ginac/normal.cpp

   1 /** @file normal.cpp
   2  *
   3  *  This file implements several functions that work on univariate and
   4  *  multivariate polynomials and rational functions.
   5  *  These functions include polynomial quotient and remainder, GCD and LCM
   6  *  computation, square-free factorization and rational function normalization. */
   7
   8 /*
   9  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  10  *
  11  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  12  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  13  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  14  *  (at your option) any later version.
  15  *
  16  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  17  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  18  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  19  *  GNU General Public License for more details.
  20  *
  21  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  22  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  23  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  24  */
  25
  26 #include <algorithm>
  27 #include <map>
  28
  29 #include "normal.h"
  30 #include "basic.h"
  31 #include "ex.h"
  32 #include "add.h"
  33 #include "constant.h"
  34 #include "expairseq.h"
  35 #include "fail.h"
  36 #include "inifcns.h"
  37 #include "lst.h"
  38 #include "mul.h"
  39 #include "numeric.h"
  40 #include "power.h"
  41 #include "relational.h"
  42 #include "operators.h"
  43 #include "matrix.h"
  44 #include "pseries.h"
  45 #include "symbol.h"
  46 #include "utils.h"
  47
  48 namespace GiNaC {
  49
  50 // If comparing expressions (ex::compare()) is fast, you can set this to 1.
  51 // Some routines like quo(), rem() and gcd() will then return a quick answer
  52 // when they are called with two identical arguments.
  53 #define FAST_COMPARE 1
  54
  55 // Set this if you want divide_in_z() to use remembering
  56 #define USE_REMEMBER 0
  57
  58 // Set this if you want divide_in_z() to use trial division followed by
  59 // polynomial interpolation (always slower except for completely dense
  60 // polynomials)
  61 #define USE_TRIAL_DIVISION 0
  62
  63 // Set this to enable some statistical output for the GCD routines
  64 #define STATISTICS 0
  65
  66
  67 #if STATISTICS
  68 // Statistics variables
  69 static int gcd_called = 0;
  70 static int sr_gcd_called = 0;
  71 static int heur_gcd_called = 0;
  72 static int heur_gcd_failed = 0;
  73
  74 // Print statistics at end of program
  75 static struct _stat_print {
  76         _stat_print() {}
  77         ~_stat_print() {
  78                 std::cout << "gcd() called " << gcd_called << " times\n";
  79                 std::cout << "sr_gcd() called " << sr_gcd_called << " times\n";
  80                 std::cout << "heur_gcd() called " << heur_gcd_called << " times\n";
  81                 std::cout << "heur_gcd() failed " << heur_gcd_failed << " times\n";
  82         }
  83 } stat_print;
  84 #endif
  85
  86
  87 /** Return pointer to first symbol found in expression.  Due to GiNaC's
  88  *  internal ordering of terms, it may not be obvious which symbol this
  89  *  function returns for a given expression.
  90  *
  91  *  @param e  expression to search
  92  *  @param x  first symbol found (returned)
  93  *  @return "false" if no symbol was found, "true" otherwise */
  94 static bool get_first_symbol(const ex &e, ex &x)
  95 {
  96         if (is_a<symbol>(e)) {
  97                 x = e;
  98                 return true;
  99         } else if (is_exactly_a<add>(e) || is_exactly_a<mul>(e)) {
 100                 for (size_t i=0; i<e.nops(); i++)
 101                         if (get_first_symbol(e.op(i), x))
 102                                 return true;
 103         } else if (is_exactly_a<power>(e)) {
 104                 if (get_first_symbol(e.op(0), x))
 105                         return true;
 106         }
 107         return false;
 108 }
 109
 110
 111 /*
 112  *  Statistical information about symbols in polynomials
 113  */
 114
 115 /** This structure holds information about the highest and lowest degrees
 116  *  in which a symbol appears in two multivariate polynomials "a" and "b".
 117  *  A vector of these structures with information about all symbols in
 118  *  two polynomials can be created with the function get_symbol_stats().
 119  *
 120  *  @see get_symbol_stats */
 121 struct sym_desc {
 122         /** Reference to symbol */
 123         ex sym;
 124
 125         /** Highest degree of symbol in polynomial "a" */
 126         int deg_a;
 127
 128         /** Highest degree of symbol in polynomial "b" */
 129         int deg_b;
 130
 131         /** Lowest degree of symbol in polynomial "a" */
 132         int ldeg_a;
 133
 134         /** Lowest degree of symbol in polynomial "b" */
 135         int ldeg_b;
 136
 137         /** Maximum of deg_a and deg_b (Used for sorting) */
 138         int max_deg;
 139
 140         /** Maximum number of terms of leading coefficient of symbol in both polynomials */
 141         size_t max_lcnops;
 142
 143         /** Commparison operator for sorting */
 144         bool operator<(const sym_desc &x) const
 145         {
 146                 if (max_deg == x.max_deg)
 147                         return max_lcnops < x.max_lcnops;
 148                 else
 149                         return max_deg < x.max_deg;
 150         }
 151 };
 152
 153 // Vector of sym_desc structures
 154 typedef std::vector<sym_desc> sym_desc_vec;
 155
 156 // Add symbol the sym_desc_vec (used internally by get_symbol_stats())
 157 static void add_symbol(const ex &s, sym_desc_vec &v)
 158 {
 159         sym_desc_vec::const_iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 160         while (it != itend) {
 161                 if (it->sym.is_equal(s))  // If it's already in there, don't add it a second time
 162                         return;
 163                 ++it;
 164         }
 165         sym_desc d;
 166         d.sym = s;
 167         v.push_back(d);
 168 }
 169
 170 // Collect all symbols of an expression (used internally by get_symbol_stats())
 171 static void collect_symbols(const ex &e, sym_desc_vec &v)
 172 {
 173         if (is_a<symbol>(e)) {
 174                 add_symbol(e, v);
 175         } else if (is_exactly_a<add>(e) || is_exactly_a<mul>(e)) {
 176                 for (size_t i=0; i<e.nops(); i++)
 177                         collect_symbols(e.op(i), v);
 178         } else if (is_exactly_a<power>(e)) {
 179                 collect_symbols(e.op(0), v);
 180         }
 181 }
 182
 183 /** Collect statistical information about symbols in polynomials.
 184  *  This function fills in a vector of "sym_desc" structs which contain
 185  *  information about the highest and lowest degrees of all symbols that
 186  *  appear in two polynomials. The vector is then sorted by minimum
 187  *  degree (lowest to highest). The information gathered by this
 188  *  function is used by the GCD routines to identify trivial factors
 189  *  and to determine which variable to choose as the main variable
 190  *  for GCD computation.
 191  *
 192  *  @param a  first multivariate polynomial
 193  *  @param b  second multivariate polynomial
 194  *  @param v  vector of sym_desc structs (filled in) */
 195 static void get_symbol_stats(const ex &a, const ex &b, sym_desc_vec &v)
 196 {
 197         collect_symbols(a.eval(), v);   // eval() to expand assigned symbols
 198         collect_symbols(b.eval(), v);
 199         sym_desc_vec::iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 200         while (it != itend) {
 201                 int deg_a = a.degree(it->sym);
 202                 int deg_b = b.degree(it->sym);
 203                 it->deg_a = deg_a;
 204                 it->deg_b = deg_b;
 205                 it->max_deg = std::max(deg_a, deg_b);
 206                 it->max_lcnops = std::max(a.lcoeff(it->sym).nops(), b.lcoeff(it->sym).nops());
 207                 it->ldeg_a = a.ldegree(it->sym);
 208                 it->ldeg_b = b.ldegree(it->sym);
 209                 ++it;
 210         }
 211         std::sort(v.begin(), v.end());
 212
 213 #if 0
 214         std::clog << "Symbols:\n";
 215         it = v.begin(); itend = v.end();
 216         while (it != itend) {
 217                 std::clog << " " << it->sym << ": deg_a=" << it->deg_a << ", deg_b=" << it->deg_b << ", ldeg_a=" << it->ldeg_a << ", ldeg_b=" << it->ldeg_b << ", max_deg=" << it->max_deg << ", max_lcnops=" << it->max_lcnops << endl;
 218                 std::clog << "  lcoeff_a=" << a.lcoeff(it->sym) << ", lcoeff_b=" << b.lcoeff(it->sym) << endl;
 219                 ++it;
 220         }
 221 #endif
 222 }
 223
 224
 225 /*
 226  *  Computation of LCM of denominators of coefficients of a polynomial
 227  */
 228
 229 // Compute LCM of denominators of coefficients by going through the
 230 // expression recursively (used internally by lcm_of_coefficients_denominators())
 231 static numeric lcmcoeff(const ex &e, const numeric &l)
 232 {
 233         if (e.info(info_flags::rational))
 234                 return lcm(ex_to<numeric>(e).denom(), l);
 235         else if (is_exactly_a<add>(e)) {
 236                 numeric c = _num1;
 237                 for (size_t i=0; i<e.nops(); i++)
 238                         c = lcmcoeff(e.op(i), c);
 239                 return lcm(c, l);
 240         } else if (is_exactly_a<mul>(e)) {
 241                 numeric c = _num1;
 242                 for (size_t i=0; i<e.nops(); i++)
 243                         c *= lcmcoeff(e.op(i), _num1);
 244                 return lcm(c, l);
 245         } else if (is_exactly_a<power>(e)) {
 246                 if (is_a<symbol>(e.op(0)))
 247                         return l;
 248                 else
 249                         return pow(lcmcoeff(e.op(0), l), ex_to<numeric>(e.op(1)));
 250         }
 251         return l;
 252 }
 253
 254 /** Compute LCM of denominators of coefficients of a polynomial.
 255  *  Given a polynomial with rational coefficients, this function computes
 256  *  the LCM of the denominators of all coefficients. This can be used
 257  *  to bring a polynomial from Q[X] to Z[X].
 258  *
 259  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 260  *  @return LCM of denominators of coefficients */
 261 static numeric lcm_of_coefficients_denominators(const ex &e)
 262 {
 263         return lcmcoeff(e, _num1);
 264 }
 265
 266 /** Bring polynomial from Q[X] to Z[X] by multiplying in the previously
 267  *  determined LCM of the coefficient's denominators.
 268  *
 269  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 270  *  @param lcm  LCM to multiply in */
 271 static ex multiply_lcm(const ex &e, const numeric &lcm)
 272 {
 273         if (is_exactly_a<mul>(e)) {
 274                 size_t num = e.nops();
 275                 exvector v; v.reserve(num + 1);
 276                 numeric lcm_accum = _num1;
 277                 for (size_t i=0; i<num; i++) {
 278                         numeric op_lcm = lcmcoeff(e.op(i), _num1);
 279                         v.push_back(multiply_lcm(e.op(i), op_lcm));
 280                         lcm_accum *= op_lcm;
 281                 }
 282                 v.push_back(lcm / lcm_accum);
 283                 return (new mul(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
 284         } else if (is_exactly_a<add>(e)) {
 285                 size_t num = e.nops();
 286                 exvector v; v.reserve(num);
 287                 for (size_t i=0; i<num; i++)
 288                         v.push_back(multiply_lcm(e.op(i), lcm));
 289                 return (new add(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
 290         } else if (is_exactly_a<power>(e)) {
 291                 if (is_a<symbol>(e.op(0)))
 292                         return e * lcm;
 293                 else
 294                         return pow(multiply_lcm(e.op(0), lcm.power(ex_to<numeric>(e.op(1)).inverse())), e.op(1));
 295         } else
 296                 return e * lcm;
 297 }
 298
 299
 300 /** Compute the integer content (= GCD of all numeric coefficients) of an
 301  *  expanded polynomial. For a polynomial with rational coefficients, this
 302  *  returns g/l where g is the GCD of the coefficients' numerators and l
 303  *  is the LCM of the coefficients' denominators.
