ginac/matrix.cpp

   1 /** @file matrix.cpp
   2  *
   3  *  Implementation of symbolic matrices */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2006 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include <string>
  24 #include <iostream>
  25 #include <sstream>
  26 #include <algorithm>
  27 #include <map>
  28 #include <stdexcept>
  29
  30 #include "matrix.h"
  31 #include "numeric.h"
  32 #include "lst.h"
  33 #include "idx.h"
  34 #include "indexed.h"
  35 #include "add.h"
  36 #include "power.h"
  37 #include "symbol.h"
  38 #include "operators.h"
  39 #include "normal.h"
  40 #include "archive.h"
  41 #include "utils.h"
  42
  43 namespace GiNaC {
  44
  45 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS_OPT(matrix, basic,
  46   print_func<print_context>(&matrix::do_print).
  47   print_func<print_latex>(&matrix::do_print_latex).
  48   print_func<print_tree>(&matrix::do_print_tree).
  49   print_func<print_python_repr>(&matrix::do_print_python_repr))
  50
  51 //////////
  52 // default constructor
  53 //////////
  54
  55 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
  56 matrix::matrix() : inherited(&matrix::tinfo_static), row(1), col(1), m(1, _ex0)
  57 {
  58         setflag(status_flags::not_shareable);
  59 }
  60
  61 //////////
  62 // other constructors
  63 //////////
  64
  65 // public
  66
  67 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
  68  *
  69  *  @param r number of rows
  70  *  @param c number of cols */
  71 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
  72   : inherited(&matrix::tinfo_static), row(r), col(c), m(r*c, _ex0)
  73 {
  74         setflag(status_flags::not_shareable);
  75 }
  76
  77 // protected
  78
  79 /** Ctor from representation, for internal use only. */
  80 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
  81   : inherited(&matrix::tinfo_static), row(r), col(c), m(m2)
  82 {
  83         setflag(status_flags::not_shareable);
  84 }
  85
  86 /** Construct matrix from (flat) list of elements. If the list has fewer
  87  *  elements than the matrix, the remaining matrix elements are set to zero.
  88  *  If the list has more elements than the matrix, the excessive elements are
  89  *  thrown away. */
  90 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const lst & l)
  91   : inherited(&matrix::tinfo_static), row(r), col(c), m(r*c, _ex0)
  92 {
  93         setflag(status_flags::not_shareable);
  94
  95         size_t i = 0;
  96         for (lst::const_iterator it = l.begin(); it != l.end(); ++it, ++i) {
  97                 size_t x = i % c;
  98                 size_t y = i / c;
  99                 if (y >= r)
 100                         break; // matrix smaller than list: throw away excessive elements
 101                 m[y*c+x] = *it;
 102         }
 103 }
 104
 105 //////////
 106 // archiving
 107 //////////
 108
 109 matrix::matrix(const archive_node &n, lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 110 {
 111         setflag(status_flags::not_shareable);
 112
 113         if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
 114                 throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
 115         m.reserve(row * col);
 116         for (unsigned int i=0; true; i++) {
 117                 ex e;
 118                 if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
 119                         m.push_back(e);
 120                 else
 121                         break;
 122         }
 123 }
 124
 125 void matrix::archive(archive_node &n) const
 126 {
 127         inherited::archive(n);
 128         n.add_unsigned("row", row);
 129         n.add_unsigned("col", col);
 130         exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
 131         while (i != iend) {
 132                 n.add_ex("m", *i);
 133                 ++i;
 134         }
 135 }
 136
 137 DEFAULT_UNARCHIVE(matrix)
 138
 139 //////////
 140 // functions overriding virtual functions from base classes
 141 //////////
 142
 143 // public
 144
 145 void matrix::print_elements(const print_context & c, const char *row_start, const char *row_end, const char *row_sep, const char *col_sep) const
 146 {
 147         for (unsigned ro=0; ro<row; ++ro) {
 148                 c.s << row_start;
 149                 for (unsigned co=0; co<col; ++co) {
 150                         m[ro*col+co].print(c);
 151                         if (co < col-1)
 152                                 c.s << col_sep;
 153                         else
 154                                 c.s << row_end;
 155                 }
 156                 if (ro < row-1)
 157                         c.s << row_sep;
 158         }
 159 }
 160
 161 void matrix::do_print(const print_context & c, unsigned level) const
 162 {
 163         c.s << "[";
 164         print_elements(c, "[", "]", ",", ",");
 165         c.s << "]";
 166 }
 167
 168 void matrix::do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const
 169 {
 170         c.s << "\\left(\\begin{array}{" << std::string(col,'c') << "}";
 171         print_elements(c, "", "", "\\\\", "&");
 172         c.s << "\\end{array}\\right)";
 173 }
 174
 175 void matrix::do_print_python_repr(const print_python_repr & c, unsigned level) const
 176 {
 177         c.s << class_name() << '(';
 178         print_elements(c, "[", "]", ",", ",");
 179         c.s << ')';
 180 }
 181
 182 /** nops is defined to be rows x columns. */
 183 size_t matrix::nops() const
 184 {
 185         return static_cast<size_t>(row) * static_cast<size_t>(col);
 186 }
 187
 188 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 189 ex matrix::op(size_t i) const
 190 {
 191         GINAC_ASSERT(i<nops());
 192
 193         return m[i];
 194 }
 195
 196 /** returns writable matrix entry at position (i/col, i%col). */
 197 ex & matrix::let_op(size_t i)
 198 {
 199         GINAC_ASSERT(i<nops());
 200
 201         ensure_if_modifiable();
 202         return m[i];
 203 }
 204
 205 /** Evaluate matrix entry by entry. */
 206 ex matrix::eval(int level) const
 207 {
 208         // check if we have to do anything at all
 209         if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
 210                 return *this;
 211
 212         // emergency break
 213         if (level == -max_recursion_level)
 214                 throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
 215
 216         // eval() entry by entry
 217         exvector m2(row*col);
 218         --level;
 219         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 220                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 221                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
 222
 223         return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
 224                                                                                            status_flags::evaluated);
 225 }
 226
 227 ex matrix::subs(const exmap & mp, unsigned options) const
 228 {
 229         exvector m2(row * col);
 230         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 231                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 232                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].subs(mp, options);
 233
 234         return matrix(row, col, m2).subs_one_level(mp, options);
 235 }
 236
 237 /** Complex conjugate every matrix entry. */
 238 ex matrix::conjugate() const
 239 {
 240         exvector * ev = 0;
 241         for (exvector::const_iterator i=m.begin(); i!=m.end(); ++i) {
 242                 ex x = i->conjugate();
 243                 if (ev) {
 244                         ev->push_back(x);
 245                         continue;
 246                 }
 247                 if (are_ex_trivially_equal(x, *i)) {
 248                         continue;
 249                 }
 250                 ev = new exvector;
 251                 ev->reserve(m.size());
 252                 for (exvector::const_iterator j=m.begin(); j!=i; ++j) {
 253                         ev->push_back(*j);
 254                 }
 255                 ev->push_back(x);
 256         }
 257         if (ev) {
 258                 ex result = matrix(row, col, *ev);
 259                 delete ev;
 260                 return result;
 261         }
 262         return *this;
 263 }
 264
 265 // protected
 266
 267 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
 268 {
 269         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<matrix>(other));
 270         const matrix &o = static_cast<const matrix &>(other);
 271
 272         // compare number of rows
 273         if (row != o.rows())
 274                 return row < o.rows() ? -1 : 1;
 275
 276         // compare number of columns
 277         if (col != o.cols())
 278                 return col < o.cols() ? -1 : 1;
 279
 280         // equal number of rows and columns, compare individual elements
 281         int cmpval;
 282         for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 283                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 284                         cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
 285                         if (cmpval!=0) return cmpval;
 286                 }
 287         }
 288         // all elements are equal => matrices are equal;
 289         return 0;
 290 }
 291
 292 bool matrix::match_same_type(const basic & other) const
 293 {
 294         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<matrix>(other));
 295         const matrix & o = static_cast<const matrix &>(other);
 296
 297         // The number of rows and columns must be the same. This is necessary to
 298         // prevent a 2x3 matrix from matching a 3x2 one.
