ginac/matrix.cpp

   1 /** @file matrix.cpp
   2  *
   3  *  Implementation of symbolic matrices */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include <algorithm>
  24 #include <map>
  25 #include <stdexcept>
  26
  27 #include "matrix.h"
  28 #include "archive.h"
  29 #include "numeric.h"
  30 #include "lst.h"
  31 #include "utils.h"
  32 #include "debugmsg.h"
  33 #include "power.h"
  34 #include "symbol.h"
  35 #include "normal.h"
  36
  37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  38 namespace GiNaC {
  39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  40
  41 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(matrix, basic)
  42
  43 //////////
  44 // default constructor, destructor, copy constructor, assignment operator
  45 // and helpers:
  46 //////////
  47
  48 // public
  49
  50 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
  51 matrix::matrix()
  52         : inherited(TINFO_matrix), row(1), col(1)
  53 {
  54         debugmsg("matrix default constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  55         m.push_back(_ex0());
  56 }
  57
  58 matrix::~matrix()
  59 {
  60         debugmsg("matrix destructor",LOGLEVEL_DESTRUCT);
  61 }
  62
  63 matrix::matrix(const matrix & other)
  64 {
  65         debugmsg("matrix copy constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  66         copy(other);
  67 }
  68
  69 const matrix & matrix::operator=(const matrix & other)
  70 {
  71         debugmsg("matrix operator=",LOGLEVEL_ASSIGNMENT);
  72         if (this != &other) {
  73                 destroy(1);
  74                 copy(other);
  75         }
  76         return *this;
  77 }
  78
  79 // protected
  80
  81 void matrix::copy(const matrix & other)
  82 {
  83         inherited::copy(other);
  84         row = other.row;
  85         col = other.col;
  86         m = other.m;  // STL's vector copying invoked here
  87 }
  88
  89 void matrix::destroy(bool call_parent)
  90 {
  91         if (call_parent) inherited::destroy(call_parent);
  92 }
  93
  94 //////////
  95 // other constructors
  96 //////////
  97
  98 // public
  99
 100 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
 101  *
 102  *  @param r number of rows
 103  *  @param c number of cols */
 104 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
 105         : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
 106 {
 107         debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 108         m.resize(r*c, _ex0());
 109 }
 110
 111 // protected
 112
 113 /** Ctor from representation, for internal use only. */
 114 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
 115         : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c), m(m2)
 116 {
 117         debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned,exvector",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 118 }
 119
 120 //////////
 121 // archiving
 122 //////////
 123
 124 /** Construct object from archive_node. */
 125 matrix::matrix(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 126 {
 127         debugmsg("matrix constructor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 128         if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
 129                 throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
 130         m.reserve(row * col);
 131         for (unsigned int i=0; true; i++) {
 132                 ex e;
 133                 if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
 134                         m.push_back(e);
 135                 else
 136                         break;
 137         }
 138 }
 139
 140 /** Unarchive the object. */
 141 ex matrix::unarchive(const archive_node &n, const lst &sym_lst)
 142 {
 143         return (new matrix(n, sym_lst))->setflag(status_flags::dynallocated);
 144 }
 145
 146 /** Archive the object. */
 147 void matrix::archive(archive_node &n) const
 148 {
 149         inherited::archive(n);
 150         n.add_unsigned("row", row);
 151         n.add_unsigned("col", col);
 152         exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
 153         while (i != iend) {
 154                 n.add_ex("m", *i);
 155                 ++i;
 156         }
 157 }
 158
 159 //////////
 160 // functions overriding virtual functions from bases classes
 161 //////////
 162
 163 // public
 164
 165 basic * matrix::duplicate() const
 166 {
 167         debugmsg("matrix duplicate",LOGLEVEL_DUPLICATE);
 168         return new matrix(*this);
 169 }
 170
 171 void matrix::print(std::ostream & os, unsigned upper_precedence) const
 172 {
 173         debugmsg("matrix print",LOGLEVEL_PRINT);
 174         os << "[[ ";
 175         for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 176                 os << "[[";
 177                 for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 178                         os << m[r*col+c] << ",";
 179                 os << m[col*(r+1)-1] << "]], ";
 180         }
 181         os << "[[";
 182         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 183                 os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 184         os << m[row*col-1] << "]] ]]";
 185 }
 186
 187 void matrix::printraw(std::ostream & os) const
 188 {
 189         debugmsg("matrix printraw",LOGLEVEL_PRINT);
 190         os << "matrix(" << row << "," << col <<",";
 191         for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 192                 os << "(";
 193                 for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 194                         os << m[r*col+c] << ",";
 195                 os << m[col*(r-1)-1] << "),";
 196         }
 197         os << "(";
 198         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 199                 os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 200         os << m[row*col-1] << "))";
 201 }
 202
 203 /** nops is defined to be rows x columns. */
 204 unsigned matrix::nops() const
 205 {
 206         return row*col;
 207 }
 208
 209 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 210 ex matrix::op(int i) const
 211 {
 212         return m[i];
 213 }
 214
 215 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 216 ex & matrix::let_op(int i)
