43";
1900         coeffs_60[58] = "-1.158776990252157075591666544736990249102708476419363164106801472497162421792350234416969073422311477683246469337273059290064112071625785E-47";
1901         coeffs_60[59] = "4.27222387142756413870104074160770434521893587460314314301300261552300727494374933435001642531897059406263033431558827297492879960920275E-49";
1902         coeffs[2].swap(coeffs_60);
1903         std::vector<cln::cl_N> coeffs_120(120);
1904         /* 120 coefficients follow. */
1905         coeffs_120[0] = "1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000060166025676976656004344991957470171590616719251813003320122316373430327091055571";
1906         coeffs_120[1] = "3.4497260317073952007403696383770947678893302981614719279265682622766639811173298171511730607823612517530376844024218507032522459279662180470113961839690189982241536061314319614353993672315096520499373373015802582693649149063603309572777186560148513524E52";
1907         coeffs_120[2] = "-1.4975581565000729527538170857594663742319328925831469933998274880997450758924704742659571258591716460336677591345828722528085692201176737000527729600671680178988361119859420301844184208079614468449296788394212801103162564922199859549237082372776667464E54";
1908         coeffs_120[3] = "3.1957762163065481328529158845807843312720427291703934903666695190945338610786360201875291048323381336567812569171891600400186742244091402566230953251621720778096033490814848238417212345597975915378369497445590090951446115848410773972658485451963575288E55";
1909         coeffs_120[4] = "-4.4689623509319752841609439083871154399631153121231062689347162975834499076693093642474289117173045421812089871506249999929076992135798925381959196225961791389783472385803138226317976820364502651110639008585046458007356178875618627927171581950486124233E56";
1910         coeffs_120[5] = "4.606068718424276543329442566011849623375399823565351941825685310847310447457609082356012685588953435307896055516214072529445026693975872604267789672469025113562486157850515006504573881812473997762948360804814769118883992998548055557441646946685125118E57";
1911         coeffs_120[6] = "-3.7314461146854666499272326592212099391213696621869706562566612605818861385928266960370453310708465394226398321257508947092784006446784523328681347046673172481746936234783770854350210504707173921547794426833735429199925024679815789545465854297845328325E58";
1912         coeffs_120[7] = "2.474425401670711256989398808079221298913654027234786607507813220440957186918973475366048940039541074278444160674001228864321389049663140487504402096319272526201782217412803784224929141788255724630940381342478088455751340159338461174261577243566175687E59";
1913         coeffs_120[8] = "-1.3811875718622847750042362590249762290599823842851465148429257970104907280458901604054390293828410620002370526629527048636126473391278330353375163563724888073254512227198849135923692811222561965740181944727170495185714496890490479692693474125883791901E60";
1914         coeffs_120[9] = "6.623089858532754482582703479109160446021743439335073883710993620625687271109284320721410901325182604938578905712329203551531862389936804947105415805829404869727743706364603519433193421234231031076682156125442577335383798263985569601899041876776866622E60";
1915         coeffs_120[10] = "-2.7709515004299938864490083840820063124223529009388282231525445615826433364331567602934962481829061542793349831611106716261513624279121506887680318284535361848032886450351898892264386237450622827397559067350672965967202437971930333676917000390477963866E61";
1916         coeffs_120[11] = "1.02386112293172223921263435003659366453292875147351461165091656394534393086780717052422266565203902889367201592668259202439166666819852985689989767402099479793087277263747942659943270101657408462079787397068550734516045511611701546009078868077038808757E62";
1917         coeffs_120[12] = "-3.3740197731917655541744976218513993073761175468772389726802124778433432226803314067431898210976006853342921093194297198044021414900546886804610561082663076825192459864843102368108908666053756409152492134638014803233805912009476407113691438596300794146E62";
1918         coeffs_120[13] = "9.996217786487670355655374796561399578704294298563457268841140703036898520360123177193155340144551120260016445533739357030180277693840431766824113840895797510199955331557143980793267795747200088810293047731873192410526786931879590684673414288653913515E62";
1919         coeffs_120[14] = "-2.6804750990199908441443350402311488850281543531194918304012545530803283220192092419107511475988099394746800512008906823331244710178292896561401750166818497729239682879419868799442954945496319510685448344062610897698253544876306888341881254056091234759E63";
1920         coeffs_120[15] = "6.5422964482833531603879610057815197301035372862466791995455246163778529556707384145891730234453157337303612060344197138180893720879196243783337539071284141345021864817147590781643393947019750353147151780290464319306645652085743359080495090595200531486E63";
1921         coeffs_120[16] = "-1.4604487304348366496825146715570516556564950771546738885215899741781982964860978993963272314092830563320794184042847908967120542212316261920409301852237223308467032419706968676861616456179895880956772385510853673982424825597152850339588189159102980666E64";
1922         coeffs_120[17] = "2.9942297466313630831467808691292548682230644559492580161942357031681185068971393754352871129412787966878287389513657398203481589163498279625760316093736277896138061249076616695157422053188087353540756151586375196486093987258640269607104978950906670704E64";
1923         coeffs_120[18] = "-5.658399283776588293772725313973093187743120982052603944865098913586526167668102733207163739469977271584007101869254711458133873627143366757941713180350370056955237604551850024423889291598422917971467957836705917204903687959901869098540153925178692732E64";
1924         coeffs_120[19] = "9.887368951584101622633538892976576123080629424367489037686110916264512731398396560326756128205833849608930564615629875435100785011872254223744155330328477703592008501954532369042429700051416733748454350165515933757314793533786385104271308839525639768E64";
1925         coeffs_120[20] = "-1.6019504550228766725078575508839635707919311420327486864048705642201106895239857903763208049376932672160478820626774934879424498715258948985194011690204294886396827446040036506699933786721588971678753877371518212675519147446728054067639530675249526082E65";
1926         coeffs_120[21] = "2.4124568469636899540706437405441629738413207418758399778576327598069435452295650039157974716832514441625728576753250737726840109004878753294786785674578138926529507088264657400701828947949531197915861820274684954206665488761473274445827472596875582911E65";
1927         coeffs_120[22] = "-3.3841653726400000079488483558717068873181168418395106876260246491163166726612427450773591871178866824643300679819366574162583413250423974373322308130319007820863363304629451933781204964221002853140392226489420463827400812929748772154909106349410663293E65";
1928         coeffs_120[23] = "4.4305670380812288478773282114598811227924298131011853412998479811262358077680067168455361591598296346480072528806092976336961470360354620203822421524751468329936930212919915114854135818230382164555078957880154875221176513434392525189922941290050575762E65";
1929         coeffs_120[24] = "-5.4228176962574428947233160003094662570284359565811627941401342797491445636152854865132166939274138115146035207618348708829039395974942115203986578386666664945394109693178927438991059414217518334491360514633536224841961444935232548483014691997071543828E65";
1930         coeffs_120[25] = "6.214554789078092267222051275213928685756510105900211846145778269883351640710249139978059486185007208670776100912863866582278800642692097830681092656540813877576256048148229340562594504915197956922387464825593941922429396202734006609196778697870436014E65";
1931         coeffs_120[26] = "-6.6773485088895517986512141063848395783979405189075416643094283756118912554557672721632998501682483143868731647507940026369035991063923616298815637819145806214374157182512600196214559297579802178103007615921637577873304407436850546650711237281572008424E65";
1932         coeffs_120[27] = "6.734925330317694704469314845373778479111077864464012553672292377883525864326847400954413754291163739900219432201437895152976917857427306427115230048061308424221525123820493252697918698598513232640014129066982507718245232516657455821629338155744427538E65";
1933         coeffs_120[28] = "-6.383582878496429871173501676061533991181960023885889537277705274319508246322757005217436814481703326467002683699047193244918123789600842413060331898515872574523803039779899326755393070345055586059441271293717500426377884349137309244757708993087958455E65";
1934         coeffs_120[29] = "5.6913529405959275511022780614007027176288843526260372650173869440228336395668389555081751187360483397341349300975285817498083216487282169140596290796279875175764991375447348355187090404486257481827615256024271536396461908482904537799521891879785332367E65";
1935         coeffs_120[30] = "-4.776996734587211249165031248400648409423153869394988746115380756083311986805300361459383722536698540926452976310737678416019979202990255666249869917768885659350216400547190883549730059461513588008706974008085270389354525600694962352952715682056375518E65";
1936         coeffs_120[31] = "3.7775367524287124255443145064623569295746034916892464094281613465046063954544055573214473155479196552309207209647540614474216985097792266203411723082566949978062697757983354600199199984244302856099811940389910544756210676400851240882142140969864764468E65";
1937         coeffs_120[32] = "-2.8161966171919236962021901287860232075259781334554793534017516884995332700369401674058517414969240048359891934178343992080557338603528540157030635217682829894098359736903943078409166055640608627322968554856315650475005062493399450913753277478547118352E65";
1938         coeffs_120[33] = "1.9804651678733327456903212258413521470612733719543558365536494344764973229749132899499862883369665827727506916597326744330471802598610837032598656197205238983585794266213317465548361566327435762497208877015986690267754534342053368396181078097467171858E65";
1939         coeffs_120[34] = "-1.3144275813663231527166312401997093907605894997476799416306355417933431514642211250592825223377757973148122542735038736133300194844844655961425683877005418926364412294006123974642296395931311307760050290069031276972832755406161248577410950671224318855E65";
1940         coeffs_120[35] = "8.2367260670024829522614096155108151082106397954565823313893008773930966293786646885943761866773022391428854862805955553810619924412431932999726399857050871862122529700098570542876369425991842818202826823540112018849926644955200888291063471724203391548E64";
1941         coeffs_120[36] = "-4.8749964750377069822933994525197085013480654713783888755556109773660249389776804499013517227967180500633060271953473316017147397601291325922904139209860429881054757911243087427393920494271315804033914011087815785282473032714919188637172020633929566123E64";
1942         coeffs_120[37] = "2.7259664773094932979328467102942769029907299417406744864696200699394594868759231280169149208728483197299648608091313447896342349454038879581019820193316159535211365363553004387852005780736869678460092714636910972426808304270369152189989142121207224142E64";
1943         coeffs_120[38] = "-1.440426226855027726783521340050349148103881707415523724377763633849488875095817796257895327883428230885349760692732068174527147156893314818583058727424251827006457849321094911262818557954829248070170426870959233263267490276774734065709978749400927185E64";
1944         coeffs_120[39] = "7.193790858249547212173205531149034887209275529426061411129294234841122474820371873361100215884757249851960370114629943083807936135915003201800204713978377250292881453568756354858194614039311248345228434431020394729104593125888325843724239404594830488E63";
1945         coeffs_120[40] = "-3.3960029336234301755324970935705944032408435186630159101426062821929524761770439420961993430248258136340087498829339209014794230274407979103789924433683527009234592433480445831820377517333956042612961562022604325181492952329031432513768020816986814393E63";
1946         coeffs_120[41] = "1.5154618904112106565112797443687014834429200069480460967081898435635890576815349145926430052596468033907024005478559584915319911380449387176530845634833237204659108290330613043367085829373476690728522550189678729181372902816898536141595215616716630939E63";
1947         coeffs_120[42] = "-6.3927647843464050458917092484911245813170740434503951669888756878206365814594631676413018245438405308353724023007754523096143775098898268650326908751515418318201372985246418468844138298345777180517875695389655616000832495210812684049030674085212697428E62";
1948         coeffs_120[43] = "2.5490394366379355452002449693074954071810215414182359403355645652443600688717811337587901850157210686351097591461582890354662732336749618027675479531031836144519267481752770036252137747675754903974915999567019837855523058289177148692481402871253211324E62";
1949         coeffs_120[44] = "-9.606466879185328464666445215840505657671157752044466089989040292763536710311599947887918708456526669882072519263973105599580140713596301388561639705589314111762600854460059589939760935803484446888352368360433606245369171819922425771642408570388554052E61";
1950         coeffs_120[45] = "3.4212392804723358445152430359637323789304939688937873921904941412927756295848104328630952153624979489607759834359194243032109828811134607612715016533909375981353098879969472700079242226099049323998286020341979178782935852542355220403299144612362244738E61";
1951         coeffs_120[46] = "-1.15119134701605919461057899755821946453925102458815313053351247263978303346790555715641513756644038607667203392289423834966320935498856390723555744530789850290369071103208529608463210398231590077340268751005311531529356083188150256469829678612245577446E61";
1952         coeffs_120[47] = "3.6588622583411432033523084711047679684233731128914152509273818448610176621874654252431411048902598388935105893946323641003087000410095802098177375492833543391040706755511234323104846636415419597151008153829618275459606044459923718022154035121167198784E60";
1953         coeffs_120[48] = "-1.0981148514467449476248066871827754422009180048705085132882492434176164929454140182025449006310206725429473330511884213470600326782740663313311256352613244044500057688932314549669435095761340307817735687643806167483576999980691227831561891265615422486E60";
1954         coeffs_120[49] = "3.110998209448997739767747906196101611409160829345058138064861244336130082424927251851805875584197897229644157110035272012393338413235208343342708685139492629786435072305986349067452739209758702078026647999828517440754895711519542954337931090643534216E59";
1955         coeffs_120[50] = "-8.3162485922574890007748232799240657004521608654422032389269811102140449056333167761296051794842882201869698963586030628312914066893199727852512779320175952962772072653493447297721128265231294406156925752496310087025926300388984242024436858845487466277E58";
1956         coeffs_120[51] = "2.0966904516945699848169820408710416999765756367767199815424586610234585829069218729220161654233351574517459523275756901094737085187558904179251813051891939079067686519817858153690134828671544815635956527611986498479411756457222935682849773436423295467E58";
1957         coeffs_120[52] = "-4.983121305881207125553776640558094509942884568949257704810973508397697839859902664482541160531856121365759763455699578413261749913567077796586919935391984240753355552646184306812426079133011894826183873855851966310877619118554510972675999316631346679E57";
1958         coeffs_120[53] = "1.1158023601951707374356047495258406415892974604387009613173591921419195864040428221070481312383179580486787822935456571355463718115785982888531393271665510645725283439572279946304699780331972095822869500426555507626639723865965516308476400920600382357E57";
1959         coeffs_120[54] = "-2.3524850615012075127499506758220926725372558166170912192116695445007095502575329450463479860779122789467638956004572617263549199692255055063165454868102165975951768676031140009643202074220557325155838768661030361538572755082660730808847591840060467064E56";
1960         coeffs_120[55] = "4.6669318431895615057208826641721251136909284138581355667925884903657855204100373961676117747969449100495897986226609480142908763981931305129946569690612924941456739524153327260627627771254850382983581593260532259539447965597396206625726656509884058042E55";
1961         coeffs_120[56] = "-8.7053773217442419007560462613131691749734845382618514999712446313788486289774350240165530159591402631439776213579542026449818009956904779042347595401565525081115611496250192338958392965746523979241969677734430475813057146574920495171984815351708574336E54";
1962         coeffs_120[57] = "1.5256552489620511464542280446639568546874380361953025589702692266626310669215652044048704882910412155084167930513006634430352568411276836880182348033924636960897794333644980768878022821035659978039286230061734024129667272393315169114199838321062607299E54";
1963         coeffs_120[58] = "-2.5099934505534008439782195609383796207770494575364994376922414269548303512602084430128307108303305643530918354709126474742035537827601791192999467996479881350277448357927640707861695639576629921988481117017137420422963638277868648516492581097660522547E53";
1964         coeffs_120[59] = "3.872963359882179682964169603201046384616694634651871844057456079738892419308420856725974686574980381399016464501318163662938118593626674643538005780375691959391996340141057698193381380484420715733863044826589570328349973407598034428591146829028071358E52";
1965         coeffs_120[60] = "-5.59947633823301408044455223877913062308847941596689956112764416031828413291312481723036534632655608672535030921469531903033364444816678754679807809159478411100820014592865068932440734964265842594875758737421026093110624848762070026616564150314951394E51";
1966         coeffs_120[61] = "7.57762861280525531438216991274899157834431478755285945898172885086150762425529113816148806028462888396660067975773261101497666568988246606837690320098870044112671149076084444095163491848634465373822951831018725769263871497616640732007420499659069842E50";
1967         coeffs_120[62] = "-9.587786106526273406187878833167940811862067040706459726637556599860244751467528905534431960251166924163661188573831350928972391892492380823531476387272791432306808700507685765850397294118719242350333451452137838374120658600691461454898577711260078952E49";
1968         coeffs_120[63] = "1.13288726401696728230264357306938076698155303500407071418573081766541065136778223998897791839613776442037036668986628122296219518360439574147622758002647495909592177914657175019781723803408732148262293125845657503039410078589916085532057725749397276232E49";
1969         coeffs_120[64] = "-1.24849787223197441956280303618704887038709792250544105638342097080498907831514597860418910331910245753340059089147824955071899315894649696314820492532126554883819507650973976145456660786429117569053901704116877128391672511345177517877672824534972448216E48";
1970         coeffs_120[65] = "1.2815463720972693091316233381473056495608681859925407504190742949467232967966271661733907550222983737930524555721493736920130260377888287772008209963158064973076933575966719577456540496444474944074979736374259087350416613616719928507635667369740203319E47";
1971         coeffs_120[66] = "-1.2234887340201843394744986892310393596065877342193196880417674427168862926389642850813687099959036354499094230765541977493433449153438766822382486040215211159359175689369230076522107734270943423777076523650345103234411047700646432924770659676420158487E46";
1972         coeffs_120[67] = "1.0847187881607033339631651118075716564835185723270640503055198532318419482330026641941088359447807553514405522074008969583213861070993661224871455023365601323302778638456843760403418046238489404394483720438784739822580385277055304353975028280477740796E45";
1973         coeffs_120[68] = "-8.9160881476675795743767277986448579964735858351472748620623279571408606135698760493224031735408212513500922230670883171668702983221921543376953865813604783695111225412173880768170509738290662806468458720236121755965944855709552219268353813402612336565E43";
1974         coeffs_120[69] = "6.782864920104031936272293608616215844503387641476821968620772153274069873138756405621471099960069602613619793775294358177761533027360002770186566164041138064221354961783144649476276625776241973967317262115970868665380343599565811072109785000646703404E42";
1975         coeffs_120[70] = "-4.7667808452660756441368384708874451089976319738852731080495062883240643961463680300964077232336439626019128672679703771884184482488932861160134911816225569323838390204451496983578077563176966732010513231048738892639707790407292070646798259086924770995E41";
1976         coeffs_120[71] = "3.0885057140860079424719232591765602418793465632939298397987628606701994268384966881159469651774584648643122830739130127593326652998108850492039117928976417052691273804304806596509726701594300563830431015215234640024338277573401498998072908815285293868E40";
1977         coeffs_120[72] = "-1.8410405906573614531857309495652487774337134256805076777639383854080936219680656594060736479739035202182601529001321266214227848431889644620036213870966329509961114940541333851155401637197303308322414678191211465563854205816313387785764908216851396633E39";
1978         coeffs_120[73] = "1.0073694433024942271325653907485159683302928496826793112696958500366488338508211620934892875328717073528902110227362794694820010124321343709182901273795782541866547318841893692957109947576483162095037812781379193423759617638948859880051822460818418552E38";
1979         coeffs_120[74] = "-5.0475051506252944853315611134428802424958512917967945464108691542854207821486654807141339210375899950551724141366521361887864357385178212628348794663127149312605456165451981719848656127310229221238908657530297751682848475855876378576874607521597136906E36";
1980         coeffs_120[75] = "2.3099766115359817610656986443137072041797751710805647712896098246833051023271876304983288225638204962631413469467959017768113430777226924099787875749611560913177631681394153889301715579572842026181746028117354815826836594637709952294015960031772162547E35";
1981         coeffs_120[76] = "-9.629053850440590569772960665435833408449876392175761493622541259322053209458881628458334353756739601360772251654643632187697620334088992038575944303101187678397564511853344433267011583960451100374611538881978045643233876974513962362084978095067025623E33";
1982         coeffs_120[77] = "3.6452126546120530579393646694066971671091434168707822859890104373691687449831950255953317231572802167174179528347370588567969602221261721708890001616085516755796796282628169745443137768549800602834096924025507345446292715781107949529692160434800323E32";
1983         coeffs_120[78] = "-1.2492564030201607643388368733220662634846470405464496879151879822123866671204541555507638492613046717628358162773937737774832271305618491107140304474323049182605167775847584622690299098207979849043605983558768056117581593008210986863088433891075743152E31";
1984         coeffs_120[79] = "3.8627447638297686357472526935538070834588578920414538227245516723308987020816841052950727259618753144711425856434270832495754300189881199851254605718213699755258867641301730599979474865704144160112269948588154919128986989885090481959424806312935273075E29";
1985         coeffs_120[80] = "-1.0736758703963497284148841547397192249226725101007524773889805877171959717011395181953504058502607435217886087332761920207901621377557079619638699346496468750455986591040017334237734940082333954589067611955107878899677189289648293223359861027746438121E28";
1986         coeffs_120[81] = "2.6722714785740082059347577649909834926335247252399259683264830680945466475595847553753509546415283809619181144796536494882020159787371993099998263815645014317923922311421330376008111312767167437401741178863083976628261471599264811824656877164988491393E26";
1987         coeffs_120[82] = "-5.9304047185329750657632568788530498935629656326502947505210292278638825286675833282579834326765999907183142489791905921257123760969245535649745876992946512033156167841406724363867902645010435996961270021857807247440211477908060243655541266857227638988E24";
1988         coeffs_120[83] = "1.16817022089143274700208191285335154155497013626172270535715899131321522799010543339535307798264602677955894930046454353008462671803498794203612585729705145312299224155123919877760274781582850868001155383467754608529345730226972329454404720862870618607E23";
1989         coeffs_120[84] = "-2.03239515657536501213472165328009690017090356606547792466197690386716728380893226886179282271040418637806139515373566132123131620086873213475424131345589653019635327048678766191769576650893957440830876852296666120473866301097954633389040518870395767125E21";
1990         coeffs_120[85] = "3.1065334503269182605978912331263087603258864771943471481540265718169544724355602987297631515907391374943512439350265433478241465606056187134785807375293801936399644663199667496663518171930757047012102683120173353568660795955174938680248863153863947508E19";
1991         coeffs_120[86] = "-4.1476244154347831048636005592317388215032295704489937704602030038303705695463546496640638505584602502764898113504560236629804442607426019604639559875021291459916615723777004493344143132459204229291886967479716413925814352313734234340863490128872380307E17";
1992         coeffs_120[87] = "4.8067293487250079673131214670887682215073707729621636364424152483295071605326220176372385638491275365750175037404843071051780212494354459897540110089573898336327006157766256896984455454193271731091632286742192439925748114360605084629432813597189767538E15";
1993         coeffs_120[88] = "-4.8023544548381246628003457039588616467438691159189277447469028024236284353593054364114519649309416187375157096932150251663679454372678125518452171003992957433311257042292636706448339781439297178835786059318810522834929923770539615271536113963729385909E13";
1994         coeffs_120[89] = "4.1055087514683476865343055835875083237542317413651906253058979029083965525058905726360233143503628224856307545474786181299719957472120906835233967660557875100202077212004953379299507351564181758434304881046845705855303854083493519588411179065109026834E11";
1995         coeffs_120[90] = "-2.9787503393847675871205038539267895335240592213878943742323972872214441728681744433089698206110260166068266926018988659692353298939109421567999207730700359726920482465669373553804927535369930188390246988033893916611435406224816632683980860607732310186E9";
1996         coeffs_120[91] = "1.8178328110729629877907010659834277046059726898311908447099830056830012488194646687474150289147446390570639168063598563291822008033517936194534129929881015025633519502485415000390171249019651579295905194415531994026553693578406432674734610095421683863E7";
1997         coeffs_120[92] = "-92391.136314434380495997449781381513978328604842061708454699991154771188446049720445502194923435235472458378926242100033122111143321209059959788378033220861638093951546784186137626553022963832352496255851690092415165826965388502958309163995296640164754";
1998         coeffs_120[93] = "386.82763074890451546182061419449593717951707520472938425276820204065379182568600735469831672149785863654956632602671563997131280046154927653332261114114005498875447205079045401364007035880825957300757663780618819785476980699579657587509130753204519233";
1999         coeffs_120[94] = "-1.3181204292571874302358432444324779303744749959754136019600954846045028319805074783759764870805734807693739252625657350494147444011046941331047057337345953605042408524072436811726898109072388160378243068564382623631658424851676817690976343859083960324";
2000         coeffs_120[95] = "0.003606538673252695455085947121496196507159591230095595764694813152630524319596509155920374890595867709349176662036024214476302717902368680224618116411588086562230407996267622244422187853090635901906175373997993725355114393033631058067900506212434600015";
2001         coeffs_120[96] = "-7.805244503909439374422205381130511738566245024242591464192744568789876715121004646510755612128565674260161510215430132815223049297785205382643947556846567064565241387424696940674258789227398935846571768027456535982674711768030751512030174841314425949E-6";
2002         coeffs_120[97] = "1.31373705470989377112938364152965446631228819123896570245455699237549295870321627234421140232628798373711221392827979836922621437205363811871692678679625916100572037589291239046725228767017131155814257944742981208252138821140381478767814046301821211856E-8";
2003         coeffs_120[98] = "-1.6872873094408224472617181717534409090015431593544429529131126514352910895332010213914243717484771690790552077128803350550170014347729272790464826195676369023970955260051387240496705602732313607409271794413329062030561818907163134089683283286623809325E-11";
2004         coeffs_120[99] = "1.6183083251905685095057354853863188515437903228178486856957070037813756492593759658405336450433607296873747595037080703825755020175480385843762609522889527239577435110258291566585028919336090916225831079571865425410181260759913688103716786795647286451E-14";
2005         coeffs_120[100] = "-1.13097359411474028225398794102354853670936316496817819635688647804142428962171772690717075128208102537660772310780986623575005236651312181907812813813504742701120603881086064664411899253566047514905519888629604717647221817372977488600336785871295304013E-17";
2006         coeffs_120[101] = "5.599216369109121957949255319730053610385733330502739423509794477602247233276045188197007198417289907263120960704056657544648432653622931077692740961599655386871075693202473992087883485704436336279135221721374640982826144708808646466699352755417123702E-21";
2007         coeffs_120[102] = "-1.9009180102993021108185348502624676395148544369474718879637745630712451378711342634099259114111847962752555305470572286326367888004493816251811794947276966269738750207359305252041104539066278002044545942171476984766923991983055271262414217352967659228E-24";
2008         coeffs_120[103] = "4.261262509940940316499754264112111685174274727656165126333137554124192224955656564229887938745508952447664695831728428607673797269945824475565104978593072684829487175697371245288754204324544164474840153141042852153497051337607734150135978754952561336E-28";
2009         coeffs_120[104] = "-6.033854291373449912236926137860325602686312455380825767485673949251953414778800668020214699151728472172651816317924130614791108454134597377848088327850505473503152696524861086193124979489104732214189466703901268332265826882296309653009237279831825243E-32";
2010         coeffs_120[105] = "5.1208402745272379096703574714836785944518835939702823617280147111145234914591060871138496110227453241036619229980622243972303295470574470937679143516006222494480144845809123492603651773613707216680534850900104861326332900592715684757980394834998321888E-36";
2011         coeffs_120[106] = "-2.4463535717946588550832618025289907099586319384566637643650142186828541109926588999585266911960640972919441499109750654299062004147686492034166034659422424525984094382368955916181276646903453872999065929058429821759475215620044891133652431220664754175E-40";
2012         coeffs_120[107] = "6.0973480699773886324239008989591793773608942051497498591908583910660358857815864266160341286217871697703362816166340947142517661604423899536979689047275448159991318658879804351288744125363072102852651926942302209139318098544348348564409845011546432615E-45";
2013         coeffs_120[108] = "-7.2234185761285078775026471720270426097727212523472472797635230392183067756271499246654638332288950167477129840028892565652782123508855602380279653475510712205780583313834027906297063690370430285856541927759405826980856379432703473274890527421175151858E-50";
2014         coeffs_120[109] = "3.6217112680215791206171182969894344487335819731880124290544082848140757826983885738735436324684863867140575000400288923606439193119990961489053513339202655922248092157737577138929144240507796562250602457839068582279379672722261563501188150876583184441E-55";
2015         coeffs_120[110] = "-6.6329300032795486066608594142675837603786558782159646987663521197523704085781830169369726460621246948945196657495305819768951424025780824076252490918306538895670861455244641773606980519824591785816943621538721352987553804824051051144609050417497894495E-61";
2016         coeffs_120[111] = "3.6664720904335295532012711597888717227860988776477301054518326674835421172405060906940404374163713097964932859351917152390238690399278248344863365606468942320103392909602843987855082225592776850615943708151738327210634139824601616072015258461809772448E-67";
2017         coeffs_120[112] = "-4.7466013179695826928232672846686064011594588664906398407027593213652099998530859940288723349213099851532139911079905393494419637612780994270110734378146177806681489226896952731800026849872070824592339117757940119304241732812925979963178130104280115315E-74";
2018         coeffs_120[113] = "1.0163707785221910939390789816391472677729665860532352695801597334766068288835382195560328979864550624486740471947632369344045378626680607890520366137741785540226552923584183986350590955499329375427326072319268396685478606934920507703868118038891818762E-81";
2019         coeffs_120[114] = "-3.4814151260242800905467399051937942442621710748397374123807284826536707678408888416026868585492229216524609739211131993326633970334388991812593549702868877534701822990946125111761892723042376117665640296993581745994557803052315791392349639065203872505E-90";
2020         coeffs_120[115] = "1.18525924288117432386770939895670573772658621857195305986011196724304231598127227408839423385042572374412446842112646168302015480830234100570192462192015131968307084609177540911503689228342834030959242458698413980031135644018348590823980902427540799814E-91";
2021         coeffs_120[116] = "-8.5714961216566153236700116412888006837408819915951896129362859520462766617634320531162919426026429378433105901035364956643086394331335747930198070611009941831387116980941022864465946989065467218665543814574849964435089931072761832853235509961870476035E-93";
2022         coeffs_120[117] = "4.5681983751743456413033268196376305093509590040595182930261094908859252761697530924655649930852283295534503341542929581967081012867692190108698698006237799801339418962091877730207560007839789937153876806052229193448161273005984514504886230869730232561E-94";
2023         coeffs_120[118] = "-1.5943139155457706045530478744891549581317663177038648406493256399589001327414318955746453934207742828511041930090849236963271943244329753764497401819704943705370596846318480510254313447057477914171472190541408193443142906466279172123681623644325254209E-95";
2024         coeffs_120[119] = "2.7319125666863032595604997603472305262880292377469053594326527505796348018540179196191192420176181194669607935656210005192217186286873953583571180312679155204061051208771126804209623533044988888808754656646355388901404252058383561064953226611421609762E-97";
2025         coeffs[3].swap(coeffs_120);
2026 }
2027
2028 static cln::float_format_t guess_precision(const cln::cl_N& x)
2029 {
2030         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
2031         if (!instanceof(realpart(x), cln::cl_RA_ring))
2032                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(realpart(x)));
2033         if (!instanceof(imagpart(x), cln::cl_RA_ring))
2034                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(imagpart(x)));
2035         return prec;
2036 }
2037
2038 /** The Gamma function.
2039  *  Use the Lanczos approximation. If the coefficients used here are not
2040  *  sufficiently many or sufficiently accurate, more can be calculated
2041  *  using the program doc/examples/lanczos.cpp. In that case, be sure to
2042  *  read the comments in that file. */
2043 const cln::cl_N lgamma(const cln::cl_N &x)
2044 {
2045         cln::float_format_t prec = guess_precision(x);
2046         lanczos_coeffs lc;
2047         if (lc.sufficiently_accurate(prec)) {
2048                 cln::cl_N pi_val = cln::pi(prec);
2049                 if (realpart(x) < 0.5)
2050                         return cln::log(pi_val) - cln::log(sin(pi_val*x))
2051                                 - lgamma(1 - x);
2052                 cln::cl_N A = lc.calc_lanczos_A(x);
2053                 cln::cl_N temp = x + lc.get_order() - cln::cl_N(1)/2;
2054                 cln::cl_N result = log(cln::cl_I(2)*pi_val)/2
2055                                  + (x-cln::cl_N(1)/2)*log(temp)
2056                                  - temp
2057                                  + log(A);
2058                 return result;
2059         }
2060         else
2061                 throw dunno();
2062 }
2063
2064 const numeric lgamma(const numeric &x)
2065 {
2066         const cln::cl_N x_ = x.to_cl_N();
2067         const cln::cl_N result = lgamma(x_);
2068         return numeric(result);
2069 }
2070
2071 const cln::cl_N tgamma(const cln::cl_N &x)
2072 {
2073         cln::float_format_t prec = guess_precision(x);
2074         lanczos_coeffs lc;
2075         if (lc.sufficiently_accurate(prec)) {
2076                 cln::cl_N pi_val = cln::pi(prec);
2077                 if (realpart(x) < 0.5)
2078                         return pi_val/(cln::sin(pi_val*x))/tgamma(1 - x);
2079                 cln::cl_N A = lc.calc_lanczos_A(x);
2080                 cln::cl_N temp = x + lc.get_order() - cln::cl_N(1)/2;
2081                 cln::cl_N result = sqrt(cln::cl_I(2)*pi_val)
2082                                  * expt(temp, x - cln::cl_N(1)/2)
2083                                  * exp(-temp) * A;
2084                 return result;
2085         }
2086         else
2087                 throw dunno();
2088 }
2089
2090 const numeric tgamma(const numeric &x)
2091 {
2092         const cln::cl_N x_ = x.to_cl_N();
2093         const cln::cl_N result = tgamma(x_);
2094         return numeric(result);
2095 }
2096
2097 /** The psi function (aka polygamma function).
2098  *  This is only a stub! */
2099 const numeric psi(const numeric &x)
2100 {
2101         throw dunno();
2102 }
2103
2104
2105 /** The psi functions (aka polygamma functions).
2106  *  This is only a stub! */
2107 const numeric psi(const numeric &n, const numeric &x)
2108 {
2109         throw dunno();
2110 }
2111
2112
2113 /** Factorial combinatorial function.
2114  *
2115  *  @param n  integer argument >= 0
2116  *  @exception range_error (argument must be integer >= 0) */
2117 const numeric factorial(const numeric &n)
2118 {
2119         if (!n.is_nonneg_integer())
2120                 throw std::range_error("numeric::factorial(): argument must be integer >= 0");
2121         return numeric(cln::factorial(n.to_int()));
2122 }
2123
2124
2125 /** The double factorial combinatorial function.  (Scarcely used, but still
2126  *  useful in cases, like for exact results of tgamma(n+1/2) for instance.)
2127  *
2128  *  @param n  integer argument >= -1
2129  *  @return n!! == n * (n-2) * (n-4) * ... * ({1|2}) with 0!! == (-1)!! == 1
2130  *  @exception range_error (argument must be integer >= -1) */
2131 const numeric doublefactorial(const numeric &n)
2132 {
2133         if (n.is_equal(*_num_1_p))
2134                 return *_num1_p;
2135
2136         if (!n.is_nonneg_integer())
2137                 throw std::range_error("numeric::doublefactorial(): argument must be integer >= -1");
2138
2139         return numeric(cln::doublefactorial(n.to_int()));
2140 }
2141
2142
2143 /** The Binomial coefficients.  It computes the binomial coefficients.  For
2144  *  integer n and k and positive n this is the number of ways of choosing k
2145  *  objects from n distinct objects.  If n is negative, the formula
2146  *  binomial(n,k) == (-1)^k*binomial(k-n-1,k) is used to compute the result. */
2147 const numeric binomial(const numeric &n, const numeric &k)
2148 {
2149         if (n.is_integer() && k.is_integer()) {
2150                 if (n.is_nonneg_integer()) {
2151                         if (k.compare(n)!=1 && k.compare(*_num0_p)!=-1)
2152                                 return numeric(cln::binomial(n.to_int(),k.to_int()));
2153                         else
2154                                 return *_num0_p;
2155                 } else {
2156                         return _num_1_p->power(k)*binomial(k-n-(*_num1_p),k);
2157                 }
2158         }
2159
2160         // should really be gamma(n+1)/gamma(k+1)/gamma(n-k+1) or a suitable limit
2161         throw std::range_error("numeric::binomial(): don't know how to evaluate that.");
2162 }
2163
2164
2165 /** Bernoulli number.  The nth Bernoulli number is the coefficient of x^n/n!
2166  *  in the expansion of the function x/(e^x-1).
2167  *
2168  *  @return the nth Bernoulli number (a rational number).
2169  *  @exception range_error (argument must be integer >= 0) */
2170 const numeric bernoulli(const numeric &nn)
2171 {
2172         if (!nn.is_integer() || nn.is_negative())
2173                 throw std::range_error("numeric::bernoulli(): argument must be integer >= 0");
2174
2175         // Method:
2176         //
2177         // The Bernoulli numbers are rational numbers that may be computed using
2178         // the relation
2179         //
2180         //     B_n = - 1/(n+1) * sum_{k=0}^{n-1}(binomial(n+1,k)*B_k)
2181         //
2182         // with B(0) = 1.  Since the n'th Bernoulli number depends on all the
2183         // previous ones, the computation is necessarily very expensive.  There are
2184         // several other ways of computing them, a particularly good one being
2185         // cl_I s = 1;
2186         // cl_I c = n+1;
2187         // cl_RA Bern = 0;
2188         // for (unsigned i=0; i<n; i++) {
2189         //     c = exquo(c*(i-n),(i+2));
2190         //     Bern = Bern + c*s/(i+2);
2191         //     s = s + expt_pos(cl_I(i+2),n);
2192         // }
2193         // return Bern;
2194         //
2195         // But if somebody works with the n'th Bernoulli number she is likely to
2196         // also need all previous Bernoulli numbers. So we need a complete remember
2197         // table and above divide and conquer algorithm is not suited to build one
2198         // up.  The formula below accomplishes this.  It is a modification of the
2199         // defining formula above but the computation of the binomial coefficients
2200         // is carried along in an inline fashion.  It also honors the fact that
2201         // B_n is zero when n is odd and greater than 1.
2202         //
2203         // (There is an interesting relation with the tangent polynomials described
2204         // in `Concrete Mathematics', which leads to a program a little faster as
2205         // our implementation below, but it requires storing one such polynomial in
2206         // addition to the remember table.  This doubles the memory footprint so
2207         // we don't use it.)
2208
2209         const unsigned n = nn.to_int();
2210
2211         // the special cases not covered by the algorithm below
2212         if (n & 1)
2213                 return (n==1) ? (*_num_1_2_p) : (*_num0_p);
2214         if (!n)
2215                 return *_num1_p;
2216
2217         // store nonvanishing Bernoulli numbers here
2218         static std::vector< cln::cl_RA > results;
2219         static unsigned next_r = 0;
2220
2221         // algorithm not applicable to B(2), so just store it
2222         if (!next_r) {
2223                 results.push_back(cln::recip(cln::cl_RA(6)));
2224                 next_r = 4;
2225         }
2226         if (n<next_r)
2227                 return numeric(results[n/2-1]);
2228
2229         results.reserve(n/2);
2230         for (unsigned p=next_r; p<=n;  p+=2) {
2231                 cln::cl_I  c = 1;  // seed for binomial coefficients
2232                 cln::cl_RA b = cln::cl_RA(p-1)/-2;
2233                 // The CLN manual says: "The conversion from `unsigned int' works only
2234                 // if the argument is < 2^29" (This is for 32 Bit machines. More
2235                 // generally, cl_value_len is the limiting exponent of 2. We must make
2236                 // sure that no intermediates are created which exceed this value. The
2237                 // largest intermediate is (p+3-2*k)*(p/2-k+1) <= (p^2+p)/2.
2238                 if (p < (1UL<<cl_value_len/2)) {
2239                         for (unsigned k=1; k<=p/2-1; ++k) {
2240                                 c = cln::exquo(c * ((p+3-2*k) * (p/2-k+1)), (2*k-1)*k);
2241                                 b = b + c*results[k-1];
2242                         }
2243                 } else {
2244                         for (unsigned k=1; k<=p/2-1; ++k) {
2245                                 c = cln::exquo((c * (p+3-2*k)) * (p/2-k+1), cln::cl_I(2*k-1)*k);
2246                                 b = b + c*results[k-1];
2247                         }
2248                 }
2249                 results.push_back(-b/(p+1));
2250         }
2251         next_r = n+2;
2252         return numeric(results[n/2-1]);
2253 }
2254
2255
2256 /** Fibonacci number.  The nth Fibonacci number F(n) is defined by the
2257  *  recurrence formula F(n)==F(n-1)+F(n-2) with F(0)==0 and F(1)==1.
2258  *
2259  *  @param n an integer
2260  *  @return the nth Fibonacci number F(n) (an integer number)
2261  *  @exception range_error (argument must be an integer) */
2262 const numeric fibonacci(const numeric &n)
2263 {
2264         if (!n.is_integer())
2265                 throw std::range_error("numeric::fibonacci(): argument must be integer");
2266         // Method:
2267         //
2268         // The following addition formula holds:
2269         //
2270         //      F(n+m)   = F(m-1)*F(n) + F(m)*F(n+1)  for m >= 1, n >= 0.
2271         //
2272         // (Proof: For fixed m, the LHS and the RHS satisfy the same recurrence
2273         // w.r.t. n, and the initial values (n=0, n=1) agree. Hence all values
2274         // agree.)
2275         // Replace m by m+1:
2276         //      F(n+m+1) = F(m)*F(n) + F(m+1)*F(n+1)      for m >= 0, n >= 0
2277         // Now put in m = n, to get
2278         //      F(2n) = (F(n+1)-F(n))*F(n) + F(n)*F(n+1) = F(n)*(2*F(n+1) - F(n))
2279         //      F(2n+1) = F(n)^2 + F(n+1)^2
2280         // hence
2281         //      F(2n+2) = F(n+1)*(2*F(n) + F(n+1))
2282         if (n.is_zero())
2283                 return *_num0_p;
2284         if (n.is_negative()) {
2285                 if (n.is_even()) {
2286                         return -fibonacci(-n);
2287                 }
2288                 else {
2289                         return fibonacci(-n);
2290                 }
2291         }
2292
2293         cln::cl_I u(0);
2294         cln::cl_I v(1);
2295         cln::cl_I m = cln::the<cln::cl_I>(n.to_cl_N()) >> 1L;  // floor(n/2);
2296         for (uintL bit=cln::integer_length(m); bit>0; --bit) {
2297                 // Since a squaring is cheaper than a multiplication, better use
2298                 // three squarings instead of one multiplication and two squarings.
2299                 cln::cl_I u2 = cln::square(u);
2300                 cln::cl_I v2 = cln::square(v);
2301                 if (cln::logbitp(bit-1, m)) {
2302                         v = cln::square(u + v) - u2;
2303                         u = u2 + v2;
2304                 } else {
2305                         u = v2 - cln::square(v - u);
2306                         v = u2 + v2;
2307                 }
2308         }
2309         if (n.is_even())
2310                 // Here we don't use the squaring formula because one multiplication
2311                 // is cheaper than two squarings.
2312                 return numeric(u * ((v << 1) - u));
2313         else
2314                 return numeric(cln::square(u) + cln::square(v));
2315 }
2316
2317
2318 /** Absolute value. */
2319 const numeric abs(const numeric& x)
2320 {
2321         return numeric(cln::abs(x.to_cl_N()));
2322 }
2323
2324
2325 /** Modulus (in positive representation).
2326  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and rem(a,b) has the
2327  *  sign of a or is zero. This is different from Maple's modp, where the sign
2328  *  of b is ignored. It is in agreement with Mathematica's Mod.
2329  *
2330  *  @return a mod b in the range [0,abs(b)-1] with sign of b if both are
2331  *  integer, 0 otherwise. */
2332 const numeric mod(const numeric &a, const numeric &b)
2333 {
2334         if (a.is_integer() && b.is_integer())
2335                 return numeric(cln::mod(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2336                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())));
2337         else
2338                 return *_num0_p;
2339 }
2340
2341
2342 /** Modulus (in symmetric representation).
2343  *
2344  *  @return a mod b in the range [-iquo(abs(b),2), iquo(abs(b),2)]. */
2345 const numeric smod(const numeric &a_, const numeric &b_)
2346 {
2347         if (a_.is_integer() && b_.is_integer()) {
2348                 const cln::cl_I a = cln::the<cln::cl_I>(a_.to_cl_N());
2349                 const cln::cl_I b = cln::the<cln::cl_I>(b_.to_cl_N());
2350                 const cln::cl_I b2 = b >> 1;
2351                 const cln::cl_I m = cln::mod(a, b);
2352                 const cln::cl_I m_b = m - b;
2353                 const cln::cl_I ret = m > b2 ? m_b : m;
2354                 return numeric(ret);
2355         } else
2356                 return *_num0_p;
2357 }
2358
2359
2360 /** Numeric integer remainder.
2361  *  Equivalent to Maple's irem(a,b) as far as sign conventions are concerned.
2362  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and irem(a,b) has the
2363  *  sign of a or is zero.
2364  *
2365  *  @return remainder of a/b if both are integer, 0 otherwise.
2366  *  @exception overflow_error (division by zero) if b is zero. */
2367 const numeric irem(const numeric &a, const numeric &b)
2368 {
2369         if (b.is_zero())
2370                 throw std::overflow_error("numeric::irem(): division by zero");
2371         if (a.is_integer() && b.is_integer())
2372                 return numeric(cln::rem(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2373                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())));
2374         else
2375                 return *_num0_p;
2376 }
2377
2378
2379 /** Numeric integer remainder.
2380  *  Equivalent to Maple's irem(a,b,'q') it obeyes the relation
2381  *  irem(a,b,q) == a - q*b.  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero,
2382  *  and irem(a,b) has the sign of a or is zero.
2383  *
2384  *  @return remainder of a/b and quotient stored in q if both are integer,
2385  *  0 otherwise.
2386  *  @exception overflow_error (division by zero) if b is zero. */
2387 const numeric irem(const numeric &a, const numeric &b, numeric &q)
2388 {
2389         if (b.is_zero())
2390                 throw std::overflow_error("numeric::irem(): division by zero");
2391         if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
2392                 const cln::cl_I_div_t rem_quo = cln::truncate2(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2393                                                                cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
2394                 q = numeric(rem_quo.quotient);
2395                 return numeric(rem_quo.remainder);
2396         } else {
2397                 q = *_num0_p;
2398                 return *_num0_p;
2399         }
2400 }
2401
2402
2403 /** Numeric integer quotient.
2404  *  Equivalent to Maple's iquo as far as sign conventions are concerned.
2405  *
2406  *  @return truncated quotient of a/b if both are integer, 0 otherwise.
2407  *  @exception overflow_error (division by zero) if b is zero. */
2408 const numeric iquo(const numeric &a, const numeric &b)
2409 {
2410         if (b.is_zero())
2411                 throw std::overflow_error("numeric::iquo(): division by zero");
2412         if (a.is_integer() && b.is_integer())
2413                 return numeric(cln::truncate1(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2414                                   cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())));
2415         else
2416                 return *_num0_p;
2417 }
2418
2419
2420 /** Numeric integer quotient.
2421  *  Equivalent to Maple's iquo(a,b,'r') it obeyes the relation
2422  *  r == a - iquo(a,b,r)*b.
2423  *
2424  *  @return truncated quotient of a/b and remainder stored in r if both are
2425  *  integer, 0 otherwise.
2426  *  @exception overflow_error (division by zero) if b is zero. */
2427 const numeric iquo(const numeric &a, const numeric &b, numeric &r)
2428 {
2429         if (b.is_zero())
2430                 throw std::overflow_error("numeric::iquo(): division by zero");
2431         if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
2432                 const cln::cl_I_div_t rem_quo = cln::truncate2(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2433                                                                cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N()));
2434                 r = numeric(rem_quo.remainder);
2435                 return numeric(rem_quo.quotient);
2436         } else {
2437                 r = *_num0_p;
2438                 return *_num0_p;
2439         }
2440 }
2441
2442
2443 /** Greatest Common Divisor.
2444  *
2445  *  @return  The GCD of two numbers if both are integer, a numerical 1
2446  *  if they are not. */
2447 const numeric gcd(const numeric &a, const numeric &b)
2448 {
2449         if (a.is_integer() && b.is_integer())
2450                 return numeric(cln::gcd(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2451                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())));
2452         else
2453                 return *_num1_p;
2454 }
2455
2456
2457 /** Least Common Multiple.
2458  *
2459  *  @return  The LCM of two numbers if both are integer, the product of those
2460  *  two numbers if they are not. */
2461 const numeric lcm(const numeric &a, const numeric &b)
2462 {
2463         if (a.is_integer() && b.is_integer())
2464                 return numeric(cln::lcm(cln::the<cln::cl_I>(a.to_cl_N()),
2465                                 cln::the<cln::cl_I>(b.to_cl_N())));
2466         else
2467                 return a.mul(b);
2468 }
2469
2470
2471 /** Numeric square root.
2472  *  If possible, sqrt(x) should respect squares of exact numbers, i.e. sqrt(4)
2473  *  should return integer 2.
2474  *
2475  *  @param x numeric argument
2476  *  @return square root of x. Branch cut along negative real axis, the negative
2477  *  real axis itself where imag(x)==0 and real(x)<0 belongs to the upper part
2478  *  where imag(x)>0. */
2479 const numeric sqrt(const numeric &x)
2480 {
2481         return numeric(cln::sqrt(x.to_cl_N()));
2482 }
2483
2484
2485 /** Integer numeric square root. */
2486 const numeric isqrt(const numeric &x)
2487 {
2488         if (x.is_integer()) {
2489                 cln::cl_I root;
2490                 cln::isqrt(cln::the<cln::cl_I>(x.to_cl_N()), &root);
2491                 return numeric(root);
2492         } else
2493                 return *_num0_p;
2494 }
2495
2496
2497 /** Floating point evaluation of Archimedes' constant Pi. */
2498 ex PiEvalf()
2499 {
2500         return numeric(cln::pi(cln::default_float_format));
2501 }
2502
2503
2504 /** Floating point evaluation of Euler's constant gamma. */
2505 ex EulerEvalf()
2506 {
2507         return numeric(cln::eulerconst(cln::default_float_format));
2508 }
2509
2510
2511 /** Floating point evaluation of Catalan's constant. */
2512 ex CatalanEvalf()
2513 {
2514         return numeric(cln::catalanconst(cln::default_float_format));
2515 }
2516
2517
2518 /** _numeric_digits default ctor, checking for singleton invariance. */
2519 _numeric_digits::_numeric_digits()
2520   : digits(17)
2521 {
2522         // It initializes to 17 digits, because in CLN float_format(17) turns out
2523         // to be 61 (<64) while float_format(18)=65.  The reason is we want to
2524         // have a cl_LF instead of cl_SF, cl_FF or cl_DF.
2525         if (too_late)
2526                 throw(std::runtime_error("I told you not to do instantiate me!"));
2527         too_late = true;
2528         cln::default_float_format = cln::float_format(17);
2529
2530         // add callbacks for built-in functions
2531         // like ... add_callback(Li_lookuptable);
2532 }
2533
2534
2535 /** Assign a native long to global Digits object. */
2536 _numeric_digits& _numeric_digits::operator=(long prec)
2537 {
2538         long digitsdiff = prec - digits;
2539         digits = prec;
2540         cln::default_float_format = cln::float_format(prec);
2541
2542         // call registered callbacks
2543         for (auto it : callbacklist) {
2544                 (it)(digitsdiff);
2545         }
2546
2547         return *this;
2548 }
2549
2550
2551 /** Convert global Digits object to native type long. */
2552 _numeric_digits::operator long()
2553 {
2554         // BTW, this is approx. unsigned(cln::default_float_format*0.301)-1
2555         return (long)digits;
2556 }
2557
2558
2559 /** Append global Digits object to ostream. */
2560 void _numeric_digits::print(std::ostream &os) const
2561 {
2562         os << digits;
2563 }
2564
2565
2566 /** Add a new callback function. */
2567 void _numeric_digits::add_callback(digits_changed_callback callback)
2568 {
2569         callbacklist.push_back(callback);
2570 }
2571
2572
2573 std::ostream& operator<<(std::ostream &os, const _numeric_digits &e)
2574 {
2575         e.print(os);
2576         return os;
2577 }
2578
2579 //////////
2580 // static member variables
2581 //////////
2582
2583 // private
2584
2585 bool _numeric_digits::too_late = false;
2586
2587
2588 /** Accuracy in decimal digits.  Only object of this type!  Can be set using
2589  *  assignment from C++ unsigned ints and evaluated like any built-in type. */
2590 _numeric_digits Digits;
2591
2592 } // namespace GiNaC