 304  *
 305  *  @return integer content */
 306 numeric ex::integer_content() const
 307 {
 308         return bp->integer_content();
 309 }
 310
 311 numeric basic::integer_content() const
 312 {
 313         return _num1;
 314 }
 315
 316 numeric numeric::integer_content() const
 317 {
 318         return abs(*this);
 319 }
 320
 321 numeric add::integer_content() const
 322 {
 323         epvector::const_iterator it = seq.begin();
 324         epvector::const_iterator itend = seq.end();
 325         numeric c = _num0, l = _num1;
 326         while (it != itend) {
 327                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(it->rest));
 328                 GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(it->coeff));
 329                 c = gcd(ex_to<numeric>(it->coeff).numer(), c);
 330                 l = lcm(ex_to<numeric>(it->coeff).denom(), l);
 331                 it++;
 332         }
 333         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
 334         c = gcd(ex_to<numeric>(overall_coeff).numer(), c);
 335         l = lcm(ex_to<numeric>(overall_coeff).denom(), l);
 336         return c/l;
 337 }
 338
 339 numeric mul::integer_content() const
 340 {
 341 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 342         epvector::const_iterator it = seq.begin();
 343         epvector::const_iterator itend = seq.end();
 344         while (it != itend) {
 345                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(recombine_pair_to_ex(*it)));
 346                 ++it;
 347         }
 348 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 349         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
 350         return abs(ex_to<numeric>(overall_coeff));
 351 }
 352
 353
 354 /*
 355  *  Polynomial quotients and remainders
 356  */
 357
 358 /** Quotient q(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 359  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 360  *
 361  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 362  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 363  *  @param x  a and b are polynomials in x
 364  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 365  *         coefficients (defaults to "true")
 366  *  @return quotient of a and b in Q[x] */
 367 ex quo(const ex &a, const ex &b, const ex &x, bool check_args)
 368 {
 369         if (b.is_zero())
 370                 throw(std::overflow_error("quo: division by zero"));
 371         if (is_exactly_a<numeric>(a) && is_exactly_a<numeric>(b))
 372                 return a / b;
 373 #if FAST_COMPARE
 374         if (a.is_equal(b))
 375                 return _ex1;
 376 #endif
 377         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 378                 throw(std::invalid_argument("quo: arguments must be polynomials over the rationals"));
 379
 380         // Polynomial long division
 381         ex r = a.expand();
 382         if (r.is_zero())
 383                 return r;
 384         int bdeg = b.degree(x);
 385         int rdeg = r.degree(x);
 386         ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 387         bool blcoeff_is_numeric = is_exactly_a<numeric>(blcoeff);
 388         exvector v; v.reserve(std::max(rdeg - bdeg + 1, 0));
 389         while (rdeg >= bdeg) {
 390                 ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 391                 if (blcoeff_is_numeric)
 392                         term = rcoeff / blcoeff;
 393                 else {
 394                         if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 395                                 return (new fail())->setflag(status_flags::dynallocated);
 396                 }
 397                 term *= power(x, rdeg - bdeg);
 398                 v.push_back(term);
 399                 r -= (term * b).expand();
 400                 if (r.is_zero())
 401                         break;
 402                 rdeg = r.degree(x);
 403         }
 404         return (new add(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
 405 }
 406
 407
 408 /** Remainder r(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 409  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 410  *
 411  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 412  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 413  *  @param x  a and b are polynomials in x
 414  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 415  *         coefficients (defaults to "true")
 416  *  @return remainder of a(x) and b(x) in Q[x] */
 417 ex rem(const ex &a, const ex &b, const ex &x, bool check_args)
 418 {
 419         if (b.is_zero())
 420                 throw(std::overflow_error("rem: division by zero"));
 421         if (is_exactly_a<numeric>(a)) {
 422                 if  (is_exactly_a<numeric>(b))
 423                         return _ex0;
 424                 else
 425                         return a;
 426         }
 427 #if FAST_COMPARE
 428         if (a.is_equal(b))
 429                 return _ex0;
 430 #endif
 431         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 432                 throw(std::invalid_argument("rem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 433
 434         // Polynomial long division
 435         ex r = a.expand();
 436         if (r.is_zero())
 437                 return r;
 438         int bdeg = b.degree(x);
 439         int rdeg = r.degree(x);
 440         ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 441         bool blcoeff_is_numeric = is_exactly_a<numeric>(blcoeff);
 442         while (rdeg >= bdeg) {
 443                 ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 444                 if (blcoeff_is_numeric)
 445                         term = rcoeff / blcoeff;
 446                 else {
 447                         if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 448                                 return (new fail())->setflag(status_flags::dynallocated);
 449                 }
 450                 term *= power(x, rdeg - bdeg);
 451                 r -= (term * b).expand();
 452                 if (r.is_zero())
 453                         break;
 454                 rdeg = r.degree(x);
 455         }
 456         return r;
 457 }
 458
 459
 460 /** Decompose rational function a(x)=N(x)/D(x) into P(x)+n(x)/D(x)
 461  *  with degree(n, x) < degree(D, x).
 462  *
 463  *  @param a rational function in x
 464  *  @param x a is a function of x
 465  *  @return decomposed function. */
 466 ex decomp_rational(const ex &a, const ex &x)
 467 {
 468         ex nd = numer_denom(a);
 469         ex numer = nd.op(0), denom = nd.op(1);
 470         ex q = quo(numer, denom, x);
 471         if (is_exactly_a<fail>(q))
 472                 return a;
 473         else
 474                 return q + rem(numer, denom, x) / denom;
 475 }
 476
 477
 478 /** Pseudo-remainder of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 479  *
 480  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 481  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 482  *  @param x  a and b are polynomials in x
 483  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 484  *         coefficients (defaults to "true")
 485  *  @return pseudo-remainder of a(x) and b(x) in Q[x] */
 486 ex prem(const ex &a, const ex &b, const ex &x, bool check_args)
 487 {
 488         if (b.is_zero())
 489                 throw(std::overflow_error("prem: division by zero"));
 490         if (is_exactly_a<numeric>(a)) {
 491                 if (is_exactly_a<numeric>(b))
 492                         return _ex0;
 493                 else
 494                         return b;
 495         }
 496         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 497                 throw(std::invalid_argument("prem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 498
 499         // Polynomial long division
 500         ex r = a.expand();
 501         ex eb = b.expand();
 502         int rdeg = r.degree(x);
 503         int bdeg = eb.degree(x);
 504         ex blcoeff;
 505         if (bdeg <= rdeg) {
 506                 blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 507                 if (bdeg == 0)
 508                         eb = _ex0;
 509                 else
 510                         eb -= blcoeff * power(x, bdeg);
 511         } else
 512                 blcoeff = _ex1;
 513
 514         int delta = rdeg - bdeg + 1, i = 0;
 515         while (rdeg >= bdeg && !r.is_zero()) {
 516                 ex rlcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 517                 ex term = (power(x, rdeg - bdeg) * eb * rlcoeff).expand();
 518                 if (rdeg == 0)
 519                         r = _ex0;
 520                 else
 521                         r -= rlcoeff * power(x, rdeg);
 522                 r = (blcoeff * r).expand() - term;
 523                 rdeg = r.degree(x);
 524                 i++;
 525         }
 526         return power(blcoeff, delta - i) * r;
 527 }
 528
 529
 530 /** Sparse pseudo-remainder of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 531  *
 532  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 533  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 534  *  @param x  a and b are polynomials in x
 535  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 536  *         coefficients (defaults to "true")
 537  *  @return sparse pseudo-remainder of a(x) and b(x) in Q[x] */
 538 ex sprem(const ex &a, const ex &b, const ex &x, bool check_args)
 539 {
 540         if (b.is_zero())
 541                 throw(std::overflow_error("prem: division by zero"));
 542         if (is_exactly_a<numeric>(a)) {
 543                 if (is_exactly_a<numeric>(b))
 544                         return _ex0;
 545                 else
 546                         return b;
 547         }
 548         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 549                 throw(std::invalid_argument("prem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 550
 551         // Polynomial long division
 552         ex r = a.expand();
 553         ex eb = b.expand();
 554         int rdeg = r.degree(x);
 555         int bdeg = eb.degree(x);
 556         ex blcoeff;
 557         if (bdeg <= rdeg) {
 558                 blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 559                 if (bdeg == 0)
 560                         eb = _ex0;
 561                 else
 562                         eb -= blcoeff * power(x, bdeg);
 563         } else
 564                 blcoeff = _ex1;
 565
 566         while (rdeg >= bdeg && !r.is_zero()) {
 567                 ex rlcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 568                 ex term = (power(x, rdeg - bdeg) * eb * rlcoeff).expand();
 569                 if (rdeg == 0)
 570                         r = _ex0;
 571                 else
 572                         r -= rlcoeff * power(x, rdeg);
 573                 r = (blcoeff * r).expand() - term;
 574                 rdeg = r.degree(x);
 575         }
 576         return r;
 577 }
 578
 579
 580 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Q[X].
 581  *
 582  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 583  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 584  *  @param q  quotient (returned)
 585  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 586  *         coefficients (defaults to "true")
 587  *  @return "true" when exact division succeeds (quotient returned in q),
 588  *          "false" otherwise (q left untouched) */
 589 bool divide(const ex &a, const ex &b, ex &q, bool check_args)
 590 {
 591         if (b.is_zero())
 592                 throw(std::overflow_error("divide: division by zero"));
 593         if (a.is_zero()) {
 594                 q = _ex0;
 595                 return true;
 596         }
 597         if (is_exactly_a<numeric>(b)) {
 598                 q = a / b;
 599                 return true;
 600         } else if (is_exactly_a<numeric>(a))
 601                 return false;
 602 #if FAST_COMPARE
 603         if (a.is_equal(b)) {
 604                 q = _ex1;
 605                 return true;
 606         }
 607 #endif
 608         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) ||
 609                            !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 610                 throw(std::invalid_argument("divide: arguments must be polynomials over the rationals"));
 611
 612         // Find first symbol
 613         ex x;
 614         if (!get_first_symbol(a, x) && !get_first_symbol(b, x))
 615                 throw(std::invalid_argument("invalid expression in divide()"));
 616
 617         // Polynomial long division (recursive)
 618         ex r = a.expand();
 619         if (r.is_zero()) {
 620                 q = _ex0;
 621                 return true;
 622         }
 623         int bdeg = b.degree(x);
 624         int rdeg = r.degree(x);
 625         ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 626         bool blcoeff_is_numeric = is_exactly_a<numeric>(blcoeff);
 627         exvector v; v.reserve(std::max(rdeg - bdeg + 1, 0));
 628         while (rdeg >= bdeg) {
 629                 ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 630                 if (blcoeff_is_numeric)
 631                         term = rcoeff / blcoeff;
 632                 else
 633                         if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 634                                 return false;
 635                 term *= power(x, rdeg - bdeg);
 636                 v.push_back(term);
 637                 r -= (term * b).expand();
 638                 if (r.is_zero()) {
 639                         q = (new add(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
 640                         return true;
 641                 }
 642                 rdeg = r.degree(x);
 643         }
 644         return false;
 645 }
 646
 647
 648 #if USE_REMEMBER
 649 /*
 650  *  Remembering
 651  */
 652
 653 typedef std::pair<ex, ex> ex2;
 654 typedef std::pair<ex, bool> exbool;
 655
 656 struct ex2_less {
 657         bool operator() (const ex2 &p, const ex2 &q) const
 658         {
 659                 int cmp = p.first.compare(q.first);
 660                 return ((cmp<0) || (!(cmp>0) && p.second.compare(q.second)<0));
 661         }
 662 };
 663
 664 typedef std::map<ex2, exbool, ex2_less> ex2_exbool_remember;
 665 #endif
 666
 667
 668 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Z[X].
 669  *  This functions works like divide() but the input and output polynomials are
 670  *  in Z[X] instead of Q[X] (i.e. they have integer coefficients). Unlike
 671  *  divide(), it doesn't check whether the input polynomials really are integer
 672  *  polynomials, so be careful of what you pass in. Also, you have to run
 673  *  get_symbol_stats() over the input polynomials before calling this function
 674  *  and pass an iterator to the first element of the sym_desc vector. This
 675  *  function is used internally by the heur_gcd().
 676  *
 677  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 678  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 679  *  @param q  quotient (returned)
 680  *  @param var  iterator to first element of vector of sym_desc structs
 681  *  @return "true" when exact division succeeds (the quotient is returned in
 682  *          q), "false" otherwise.
 683  *  @see get_symbol_stats, heur_gcd */
 684 static bool divide_in_z(const ex &a, const ex &b, ex &q, sym_desc_vec::const_iterator var)
 685 {
 686         q = _ex0;
 687         if (b.is_zero())
 688                 throw(std::overflow_error("divide_in_z: division by zero"));
 689         if (b.is_equal(_ex1)) {
 690                 q = a;
 691                 return true;
 692         }
 693         if (is_exactly_a<numeric>(a)) {
 694                 if (is_exactly_a<numeric>(b)) {
 695                         q = a / b;
 696                         return q.info(info_flags::integer);
 697                 } else
 698                         return false;
 699         }
 700 #if FAST_COMPARE
 701         if (a.is_equal(b)) {
 702                 q = _ex1;
 703                 return true;
 704         }
 705 #endif
 706
 707 #if USE_REMEMBER
 708         // Remembering
 709         static ex2_exbool_remember dr_remember;
 710         ex2_exbool_remember::const_iterator remembered = dr_remember.find(ex2(a, b));
 711         if (remembered != dr_remember.end()) {
 712                 q = remembered->second.first;
 713                 return remembered->second.second;
 714         }
 715 #endif
 716
 717         // Main symbol
 718         const ex &x = var->sym;
 719
 720         // Compare degrees
 721         int adeg = a.degree(x), bdeg = b.degree(x);
 722         if (bdeg > adeg)
 723                 return false;
 724
 725 #if USE_TRIAL_DIVISION
 726
 727         // Trial division with polynomial interpolation
 728         int i, k;
 729
 730         // Compute values at evaluation points 0..adeg
 731         vector<numeric> alpha; alpha.reserve(adeg + 1);
 732         exvector u; u.reserve(adeg + 1);
 733         numeric point = _num0;
 734         ex c;
 735         for (i=0; i<=adeg; i++) {
 736                 ex bs = b.subs(x == point, subs_options::no_pattern);
 737                 while (bs.is_zero()) {
 738                         point += _num1;
 739                         bs = b.subs(x == point, subs_options::no_pattern);
 740                 }
 741                 if (!divide_in_z(a.subs(x == point, subs_options::no_pattern), bs, c, var+1))
 742                         return false;
 743                 alpha.push_back(point);
 744                 u.push_back(c);
 745                 point += _num1;
 746         }
 747
 748         // Compute inverses
 749         vector<numeric> rcp; rcp.reserve(adeg + 1);
 750         rcp.push_back(_num0);
 751         for (k=1; k<=adeg; k++) {
 752                 numeric product = alpha[k] - alpha[0];
 753                 for (i=1; i<k; i++)
 754                         product *= alpha[k] - alpha[i];
 755                 rcp.push_back(product.inverse());
 756         }
 757
 758         // Compute Newton coefficients
 759         exvector v; v.reserve(adeg + 1);
 760         v.push_back(u[0]);
 761         for (k=1; k<=adeg; k++) {
 762                 ex temp = v[k - 1];
 763                 for (i=k-2; i>=0; i--)
 764                         temp = temp * (alpha[k] - alpha[i]) + v[i];
 765                 v.push_back((u[k] - temp) * rcp[k]);
 766         }
 767
 768         // Convert from Newton form to standard form
 769         c = v[adeg];
 770         for (k=adeg-1; k>=0; k--)
 771                 c = c * (x - alpha[k]) + v[k];
 772
 773         if (c.degree(x) == (adeg - bdeg)) {
 774                 q = c.expand();
 775                 return true;
 776         } else
 777                 return false;
 778
 779 #else
 780
 781         // Polynomial long division (recursive)
 782         ex r = a.expand();
 783         if (r.is_zero())
 784                 return true;
 785         int rdeg = adeg;
 786         ex eb = b.expand();
 787         ex blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 788         exvector v; v.reserve(std::max(rdeg - bdeg + 1, 0));
 789         while (rdeg >= bdeg) {
 790                 ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 791                 if (!divide_in_z(rcoeff, blcoeff, term, var+1))
 792                         break;
 793                 term = (term * power(x, rdeg - bdeg)).expand();
 794                 v.push_back(term);
 795                 r -= (term * eb).expand();
 796                 if (r.is_zero()) {
 797                         q = (new add(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
 798 #if USE_REMEMBER
 799                         dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, true);
 800 #endif
 801                         return true;
 802                 }
 803                 rdeg = r.degree(x);
 804         }
 805 #if USE_REMEMBER
 806         dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, false);
 807 #endif
 808         return false;
 809
 810 #endif
 811 }
 812
 813
 814 /*
 815  *  Separation of unit part, content part and primitive part of polynomials
 816  */
 817
 818 /** Compute unit part (= sign of leading coefficient) of a multivariate
 819  *  polynomial in Q[x]. The product of unit part, content part, and primitive
 820  *  part is the polynomial itself.
 821  *
 822  *  @param x  main variable
 823  *  @return unit part
 824  *  @see ex::content, ex::primpart, ex::unitcontprim */
 825 ex ex::unit(const ex &x) const
 826 {
 827         ex c = expand().lcoeff(x);
 828         if (is_exactly_a<numeric>(c))
 829                 return c.info(info_flags::negative) ?_ex_1 : _ex1;
 830         else {
 831                 ex y;
 832                 if (get_first_symbol(c, y))
 833                         return c.unit(y);
 834                 else
 835                         throw(std::invalid_argument("invalid expression in unit()"));
 836         }
 837 }
 838
 839
 840 /** Compute content part (= unit normal GCD of all coefficients) of a
 841  *  multivariate polynomial in Q[x]. The product of unit part, content part,
 842  *  and primitive part is the polynomial itself.
 843  *
 844  *  @param x  main variable
 845  *  @return content part
 846  *  @see ex::unit, ex::primpart, ex::unitcontprim */
 847 ex ex::content(const ex &x) const
 848 {
 849         if (is_exactly_a<numeric>(*this))
 850                 return info(info_flags::negative) ? -*this : *this;
 851
 852         ex e = expand();
 853         if (e.is_zero())
 854                 return _ex0;
 855
 856         // First, divide out the integer content (which we can calculate very efficiently).
 857         // If the leading coefficient of the quotient is an integer, we are done.
 858         ex c = e.integer_content();
 859         ex r = e / c;
 860         int deg = r.degree(x);
 861         ex lcoeff = r.coeff(x, deg);
 862         if (lcoeff.info(info_flags::integer))
 863                 return c;
 864
 865         // GCD of all coefficients
 866         int ldeg = r.ldegree(x);
 867         if (deg == ldeg)
 868                 return lcoeff * c / lcoeff.unit(x);
 869         ex cont = _ex0;
 870         for (int i=ldeg; i<=deg; i++)
 871                 cont = gcd(r.coeff(x, i), cont, NULL, NULL, false);
 872         return cont * c;
 873 }
 874
 875
 876 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Q[x]. The result
 877  *  will be a unit-normal polynomial with a content part of 1. The product
 878  *  of unit part, content part, and primitive part is the polynomial itself.
 879  *
 880  *  @param x  main variable
 881  *  @return primitive part
 882  *  @see ex::unit, ex::content, ex::unitcontprim */
 883 ex ex::primpart(const ex &x) const
 884 {
 885         // We need to compute the unit and content anyway, so call unitcontprim()
 886         ex u, c, p;
 887         unitcontprim(x, u, c, p);
 888         return p;
 889 }
 890
 891
 892 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Q[x] when the
 893  *  content part is already known. This function is faster in computing the
 894  *  primitive part than the previous function.
 895  *
 896  *  @param x  main variable
 897  *  @param c  previously computed content part
 898  *  @return primitive part */
 899 ex ex::primpart(const ex &x, const ex &c) const
 900 {
 901         if (is_zero() || c.is_zero())
 902                 return _ex0;
 903         if (is_exactly_a<numeric>(*this))
 904                 return _ex1;
 905
 906         // Divide by unit and content to get primitive part
 907         ex u = unit(x);
 908         if (is_exactly_a<numeric>(c))
 909                 return *this / (c * u);
 910         else
 911                 return quo(*this, c * u, x, false);
 912 }
 913
 914
 915 /** Compute unit part, content part, and primitive part of a multivariate
 916  *  polynomial in Q[x]. The product of the three parts is the polynomial
 917  *  itself.
 918  *
 919  *  @param x  main variable
 920  *  @param u  unit part (returned)
 921  *  @param c  content part (returned)
 922  *  @param p  primitive part (returned)
 923  *  @see ex::unit, ex::content, ex::primpart */
 924 void ex::unitcontprim(const ex &x, ex &u, ex &c, ex &p) const
 925 {
 926         // Quick check for zero (avoid expanding)
 927         if (is_zero()) {
 928                 u = _ex1;
 929                 c = p = _ex0;
 930                 return;
 931         }
 932
 933         // Special case: input is a number
 934         if (is_exactly_a<numeric>(*this)) {
 935                 if (info(info_flags::negative)) {
 936                         u = _ex_1;
 937                         c = abs(ex_to<numeric>(*this));
 938                 } else {
 939                         u = _ex1;
 940                         c = *this;
 941                 }
 942                 p = _ex1;
 943                 return;
 944         }
 945
 946         // Expand input polynomial
 947         ex e = expand();
 948         if (e.is_zero()) {
 949                 u = _ex1;
 950                 c = p = _ex0;
 951                 return;
 952         }
 953
 954         // Compute unit and content
 955         u = unit(x);
 956         c = content(x);
 957
 958         // Divide by unit and content to get primitive part
 959         if (c.is_zero()) {
 960                 p = _ex0;
 961                 return;
 962         }
 963         if (is_exactly_a<numeric>(c))
 964                 p = *this / (c * u);
 965         else
 966                 p = quo(e, c * u, x, false);
 967 }
 968
 969
 970 /*
 971  *  GCD of multivariate polynomials
 972  */
 973
 974 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the subresultant PRS
 975  *  algorithm. This function is used internally by gcd().
 976  *
 977  *  @param a   first multivariate polynomial
 978  *  @param b   second multivariate polynomial
 979  *  @param var iterator to first element of vector of sym_desc structs
 980  *  @return the GCD as a new expression
 981  *  @see gcd */
 982
 983 static ex sr_gcd(const ex &a, const ex &b, sym_desc_vec::const_iterator var)
 984 {
 985 #if STATISTICS
 986         sr_gcd_called++;
 987 #endif
 988
 989         // The first symbol is our main variable
 990         const ex &x = var->sym;
 991
 992         // Sort c and d so that c has higher degree
 993         ex c, d;
 994         int adeg = a.degree(x), bdeg = b.degree(x);
 995         int cdeg, ddeg;
 996         if (adeg >= bdeg) {
 997                 c = a;
 998                 d = b;
 999                 cdeg = adeg;
1000                 ddeg = bdeg;
1001         } else {
1002                 c = b;
1003                 d = a;
1004                 cdeg = bdeg;
1005                 ddeg = adeg;
1006         }
1007
1008         // Remove content from c and d, to be attached to GCD later
1009         ex cont_c = c.content(x);
1010         ex cont_d = d.content(x);
1011         ex gamma = gcd(cont_c, cont_d, NULL, NULL, false);
1012         if (ddeg == 0)
1013                 return gamma;
1014         c = c.primpart(x, cont_c);
1015         d = d.primpart(x, cont_d);
1016
1017         // First element of subresultant sequence
1018         ex r = _ex0, ri = _ex1, psi = _ex1;
1019         int delta = cdeg - ddeg;
1020
1021         for (;;) {
1022
1023                 // Calculate polynomial pseudo-remainder
1024                 r = prem(c, d, x, false);
1025                 if (r.is_zero())
1026                         return gamma * d.primpart(x);
1027
1028                 c = d;
1029                 cdeg = ddeg;
1030                 if (!divide_in_z(r, ri * pow(psi, delta), d, var))
1031                         throw(std::runtime_error("invalid expression in sr_gcd(), division failed"));
1032                 ddeg = d.degree(x);
1033                 if (ddeg == 0) {
1034                         if (is_exactly_a<numeric>(r))
1035                                 return gamma;
1036                         else
1037                                 return gamma * r.primpart(x);
1038                 }
1039
1040                 // Next element of subresultant sequence
1041                 ri = c.expand().lcoeff(x);
1042                 if (delta == 1)
1043                         psi = ri;
1044                 else if (delta)
1045                         divide_in_z(pow(ri, delta), pow(psi, delta-1), psi, var+1);
1046                 delta = cdeg - ddeg;
1047         }
1048 }
1049
1050
1051 /** Return maximum (absolute value) coefficient of a polynomial.
1052  *  This function is used internally by heur_gcd().
1053  *
1054  *  @return maximum coefficient
1055  *  @see heur_gcd */
1056 numeric ex::max_coefficient() const
1057 {
1058         return bp->max_coefficient();
1059 }
1060
1061 /** Implementation ex::max_coefficient().
1062  *  @see heur_gcd */
1063 numeric basic::max_coefficient() const
1064 {
1065         return _num1;
1066 }
1067
1068 numeric numeric::max_coefficient() const
1069 {
1070         return abs(*this);
1071 }
1072
1073 numeric add::max_coefficient() const
1074 {
1075         epvector::const_iterator it = seq.begin();
1076         epvector::const_iterator itend = seq.end();
1077         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
1078         numeric cur_max = abs(ex_to<numeric>(overall_coeff));
1079         while (it != itend) {
1080                 numeric a;
1081                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(it->rest));
1082                 a = abs(ex_to<numeric>(it->coeff));
1083                 if (a > cur_max)
1084                         cur_max = a;
1085                 it++;
1086         }
1087         return cur_max;
1088 }
1089
1090 numeric mul::max_coefficient() const
1091 {
1092 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1093         epvector::const_iterator it = seq.begin();
1094         epvector::const_iterator itend = seq.end();
1095         while (it != itend) {
1096                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(recombine_pair_to_ex(*it)));
1097                 it++;
1098         }
1099 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
1100         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
1101         return abs(ex_to<numeric>(overall_coeff));
1102 }
1103
1104
1105 /** Apply symmetric modular homomorphism to an expanded multivariate
1106  *  polynomial.  This function is usually used internally by heur_gcd().
1107  *
1108  *  @param xi  modulus
1109  *  @return mapped polynomial
1110  *  @see heur_gcd */
1111 ex basic::smod(const numeric &xi) const
1112 {
1113         return *this;
1114 }
1115
1116 ex numeric::smod(const numeric &xi) const
1117 {
1118         return GiNaC::smod(*this, xi);
1119 }
1120
1121 ex add::smod(const numeric &xi) const
1122 {
1123         epvector newseq;
1124         newseq.reserve(seq.size()+1);
1125         epvector::const_iterator it = seq.begin();
1126         epvector::const_iterator itend = seq.end();
1127         while (it != itend) {
1128                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(it->rest));
1129                 numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to<numeric>(it->coeff), xi);
1130                 if (!coeff.is_zero())
1131                         newseq.push_back(expair(it->rest, coeff));
1132                 it++;
1133         }
1134         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
1135         numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to<numeric>(overall_coeff), xi);
1136         return (new add(newseq,coeff))->setflag(status_flags::dynallocated);
1137 }
1138
1139 ex mul::smod(const numeric &xi) const
1140 {
1141 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1142         epvector::const_iterator it = seq.begin();
1143         epvector::const_iterator itend = seq.end();
1144         while (it != itend) {
1145                 GINAC_ASSERT(!is_exactly_a<numeric>(recombine_pair_to_ex(*it)));
1146                 it++;
1147         }
1148 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
1149         mul * mulcopyp = new mul(*this);
1150         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(overall_coeff));
1151         mulcopyp->overall_coeff = GiNaC::smod(ex_to<numeric>(overall_coeff),xi);
1152         mulcopyp->clearflag(status_flags::evaluated);
1153         mulcopyp->clearflag(status_flags::hash_calculated);
1154         return mulcopyp->setflag(status_flags::dynallocated);
1155 }
1156
1157
1158 /** xi-adic polynomial interpolation */
1159 static ex interpolate(const ex &gamma, const numeric &xi, const ex &x, int degree_hint = 1)
1160 {
1161         exvector g; g.reserve(degree_hint);
1162         ex e = gamma;
1163         numeric rxi = xi.inverse();
1164         for (int i=0; !e.is_zero(); i++) {
1165                 ex gi = e.smod(xi);
1166                 g.push_back(gi * power(x, i));
1167                 e = (e - gi) * rxi;
1168         }
1169         return (new add(g))->setflag(status_flags::dynallocated);
1170 }
1171
1172 /** Exception thrown by heur_gcd() to signal failure. */
1173 class gcdheu_failed {};
1174
1175 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the heuristic GCD algorithm.
1176  *  get_symbol_stats() must have been called previously with the input
1177  *  polynomials and an iterator to the first element of the sym_desc vector
1178  *  passed in. This function is used internally by gcd().
1179  *
1180  *  @param a  first multivariate polynomial (expanded)
1181  *  @param b  second multivariate polynomial (expanded)
1182  *  @param ca  cofactor of polynomial a (returned), NULL to suppress
1183  *             calculation of cofactor
1184  *  @param cb  cofactor of polynomial b (returned), NULL to suppress
1185  *             calculation of cofactor
1186  *  @param var iterator to first element of vector of sym_desc structs
1187  *  @return the GCD as a new expression
1188  *  @see gcd
1189  *  @exception gcdheu_failed() */
1190 static ex heur_gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, sym_desc_vec::const_iterator var)
1191 {
1192 #if STATISTICS
1193         heur_gcd_called++;
1194 #endif
1195
1196         // Algorithm only works for non-vanishing input polynomials
1197         if (a.is_zero() || b.is_zero())
1198                 return (new fail())->setflag(status_flags::dynallocated);
1199
1200         // GCD of two numeric values -> CLN
1201         if (is_exactly_a<numeric>(a) && is_exactly_a<numeric>(b)) {
1202                 numeric g = gcd(ex_to<numeric>(a), ex_to<numeric>(b));
1203                 if (ca)
1204                         *ca = ex_to<numeric>(a) / g;
1205                 if (cb)
1206                         *cb = ex_to<numeric>(b) / g;
1207                 return g;
1208         }
1209
1210         // The first symbol is our main variable
1211         const ex &x = var->sym;
1212
1213         // Remove integer content
1214         numeric gc = gcd(a.integer_content(), b.integer_content());
1215         numeric rgc = gc.inverse();
1216         ex p = a * rgc;
1217         ex q = b * rgc;
1218         int maxdeg =  std::max(p.degree(x), q.degree(x));
1219
1220         // Find evaluation point
1221         numeric mp = p.max_coefficient();
1222         numeric mq = q.max_coefficient();
1223         numeric xi;
1224         if (mp > mq)
1225                 xi = mq * _num2 + _num2;
1226         else
1227                 xi = mp * _num2 + _num2;
1228
1229         // 6 tries maximum
1230         for (int t=0; t<6; t++) {
1231                 if (xi.int_length() * maxdeg > 100000) {
1232                         throw gcdheu_failed();
1233                 }
1234
1235                 // Apply evaluation homomorphism and calculate GCD
1236                 ex cp, cq;
1237                 ex gamma = heur_gcd(p.subs(x == xi, subs_options::no_pattern), q.subs(x == xi, subs_options::no_pattern), &cp, &cq, var+1).expand();
1238                 if (!is_exactly_a<fail>(gamma)) {
1239
1240                         // Reconstruct polynomial from GCD of mapped polynomials
1241                         ex g = interpolate(gamma, xi, x, maxdeg);
1242
1243                         // Remove integer content
1244                         g /= g.integer_content();
1245
1246                         // If the calculated polynomial divides both p and q, this is the GCD
1247                         ex dummy;
1248                         if (divide_in_z(p, g, ca ? *ca : dummy, var) && divide_in_z(q, g, cb ? *cb : dummy, var)) {
1249                                 g *= gc;
1250                                 return g;
1251                         }
1252                 }
1253
1254                 // Next evaluation point
1255                 xi = iquo(xi * isqrt(isqrt(xi)) * numeric(73794), numeric(27011));
1256         }
1257         return (new fail())->setflag(status_flags::dynallocated);
1258 }
1259
1260
1261 /** Compute GCD (Greatest Common Divisor) of multivariate polynomials a(X)
1262  *  and b(X) in Z[X]. Optionally also compute the cofactors of a and b,
1263  *  defined by a = ca * gcd(a, b) and b = cb * gcd(a, b).
1264  *
1265  *  @param a  first multivariate polynomial
1266  *  @param b  second multivariate polynomial
1267  *  @param ca pointer to expression that will receive the cofactor of a, or NULL
1268  *  @param cb pointer to expression that will receive the cofactor of b, or NULL
1269  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1270  *         coefficients (defaults to "true")
1271  *  @return the GCD as a new expression */
1272 ex gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, bool check_args)
1273 {
1274 #if STATISTICS
1275         gcd_called++;
1276 #endif
1277
1278         // GCD of numerics -> CLN
1279         if (is_exactly_a<numeric>(a) && is_exactly_a<numeric>(b)) {
1280                 numeric g = gcd(ex_to<numeric>(a), ex_to<numeric>(b));
1281                 if (ca || cb) {
1282                         if (g.is_zero()) {
1283                                 if (ca)
1284                                         *ca = _ex0;
1285                                 if (cb)
1286                                         *cb = _ex0;
1287                         } else {
1288                                 if (ca)
1289                                         *ca = ex_to<numeric>(a) / g;
1290                                 if (cb)
1291                                         *cb = ex_to<numeric>(b) / g;
1292                         }
1293                 }
1294                 return g;
1295         }
1296
1297         // Check arguments
1298         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial))) {
1299                 throw(std::invalid_argument("gcd: arguments must be polynomials over the rationals"));
1300         }
1301
1302         // Partially factored cases (to avoid expanding large expressions)
1303         if (is_exactly_a<mul>(a)) {
1304                 if (is_exactly_a<mul>(b) && b.nops() > a.nops())
1305                         goto factored_b;
1306 factored_a:
1307                 size_t num = a.nops();
1308                 exvector g; g.reserve(num);
1309                 exvector acc_ca; acc_ca.reserve(num);
1310                 ex part_b = b;
1311                 for (size_t i=0; i<num; i++) {
1312                         ex part_ca, part_cb;
1313                         g.push_back(gcd(a.op(i), part_b, &part_ca, &part_cb, check_args));
1314                         acc_ca.push_back(part_ca);
1315                         part_b = part_cb;
1316                 }
1317                 if (ca)
1318                         *ca = (new mul(acc_ca))->setflag(status_flags::dynallocated);
1319                 if (cb)
1320                         *cb = part_b;
1321                 return (new mul(g))->setflag(status_flags::dynallocated);
1322         } else if (is_exactly_a<mul>(b)) {
1323                 if (is_exactly_a<mul>(a) && a.nops() > b.nops())
1324                         goto factored_a;
1325 factored_b:
1326                 size_t num = b.nops();
1327                 exvector g; g.reserve(num);
1328                 exvector acc_cb; acc_cb.reserve(num);
1329                 ex part_a = a;
1330                 for (size_t i=0; i<num; i++) {
1331                         ex part_ca, part_cb;
1332                         g.push_back(gcd(part_a, b.op(i), &part_ca, &part_cb, check_args));
1333                         acc_cb.push_back(part_cb);
1334                         part_a = part_ca;
1335                 }
1336                 if (ca)
1337                         *ca = part_a;
1338                 if (cb)
1339                         *cb = (new mul(acc_cb))->setflag(status_flags::dynallocated);
1340                 return (new mul(g))->setflag(status_flags::dynallocated);
1341         }
1342
1343 #if FAST_COMPARE
1344         // Input polynomials of the form poly^n are sometimes also trivial
1345         if (is_exactly_a<power>(a)) {
1346                 ex p = a.op(0);
1347                 if (is_exactly_a<power>(b)) {
1348                         if (p.is_equal(b.op(0))) {
1349                                 // a = p^n, b = p^m, gcd = p^min(n, m)
1350                                 ex exp_a = a.op(1), exp_b = b.op(1);
1351                                 if (exp_a < exp_b) {
1352                                         if (ca)
1353                                                 *ca = _ex1;
1354                                         if (cb)
1355                                                 *cb = power(p, exp_b - exp_a);
1356                                         return power(p, exp_a);
1357                                 } else {
1358                                         if (ca)
1359                                                 *ca = power(p, exp_a - exp_b);
1360                                         if (cb)
1361                                                 *cb = _ex1;
1362                                         return power(p, exp_b);
1363                                 }
1364                         }
1365                 } else {
1366                         if (p.is_equal(b)) {
1367                                 // a = p^n, b = p, gcd = p
1368                                 if (ca)
1369                                         *ca = power(p, a.op(1) - 1);
1370                                 if (cb)
1371                                         *cb = _ex1;
1372                                 return p;
1373                         }
1374                 }
1375         } else if (is_exactly_a<power>(b)) {
1376                 ex p = b.op(0);
1377                 if (p.is_equal(a)) {
1378                         // a = p, b = p^n, gcd = p
1379                         if (ca)
1380                                 *ca = _ex1;
1381                         if (cb)
1382                                 *cb = power(p, b.op(1) - 1);
1383                         return p;
1384                 }
1385         }
1386 #endif
1387
1388         // Some trivial cases
1389         ex aex = a.expand(), bex = b.expand();
1390         if (aex.is_zero()) {
1391                 if (ca)
1392                         *ca = _ex0;
1393                 if (cb)
1394                         *cb = _ex1;
1395                 return b;
1396         }
1397         if (bex.is_zero()) {
1398                 if (ca)
1399                         *ca = _ex1;
1400                 if (cb)
1401                         *cb = _ex0;
1402                 return a;
1403         }
1404         if (aex.is_equal(_ex1) || bex.is_equal(_ex1)) {
1405                 if (ca)
1406                         *ca = a;
1407                 if (cb)
1408                         *cb = b;
1409                 return _ex1;
1410         }
1411 #if FAST_COMPARE
1412         if (a.is_equal(b)) {
1413                 if (ca)
1414                         *ca = _ex1;
1415                 if (cb)
1416                         *cb = _ex1;
1417                 return a;
1418         }
1419 #endif
1420
1421         // Gather symbol statistics
1422         sym_desc_vec sym_stats;
1423         get_symbol_stats(a, b, sym_stats);
1424
1425         // The symbol with least degree is our main variable
1426         sym_desc_vec::const_iterator var = sym_stats.begin();
1427         const ex &x = var->sym;
1428
1429         // Cancel trivial common factor
1430         int ldeg_a = var->ldeg_a;
1431         int ldeg_b = var->ldeg_b;
1432         int min_ldeg = std::min(ldeg_a,ldeg_b);
1433         if (min_ldeg > 0) {
1434                 ex common = power(x, min_ldeg);
1435                 return gcd((aex / common).expand(), (bex / common).expand(), ca, cb, false) * common;
1436         }
1437
1438         // Try to eliminate variables
1439         if (var->deg_a == 0) {
1440                 ex bex_u, bex_c, bex_p;
1441                 bex.unitcontprim(x, bex_u, bex_c, bex_p);
1442                 ex g = gcd(aex, bex_c, ca, cb, false);
1443                 if (cb)
1444                         *cb *= bex_u * bex_p;
1445                 return g;
1446         } else if (var->deg_b == 0) {
1447                 ex aex_u, aex_c, aex_p;
1448                 aex.unitcontprim(x, aex_u, aex_c, aex_p);
1449                 ex g = gcd(aex_c, bex, ca, cb, false);
1450                 if (ca)
1451                         *ca *= aex_u * aex_p;
1452                 return g;
1453         }
1454
1455         // Try heuristic algorithm first, fall back to PRS if that failed
1456         ex g;
1457         try {
1458                 g = heur_gcd(aex, bex, ca, cb, var);
1459         } catch (gcdheu_failed) {
1460                 g = fail();
1461         }
1462         if (is_exactly_a<fail>(g)) {
1463 #if STATISTICS
1464                 heur_gcd_failed++;
1465 #endif
1466                 g = sr_gcd(aex, bex, var);
1467                 if (g.is_equal(_ex1)) {
1468                         // Keep cofactors factored if possible
1469                         if (ca)
1470                                 *ca = a;
1471                         if (cb)
1472                                 *cb = b;
1473                 } else {
1474                         if (ca)
1475                                 divide(aex, g, *ca, false);
1476                         if (cb)
1477                                 divide(bex, g, *cb, false);
1478                 }
1479         } else {
1480                 if (g.is_equal(_ex1)) {
1481                         // Keep cofactors factored if possible
1482                         if (ca)
1483                                 *ca = a;
1484                         if (cb)
1485                                 *cb = b;
1486                 }
1487         }
1488
1489         return g;
1490 }
1491
1492
1493 /** Compute LCM (Least Common Multiple) of multivariate polynomials in Z[X].
1494  *
1495  *  @param a  first multivariate polynomial
1496  *  @param b  second multivariate polynomial
1497  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1498  *         coefficients (defaults to "true")
1499  *  @return the LCM as a new expression */
1500 ex lcm(const ex &a, const ex &b, bool check_args)
1501 {
1502         if (is_exactly_a<numeric>(a) && is_exactly_a<numeric>(b))
1503                 return lcm(ex_to<numeric>(a), ex_to<numeric>(b));
1504         if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
1505                 throw(std::invalid_argument("lcm: arguments must be polynomials over the rationals"));
1506
1507         ex ca, cb;
1508         ex g = gcd(a, b, &ca, &cb, false);
1509         return ca * cb * g;
1510 }
1511
1512
1513 /*
1514  *  Square-free factorization
1515  */
1516
1517 /** Compute square-free factorization of multivariate polynomial a(x) using
1518  *  Yun's algorithm.  Used internally by sqrfree().
1519  *
1520  *  @param a  multivariate polynomial over Z[X], treated here as univariate
1521  *            polynomial in x.
1522  *  @param x  variable to factor in
1523  *  @return   vector of factors sorted in ascending degree */
1524 static exvector sqrfree_yun(const ex &a, const symbol &x)
1525 {
1526         exvector res;
1527         ex w = a;
1528         ex z = w.diff(x);
1529         ex g = gcd(w, z);
1530         if (g.is_equal(_ex1)) {
1531                 res.push_back(a);
1532                 return res;
1533         }
1534         ex y;
1535         do {
1536                 w = quo(w, g, x);
1537                 y = quo(z, g, x);
1538                 z = y - w.diff(x);
1539                 g = gcd(w, z);
1540                 res.push_back(g);
1541         } while (!z.is_zero());
1542         return res;
1543 }
1544
1545
1546 /** Compute a square-free factorization of a multivariate polynomial in Q[X].
1547  *
1548  *  @param a  multivariate polynomial over Q[X]
1549  *  @param l  lst of variables to factor in, may be left empty for autodetection
1550  *  @return   a square-free factorization of \p a.
1551  *
1552  * \note
1553  * A polynomial \f$p(X) \in C[X]\f$ is said <EM>square-free</EM>
1554  * if, whenever any two polynomials \f$q(X)\f$ and \f$r(X)\f$
1555  * are such that
1556  * \f[
1557  *     p(X) = q(X)^2 r(X),
1558  * \f]
1559  * we have \f$q(X) \in C\f$.
1560  * This means that \f$p(X)\f$ has no repeated factors, apart
1561  * eventually from constants.
1562  * Given a polynomial \f$p(X) \in C[X]\f$, we say that the
1563  * decomposition
1564  * \f[
1565  *   p(X) = b \cdot p_1(X)^{a_1} \cdot p_2(X)^{a_2} \cdots p_r(X)^{a_r}
1566  * \f]
1567  * is a <EM>square-free factorization</EM> of \f$p(X)\f$ if the
1568  * following conditions hold:
1569  * -#  \f$b \in C\f$ and \f$b \neq 0\f$;
1570  * -#  \f$a_i\f$ is a positive integer for \f$i = 1, \ldots, r\f$;
1571  * -#  the degree of the polynomial \f$p_i\f$ is strictly positive
1572  *     for \f$i = 1, \ldots, r\f$;
1573  * -#  the polynomial \f$\Pi_{i=1}^r p_i(X)\f$ is square-free.
1574  *
1575  * Square-free factorizations need not be unique.  For example, if
1576  * \f$a_i\f$ is even, we could change the polynomial \f$p_i(X)\f$
1577  * into \f$-p_i(X)\f$.
1578  * Observe also that the factors \f$p_i(X)\f$ need not be irreducible
1579  * polynomials.
1580  */
1581 ex sqrfree(const ex &a, const lst &l)
1582 {
1583         if (is_exactly_a<numeric>(a) ||     // algorithm does not trap a==0
1584             is_a<symbol>(a))        // shortcut
1585                 return a;
1586
1587         // If no lst of variables to factorize in was specified we have to
1588         // invent one now.  Maybe one can optimize here by reversing the order
1589         // or so, I don't know.
1590         lst args;
1591         if (l.nops()==0) {
1592                 sym_desc_vec sdv;
1593                 get_symbol_stats(a, _ex0, sdv);
1594                 sym_desc_vec::const_iterator it = sdv.begin(), itend = sdv.end();
1595                 while (it != itend) {
1596                         args.append(it->sym);
1597                         ++it;
1598                 }
1599         } else {
1600                 args = l;
1601         }
1602
1603         // Find the symbol to factor in at this stage
1604         if (!is_a<symbol>(args.op(0)))
1605                 throw (std::runtime_error("sqrfree(): invalid factorization variable"));
1606         const symbol &x = ex_to<symbol>(args.op(0));
1607
1608         // convert the argument from something in Q[X] to something in Z[X]
1609         const numeric lcm = lcm_of_coefficients_denominators(a);
1610         const ex tmp = multiply_lcm(a,lcm);
1611
1612         // find the factors
1613         exvector factors = sqrfree_yun(tmp, x);
1614
1615         // construct the next list of symbols with the first element popped
1616         lst newargs = args;
1617         newargs.remove_first();
1618
1619         // recurse down the factors in remaining variables
1620         if (newargs.nops()>0) {
1621                 exvector::iterator i = factors.begin();
1622                 while (i != factors.end()) {
1623                         *i = sqrfree(*i, newargs);
1624                         ++i;
1625                 }
1626         }
1627
1628         // Done with recursion, now construct the final result
1629         ex result = _ex1;
1630         exvector::const_iterator it = factors.begin(), itend = factors.end();
1631         for (int p = 1; it!=itend; ++it, ++p)
1632                 result *= power(*it, p);
1633
1634         // Yun's algorithm does not account for constant factors.  (For univariate
1635         // polynomials it works only in the monic case.)  We can correct this by
1636         // inserting what has been lost back into the result.  For completeness
1637         // we'll also have to recurse down that factor in the remaining variables.
1638         if (newargs.nops()>0)
1639                 result *= sqrfree(quo(tmp, result, x), newargs);
1640         else
1641                 result *= quo(tmp, result, x);
1642
1643         // Put in the reational overall factor again and return
1644         return result * lcm.inverse();
1645 }
1646
1647
1648 /** Compute square-free partial fraction decomposition of rational function
1649  *  a(x).
1650  *
1651  *  @param a rational function over Z[x], treated as univariate polynomial
1652  *           in x
1653  *  @param x variable to factor in
1654  *  @return decomposed rational function */
1655 ex sqrfree_parfrac(const ex & a, const symbol & x)
1656 {
1657         // Find numerator and denominator
1658         ex nd = numer_denom(a);
1659         ex numer = nd.op(0), denom = nd.op(1);
1660 //clog << "numer = " << numer << ", denom = " << denom << endl;
1661
1662         // Convert N(x)/D(x) -> Q(x) + R(x)/D(x), so degree(R) < degree(D)
1663         ex red_poly = quo(numer, denom, x), red_numer = rem(numer, denom, x).expand();
1664 //clog << "red_poly = " << red_poly << ", red_numer = " << red_numer << endl;
1665
1666         // Factorize denominator and compute cofactors
1667         exvector yun = sqrfree_yun(denom, x);
1668 //clog << "yun factors: " << exprseq(yun) << endl;
1669         size_t num_yun = yun.size();
1670         exvector factor; factor.reserve(num_yun);
1671         exvector cofac; cofac.reserve(num_yun);
1672         for (size_t i=0; i<num_yun; i++) {
1673                 if (!yun[i].is_equal(_ex1)) {
1674                         for (size_t j=0; j<=i; j++) {
1675                                 factor.push_back(pow(yun[i], j+1));
1676                                 ex prod = _ex1;
1677                                 for (size_t k=0; k<num_yun; k++) {
1678                                         if (k == i)
1679                                                 prod *= pow(yun[k], i-j);
1680                                         else
1681                                                 prod *= pow(yun[k], k+1);
1682                                 }
1683                                 cofac.push_back(prod.expand());
1684                         }
1685                 }
1686         }
1687         size_t num_factors = factor.size();
1688 //clog << "factors  : " << exprseq(factor) << endl;
1689 //clog << "cofactors: " << exprseq(cofac) << endl;
1690
1691         // Construct coefficient matrix for decomposition
1692         int max_denom_deg = denom.degree(x);
1693         matrix sys(max_denom_deg + 1, num_factors);
1694         matrix rhs(max_denom_deg + 1, 1);
1695         for (int i=0; i<=max_denom_deg; i++) {
1696                 for (size_t j=0; j<num_factors; j++)
1697                         sys(i, j) = cofac[j].coeff(x, i);
1698                 rhs(i, 0) = red_numer.coeff(x, i);
1699         }
1700 //clog << "coeffs: " << sys << endl;
1701 //clog << "rhs   : " << rhs << endl;
1702
1703         // Solve resulting linear system
1704         matrix vars(num_factors, 1);
1705         for (size_t i=0; i<num_factors; i++)
1706                 vars(i, 0) = symbol();
1707         matrix sol = sys.solve(vars, rhs);
1708
1709         // Sum up decomposed fractions
1710         ex sum = 0;
1711         for (size_t i=0; i<num_factors; i++)
1712                 sum += sol(i, 0) / factor[i];
1713
1714         return red_poly + sum;
1715 }
1716
1717
1718 /*
1719  *  Normal form of rational functions
1720  */
1721
1722 /*
1723  *  Note: The internal normal() functions (= basic::normal() and overloaded
1724  *  functions) all return lists of the form {numerator, denominator}. This
1725  *  is to get around mul::eval()'s automatic expansion of numeric coefficients.
1726  *  E.g. (a+b)/3 is automatically converted to a/3+b/3 but we want to keep
1727  *  the information that (a+b) is the numerator and 3 is the denominator.
1728  */
1729
1730
1731 /** Create a symbol for replacing the expression "e" (or return a previously
1732  *  assigned symbol). The symbol and expression are appended to repl, for
1733  *  a later application of subs().
1734  *  @see ex::normal */
1735 static ex replace_with_symbol(const ex & e, exmap & repl, exmap & rev_lookup)
1736 {
1737         // Expression already replaced? Then return the assigned symbol
1738         exmap::const_iterator it = rev_lookup.find(e);
1739         if (it != rev_lookup.end())
1740                 return it->second;
1741
1742         // Otherwise create new symbol and add to list, taking care that the
1743         // replacement expression doesn't itself contain symbols from repl,
1744         // because subs() is not recursive
1745         ex es = (new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated);
1746         ex e_replaced = e.subs(repl, subs_options::no_pattern);
1747         repl.insert(std::make_pair(es, e_replaced));
1748         rev_lookup.insert(std::make_pair(e_replaced, es));
1749         return es;
1750 }
1751
1752 /** Create a symbol for replacing the expression "e" (or return a previously
1753  *  assigned symbol). The symbol and expression are appended to repl, and the
1754  *  symbol is returned.
1755  *  @see basic::to_rational
1756  *  @see basic::to_polynomial */
1757 static ex replace_with_symbol(const ex & e, exmap & repl)
1758 {
1759         // Expression already replaced? Then return the assigned symbol
1760         for (exmap::const_iterator it = repl.begin(); it != repl.end(); ++it)
1761                 if (it->second.is_equal(e))
1762                         return it->first;
1763
1764         // Otherwise create new symbol and add to list, taking care that the
1765         // replacement expression doesn't itself contain symbols from repl,
1766         // because subs() is not recursive
1767         ex es = (new symbol)->setflag(status_flags::dynallocated);
1768         ex e_replaced = e.subs(repl, subs_options::no_pattern);
1769         repl.insert(std::make_pair(es, e_replaced));
1770         return es;
1771 }
1772
1773
1774 /** Function object to be applied by basic::normal(). */
1775 struct normal_map_function : public map_function {
1776         int level;
1777         normal_map_function(int l) : level(l) {}
1778         ex operator()(const ex & e) { return normal(e, level); }
1779 };
1780
1781 /** Default implementation of ex::normal(). It normalizes the children and
1782  *  replaces the object with a temporary symbol.
1783  *  @see ex::normal */
1784 ex basic::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1785 {
1786         if (nops() == 0)
1787                 return (new lst(replace_with_symbol(*this, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1788         else {
1789                 if (level == 1)
1790                         return (new lst(replace_with_symbol(*this, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1791                 else if (level == -max_recursion_level)
1792                         throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1793                 else {
1794                         normal_map_function map_normal(level - 1);
1795                         return (new lst(replace_with_symbol(map(map_normal), repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1796                 }
1797         }
1798 }
1799
1800
1801 /** Implementation of ex::normal() for symbols. This returns the unmodified symbol.
1802  *  @see ex::normal */
1803 ex symbol::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1804 {
1805         return (new lst(*this, _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1806 }
1807
1808
1809 /** Implementation of ex::normal() for a numeric. It splits complex numbers
1810  *  into re+I*im and replaces I and non-rational real numbers with a temporary
1811  *  symbol.
1812  *  @see ex::normal */
1813 ex numeric::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1814 {
1815         numeric num = numer();
1816         ex numex = num;
1817
1818         if (num.is_real()) {
1819                 if (!num.is_integer())
1820                         numex = replace_with_symbol(numex, repl, rev_lookup);
1821         } else { // complex
1822                 numeric re = num.real(), im = num.imag();
1823                 ex re_ex = re.is_rational() ? re : replace_with_symbol(re, repl, rev_lookup);
1824                 ex im_ex = im.is_rational() ? im : replace_with_symbol(im, repl, rev_lookup);
1825                 numex = re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, repl, rev_lookup);
1826         }
1827
1828         // Denominator is always a real integer (see numeric::denom())
1829         return (new lst(numex, denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1830 }
1831
1832
1833 /** Fraction cancellation.
1834  *  @param n  numerator
1835  *  @param d  denominator
1836  *  @return cancelled fraction {n, d} as a list */
1837 static ex frac_cancel(const ex &n, const ex &d)
1838 {
1839         ex num = n;
1840         ex den = d;
1841         numeric pre_factor = _num1;
1842
1843 //std::clog << "frac_cancel num = " << num << ", den = " << den << std::endl;
1844
1845         // Handle trivial case where denominator is 1
1846         if (den.is_equal(_ex1))
1847                 return (new lst(num, den))->setflag(status_flags::dynallocated);
1848
1849         // Handle special cases where numerator or denominator is 0
1850         if (num.is_zero())
1851                 return (new lst(num, _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1852         if (den.expand().is_zero())
1853                 throw(std::overflow_error("frac_cancel: division by zero in frac_cancel"));
1854
1855         // Bring numerator and denominator to Z[X] by multiplying with
1856         // LCM of all coefficients' denominators
1857         numeric num_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(num);
1858         numeric den_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(den);
1859         num = multiply_lcm(num, num_lcm);
1860         den = multiply_lcm(den, den_lcm);
1861         pre_factor = den_lcm / num_lcm;
1862
1863         // Cancel GCD from numerator and denominator
1864         ex cnum, cden;
1865         if (gcd(num, den, &cnum, &cden, false) != _ex1) {
1866                 num = cnum;
1867                 den = cden;
1868         }
1869
1870         // Make denominator unit normal (i.e. coefficient of first symbol
1871         // as defined by get_first_symbol() is made positive)
1872         if (is_exactly_a<numeric>(den)) {
1873                 if (ex_to<numeric>(den).is_negative()) {
1874                         num *= _ex_1;
1875                         den *= _ex_1;
1876                 }
1877         } else {
1878                 ex x;
1879                 if (get_first_symbol(den, x)) {
1880                         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(den.unit(x)));
1881                         if (ex_to<numeric>(den.unit(x)).is_negative()) {
1882                                 num *= _ex_1;
1883                                 den *= _ex_1;
1884                         }
1885                 }
1886         }
1887
1888         // Return result as list
1889 //std::clog << " returns num = " << num << ", den = " << den << ", pre_factor = " << pre_factor << std::endl;
1890         return (new lst(num * pre_factor.numer(), den * pre_factor.denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1891 }
1892
1893
1894 /** Implementation of ex::normal() for a sum. It expands terms and performs
1895  *  fractional addition.
1896  *  @see ex::normal */
1897 ex add::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1898 {
1899         if (level == 1)
1900                 return (new lst(replace_with_symbol(*this, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1901         else if (level == -max_recursion_level)
1902                 throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1903
1904         // Normalize children and split each one into numerator and denominator
1905         exvector nums, dens;
1906         nums.reserve(seq.size()+1);
1907         dens.reserve(seq.size()+1);
1908         epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1909         while (it != itend) {
1910                 ex n = ex_to<basic>(recombine_pair_to_ex(*it)).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1911                 nums.push_back(n.op(0));
1912                 dens.push_back(n.op(1));
1913                 it++;
1914         }
1915         ex n = ex_to<numeric>(overall_coeff).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1916         nums.push_back(n.op(0));
1917         dens.push_back(n.op(1));
1918         GINAC_ASSERT(nums.size() == dens.size());
1919
1920         // Now, nums is a vector of all numerators and dens is a vector of
1921         // all denominators
1922 //std::clog << "add::normal uses " << nums.size() << " summands:\n";
1923
1924         // Add fractions sequentially
1925         exvector::const_iterator num_it = nums.begin(), num_itend = nums.end();
1926         exvector::const_iterator den_it = dens.begin(), den_itend = dens.end();
1927 //std::clog << " num = " << *num_it << ", den = " << *den_it << std::endl;
1928         ex num = *num_it++, den = *den_it++;
1929         while (num_it != num_itend) {
1930 //std::clog << " num = " << *num_it << ", den = " << *den_it << std::endl;
1931                 ex next_num = *num_it++, next_den = *den_it++;
1932
1933                 // Trivially add sequences of fractions with identical denominators
1934                 while ((den_it != den_itend) && next_den.is_equal(*den_it)) {
1935                         next_num += *num_it;
1936                         num_it++; den_it++;
1937                 }
1938
1939                 // Additiion of two fractions, taking advantage of the fact that
1940                 // the heuristic GCD algorithm computes the cofactors at no extra cost
1941                 ex co_den1, co_den2;
1942                 ex g = gcd(den, next_den, &co_den1, &co_den2, false);
1943                 num = ((num * co_den2) + (next_num * co_den1)).expand();
1944                 den *= co_den2;         // this is the lcm(den, next_den)
1945         }
1946 //std::clog << " common denominator = " << den << std::endl;
1947
1948         // Cancel common factors from num/den
1949         return frac_cancel(num, den);
1950 }
1951
1952
1953 /** Implementation of ex::normal() for a product. It cancels common factors
1954  *  from fractions.
1955  *  @see ex::normal() */
1956 ex mul::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1957 {
1958         if (level == 1)
1959                 return (new lst(replace_with_symbol(*this, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1960         else if (level == -max_recursion_level)
1961                 throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1962
1963         // Normalize children, separate into numerator and denominator
1964         exvector num; num.reserve(seq.size());
1965         exvector den; den.reserve(seq.size());
1966         ex n;
1967         epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1968         while (it != itend) {
1969                 n = ex_to<basic>(recombine_pair_to_ex(*it)).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1970                 num.push_back(n.op(0));
1971                 den.push_back(n.op(1));
1972                 it++;
1973         }
1974         n = ex_to<numeric>(overall_coeff).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1975         num.push_back(n.op(0));
1976         den.push_back(n.op(1));
1977
1978         // Perform fraction cancellation
1979         return frac_cancel((new mul(num))->setflag(status_flags::dynallocated),
1980                            (new mul(den))->setflag(status_flags::dynallocated));
1981 }
1982
1983
1984 /** Implementation of ex::normal([B) for powers. It normalizes the basis,
1985  *  distributes integer exponents to numerator and denominator, and replaces
1986  *  non-integer powers by temporary symbols.
1987  *  @see ex::normal */
1988 ex power::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
1989 {
1990         if (level == 1)
1991                 return (new lst(replace_with_symbol(*this, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
1992         else if (level == -max_recursion_level)
1993                 throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1994
1995         // Normalize basis and exponent (exponent gets reassembled)
1996         ex n_basis = ex_to<basic>(basis).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1997         ex n_exponent = ex_to<basic>(exponent).normal(repl, rev_lookup, level-1);
1998         n_exponent = n_exponent.op(0) / n_exponent.op(1);
1999
2000         if (n_exponent.info(info_flags::integer)) {
2001
2002                 if (n_exponent.info(info_flags::positive)) {
2003
2004                         // (a/b)^n -> {a^n, b^n}
2005                         return (new lst(power(n_basis.op(0), n_exponent), power(n_basis.op(1), n_exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2006
2007                 } else if (n_exponent.info(info_flags::negative)) {
2008
2009                         // (a/b)^-n -> {b^n, a^n}
2010                         return (new lst(power(n_basis.op(1), -n_exponent), power(n_basis.op(0), -n_exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2011                 }
2012
2013         } else {
2014
2015                 if (n_exponent.info(info_flags::positive)) {
2016
2017                         // (a/b)^x -> {sym((a/b)^x), 1}
2018                         return (new lst(replace_with_symbol(power(n_basis.op(0) / n_basis.op(1), n_exponent), repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
2019
2020                 } else if (n_exponent.info(info_flags::negative)) {
2021
2022                         if (n_basis.op(1).is_equal(_ex1)) {
2023
2024                                 // a^-x -> {1, sym(a^x)}
2025                                 return (new lst(_ex1, replace_with_symbol(power(n_basis.op(0), -n_exponent), repl, rev_lookup)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2026
2027                         } else {
2028
2029                                 // (a/b)^-x -> {sym((b/a)^x), 1}
2030                                 return (new lst(replace_with_symbol(power(n_basis.op(1) / n_basis.op(0), -n_exponent), repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
2031                         }
2032                 }
2033         }
2034
2035         // (a/b)^x -> {sym((a/b)^x, 1}
2036         return (new lst(replace_with_symbol(power(n_basis.op(0) / n_basis.op(1), n_exponent), repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
2037 }
2038
2039
2040 /** Implementation of ex::normal() for pseries. It normalizes each coefficient
2041  *  and replaces the series by a temporary symbol.
2042  *  @see ex::normal */
2043 ex pseries::normal(exmap & repl, exmap & rev_lookup, int level) const
2044 {
2045         epvector newseq;
2046         epvector::const_iterator i = seq.begin(), end = seq.end();
2047         while (i != end) {
2048                 ex restexp = i->rest.normal();
2049                 if (!restexp.is_zero())
2050                         newseq.push_back(expair(restexp, i->coeff));
2051                 ++i;
2052         }
2053         ex n = pseries(relational(var,point), newseq);
2054         return (new lst(replace_with_symbol(n, repl, rev_lookup), _ex1))->setflag(status_flags::dynallocated);
2055 }
2056
2057
2058 /** Normalization of rational functions.
2059  *  This function converts an expression to its normal form
2060  *  "numerator/denominator", where numerator and denominator are (relatively
2061  *  prime) polynomials. Any subexpressions which are not rational functions
2062  *  (like non-rational numbers, non-integer powers or functions like sin(),
2063  *  cos() etc.) are replaced by temporary symbols which are re-substituted by
2064  *  the (normalized) subexpressions before normal() returns (this way, any
2065  *  expression can be treated as a rational function). normal() is applied
2066  *  recursively to arguments of functions etc.
2067  *
2068  *  @param level maximum depth of recursion
2069  *  @return normalized expression */
2070 ex ex::normal(int level) const
2071 {
2072         exmap repl, rev_lookup;
2073
2074         ex e = bp->normal(repl, rev_lookup, level);
2075         GINAC_ASSERT(is_a<lst>(e));
2076
2077         // Re-insert replaced symbols
2078         if (!repl.empty())
2079                 e = e.subs(repl, subs_options::no_pattern);
2080
2081         // Convert {numerator, denominator} form back to fraction
2082         return e.op(0) / e.op(1);
2083 }
2084
2085 /** Get numerator of an expression. If the expression is not of the normal
2086  *  form "numerator/denominator", it is first converted to this form and
2087  *  then the numerator is returned.
2088  *
2089  *  @see ex::normal
2090  *  @return numerator */
2091 ex ex::numer() const
2092 {
2093         exmap repl, rev_lookup;
2094
2095         ex e = bp->normal(repl, rev_lookup, 0);
2096         GINAC_ASSERT(is_a<lst>(e));
2097
2098         // Re-insert replaced symbols
2099         if (repl.empty())
2100                 return e.op(0);
2101         else
2102                 return e.op(0).subs(repl, subs_options::no_pattern);
2103 }
2104
2105 /** Get denominator of an expression. If the expression is not of the normal
2106  *  form "numerator/denominator", it is first converted to this form and
2107  *  then the denominator is returned.
2108  *
2109  *  @see ex::normal
2110  *  @return denominator */
2111 ex ex::denom() const
2112 {
2113         exmap repl, rev_lookup;
2114
2115         ex e = bp->normal(repl, rev_lookup, 0);
2116         GINAC_ASSERT(is_a<lst>(e));
2117
2118         // Re-insert replaced symbols
2119         if (repl.empty())
2120                 return e.op(1);
2121         else
2122                 return e.op(1).subs(repl, subs_options::no_pattern);
2123 }
2124
2125 /** Get numerator and denominator of an expression. If the expresison is not
2126  *  of the normal form "numerator/denominator", it is first converted to this
2127  *  form and then a list [numerator, denominator] is returned.
2128  *
2129  *  @see ex::normal
2130  *  @return a list [numerator, denominator] */
2131 ex ex::numer_denom() const
2132 {
2133         exmap repl, rev_lookup;
2134
2135         ex e = bp->normal(repl, rev_lookup, 0);
2136         GINAC_ASSERT(is_a<lst>(e));
2137
2138         // Re-insert replaced symbols
2139         if (repl.empty())
2140                 return e;
2141         else
2142                 return e.subs(repl, subs_options::no_pattern);
2143 }
2144
2145
2146 /** Rationalization of non-rational functions.
2147  *  This function converts a general expression to a rational function
2148  *  by replacing all non-rational subexpressions (like non-rational numbers,
2149  *  non-integer powers or functions like sin(), cos() etc.) to temporary
2150  *  symbols. This makes it possible to use functions like gcd() and divide()
2151  *  on non-rational functions by applying to_rational() on the arguments,
2152  *  calling the desired function and re-substituting the temporary symbols
2153  *  in the result. To make the last step possible, all temporary symbols and
2154  *  their associated expressions are collected in the map specified by the
2155  *  repl parameter, ready to be passed as an argument to ex::subs().
2156  *
2157  *  @param repl collects all temporary symbols and their replacements
2158  *  @return rationalized expression */
2159 ex ex::to_rational(exmap & repl) const
2160 {
2161         return bp->to_rational(repl);
2162 }
2163
2164 // GiNaC 1.1 compatibility function
2165 ex ex::to_rational(lst & repl_lst) const
2166 {
2167         // Convert lst to exmap
2168         exmap m;
2169         for (lst::const_iterator it = repl_lst.begin(); it != repl_lst.end(); ++it)
2170                 m.insert(std::make_pair(it->op(0), it->op(1)));
2171
2172         ex ret = bp->to_rational(m);
2173
2174         // Convert exmap back to lst
2175         repl_lst.remove_all();
2176         for (exmap::const_iterator it = m.begin(); it != m.end(); ++it)
2177                 repl_lst.append(it->first == it->second);
2178
2179         return ret;
2180 }
2181
2182 ex ex::to_polynomial(exmap & repl) const
2183 {
2184         return bp->to_polynomial(repl);
2185 }
2186
2187 // GiNaC 1.1 compatibility function
2188 ex ex::to_polynomial(lst & repl_lst) const
2189 {
2190         // Convert lst to exmap
2191         exmap m;
2192         for (lst::const_iterator it = repl_lst.begin(); it != repl_lst.end(); ++it)
2193                 m.insert(std::make_pair(it->op(0), it->op(1)));
2194
2195         ex ret = bp->to_polynomial(m);
2196
2197         // Convert exmap back to lst
2198         repl_lst.remove_all();
2199         for (exmap::const_iterator it = m.begin(); it != m.end(); ++it)
2200                 repl_lst.append(it->first == it->second);
2201
2202         return ret;
2203 }
2204
2205 /** Default implementation of ex::to_rational(). This replaces the object with
2206  *  a temporary symbol. */
2207 ex basic::to_rational(exmap & repl) const
2208 {
2209         return replace_with_symbol(*this, repl);
2210 }
2211
2212 ex basic::to_polynomial(exmap & repl) const
2213 {
2214         return replace_with_symbol(*this, repl);
2215 }
2216
2217
2218 /** Implementation of ex::to_rational() for symbols. This returns the
2219  *  unmodified symbol. */
2220 ex symbol::to_rational(exmap & repl) const
2221 {
2222         return *this;
2223 }
2224
2225 /** Implementation of ex::to_polynomial() for symbols. This returns the
2226  *  unmodified symbol. */
2227 ex symbol::to_polynomial(exmap & repl) const
2228 {
2229         return *this;
2230 }
2231
2232
2233 /** Implementation of ex::to_rational() for a numeric. It splits complex
2234  *  numbers into re+I*im and replaces I and non-rational real numbers with a
2235  *  temporary symbol. */
2236 ex numeric::to_rational(exmap & repl) const
2237 {
2238         if (is_real()) {
2239                 if (!is_rational())
2240                         return replace_with_symbol(*this, repl);
2241         } else { // complex
2242                 numeric re = real();
2243                 numeric im = imag();
2244                 ex re_ex = re.is_rational() ? re : replace_with_symbol(re, repl);
2245                 ex im_ex = im.is_rational() ? im : replace_with_symbol(im, repl);
2246                 return re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, repl);
2247         }
2248         return *this;
2249 }
2250
2251 /** Implementation of ex::to_polynomial() for a numeric. It splits complex
2252  *  numbers into re+I*im and replaces I and non-integer real numbers with a
2253  *  temporary symbol. */
2254 ex numeric::to_polynomial(exmap & repl) const
2255 {
2256         if (is_real()) {
2257                 if (!is_integer())
2258                         return replace_with_symbol(*this, repl);
2259         } else { // complex
2260                 numeric re = real();
2261                 numeric im = imag();
2262                 ex re_ex = re.is_integer() ? re : replace_with_symbol(re, repl);
2263                 ex im_ex = im.is_integer() ? im : replace_with_symbol(im, repl);
2264                 return re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, repl);
2265         }
2266         return *this;
2267 }
2268
2269
2270 /** Implementation of ex::to_rational() for powers. It replaces non-integer
2271  *  powers by temporary symbols. */
2272 ex power::to_rational(exmap & repl) const
2273 {
2274         if (exponent.info(info_flags::integer))
2275                 return power(basis.to_rational(repl), exponent);
2276         else
2277                 return replace_with_symbol(*this, repl);
2278 }
2279
2280 /** Implementation of ex::to_polynomial() for powers. It replaces non-posint
2281  *  powers by temporary symbols. */
2282 ex power::to_polynomial(exmap & repl) const
2283 {
2284         if (exponent.info(info_flags::posint))
2285                 return power(basis.to_rational(repl), exponent);
2286         else
2287                 return replace_with_symbol(*this, repl);
2288 }
2289
2290
2291 /** Implementation of ex::to_rational() for expairseqs. */
2292 ex expairseq::to_rational(exmap & repl) const
2293 {
2294         epvector s;
2295         s.reserve(seq.size());
2296         epvector::const_iterator i = seq.begin(), end = seq.end();
2297         while (i != end) {
2298                 s.push_back(split_ex_to_pair(recombine_pair_to_ex(*i).to_rational(repl)));
2299                 ++i;
2300         }
2301         ex oc = overall_coeff.to_rational(repl);
2302         if (oc.info(info_flags::numeric))
2303                 return thisexpairseq(s, overall_coeff);
2304         else
2305                 s.push_back(combine_ex_with_coeff_to_pair(oc, _ex1));
2306         return thisexpairseq(s, default_overall_coeff());
2307 }
2308
2309 /** Implementation of ex::to_polynomial() for expairseqs. */
2310 ex expairseq::to_polynomial(exmap & repl) const
2311 {
2312         epvector s;
2313         s.reserve(seq.size());
2314         epvector::const_iterator i = seq.begin(), end = seq.end();
2315         while (i != end) {
2316                 s.push_back(split_ex_to_pair(recombine_pair_to_ex(*i).to_polynomial(repl)));
2317                 ++i;
2318         }
2319         ex oc = overall_coeff.to_polynomial(repl);
2320         if (oc.info(info_flags::numeric))
2321                 return thisexpairseq(s, overall_coeff);
2322         else
2323                 s.push_back(combine_ex_with_coeff_to_pair(oc, _ex1));
2324         return thisexpairseq(s, default_overall_coeff());
2325 }
2326
2327
2328 /** Remove the common factor in the terms of a sum 'e' by calculating the GCD,
2329  *  and multiply it into the expression 'factor' (which needs to be initialized
2330  *  to 1, unless you're accumulating factors). */
2331 static ex find_common_factor(const ex & e, ex & factor, exmap & repl)
2332 {
2333         if (is_exactly_a<add>(e)) {
2334
2335                 size_t num = e.nops();
2336                 exvector terms; terms.reserve(num);
2337                 ex gc;
2338
2339                 // Find the common GCD
2340                 for (size_t i=0; i<num; i++) {
2341                         ex x = e.op(i).to_polynomial(repl);
2342
2343                         if (is_exactly_a<add>(x) || is_exactly_a<mul>(x)) {
2344                                 ex f = 1;
2345                                 x = find_common_factor(x, f, repl);
2346                                 x *= f;
2347                         }
2348
2349                         if (i == 0)
2350                                 gc = x;
2351                         else
2352                                 gc = gcd(gc, x);
2353
2354                         terms.push_back(x);
2355                 }
2356
2357                 if (gc.is_equal(_ex1))
2358                         return e;
2359
2360                 // The GCD is the factor we pull out
2361                 factor *= gc;
2362
2363                 // Now divide all terms by the GCD
2364                 for (size_t i=0; i<num; i++) {
2365                         ex x;
2366
2367                         // Try to avoid divide() because it expands the polynomial
2368                         ex &t = terms[i];
2369                         if (is_exactly_a<mul>(t)) {
2370                                 for (size_t j=0; j<t.nops(); j++) {
2371                                         if (t.op(j).is_equal(gc)) {
2372                                                 exvector v; v.reserve(t.nops());
2373                                                 for (size_t k=0; k<t.nops(); k++) {
2374                                                         if (k == j)
2375                                                                 v.push_back(_ex1);
2376                                                         else
2377                                                                 v.push_back(t.op(k));
2378                                                 }
2379                                                 t = (new mul(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
2380                                                 goto term_done;
2381                                         }
2382                                 }
2383                         }
2384
2385                         divide(t, gc, x);
2386                         t = x;
2387 term_done:      ;
2388                 }
2389                 return (new add(terms))->setflag(status_flags::dynallocated);
2390
2391         } else if (is_exactly_a<mul>(e)) {
2392
2393                 size_t num = e.nops();
2394                 exvector v; v.reserve(num);
2395
2396                 for (size_t i=0; i<num; i++)
2397                         v.push_back(find_common_factor(e.op(i), factor, repl));
2398
2399                 return (new mul(v))->setflag(status_flags::dynallocated);
2400
2401         } else if (is_exactly_a<power>(e)) {
2402
2403                 return e.to_polynomial(repl);
2404
2405         } else
2406                 return e;
2407 }
2408
2409
2410 /** Collect common factors in sums. This converts expressions like
2411  *  'a*(b*x+b*y)' to 'a*b*(x+y)'. */
2412 ex collect_common_factors(const ex & e)
2413 {
2414         if (is_exactly_a<add>(e) || is_exactly_a<mul>(e)) {
2415
2416                 exmap repl;
2417                 ex factor = 1;
2418                 ex r = find_common_factor(e, factor, repl);
2419                 return factor.subs(repl, subs_options::no_pattern) * r.subs(repl, subs_options::no_pattern);
2420
2421         } else
2422                 return e;
2423 }
2424
2425
2426 /** Resultant of two expressions e1,e2 with respect to symbol s.
2427  *  Method: Compute determinant of Sylvester matrix of e1,e2,s.  */
2428 ex resultant(const ex & e1, const ex & e2, const ex & s)
2429 {
2430         const ex ee1 = e1.expand();
2431         const ex ee2 = e2.expand();
2432         if (!ee1.info(info_flags::polynomial) ||
2433             !ee2.info(info_flags::polynomial))
2434                 throw(std::runtime_error("resultant(): arguments must be polynomials"));
2435
2436         const int h1 = ee1.degree(s);
2437         const int l1 = ee1.ldegree(s);
2438         const int h2 = ee2.degree(s);
2439         const int l2 = ee2.ldegree(s);
2440
2441         const int msize = h1 + h2;
2442         matrix m(msize, msize);
2443
2444         for (int l = h1; l >= l1; --l) {
2445                 const ex e = ee1.coeff(s, l);
2446                 for (int k = 0; k < h2; ++k)
2447                         m(k, k+h1-l) = e;
2448         }
2449         for (int l = h2; l >= l2; --l) {
2450                 const ex e = ee2.coeff(s, l);
2451                 for (int k = 0; k < h1; ++k)
2452                         m(k+h2, k+h2-l) = e;
2453         }
2454
2455         return m.determinant();
2456 }
2457
2458
2459 } // namespace GiNaC