 299         return row == o.rows() && col == o.cols();
 300 }
 301
 302 /** Automatic symbolic evaluation of an indexed matrix. */
 303 ex matrix::eval_indexed(const basic & i) const
 304 {
 305         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(i));
 306         GINAC_ASSERT(is_a<matrix>(i.op(0)));
 307
 308         bool all_indices_unsigned = static_cast<const indexed &>(i).all_index_values_are(info_flags::nonnegint);
 309
 310         // Check indices
 311         if (i.nops() == 2) {
 312
 313                 // One index, must be one-dimensional vector
 314                 if (row != 1 && col != 1)
 315                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): vector must have exactly 1 index"));
 316
 317                 const idx & i1 = ex_to<idx>(i.op(1));
 318
 319                 if (col == 1) {
 320
 321                         // Column vector
 322                         if (!i1.get_dim().is_equal(row))
 323                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of index must match number of vector elements"));
 324
 325                         // Index numeric -> return vector element
 326                         if (all_indices_unsigned) {
 327                                 unsigned n1 = ex_to<numeric>(i1.get_value()).to_int();
 328                                 if (n1 >= row)
 329                                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of index exceeds number of vector elements"));
 330                                 return (*this)(n1, 0);
 331                         }
 332
 333                 } else {
 334
 335                         // Row vector
 336                         if (!i1.get_dim().is_equal(col))
 337                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of index must match number of vector elements"));
 338
 339                         // Index numeric -> return vector element
 340                         if (all_indices_unsigned) {
 341                                 unsigned n1 = ex_to<numeric>(i1.get_value()).to_int();
 342                                 if (n1 >= col)
 343                                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of index exceeds number of vector elements"));
 344                                 return (*this)(0, n1);
 345                         }
 346                 }
 347
 348         } else if (i.nops() == 3) {
 349
 350                 // Two indices
 351                 const idx & i1 = ex_to<idx>(i.op(1));
 352                 const idx & i2 = ex_to<idx>(i.op(2));
 353
 354                 if (!i1.get_dim().is_equal(row))
 355                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of first index must match number of rows"));
 356                 if (!i2.get_dim().is_equal(col))
 357                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of second index must match number of columns"));
 358
 359                 // Pair of dummy indices -> compute trace
 360                 if (is_dummy_pair(i1, i2))
 361                         return trace();
 362
 363                 // Both indices numeric -> return matrix element
 364                 if (all_indices_unsigned) {
 365                         unsigned n1 = ex_to<numeric>(i1.get_value()).to_int(), n2 = ex_to<numeric>(i2.get_value()).to_int();
 366                         if (n1 >= row)
 367                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of first index exceeds number of rows"));
 368                         if (n2 >= col)
 369                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of second index exceeds number of columns"));
 370                         return (*this)(n1, n2);
 371                 }
 372
 373         } else
 374                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): matrix must have exactly 2 indices"));
 375
 376         return i.hold();
 377 }
 378
 379 /** Sum of two indexed matrices. */
 380 ex matrix::add_indexed(const ex & self, const ex & other) const
 381 {
 382         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(self));
 383         GINAC_ASSERT(is_a<matrix>(self.op(0)));
 384         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(other));
 385         GINAC_ASSERT(self.nops() == 2 || self.nops() == 3);
 386
 387         // Only add two matrices
 388         if (is_a<matrix>(other.op(0))) {
 389                 GINAC_ASSERT(other.nops() == 2 || other.nops() == 3);
 390
 391                 const matrix &self_matrix = ex_to<matrix>(self.op(0));
 392                 const matrix &other_matrix = ex_to<matrix>(other.op(0));
 393
 394                 if (self.nops() == 2 && other.nops() == 2) { // vector + vector
 395
 396                         if (self_matrix.row == other_matrix.row)
 397                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix), self.op(1));
 398                         else if (self_matrix.row == other_matrix.col)
 399                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix.transpose()), self.op(1));
 400
 401                 } else if (self.nops() == 3 && other.nops() == 3) { // matrix + matrix
 402
 403                         if (self.op(1).is_equal(other.op(1)) && self.op(2).is_equal(other.op(2)))
 404                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix), self.op(1), self.op(2));
 405                         else if (self.op(1).is_equal(other.op(2)) && self.op(2).is_equal(other.op(1)))
 406                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix.transpose()), self.op(1), self.op(2));
 407
 408                 }
 409         }
 410
 411         // Don't know what to do, return unevaluated sum
 412         return self + other;
 413 }
 414
 415 /** Product of an indexed matrix with a number. */
 416 ex matrix::scalar_mul_indexed(const ex & self, const numeric & other) const
 417 {
 418         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(self));
 419         GINAC_ASSERT(is_a<matrix>(self.op(0)));
 420         GINAC_ASSERT(self.nops() == 2 || self.nops() == 3);
 421
 422         const matrix &self_matrix = ex_to<matrix>(self.op(0));
 423
 424         if (self.nops() == 2)
 425                 return indexed(self_matrix.mul(other), self.op(1));
 426         else // self.nops() == 3
 427                 return indexed(self_matrix.mul(other), self.op(1), self.op(2));
 428 }
 429
 430 /** Contraction of an indexed matrix with something else. */
 431 bool matrix::contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const
 432 {
 433         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(*self));
 434         GINAC_ASSERT(is_a<indexed>(*other));
 435         GINAC_ASSERT(self->nops() == 2 || self->nops() == 3);
 436         GINAC_ASSERT(is_a<matrix>(self->op(0)));
 437
 438         // Only contract with other matrices
 439         if (!is_a<matrix>(other->op(0)))
 440                 return false;
 441
 442         GINAC_ASSERT(other->nops() == 2 || other->nops() == 3);
 443
 444         const matrix &self_matrix = ex_to<matrix>(self->op(0));
 445         const matrix &other_matrix = ex_to<matrix>(other->op(0));
 446
 447         if (self->nops() == 2) {
 448
 449                 if (other->nops() == 2) { // vector * vector (scalar product)
 450
 451                         if (self_matrix.col == 1) {
 452                                 if (other_matrix.col == 1) {
 453                                         // Column vector * column vector, transpose first vector
 454                                         *self = self_matrix.transpose().mul(other_matrix)(0, 0);
 455                                 } else {
 456                                         // Column vector * row vector, swap factors
 457                                         *self = other_matrix.mul(self_matrix)(0, 0);
 458                                 }
 459                         } else {
 460                                 if (other_matrix.col == 1) {
 461                                         // Row vector * column vector, perfect
 462                                         *self = self_matrix.mul(other_matrix)(0, 0);
 463                                 } else {
 464                                         // Row vector * row vector, transpose second vector
 465                                         *self = self_matrix.mul(other_matrix.transpose())(0, 0);
 466                                 }
 467                         }
 468                         *other = _ex1;
 469                         return true;
 470
 471                 } else { // vector * matrix
 472
 473                         // B_i * A_ij = (B*A)_j (B is row vector)
 474                         if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(1))) {
 475                                 if (self_matrix.row == 1)
 476                                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix), other->op(2));
 477                                 else
 478                                         *self = indexed(self_matrix.transpose().mul(other_matrix), other->op(2));
 479                                 *other = _ex1;
 480                                 return true;
 481                         }
 482
 483                         // B_j * A_ij = (A*B)_i (B is column vector)
 484                         if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(2))) {
 485                                 if (self_matrix.col == 1)
 486                                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix), other->op(1));
 487                                 else
 488                                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix.transpose()), other->op(1));
 489                                 *other = _ex1;
 490                                 return true;
 491                         }
 492                 }
 493
 494         } else if (other->nops() == 3) { // matrix * matrix
 495
 496                 // A_ij * B_jk = (A*B)_ik
 497                 if (is_dummy_pair(self->op(2), other->op(1))) {
 498                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix), self->op(1), other->op(2));
 499                         *other = _ex1;
 500                         return true;
 501                 }
 502
 503                 // A_ij * B_kj = (A*Btrans)_ik
 504                 if (is_dummy_pair(self->op(2), other->op(2))) {
 505                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix.transpose()), self->op(1), other->op(1));
 506                         *other = _ex1;
 507                         return true;
 508                 }
 509
 510                 // A_ji * B_jk = (Atrans*B)_ik
 511                 if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(1))) {
 512                         *self = indexed(self_matrix.transpose().mul(other_matrix), self->op(2), other->op(2));
 513                         *other = _ex1;
 514                         return true;
 515                 }
 516
 517                 // A_ji * B_kj = (B*A)_ki
 518                 if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(2))) {
 519                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix), other->op(1), self->op(2));
 520                         *other = _ex1;
 521                         return true;
 522                 }
 523         }
 524
 525         return false;
 526 }
 527
 528
 529 //////////
 530 // non-virtual functions in this class
 531 //////////
 532
 533 // public
 534
 535 /** Sum of matrices.
 536  *
 537  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 538 matrix matrix::add(const matrix & other) const
 539 {
 540         if (col != other.col || row != other.row)
 541                 throw std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices");
 542
 543         exvector sum(this->m);
 544         exvector::iterator i = sum.begin(), end = sum.end();
 545         exvector::const_iterator ci = other.m.begin();
 546         while (i != end)
 547                 *i++ += *ci++;
 548
 549         return matrix(row,col,sum);
 550 }
 551
 552
 553 /** Difference of matrices.
 554  *
 555  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 556 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
 557 {
 558         if (col != other.col || row != other.row)
 559                 throw std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices");
 560
 561         exvector dif(this->m);
 562         exvector::iterator i = dif.begin(), end = dif.end();
 563         exvector::const_iterator ci = other.m.begin();
 564         while (i != end)
 565                 *i++ -= *ci++;
 566
 567         return matrix(row,col,dif);
 568 }
 569
 570
 571 /** Product of matrices.
 572  *
 573  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 574 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
 575 {
 576         if (this->cols() != other.rows())
 577                 throw std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices");
 578
 579         exvector prod(this->rows()*other.cols());
 580
 581         for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
 582                 for (unsigned c=0; c<this->cols(); ++c) {
 583                         // Quick test: can we shortcut?
 584                         if (m[r1*col+c].is_zero())
 585                                 continue;
 586                         for (unsigned r2=0; r2<other.cols(); ++r2)
 587                                 prod[r1*other.col+r2] += (m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2]);
 588                 }
 589         }
 590         return matrix(row, other.col, prod);
 591 }
 592
 593
 594 /** Product of matrix and scalar. */
 595 matrix matrix::mul(const numeric & other) const
 596 {
 597         exvector prod(row * col);
 598
 599         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 600                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 601                         prod[r*col+c] = m[r*col+c] * other;
 602
 603         return matrix(row, col, prod);
 604 }
 605
 606
 607 /** Product of matrix and scalar expression. */
 608 matrix matrix::mul_scalar(const ex & other) const
 609 {
 610         if (other.return_type() != return_types::commutative)
 611                 throw std::runtime_error("matrix::mul_scalar(): non-commutative scalar");
 612
 613         exvector prod(row * col);
 614
 615         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 616                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 617                         prod[r*col+c] = m[r*col+c] * other;
 618
 619         return matrix(row, col, prod);
 620 }
 621
 622
 623 /** Power of a matrix.  Currently handles integer exponents only. */
 624 matrix matrix::pow(const ex & expn) const
 625 {
 626         if (col!=row)
 627                 throw (std::logic_error("matrix::pow(): matrix not square"));
 628
 629         if (is_exactly_a<numeric>(expn)) {
 630                 // Integer cases are computed by successive multiplication, using the
 631                 // obvious shortcut of storing temporaries, like A^4 == (A*A)*(A*A).
 632                 if (expn.info(info_flags::integer)) {
 633                         numeric b = ex_to<numeric>(expn);
 634                         matrix A(row,col);
 635                         if (expn.info(info_flags::negative)) {
 636                                 b *= -1;
 637                                 A = this->inverse();
 638                         } else {
 639                                 A = *this;
 640                         }
 641                         matrix C(row,col);
 642                         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 643                                 C(r,r) = _ex1;
 644                         if (b.is_zero())
 645                                 return C;
 646                         // This loop computes the representation of b in base 2 from right
 647                         // to left and multiplies the factors whenever needed.  Note
 648                         // that this is not entirely optimal but close to optimal and
 649                         // "better" algorithms are much harder to implement.  (See Knuth,
 650                         // TAoCP2, section "Evaluation of Powers" for a good discussion.)
 651                         while (b!=*_num1_p) {
 652                                 if (b.is_odd()) {
 653                                         C = C.mul(A);
 654                                         --b;
 655                                 }
 656                                 b /= *_num2_p;  // still integer.
 657                                 A = A.mul(A);
 658                         }
 659                         return A.mul(C);
 660                 }
 661         }
 662         throw (std::runtime_error("matrix::pow(): don't know how to handle exponent"));
 663 }
 664
 665
 666 /** operator() to access elements for reading.
 667  *
 668  *  @param ro row of element
 669  *  @param co column of element
 670  *  @exception range_error (index out of range) */
 671 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
 672 {
 673         if (ro>=row || co>=col)
 674                 throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 675
 676         return m[ro*col+co];
 677 }
 678
 679
 680 /** operator() to access elements for writing.
 681  *
 682  *  @param ro row of element
 683  *  @param co column of element
 684  *  @exception range_error (index out of range) */
 685 ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co)
 686 {
 687         if (ro>=row || co>=col)
 688                 throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 689
 690         ensure_if_modifiable();
 691         return m[ro*col+co];
 692 }
 693
 694
 695 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
 696  *  represents the transposed. */
 697 matrix matrix::transpose() const
 698 {
 699         exvector trans(this->cols()*this->rows());
 700
 701         for (unsigned r=0; r<this->cols(); ++r)
 702                 for (unsigned c=0; c<this->rows(); ++c)
 703                         trans[r*this->rows()+c] = m[c*this->cols()+r];
 704
 705         return matrix(this->cols(),this->rows(),trans);
 706 }
 707
 708 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
 709  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
 710  *  run.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
 711  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
 712  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
 713  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
 714  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
 715  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
 716  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
 717  *
 718  *  @param     algo allows to chose an algorithm
 719  *  @return    the determinant as a new expression
 720  *  @exception logic_error (matrix not square)
 721  *  @see       determinant_algo */
 722 ex matrix::determinant(unsigned algo) const
 723 {
 724         if (row!=col)
 725                 throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
 726         GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 727
 728         // Gather some statistical information about this matrix:
 729         bool numeric_flag = true;
 730         bool normal_flag = false;
 731         unsigned sparse_count = 0;  // counts non-zero elements
 732         exvector::const_iterator r = m.begin(), rend = m.end();
 733         while (r != rend) {
 734                 if (!r->info(info_flags::numeric))
 735                         numeric_flag = false;
 736                 exmap srl;  // symbol replacement list
 737                 ex rtest = r->to_rational(srl);
 738                 if (!rtest.is_zero())
 739                         ++sparse_count;
 740                 if (!rtest.info(info_flags::crational_polynomial) &&
 741                          rtest.info(info_flags::rational_function))
 742                         normal_flag = true;
 743                 ++r;
 744         }
 745
 746         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
 747         if (algo == determinant_algo::automatic) {
 748                 // Minor expansion is generally a good guess:
 749                 algo = determinant_algo::laplace;
 750                 // Does anybody know when a matrix is really sparse?
 751                 // Maybe <~row/2.236 nonzero elements average in a row?
 752                 if (row>3 && 5*sparse_count<=row*col)
 753                         algo = determinant_algo::bareiss;
 754                 // Purely numeric matrix can be handled by Gauss elimination.
 755                 // This overrides any prior decisions.
 756                 if (numeric_flag)
 757                         algo = determinant_algo::gauss;
 758         }
 759
 760         // Trap the trivial case here, since some algorithms don't like it
 761         if (this->row==1) {
 762                 // for consistency with non-trivial determinants...
 763                 if (normal_flag)
 764                         return m[0].normal();
 765                 else
 766                         return m[0].expand();
 767         }
 768
 769         // Compute the determinant
 770         switch(algo) {
 771                 case determinant_algo::gauss: {
 772                         ex det = 1;
 773                         matrix tmp(*this);
 774                         int sign = tmp.gauss_elimination(true);
 775                         for (unsigned d=0; d<row; ++d)
 776                                 det *= tmp.m[d*col+d];
 777                         if (normal_flag)
 778                                 return (sign*det).normal();
 779                         else
 780                                 return (sign*det).normal().expand();
 781                 }
 782                 case determinant_algo::bareiss: {
 783                         matrix tmp(*this);
 784                         int sign;
 785                         sign = tmp.fraction_free_elimination(true);
 786                         if (normal_flag)
 787                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).normal();
 788                         else
 789                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).expand();
 790                 }
 791                 case determinant_algo::divfree: {
 792                         matrix tmp(*this);
 793                         int sign;
 794                         sign = tmp.division_free_elimination(true);
 795                         if (sign==0)
 796                                 return _ex0;
 797                         ex det = tmp.m[row*col-1];
 798                         // factor out accumulated bogus slag
 799                         for (unsigned d=0; d<row-2; ++d)
 800                                 for (unsigned j=0; j<row-d-2; ++j)
 801                                         det = (det/tmp.m[d*col+d]).normal();
 802                         return (sign*det);
 803                 }
 804                 case determinant_algo::laplace:
 805                 default: {
 806                         // This is the minor expansion scheme.  We always develop such
 807                         // that the smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the
 808                         // rightmost column.  For this to be efficient, empirical tests
 809                         // have shown that the emptiest columns (i.e. the ones with most
 810                         // zeros) should be the ones on the right hand side -- although
 811                         // this might seem counter-intuitive (and in contradiction to some
 812                         // literature like the FORM manual).  Please go ahead and test it
 813                         // if you don't believe me!  Therefore we presort the columns of
 814                         // the matrix:
 815                         typedef std::pair<unsigned,unsigned> uintpair;
 816                         std::vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
 817                         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 818                                 unsigned acc = 0;
 819                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 820                                         if (m[r*col+c].is_zero())
 821                                                 ++acc;
 822                                 c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
 823                         }
 824                         std::sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
 825                         std::vector<unsigned> pre_sort;
 826                         for (std::vector<uintpair>::const_iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
 827                                 pre_sort.push_back(i->second);
 828                         std::vector<unsigned> pre_sort_test(pre_sort); // permutation_sign() modifies the vector so we make a copy here
 829                         int sign = permutation_sign(pre_sort_test.begin(), pre_sort_test.end());
 830                         exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
 831                         unsigned c = 0;
 832                         for (std::vector<unsigned>::const_iterator i=pre_sort.begin();
 833                                  i!=pre_sort.end();
 834                                  ++i,++c) {
 835                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 836                                         result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
 837                         }
 838
 839                         if (normal_flag)
 840                                 return (sign*matrix(row,col,result).determinant_minor()).normal();
 841                         else
 842                                 return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
 843                 }
 844         }
 845 }
 846
 847
 848 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
 849  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
 850  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
 851  *
 852  *  @return    the sum of diagonal elements
 853  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 854 ex matrix::trace() const
 855 {
 856         if (row != col)
 857                 throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
 858
 859         ex tr;
 860         for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 861                 tr += m[r*col+r];
 862
 863         if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
 864            !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
 865                 return tr.normal();
 866         else
 867                 return tr.expand();
 868 }
 869
 870
 871 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
 872  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
 873  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
 874  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
 875  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
 876  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
 877  *  new expression.