 217 {
 218         GINAC_ASSERT(i>=0);
 219         GINAC_ASSERT(i<nops());
 220
 221         return m[i];
 222 }
 223
 224 /** expands the elements of a matrix entry by entry. */
 225 ex matrix::expand(unsigned options) const
 226 {
 227         exvector tmp(row*col);
 228         for (unsigned i=0; i<row*col; ++i)
 229                 tmp[i] = m[i].expand(options);
 230
 231         return matrix(row, col, tmp);
 232 }
 233
 234 /** Search ocurrences.  A matrix 'has' an expression if it is the expression
 235  *  itself or one of the elements 'has' it. */
 236 bool matrix::has(const ex & other) const
 237 {
 238         GINAC_ASSERT(other.bp!=0);
 239
 240         // tautology: it is the expression itself
 241         if (is_equal(*other.bp)) return true;
 242
 243         // search all the elements
 244         for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r)
 245                 if ((*r).has(other)) return true;
 246
 247         return false;
 248 }
 249
 250 /** evaluate matrix entry by entry. */
 251 ex matrix::eval(int level) const
 252 {
 253         debugmsg("matrix eval",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 254
 255         // check if we have to do anything at all
 256         if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
 257                 return *this;
 258
 259         // emergency break
 260         if (level == -max_recursion_level)
 261                 throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
 262
 263         // eval() entry by entry
 264         exvector m2(row*col);
 265         --level;
 266         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 267                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 268                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
 269
 270         return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
 271                                                                                            status_flags::evaluated );
 272 }
 273
 274 /** evaluate matrix numerically entry by entry. */
 275 ex matrix::evalf(int level) const
 276 {
 277         debugmsg("matrix evalf",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 278
 279         // check if we have to do anything at all
 280         if (level==1)
 281                 return *this;
 282
 283         // emergency break
 284         if (level == -max_recursion_level) {
 285                 throw (std::runtime_error("matrix::evalf(): recursion limit exceeded"));
 286         }
 287
 288         // evalf() entry by entry
 289         exvector m2(row*col);
 290         --level;
 291         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 292                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 293                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].evalf(level);
 294
 295         return matrix(row, col, m2);
 296 }
 297
 298 // protected
 299
 300 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
 301 {
 302         GINAC_ASSERT(is_exactly_of_type(other, matrix));
 303         const matrix & o = static_cast<matrix &>(const_cast<basic &>(other));
 304
 305         // compare number of rows
 306         if (row != o.rows())
 307                 return row < o.rows() ? -1 : 1;
 308
 309         // compare number of columns
 310         if (col != o.cols())
 311                 return col < o.cols() ? -1 : 1;
 312
 313         // equal number of rows and columns, compare individual elements
 314         int cmpval;
 315         for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 316                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 317                         cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
 318                         if (cmpval!=0) return cmpval;
 319                 }
 320         }
 321         // all elements are equal => matrices are equal;
 322         return 0;
 323 }
 324
 325 //////////
 326 // non-virtual functions in this class
 327 //////////
 328
 329 // public
 330
 331 /** Sum of matrices.
 332  *
 333  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 334 matrix matrix::add(const matrix & other) const
 335 {
 336         if (col != other.col || row != other.row)
 337                 throw (std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices"));
 338
 339         exvector sum(this->m);
 340         exvector::iterator i;
 341         exvector::const_iterator ci;
 342         for (i=sum.begin(), ci=other.m.begin(); i!=sum.end(); ++i, ++ci)
 343                 (*i) += (*ci);
 344
 345         return matrix(row,col,sum);
 346 }
 347
 348
 349 /** Difference of matrices.
 350  *
 351  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 352 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
 353 {
 354         if (col != other.col || row != other.row)
 355                 throw (std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices"));
 356
 357         exvector dif(this->m);
 358         exvector::iterator i;
 359         exvector::const_iterator ci;
 360         for (i=dif.begin(), ci=other.m.begin(); i!=dif.end(); ++i, ++ci)
 361                 (*i) -= (*ci);
 362
 363         return matrix(row,col,dif);
 364 }
 365
 366
 367 /** Product of matrices.
 368  *
 369  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 370 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
 371 {
 372         if (this->cols() != other.rows())
 373                 throw (std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices"));
 374
 375         exvector prod(this->rows()*other.cols());
 376
 377         for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
 378                 for (unsigned c=0; c<this->cols(); ++c) {
 379                         if (m[r1*col+c].is_zero())
 380                                 continue;
 381                         for (unsigned r2=0; r2<other.cols(); ++r2)
 382                                 prod[r1*other.col+r2] += (m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2]).expand();
 383                 }
 384         }
 385         return matrix(row, other.col, prod);
 386 }
 387
 388
 389 /** operator() to access elements.
 390  *
 391  *  @param ro row of element
 392  *  @param co column of element
 393  *  @exception range_error (index out of range) */
 394 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
 395 {
 396         if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 397                 throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 398
 399         return m[ro*col+co];
 400 }
 401
 402
 403 /** Set individual elements manually.
 404  *
 405  *  @exception range_error (index out of range) */
 406 matrix & matrix::set(unsigned ro, unsigned co, ex value)
 407 {
 408         if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 409                 throw (std::range_error("matrix::set(): index out of range"));
 410
 411         ensure_if_modifiable();
 412         m[ro*col+co] = value;
 413         return *this;
 414 }
 415
 416
 417 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
 418  *  represents the transposed. */
 419 matrix matrix::transpose(void) const
 420 {
 421         exvector trans(this->cols()*this->rows());
 422
 423         for (unsigned r=0; r<this->cols(); ++r)
 424                 for (unsigned c=0; c<this->rows(); ++c)
 425                         trans[r*this->rows()+c] = m[c*this->cols()+r];
 426
 427         return matrix(this->cols(),this->rows(),trans);
 428 }
 429
 430
 431 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
 432  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
 433  *  run.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
 434  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
 435  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
 436  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
 437  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
 438  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
 439  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
 440  *
 441  *  @param     algo allows to chose an algorithm
 442  *  @return    the determinant as a new expression
 443  *  @exception logic_error (matrix not square)
 444  *  @see       determinant_algo */
 445 ex matrix::determinant(unsigned algo) const
 446 {
 447         if (row!=col)
 448                 throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
 449         GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 450
 451         // Gather some statistical information about this matrix:
 452         bool numeric_flag = true;
 453         bool normal_flag = false;
 454         unsigned sparse_count = 0;  // counts non-zero elements
 455         for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 456                 lst srl;  // symbol replacement list
 457                 ex rtest = (*r).to_rational(srl);
 458                 if (!rtest.is_zero())
 459                         ++sparse_count;
 460                 if (!rtest.info(info_flags::numeric))
 461                         numeric_flag = false;
 462                 if (!rtest.info(info_flags::crational_polynomial) &&
 463                          rtest.info(info_flags::rational_function))
 464                         normal_flag = true;
 465         }
 466
 467         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
 468         if (algo == determinant_algo::automatic) {
 469                 // Minor expansion is generally a good guess:
 470                 algo = determinant_algo::laplace;
 471                 // Does anybody know when a matrix is really sparse?
 472                 // Maybe <~row/2.236 nonzero elements average in a row?
 473                 if (row>3 && 5*sparse_count<=row*col)
 474                         algo = determinant_algo::bareiss;
 475                 // Purely numeric matrix can be handled by Gauss elimination.
 476                 // This overrides any prior decisions.
 477                 if (numeric_flag)
 478                         algo = determinant_algo::gauss;
 479         }
 480
 481         // Trap the trivial case here, since some algorithms don't like it
 482         if (this->row==1) {
 483                 // for consistency with non-trivial determinants...
 484                 if (normal_flag)
 485                         return m[0].normal();
 486                 else
 487                         return m[0].expand();
 488         }
 489
 490         // Compute the determinant
 491         switch(algo) {
 492                 case determinant_algo::gauss: {
 493                         ex det = 1;
 494                         matrix tmp(*this);
 495                         int sign = tmp.gauss_elimination(true);
 496                         for (unsigned d=0; d<row; ++d)
 497                                 det *= tmp.m[d*col+d];
 498                         if (normal_flag)
 499                                 return (sign*det).normal();
 500                         else
 501                                 return (sign*det).normal().expand();
 502                 }
 503                 case determinant_algo::bareiss: {
 504                         matrix tmp(*this);
 505                         int sign;
 506                         sign = tmp.fraction_free_elimination(true);
 507                         if (normal_flag)
 508                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).normal();
 509                         else
 510                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).expand();
 511                 }
 512                 case determinant_algo::divfree: {
 513                         matrix tmp(*this);
 514                         int sign;
 515                         sign = tmp.division_free_elimination(true);
 516                         if (sign==0)
 517                                 return _ex0();
 518                         ex det = tmp.m[row*col-1];
 519                         // factor out accumulated bogus slag
 520                         for (unsigned d=0; d<row-2; ++d)
 521                                 for (unsigned j=0; j<row-d-2; ++j)
 522                                         det = (det/tmp.m[d*col+d]).normal();
 523                         return (sign*det);
 524                 }
 525                 case determinant_algo::laplace:
 526                 default: {
 527                         // This is the minor expansion scheme.  We always develop such
 528                         // that the smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the
 529                         // rightmost column.  For this to be efficient it turns out that
 530                         // the emptiest columns (i.e. the ones with most zeros) should be
 531                         // the ones on the right hand side.  Therefore we presort the
 532                         // columns of the matrix:
 533                         typedef std::pair<unsigned,unsigned> uintpair;
 534                         std::vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
 535                         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 536                                 unsigned acc = 0;
 537                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 538                                         if (m[r*col+c].is_zero())
 539                                                 ++acc;
 540                                 c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
 541                         }
 542                         sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
 543                         std::vector<unsigned> pre_sort;
 544                         for (std::vector<uintpair>::iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
 545                                 pre_sort.push_back(i->second);
 546                         int sign = permutation_sign(pre_sort);
 547                         exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
 548                         unsigned c = 0;
 549                         for (std::vector<unsigned>::iterator i=pre_sort.begin();
 550                                  i!=pre_sort.end();
 551                                  ++i,++c) {
 552                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 553                                         result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
 554                         }
 555
 556                         if (normal_flag)
 557                                 return (sign*matrix(row,col,result).determinant_minor()).normal();
 558                         else
 559                                 return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
 560                 }
 561         }
 562 }
 563
 564
 565 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
 566  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
 567  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
 568  *
 569  *  @return    the sum of diagonal elements
 570  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 571 ex matrix::trace(void) const
 572 {
 573         if (row != col)
 574                 throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
 575
 576         ex tr;
 577         for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 578                 tr += m[r*col+r];
 579
 580         if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
 581                 !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
 582                 return tr.normal();
 583         else
 584                 return tr.expand();
 585 }
 586
 587
 588 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
 589  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
 590  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
 591  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
 592  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
 593  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
 594  *  new expression.
 595  *
 596  *  @return    characteristic polynomial as new expression
 597  *  @exception logic_error (matrix not square)
 598  *  @see       matrix::determinant() */
 599 ex matrix::charpoly(const symbol & lambda) const
 600 {
 601         if (row != col)
 602                 throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
 603
 604         bool numeric_flag = true;
 605         for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 606                 if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
 607                         numeric_flag = false;
 608                 }
 609         }
 610
 611         // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
 612         // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
 613         // every coefficient.  The expensive part is the matrix multiplication.
 614         if (numeric_flag) {
 615                 matrix B(*this);
 616                 ex c = B.trace();
 617                 ex poly = power(lambda,row)-c*power(lambda,row-1);
 618                 for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
 619                         for (unsigned j=0; j<row; ++j)
 620                                 B.m[j*col+j] -= c;
 621                         B = this->mul(B);
 622                         c = B.trace()/ex(i+1);
 623                         poly -= c*power(lambda,row-i-1);
 624                 }
 625                 if (row%2)
 626                         return -poly;
 627                 else
 628                         return poly;
 629         }
 630
 631         matrix M(*this);
 632         for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 633                 M.m[r*col+r] -= lambda;
 634
 635         return M.determinant().collect(lambda);
 636 }
 637
 638
 639 /** Inverse of this matrix.
 640  *
 641  *  @return    the inverted matrix
 642  *  @exception logic_error (matrix not square)
 643  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 644 matrix matrix::inverse(void) const
 645 {
 646         if (row != col)
 647                 throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
 648
 649         // NOTE: the Gauss-Jordan elimination used here can in principle be
 650         // replaced this by two clever calls to gauss_elimination() and some to
 651         // transpose().  Wouldn't be more efficient (maybe less?), just more
 652         // orthogonal.
 653         matrix tmp(row,col);
 654         // set tmp to the unit matrix
 655         for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 656                 tmp.m[i*col+i] = _ex1();
 657
 658         // create a copy of this matrix
 659         matrix cpy(*this);
 660         for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 661                 int indx = cpy.pivot(r1, r1);
 662                 if (indx == -1) {
 663                         throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
 664                 }
 665                 if (indx != 0) {  // swap rows r and indx of matrix tmp
 666                         for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 667                                 tmp.m[r1*col+i].swap(tmp.m[indx*col+i]);
 668                 }
 669                 ex a1 = cpy.m[r1*col+r1];
 670                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 671                         cpy.m[r1*col+c] /= a1;
 672                         tmp.m[r1*col+c] /= a1;
 673                 }
 674                 for (unsigned r2=0; r2<row; ++r2) {
 675                         if (r2 != r1) {
 676                                 ex a2 = cpy.m[r2*col+r1];
 677                                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 678                                         cpy.m[r2*col+c] -= a2 * cpy.m[r1*col+c];
 679                                         if (!cpy.m[r2*col+c].info(info_flags::numeric))
 680                                                 cpy.m[r2*col+c] = cpy.m[r2*col+c].normal();
 681                                         tmp.m[r2*col+c] -= a2 * tmp.m[r1*col+c];
 682                                         if (!tmp.m[r2*col+c].info(info_flags::numeric))
 683                                                 tmp.m[r2*col+c] = tmp.m[r2*col+c].normal();
 684                                 }
 685                         }
 686                 }
 687         }
 688
 689         return tmp;
 690 }
 691
 692
 693 /** Solve a linear system consisting of a m x n matrix and a m x p right hand
 694  *  side by applying an elimination scheme to the augmented matrix.
 695  *
 696  *  @param vars n x p matrix, all elements must be symbols
 697  *  @param rhs m x p matrix
 698  *  @return n x p solution matrix
 699  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 700  *  @exception invalid_argument (1st argument must be matrix of symbols)
 701  *  @exception runtime_error (inconsistent linear system)
 702  *  @see       solve_algo */
 703 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
 704                                          const matrix & rhs,
 705                                          unsigned algo) const
 706 {
 707         const unsigned m = this->rows();
 708         const unsigned n = this->cols();
 709         const unsigned p = rhs.cols();
 710
 711         // syntax checks
 712         if ((rhs.rows() != m) || (vars.rows() != n) || (vars.col != p))
 713                 throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 714         for (unsigned ro=0; ro<n; ++ro)
 715                 for (unsigned co=0; co<p; ++co)
 716                         if (!vars(ro,co).info(info_flags::symbol))
 717                                 throw (std::invalid_argument("matrix::solve(): 1st argument must be matrix of symbols"));
 718
 719         // build the augmented matrix of *this with rhs attached to the right
 720         matrix aug(m,n+p);
 721         for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
 722                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
 723                         aug.m[r*(n+p)+c] = this->m[r*n+c];
 724                 for (unsigned c=0; c<p; ++c)
 725                         aug.m[r*(n+p)+c+n] = rhs.m[r*p+c];
 726         }
 727
 728         // Gather some statistical information about the augmented matrix:
 729         bool numeric_flag = true;
 730         for (exvector::const_iterator r=aug.m.begin(); r!=aug.m.end(); ++r) {
 731                 if (!(*r).info(info_flags::numeric))
 732                         numeric_flag = false;
 733         }
 734
 735         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
 736         if (algo == solve_algo::automatic) {
 737                 // Bareiss (fraction-free) elimination is generally a good guess:
 738                 algo = solve_algo::bareiss;
 739                 // For m<3, Bareiss elimination is equivalent to division free
 740                 // elimination but has more logistic overhead
 741                 if (m<3)
 742                         algo = solve_algo::divfree;
 743                 // This overrides any prior decisions.
 744                 if (numeric_flag)
 745                         algo = solve_algo::gauss;
 746         }
 747
 748         // Eliminate the augmented matrix:
 749         switch(algo) {
 750                 case solve_algo::gauss:
 751                         aug.gauss_elimination();
 752                 case solve_algo::divfree:
 753                         aug.division_free_elimination();
 754                 case solve_algo::bareiss:
 755                 default:
 756                         aug.fraction_free_elimination();
 757         }
 758
 759         // assemble the solution matrix:
 760         matrix sol(n,p);
 761         for (unsigned co=0; co<p; ++co) {
 762                 unsigned last_assigned_sol = n+1;
 763                 for (int r=m-1; r>=0; --r) {
 764                         unsigned fnz = 1;    // first non-zero in row
 765                         while ((fnz<=n) && (aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)].is_zero()))
 766                                 ++fnz;
 767                         if (fnz>n) {
 768                                 // row consists only of zeros, corresponding rhs must be 0, too
 769                                 if (!aug.m[r*(n+p)+n+co].is_zero()) {
 770                                         throw (std::runtime_error("matrix::solve(): inconsistent linear system"));
 771                                 }
 772                         } else {
 773                                 // assign solutions for vars between fnz+1 and
 774                                 // last_assigned_sol-1: free parameters
 775                                 for (unsigned c=fnz; c<last_assigned_sol-1; ++c)
 776                                         sol.set(c,co,vars.m[c*p+co]);
 777                                 ex e = aug.m[r*(n+p)+n+co];
 778                                 for (unsigned c=fnz; c<n; ++c)
 779                                         e -= aug.m[r*(n+p)+c]*sol.m[c*p+co];
 780                                 sol.set(fnz-1,co,
 781                                                 (e/(aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)])).normal());
 782                                 last_assigned_sol = fnz;
 783                         }
 784                 }
 785                 // assign solutions for vars between 1 and
 786                 // last_assigned_sol-1: free parameters
 787                 for (unsigned ro=0; ro<last_assigned_sol-1; ++ro)
 788                         sol.set(ro,co,vars(ro,co));
 789         }
 790
 791         return sol;
 792 }
 793
 794
 795 // protected
 796
 797 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
 798  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
 799  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
 800  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
 801  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
 802  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
 803  *  matrix' dimesion is larger than 7.
 804  *
 805  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
 806  *  @see matrix::determinant() */
 807 ex matrix::determinant_minor(void) const
 808 {
 809         // for small matrices the algorithm does not make any sense:
 810         const unsigned n = this->cols();
 811         if (n==1)
 812                 return m[0].expand();
 813         if (n==2)
 814                 return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
 815         if (n==3)
 816                 return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
 817                                 m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
 818                                 m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
 819
 820         // This algorithm can best be understood by looking at a naive
 821         // implementation of Laplace-expansion, like this one:
 822         // ex det;
 823         // matrix minorM(this->rows()-1,this->cols()-1);
 824         // for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
 825         //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
 826         //     if (m[r1*col].is_zero())
 827         //         continue;
 828         //     // assemble the minor matrix
 829         //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
 830         //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
 831         //             if (r<r1)
 832         //                 minorM.set(r,c,m[r*col+c+1]);
 833         //             else
 834         //                 minorM.set(r,c,m[(r+1)*col+c+1]);
 835         //         }
 836         //     }
 837         //     // recurse down and care for sign:
 838         //     if (r1%2)
 839         //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 840         //     else
 841         //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 842         // }
 843         // return det.expand();
 844         // What happens is that while proceeding down many of the minors are
 845         // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
 846         // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
 847         // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
 848         // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
 849         // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most
 850         // 2*binomial(n,n/2) minors.
 851
 852         // Unique flipper counter for partitioning into minors
 853         std::vector<unsigned> Pkey;
 854         Pkey.reserve(n);
 855         // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
 856         std::vector<unsigned> Mkey;
 857         Mkey.reserve(n-1);
 858         // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
 859         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex> Rmap;
 860         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
 861         Rmap A;
 862         Rmap B;
 863         ex det;
 864         // initialize A with last column:
 865         for (unsigned r=0; r<n; ++r) {
 866                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
 867                 Pkey.push_back(r);
 868                 A.insert(Rmap_value(Pkey,m[n*(r+1)-1]));
 869         }
 870         // proceed from right to left through matrix
 871         for (int c=n-2; c>=0; --c) {
 872                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
 873                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 874                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
 875                         Pkey.push_back(i);
 876                 unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
 877                 do {
 878                         det = _ex0();
 879                         for (unsigned r=0; r<n-c; ++r) {
 880                                 // maybe there is nothing to do?
 881                                 if (m[Pkey[r]*n+c].is_zero())
 882                                         continue;
 883                                 // create the sorted key for all possible minors
 884                                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 885                                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
 886                                         if (i!=r)
 887                                                 Mkey.push_back(Pkey[i]);
 888                                 // Fetch the minors and compute the new determinant
 889                                 if (r%2)
 890                                         det -= m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
 891                                 else
 892                                         det += m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
 893                         }
 894                         // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
 895                         det = det.expand();
 896                         // store the new determinant at its place in B:
 897                         if (!det.is_zero())
 898                                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
 899                         // increment our strange flipper counter
 900                         for (fc=n-c; fc>0; --fc) {
 901                                 ++Pkey[fc-1];
 902                                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
 903                                         break;
 904                         }
 905                         if (fc<n-c)
 906                                 for (unsigned j=fc; j<n-c; ++j)
 907                                         Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
 908                 } while(fc);
 909                 // next column, so change the role of A and B:
 910                 A = B;
 911                 B.clear();
 912         }
 913
 914         return det;
 915 }
 916
 917
 918 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the m x n
 919  *  matrix into an upper echelon form.  The algorithm is ok for matrices
 920  *  with numeric coefficients but quite unsuited for symbolic matrices.
 921  *
 922  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
 923  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
 924  *  The others are set to zero in this case.
 925  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
 926  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
 927 int matrix::gauss_elimination(const bool det)
 928 {
 929         ensure_if_modifiable();
 930         const unsigned m = this->rows();
 931         const unsigned n = this->cols();
 932         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
 933         int sign = 1;
 934
 935         unsigned r0 = 0;
 936         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
 937                 int indx = pivot(r0, r1, true);
 938                 if (indx == -1) {
 939                         sign = 0;
 940                         if (det)
 941                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
 942                 }
 943                 if (indx>=0) {
 944                         if (indx > 0)
 945                                 sign = -sign;
 946                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
 947                                 ex piv = this->m[r2*n+r1] / this->m[r0*n+r1];
 948                                 for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c) {
 949                                         this->m[r2*n+c] -= piv * this->m[r0*n+c];
 950                                         if (!this->m[r2*n+c].info(info_flags::numeric))
 951                                                 this->m[r2*n+c] = this->m[r2*n+c].normal();
 952                                 }
 953                                 // fill up left hand side with zeros
 954                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
 955                                         this->m[r2*n+c] = _ex0();
 956                         }
 957                         if (det) {
 958                                 // save space by deleting no longer needed elements
 959                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
 960                                         this->m[r0*n+c] = _ex0();
 961                         }
 962                         ++r0;
 963                 }
 964         }
 965
 966         return sign;
 967 }
 968
 969
 970 /** Perform the steps of division free elimination to bring the m x n matrix
 971  *  into an upper echelon form.
 972  *
 973  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
 974  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
 975  *  The others are set to zero in this case.
 976  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
 977  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
 978 int matrix::division_free_elimination(const bool det)
 979 {
 980         ensure_if_modifiable();
 981         const unsigned m = this->rows();
 982         const unsigned n = this->cols();
 983         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
 984         int sign = 1;
 985
 986         unsigned r0 = 0;
 987         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
 988                 int indx = pivot(r0, r1, true);
 989                 if (indx==-1) {
 990                         sign = 0;
 991                         if (det)
 992                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
 993                 }
 994                 if (indx>=0) {
 995                         if (indx>0)
 996                                 sign = -sign;
 997                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
 998                                 for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c)
 999                                         this->m[r2*n+c] = (this->m[r0*n+r1]*this->m[r2*n+c] - this->m[r2*n+r1]*this->m[r0*n+c]).expand();
1000                                 // fill up left hand side with zeros
1001                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1002                                         this->m[r2*n+c] = _ex0();
1003                         }
1004                         if (det) {
1005                                 // save space by deleting no longer needed elements
1006                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
1007                                         this->m[r0*n+c] = _ex0();
1008                         }
1009                         ++r0;
1010                 }
1011         }
1012
1013         return sign;
1014 }
1015
1016
1017 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1018  *  the matrix into an upper echelon form.  Fraction free elimination means
1019  *  that divide is used straightforwardly, without computing GCDs first.  This
1020  *  is possible, since we know the divisor at each step.
1021  *
1022  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1023  *  interested in the last element (i.e. for calculating determinants). The
1024  *  others are set to zero in this case.
1025  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1026  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1027 int matrix::fraction_free_elimination(const bool det)
1028 {
1029         // Method:
1030         // (single-step fraction free elimination scheme, already known to Jordan)
1031         //
1032         // Usual division-free elimination sets m[0](r,c) = m(r,c) and then sets
1033         //     m[k+1](r,c) = m[k](k,k) * m[k](r,c) - m[k](r,k) * m[k](k,c).
1034         //
1035         // Bareiss (fraction-free) elimination in addition divides that element
1036         // by m[k-1](k-1,k-1) for k>1, where it can be shown by means of the
1037         // Sylvester determinant that this really divides m[k+1](r,c).
1038         //
1039         // We also allow rational functions where the original prove still holds.
1040         // However, we must care for numerator and denominator separately and
1041         // "manually" work in the integral domains because of subtle cancellations
1042         // (see below).  This blows up the bookkeeping a bit and the formula has
1043         // to be modified to expand like this (N{x} stands for numerator of x,
1044         // D{x} for denominator of x):
1045         //     N{m[k+1](r,c)} = N{m[k](k,k)}*N{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1046         //                     -N{m[k](r,k)}*N{m[k](k,c)}*D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}
1047         //     D{m[k+1](r,c)} = D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1048         // where for k>1 we now divide N{m[k+1](r,c)} by
1049         //     N{m[k-1](k-1,k-1)}
1050         // and D{m[k+1](r,c)} by
1051         //     D{m[k-1](k-1,k-1)}.
1052
1053         ensure_if_modifiable();
1054         const unsigned m = this->rows();
1055         const unsigned n = this->cols();
1056         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1057         int sign = 1;
1058         if (m==1)
1059                 return 1;
1060         ex divisor_n = 1;
1061         ex divisor_d = 1;
1062         ex dividend_n;
1063         ex dividend_d;
1064
1065         // We populate temporary matrices to subsequently operate on.  There is
1066         // one holding numerators and another holding denominators of entries.
1067         // This is a must since the evaluator (or even earlier mul's constructor)
1068         // might cancel some trivial element which causes divide() to fail.  The
1069         // elements are normalized first (yes, even though this algorithm doesn't
1070         // need GCDs) since the elements of *this might be unnormalized, which
1071         // makes things more complicated than they need to be.
1072         matrix tmp_n(*this);
1073         matrix tmp_d(m,n);  // for denominators, if needed
1074         lst srl;  // symbol replacement list
1075         exvector::iterator it = this->m.begin();
1076         exvector::iterator tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1077         exvector::iterator tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1078         for (; it!= this->m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it) {
1079                 (*tmp_n_it) = (*it).normal().to_rational(srl);
1080                 (*tmp_d_it) = (*tmp_n_it).denom();
1081                 (*tmp_n_it) = (*tmp_n_it).numer();
1082         }
1083
1084         unsigned r0 = 0;
1085         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
1086                 int indx = tmp_n.pivot(r0, r1, true);
1087                 if (indx==-1) {
1088                         sign = 0;
1089                         if (det)
1090                                 return 0;
1091                 }
1092                 if (indx>=0) {
1093                         if (indx>0) {
1094                                 sign = -sign;
1095                                 // tmp_n's rows r0 and indx were swapped, do the same in tmp_d:
1096                                 for (unsigned c=r1; c<n; ++c)
1097                                         tmp_d.m[n*indx+c].swap(tmp_d.m[n*r0+c]);
1098                         }
1099                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1100                                 for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c) {
1101                                         dividend_n = (tmp_n.m[r0*n+r1]*tmp_n.m[r2*n+c]*
1102                                                                   tmp_d.m[r2*n+r1]*tmp_d.m[r0*n+c]
1103                                                                  -tmp_n.m[r2*n+r1]*tmp_n.m[r0*n+c]*
1104                                                                   tmp_d.m[r0*n+r1]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1105                                         dividend_d = (tmp_d.m[r2*n+r1]*tmp_d.m[r0*n+c]*
1106                                                                   tmp_d.m[r0*n+r1]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1107                                         bool check = divide(dividend_n, divisor_n,
1108                                                                                 tmp_n.m[r2*n+c], true);
1109                                         check &= divide(dividend_d, divisor_d,
1110                                                                         tmp_d.m[r2*n+c], true);
1111                                         GINAC_ASSERT(check);
1112                                 }
1113                                 // fill up left hand side with zeros
1114                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1115                                         tmp_n.m[r2*n+c] = _ex0();
1116                         }
1117                         if ((r1<n-1)&&(r0<m-1)) {
1118                                 // compute next iteration's divisor
1119                                 divisor_n = tmp_n.m[r0*n+r1].expand();
1120                                 divisor_d = tmp_d.m[r0*n+r1].expand();
1121                                 if (det) {
1122                                         // save space by deleting no longer needed elements
1123                                         for (unsigned c=0; c<n; ++c) {
1124                                                 tmp_n.m[r0*n+c] = _ex0();
1125                                                 tmp_d.m[r0*n+c] = _ex1();
1126                                         }
1127                                 }
1128                         }
1129                         ++r0;
1130                 }
1131         }
1132         // repopulate *this matrix:
1133         it = this->m.begin();
1134         tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1135         tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1136         for (; it!= this->m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it)
1137                 (*it) = ((*tmp_n_it)/(*tmp_d_it)).subs(srl);
1138
1139         return sign;
1140 }
1141
1142
1143 /** Partial pivoting method for matrix elimination schemes.
1144  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1145  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1146  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1147  *  with the first non-zero element.
1148  *
1149  *  @param ro is the row from where to begin
1150  *  @param co is the column to be inspected
1151  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1152  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1153  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1154  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1155  */
1156 int matrix::pivot(unsigned ro, unsigned co, bool symbolic)
1157 {
1158         unsigned k = ro;
1159         if (symbolic) {
1160                 // search first non-zero element in column co beginning at row ro
1161                 while ((k<row) && (this->m[k*col+co].expand().is_zero()))
1162                         ++k;
1163         } else {
1164                 // search largest element in column co beginning at row ro
1165                 GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(this->m[k*col+co],numeric));
1166                 unsigned kmax = k+1;
1167                 numeric mmax = abs(ex_to_numeric(m[kmax*col+co]));
1168                 while (kmax<row) {
1169                         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(this->m[kmax*col+co],numeric));
1170                         numeric tmp = ex_to_numeric(this->m[kmax*col+co]);
1171                         if (abs(tmp) > mmax) {
1172                                 mmax = tmp;
1173                                 k = kmax;
1174                         }
1175                         ++kmax;
1176                 }
1177                 if (!mmax.is_zero())
1178                         k = kmax;
1179         }
1180         if (k==row)
1181                 // all elements in column co below row ro vanish
1182                 return -1;
1183         if (k==ro)
1184                 // matrix needs no pivoting
1185                 return 0;
1186         // matrix needs pivoting, so swap rows k and ro
1187         ensure_if_modifiable();
1188         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1189                 m[k*col+c].swap(m[ro*col+c]);
1190
1191         return k;
1192 }
1193
1194 /** Convert list of lists to matrix. */
1195 ex lst_to_matrix(const ex &l)
1196 {
1197         if (!is_ex_of_type(l, lst))
1198                 throw(std::invalid_argument("argument to lst_to_matrix() must be a lst"));
1199
1200         // Find number of rows and columns
1201         unsigned rows = l.nops(), cols = 0, i, j;
1202         for (i=0; i<rows; i++)
1203                 if (l.op(i).nops() > cols)
1204                         cols = l.op(i).nops();
1205
1206         // Allocate and fill matrix
1207         matrix &m = *new matrix(rows, cols);
1208         for (i=0; i<rows; i++)
1209                 for (j=0; j<cols; j++)
1210                         if (l.op(i).nops() > j)
1211                                 m.set(i, j, l.op(i).op(j));
1212                         else
1213                                 m.set(i, j, ex(0));
1214         return m;
1215 }
1216
1217 //////////
1218 // global constants
1219 //////////
1220
1221 const matrix some_matrix;
1222 const type_info & typeid_matrix=typeid(some_matrix);
1223
1224 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1225 } // namespace GiNaC
1226 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC