ginac/numeric.cpp

   1 /** @file numeric.cpp
   2  *
   3  *  This file contains the interface to the underlying bignum package.
   4  *  Its most important design principle is to completely hide the inner
   5  *  working of that other package from the user of GiNaC.  It must either
   6  *  provide implementation of arithmetic operators and numerical evaluation
   7  *  of special functions or implement the interface to the bignum package. */
   8
   9 /*
  10  *  GiNaC Copyright (C) 1999 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  11  *
  12  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  13  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  14  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  15  *  (at your option) any later version.
  16  *
  17  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  18  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  19  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  20  *  GNU General Public License for more details.
  21  *
  22  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  23  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  24  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  25  */
  26
  27 #include <vector>
  28 #include <stdexcept>
  29
  30 #include "numeric.h"
  31 #include "ex.h"
  32 #include "config.h"
  33 #include "debugmsg.h"
  34
  35 // CLN should not pollute the global namespace, hence we include it here
  36 // instead of in some header file where it would propagate to other parts:
  37 #ifdef HAVE_CLN_CLN_H
  38 #include <CLN/cln.h>
  39 #else
  40 #include <cln.h>
  41 #endif
  42
  43 namespace GiNaC {
  44
  45 // linker has no problems finding text symbols for numerator or denominator
  46 //#define SANE_LINKER
  47
  48 //////////
  49 // default constructor, destructor, copy constructor assignment
  50 // operator and helpers
  51 //////////
  52
  53 // public
  54
  55 /** default ctor. Numerically it initializes to an integer zero. */
  56 numeric::numeric() : basic(TINFO_numeric)
  57 {
  58     debugmsg("numeric default constructor", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  59     value = new cl_N;
  60     *value=cl_I(0);
  61     calchash();
  62     setflag(status_flags::evaluated|
  63             status_flags::hash_calculated);
  64 }
  65
  66 numeric::~numeric()
  67 {
  68     debugmsg("numeric destructor" ,LOGLEVEL_DESTRUCT);
  69     destroy(0);
  70 }
  71
  72 numeric::numeric(numeric const & other)
  73 {
  74     debugmsg("numeric copy constructor", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  75     copy(other);
  76 }
  77
  78 numeric const & numeric::operator=(numeric const & other)
  79 {
  80     debugmsg("numeric operator=", LOGLEVEL_ASSIGNMENT);
  81     if (this != &other) {
  82         destroy(1);
  83         copy(other);
  84     }
  85     return *this;
  86 }
  87
  88 // protected
  89
  90 void numeric::copy(numeric const & other)
  91 {
  92     basic::copy(other);
  93     value = new cl_N(*other.value);
  94 }
  95
  96 void numeric::destroy(bool call_parent)
  97 {
  98     delete value;
  99     if (call_parent) basic::destroy(call_parent);
 100 }
 101
 102 //////////
 103 // other constructors
 104 //////////
 105
 106 // public
 107
 108 numeric::numeric(int i) : basic(TINFO_numeric)
 109 {
 110     debugmsg("numeric constructor from int",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 111     // Not the whole int-range is available if we don't cast to long
 112     // first. This is due to the behaviour of the cl_I-ctor, which
 113     // emphasizes efficiency:
 114     value = new cl_I((long) i);
 115     calchash();
 116     setflag(status_flags::evaluated|
 117             status_flags::hash_calculated);
 118 }
 119
 120 numeric::numeric(unsigned int i) : basic(TINFO_numeric)
 121 {
 122     debugmsg("numeric constructor from uint",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 123     // Not the whole uint-range is available if we don't cast to ulong
 124     // first. This is due to the behaviour of the cl_I-ctor, which
 125     // emphasizes efficiency:
 126     value = new cl_I((unsigned long)i);
 127     calchash();
 128     setflag(status_flags::evaluated|
 129             status_flags::hash_calculated);
 130 }
 131
 132 numeric::numeric(long i) : basic(TINFO_numeric)
 133 {
 134     debugmsg("numeric constructor from long",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 135     value = new cl_I(i);
 136     calchash();
 137     setflag(status_flags::evaluated|
 138             status_flags::hash_calculated);
 139 }
 140
 141 numeric::numeric(unsigned long i) : basic(TINFO_numeric)
 142 {
 143     debugmsg("numeric constructor from ulong",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 144     value = new cl_I(i);
 145     calchash();
 146     setflag(status_flags::evaluated|
 147             status_flags::hash_calculated);
 148 }
 149
 150 /** Ctor for rational numerics a/b.
 151  *
 152  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 153 numeric::numeric(long numer, long denom) : basic(TINFO_numeric)
 154 {
 155     debugmsg("numeric constructor from long/long",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 156     if (!denom)
 157         throw (std::overflow_error("division by zero"));
 158     value = new cl_I(numer);
 159     *value = *value / cl_I(denom);
 160     calchash();
 161     setflag(status_flags::evaluated|
 162             status_flags::hash_calculated);
 163 }
 164
 165 numeric::numeric(double d) : basic(TINFO_numeric)
 166 {
 167     debugmsg("numeric constructor from double",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 168     // We really want to explicitly use the type cl_LF instead of the
 169     // more general cl_F, since that would give us a cl_DF only which
 170     // will not be promoted to cl_LF if overflow occurs:
 171     value = new cl_N;
 172     *value = cl_float(d, cl_default_float_format);
 173     calchash();
 174     setflag(status_flags::evaluated|
 175             status_flags::hash_calculated);
 176 }
 177
 178 numeric::numeric(char const *s) : basic(TINFO_numeric)
 179 {   // MISSING: treatment of complex and ints and rationals.
 180     debugmsg("numeric constructor from string",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 181     if (strchr(s, '.'))
 182         value = new cl_LF(s);
 183     else
 184         value = new cl_I(s);
 185     calchash();
 186     setflag(status_flags::evaluated|
 187             status_flags::hash_calculated);
 188 }
 189
 190 /** Ctor from CLN types.  This is for the initiated user or internal use
 191  *  only. */
 192 numeric::numeric(cl_N const & z) : basic(TINFO_numeric)
 193 {
 194     debugmsg("numeric constructor from cl_N", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 195     value = new cl_N(z);
 196     calchash();
 197     setflag(status_flags::evaluated|
 198             status_flags::hash_calculated);
 199 }
 200
 201 //////////
 202 // functions overriding virtual functions from bases classes
 203 //////////
 204
 205 // public
 206
 207 basic * numeric::duplicate() const
 208 {
 209     debugmsg("numeric duplicate", LOGLEVEL_DUPLICATE);
 210     return new numeric(*this);
 211 }
 212
 213 // The method printraw doesn't do much, it simply uses CLN's operator<<() for
 214 // output, which is ugly but reliable. Examples:
 215 // 2+2i
 216 void numeric::printraw(ostream & os) const
 217 {
 218     debugmsg("numeric printraw", LOGLEVEL_PRINT);
 219     os << "numeric(" << *value << ")";
 220 }
 221
 222 // The method print adds to the output so it blends more consistently together
 223 // with the other routines and produces something compatible to Maple input.
 224 void numeric::print(ostream & os, unsigned upper_precedence) const
 225 {
 226     debugmsg("numeric print", LOGLEVEL_PRINT);
 227     if (is_real()) {
 228         // case 1, real:  x  or  -x
 229         if ((precedence<=upper_precedence) && (!is_pos_integer())) {
 230             os << "(" << *value << ")";
 231         } else {
 232             os << *value;
 233         }
 234     } else {
 235         // case 2, imaginary:  y*I  or  -y*I
 236         if (realpart(*value) == 0) {
 237             if ((precedence<=upper_precedence) && (imagpart(*value) < 0)) {
 238                 if (imagpart(*value) == -1) {
 239                     os << "(-I)";
 240                 } else {
 241                     os << "(" << imagpart(*value) << "*I)";
 242                 }
 243             } else {
 244                 if (imagpart(*value) == 1) {
 245                     os << "I";
 246                 } else {
 247                     if (imagpart (*value) == -1) {
 248                         os << "-I";
 249                     } else {
 250                         os << imagpart(*value) << "*I";
 251                     }
 252                 }
 253             }
 254         } else {
 255             // case 3, complex:  x+y*I  or  x-y*I  or  -x+y*I  or  -x-y*I
 256             if (precedence <= upper_precedence) os << "(";
 257             os << realpart(*value);
 258             if (imagpart(*value) < 0) {
 259                 if (imagpart(*value) == -1) {
 260                     os << "-I";
 261                 } else {
 262                     os << imagpart(*value) << "*I";
 263                 }
 264             } else {
 265                 if (imagpart(*value) == 1) {
 266                     os << "+I";
 267                 } else {
 268                     os << "+" << imagpart(*value) << "*I";
 269                 }
 270             }
 271             if (precedence <= upper_precedence) os << ")";
 272         }
 273     }
 274 }
 275
 276 bool numeric::info(unsigned inf) const
 277 {
 278     switch (inf) {
 279     case info_flags::numeric:
 280     case info_flags::polynomial:
 281     case info_flags::rational_function:
 282         return true;
 283     case info_flags::real:
 284         return is_real();
 285     case info_flags::rational:
 286     case info_flags::rational_polynomial:
 287         return is_rational();
 288     case info_flags::integer:
 289     case info_flags::integer_polynomial:
 290         return is_integer();
 291     case info_flags::positive:
 292         return is_positive();
 293     case info_flags::negative:
 294         return is_negative();
 295     case info_flags::nonnegative:
 296         return compare(numZERO())>=0;
 297     case info_flags::posint:
 298         return is_pos_integer();
 299     case info_flags::negint:
 300         return is_integer() && (compare(numZERO())<0);
 301     case info_flags::nonnegint:
 302         return is_nonneg_integer();
 303     case info_flags::even:
 304         return is_even();
 305     case info_flags::odd:
 306         return is_odd();
 307     case info_flags::prime:
 308         return is_prime();
 309     }
 310     return false;
 311 }
 312
 313 /** Cast numeric into a floating-point object.  For example exact numeric(1) is
 314  *  returned as a 1.0000000000000000000000 and so on according to how Digits is
 315  *  currently set.
 316  *
 317  *  @param level  ignored, but needed for overriding basic::evalf.
 318  *  @return an ex-handle to a numeric. */
 319 ex numeric::evalf(int level) const
 320 {
 321     // level can safely be discarded for numeric objects.
 322     return numeric(cl_float(1.0, cl_default_float_format) * (*value));  // -> CLN
 323 }
 324
 325 // protected
 326
 327 int numeric::compare_same_type(basic const & other) const
 328 {
 329     ASSERT(is_exactly_of_type(other, numeric));
 330     numeric const & o = static_cast<numeric &>(const_cast<basic &>(other));
 331
 332     if (*value == *o.value) {
 333         return 0;
 334     }
 335
 336     return compare(o);
 337 }
 338
 339 bool numeric::is_equal_same_type(basic const & other) const
 340 {
 341     ASSERT(is_exactly_of_type(other,numeric));
 342     numeric const *o = static_cast<numeric const *>(&other);
 343
 344     return is_equal(*o);
 345 }
 346
 347 /*
 348 unsigned numeric::calchash(void) const
 349 {
 350     double d=to_double();
 351     int s=d>0 ? 1 : -1;
 352     d=fabs(d);
 353     if (d>0x07FF0000) {
 354         d=0x07FF0000;
 355     }
 356     return 0x88000000U+s*unsigned(d/0x07FF0000);
 357 }
 358 */
 359
 360
 361 //////////
 362 // new virtual functions which can be overridden by derived classes
 363 //////////
 364
 365 // none
 366
 367 //////////
 368 // non-virtual functions in this class
 369 //////////
 370
 371 // public
 372
 373 /** Numerical addition method.  Adds argument to *this and returns result as
 374  *  a new numeric object. */
 375 numeric numeric::add(numeric const & other) const
 376 {
 377     return numeric((*value)+(*other.value));
 378 }
 379
 380 /** Numerical subtraction method.  Subtracts argument from *this and returns
 381  *  result as a new numeric object. */
 382 numeric numeric::sub(numeric const & other) const
 383 {
 384     return numeric((*value)-(*other.value));
 385 }
 386
 387 /** Numerical multiplication method.  Multiplies *this and argument and returns
 388  *  result as a new numeric object. */
 389 numeric numeric::mul(numeric const & other) const
 390 {
 391     static const numeric * numONEp=&numONE();
 392     if (this==numONEp) {
 393         return other;
 394     } else if (&other==numONEp) {
 395         return *this;
 396     }
 397     return numeric((*value)*(*other.value));
 398 }
 399
 400 /** Numerical division method.  Divides *this by argument and returns result as
 401  *  a new numeric object.
 402  *
 403  *  @exception overflow_error (division by zero) */
 404 numeric numeric::div(numeric const & other) const
 405 {
 406     if (zerop(*other.value))
 407         throw (std::overflow_error("division by zero"));
 408     return numeric((*value)/(*other.value));
 409 }
 410
 411 numeric numeric::power(numeric const & other) const
 412 {
 413     static const numeric * numONEp=&numONE();
 414     if (&other==numONEp) {
 415         return *this;
 416     }
 417     if (zerop(*value) && other.is_real() && minusp(realpart(*other.value)))
 418         throw (std::overflow_error("division by zero"));
 419     return numeric(expt(*value,*other.value));
 420 }
 421
 422 /** Inverse of a number. */
 423 numeric numeric::inverse(void) const
 424 {
 425     return numeric(recip(*value));  // -> CLN
 426 }
 427
 428 numeric const & numeric::add_dyn(numeric const & other) const
 429 {
 430     return static_cast<numeric const &>((new numeric((*value)+(*other.value)))->
 431                                         setflag(status_flags::dynallocated));
 432 }
 433
 434 numeric const & numeric::sub_dyn(numeric const & other) const
 435 {
 436     return static_cast<numeric const &>((new numeric((*value)-(*other.value)))->
 437                                         setflag(status_flags::dynallocated));
 438 }
 439
 440 numeric const & numeric::mul_dyn(numeric const & other) const
 441 {
 442     static const numeric * numONEp=&numONE();
 443     if (this==numONEp) {
 444         return other;
 445     } else if (&other==numONEp) {
 446         return *this;
 447     }
 448     return static_cast<numeric const &>((new numeric((*value)*(*other.value)))->
 449                                         setflag(status_flags::dynallocated));
 450 }
 451
 452 numeric const & numeric::div_dyn(numeric const & other) const
 453 {
 454     if (zerop(*other.value))
 455         throw (std::overflow_error("division by zero"));
 456     return static_cast<numeric const &>((new numeric((*value)/(*other.value)))->
 457                                         setflag(status_flags::dynallocated));
 458 }
 459
 460 numeric const & numeric::power_dyn(numeric const & other) const
 461 {
 462     static const numeric * numONEp=&numONE();
 463     if (&other==numONEp) {
 464         return *this;
 465     }
 466     // The ifs are only a workaround for a bug in CLN. It gets stuck otherwise:
 467     if ( !other.is_integer() &&
 468          other.is_rational() &&
 469          (*this).is_nonneg_integer() ) {
 470         if ( !zerop(*value) ) {
 471             return static_cast<numeric const &>((new numeric(exp(*other.value * log(*value))))->
 472                                                 setflag(status_flags::dynallocated));
 473         } else {
 474             if ( !zerop(*other.value) ) {  // 0^(n/m)
 475                 return static_cast<numeric const &>((new numeric(0))->
 476                                                     setflag(status_flags::dynallocated));
 477             } else {                       // raise FPE (0^0 requested)
 478                 return static_cast<numeric const &>((new numeric(1/(*other.value)))->
 479                                                     setflag(status_flags::dynallocated));
 480             }
 481         }
 482     } else {                               // default -> CLN
 483         return static_cast<numeric const &>((new numeric(expt(*value,*other.value)))->
 484                                             setflag(status_flags::dynallocated));
 485     }
 486 }
 487
 488 numeric const & numeric::operator=(int i)
 489 {
 490     return operator=(numeric(i));
 491 }
 492
 493 numeric const & numeric::operator=(unsigned int i)
 494 {
 495     return operator=(numeric(i));
 496 }
 497
 498 numeric const & numeric::operator=(long i)
 499 {
 500     return operator=(numeric(i));
 501 }
 502
 503 numeric const & numeric::operator=(unsigned long i)
 504 {
 505     return operator=(numeric(i));
 506 }
 507
 508 numeric const & numeric::operator=(double d)
 509 {
 510     return operator=(numeric(d));
 511 }
 512
 513 numeric const & numeric::operator=(char const * s)
 514 {
 515     return operator=(numeric(s));
 516 }
 517
 518 /** This method establishes a canonical order on all numbers.  For complex
 519  *  numbers this is not possible in a mathematically consistent way but we need
 520  *  to establish some order and it ought to be fast.  So we simply define it
 521  *  similar to Maple's csgn. */
 522 int numeric::compare(numeric const & other) const
 523 {
 524     // Comparing two real numbers?
 525     if (is_real() && other.is_real())
 526         // Yes, just compare them
 527         return cl_compare(The(cl_R)(*value), The(cl_R)(*other.value));
 528     else {
 529         // No, first compare real parts
 530         cl_signean real_cmp = cl_compare(realpart(*value), realpart(*other.value));
 531         if (real_cmp)
 532             return real_cmp;
 533
 534         return cl_compare(imagpart(*value), imagpart(*other.value));
 535     }
 536 }
 537
 538 bool numeric::is_equal(numeric const & other) const
 539 {
 540     return (*value == *other.value);
 541 }
 542
 543 /** True if object is zero. */
 544 bool numeric::is_zero(void) const
 545 {
 546     return zerop(*value);  // -> CLN
 547 }
 548
 549 /** True if object is not complex and greater than zero. */
 550 bool numeric::is_positive(void) const
 551 {
 552     if (is_real()) {
 553         return plusp(The(cl_R)(*value));  // -> CLN
 554     }
 555     return false;
 556 }
 557
 558 /** True if object is not complex and less than zero. */
 559 bool numeric::is_negative(void) const
 560 {
 561     if (is_real()) {
 562         return minusp(The(cl_R)(*value));  // -> CLN
 563     }
 564     return false;
 565 }
 566
 567 /** True if object is a non-complex integer. */
 568 bool numeric::is_integer(void) const
 569 {
 570     return (bool)instanceof(*value, cl_I_ring);  // -> CLN
 571 }
 572
 573 /** True if object is an exact integer greater than zero. */
 574 bool numeric::is_pos_integer(void) const
 575 {
 576     return (is_integer() &&
 577             plusp(The(cl_I)(*value)));  // -> CLN
 578 }
 579
 580 /** True if object is an exact integer greater or equal zero. */
 581 bool numeric::is_nonneg_integer(void) const
 582 {
 583     return (is_integer() &&
 584             !minusp(The(cl_I)(*value)));  // -> CLN
 585 }
 586
 587 /** True if object is an exact even integer. */
 588 bool numeric::is_even(void) const
 589 {
 590     return (is_integer() &&
 591             evenp(The(cl_I)(*value)));  // -> CLN
 592 }
 593
 594 /** True if object is an exact odd integer. */
 595 bool numeric::is_odd(void) const
 596 {
 597     return (is_integer() &&
 598             oddp(The(cl_I)(*value)));  // -> CLN
 599 }
 600
 601 /** Probabilistic primality test.
 602  *
 603  *  @return  true if object is exact integer and prime. */
 604 bool numeric::is_prime(void) const
 605 {
 606     return (is_integer() &&
 607             isprobprime(The(cl_I)(*value)));  // -> CLN
 608 }
 609
 610 /** True if object is an exact rational number, may even be complex
 611  *  (denominator may be unity). */
 612 bool numeric::is_rational(void) const
 613 {
 614     if (instanceof(*value, cl_RA_ring)) {
 615         return true;
 616     } else if (!is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 617         if ( instanceof(realpart(*value), cl_RA_ring) &&
 618              instanceof(imagpart(*value), cl_RA_ring) )
 619             return true;
 620     }
 621     return false;
 622 }
 623
 624 /** True if object is a real integer, rational or float (but not complex). */
 625 bool numeric::is_real(void) const
 626 {
 627     return (bool)instanceof(*value, cl_R_ring);  // -> CLN
 628 }
 629
 630 bool numeric::operator==(numeric const & other) const
 631 {
 632     return (*value == *other.value);  // -> CLN
 633 }
 634
 635 bool numeric::operator!=(numeric const & other) const
 636 {
 637     return (*value != *other.value);  // -> CLN
 638 }
 639
 640 /** Numerical comparison: less.
 641  *
 642  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 643 bool numeric::operator<(numeric const & other) const
 644 {
 645     if ( is_real() && other.is_real() ) {
 646         return (bool)(The(cl_R)(*value) < The(cl_R)(*other.value));  // -> CLN
 647     }
 648     throw (std::invalid_argument("numeric::operator<(): complex inequality"));
 649     return false;  // make compiler shut up
 650 }
 651
 652 /** Numerical comparison: less or equal.
 653  *
 654  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 655 bool numeric::operator<=(numeric const & other) const
 656 {
 657     if ( is_real() && other.is_real() ) {
 658         return (bool)(The(cl_R)(*value) <= The(cl_R)(*other.value));  // -> CLN
 659     }
 660     throw (std::invalid_argument("numeric::operator<=(): complex inequality"));
 661     return false;  // make compiler shut up
 662 }
 663
 664 /** Numerical comparison: greater.
 665  *
 666  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 667 bool numeric::operator>(numeric const & other) const
 668 {
 669     if ( is_real() && other.is_real() ) {
 670         return (bool)(The(cl_R)(*value) > The(cl_R)(*other.value));  // -> CLN
 671     }
 672     throw (std::invalid_argument("numeric::operator>(): complex inequality"));
 673     return false;  // make compiler shut up
 674 }
 675
 676 /** Numerical comparison: greater or equal.
 677  *
 678  *  @exception invalid_argument (complex inequality) */
 679 bool numeric::operator>=(numeric const & other) const
 680 {
 681     if ( is_real() && other.is_real() ) {
 682         return (bool)(The(cl_R)(*value) >= The(cl_R)(*other.value));  // -> CLN
 683     }
 684     throw (std::invalid_argument("numeric::operator>=(): complex inequality"));
 685     return false;  // make compiler shut up
 686 }
 687
 688 /** Converts numeric types to machine's int. You should check with is_integer()
 689  *  if the number is really an integer before calling this method. */
 690 int numeric::to_int(void) const
 691 {
 692     ASSERT(is_integer());
 693     return cl_I_to_int(The(cl_I)(*value));
 694 }
 695
 696 /** Converts numeric types to machine's double. You should check with is_real()
 697  *  if the number is really not complex before calling this method. */
 698 double numeric::to_double(void) const
 699 {
 700     ASSERT(is_real());
 701     return cl_double_approx(realpart(*value));
 702 }
 703
 704 /** Real part of a number. */
 705 numeric numeric::real(void) const
 706 {
 707     return numeric(realpart(*value));  // -> CLN
 708 }
 709
 710 /** Imaginary part of a number. */
 711 numeric numeric::imag(void) const
 712 {
 713     return numeric(imagpart(*value));  // -> CLN
 714 }
 715
 716 #ifndef SANE_LINKER
 717 // Unfortunately, CLN did not provide an official way to access the numerator
 718 // or denominator of a rational number (cl_RA). Doing some excavations in CLN
 719 // one finds how it works internally in src/rational/cl_RA.h:
 720 struct cl_heap_ratio : cl_heap {
 721     cl_I numerator;
 722     cl_I denominator;
 723 };
 724
 725 inline cl_heap_ratio* TheRatio (const cl_N& obj)
 726 { return (cl_heap_ratio*)(obj.pointer); }
 727 #endif // ndef SANE_LINKER
 728
 729 /** Numerator.  Computes the numerator of rational numbers, rationalized
 730  *  numerator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
 731  *  (i.e numer(4/3+5/6*I) == 8+5*I), the number itself in all other cases. */
 732 numeric numeric::numer(void) const
 733 {
 734     if (is_integer()) {
 735         return numeric(*this);
 736     }
 737 #ifdef SANE_LINKER
 738     else if (instanceof(*value, cl_RA_ring)) {
 739         return numeric(numerator(The(cl_RA)(*value)));
 740     }
 741     else if (!is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 742         cl_R r = realpart(*value);
 743         cl_R i = imagpart(*value);
 744         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 745             return numeric(*this);
 746         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 747             return numeric(complex(r*denominator(The(cl_RA)(i)), numerator(The(cl_RA)(i))));
 748         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 749             return numeric(complex(numerator(The(cl_RA)(r)), i*denominator(The(cl_RA)(r))));
 750         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring)) {
 751             cl_I s = lcm(denominator(The(cl_RA)(r)), denominator(The(cl_RA)(i)));
 752             return numeric(complex(numerator(The(cl_RA)(r))*(exquo(s,denominator(The(cl_RA)(r)))),
 753                                    numerator(The(cl_RA)(i))*(exquo(s,denominator(The(cl_RA)(i))))));
 754         }
 755     }
 756 #else
 757     else if (instanceof(*value, cl_RA_ring)) {
 758         return numeric(TheRatio(*value)->numerator);
 759     }
 760     else if (!is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 761         cl_R r = realpart(*value);
 762         cl_R i = imagpart(*value);
 763         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 764             return numeric(*this);
 765         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 766             return numeric(complex(r*TheRatio(i)->denominator, TheRatio(i)->numerator));
 767         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 768             return numeric(complex(TheRatio(r)->numerator, i*TheRatio(r)->denominator));
 769         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring)) {
 770             cl_I s = lcm(TheRatio(r)->denominator, TheRatio(i)->denominator);
 771             return numeric(complex(TheRatio(r)->numerator*(exquo(s,TheRatio(r)->denominator)),
 772                                    TheRatio(i)->numerator*(exquo(s,TheRatio(i)->denominator))));
 773         }
 774     }
 775 #endif // def SANE_LINKER
 776     // at least one float encountered
 777     return numeric(*this);
 778 }
 779
 780 /** Denominator.  Computes the denominator of rational numbers, common integer
 781  *  denominator of complex if real and imaginary part are both rational numbers
 782  *  (i.e denom(4/3+5/6*I) == 6), one in all other cases. */
 783 numeric numeric::denom(void) const
 784 {
 785     if (is_integer()) {
 786         return numONE();
 787     }
 788 #ifdef SANE_LINKER
 789     if (instanceof(*value, cl_RA_ring)) {
 790         return numeric(denominator(The(cl_RA)(*value)));
 791     }
 792     if (!is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 793         cl_R r = realpart(*value);
 794         cl_R i = imagpart(*value);
 795         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 796             return numONE();
 797         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 798             return numeric(denominator(The(cl_RA)(i)));
 799         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 800             return numeric(denominator(The(cl_RA)(r)));
 801         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 802             return numeric(lcm(denominator(The(cl_RA)(r)), denominator(The(cl_RA)(i))));
 803     }
 804 #else
 805     if (instanceof(*value, cl_RA_ring)) {
 806         return numeric(TheRatio(*value)->denominator);
 807     }
 808     if (!is_real()) {  // complex case, handle Q(i):
 809         cl_R r = realpart(*value);
 810         cl_R i = imagpart(*value);
 811         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 812             return numONE();
 813         if (instanceof(r, cl_I_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 814             return numeric(TheRatio(i)->denominator);
 815         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_I_ring))
 816             return numeric(TheRatio(r)->denominator);
 817         if (instanceof(r, cl_RA_ring) && instanceof(i, cl_RA_ring))
 818             return numeric(lcm(TheRatio(r)->denominator, TheRatio(i)->denominator));
 819     }
 820 #endif // def SANE_LINKER
 821     // at least one float encountered
 822     return numONE();
 823 }
 824
 825 /** Size in binary notation.  For integers, this is the smallest n >= 0 such
 826  *  that -2^n <= x < 2^n. If x > 0, this is the unique n > 0 such that
 827  *  2^(n-1) <= x < 2^n.
 828  *
 829  *  @return  number of bits (excluding sign) needed to represent that number
 830  *  in two's complement if it is an integer, 0 otherwise. */
 831 int numeric::int_length(void) const
 832 {
 833     if (is_integer()) {
 834         return integer_length(The(cl_I)(*value));  // -> CLN
 835     } else {
 836         return 0;
 837     }
 838 }
 839
 840
 841 //////////
 842 // static member variables
 843 //////////
 844
 845 // protected
 846
 847 unsigned numeric::precedence = 30;
 848
 849 //////////
 850 // global constants
 851 //////////
 852
 853 const numeric some_numeric;
 854 type_info const & typeid_numeric=typeid(some_numeric);
 855 /** Imaginary unit.  This is not a constant but a numeric since we are
 856  *  natively handing complex numbers anyways. */
 857 const numeric I = numeric(complex(cl_I(0),cl_I(1)));
 858
 859 //////////
 860 // global functions
 861 //////////
 862
 863 numeric const & numZERO(void)
 864 {
 865     const static ex eZERO = ex((new numeric(0))->setflag(status_flags::dynallocated));
 866     const static numeric * nZERO = static_cast<const numeric *>(eZERO.bp);
 867     return *nZERO;
 868 }
 869
 870 numeric const & numONE(void)
 871 {
 872     const static ex eONE = ex((new numeric(1))->setflag(status_flags::dynallocated));
 873     const static numeric * nONE = static_cast<const numeric *>(eONE.bp);
 874     return *nONE;
 875 }
 876
 877 numeric const & numTWO(void)
 878 {
 879     const static ex eTWO = ex((new numeric(2))->setflag(status_flags::dynallocated));
 880     const static numeric * nTWO = static_cast<const numeric *>(eTWO.bp);
 881     return *nTWO;
 882 }
 883
 884 numeric const & numTHREE(void)
 885 {
 886     const static ex eTHREE = ex((new numeric(3))->setflag(status_flags::dynallocated));
 887     const static numeric * nTHREE = static_cast<const numeric *>(eTHREE.bp);
 888     return *nTHREE;
 889 }
 890
 891 numeric const & numMINUSONE(void)
 892 {
 893     const static ex eMINUSONE = ex((new numeric(-1))->setflag(status_flags::dynallocated));
 894     const static numeric * nMINUSONE = static_cast<const numeric *>(eMINUSONE.bp);
 895     return *nMINUSONE;
 896 }
 897
 898 numeric const & numHALF(void)
 899 {
 900     const static ex eHALF = ex((new numeric(1, 2))->setflag(status_flags::dynallocated));
 901     const static numeric * nHALF = static_cast<const numeric *>(eHALF.bp);
 902     return *nHALF;
 903 }
 904
 905 /** Exponential function.
 906  *
 907  *  @return  arbitrary precision numerical exp(x). */
 908 numeric exp(numeric const & x)
 909 {
 910     return ::exp(*x.value);  // -> CLN
 911 }
 912
 913 /** Natural logarithm.
 914  *
 915  *  @param z complex number
 916  *  @return  arbitrary precision numerical log(x).
 917  *  @exception overflow_error (logarithmic singularity) */
 918 numeric log(numeric const & z)
 919 {
 920     if (z.is_zero())
 921         throw (std::overflow_error("log(): logarithmic singularity"));
 922     return ::log(*z.value);  // -> CLN
 923 }
 924
 925 /** Numeric sine (trigonometric function).
 926  *
 927  *  @return  arbitrary precision numerical sin(x). */
 928 numeric sin(numeric const & x)
 929 {
 930     return ::sin(*x.value);  // -> CLN
 931 }
 932
 933 /** Numeric cosine (trigonometric function).
 934  *
 935  *  @return  arbitrary precision numerical cos(x). */
 936 numeric cos(numeric const & x)
 937 {
 938     return ::cos(*x.value);  // -> CLN
 939 }
 940
 941 /** Numeric tangent (trigonometric function).
 942  *
 943  *  @return  arbitrary precision numerical tan(x). */
 944 numeric tan(numeric const & x)
 945 {
 946     return ::tan(*x.value);  // -> CLN
 947 }
 948
 949 /** Numeric inverse sine (trigonometric function).
 950  *
 951  *  @return  arbitrary precision numerical asin(x). */
 952 numeric asin(numeric const & x)
 953 {
 954     return ::asin(*x.value);  // -> CLN
 955 }
 956
 957 /** Numeric inverse cosine (trigonometric function).
 958  *
 959  *  @return  arbitrary precision numerical acos(x). */
 960 numeric acos(numeric const & x)
 961 {
 962     return ::acos(*x.value);  // -> CLN
 963 }
 964
 965 /** Arcustangents.
 966  *
 967  *  @param z complex number
 968  *  @return atan(z)
 969  *  @exception overflow_error (logarithmic singularity) */
 970 numeric atan(numeric const & x)
 971 {
 972     if (!x.is_real() &&
 973         x.real().is_zero() &&
 974         !abs(x.imag()).is_equal(numONE()))
 975         throw (std::overflow_error("atan(): logarithmic singularity"));
 976     return ::atan(*x.value);  // -> CLN
 977 }
 978
 979 /** Arcustangents.
 980  *
 981  *  @param x real number
 982  *  @param y real number
 983  *  @return atan(y/x) */
 984 numeric atan(numeric const & y, numeric const & x)
 985 {
 986     if (x.is_real() && y.is_real())
 987         return ::atan(realpart(*x.value), realpart(*y.value));  // -> CLN
 988     else
 989         throw (std::invalid_argument("numeric::atan(): complex argument"));
 990 }
 991
 992 /** Numeric hyperbolic sine (trigonometric function).
 993  *
 994  *  @return  arbitrary precision numerical sinh(x). */
 995 numeric sinh(numeric const & x)
 996 {
 997     return ::sinh(*x.value);  // -> CLN
 998 }
 999
1000 /** Numeric hyperbolic cosine (trigonometric function).
1001  *
1002  *  @return  arbitrary precision numerical cosh(x). */
1003 numeric cosh(numeric const & x)
1004 {
1005     return ::cosh(*x.value);  // -> CLN
1006 }
1007
1008 /** Numeric hyperbolic tangent (trigonometric function).
1009  *
1010  *  @return  arbitrary precision numerical tanh(x). */
1011 numeric tanh(numeric const & x)
1012 {
1013     return ::tanh(*x.value);  // -> CLN
1014 }
1015
1016 /** Numeric inverse hyperbolic sine (trigonometric function).
1017  *
1018  *  @return  arbitrary precision numerical asinh(x). */
1019 numeric asinh(numeric const & x)
1020 {
1021     return ::asinh(*x.value);  // -> CLN
1022 }
1023
1024 /** Numeric inverse hyperbolic cosine (trigonometric function).
1025  *
1026  *  @return  arbitrary precision numerical acosh(x). */
1027 numeric acosh(numeric const & x)
1028 {
1029     return ::acosh(*x.value);  // -> CLN
1030 }
1031
1032 /** Numeric inverse hyperbolic tangent (trigonometric function).
1033  *
1034  *  @return  arbitrary precision numerical atanh(x). */
1035 numeric atanh(numeric const & x)
1036 {
1037     return ::atanh(*x.value);  // -> CLN
1038 }
1039
1040 /** The gamma function.
1041  *  stub stub stub stub stub stub! */
1042 numeric gamma(numeric const & x)
1043 {
1044     clog << "gamma(): Nobody expects the Spanish inquisition" << endl;
1045     return numeric(0);
1046 }
1047
1048 /** Factorial combinatorial function.
1049  *
1050  *  @exception range_error (argument must be integer >= 0) */
1051 numeric factorial(numeric const & nn)
1052 {
1053     if ( !nn.is_nonneg_integer() ) {
1054         throw (std::range_error("numeric::factorial(): argument must be integer >= 0"));
1055     }
1056
1057     return numeric(::factorial(nn.to_int()));  // -> CLN
1058 }
1059
1060 /** The double factorial combinatorial function.  (Scarcely used, but still
1061  *  useful in cases, like for exact results of Gamma(n+1/2) for instance.)
1062  *
1063  *  @param n  integer argument >= -1
1064  *  @return n!! == n * (n-2) * (n-4) * ... * ({1|2}) with 0!! == 1 == (-1)!!
1065  *  @exception range_error (argument must be integer >= -1) */
1066 numeric doublefactorial(numeric const & nn)
1067 {
1068     // We store the results separately for even and odd arguments.  This has
1069     // the advantage that we don't have to compute any even result at all if
1070     // the function is always called with odd arguments and vice versa.  There
1071     // is no tradeoff involved in this, it is guaranteed to save time as well
1072     // as memory.  (If this is not enough justification consider the Gamma
1073     // function of half integer arguments: it only needs odd doublefactorials.)
1074     static vector<numeric> evenresults;
1075     static int highest_evenresult = -1;
1076     static vector<numeric> oddresults;
1077     static int highest_oddresult = -1;
1078
1079     if ( nn == numeric(-1) ) {
1080         return numONE();
1081     }
1082     if ( !nn.is_nonneg_integer() ) {
1083         throw (std::range_error("numeric::doublefactorial(): argument must be integer >= -1"));
1084     }
1085     if ( nn.is_even() ) {
1086         int n = nn.div(numTWO()).to_int();
1087         if ( n <= highest_evenresult ) {
1088             return evenresults[n];
1089         }
1090         if ( evenresults.capacity() < (unsigned)(n+1) ) {
1091             evenresults.reserve(n+1);
1092         }
1093         if ( highest_evenresult < 0 ) {
1094             evenresults.push_back(numONE());
1095             highest_evenresult=0;
1096         }
1097         for (int i=highest_evenresult+1; i<=n; i++) {
1098             evenresults.push_back(numeric(evenresults[i-1].mul(numeric(i*2))));
1099         }
1100         highest_evenresult=n;
1101         return evenresults[n];
1102     } else {
1103         int n = nn.sub(numONE()).div(numTWO()).to_int();
1104         if ( n <= highest_oddresult ) {
1105             return oddresults[n];
1106         }
1107         if ( oddresults.capacity() < (unsigned)n ) {
1108             oddresults.reserve(n+1);
1109         }
1110         if ( highest_oddresult < 0 ) {
1111             oddresults.push_back(numONE());
1112             highest_oddresult=0;
1113         }
1114         for (int i=highest_oddresult+1; i<=n; i++) {
1115             oddresults.push_back(numeric(oddresults[i-1].mul(numeric(i*2+1))));
1116         }
1117         highest_oddresult=n;
1118         return oddresults[n];
1119     }
1120 }
1121
1122 /** The Binomial function. It computes the binomial coefficients. If the
1123  *  arguments are both nonnegative integers and 0 <= k <= n, then
1124  *  binomial(n, k) = n!/k!/(n-k)! which is the number of ways of choosing k
1125  *  objects from n distinct objects. If k > n, then binomial(n,k) returns 0. */
1126 numeric binomial(numeric const & n, numeric const & k)
1127 {
1128     if (n.is_nonneg_integer() && k.is_nonneg_integer()) {
1129         return numeric(::binomial(n.to_int(),k.to_int()));  // -> CLN
1130     } else {
1131         // should really be gamma(n+1)/(gamma(r+1)/gamma(n-r+1)
1132         return numeric(0);
1133     }
1134     // return factorial(n).div(factorial(k).mul(factorial(n.sub(k))));
1135 }
1136
1137 /** Absolute value. */
1138 numeric abs(numeric const & x)
1139 {
1140     return ::abs(*x.value);  // -> CLN
1141 }
1142
1143 /** Modulus (in positive representation).
1144  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and rem(a,b) has the
1145  *  sign of a or is zero. This is different from Maple's modp, where the sign
1146  *  of b is ignored. It is in agreement with Mathematica's Mod.
1147  *
1148  *  @return a mod b in the range [0,abs(b)-1] with sign of b if both are
1149  *  integer, 0 otherwise. */
1150 numeric mod(numeric const & a, numeric const & b)
1151 {
1152     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1153         return ::mod(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value));  // -> CLN
1154     }
1155     else {
1156         return numZERO();  // Throw?
1157     }
1158 }
1159
1160 /** Modulus (in symmetric representation).
1161  *  Equivalent to Maple's mods.
1162  *
1163  *  @return a mod b in the range [-iquo(abs(m)-1,2), iquo(abs(m),2)]. */
1164 numeric smod(numeric const & a, numeric const & b)
1165 {
1166     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1167         cl_I b2 = The(cl_I)(ceiling1(The(cl_I)(*b.value) / 2)) - 1;
1168         return ::mod(The(cl_I)(*a.value) + b2, The(cl_I)(*b.value)) - b2;
1169     } else {
1170         return numZERO();  // Throw?
1171     }
1172 }
1173
1174 /** Numeric integer remainder.
1175  *  Equivalent to Maple's irem(a,b) as far as sign conventions are concerned.
1176  *  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero, and irem(a,b) has the
1177  *  sign of a or is zero.
1178  *
1179  *  @return remainder of a/b if both are integer, 0 otherwise. */
1180 numeric irem(numeric const & a, numeric const & b)
1181 {
1182     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1183         return ::rem(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value));  // -> CLN
1184     }
1185     else {
1186         return numZERO();  // Throw?
1187     }
1188 }
1189
1190 /** Numeric integer remainder.
1191  *  Equivalent to Maple's irem(a,b,'q') it obeyes the relation
1192  *  irem(a,b,q) == a - q*b.  In general, mod(a,b) has the sign of b or is zero,
1193  *  and irem(a,b) has the sign of a or is zero.
1194  *
1195  *  @return remainder of a/b and quotient stored in q if both are integer,
1196  *  0 otherwise. */
1197 numeric irem(numeric const & a, numeric const & b, numeric & q)
1198 {
1199     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {  // -> CLN
1200         cl_I_div_t rem_quo = truncate2(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value));
1201         q = rem_quo.quotient;
1202         return rem_quo.remainder;
1203     }
1204     else {
1205         q = numZERO();
1206         return numZERO();  // Throw?
1207     }
1208 }
1209
1210 /** Numeric integer quotient.
1211  *  Equivalent to Maple's iquo as far as sign conventions are concerned.
1212  *
1213  *  @return truncated quotient of a/b if both are integer, 0 otherwise. */
1214 numeric iquo(numeric const & a, numeric const & b)
1215 {
1216     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {
1217         return truncate1(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value));  // -> CLN
1218     } else {
1219         return numZERO();  // Throw?
1220     }
1221 }
1222
1223 /** Numeric integer quotient.
1224  *  Equivalent to Maple's iquo(a,b,'r') it obeyes the relation
1225  *  r == a - iquo(a,b,r)*b.
1226  *
1227  *  @return truncated quotient of a/b and remainder stored in r if both are
1228  *  integer, 0 otherwise. */
1229 numeric iquo(numeric const & a, numeric const & b, numeric & r)
1230 {
1231     if (a.is_integer() && b.is_integer()) {  // -> CLN
1232         cl_I_div_t rem_quo = truncate2(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value));
1233         r = rem_quo.remainder;
1234         return rem_quo.quotient;
1235     } else {
1236         r = numZERO();
1237         return numZERO();  // Throw?
1238     }
1239 }
1240
1241 /** Numeric square root.
1242  *  If possible, sqrt(z) should respect squares of exact numbers, i.e. sqrt(4)
1243  *  should return integer 2.
1244  *
1245  *  @param z numeric argument
1246  *  @return square root of z. Branch cut along negative real axis, the negative
1247  *  real axis itself where imag(z)==0 and real(z)<0 belongs to the upper part
1248  *  where imag(z)>0. */
1249 numeric sqrt(numeric const & z)
1250 {
1251     return ::sqrt(*z.value);  // -> CLN
1252 }
1253
1254 /** Integer numeric square root. */
1255 numeric isqrt(numeric const & x)
1256 {
1257         if (x.is_integer()) {
1258                 cl_I root;
1259                 ::isqrt(The(cl_I)(*x.value), &root);    // -> CLN
1260                 return root;
1261         } else
1262                 return numZERO();  // Throw?
1263 }
1264
1265 /** Greatest Common Divisor.
1266  *
1267  *  @return  The GCD of two numbers if both are integer, a numerical 1
1268  *  if they are not. */
1269 numeric gcd(numeric const & a, numeric const & b)
1270 {
1271     if (a.is_integer() && b.is_integer())
1272         return ::gcd(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value)); // -> CLN
1273     else
1274         return numONE();
1275 }
1276
1277 /** Least Common Multiple.
1278  *
1279  *  @return  The LCM of two numbers if both are integer, the product of those
1280  *  two numbers if they are not. */
1281 numeric lcm(numeric const & a, numeric const & b)
1282 {
1283     if (a.is_integer() && b.is_integer())
1284         return ::lcm(The(cl_I)(*a.value), The(cl_I)(*b.value)); // -> CLN
1285     else
1286         return *a.value * *b.value;
1287 }
1288
1289 ex PiEvalf(void)
1290 {
1291     return numeric(cl_pi(cl_default_float_format));  // -> CLN
1292 }
1293
1294 ex EulerGammaEvalf(void)
1295 {
1296     return numeric(cl_eulerconst(cl_default_float_format));  // -> CLN
1297 }
1298
1299 ex CatalanEvalf(void)
1300 {
1301     return numeric(cl_catalanconst(cl_default_float_format));  // -> CLN
1302 }
1303
1304 // It initializes to 17 digits, because in CLN cl_float_format(17) turns out to
1305 // be 61 (<64) while cl_float_format(18)=65.  We want to have a cl_LF instead
1306 // of cl_SF, cl_FF or cl_DF but everything else is basically arbitrary.
1307 _numeric_digits::_numeric_digits()
1308     : digits(17)
1309 {
1310     assert(!too_late);
1311     too_late = true;
1312     cl_default_float_format = cl_float_format(17);
1313 }
1314
1315 _numeric_digits& _numeric_digits::operator=(long prec)
1316 {
1317     digits=prec;
1318     cl_default_float_format = cl_float_format(prec);
1319     return *this;
1320 }
1321
1322 _numeric_digits::operator long()
1323 {
1324     return (long)digits;
1325 }
1326
1327 void _numeric_digits::print(ostream & os) const
1328 {
1329     debugmsg("_numeric_digits print", LOGLEVEL_PRINT);
1330     os << digits;
1331 }
1332
1333 ostream& operator<<(ostream& os, _numeric_digits const & e)
1334 {
1335     e.print(os);
1336     return os;
1337 }
1338
1339 //////////
1340 // static member variables
1341 //////////
1342
1343 // private
1344
1345 bool _numeric_digits::too_late = false;
1346
1347 /** Accuracy in decimal digits.  Only object of this type!  Can be set using
1348  *  assignment from C++ unsigned ints and evaluated like any built-in type. */
1349 _numeric_digits Digits;
1350
1351 } // namespace GiNaC