 878  *
 879  *  @return    characteristic polynomial as new expression
 880  *  @exception logic_error (matrix not square)
 881  *  @see       matrix::determinant() */
 882 ex matrix::charpoly(const ex & lambda) const
 883 {
 884         if (row != col)
 885                 throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
 886
 887         bool numeric_flag = true;
 888         exvector::const_iterator r = m.begin(), rend = m.end();
 889         while (r!=rend && numeric_flag==true) {
 890                 if (!r->info(info_flags::numeric))
 891                         numeric_flag = false;
 892                 ++r;
 893         }
 894
 895         // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
 896         // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
 897         // every coefficient.  The expensive part is the matrix multiplication.
 898         if (numeric_flag) {
 899
 900                 matrix B(*this);
 901                 ex c = B.trace();
 902                 ex poly = power(lambda, row) - c*power(lambda, row-1);
 903                 for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
 904                         for (unsigned j=0; j<row; ++j)
 905                                 B.m[j*col+j] -= c;
 906                         B = this->mul(B);
 907                         c = B.trace() / ex(i+1);
 908                         poly -= c*power(lambda, row-i-1);
 909                 }
 910                 if (row%2)
 911                         return -poly;
 912                 else
 913                         return poly;
 914
 915         } else {
 916
 917                 matrix M(*this);
 918                 for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 919                         M.m[r*col+r] -= lambda;
 920
 921                 return M.determinant().collect(lambda);
 922         }
 923 }
 924
 925
 926 /** Inverse of this matrix.
 927  *
 928  *  @return    the inverted matrix
 929  *  @exception logic_error (matrix not square)
 930  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 931 matrix matrix::inverse() const
 932 {
 933         if (row != col)
 934                 throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
 935
 936         // This routine actually doesn't do anything fancy at all.  We compute the
 937         // inverse of the matrix A by solving the system A * A^{-1} == Id.
 938
 939         // First populate the identity matrix supposed to become the right hand side.
 940         matrix identity(row,col);
 941         for (unsigned i=0; i<row; ++i)
 942                 identity(i,i) = _ex1;
 943
 944         // Populate a dummy matrix of variables, just because of compatibility with
 945         // matrix::solve() which wants this (for compatibility with under-determined
 946         // systems of equations).
 947         matrix vars(row,col);
 948         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 949                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 950                         vars(r,c) = symbol();
 951
 952         matrix sol(row,col);
 953         try {
 954                 sol = this->solve(vars,identity);
 955         } catch (const std::runtime_error & e) {
 956             if (e.what()==std::string("matrix::solve(): inconsistent linear system"))
 957                         throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
 958                 else
 959                         throw;
 960         }
 961         return sol;
 962 }
 963
 964
 965 /** Solve a linear system consisting of a m x n matrix and a m x p right hand
 966  *  side by applying an elimination scheme to the augmented matrix.
 967  *
 968  *  @param vars n x p matrix, all elements must be symbols
 969  *  @param rhs m x p matrix
 970  *  @param algo selects the solving algorithm
 971  *  @return n x p solution matrix
 972  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 973  *  @exception invalid_argument (1st argument must be matrix of symbols)
 974  *  @exception runtime_error (inconsistent linear system)
 975  *  @see       solve_algo */
 976 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
 977                      const matrix & rhs,
 978                      unsigned algo) const
 979 {
 980         const unsigned m = this->rows();
 981         const unsigned n = this->cols();
 982         const unsigned p = rhs.cols();
 983
 984         // syntax checks
 985         if ((rhs.rows() != m) || (vars.rows() != n) || (vars.col != p))
 986                 throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 987         for (unsigned ro=0; ro<n; ++ro)
 988                 for (unsigned co=0; co<p; ++co)
 989                         if (!vars(ro,co).info(info_flags::symbol))
 990                                 throw (std::invalid_argument("matrix::solve(): 1st argument must be matrix of symbols"));
 991
 992         // build the augmented matrix of *this with rhs attached to the right
 993         matrix aug(m,n+p);
 994         for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
 995                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
 996                         aug.m[r*(n+p)+c] = this->m[r*n+c];
 997                 for (unsigned c=0; c<p; ++c)
 998                         aug.m[r*(n+p)+c+n] = rhs.m[r*p+c];
 999         }
1000
1001         // Gather some statistical information about the augmented matrix:
1002         bool numeric_flag = true;
1003         exvector::const_iterator r = aug.m.begin(), rend = aug.m.end();
1004         while (r!=rend && numeric_flag==true) {
1005                 if (!r->info(info_flags::numeric))
1006                         numeric_flag = false;
1007                 ++r;
1008         }
1009
1010         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
1011         if (algo == solve_algo::automatic) {
1012                 // Bareiss (fraction-free) elimination is generally a good guess:
1013                 algo = solve_algo::bareiss;
1014                 // For m<3, Bareiss elimination is equivalent to division free
1015                 // elimination but has more logistic overhead
1016                 if (m<3)
1017                         algo = solve_algo::divfree;
1018                 // This overrides any prior decisions.
1019                 if (numeric_flag)
1020                         algo = solve_algo::gauss;
1021         }
1022
1023         // Eliminate the augmented matrix:
1024         switch(algo) {
1025                 case solve_algo::gauss:
1026                         aug.gauss_elimination();
1027                         break;
1028                 case solve_algo::divfree:
1029                         aug.division_free_elimination();
1030                         break;
1031                 case solve_algo::bareiss:
1032                 default:
1033                         aug.fraction_free_elimination();
1034         }
1035
1036         // assemble the solution matrix:
1037         matrix sol(n,p);
1038         for (unsigned co=0; co<p; ++co) {
1039                 unsigned last_assigned_sol = n+1;
1040                 for (int r=m-1; r>=0; --r) {
1041                         unsigned fnz = 1;    // first non-zero in row
1042                         while ((fnz<=n) && (aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)].is_zero()))
1043                                 ++fnz;
1044                         if (fnz>n) {
1045                                 // row consists only of zeros, corresponding rhs must be 0, too
1046                                 if (!aug.m[r*(n+p)+n+co].is_zero()) {
1047                                         throw (std::runtime_error("matrix::solve(): inconsistent linear system"));
1048                                 }
1049                         } else {
1050                                 // assign solutions for vars between fnz+1 and
1051                                 // last_assigned_sol-1: free parameters
1052                                 for (unsigned c=fnz; c<last_assigned_sol-1; ++c)
1053                                         sol(c,co) = vars.m[c*p+co];
1054                                 ex e = aug.m[r*(n+p)+n+co];
1055                                 for (unsigned c=fnz; c<n; ++c)
1056                                         e -= aug.m[r*(n+p)+c]*sol.m[c*p+co];
1057                                 sol(fnz-1,co) = (e/(aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)])).normal();
1058                                 last_assigned_sol = fnz;
1059                         }
1060                 }
1061                 // assign solutions for vars between 1 and
1062                 // last_assigned_sol-1: free parameters
1063                 for (unsigned ro=0; ro<last_assigned_sol-1; ++ro)
1064                         sol(ro,co) = vars(ro,co);
1065         }
1066
1067         return sol;
1068 }
1069
1070
1071 /** Compute the rank of this matrix. */
1072 unsigned matrix::rank() const
1073 {
1074         // Method:
1075         // Transform this matrix into upper echelon form and then count the
1076         // number of non-zero rows.
1077
1078         GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
1079
1080         // Actually, any elimination scheme will do since we are only
1081         // interested in the echelon matrix' zeros.
1082         matrix to_eliminate = *this;
1083         to_eliminate.fraction_free_elimination();
1084
1085         unsigned r = row*col;  // index of last non-zero element
1086         while (r--) {
1087                 if (!to_eliminate.m[r].is_zero())
1088                         return 1+r/col;
1089         }
1090         return 0;
1091 }
1092
1093
1094 // protected
1095
1096 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
1097  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
1098  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
1099  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
1100  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
1101  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
1102  *  matrix' dimesion is larger than 7.
1103  *
1104  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
1105  *  @see matrix::determinant() */
1106 ex matrix::determinant_minor() const
1107 {
1108         // for small matrices the algorithm does not make any sense:
1109         const unsigned n = this->cols();
1110         if (n==1)
1111                 return m[0].expand();
1112         if (n==2)
1113                 return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
1114         if (n==3)
1115                 return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
1116                         m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
1117                         m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
1118
1119         // This algorithm can best be understood by looking at a naive
1120         // implementation of Laplace-expansion, like this one:
1121         // ex det;
1122         // matrix minorM(this->rows()-1,this->cols()-1);
1123         // for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
1124         //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
1125         //     if (m[r1*col].is_zero())
1126         //         continue;
1127         //     // assemble the minor matrix
1128         //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
1129         //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
1130         //             if (r<r1)
1131         //                 minorM(r,c) = m[r*col+c+1];
1132         //             else
1133         //                 minorM(r,c) = m[(r+1)*col+c+1];
1134         //         }
1135         //     }
1136         //     // recurse down and care for sign:
1137         //     if (r1%2)
1138         //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
1139         //     else
1140         //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
1141         // }
1142         // return det.expand();
1143         // What happens is that while proceeding down many of the minors are
1144         // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
1145         // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
1146         // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
1147         // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
1148         // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most
1149         // 2*binomial(n,n/2) minors.
1150
1151         // Unique flipper counter for partitioning into minors
1152         std::vector<unsigned> Pkey;
1153         Pkey.reserve(n);
1154         // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
1155         std::vector<unsigned> Mkey;
1156         Mkey.reserve(n-1);
1157         // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
1158         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex> Rmap;
1159         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
1160         Rmap A;
1161         Rmap B;
1162         ex det;
1163         // initialize A with last column:
1164         for (unsigned r=0; r<n; ++r) {
1165                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
1166                 Pkey.push_back(r);
1167                 A.insert(Rmap_value(Pkey,m[n*(r+1)-1]));
1168         }
1169         // proceed from right to left through matrix
1170         for (int c=n-2; c>=0; --c) {
1171                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
1172                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
1173                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
1174                         Pkey.push_back(i);
1175                 unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
1176                 do {
1177                         det = _ex0;
1178                         for (unsigned r=0; r<n-c; ++r) {
1179                                 // maybe there is nothing to do?
1180                                 if (m[Pkey[r]*n+c].is_zero())
1181                                         continue;
1182                                 // create the sorted key for all possible minors
1183                                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
1184                                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
1185                                         if (i!=r)
1186                                                 Mkey.push_back(Pkey[i]);
1187                                 // Fetch the minors and compute the new determinant
1188                                 if (r%2)
1189                                         det -= m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
1190                                 else
1191                                         det += m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
1192                         }
1193                         // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
1194                         det = det.expand();
1195                         // store the new determinant at its place in B:
1196                         if (!det.is_zero())
1197                                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
1198                         // increment our strange flipper counter
1199                         for (fc=n-c; fc>0; --fc) {
1200                                 ++Pkey[fc-1];
1201                                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
1202                                         break;
1203                         }
1204                         if (fc<n-c && fc>0)
1205                                 for (unsigned j=fc; j<n-c; ++j)
1206                                         Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
1207                 } while(fc);
1208                 // next column, so change the role of A and B:
1209                 A.swap(B);
1210                 B.clear();
1211         }
1212
1213         return det;
1214 }
1215
1216
1217 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the m x n
1218  *  matrix into an upper echelon form.  The algorithm is ok for matrices
1219  *  with numeric coefficients but quite unsuited for symbolic matrices.
1220  *
1221  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1222  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
1223  *  The others are set to zero in this case.
1224  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1225  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1226 int matrix::gauss_elimination(const bool det)
1227 {
1228         ensure_if_modifiable();
1229         const unsigned m = this->rows();
1230         const unsigned n = this->cols();
1231         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1232         int sign = 1;
1233
1234         unsigned r0 = 0;
1235         for (unsigned c0=0; c0<n && r0<m-1; ++c0) {
1236                 int indx = pivot(r0, c0, true);
1237                 if (indx == -1) {
1238                         sign = 0;
1239                         if (det)
1240                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
1241                 }
1242                 if (indx>=0) {
1243                         if (indx > 0)
1244                                 sign = -sign;
1245                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1246                                 if (!this->m[r2*n+c0].is_zero()) {
1247                                         // yes, there is something to do in this row
1248                                         ex piv = this->m[r2*n+c0] / this->m[r0*n+c0];
1249                                         for (unsigned c=c0+1; c<n; ++c) {
1250                                                 this->m[r2*n+c] -= piv * this->m[r0*n+c];
1251                                                 if (!this->m[r2*n+c].info(info_flags::numeric))
1252                                                         this->m[r2*n+c] = this->m[r2*n+c].normal();
1253                                         }
1254                                 }
1255                                 // fill up left hand side with zeros
1256                                 for (unsigned c=r0; c<=c0; ++c)
1257                                         this->m[r2*n+c] = _ex0;
1258                         }
1259                         if (det) {
1260                                 // save space by deleting no longer needed elements
1261                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
1262                                         this->m[r0*n+c] = _ex0;
1263                         }
1264                         ++r0;
1265                 }
1266         }
1267         // clear remaining rows
1268         for (unsigned r=r0+1; r<m; ++r) {
1269                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
1270                         this->m[r*n+c] = _ex0;
1271         }
1272
1273         return sign;
1274 }
1275
1276
1277 /** Perform the steps of division free elimination to bring the m x n matrix
1278  *  into an upper echelon form.
1279  *
1280  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1281  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
1282  *  The others are set to zero in this case.
1283  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1284  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1285 int matrix::division_free_elimination(const bool det)
1286 {
1287         ensure_if_modifiable();
1288         const unsigned m = this->rows();
1289         const unsigned n = this->cols();
1290         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1291         int sign = 1;
1292
1293         unsigned r0 = 0;
1294         for (unsigned c0=0; c0<n && r0<m-1; ++c0) {
1295                 int indx = pivot(r0, c0, true);
1296                 if (indx==-1) {
1297                         sign = 0;
1298                         if (det)
1299                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
1300                 }
1301                 if (indx>=0) {
1302                         if (indx>0)
1303                                 sign = -sign;
1304                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1305                                 for (unsigned c=c0+1; c<n; ++c)
1306                                         this->m[r2*n+c] = (this->m[r0*n+c0]*this->m[r2*n+c] - this->m[r2*n+c0]*this->m[r0*n+c]).expand();
1307                                 // fill up left hand side with zeros
1308                                 for (unsigned c=r0; c<=c0; ++c)
1309                                         this->m[r2*n+c] = _ex0;
1310                         }
1311                         if (det) {
1312                                 // save space by deleting no longer needed elements
1313                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
1314                                         this->m[r0*n+c] = _ex0;
1315                         }
1316                         ++r0;
1317                 }
1318         }
1319         // clear remaining rows
1320         for (unsigned r=r0+1; r<m; ++r) {
1321                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
1322                         this->m[r*n+c] = _ex0;
1323         }
1324
1325         return sign;
1326 }
1327
1328
1329 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1330  *  the matrix into an upper echelon form.  Fraction free elimination means
1331  *  that divide is used straightforwardly, without computing GCDs first.  This
1332  *  is possible, since we know the divisor at each step.
1333  *
1334  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1335  *  interested in the last element (i.e. for calculating determinants). The
1336  *  others are set to zero in this case.
1337  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1338  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1339 int matrix::fraction_free_elimination(const bool det)
1340 {
1341         // Method:
1342         // (single-step fraction free elimination scheme, already known to Jordan)
1343         //
1344         // Usual division-free elimination sets m[0](r,c) = m(r,c) and then sets
1345         //     m[k+1](r,c) = m[k](k,k) * m[k](r,c) - m[k](r,k) * m[k](k,c).
1346         //
1347         // Bareiss (fraction-free) elimination in addition divides that element
1348         // by m[k-1](k-1,k-1) for k>1, where it can be shown by means of the
1349         // Sylvester identity that this really divides m[k+1](r,c).
1350         //
1351         // We also allow rational functions where the original prove still holds.
1352         // However, we must care for numerator and denominator separately and
1353         // "manually" work in the integral domains because of subtle cancellations
1354         // (see below).  This blows up the bookkeeping a bit and the formula has
1355         // to be modified to expand like this (N{x} stands for numerator of x,
1356         // D{x} for denominator of x):
1357         //     N{m[k+1](r,c)} = N{m[k](k,k)}*N{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1358         //                     -N{m[k](r,k)}*N{m[k](k,c)}*D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}
1359         //     D{m[k+1](r,c)} = D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1360         // where for k>1 we now divide N{m[k+1](r,c)} by
1361         //     N{m[k-1](k-1,k-1)}
1362         // and D{m[k+1](r,c)} by
1363         //     D{m[k-1](k-1,k-1)}.
1364
1365         ensure_if_modifiable();
1366         const unsigned m = this->rows();
1367         const unsigned n = this->cols();
1368         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1369         int sign = 1;
1370         if (m==1)
1371                 return 1;
1372         ex divisor_n = 1;
1373         ex divisor_d = 1;
1374         ex dividend_n;
1375         ex dividend_d;
1376
1377         // We populate temporary matrices to subsequently operate on.  There is
1378         // one holding numerators and another holding denominators of entries.
1379         // This is a must since the evaluator (or even earlier mul's constructor)
1380         // might cancel some trivial element which causes divide() to fail.  The
1381         // elements are normalized first (yes, even though this algorithm doesn't
1382         // need GCDs) since the elements of *this might be unnormalized, which
1383         // makes things more complicated than they need to be.
1384         matrix tmp_n(*this);
1385         matrix tmp_d(m,n);  // for denominators, if needed
1386         exmap srl;  // symbol replacement list
1387         exvector::const_iterator cit = this->m.begin(), citend = this->m.end();
1388         exvector::iterator tmp_n_it = tmp_n.m.begin(), tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1389         while (cit != citend) {
1390                 ex nd = cit->normal().to_rational(srl).numer_denom();
1391                 ++cit;
1392                 *tmp_n_it++ = nd.op(0);
1393                 *tmp_d_it++ = nd.op(1);
1394         }
1395
1396         unsigned r0 = 0;
1397         for (unsigned c0=0; c0<n && r0<m-1; ++c0) {
1398                 int indx = tmp_n.pivot(r0, c0, true);
1399                 if (indx==-1) {
1400                         sign = 0;
1401                         if (det)
1402                                 return 0;
1403                 }
1404                 if (indx>=0) {
1405                         if (indx>0) {
1406                                 sign = -sign;
1407                                 // tmp_n's rows r0 and indx were swapped, do the same in tmp_d:
1408                                 for (unsigned c=c0; c<n; ++c)
1409                                         tmp_d.m[n*indx+c].swap(tmp_d.m[n*r0+c]);
1410                         }
1411                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1412                                 for (unsigned c=c0+1; c<n; ++c) {
1413                                         dividend_n = (tmp_n.m[r0*n+c0]*tmp_n.m[r2*n+c]*
1414                                                       tmp_d.m[r2*n+c0]*tmp_d.m[r0*n+c]
1415                                                      -tmp_n.m[r2*n+c0]*tmp_n.m[r0*n+c]*
1416                                                       tmp_d.m[r0*n+c0]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1417                                         dividend_d = (tmp_d.m[r2*n+c0]*tmp_d.m[r0*n+c]*
1418                                                       tmp_d.m[r0*n+c0]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1419                                         bool check = divide(dividend_n, divisor_n,
1420                                                             tmp_n.m[r2*n+c], true);
1421                                         check &= divide(dividend_d, divisor_d,
1422                                                         tmp_d.m[r2*n+c], true);
1423                                         GINAC_ASSERT(check);
1424                                 }
1425                                 // fill up left hand side with zeros
1426                                 for (unsigned c=r0; c<=c0; ++c)
1427                                         tmp_n.m[r2*n+c] = _ex0;
1428                         }
1429                         if (c0<n && r0<m-1) {
1430                                 // compute next iteration's divisor
1431                                 divisor_n = tmp_n.m[r0*n+c0].expand();
1432                                 divisor_d = tmp_d.m[r0*n+c0].expand();
1433                                 if (det) {
1434                                         // save space by deleting no longer needed elements
1435                                         for (unsigned c=0; c<n; ++c) {
1436                                                 tmp_n.m[r0*n+c] = _ex0;
1437                                                 tmp_d.m[r0*n+c] = _ex1;
1438                                         }
1439                                 }
1440                         }
1441                         ++r0;
1442                 }
1443         }
1444         // clear remaining rows
1445         for (unsigned r=r0+1; r<m; ++r) {
1446                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
1447                         tmp_n.m[r*n+c] = _ex0;
1448         }
1449
1450         // repopulate *this matrix:
1451         exvector::iterator it = this->m.begin(), itend = this->m.end();
1452         tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1453         tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1454         while (it != itend)
1455                 *it++ = ((*tmp_n_it++)/(*tmp_d_it++)).subs(srl, subs_options::no_pattern);
1456
1457         return sign;
1458 }
1459
1460
1461 /** Partial pivoting method for matrix elimination schemes.
1462  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1463  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1464  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1465  *  with the first non-zero element.
1466  *
1467  *  @param ro is the row from where to begin
1468  *  @param co is the column to be inspected
1469  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1470  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1471  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1472  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1473  */
1474 int matrix::pivot(unsigned ro, unsigned co, bool symbolic)
1475 {
1476         unsigned k = ro;
1477         if (symbolic) {
1478                 // search first non-zero element in column co beginning at row ro
1479                 while ((k<row) && (this->m[k*col+co].expand().is_zero()))
1480                         ++k;
1481         } else {
1482                 // search largest element in column co beginning at row ro
1483                 GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(this->m[k*col+co]));
1484                 unsigned kmax = k+1;
1485                 numeric mmax = abs(ex_to<numeric>(m[kmax*col+co]));
1486                 while (kmax<row) {
1487                         GINAC_ASSERT(is_exactly_a<numeric>(this->m[kmax*col+co]));
1488                         numeric tmp = ex_to<numeric>(this->m[kmax*col+co]);
1489                         if (abs(tmp) > mmax) {
1490                                 mmax = tmp;
1491                                 k = kmax;
1492                         }
1493                         ++kmax;
1494                 }
1495                 if (!mmax.is_zero())
1496                         k = kmax;
1497         }
1498         if (k==row)
1499                 // all elements in column co below row ro vanish
1500                 return -1;
1501         if (k==ro)
1502                 // matrix needs no pivoting
1503                 return 0;
1504         // matrix needs pivoting, so swap rows k and ro
1505         ensure_if_modifiable();
1506         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1507                 this->m[k*col+c].swap(this->m[ro*col+c]);
1508
1509         return k;
1510 }
1511
1512 ex lst_to_matrix(const lst & l)
1513 {
1514         lst::const_iterator itr, itc;
1515
1516         // Find number of rows and columns
1517         size_t rows = l.nops(), cols = 0;
1518         for (itr = l.begin(); itr != l.end(); ++itr) {
1519                 if (!is_a<lst>(*itr))
1520                         throw (std::invalid_argument("lst_to_matrix: argument must be a list of lists"));
1521                 if (itr->nops() > cols)
1522                         cols = itr->nops();
1523         }
1524
1525         // Allocate and fill matrix
1526         matrix &M = *new matrix(rows, cols);
1527         M.setflag(status_flags::dynallocated);
1528
1529         unsigned i;
1530         for (itr = l.begin(), i = 0; itr != l.end(); ++itr, ++i) {
1531                 unsigned j;
1532                 for (itc = ex_to<lst>(*itr).begin(), j = 0; itc != ex_to<lst>(*itr).end(); ++itc, ++j)
1533                         M(i, j) = *itc;
1534         }
1535
1536         return M;
1537 }
1538
1539 ex diag_matrix(const lst & l)
1540 {
1541         lst::const_iterator it;
1542         size_t dim = l.nops();
1543
1544         // Allocate and fill matrix
1545         matrix &M = *new matrix(dim, dim);
1546         M.setflag(status_flags::dynallocated);
1547
1548         unsigned i;
1549         for (it = l.begin(), i = 0; it != l.end(); ++it, ++i)
1550                 M(i, i) = *it;
1551
1552         return M;
1553 }
1554
1555 ex unit_matrix(unsigned r, unsigned c)
1556 {
1557         matrix &Id = *new matrix(r, c);
1558         Id.setflag(status_flags::dynallocated);
1559         for (unsigned i=0; i<r && i<c; i++)
1560                 Id(i,i) = _ex1;
1561
1562         return Id;
1563 }
1564
1565 ex symbolic_matrix(unsigned r, unsigned c, const std::string & base_name, const std::string & tex_base_name)
1566 {
1567         matrix &M = *new matrix(r, c);
1568         M.setflag(status_flags::dynallocated | status_flags::evaluated);
1569
1570         bool long_format = (r > 10 || c > 10);
1571         bool single_row = (r == 1 || c == 1);
1572
1573         for (unsigned i=0; i<r; i++) {
1574                 for (unsigned j=0; j<c; j++) {
1575                         std::ostringstream s1, s2;
1576                         s1 << base_name;
1577                         s2 << tex_base_name << "_{";
1578                         if (single_row) {
1579                                 if (c == 1) {
1580                                         s1 << i;
1581                                         s2 << i << '}';
1582                                 } else {
1583                                         s1 << j;
1584                                         s2 << j << '}';
1585                                 }
1586                         } else {
1587                                 if (long_format) {
1588                                         s1 << '_' << i << '_' << j;
1589                                         s2 << i << ';' << j << "}";
1590                                 } else {
1591                                         s1 << i << j;
1592                                         s2 << i << j << '}';
1593                                 }
1594                         }
1595                         M(i, j) = symbol(s1.str(), s2.str());
1596                 }
1597         }
1598
1599         return M;
1600 }
1601
1602 ex reduced_matrix(const matrix& m, unsigned r, unsigned c)
1603 {
1604         if (r+1>m.rows() || c+1>m.cols() || m.cols()<2 || m.rows()<2)
1605                 throw std::runtime_error("minor_matrix(): index out of bounds");
1606
1607         const unsigned rows = m.rows()-1;
1608         const unsigned cols = m.cols()-1;
1609         matrix &M = *new matrix(rows, cols);
1610         M.setflag(status_flags::dynallocated | status_flags::evaluated);
1611
1612         unsigned ro = 0;
1613         unsigned ro2 = 0;
1614         while (ro2<rows) {
1615                 if (ro==r)
1616                         ++ro;
1617                 unsigned co = 0;
1618                 unsigned co2 = 0;
1619                 while (co2<cols) {
1620                         if (co==c)
1621                                 ++co;
1622                         M(ro2,co2) = m(ro, co);
1623                         ++co;
1624                         ++co2;
1625                 }
1626                 ++ro;
1627                 ++ro2;
1628         }
1629
1630         return M;
1631 }
1632
1633 ex sub_matrix(const matrix&m, unsigned r, unsigned nr, unsigned c, unsigned nc)
1634 {
1635         if (r+nr>m.rows() || c+nc>m.cols())
1636                 throw std::runtime_error("sub_matrix(): index out of bounds");
1637
1638         matrix &M = *new matrix(nr, nc);
1639         M.setflag(status_flags::dynallocated | status_flags::evaluated);
1640
1641         for (unsigned ro=0; ro<nr; ++ro) {
1642                 for (unsigned co=0; co<nc; ++co) {
1643                         M(ro,co) = m(ro+r,co+c);
1644                 }
1645         }
1646
1647         return M;
1648 }
1649
1650 } // namespace GiNaC