ginac/normal.cpp

   1 /** @file normal.cpp
   2  *
   3  *  This file implements several functions that work on univariate and
   4  *  multivariate polynomials and rational functions.
   5  *  These functions include polynomial quotient and remainder, GCD and LCM
   6  *  computation, square-free factorization and rational function normalization. */
   7
   8 /*
   9  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
  10  *
  11  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  12  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  13  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  14  *  (at your option) any later version.
  15  *
  16  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  17  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  18  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  19  *  GNU General Public License for more details.
  20  *
  21  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  22  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  23  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  24  */
  25
  26 #include <stdexcept>
  27 #include <algorithm>
  28 #include <map>
  29
  30 #include "normal.h"
  31 #include "basic.h"
  32 #include "ex.h"
  33 #include "add.h"
  34 #include "constant.h"
  35 #include "expairseq.h"
  36 #include "fail.h"
  37 #include "indexed.h"
  38 #include "inifcns.h"
  39 #include "lst.h"
  40 #include "mul.h"
  41 #include "ncmul.h"
  42 #include "numeric.h"
  43 #include "power.h"
  44 #include "relational.h"
  45 #include "pseries.h"
  46 #include "symbol.h"
  47 #include "utils.h"
  48
  49 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  50 namespace GiNaC {
  51 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  52
  53 // If comparing expressions (ex::compare()) is fast, you can set this to 1.
  54 // Some routines like quo(), rem() and gcd() will then return a quick answer
  55 // when they are called with two identical arguments.
  56 #define FAST_COMPARE 1
  57
  58 // Set this if you want divide_in_z() to use remembering
  59 #define USE_REMEMBER 0
  60
  61 // Set this if you want divide_in_z() to use trial division followed by
  62 // polynomial interpolation (always slower except for completely dense
  63 // polynomials)
  64 #define USE_TRIAL_DIVISION 0
  65
  66 // Set this to enable some statistical output for the GCD routines
  67 #define STATISTICS 0
  68
  69
  70 #if STATISTICS
  71 // Statistics variables
  72 static int gcd_called = 0;
  73 static int sr_gcd_called = 0;
  74 static int heur_gcd_called = 0;
  75 static int heur_gcd_failed = 0;
  76
  77 // Print statistics at end of program
  78 static struct _stat_print {
  79         _stat_print() {}
  80         ~_stat_print() {
  81                 cout << "gcd() called " << gcd_called << " times\n";
  82                 cout << "sr_gcd() called " << sr_gcd_called << " times\n";
  83                 cout << "heur_gcd() called " << heur_gcd_called << " times\n";
  84                 cout << "heur_gcd() failed " << heur_gcd_failed << " times\n";
  85         }
  86 } stat_print;
  87 #endif
  88
  89
  90 /** Return pointer to first symbol found in expression.  Due to GiNaC´s
  91  *  internal ordering of terms, it may not be obvious which symbol this
  92  *  function returns for a given expression.
  93  *
  94  *  @param e  expression to search
  95  *  @param x  pointer to first symbol found (returned)
  96  *  @return "false" if no symbol was found, "true" otherwise */
  97 static bool get_first_symbol(const ex &e, const symbol *&x)
  98 {
  99     if (is_ex_exactly_of_type(e, symbol)) {
 100         x = static_cast<symbol *>(e.bp);
 101         return true;
 102     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add) || is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 103         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 104             if (get_first_symbol(e.op(i), x))
 105                 return true;
 106     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
 107         if (get_first_symbol(e.op(0), x))
 108             return true;
 109     }
 110     return false;
 111 }
 112
 113
 114 /*
 115  *  Statistical information about symbols in polynomials
 116  */
 117
 118 /** This structure holds information about the highest and lowest degrees
 119  *  in which a symbol appears in two multivariate polynomials "a" and "b".
 120  *  A vector of these structures with information about all symbols in
 121  *  two polynomials can be created with the function get_symbol_stats().
 122  *
 123  *  @see get_symbol_stats */
 124 struct sym_desc {
 125     /** Pointer to symbol */
 126     const symbol *sym;
 127
 128     /** Highest degree of symbol in polynomial "a" */
 129     int deg_a;
 130
 131     /** Highest degree of symbol in polynomial "b" */
 132     int deg_b;
 133
 134     /** Lowest degree of symbol in polynomial "a" */
 135     int ldeg_a;
 136
 137     /** Lowest degree of symbol in polynomial "b" */
 138     int ldeg_b;
 139
 140     /** Maximum of deg_a and deg_b (Used for sorting) */
 141     int max_deg;
 142
 143     /** Commparison operator for sorting */
 144     bool operator<(const sym_desc &x) const {return max_deg < x.max_deg;}
 145 };
 146
 147 // Vector of sym_desc structures
 148 typedef std::vector<sym_desc> sym_desc_vec;
 149
 150 // Add symbol the sym_desc_vec (used internally by get_symbol_stats())
 151 static void add_symbol(const symbol *s, sym_desc_vec &v)
 152 {
 153     sym_desc_vec::iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 154     while (it != itend) {
 155         if (it->sym->compare(*s) == 0)  // If it's already in there, don't add it a second time
 156             return;
 157         it++;
 158     }
 159     sym_desc d;
 160     d.sym = s;
 161     v.push_back(d);
 162 }
 163
 164 // Collect all symbols of an expression (used internally by get_symbol_stats())
 165 static void collect_symbols(const ex &e, sym_desc_vec &v)
 166 {
 167     if (is_ex_exactly_of_type(e, symbol)) {
 168         add_symbol(static_cast<symbol *>(e.bp), v);
 169     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add) || is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 170         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 171             collect_symbols(e.op(i), v);
 172     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
 173         collect_symbols(e.op(0), v);
 174     }
 175 }
 176
 177 /** Collect statistical information about symbols in polynomials.
 178  *  This function fills in a vector of "sym_desc" structs which contain
 179  *  information about the highest and lowest degrees of all symbols that
 180  *  appear in two polynomials. The vector is then sorted by minimum
 181  *  degree (lowest to highest). The information gathered by this
 182  *  function is used by the GCD routines to identify trivial factors
 183  *  and to determine which variable to choose as the main variable
 184  *  for GCD computation.
 185  *
 186  *  @param a  first multivariate polynomial
 187  *  @param b  second multivariate polynomial
 188  *  @param v  vector of sym_desc structs (filled in) */
 189 static void get_symbol_stats(const ex &a, const ex &b, sym_desc_vec &v)
 190 {
 191     collect_symbols(a.eval(), v);   // eval() to expand assigned symbols
 192     collect_symbols(b.eval(), v);
 193     sym_desc_vec::iterator it = v.begin(), itend = v.end();
 194     while (it != itend) {
 195         int deg_a = a.degree(*(it->sym));
 196         int deg_b = b.degree(*(it->sym));
 197         it->deg_a = deg_a;
 198         it->deg_b = deg_b;
 199         it->max_deg = max(deg_a, deg_b);
 200         it->ldeg_a = a.ldegree(*(it->sym));
 201         it->ldeg_b = b.ldegree(*(it->sym));
 202         it++;
 203     }
 204     sort(v.begin(), v.end());
 205 #if 0
 206         std::clog << "Symbols:\n";
 207         it = v.begin(); itend = v.end();
 208         while (it != itend) {
 209                 std::clog << " " << *it->sym << ": deg_a=" << it->deg_a << ", deg_b=" << it->deg_b << ", ldeg_a=" << it->ldeg_a << ", ldeg_b=" << it->ldeg_b << ", max_deg=" << it->max_deg << endl;
 210                 std::clog << "  lcoeff_a=" << a.lcoeff(*(it->sym)) << ", lcoeff_b=" << b.lcoeff(*(it->sym)) << endl;
 211                 it++;
 212         }
 213 #endif
 214 }
 215
 216
 217 /*
 218  *  Computation of LCM of denominators of coefficients of a polynomial
 219  */
 220
 221 // Compute LCM of denominators of coefficients by going through the
 222 // expression recursively (used internally by lcm_of_coefficients_denominators())
 223 static numeric lcmcoeff(const ex &e, const numeric &l)
 224 {
 225     if (e.info(info_flags::rational))
 226         return lcm(ex_to_numeric(e).denom(), l);
 227     else if (is_ex_exactly_of_type(e, add)) {
 228         numeric c = _num1();
 229         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 230             c = lcmcoeff(e.op(i), c);
 231         return lcm(c, l);
 232     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 233         numeric c = _num1();
 234         for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 235             c *= lcmcoeff(e.op(i), _num1());
 236         return lcm(c, l);
 237     } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power))
 238         return pow(lcmcoeff(e.op(0), l), ex_to_numeric(e.op(1)));
 239     return l;
 240 }
 241
 242 /** Compute LCM of denominators of coefficients of a polynomial.
 243  *  Given a polynomial with rational coefficients, this function computes
 244  *  the LCM of the denominators of all coefficients. This can be used
 245  *  to bring a polynomial from Q[X] to Z[X].
 246  *
 247  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 248  *  @return LCM of denominators of coefficients */
 249 static numeric lcm_of_coefficients_denominators(const ex &e)
 250 {
 251     return lcmcoeff(e, _num1());
 252 }
 253
 254 /** Bring polynomial from Q[X] to Z[X] by multiplying in the previously
 255  *  determined LCM of the coefficient's denominators.
 256  *
 257  *  @param e  multivariate polynomial (need not be expanded)
 258  *  @param lcm  LCM to multiply in */
 259 static ex multiply_lcm(const ex &e, const numeric &lcm)
 260 {
 261         if (is_ex_exactly_of_type(e, mul)) {
 262                 ex c = _ex1();
 263                 numeric lcm_accum = _num1();
 264                 for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++) {
 265                         numeric op_lcm = lcmcoeff(e.op(i), _num1());
 266                         c *= multiply_lcm(e.op(i), op_lcm);
 267                         lcm_accum *= op_lcm;
 268                 }
 269                 c *= lcm / lcm_accum;
 270                 return c;
 271         } else if (is_ex_exactly_of_type(e, add)) {
 272                 ex c = _ex0();
 273                 for (unsigned i=0; i<e.nops(); i++)
 274                         c += multiply_lcm(e.op(i), lcm);
 275                 return c;
 276         } else if (is_ex_exactly_of_type(e, power)) {
 277                 return pow(multiply_lcm(e.op(0), lcm.power(ex_to_numeric(e.op(1)).inverse())), e.op(1));
 278         } else
 279                 return e * lcm;
 280 }
 281
 282
 283 /** Compute the integer content (= GCD of all numeric coefficients) of an
 284  *  expanded polynomial.
 285  *
 286  *  @param e  expanded polynomial
 287  *  @return integer content */
 288 numeric ex::integer_content(void) const
 289 {
 290     GINAC_ASSERT(bp!=0);
 291     return bp->integer_content();
 292 }
 293
 294 numeric basic::integer_content(void) const
 295 {
 296     return _num1();
 297 }
 298
 299 numeric numeric::integer_content(void) const
 300 {
 301     return abs(*this);
 302 }
 303
 304 numeric add::integer_content(void) const
 305 {
 306     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 307     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 308     numeric c = _num0();
 309     while (it != itend) {
 310         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
 311         GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(it->coeff,numeric));
 312         c = gcd(ex_to_numeric(it->coeff), c);
 313         it++;
 314     }
 315     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 316     c = gcd(ex_to_numeric(overall_coeff),c);
 317     return c;
 318 }
 319
 320 numeric mul::integer_content(void) const
 321 {
 322 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 323     epvector::const_iterator it = seq.begin();
 324     epvector::const_iterator itend = seq.end();
 325     while (it != itend) {
 326         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
 327         ++it;
 328     }
 329 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 330     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
 331     return abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
 332 }
 333
 334
 335 /*
 336  *  Polynomial quotients and remainders
 337  */
 338
 339 /** Quotient q(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 340  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 341  *
 342  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 343  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 344  *  @param x  a and b are polynomials in x
 345  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 346  *         coefficients (defaults to "true")
 347  *  @return quotient of a and b in Q[x] */
 348 ex quo(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 349 {
 350     if (b.is_zero())
 351         throw(std::overflow_error("quo: division by zero"));
 352     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 353         return a / b;
 354 #if FAST_COMPARE
 355     if (a.is_equal(b))
 356         return _ex1();
 357 #endif
 358     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 359         throw(std::invalid_argument("quo: arguments must be polynomials over the rationals"));
 360
 361     // Polynomial long division
 362     ex q = _ex0();
 363     ex r = a.expand();
 364     if (r.is_zero())
 365         return r;
 366     int bdeg = b.degree(x);
 367     int rdeg = r.degree(x);
 368     ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 369     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 370     while (rdeg >= bdeg) {
 371         ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 372         if (blcoeff_is_numeric)
 373             term = rcoeff / blcoeff;
 374         else {
 375             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 376                 return *new ex(fail());
 377         }
 378         term *= power(x, rdeg - bdeg);
 379         q += term;
 380         r -= (term * b).expand();
 381         if (r.is_zero())
 382             break;
 383         rdeg = r.degree(x);
 384     }
 385     return q;
 386 }
 387
 388
 389 /** Remainder r(x) of polynomials a(x) and b(x) in Q[x].
 390  *  It satisfies a(x)=b(x)*q(x)+r(x).
 391  *
 392  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 393  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 394  *  @param x  a and b are polynomials in x
 395  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 396  *         coefficients (defaults to "true")
 397  *  @return remainder of a(x) and b(x) in Q[x] */
 398 ex rem(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 399 {
 400     if (b.is_zero())
 401         throw(std::overflow_error("rem: division by zero"));
 402     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 403         if  (is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 404             return _ex0();
 405         else
 406             return b;
 407     }
 408 #if FAST_COMPARE
 409     if (a.is_equal(b))
 410         return _ex0();
 411 #endif
 412     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 413         throw(std::invalid_argument("rem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 414
 415     // Polynomial long division
 416     ex r = a.expand();
 417     if (r.is_zero())
 418         return r;
 419     int bdeg = b.degree(x);
 420     int rdeg = r.degree(x);
 421     ex blcoeff = b.expand().coeff(x, bdeg);
 422     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 423     while (rdeg >= bdeg) {
 424         ex term, rcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 425         if (blcoeff_is_numeric)
 426             term = rcoeff / blcoeff;
 427         else {
 428             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 429                 return *new ex(fail());
 430         }
 431         term *= power(x, rdeg - bdeg);
 432         r -= (term * b).expand();
 433         if (r.is_zero())
 434             break;
 435         rdeg = r.degree(x);
 436     }
 437     return r;
 438 }
 439
 440
 441 /** Pseudo-remainder of polynomials a(x) and b(x) in Z[x].
 442  *
 443  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 444  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 445  *  @param x  a and b are polynomials in x
 446  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 447  *         coefficients (defaults to "true")
 448  *  @return pseudo-remainder of a(x) and b(x) in Z[x] */
 449 ex prem(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 450 {
 451     if (b.is_zero())
 452         throw(std::overflow_error("prem: division by zero"));
 453     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 454         if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 455             return _ex0();
 456         else
 457             return b;
 458     }
 459     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 460         throw(std::invalid_argument("prem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 461
 462     // Polynomial long division
 463     ex r = a.expand();
 464     ex eb = b.expand();
 465     int rdeg = r.degree(x);
 466     int bdeg = eb.degree(x);
 467     ex blcoeff;
 468     if (bdeg <= rdeg) {
 469         blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 470         if (bdeg == 0)
 471             eb = _ex0();
 472         else
 473             eb -= blcoeff * power(x, bdeg);
 474     } else
 475         blcoeff = _ex1();
 476
 477     int delta = rdeg - bdeg + 1, i = 0;
 478     while (rdeg >= bdeg && !r.is_zero()) {
 479         ex rlcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 480         ex term = (power(x, rdeg - bdeg) * eb * rlcoeff).expand();
 481         if (rdeg == 0)
 482             r = _ex0();
 483         else
 484             r -= rlcoeff * power(x, rdeg);
 485         r = (blcoeff * r).expand() - term;
 486         rdeg = r.degree(x);
 487         i++;
 488     }
 489     return power(blcoeff, delta - i) * r;
 490 }
 491
 492
 493 /** Sparse pseudo-remainder of polynomials a(x) and b(x) in Z[x].
 494  *
 495  *  @param a  first polynomial in x (dividend)
 496  *  @param b  second polynomial in x (divisor)
 497  *  @param x  a and b are polynomials in x
 498  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 499  *         coefficients (defaults to "true")
 500  *  @return sparse pseudo-remainder of a(x) and b(x) in Z[x] */
 501
 502 ex sprem(const ex &a, const ex &b, const symbol &x, bool check_args)
 503 {
 504     if (b.is_zero())
 505         throw(std::overflow_error("prem: division by zero"));
 506     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 507         if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
 508             return _ex0();
 509         else
 510             return b;
 511     }
 512     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 513         throw(std::invalid_argument("prem: arguments must be polynomials over the rationals"));
 514
 515     // Polynomial long division
 516     ex r = a.expand();
 517     ex eb = b.expand();
 518     int rdeg = r.degree(x);
 519     int bdeg = eb.degree(x);
 520     ex blcoeff;
 521     if (bdeg <= rdeg) {
 522         blcoeff = eb.coeff(x, bdeg);
 523         if (bdeg == 0)
 524             eb = _ex0();
 525         else
 526             eb -= blcoeff * power(x, bdeg);
 527     } else
 528         blcoeff = _ex1();
 529
 530     while (rdeg >= bdeg && !r.is_zero()) {
 531         ex rlcoeff = r.coeff(x, rdeg);
 532         ex term = (power(x, rdeg - bdeg) * eb * rlcoeff).expand();
 533         if (rdeg == 0)
 534             r = _ex0();
 535         else
 536             r -= rlcoeff * power(x, rdeg);
 537         r = (blcoeff * r).expand() - term;
 538         rdeg = r.degree(x);
 539     }
 540     return r;
 541 }
 542
 543
 544 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Q[X].
 545  *
 546  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 547  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 548  *  @param q  quotient (returned)
 549  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
 550  *         coefficients (defaults to "true")
 551  *  @return "true" when exact division succeeds (quotient returned in q),
 552  *          "false" otherwise */
 553 bool divide(const ex &a, const ex &b, ex &q, bool check_args)
 554 {
 555     q = _ex0();
 556     if (b.is_zero())
 557         throw(std::overflow_error("divide: division by zero"));
 558     if (a.is_zero())
 559         return true;
 560     if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
 561         q = a / b;
 562         return true;
 563     } else if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric))
 564         return false;
 565 #if FAST_COMPARE
 566     if (a.is_equal(b)) {
 567         q = _ex1();
 568         return true;
 569     }
 570 #endif
 571     if (check_args && (!a.info(info_flags::rational_polynomial) ||
 572                        !b.info(info_flags::rational_polynomial)))
 573         throw(std::invalid_argument("divide: arguments must be polynomials over the rationals"));
 574
 575     // Find first symbol
 576     const symbol *x;
 577     if (!get_first_symbol(a, x) && !get_first_symbol(b, x))
 578         throw(std::invalid_argument("invalid expression in divide()"));
 579
 580     // Polynomial long division (recursive)
 581     ex r = a.expand();
 582     if (r.is_zero())
 583         return true;
 584     int bdeg = b.degree(*x);
 585     int rdeg = r.degree(*x);
 586     ex blcoeff = b.expand().coeff(*x, bdeg);
 587     bool blcoeff_is_numeric = is_ex_exactly_of_type(blcoeff, numeric);
 588     while (rdeg >= bdeg) {
 589         ex term, rcoeff = r.coeff(*x, rdeg);
 590         if (blcoeff_is_numeric)
 591             term = rcoeff / blcoeff;
 592         else
 593             if (!divide(rcoeff, blcoeff, term, false))
 594                 return false;
 595         term *= power(*x, rdeg - bdeg);
 596         q += term;
 597         r -= (term * b).expand();
 598         if (r.is_zero())
 599             return true;
 600         rdeg = r.degree(*x);
 601     }
 602     return false;
 603 }
 604
 605
 606 #if USE_REMEMBER
 607 /*
 608  *  Remembering
 609  */
 610
 611 typedef std::pair<ex, ex> ex2;
 612 typedef std::pair<ex, bool> exbool;
 613
 614 struct ex2_less {
 615     bool operator() (const ex2 p, const ex2 q) const
 616     {
 617         return p.first.compare(q.first) < 0 || (!(q.first.compare(p.first) < 0) && p.second.compare(q.second) < 0);
 618     }
 619 };
 620
 621 typedef std::map<ex2, exbool, ex2_less> ex2_exbool_remember;
 622 #endif
 623
 624
 625 /** Exact polynomial division of a(X) by b(X) in Z[X].
 626  *  This functions works like divide() but the input and output polynomials are
 627  *  in Z[X] instead of Q[X] (i.e. they have integer coefficients). Unlike
 628  *  divide(), it doesn´t check whether the input polynomials really are integer
 629  *  polynomials, so be careful of what you pass in. Also, you have to run
 630  *  get_symbol_stats() over the input polynomials before calling this function
 631  *  and pass an iterator to the first element of the sym_desc vector. This
 632  *  function is used internally by the heur_gcd().
 633  *
 634  *  @param a  first multivariate polynomial (dividend)
 635  *  @param b  second multivariate polynomial (divisor)
 636  *  @param q  quotient (returned)
 637  *  @param var  iterator to first element of vector of sym_desc structs
 638  *  @return "true" when exact division succeeds (the quotient is returned in
 639  *          q), "false" otherwise.
 640  *  @see get_symbol_stats, heur_gcd */
 641 static bool divide_in_z(const ex &a, const ex &b, ex &q, sym_desc_vec::const_iterator var)
 642 {
 643     q = _ex0();
 644     if (b.is_zero())
 645         throw(std::overflow_error("divide_in_z: division by zero"));
 646     if (b.is_equal(_ex1())) {
 647         q = a;
 648         return true;
 649     }
 650     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric)) {
 651         if (is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
 652             q = a / b;
 653             return q.info(info_flags::integer);
 654         } else
 655             return false;
 656     }
 657 #if FAST_COMPARE
 658     if (a.is_equal(b)) {
 659         q = _ex1();
 660         return true;
 661     }
 662 #endif
 663
 664 #if USE_REMEMBER
 665     // Remembering
 666     static ex2_exbool_remember dr_remember;
 667     ex2_exbool_remember::const_iterator remembered = dr_remember.find(ex2(a, b));
 668     if (remembered != dr_remember.end()) {
 669         q = remembered->second.first;
 670         return remembered->second.second;
 671     }
 672 #endif
 673
 674     // Main symbol
 675     const symbol *x = var->sym;
 676
 677     // Compare degrees
 678     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 679     if (bdeg > adeg)
 680         return false;
 681
 682 #if USE_TRIAL_DIVISION
 683
 684     // Trial division with polynomial interpolation
 685     int i, k;
 686
 687     // Compute values at evaluation points 0..adeg
 688     vector<numeric> alpha; alpha.reserve(adeg + 1);
 689     exvector u; u.reserve(adeg + 1);
 690     numeric point = _num0();
 691     ex c;
 692     for (i=0; i<=adeg; i++) {
 693         ex bs = b.subs(*x == point);
 694         while (bs.is_zero()) {
 695             point += _num1();
 696             bs = b.subs(*x == point);
 697         }
 698         if (!divide_in_z(a.subs(*x == point), bs, c, var+1))
 699             return false;
 700         alpha.push_back(point);
 701         u.push_back(c);
 702         point += _num1();
 703     }
 704
 705     // Compute inverses
 706     vector<numeric> rcp; rcp.reserve(adeg + 1);
 707     rcp.push_back(_num0());
 708     for (k=1; k<=adeg; k++) {
 709         numeric product = alpha[k] - alpha[0];
 710         for (i=1; i<k; i++)
 711             product *= alpha[k] - alpha[i];
 712         rcp.push_back(product.inverse());
 713     }
 714
 715     // Compute Newton coefficients
 716     exvector v; v.reserve(adeg + 1);
 717     v.push_back(u[0]);
 718     for (k=1; k<=adeg; k++) {
 719         ex temp = v[k - 1];
 720         for (i=k-2; i>=0; i--)
 721             temp = temp * (alpha[k] - alpha[i]) + v[i];
 722         v.push_back((u[k] - temp) * rcp[k]);
 723     }
 724
 725     // Convert from Newton form to standard form
 726     c = v[adeg];
 727     for (k=adeg-1; k>=0; k--)
 728         c = c * (*x - alpha[k]) + v[k];
 729
 730     if (c.degree(*x) == (adeg - bdeg)) {
 731         q = c.expand();
 732         return true;
 733     } else
 734         return false;
 735
 736 #else
 737
 738     // Polynomial long division (recursive)
 739     ex r = a.expand();
 740     if (r.is_zero())
 741         return true;
 742     int rdeg = adeg;
 743     ex eb = b.expand();
 744     ex blcoeff = eb.coeff(*x, bdeg);
 745     while (rdeg >= bdeg) {
 746         ex term, rcoeff = r.coeff(*x, rdeg);
 747         if (!divide_in_z(rcoeff, blcoeff, term, var+1))
 748             break;
 749         term = (term * power(*x, rdeg - bdeg)).expand();
 750         q += term;
 751         r -= (term * eb).expand();
 752         if (r.is_zero()) {
 753 #if USE_REMEMBER
 754             dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, true);
 755 #endif
 756             return true;
 757         }
 758         rdeg = r.degree(*x);
 759     }
 760 #if USE_REMEMBER
 761     dr_remember[ex2(a, b)] = exbool(q, false);
 762 #endif
 763     return false;
 764
 765 #endif
 766 }
 767
 768
 769 /*
 770  *  Separation of unit part, content part and primitive part of polynomials
 771  */
 772
 773 /** Compute unit part (= sign of leading coefficient) of a multivariate
 774  *  polynomial in Z[x]. The product of unit part, content part, and primitive
 775  *  part is the polynomial itself.
 776  *
 777  *  @param x  variable in which to compute the unit part
 778  *  @return unit part
 779  *  @see ex::content, ex::primpart */
 780 ex ex::unit(const symbol &x) const
 781 {
 782     ex c = expand().lcoeff(x);
 783     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 784         return c < _ex0() ? _ex_1() : _ex1();
 785     else {
 786         const symbol *y;
 787         if (get_first_symbol(c, y))
 788             return c.unit(*y);
 789         else
 790             throw(std::invalid_argument("invalid expression in unit()"));
 791     }
 792 }
 793
 794
 795 /** Compute content part (= unit normal GCD of all coefficients) of a
 796  *  multivariate polynomial in Z[x].  The product of unit part, content part,
 797  *  and primitive part is the polynomial itself.
 798  *
 799  *  @param x  variable in which to compute the content part
 800  *  @return content part
 801  *  @see ex::unit, ex::primpart */
 802 ex ex::content(const symbol &x) const
 803 {
 804     if (is_zero())
 805         return _ex0();
 806     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 807         return info(info_flags::negative) ? -*this : *this;
 808     ex e = expand();
 809     if (e.is_zero())
 810         return _ex0();
 811
 812     // First, try the integer content
 813     ex c = e.integer_content();
 814     ex r = e / c;
 815     ex lcoeff = r.lcoeff(x);
 816     if (lcoeff.info(info_flags::integer))
 817         return c;
 818
 819     // GCD of all coefficients
 820     int deg = e.degree(x);
 821     int ldeg = e.ldegree(x);
 822     if (deg == ldeg)
 823         return e.lcoeff(x) / e.unit(x);
 824     c = _ex0();
 825     for (int i=ldeg; i<=deg; i++)
 826         c = gcd(e.coeff(x, i), c, NULL, NULL, false);
 827     return c;
 828 }
 829
 830
 831 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Z[x].
 832  *  The product of unit part, content part, and primitive part is the
 833  *  polynomial itself.
 834  *
 835  *  @param x  variable in which to compute the primitive part
 836  *  @return primitive part
 837  *  @see ex::unit, ex::content */
 838 ex ex::primpart(const symbol &x) const
 839 {
 840     if (is_zero())
 841         return _ex0();
 842     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 843         return _ex1();
 844
 845     ex c = content(x);
 846     if (c.is_zero())
 847         return _ex0();
 848     ex u = unit(x);
 849     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 850         return *this / (c * u);
 851     else
 852         return quo(*this, c * u, x, false);
 853 }
 854
 855
 856 /** Compute primitive part of a multivariate polynomial in Z[x] when the
 857  *  content part is already known. This function is faster in computing the
 858  *  primitive part than the previous function.
 859  *
 860  *  @param x  variable in which to compute the primitive part
 861  *  @param c  previously computed content part
 862  *  @return primitive part */
 863 ex ex::primpart(const symbol &x, const ex &c) const
 864 {
 865     if (is_zero())
 866         return _ex0();
 867     if (c.is_zero())
 868         return _ex0();
 869     if (is_ex_exactly_of_type(*this, numeric))
 870         return _ex1();
 871
 872     ex u = unit(x);
 873     if (is_ex_exactly_of_type(c, numeric))
 874         return *this / (c * u);
 875     else
 876         return quo(*this, c * u, x, false);
 877 }
 878
 879
 880 /*
 881  *  GCD of multivariate polynomials
 882  */
 883
 884 /** Compute GCD of polynomials in Q[X] using the Euclidean algorithm (not
 885  *  really suited for multivariate GCDs). This function is only provided for
 886  *  testing purposes.
 887  *
 888  *  @param a  first multivariate polynomial
 889  *  @param b  second multivariate polynomial
 890  *  @param x  pointer to symbol (main variable) in which to compute the GCD in
 891  *  @return the GCD as a new expression
 892  *  @see gcd */
 893
 894 static ex eu_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol *x)
 895 {
 896 //std::clog << "eu_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
 897
 898     // Sort c and d so that c has higher degree
 899     ex c, d;
 900     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 901     if (adeg >= bdeg) {
 902         c = a;
 903         d = b;
 904     } else {
 905         c = b;
 906         d = a;
 907     }
 908
 909         // Normalize in Q[x]
 910         c = c / c.lcoeff(*x);
 911         d = d / d.lcoeff(*x);
 912
 913         // Euclidean algorithm
 914     ex r;
 915     for (;;) {
 916 //std::clog << " d = " << d << endl;
 917         r = rem(c, d, *x, false);
 918         if (r.is_zero())
 919             return d / d.lcoeff(*x);
 920         c = d;
 921                 d = r;
 922     }
 923 }
 924
 925
 926 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the Euclidean PRS algorithm
 927  *  with pseudo-remainders ("World's Worst GCD Algorithm", staying in Z[X]).
 928  *  This function is only provided for testing purposes.
 929  *
 930  *  @param a  first multivariate polynomial
 931  *  @param b  second multivariate polynomial
 932  *  @param x  pointer to symbol (main variable) in which to compute the GCD in
 933  *  @return the GCD as a new expression
 934  *  @see gcd */
 935
 936 static ex euprem_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol *x)
 937 {
 938 //std::clog << "euprem_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
 939
 940     // Sort c and d so that c has higher degree
 941     ex c, d;
 942     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 943     if (adeg >= bdeg) {
 944         c = a;
 945         d = b;
 946     } else {
 947         c = b;
 948         d = a;
 949     }
 950
 951         // Calculate GCD of contents
 952         ex gamma = gcd(c.content(*x), d.content(*x), NULL, NULL, false);
 953
 954         // Euclidean algorithm with pseudo-remainders
 955     ex r;
 956     for (;;) {
 957 //std::clog << " d = " << d << endl;
 958         r = prem(c, d, *x, false);
 959         if (r.is_zero())
 960             return d.primpart(*x) * gamma;
 961         c = d;
 962                 d = r;
 963     }
 964 }
 965
 966
 967 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the primitive Euclidean
 968  *  PRS algorithm (complete content removal at each step). This function is
 969  *  only provided for testing purposes.
 970  *
 971  *  @param a  first multivariate polynomial
 972  *  @param b  second multivariate polynomial
 973  *  @param x  pointer to symbol (main variable) in which to compute the GCD in
 974  *  @return the GCD as a new expression
 975  *  @see gcd */
 976
 977 static ex peu_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol *x)
 978 {
 979 //std::clog << "peu_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
 980
 981     // Sort c and d so that c has higher degree
 982     ex c, d;
 983     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
 984     int ddeg;
 985     if (adeg >= bdeg) {
 986         c = a;
 987         d = b;
 988         ddeg = bdeg;
 989     } else {
 990         c = b;
 991         d = a;
 992         ddeg = adeg;
 993     }
 994
 995     // Remove content from c and d, to be attached to GCD later
 996     ex cont_c = c.content(*x);
 997     ex cont_d = d.content(*x);
 998     ex gamma = gcd(cont_c, cont_d, NULL, NULL, false);
 999     if (ddeg == 0)
1000         return gamma;
1001     c = c.primpart(*x, cont_c);
1002     d = d.primpart(*x, cont_d);
1003
1004     // Euclidean algorithm with content removal
1005         ex r;
1006     for (;;) {
1007 //std::clog << " d = " << d << endl;
1008         r = prem(c, d, *x, false);
1009         if (r.is_zero())
1010             return gamma * d;
1011         c = d;
1012                 d = r.primpart(*x);
1013     }
1014 }
1015
1016
1017 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the reduced PRS algorithm.
1018  *  This function is only provided for testing purposes.
1019  *
1020  *  @param a  first multivariate polynomial
1021  *  @param b  second multivariate polynomial
1022  *  @param x  pointer to symbol (main variable) in which to compute the GCD in
1023  *  @return the GCD as a new expression
1024  *  @see gcd */
1025
1026 static ex red_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol *x)
1027 {
1028 //std::clog << "red_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
1029
1030     // Sort c and d so that c has higher degree
1031     ex c, d;
1032     int adeg = a.degree(*x), bdeg = b.degree(*x);
1033     int cdeg, ddeg;
1034     if (adeg >= bdeg) {
1035         c = a;
1036         d = b;
1037         cdeg = adeg;
1038         ddeg = bdeg;
1039     } else {
1040         c = b;
1041         d = a;
1042         cdeg = bdeg;
1043         ddeg = adeg;
1044     }
1045
1046     // Remove content from c and d, to be attached to GCD later
1047     ex cont_c = c.content(*x);
1048     ex cont_d = d.content(*x);
1049     ex gamma = gcd(cont_c, cont_d, NULL, NULL, false);
1050     if (ddeg == 0)
1051         return gamma;
1052     c = c.primpart(*x, cont_c);
1053     d = d.primpart(*x, cont_d);
1054
1055     // First element of divisor sequence
1056     ex r, ri = _ex1();
1057     int delta = cdeg - ddeg;
1058
1059     for (;;) {
1060         // Calculate polynomial pseudo-remainder
1061 //std::clog << " d = " << d << endl;
1062         r = prem(c, d, *x, false);
1063         if (r.is_zero())
1064             return gamma * d.primpart(*x);
1065         c = d;
1066         cdeg = ddeg;
1067
1068         if (!divide(r, pow(ri, delta), d, false))
1069             throw(std::runtime_error("invalid expression in red_gcd(), division failed"));
1070         ddeg = d.degree(*x);
1071         if (ddeg == 0) {
1072             if (is_ex_exactly_of_type(r, numeric))
1073                 return gamma;
1074             else
1075                 return gamma * r.primpart(*x);
1076         }
1077
1078         ri = c.expand().lcoeff(*x);
1079         delta = cdeg - ddeg;
1080     }
1081 }
1082
1083
1084 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the subresultant PRS
1085  *  algorithm. This function is used internally by gcd().
1086  *
1087  *  @param a   first multivariate polynomial
1088  *  @param b   second multivariate polynomial
1089  *  @param var iterator to first element of vector of sym_desc structs
1090  *  @return the GCD as a new expression
1091  *  @see gcd */
1092
1093 static ex sr_gcd(const ex &a, const ex &b, sym_desc_vec::const_iterator var)
1094 {
1095 //std::clog << "sr_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
1096 #if STATISTICS
1097         sr_gcd_called++;
1098 #endif
1099
1100     // The first symbol is our main variable
1101     const symbol &x = *(var->sym);
1102
1103     // Sort c and d so that c has higher degree
1104     ex c, d;
1105     int adeg = a.degree(x), bdeg = b.degree(x);
1106     int cdeg, ddeg;
1107     if (adeg >= bdeg) {
1108         c = a;
1109         d = b;
1110         cdeg = adeg;
1111         ddeg = bdeg;
1112     } else {
1113         c = b;
1114         d = a;
1115         cdeg = bdeg;
1116         ddeg = adeg;
1117     }
1118
1119     // Remove content from c and d, to be attached to GCD later
1120     ex cont_c = c.content(x);
1121     ex cont_d = d.content(x);
1122     ex gamma = gcd(cont_c, cont_d, NULL, NULL, false);
1123     if (ddeg == 0)
1124         return gamma;
1125     c = c.primpart(x, cont_c);
1126     d = d.primpart(x, cont_d);
1127 //std::clog << " content " << gamma << " removed, continuing with sr_gcd(" << c << "," << d << ")\n";
1128
1129     // First element of subresultant sequence
1130     ex r = _ex0(), ri = _ex1(), psi = _ex1();
1131     int delta = cdeg - ddeg;
1132
1133     for (;;) {
1134         // Calculate polynomial pseudo-remainder
1135 //std::clog << " start of loop, psi = " << psi << ", calculating pseudo-remainder...\n";
1136 //std::clog << " d = " << d << endl;
1137         r = prem(c, d, x, false);
1138         if (r.is_zero())
1139             return gamma * d.primpart(x);
1140         c = d;
1141         cdeg = ddeg;
1142 //std::clog << " dividing...\n";
1143         if (!divide_in_z(r, ri * pow(psi, delta), d, var))
1144             throw(std::runtime_error("invalid expression in sr_gcd(), division failed"));
1145         ddeg = d.degree(x);
1146         if (ddeg == 0) {
1147             if (is_ex_exactly_of_type(r, numeric))
1148                 return gamma;
1149             else
1150                 return gamma * r.primpart(x);
1151         }
1152
1153         // Next element of subresultant sequence
1154 //std::clog << " calculating next subresultant...\n";
1155         ri = c.expand().lcoeff(x);
1156         if (delta == 1)
1157             psi = ri;
1158         else if (delta)
1159             divide_in_z(pow(ri, delta), pow(psi, delta-1), psi, var+1);
1160         delta = cdeg - ddeg;
1161     }
1162 }
1163
1164
1165 /** Return maximum (absolute value) coefficient of a polynomial.
1166  *  This function is used internally by heur_gcd().
1167  *
1168  *  @param e  expanded multivariate polynomial
1169  *  @return maximum coefficient
1170  *  @see heur_gcd */
1171 numeric ex::max_coefficient(void) const
1172 {
1173     GINAC_ASSERT(bp!=0);
1174     return bp->max_coefficient();
1175 }
1176
1177 numeric basic::max_coefficient(void) const
1178 {
1179     return _num1();
1180 }
1181
1182 numeric numeric::max_coefficient(void) const
1183 {
1184     return abs(*this);
1185 }
1186
1187 numeric add::max_coefficient(void) const
1188 {
1189     epvector::const_iterator it = seq.begin();
1190     epvector::const_iterator itend = seq.end();
1191     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
1192     numeric cur_max = abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
1193     while (it != itend) {
1194         numeric a;
1195         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
1196         a = abs(ex_to_numeric(it->coeff));
1197         if (a > cur_max)
1198             cur_max = a;
1199         it++;
1200     }
1201     return cur_max;
1202 }
1203
1204 numeric mul::max_coefficient(void) const
1205 {
1206 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1207     epvector::const_iterator it = seq.begin();
1208     epvector::const_iterator itend = seq.end();
1209     while (it != itend) {
1210         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
1211         it++;
1212     }
1213 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
1214     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
1215     return abs(ex_to_numeric(overall_coeff));
1216 }
1217
1218
1219 /** Apply symmetric modular homomorphism to a multivariate polynomial.
1220  *  This function is used internally by heur_gcd().
1221  *
1222  *  @param e  expanded multivariate polynomial
1223  *  @param xi  modulus
1224  *  @return mapped polynomial
1225  *  @see heur_gcd */
1226 ex ex::smod(const numeric &xi) const
1227 {
1228     GINAC_ASSERT(bp!=0);
1229     return bp->smod(xi);
1230 }
1231
1232 ex basic::smod(const numeric &xi) const
1233 {
1234     return *this;
1235 }
1236
1237 ex numeric::smod(const numeric &xi) const
1238 {
1239 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1240     return GiNaC::smod(*this, xi);
1241 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1242     return ::smod(*this, xi);
1243 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1244 }
1245
1246 ex add::smod(const numeric &xi) const
1247 {
1248     epvector newseq;
1249     newseq.reserve(seq.size()+1);
1250     epvector::const_iterator it = seq.begin();
1251     epvector::const_iterator itend = seq.end();
1252     while (it != itend) {
1253         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(it->rest,numeric));
1254 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1255         numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(it->coeff), xi);
1256 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1257         numeric coeff = ::smod(ex_to_numeric(it->coeff), xi);
1258 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1259         if (!coeff.is_zero())
1260             newseq.push_back(expair(it->rest, coeff));
1261         it++;
1262     }
1263     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
1264 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1265     numeric coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(overall_coeff), xi);
1266 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1267     numeric coeff = ::smod(ex_to_numeric(overall_coeff), xi);
1268 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1269     return (new add(newseq,coeff))->setflag(status_flags::dynallocated);
1270 }
1271
1272 ex mul::smod(const numeric &xi) const
1273 {
1274 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
1275     epvector::const_iterator it = seq.begin();
1276     epvector::const_iterator itend = seq.end();
1277     while (it != itend) {
1278         GINAC_ASSERT(!is_ex_exactly_of_type(recombine_pair_to_ex(*it),numeric));
1279         it++;
1280     }
1281 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
1282     mul * mulcopyp=new mul(*this);
1283     GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(overall_coeff,numeric));
1284 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1285     mulcopyp->overall_coeff = GiNaC::smod(ex_to_numeric(overall_coeff),xi);
1286 #else // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1287     mulcopyp->overall_coeff = ::smod(ex_to_numeric(overall_coeff),xi);
1288 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
1289     mulcopyp->clearflag(status_flags::evaluated);
1290     mulcopyp->clearflag(status_flags::hash_calculated);
1291     return mulcopyp->setflag(status_flags::dynallocated);
1292 }
1293
1294
1295 /** xi-adic polynomial interpolation */
1296 static ex interpolate(const ex &gamma, const numeric &xi, const symbol &x)
1297 {
1298         ex g = _ex0();
1299         ex e = gamma;
1300         numeric rxi = xi.inverse();
1301         for (int i=0; !e.is_zero(); i++) {
1302                 ex gi = e.smod(xi);
1303                 g += gi * power(x, i);
1304                 e = (e - gi) * rxi;
1305         }
1306         return g;
1307 }
1308
1309 /** Exception thrown by heur_gcd() to signal failure. */
1310 class gcdheu_failed {};
1311
1312 /** Compute GCD of multivariate polynomials using the heuristic GCD algorithm.
1313  *  get_symbol_stats() must have been called previously with the input
1314  *  polynomials and an iterator to the first element of the sym_desc vector
1315  *  passed in. This function is used internally by gcd().
1316  *
1317  *  @param a  first multivariate polynomial (expanded)
1318  *  @param b  second multivariate polynomial (expanded)
1319  *  @param ca  cofactor of polynomial a (returned), NULL to suppress
1320  *             calculation of cofactor
1321  *  @param cb  cofactor of polynomial b (returned), NULL to suppress
1322  *             calculation of cofactor
1323  *  @param var iterator to first element of vector of sym_desc structs
1324  *  @return the GCD as a new expression
1325  *  @see gcd
1326  *  @exception gcdheu_failed() */
1327 static ex heur_gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, sym_desc_vec::const_iterator var)
1328 {
1329 //std::clog << "heur_gcd(" << a << "," << b << ")\n";
1330 #if STATISTICS
1331         heur_gcd_called++;
1332 #endif
1333
1334         // Algorithms only works for non-vanishing input polynomials
1335         if (a.is_zero() || b.is_zero())
1336                 return *new ex(fail());
1337
1338         // GCD of two numeric values -> CLN
1339     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
1340         numeric g = gcd(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1341         if (ca)
1342             *ca = ex_to_numeric(a) / g;
1343         if (cb)
1344             *cb = ex_to_numeric(b) / g;
1345         return g;
1346     }
1347
1348     // The first symbol is our main variable
1349     const symbol &x = *(var->sym);
1350
1351     // Remove integer content
1352     numeric gc = gcd(a.integer_content(), b.integer_content());
1353     numeric rgc = gc.inverse();
1354     ex p = a * rgc;
1355     ex q = b * rgc;
1356     int maxdeg = max(p.degree(x), q.degree(x));
1357
1358     // Find evaluation point
1359     numeric mp = p.max_coefficient(), mq = q.max_coefficient();
1360     numeric xi;
1361     if (mp > mq)
1362         xi = mq * _num2() + _num2();
1363     else
1364         xi = mp * _num2() + _num2();
1365
1366     // 6 tries maximum
1367     for (int t=0; t<6; t++) {
1368         if (xi.int_length() * maxdeg > 100000) {
1369 //std::clog << "giving up heur_gcd, xi.int_length = " << xi.int_length() << ", maxdeg = " << maxdeg << endl;
1370             throw gcdheu_failed();
1371                 }
1372
1373         // Apply evaluation homomorphism and calculate GCD
1374                 ex cp, cq;
1375         ex gamma = heur_gcd(p.subs(x == xi), q.subs(x == xi), &cp, &cq, var+1).expand();
1376         if (!is_ex_exactly_of_type(gamma, fail)) {
1377
1378             // Reconstruct polynomial from GCD of mapped polynomials
1379                         ex g = interpolate(gamma, xi, x);
1380
1381             // Remove integer content
1382             g /= g.integer_content();
1383
1384             // If the calculated polynomial divides both p and q, this is the GCD
1385             ex dummy;
1386             if (divide_in_z(p, g, ca ? *ca : dummy, var) && divide_in_z(q, g, cb ? *cb : dummy, var)) {
1387                 g *= gc;
1388                 ex lc = g.lcoeff(x);
1389                 if (is_ex_exactly_of_type(lc, numeric) && ex_to_numeric(lc).is_negative())
1390                     return -g;
1391                 else
1392                     return g;
1393             }
1394 #if 0
1395                         cp = interpolate(cp, xi, x);
1396                         if (divide_in_z(cp, p, g, var)) {
1397                                 if (divide_in_z(g, q, cb ? *cb : dummy, var)) {
1398                                         g *= gc;
1399                                         if (ca)
1400                                                 *ca = cp;
1401                         ex lc = g.lcoeff(x);
1402                         if (is_ex_exactly_of_type(lc, numeric) && ex_to_numeric(lc).is_negative())
1403                             return -g;
1404                         else
1405                             return g;
1406                                 }
1407                         }
1408                         cq = interpolate(cq, xi, x);
1409                         if (divide_in_z(cq, q, g, var)) {
1410                                 if (divide_in_z(g, p, ca ? *ca : dummy, var)) {
1411                                         g *= gc;
1412                                         if (cb)
1413                                                 *cb = cq;
1414                         ex lc = g.lcoeff(x);
1415                         if (is_ex_exactly_of_type(lc, numeric) && ex_to_numeric(lc).is_negative())
1416                             return -g;
1417                         else
1418                             return g;
1419                                 }
1420                         }
1421 #endif
1422         }
1423
1424         // Next evaluation point
1425         xi = iquo(xi * isqrt(isqrt(xi)) * numeric(73794), numeric(27011));
1426     }
1427     return *new ex(fail());
1428 }
1429
1430
1431 /** Compute GCD (Greatest Common Divisor) of multivariate polynomials a(X)
1432  *  and b(X) in Z[X].
1433  *
1434  *  @param a  first multivariate polynomial
1435  *  @param b  second multivariate polynomial
1436  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1437  *         coefficients (defaults to "true")
1438  *  @return the GCD as a new expression */
1439 ex gcd(const ex &a, const ex &b, ex *ca, ex *cb, bool check_args)
1440 {
1441 //std::clog << "gcd(" << a << "," << b << ")\n";
1442 #if STATISTICS
1443         gcd_called++;
1444 #endif
1445
1446         // GCD of numerics -> CLN
1447     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric)) {
1448         numeric g = gcd(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1449                 if (ca || cb) {
1450                         if (g.is_zero()) {
1451                                 if (ca)
1452                                         *ca = _ex0();
1453                                 if (cb)
1454                                         *cb = _ex0();
1455                         } else {
1456                         if (ca)
1457                             *ca = ex_to_numeric(a) / g;
1458                         if (cb)
1459                             *cb = ex_to_numeric(b) / g;
1460                         }
1461                 }
1462         return g;
1463     }
1464
1465         // Check arguments
1466     if (check_args && !a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial)) {
1467         throw(std::invalid_argument("gcd: arguments must be polynomials over the rationals"));
1468     }
1469
1470         // Partially factored cases (to avoid expanding large expressions)
1471         if (is_ex_exactly_of_type(a, mul)) {
1472                 if (is_ex_exactly_of_type(b, mul) && b.nops() > a.nops())
1473                         goto factored_b;
1474 factored_a:
1475                 ex g = _ex1();
1476                 ex acc_ca = _ex1();
1477                 ex part_b = b;
1478                 for (unsigned i=0; i<a.nops(); i++) {
1479                         ex part_ca, part_cb;
1480                         g *= gcd(a.op(i), part_b, &part_ca, &part_cb, check_args);
1481                         acc_ca *= part_ca;
1482                         part_b = part_cb;
1483                 }
1484                 if (ca)
1485                         *ca = acc_ca;
1486                 if (cb)
1487                         *cb = part_b;
1488                 return g;
1489         } else if (is_ex_exactly_of_type(b, mul)) {
1490                 if (is_ex_exactly_of_type(a, mul) && a.nops() > b.nops())
1491                         goto factored_a;
1492 factored_b:
1493                 ex g = _ex1();
1494                 ex acc_cb = _ex1();
1495                 ex part_a = a;
1496                 for (unsigned i=0; i<b.nops(); i++) {
1497                         ex part_ca, part_cb;
1498                         g *= gcd(part_a, b.op(i), &part_ca, &part_cb, check_args);
1499                         acc_cb *= part_cb;
1500                         part_a = part_ca;
1501                 }
1502                 if (ca)
1503                         *ca = part_a;
1504                 if (cb)
1505                         *cb = acc_cb;
1506                 return g;
1507         }
1508
1509 #if FAST_COMPARE
1510         // Input polynomials of the form poly^n are sometimes also trivial
1511         if (is_ex_exactly_of_type(a, power)) {
1512                 ex p = a.op(0);
1513                 if (is_ex_exactly_of_type(b, power)) {
1514                         if (p.is_equal(b.op(0))) {
1515                                 // a = p^n, b = p^m, gcd = p^min(n, m)
1516                                 ex exp_a = a.op(1), exp_b = b.op(1);
1517                                 if (exp_a < exp_b) {
1518                                         if (ca)
1519                                                 *ca = _ex1();
1520                                         if (cb)
1521                                                 *cb = power(p, exp_b - exp_a);
1522                                         return power(p, exp_a);
1523                                 } else {
1524                                         if (ca)
1525                                                 *ca = power(p, exp_a - exp_b);
1526                                         if (cb)
1527                                                 *cb = _ex1();
1528                                         return power(p, exp_b);
1529                                 }
1530                         }
1531                 } else {
1532                         if (p.is_equal(b)) {
1533                                 // a = p^n, b = p, gcd = p
1534                                 if (ca)
1535                                         *ca = power(p, a.op(1) - 1);
1536                                 if (cb)
1537                                         *cb = _ex1();
1538                                 return p;
1539                         }
1540                 }
1541         } else if (is_ex_exactly_of_type(b, power)) {
1542                 ex p = b.op(0);
1543                 if (p.is_equal(a)) {
1544                         // a = p, b = p^n, gcd = p
1545                         if (ca)
1546                                 *ca = _ex1();
1547                         if (cb)
1548                                 *cb = power(p, b.op(1) - 1);
1549                         return p;
1550                 }
1551         }
1552 #endif
1553
1554     // Some trivial cases
1555         ex aex = a.expand(), bex = b.expand();
1556     if (aex.is_zero()) {
1557         if (ca)
1558             *ca = _ex0();
1559         if (cb)
1560             *cb = _ex1();
1561         return b;
1562     }
1563     if (bex.is_zero()) {
1564         if (ca)
1565             *ca = _ex1();
1566         if (cb)
1567             *cb = _ex0();
1568         return a;
1569     }
1570     if (aex.is_equal(_ex1()) || bex.is_equal(_ex1())) {
1571         if (ca)
1572             *ca = a;
1573         if (cb)
1574             *cb = b;
1575         return _ex1();
1576     }
1577 #if FAST_COMPARE
1578     if (a.is_equal(b)) {
1579         if (ca)
1580             *ca = _ex1();
1581         if (cb)
1582             *cb = _ex1();
1583         return a;
1584     }
1585 #endif
1586
1587     // Gather symbol statistics
1588     sym_desc_vec sym_stats;
1589     get_symbol_stats(a, b, sym_stats);
1590
1591     // The symbol with least degree is our main variable
1592     sym_desc_vec::const_iterator var = sym_stats.begin();
1593     const symbol &x = *(var->sym);
1594
1595     // Cancel trivial common factor
1596     int ldeg_a = var->ldeg_a;
1597     int ldeg_b = var->ldeg_b;
1598     int min_ldeg = min(ldeg_a, ldeg_b);
1599     if (min_ldeg > 0) {
1600         ex common = power(x, min_ldeg);
1601 //std::clog << "trivial common factor " << common << endl;
1602         return gcd((aex / common).expand(), (bex / common).expand(), ca, cb, false) * common;
1603     }
1604
1605     // Try to eliminate variables
1606     if (var->deg_a == 0) {
1607 //std::clog << "eliminating variable " << x << " from b" << endl;
1608         ex c = bex.content(x);
1609         ex g = gcd(aex, c, ca, cb, false);
1610         if (cb)
1611             *cb *= bex.unit(x) * bex.primpart(x, c);
1612         return g;
1613     } else if (var->deg_b == 0) {
1614 //std::clog << "eliminating variable " << x << " from a" << endl;
1615         ex c = aex.content(x);
1616         ex g = gcd(c, bex, ca, cb, false);
1617         if (ca)
1618             *ca *= aex.unit(x) * aex.primpart(x, c);
1619         return g;
1620     }
1621
1622     ex g;
1623 #if 1
1624     // Try heuristic algorithm first, fall back to PRS if that failed
1625     try {
1626         g = heur_gcd(aex, bex, ca, cb, var);
1627     } catch (gcdheu_failed) {
1628         g = *new ex(fail());
1629     }
1630     if (is_ex_exactly_of_type(g, fail)) {
1631 //std::clog << "heuristics failed" << endl;
1632 #if STATISTICS
1633                 heur_gcd_failed++;
1634 #endif
1635 #endif
1636 //              g = heur_gcd(aex, bex, ca, cb, var);
1637 //              g = eu_gcd(aex, bex, &x);
1638 //              g = euprem_gcd(aex, bex, &x);
1639 //              g = peu_gcd(aex, bex, &x);
1640 //              g = red_gcd(aex, bex, &x);
1641                 g = sr_gcd(aex, bex, var);
1642                 if (g.is_equal(_ex1())) {
1643                         // Keep cofactors factored if possible
1644                         if (ca)
1645                                 *ca = a;
1646                         if (cb)
1647                                 *cb = b;
1648                 } else {
1649                 if (ca)
1650                     divide(aex, g, *ca, false);
1651                 if (cb)
1652                     divide(bex, g, *cb, false);
1653                 }
1654 #if 1
1655     } else {
1656                 if (g.is_equal(_ex1())) {
1657                         // Keep cofactors factored if possible
1658                         if (ca)
1659                                 *ca = a;
1660                         if (cb)
1661                                 *cb = b;
1662                 }
1663         }
1664 #endif
1665     return g;
1666 }
1667
1668
1669 /** Compute LCM (Least Common Multiple) of multivariate polynomials in Z[X].
1670  *
1671  *  @param a  first multivariate polynomial
1672  *  @param b  second multivariate polynomial
1673  *  @param check_args  check whether a and b are polynomials with rational
1674  *         coefficients (defaults to "true")
1675  *  @return the LCM as a new expression */
1676 ex lcm(const ex &a, const ex &b, bool check_args)
1677 {
1678     if (is_ex_exactly_of_type(a, numeric) && is_ex_exactly_of_type(b, numeric))
1679         return lcm(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1680     if (check_args && !a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial))
1681         throw(std::invalid_argument("lcm: arguments must be polynomials over the rationals"));
1682
1683     ex ca, cb;
1684     ex g = gcd(a, b, &ca, &cb, false);
1685     return ca * cb * g;
1686 }
1687
1688
1689 /*
1690  *  Square-free factorization
1691  */
1692
1693 // Univariate GCD of polynomials in Q[x] (used internally by sqrfree()).
1694 // a and b can be multivariate polynomials but they are treated as univariate polynomials in x.
1695 static ex univariate_gcd(const ex &a, const ex &b, const symbol &x)
1696 {
1697     if (a.is_zero())
1698         return b;
1699     if (b.is_zero())
1700         return a;
1701     if (a.is_equal(_ex1()) || b.is_equal(_ex1()))
1702         return _ex1();
1703     if (is_ex_of_type(a, numeric) && is_ex_of_type(b, numeric))
1704         return gcd(ex_to_numeric(a), ex_to_numeric(b));
1705     if (!a.info(info_flags::rational_polynomial) || !b.info(info_flags::rational_polynomial))
1706         throw(std::invalid_argument("univariate_gcd: arguments must be polynomials over the rationals"));
1707
1708     // Euclidean algorithm
1709     ex c, d, r;
1710     if (a.degree(x) >= b.degree(x)) {
1711         c = a;
1712         d = b;
1713     } else {
1714         c = b;
1715         d = a;
1716     }
1717     for (;;) {
1718         r = rem(c, d, x, false);
1719         if (r.is_zero())
1720             break;
1721         c = d;
1722         d = r;
1723     }
1724     return d / d.lcoeff(x);
1725 }
1726
1727
1728 /** Compute square-free factorization of multivariate polynomial a(x) using
1729  *  Yun´s algorithm.
1730  *
1731  * @param a  multivariate polynomial
1732  * @param x  variable to factor in
1733  * @return factored polynomial */
1734 ex sqrfree(const ex &a, const symbol &x)
1735 {
1736     int i = 1;
1737     ex res = _ex1();
1738     ex b = a.diff(x);
1739     ex c = univariate_gcd(a, b, x);
1740     ex w;
1741     if (c.is_equal(_ex1())) {
1742         w = a;
1743     } else {
1744         w = quo(a, c, x);
1745         ex y = quo(b, c, x);
1746         ex z = y - w.diff(x);
1747         while (!z.is_zero()) {
1748             ex g = univariate_gcd(w, z, x);
1749             res *= power(g, i);
1750             w = quo(w, g, x);
1751             y = quo(z, g, x);
1752             z = y - w.diff(x);
1753             i++;
1754         }
1755     }
1756     return res * power(w, i);
1757 }
1758
1759
1760 /*
1761  *  Normal form of rational functions
1762  */
1763
1764 /*
1765  *  Note: The internal normal() functions (= basic::normal() and overloaded
1766  *  functions) all return lists of the form {numerator, denominator}. This
1767  *  is to get around mul::eval()'s automatic expansion of numeric coefficients.
1768  *  E.g. (a+b)/3 is automatically converted to a/3+b/3 but we want to keep
1769  *  the information that (a+b) is the numerator and 3 is the denominator.
1770  */
1771
1772 /** Create a symbol for replacing the expression "e" (or return a previously
1773  *  assigned symbol). The symbol is appended to sym_lst and returned, the
1774  *  expression is appended to repl_lst.
1775  *  @see ex::normal */
1776 static ex replace_with_symbol(const ex &e, lst &sym_lst, lst &repl_lst)
1777 {
1778     // Expression already in repl_lst? Then return the assigned symbol
1779     for (unsigned i=0; i<repl_lst.nops(); i++)
1780         if (repl_lst.op(i).is_equal(e))
1781             return sym_lst.op(i);
1782
1783     // Otherwise create new symbol and add to list, taking care that the
1784         // replacement expression doesn't contain symbols from the sym_lst
1785         // because subs() is not recursive
1786         symbol s;
1787         ex es(s);
1788         ex e_replaced = e.subs(sym_lst, repl_lst);
1789     sym_lst.append(es);
1790     repl_lst.append(e_replaced);
1791     return es;
1792 }
1793
1794 /** Create a symbol for replacing the expression "e" (or return a previously
1795  *  assigned symbol). An expression of the form "symbol == expression" is added
1796  *  to repl_lst and the symbol is returned.
1797  *  @see ex::to_rational */
1798 static ex replace_with_symbol(const ex &e, lst &repl_lst)
1799 {
1800     // Expression already in repl_lst? Then return the assigned symbol
1801     for (unsigned i=0; i<repl_lst.nops(); i++)
1802         if (repl_lst.op(i).op(1).is_equal(e))
1803             return repl_lst.op(i).op(0);
1804
1805     // Otherwise create new symbol and add to list, taking care that the
1806         // replacement expression doesn't contain symbols from the sym_lst
1807         // because subs() is not recursive
1808         symbol s;
1809         ex es(s);
1810         ex e_replaced = e.subs(repl_lst);
1811     repl_lst.append(es == e_replaced);
1812     return es;
1813 }
1814
1815 /** Default implementation of ex::normal(). It replaces the object with a
1816  *  temporary symbol.
1817  *  @see ex::normal */
1818 ex basic::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1819 {
1820     return (new lst(replace_with_symbol(*this, sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1821 }
1822
1823
1824 /** Implementation of ex::normal() for symbols. This returns the unmodified symbol.
1825  *  @see ex::normal */
1826 ex symbol::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1827 {
1828     return (new lst(*this, _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1829 }
1830
1831
1832 /** Implementation of ex::normal() for a numeric. It splits complex numbers
1833  *  into re+I*im and replaces I and non-rational real numbers with a temporary
1834  *  symbol.
1835  *  @see ex::normal */
1836 ex numeric::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1837 {
1838         numeric num = numer();
1839         ex numex = num;
1840
1841     if (num.is_real()) {
1842         if (!num.is_integer())
1843             numex = replace_with_symbol(numex, sym_lst, repl_lst);
1844     } else { // complex
1845         numeric re = num.real(), im = num.imag();
1846         ex re_ex = re.is_rational() ? re : replace_with_symbol(re, sym_lst, repl_lst);
1847         ex im_ex = im.is_rational() ? im : replace_with_symbol(im, sym_lst, repl_lst);
1848         numex = re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, sym_lst, repl_lst);
1849     }
1850
1851         // Denominator is always a real integer (see numeric::denom())
1852         return (new lst(numex, denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1853 }
1854
1855
1856 /** Fraction cancellation.
1857  *  @param n  numerator
1858  *  @param d  denominator
1859  *  @return cancelled fraction {n, d} as a list */
1860 static ex frac_cancel(const ex &n, const ex &d)
1861 {
1862     ex num = n;
1863     ex den = d;
1864     numeric pre_factor = _num1();
1865
1866 //std::clog << "frac_cancel num = " << num << ", den = " << den << endl;
1867
1868     // Handle special cases where numerator or denominator is 0
1869     if (num.is_zero())
1870                 return (new lst(_ex0(), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1871     if (den.expand().is_zero())
1872         throw(std::overflow_error("frac_cancel: division by zero in frac_cancel"));
1873
1874     // Bring numerator and denominator to Z[X] by multiplying with
1875     // LCM of all coefficients' denominators
1876     numeric num_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(num);
1877     numeric den_lcm = lcm_of_coefficients_denominators(den);
1878         num = multiply_lcm(num, num_lcm);
1879         den = multiply_lcm(den, den_lcm);
1880     pre_factor = den_lcm / num_lcm;
1881
1882     // Cancel GCD from numerator and denominator
1883     ex cnum, cden;
1884     if (gcd(num, den, &cnum, &cden, false) != _ex1()) {
1885                 num = cnum;
1886                 den = cden;
1887         }
1888
1889         // Make denominator unit normal (i.e. coefficient of first symbol
1890         // as defined by get_first_symbol() is made positive)
1891         const symbol *x;
1892         if (get_first_symbol(den, x)) {
1893                 GINAC_ASSERT(is_ex_exactly_of_type(den.unit(*x),numeric));
1894                 if (ex_to_numeric(den.unit(*x)).is_negative()) {
1895                         num *= _ex_1();
1896                         den *= _ex_1();
1897                 }
1898         }
1899
1900         // Return result as list
1901 //std::clog << " returns num = " << num << ", den = " << den << ", pre_factor = " << pre_factor << endl;
1902     return (new lst(num * pre_factor.numer(), den * pre_factor.denom()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1903 }
1904
1905
1906 /** Implementation of ex::normal() for a sum. It expands terms and performs
1907  *  fractional addition.
1908  *  @see ex::normal */
1909 ex add::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1910 {
1911         if (level == 1)
1912                 return (new lst(*this, _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1913         else if (level == -max_recursion_level)
1914         throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1915
1916     // Normalize and expand children, chop into summands
1917     exvector o;
1918     o.reserve(seq.size()+1);
1919     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
1920     while (it != itend) {
1921
1922                 // Normalize and expand child
1923         ex n = recombine_pair_to_ex(*it).bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1).expand();
1924
1925                 // If numerator is a sum, chop into summands
1926         if (is_ex_exactly_of_type(n.op(0), add)) {
1927             epvector::const_iterator bit = ex_to_add(n.op(0)).seq.begin(), bitend = ex_to_add(n.op(0)).seq.end();
1928             while (bit != bitend) {
1929                 o.push_back((new lst(recombine_pair_to_ex(*bit), n.op(1)))->setflag(status_flags::dynallocated));
1930                 bit++;
1931             }
1932
1933                         // The overall_coeff is already normalized (== rational), we just
1934                         // split it into numerator and denominator
1935                         GINAC_ASSERT(ex_to_numeric(ex_to_add(n.op(0)).overall_coeff).is_rational());
1936                         numeric overall = ex_to_numeric(ex_to_add(n.op(0)).overall_coeff);
1937             o.push_back((new lst(overall.numer(), overall.denom() * n.op(1)))->setflag(status_flags::dynallocated));
1938         } else
1939             o.push_back(n);
1940         it++;
1941     }
1942     o.push_back(overall_coeff.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1));
1943
1944         // o is now a vector of {numerator, denominator} lists
1945
1946     // Determine common denominator
1947     ex den = _ex1();
1948     exvector::const_iterator ait = o.begin(), aitend = o.end();
1949 //std::clog << "add::normal uses the following summands:\n";
1950     while (ait != aitend) {
1951 //std::clog << " num = " << ait->op(0) << ", den = " << ait->op(1) << endl;
1952         den = lcm(ait->op(1), den, false);
1953         ait++;
1954     }
1955 //std::clog << " common denominator = " << den << endl;
1956
1957     // Add fractions
1958     if (den.is_equal(_ex1())) {
1959
1960                 // Common denominator is 1, simply add all fractions
1961         exvector num_seq;
1962                 for (ait=o.begin(); ait!=aitend; ait++) {
1963                         num_seq.push_back(ait->op(0) / ait->op(1));
1964                 }
1965                 return (new lst((new add(num_seq))->setflag(status_flags::dynallocated), den))->setflag(status_flags::dynallocated);
1966
1967         } else {
1968
1969                 // Perform fractional addition
1970         exvector num_seq;
1971         for (ait=o.begin(); ait!=aitend; ait++) {
1972             ex q;
1973             if (!divide(den, ait->op(1), q, false)) {
1974                 // should not happen
1975                 throw(std::runtime_error("invalid expression in add::normal, division failed"));
1976             }
1977             num_seq.push_back((ait->op(0) * q).expand());
1978         }
1979         ex num = (new add(num_seq))->setflag(status_flags::dynallocated);
1980
1981         // Cancel common factors from num/den
1982         return frac_cancel(num, den);
1983     }
1984 }
1985
1986
1987 /** Implementation of ex::normal() for a product. It cancels common factors
1988  *  from fractions.
1989  *  @see ex::normal() */
1990 ex mul::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
1991 {
1992         if (level == 1)
1993                 return (new lst(*this, _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
1994         else if (level == -max_recursion_level)
1995         throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
1996
1997     // Normalize children, separate into numerator and denominator
1998         ex num = _ex1();
1999         ex den = _ex1();
2000         ex n;
2001     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
2002     while (it != itend) {
2003                 n = recombine_pair_to_ex(*it).bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
2004                 num *= n.op(0);
2005                 den *= n.op(1);
2006         it++;
2007     }
2008         n = overall_coeff.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
2009         num *= n.op(0);
2010         den *= n.op(1);
2011
2012         // Perform fraction cancellation
2013     return frac_cancel(num, den);
2014 }
2015
2016
2017 /** Implementation of ex::normal() for powers. It normalizes the basis,
2018  *  distributes integer exponents to numerator and denominator, and replaces
2019  *  non-integer powers by temporary symbols.
2020  *  @see ex::normal */
2021 ex power::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
2022 {
2023         if (level == 1)
2024                 return (new lst(*this, _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2025         else if (level == -max_recursion_level)
2026         throw(std::runtime_error("max recursion level reached"));
2027
2028         // Normalize basis
2029     ex n = basis.bp->normal(sym_lst, repl_lst, level-1);
2030
2031         if (exponent.info(info_flags::integer)) {
2032
2033             if (exponent.info(info_flags::positive)) {
2034
2035                         // (a/b)^n -> {a^n, b^n}
2036                         return (new lst(power(n.op(0), exponent), power(n.op(1), exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2037
2038                 } else if (exponent.info(info_flags::negative)) {
2039
2040                         // (a/b)^-n -> {b^n, a^n}
2041                         return (new lst(power(n.op(1), -exponent), power(n.op(0), -exponent)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2042                 }
2043
2044         } else {
2045
2046                 if (exponent.info(info_flags::positive)) {
2047
2048                         // (a/b)^x -> {sym((a/b)^x), 1}
2049                         return (new lst(replace_with_symbol(power(n.op(0) / n.op(1), exponent), sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2050
2051                 } else if (exponent.info(info_flags::negative)) {
2052
2053                         if (n.op(1).is_equal(_ex1())) {
2054
2055                                 // a^-x -> {1, sym(a^x)}
2056                                 return (new lst(_ex1(), replace_with_symbol(power(n.op(0), -exponent), sym_lst, repl_lst)))->setflag(status_flags::dynallocated);
2057
2058                         } else {
2059
2060                                 // (a/b)^-x -> {sym((b/a)^x), 1}
2061                                 return (new lst(replace_with_symbol(power(n.op(1) / n.op(0), -exponent), sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2062                         }
2063
2064                 } else {        // exponent not numeric
2065
2066                         // (a/b)^x -> {sym((a/b)^x, 1}
2067                         return (new lst(replace_with_symbol(power(n.op(0) / n.op(1), exponent), sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2068                 }
2069     }
2070 }
2071
2072
2073 /** Implementation of ex::normal() for pseries. It normalizes each coefficient and
2074  *  replaces the series by a temporary symbol.
2075  *  @see ex::normal */
2076 ex pseries::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
2077 {
2078     epvector new_seq;
2079     new_seq.reserve(seq.size());
2080
2081     epvector::const_iterator it = seq.begin(), itend = seq.end();
2082     while (it != itend) {
2083         new_seq.push_back(expair(it->rest.normal(), it->coeff));
2084         it++;
2085     }
2086     ex n = pseries(relational(var,point), new_seq);
2087         return (new lst(replace_with_symbol(n, sym_lst, repl_lst), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2088 }
2089
2090
2091 /** Implementation of ex::normal() for relationals. It normalizes both sides.
2092  *  @see ex::normal */
2093 ex relational::normal(lst &sym_lst, lst &repl_lst, int level) const
2094 {
2095         return (new lst(relational(lh.normal(), rh.normal(), o), _ex1()))->setflag(status_flags::dynallocated);
2096 }
2097
2098
2099 /** Normalization of rational functions.
2100  *  This function converts an expression to its normal form
2101  *  "numerator/denominator", where numerator and denominator are (relatively
2102  *  prime) polynomials. Any subexpressions which are not rational functions
2103  *  (like non-rational numbers, non-integer powers or functions like sin(),
2104  *  cos() etc.) are replaced by temporary symbols which are re-substituted by
2105  *  the (normalized) subexpressions before normal() returns (this way, any
2106  *  expression can be treated as a rational function). normal() is applied
2107  *  recursively to arguments of functions etc.
2108  *
2109  *  @param level maximum depth of recursion
2110  *  @return normalized expression */
2111 ex ex::normal(int level) const
2112 {
2113     lst sym_lst, repl_lst;
2114
2115     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, level);
2116         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
2117
2118         // Re-insert replaced symbols
2119     if (sym_lst.nops() > 0)
2120         e = e.subs(sym_lst, repl_lst);
2121
2122         // Convert {numerator, denominator} form back to fraction
2123     return e.op(0) / e.op(1);
2124 }
2125
2126 /** Numerator of an expression. If the expression is not of the normal form
2127  *  "numerator/denominator", it is first converted to this form and then the
2128  *  numerator is returned.
2129  *
2130  *  @see ex::normal
2131  *  @return numerator */
2132 ex ex::numer(void) const
2133 {
2134     lst sym_lst, repl_lst;
2135
2136     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, 0);
2137         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
2138
2139         // Re-insert replaced symbols
2140     if (sym_lst.nops() > 0)
2141         return e.op(0).subs(sym_lst, repl_lst);
2142         else
2143                 return e.op(0);
2144 }
2145
2146 /** Denominator of an expression. If the expression is not of the normal form
2147  *  "numerator/denominator", it is first converted to this form and then the
2148  *  denominator is returned.
2149  *
2150  *  @see ex::normal
2151  *  @return denominator */
2152 ex ex::denom(void) const
2153 {
2154     lst sym_lst, repl_lst;
2155
2156     ex e = bp->normal(sym_lst, repl_lst, 0);
2157         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(e, lst));
2158
2159         // Re-insert replaced symbols
2160     if (sym_lst.nops() > 0)
2161         return e.op(1).subs(sym_lst, repl_lst);
2162         else
2163                 return e.op(1);
2164 }
2165
2166
2167 /** Default implementation of ex::to_rational(). It replaces the object with a
2168  *  temporary symbol.
2169  *  @see ex::to_rational */
2170 ex basic::to_rational(lst &repl_lst) const
2171 {
2172         return replace_with_symbol(*this, repl_lst);
2173 }
2174
2175
2176 /** Implementation of ex::to_rational() for symbols. This returns the
2177  *  unmodified symbol.
2178  *  @see ex::to_rational */
2179 ex symbol::to_rational(lst &repl_lst) const
2180 {
2181     return *this;
2182 }
2183
2184
2185 /** Implementation of ex::to_rational() for a numeric. It splits complex
2186  *  numbers into re+I*im and replaces I and non-rational real numbers with a
2187  *  temporary symbol.
2188  *  @see ex::to_rational */
2189 ex numeric::to_rational(lst &repl_lst) const
2190 {
2191     if (is_real()) {
2192         if (!is_rational())
2193             return replace_with_symbol(*this, repl_lst);
2194     } else { // complex
2195         numeric re = real();
2196         numeric im = imag();
2197         ex re_ex = re.is_rational() ? re : replace_with_symbol(re, repl_lst);
2198         ex im_ex = im.is_rational() ? im : replace_with_symbol(im, repl_lst);
2199         return re_ex + im_ex * replace_with_symbol(I, repl_lst);
2200     }
2201         return *this;
2202 }
2203
2204
2205 /** Implementation of ex::to_rational() for powers. It replaces non-integer
2206  *  powers by temporary symbols.
2207  *  @see ex::to_rational */
2208 ex power::to_rational(lst &repl_lst) const
2209 {
2210         if (exponent.info(info_flags::integer))
2211                 return power(basis.to_rational(repl_lst), exponent);
2212         else
2213                 return replace_with_symbol(*this, repl_lst);
2214 }
2215
2216
2217 /** Implementation of ex::to_rational() for expairseqs.
2218  *  @see ex::to_rational */
2219 ex expairseq::to_rational(lst &repl_lst) const
2220 {
2221     epvector s;
2222     s.reserve(seq.size());
2223     for (epvector::const_iterator it=seq.begin(); it!=seq.end(); ++it) {
2224         s.push_back(split_ex_to_pair(recombine_pair_to_ex(*it).to_rational(repl_lst)));
2225         // s.push_back(combine_ex_with_coeff_to_pair((*it).rest.to_rational(repl_lst),
2226     }
2227     ex oc = overall_coeff.to_rational(repl_lst);
2228     if (oc.info(info_flags::numeric))
2229         return thisexpairseq(s, overall_coeff);
2230     else s.push_back(combine_ex_with_coeff_to_pair(oc,_ex1()));
2231     return thisexpairseq(s, default_overall_coeff());
2232 }
2233
2234
2235 /** Rationalization of non-rational functions.
2236  *  This function converts a general expression to a rational polynomial
2237  *  by replacing all non-rational subexpressions (like non-rational numbers,
2238  *  non-integer powers or functions like sin(), cos() etc.) to temporary
2239  *  symbols. This makes it possible to use functions like gcd() and divide()
2240  *  on non-rational functions by applying to_rational() on the arguments,
2241  *  calling the desired function and re-substituting the temporary symbols
2242  *  in the result. To make the last step possible, all temporary symbols and
2243  *  their associated expressions are collected in the list specified by the
2244  *  repl_lst parameter in the form {symbol == expression}, ready to be passed
2245  *  as an argument to ex::subs().
2246  *
2247  *  @param repl_lst collects a list of all temporary symbols and their replacements
2248  *  @return rationalized expression */
2249 ex ex::to_rational(lst &repl_lst) const
2250 {
2251         return bp->to_rational(repl_lst);
2252 }
2253
2254
2255 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
2256 } // namespace GiNaC
2257 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC