ginac/matrix.cpp

   1 /** @file matrix.cpp
   2  *
   3  *  Implementation of symbolic matrices */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include <algorithm>
  24 #include <map>
  25 #include <stdexcept>
  26
  27 #include "matrix.h"
  28 #include "archive.h"
  29 #include "numeric.h"
  30 #include "lst.h"
  31 #include "utils.h"
  32 #include "debugmsg.h"
  33 #include "power.h"
  34 #include "symbol.h"
  35 #include "normal.h"
  36
  37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  38 namespace GiNaC {
  39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  40
  41 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(matrix, basic)
  42
  43 //////////
  44 // default constructor, destructor, copy constructor, assignment operator
  45 // and helpers:
  46 //////////
  47
  48 // public
  49
  50 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
  51 matrix::matrix()
  52     : inherited(TINFO_matrix), row(1), col(1)
  53 {
  54     debugmsg("matrix default constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  55     m.push_back(_ex0());
  56 }
  57
  58 matrix::~matrix()
  59 {
  60     debugmsg("matrix destructor",LOGLEVEL_DESTRUCT);
  61 }
  62
  63 matrix::matrix(const matrix & other)
  64 {
  65     debugmsg("matrix copy constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  66     copy(other);
  67 }
  68
  69 const matrix & matrix::operator=(const matrix & other)
  70 {
  71     debugmsg("matrix operator=",LOGLEVEL_ASSIGNMENT);
  72     if (this != &other) {
  73         destroy(1);
  74         copy(other);
  75     }
  76     return *this;
  77 }
  78
  79 // protected
  80
  81 void matrix::copy(const matrix & other)
  82 {
  83     inherited::copy(other);
  84     row = other.row;
  85     col = other.col;
  86     m = other.m;  // STL's vector copying invoked here
  87 }
  88
  89 void matrix::destroy(bool call_parent)
  90 {
  91     if (call_parent) inherited::destroy(call_parent);
  92 }
  93
  94 //////////
  95 // other constructors
  96 //////////
  97
  98 // public
  99
 100 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
 101  *
 102  *  @param r number of rows
 103  *  @param c number of cols */
 104 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
 105     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
 106 {
 107     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 108     m.resize(r*c, _ex0());
 109 }
 110
 111  // protected
 112
 113 /** Ctor from representation, for internal use only. */
 114 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
 115     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c), m(m2)
 116 {
 117     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned,exvector",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 118 }
 119
 120 //////////
 121 // archiving
 122 //////////
 123
 124 /** Construct object from archive_node. */
 125 matrix::matrix(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 126 {
 127     debugmsg("matrix constructor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 128     if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
 129         throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
 130     m.reserve(row * col);
 131     for (unsigned int i=0; true; i++) {
 132         ex e;
 133         if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
 134             m.push_back(e);
 135         else
 136             break;
 137     }
 138 }
 139
 140 /** Unarchive the object. */
 141 ex matrix::unarchive(const archive_node &n, const lst &sym_lst)
 142 {
 143     return (new matrix(n, sym_lst))->setflag(status_flags::dynallocated);
 144 }
 145
 146 /** Archive the object. */
 147 void matrix::archive(archive_node &n) const
 148 {
 149     inherited::archive(n);
 150     n.add_unsigned("row", row);
 151     n.add_unsigned("col", col);
 152     exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
 153     while (i != iend) {
 154         n.add_ex("m", *i);
 155         i++;
 156     }
 157 }
 158
 159 //////////
 160 // functions overriding virtual functions from bases classes
 161 //////////
 162
 163 // public
 164
 165 basic * matrix::duplicate() const
 166 {
 167     debugmsg("matrix duplicate",LOGLEVEL_DUPLICATE);
 168     return new matrix(*this);
 169 }
 170
 171 void matrix::print(ostream & os, unsigned upper_precedence) const
 172 {
 173     debugmsg("matrix print",LOGLEVEL_PRINT);
 174     os << "[[ ";
 175     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 176         os << "[[";
 177         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 178             os << m[r*col+c] << ",";
 179         }
 180         os << m[col*(r+1)-1] << "]], ";
 181     }
 182     os << "[[";
 183     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 184         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 185     }
 186     os << m[row*col-1] << "]] ]]";
 187 }
 188
 189 void matrix::printraw(ostream & os) const
 190 {
 191     debugmsg("matrix printraw",LOGLEVEL_PRINT);
 192     os << "matrix(" << row << "," << col <<",";
 193     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 194         os << "(";
 195         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 196             os << m[r*col+c] << ",";
 197         }
 198         os << m[col*(r-1)-1] << "),";
 199     }
 200     os << "(";
 201     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c) {
 202         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 203     }
 204     os << m[row*col-1] << "))";
 205 }
 206
 207 /** nops is defined to be rows x columns. */
 208 unsigned matrix::nops() const
 209 {
 210     return row*col;
 211 }
 212
 213 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 214 ex matrix::op(int i) const
 215 {
 216     return m[i];
 217 }
 218
 219 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 220 ex & matrix::let_op(int i)
 221 {
 222     return m[i];
 223 }
 224
 225 /** expands the elements of a matrix entry by entry. */
 226 ex matrix::expand(unsigned options) const
 227 {
 228     exvector tmp(row*col);
 229     for (unsigned i=0; i<row*col; ++i) {
 230         tmp[i]=m[i].expand(options);
 231     }
 232     return matrix(row, col, tmp);
 233 }
 234
 235 /** Search ocurrences.  A matrix 'has' an expression if it is the expression
 236  *  itself or one of the elements 'has' it. */
 237 bool matrix::has(const ex & other) const
 238 {
 239     GINAC_ASSERT(other.bp!=0);
 240
 241     // tautology: it is the expression itself
 242     if (is_equal(*other.bp)) return true;
 243
 244     // search all the elements
 245     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 246         if ((*r).has(other)) return true;
 247     }
 248     return false;
 249 }
 250
 251 /** evaluate matrix entry by entry. */
 252 ex matrix::eval(int level) const
 253 {
 254     debugmsg("matrix eval",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 255
 256     // check if we have to do anything at all
 257     if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
 258         return *this;
 259
 260     // emergency break
 261     if (level == -max_recursion_level)
 262         throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
 263
 264     // eval() entry by entry
 265     exvector m2(row*col);
 266     --level;
 267     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 268         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 269             m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
 270         }
 271     }
 272
 273     return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
 274                                                status_flags::evaluated );
 275 }
 276
 277 /** evaluate matrix numerically entry by entry. */
 278 ex matrix::evalf(int level) const
 279 {
 280     debugmsg("matrix evalf",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 281
 282     // check if we have to do anything at all
 283     if (level==1)
 284         return *this;
 285
 286     // emergency break
 287     if (level == -max_recursion_level) {
 288         throw (std::runtime_error("matrix::evalf(): recursion limit exceeded"));
 289     }
 290
 291     // evalf() entry by entry
 292     exvector m2(row*col);
 293     --level;
 294     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 295         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 296             m2[r*col+c] = m[r*col+c].evalf(level);
 297         }
 298     }
 299     return matrix(row, col, m2);
 300 }
 301
 302 // protected
 303
 304 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
 305 {
 306     GINAC_ASSERT(is_exactly_of_type(other, matrix));
 307     const matrix & o = static_cast<matrix &>(const_cast<basic &>(other));
 308
 309     // compare number of rows
 310     if (row != o.rows())
 311         return row < o.rows() ? -1 : 1;
 312
 313     // compare number of columns
 314     if (col != o.cols())
 315         return col < o.cols() ? -1 : 1;
 316
 317     // equal number of rows and columns, compare individual elements
 318     int cmpval;
 319     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 320         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 321             cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
 322             if (cmpval!=0) return cmpval;
 323         }
 324     }
 325     // all elements are equal => matrices are equal;
 326     return 0;
 327 }
 328
 329 //////////
 330 // non-virtual functions in this class
 331 //////////
 332
 333 // public
 334
 335 /** Sum of matrices.
 336  *
 337  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 338 matrix matrix::add(const matrix & other) const
 339 {
 340     if (col != other.col || row != other.row)
 341         throw (std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices"));
 342
 343     exvector sum(this->m);
 344     exvector::iterator i;
 345     exvector::const_iterator ci;
 346     for (i=sum.begin(), ci=other.m.begin();
 347          i!=sum.end();
 348          ++i, ++ci) {
 349         (*i) += (*ci);
 350     }
 351     return matrix(row,col,sum);
 352 }
 353
 354
 355 /** Difference of matrices.
 356  *
 357  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 358 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
 359 {
 360     if (col != other.col || row != other.row)
 361         throw (std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices"));
 362
 363     exvector dif(this->m);
 364     exvector::iterator i;
 365     exvector::const_iterator ci;
 366     for (i=dif.begin(), ci=other.m.begin();
 367          i!=dif.end();
 368          ++i, ++ci) {
 369         (*i) -= (*ci);
 370     }
 371     return matrix(row,col,dif);
 372 }
 373
 374
 375 /** Product of matrices.
 376  *
 377  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 378 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
 379 {
 380     if (col != other.row)
 381         throw (std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices"));
 382
 383     exvector prod(row*other.col);
 384
 385     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 386         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 387             if (m[r1*col+c].is_zero())
 388                 continue;
 389             for (unsigned r2=0; r2<other.col; ++r2)
 390                 prod[r1*other.col+r2] += m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2];
 391         }
 392     }
 393     return matrix(row, other.col, prod);
 394 }
 395
 396
 397 /** operator() to access elements.
 398  *
 399  *  @param ro row of element
 400  *  @param co column of element
 401  *  @exception range_error (index out of range) */
 402 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
 403 {
 404     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 405         throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 406
 407     return m[ro*col+co];
 408 }
 409
 410
 411 /** Set individual elements manually.
 412  *
 413  *  @exception range_error (index out of range) */
 414 matrix & matrix::set(unsigned ro, unsigned co, ex value)
 415 {
 416     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 417         throw (std::range_error("matrix::set(): index out of range"));
 418
 419     ensure_if_modifiable();
 420     m[ro*col+co] = value;
 421     return *this;
 422 }
 423
 424
 425 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
 426  *  represents the transposed. */
 427 matrix matrix::transpose(void) const
 428 {
 429     exvector trans(col*row);
 430
 431     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 432         for (unsigned c=0; c<row; ++c)
 433             trans[r*row+c] = m[c*col+r];
 434
 435     return matrix(col,row,trans);
 436 }
 437
 438
 439 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
 440  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
 441  *  call.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
 442  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
 443  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
 444  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
 445  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
 446  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
 447  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
 448  *
 449  *  @return    the determinant as a new expression
 450  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 451 ex matrix::determinant(void) const
 452 {
 453     if (row!=col)
 454         throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
 455     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 456     if (this->row==1)  // continuation would be pointless
 457         return m[0];
 458
 459     bool numeric_flag = true;
 460     bool normal_flag = false;
 461     unsigned sparse_count = 0;  // count non-zero elements
 462     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 463         if (!(*r).is_zero())
 464             ++sparse_count;
 465         if (!(*r).info(info_flags::numeric))
 466             numeric_flag = false;
 467         if ((*r).info(info_flags::rational_function) &&
 468             !(*r).info(info_flags::crational_polynomial))
 469             normal_flag = true;
 470     }
 471
 472     if (numeric_flag)  // purely numeric matrix
 473         return determinant_numeric();
 474     // Does anybody really know when a matrix is sparse?
 475     // Maybe <~row/2.2 nonzero elements average in a row?
 476     if (5*sparse_count<=row*col) {
 477         // copy *this:
 478         matrix tmp(*this);
 479         int sign;
 480         sign = tmp.fraction_free_elimination(true);
 481         if (normal_flag)
 482             return (sign*tmp.m[row*col-1]).normal();
 483         else
 484             return (sign*tmp.m[row*col-1]).expand();
 485     }
 486
 487     // Now come the minor expansion schemes.  We always develop such that the
 488     // smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the rightmost column.
 489     // For this to be efficient it turns out that the emptiest columns (i.e.
 490     // the ones with most zeros) should be the ones on the right hand side.
 491     // Therefore we presort the columns of the matrix:
 492     typedef pair<unsigned,unsigned> uintpair;  // # of zeros, column
 493     vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
 494     for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 495         unsigned acc = 0;
 496         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 497             if (m[r*col+c].is_zero())
 498                 ++acc;
 499         c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
 500     }
 501     sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
 502     vector<unsigned> pre_sort;  // unfortunately vector<uintpair> can't be used
 503                                 // for permutation_sign.
 504     for (vector<uintpair>::iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
 505         pre_sort.push_back(i->second);
 506     int sign = permutation_sign(pre_sort);
 507     exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
 508     unsigned c = 0;
 509     for (vector<unsigned>::iterator i=pre_sort.begin();
 510          i!=pre_sort.end();
 511          ++i,++c) {
 512         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 513             result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
 514     }
 515
 516     if (normal_flag)
 517         return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor().normal();
 518     return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
 519 }
 520
 521
 522 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
 523  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
 524  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
 525  *
 526  *  @return    the sum of diagonal elements
 527  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 528 ex matrix::trace(void) const
 529 {
 530     if (row != col)
 531         throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
 532     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 533
 534     ex tr;
 535     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 536         tr += m[r*col+r];
 537
 538     if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
 539         !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
 540         return tr.normal();
 541     else
 542         return tr.expand();
 543 }
 544
 545
 546 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
 547  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
 548  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
 549  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
 550  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
 551  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
 552  *  new expression.
 553  *
 554  *  @return    characteristic polynomial as new expression
 555  *  @exception logic_error (matrix not square)
 556  *  @see       matrix::determinant() */
 557 ex matrix::charpoly(const symbol & lambda) const
 558 {
 559     if (row != col)
 560         throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
 561
 562     bool numeric_flag = true;
 563     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 564         if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
 565             numeric_flag = false;
 566         }
 567     }
 568
 569     // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
 570     // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
 571     // every coefficient.  The expensive part is the matrix multiplication.
 572     if (numeric_flag) {
 573         matrix B(*this);
 574         ex c = B.trace();
 575         ex poly = power(lambda,row)-c*power(lambda,row-1);
 576         for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
 577             for (unsigned j=0; j<row; ++j)
 578                 B.m[j*col+j] -= c;
 579             B = this->mul(B);
 580             c = B.trace()/ex(i+1);
 581             poly -= c*power(lambda,row-i-1);
 582         }
 583         if (row%2)
 584             return -poly;
 585         else
 586             return poly;
 587     }
 588
 589     matrix M(*this);
 590     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 591         M.m[r*col+r] -= lambda;
 592
 593     return M.determinant().collect(lambda);
 594 }
 595
 596
 597 /** Inverse of this matrix.
 598  *
 599  *  @return    the inverted matrix
 600  *  @exception logic_error (matrix not square)
 601  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 602 matrix matrix::inverse(void) const
 603 {
 604     if (row != col)
 605         throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
 606
 607     matrix tmp(row,col);
 608     // set tmp to the unit matrix
 609     for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 610         tmp.m[i*col+i] = _ex1();
 611
 612     // create a copy of this matrix
 613     matrix cpy(*this);
 614     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 615         int indx = cpy.pivot(r1);
 616         if (indx == -1) {
 617             throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
 618         }
 619         if (indx != 0) {  // swap rows r and indx of matrix tmp
 620             for (unsigned i=0; i<col; ++i) {
 621                 tmp.m[r1*col+i].swap(tmp.m[indx*col+i]);
 622             }
 623         }
 624         ex a1 = cpy.m[r1*col+r1];
 625         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 626             cpy.m[r1*col+c] /= a1;
 627             tmp.m[r1*col+c] /= a1;
 628         }
 629         for (unsigned r2=0; r2<row; ++r2) {
 630             if (r2 != r1) {
 631                 ex a2 = cpy.m[r2*col+r1];
 632                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 633                     cpy.m[r2*col+c] -= a2 * cpy.m[r1*col+c];
 634                     tmp.m[r2*col+c] -= a2 * tmp.m[r1*col+c];
 635                 }
 636             }
 637         }
 638     }
 639     return tmp;
 640 }
 641
 642
 643 // superfluous helper function
 644 void matrix::ffe_swap(unsigned r1, unsigned c1, unsigned r2 ,unsigned c2)
 645 {
 646     ensure_if_modifiable();
 647
 648     ex tmp = ffe_get(r1,c1);
 649     ffe_set(r1,c1,ffe_get(r2,c2));
 650     ffe_set(r2,c2,tmp);
 651 }
 652
 653 // superfluous helper function
 654 void matrix::ffe_set(unsigned r, unsigned c, ex e)
 655 {
 656     set(r-1,c-1,e);
 657 }
 658
 659 // superfluous helper function
 660 ex matrix::ffe_get(unsigned r, unsigned c) const
 661 {
 662     return operator()(r-1,c-1);
 663 }
 664
 665 /** Solve a set of equations for an m x n matrix by fraction-free Gaussian
 666  *  elimination.  Based on algorithm 9.1 from 'Algorithms for Computer Algebra'
 667  *  by Keith O. Geddes et al.
 668  *
 669  *  @param vars n x p matrix
 670  *  @param rhs m x p matrix
 671  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 672  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 673 matrix matrix::fraction_free_elim(const matrix & vars,
 674                                   const matrix & rhs) const
 675 {
 676     // FIXME: use implementation of matrix::fraction_free_elimination
 677     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 678         throw (std::logic_error("matrix::fraction_free_elim(): incompatible matrices"));
 679
 680     matrix a(*this);  // make a copy of the matrix
 681     matrix b(rhs);    // make a copy of the rhs vector
 682
 683     // given an m x n matrix a, reduce it to upper echelon form
 684     unsigned m = a.row;
 685     unsigned n = a.col;
 686     int sign = 1;
 687     ex divisor = 1;
 688     unsigned r = 1;
 689
 690     // eliminate below row r, with pivot in column k
 691     for (unsigned k=1; (k<=n)&&(r<=m); ++k) {
 692         // find a nonzero pivot
 693         unsigned p;
 694         for (p=r; (p<=m)&&(a.ffe_get(p,k).is_equal(_ex0())); ++p) {}
 695         // pivot is in row p
 696         if (p<=m) {
 697             if (p!=r) {
 698                 // switch rows p and r
 699                 for (unsigned j=k; j<=n; ++j)
 700                     a.ffe_swap(p,j,r,j);
 701                 b.ffe_swap(p,1,r,1);
 702                 // keep track of sign changes due to row exchange
 703                 sign = -sign;
 704             }
 705             for (unsigned i=r+1; i<=m; ++i) {
 706                 for (unsigned j=k+1; j<=n; ++j) {
 707                     a.ffe_set(i,j,(a.ffe_get(r,k)*a.ffe_get(i,j)
 708                                   -a.ffe_get(r,j)*a.ffe_get(i,k))/divisor);
 709                     a.ffe_set(i,j,a.ffe_get(i,j).normal() /*.normal() */ );
 710                 }
 711                 b.ffe_set(i,1,(a.ffe_get(r,k)*b.ffe_get(i,1)
 712                               -b.ffe_get(r,1)*a.ffe_get(i,k))/divisor);
 713                 b.ffe_set(i,1,b.ffe_get(i,1).normal() /*.normal() */ );
 714                 a.ffe_set(i,k,0);
 715             }
 716             divisor = a.ffe_get(r,k);
 717             r++;
 718         }
 719     }
 720 //     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 721 //         for (unsigned c=1; c<=n; ++c) {
 722 //             cout << a.ffe_get(r,c) << "\t";
 723 //         }
 724 //         cout << " | " <<  b.ffe_get(r,1) << endl;
 725 //     }
 726
 727 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 728     // test if we really have an upper echelon matrix
 729     int zero_in_last_row = -1;
 730     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 731         int zero_in_this_row=0;
 732         for (unsigned c=1; c<=n; ++c) {
 733             if (a.ffe_get(r,c).is_zero())
 734                zero_in_this_row++;
 735             else
 736                 break;
 737         }
 738         GINAC_ASSERT((zero_in_this_row>zero_in_last_row)||(zero_in_this_row=n));
 739         zero_in_last_row = zero_in_this_row;
 740     }
 741 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 742
 743     // assemble solution
 744     matrix sol(n,1);
 745     unsigned last_assigned_sol = n+1;
 746     for (unsigned r=m; r>0; --r) {
 747         unsigned first_non_zero = 1;
 748         while ((first_non_zero<=n)&&(a.ffe_get(r,first_non_zero).is_zero()))
 749             first_non_zero++;
 750         if (first_non_zero>n) {
 751             // row consists only of zeroes, corresponding rhs must be 0 as well
 752             if (!b.ffe_get(r,1).is_zero()) {
 753                 throw (std::runtime_error("matrix::fraction_free_elim(): singular matrix"));
 754             }
 755         } else {
 756             // assign solutions for vars between first_non_zero+1 and
 757             // last_assigned_sol-1: free parameters
 758             for (unsigned c=first_non_zero+1; c<=last_assigned_sol-1; ++c) {
 759                 sol.ffe_set(c,1,vars.ffe_get(c,1));
 760             }
 761             ex e = b.ffe_get(r,1);
 762             for (unsigned c=first_non_zero+1; c<=n; ++c) {
 763                 e=e-a.ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 764             }
 765             sol.ffe_set(first_non_zero,1,
 766                         (e/a.ffe_get(r,first_non_zero)).normal());
 767             last_assigned_sol = first_non_zero;
 768         }
 769     }
 770     // assign solutions for vars between 1 and
 771     // last_assigned_sol-1: free parameters
 772     for (unsigned c=1; c<=last_assigned_sol-1; ++c)
 773         sol.ffe_set(c,1,vars.ffe_get(c,1));
 774
 775 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 776     // test solution with echelon matrix
 777     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 778         ex e = 0;
 779         for (unsigned c=1; c<=n; ++c)
 780             e = e+a.ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 781         if (!(e-b.ffe_get(r,1)).normal().is_zero()) {
 782             cout << "e=" << e;
 783             cout << "b.ffe_get(" << r<<",1)=" << b.ffe_get(r,1) << endl;
 784             cout << "diff=" << (e-b.ffe_get(r,1)).normal() << endl;
 785         }
 786         GINAC_ASSERT((e-b.ffe_get(r,1)).normal().is_zero());
 787     }
 788
 789     // test solution with original matrix
 790     for (unsigned r=1; r<=m; ++r) {
 791         ex e = 0;
 792         for (unsigned c=1; c<=n; ++c)
 793             e = e+ffe_get(r,c)*sol.ffe_get(c,1);
 794         try {
 795             if (!(e-rhs.ffe_get(r,1)).normal().is_zero()) {
 796                 cout << "e=" << e << endl;
 797                 e.printtree(cout);
 798                 ex en = e.normal();
 799                 cout << "e.normal()=" << en << endl;
 800                 en.printtree(cout);
 801                 cout << "rhs.ffe_get(" << r<<",1)=" << rhs.ffe_get(r,1) << endl;
 802                 cout << "diff=" << (e-rhs.ffe_get(r,1)).normal() << endl;
 803             }
 804         } catch (...) {
 805             ex xxx = e - rhs.ffe_get(r,1);
 806             cerr << "xxx=" << xxx << endl << endl;
 807         }
 808         GINAC_ASSERT((e-rhs.ffe_get(r,1)).normal().is_zero());
 809     }
 810 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 811
 812     return sol;
 813 }
 814
 815 /** Solve a set of equations for an m x n matrix.
 816  *
 817  *  @param vars n x p matrix
 818  *  @param rhs m x p matrix
 819  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 820  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 821 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
 822                      const matrix & rhs) const
 823 {
 824     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 825         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 826
 827     throw (std::runtime_error("FIXME: need implementation."));
 828 }
 829
 830 /** Old and obsolete interface: */
 831 matrix matrix::old_solve(const matrix & v) const
 832 {
 833     if ((v.row != col) || (col != v.row))
 834         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 835
 836     // build the augmented matrix of *this with v attached to the right
 837     matrix tmp(row,col+v.col);
 838     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 839         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 840             tmp.m[r*tmp.col+c] = this->m[r*col+c];
 841         for (unsigned c=0; c<v.col; ++c)
 842             tmp.m[r*tmp.col+c+col] = v.m[r*v.col+c];
 843     }
 844     // cout << "augmented: " << tmp << endl;
 845     tmp.gauss_elimination();
 846     // cout << "degaussed: " << tmp << endl;
 847     // assemble the solution matrix
 848     exvector sol(v.row*v.col);
 849     for (unsigned c=0; c<v.col; ++c) {
 850         for (unsigned r=row; r>0; --r) {
 851             for (unsigned i=r; i<col; ++i)
 852                 sol[(r-1)*v.col+c] -= tmp.m[(r-1)*tmp.col+i]*sol[i*v.col+c];
 853             sol[(r-1)*v.col+c] += tmp.m[(r-1)*tmp.col+col+c];
 854             sol[(r-1)*v.col+c] = (sol[(r-1)*v.col+c]/tmp.m[(r-1)*tmp.col+(r-1)]).normal();
 855         }
 856     }
 857     return matrix(v.row, v.col, sol);
 858 }
 859
 860
 861 // protected
 862
 863 /** Determinant of purely numeric matrix, using pivoting.
 864  *
 865  *  @see       matrix::determinant() */
 866 ex matrix::determinant_numeric(void) const
 867 {
 868     matrix tmp(*this);
 869     ex det = _ex1();
 870     ex piv;
 871
 872     // standard Gauss method:
 873     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 874         int indx = tmp.pivot(r1);
 875         if (indx == -1)
 876             return _ex0();
 877         if (indx != 0)
 878             det *= _ex_1();
 879         det = det * tmp.m[r1*col+r1];
 880         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
 881             piv = tmp.m[r2*col+r1] / tmp.m[r1*col+r1];
 882             for (unsigned c=r1+1; c<col; c++) {
 883                 tmp.m[r2*col+c] -= piv * tmp.m[r1*col+c];
 884             }
 885         }
 886     }
 887
 888     return det;
 889 }
 890
 891
 892 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
 893  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
 894  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
 895  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
 896  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
 897  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
 898  *  matrix' dimesion is larger than 7.
 899  *
 900  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
 901  *  @see matrix::determinant() */
 902 ex matrix::determinant_minor(void) const
 903 {
 904     // for small matrices the algorithm does not make any sense:
 905     if (this->row==1)
 906         return m[0];
 907     if (this->row==2)
 908         return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
 909     if (this->row==3)
 910         return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
 911                 m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
 912                 m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
 913
 914     // This algorithm can best be understood by looking at a naive
 915     // implementation of Laplace-expansion, like this one:
 916     // ex det;
 917     // matrix minorM(this->row-1,this->col-1);
 918     // for (unsigned r1=0; r1<this->row; ++r1) {
 919     //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
 920     //     if (m[r1*col].is_zero())
 921     //         continue;
 922     //     // assemble the minor matrix
 923     //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
 924     //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
 925     //             if (r<r1)
 926     //                 minorM.set(r,c,m[r*col+c+1]);
 927     //             else
 928     //                 minorM.set(r,c,m[(r+1)*col+c+1]);
 929     //         }
 930     //     }
 931     //     // recurse down and care for sign:
 932     //     if (r1%2)
 933     //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 934     //     else
 935     //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 936     // }
 937     // return det.expand();
 938     // What happens is that while proceeding down many of the minors are
 939     // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
 940     // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
 941     // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
 942     // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
 943     // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most
 944     // 2*binomial(n,n/2) minors.
 945
 946     // Unique flipper counter for partitioning into minors
 947     vector<unsigned> Pkey;
 948     Pkey.reserve(this->col);
 949     // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
 950     vector<unsigned> Mkey;
 951     Mkey.reserve(this->col-1);
 952     // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
 953     typedef map<vector<unsigned>,class ex> Rmap;
 954     typedef map<vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
 955     Rmap A;
 956     Rmap B;
 957     ex det;
 958     // initialize A with last column:
 959     for (unsigned r=0; r<this->col; ++r) {
 960         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
 961         Pkey.push_back(r);
 962         A.insert(Rmap_value(Pkey,m[this->col*r+this->col-1]));
 963     }
 964     // proceed from right to left through matrix
 965     for (int c=this->col-2; c>=0; --c) {
 966         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
 967         Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 968         for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 969             Pkey.push_back(i);
 970         unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
 971         do {
 972             det = _ex0();
 973             for (unsigned r=0; r<this->col-c; ++r) {
 974                 // maybe there is nothing to do?
 975                 if (m[Pkey[r]*this->col+c].is_zero())
 976                     continue;
 977                 // create the sorted key for all possible minors
 978                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 979                 for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 980                     if (i!=r)
 981                         Mkey.push_back(Pkey[i]);
 982                 // Fetch the minors and compute the new determinant
 983                 if (r%2)
 984                     det -= m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 985                 else
 986                     det += m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 987             }
 988             // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
 989             det = det.expand();
 990             // store the new determinant at its place in B:
 991             if (!det.is_zero())
 992                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
 993             // increment our strange flipper counter
 994             for (fc=this->col-c; fc>0; --fc) {
 995                 ++Pkey[fc-1];
 996                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
 997                     break;
 998             }
 999             if (fc<this->col-c)
1000                 for (unsigned j=fc; j<this->col-c; ++j)
1001                     Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
1002         } while(fc);
1003         // next column, so change the role of A and B:
1004         A = B;
1005         B.clear();
1006     }
1007
1008     return det;
1009 }
1010
1011
1012 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the matrix
1013  *  into an upper echelon form.
1014  *
1015  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1016  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1017 int matrix::gauss_elimination(void)
1018 {
1019     int sign = 1;
1020     ensure_if_modifiable();
1021     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1022         int indx = pivot(r1);
1023         if (indx == -1)
1024             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1025         if (indx > 0)
1026             sign = -sign;
1027         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1028             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
1029                 this->m[r2*col+c] -= this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c]/this->m[r1*col+r1];
1030             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1031                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1032         }
1033     }
1034
1035     return sign;
1036 }
1037
1038
1039 /** Perform the steps of division free elimination to bring the matrix
1040  *  into an upper echelon form.
1041  *
1042  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1043  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1044 int matrix::division_free_elimination(void)
1045 {
1046     int sign = 1;
1047     ensure_if_modifiable();
1048     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1049         int indx = pivot(r1);
1050         if (indx==-1)
1051             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1052         if (indx>0)
1053             sign = -sign;
1054         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1055             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
1056                 this->m[r2*col+c] = this->m[r1*col+r1]*this->m[r2*col+c] - this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c];
1057             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1058                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1059         }
1060     }
1061
1062     return sign;
1063 }
1064
1065
1066 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1067  *  the matrix into an upper echelon form.  Fraction free elimination means
1068  *  that divide is used straightforwardly, without computing GCDs first.  This
1069  *  is possible, since we know the divisor at each step.
1070  *
1071  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1072  *  interested in the last element (i.e. for calculating determinants), the
1073  *  others are set to zero in this case.
1074  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1075  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1076 int matrix::fraction_free_elimination(bool det)
1077 {
1078     // Method:
1079     // (single-step fraction free elimination scheme, already known to Jordan)
1080     //
1081     // Usual division-free elimination sets m[0](r,c) = m(r,c) and then sets
1082     //     m[k+1](r,c) = m[k](k,k) * m[k](r,c) - m[k](r,k) * m[k](k,c).
1083     //
1084     // Bareiss (fraction-free) elimination in addition divides that element
1085     // by m[k-1](k-1,k-1) for k>1, where it can be shown by means of the
1086     // Sylvester determinant that this really divides m[k+1](r,c).
1087     //
1088     // We also allow rational functions where the original prove still holds.
1089     // However, we must care for numerator and denominator separately and
1090     // "manually" work in the integral domains because of subtle cancellations
1091     // (see below).  This blows up the bookkeeping a bit and the formula has
1092     // to be modified to expand like this (N{x} stands for numerator of x,
1093     // D{x} for denominator of x):
1094     //     N{m[k+1](r,c)} = N{m[k](k,k)}*N{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1095     //                     -N{m[k](r,k)}*N{m[k](k,c)}*D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}
1096     //     D{m[k+1](r,c)} = D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1097     // where for k>1 we now divide N{m[k+1](r,c)} by
1098     //     N{m[k-1](k-1,k-1)}
1099     // and D{m[k+1](r,c)} by
1100     //     D{m[k-1](k-1,k-1)}.
1101
1102     GINAC_ASSERT(det || row==col);
1103     ensure_if_modifiable();
1104     if (rows()==1)
1105         return 1;
1106
1107     int sign = 1;
1108     ex divisor_n = 1;
1109     ex divisor_d = 1;
1110     ex dividend_n;
1111     ex dividend_d;
1112
1113     // We populate temporary matrices to subsequently operate on.  There is
1114     // one holding numerators and another holding denominators of entries.
1115     // This is a must since the evaluator (or even earlier mul's constructor)
1116     // might cancel some trivial element which causes divide() to fail.  The
1117     // elements are normalized first (yes, even though this algorithm doesn't
1118     // need GCDs) since the elements of *this might be unnormalized, which
1119     // makes things more complicated than they need to be.
1120     matrix tmp_n(*this);
1121     matrix tmp_d(row,col);  // for denominators, if needed
1122     lst srl;  // symbol replacement list
1123     exvector::iterator it = m.begin();
1124     exvector::iterator tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1125     exvector::iterator tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1126     for (; it!= m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it) {
1127         (*tmp_n_it) = (*it).normal().to_rational(srl);
1128         (*tmp_d_it) = (*tmp_n_it).denom();
1129         (*tmp_n_it) = (*tmp_n_it).numer();
1130     }
1131
1132     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1133 //         cout << "==<" << r1 << ">" << string(60,'=') << endl;
1134         int indx = tmp_n.pivot(r1);
1135         if (det && indx==-1)
1136             return 0;  // FIXME: what to do if det is false?
1137         if (indx>0) {
1138             sign = -sign;
1139             // rows r1 and indx were swapped, so pivot matrix tmp_d:
1140             for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1141                 tmp_d.m[row*indx+c].swap(tmp_d.m[row*r1+c]);
1142         }
1143 //         cout << tmp_n << endl;
1144 //         cout << tmp_d << endl;
1145         if (r1>0) {
1146             divisor_n = tmp_n.m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1147             divisor_d = tmp_d.m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1148             // save space by deleting no longer needed elements:
1149             if (det) {
1150                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
1151                     tmp_n.m[(r1-1)*col+c] = 0;
1152                     tmp_d.m[(r1-1)*col+c] = 1;
1153                 }
1154             }
1155         }
1156         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1157             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c) {
1158                 dividend_n = (tmp_n.m[r1*col+r1]*tmp_n.m[r2*col+c]*
1159                               tmp_d.m[r2*col+r1]*tmp_d.m[r1*col+c]
1160                              -tmp_n.m[r2*col+r1]*tmp_n.m[r1*col+c]*
1161                               tmp_d.m[r1*col+r1]*tmp_d.m[r2*col+c]).expand();
1162                 dividend_d = (tmp_d.m[r2*col+r1]*tmp_d.m[r1*col+c]*
1163                               tmp_d.m[r1*col+r1]*tmp_d.m[r2*col+c]).expand();
1164 //                 cout << "Element " << r2 << ',' << c << endl;
1165 //                 cout << "dividend_n==" << dividend_n << endl;
1166 //                 cout << "dividend_d==" << dividend_d << endl;
1167 //                 cout << " divisor_n==" << divisor_n << endl;
1168 //                 cout << " divisor_d==" << divisor_d << endl;
1169 //                 cout << string(20,'-') << endl;
1170                 bool check = divide(dividend_n, divisor_n,
1171                                     tmp_n.m[r2*col+c],true);
1172                 check &= divide(dividend_d, divisor_d,
1173                                 tmp_d.m[r2*col+c],true);
1174                 GINAC_ASSERT(check);
1175             }
1176             // fill up left hand side.
1177             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1178                 tmp_n.m[r2*col+c] = _ex0();
1179         }
1180 //         cout << tmp_n << endl;
1181 //         cout << tmp_d << endl;
1182     }
1183     // repopulate *this matrix:
1184     it = m.begin();
1185     tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1186     tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1187     for (; it!= m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it)
1188         (*it) = ((*tmp_n_it)/(*tmp_d_it)).subs(srl);
1189
1190     return sign;
1191 }
1192
1193
1194 /** Partial pivoting method.
1195  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1196  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1197  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1198  *  with the first non-zero element.
1199  *
1200  *  @param ro is the row to be inspected
1201  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1202  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1203  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1204  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1205  */
1206 int matrix::pivot(unsigned ro, bool symbolic)
1207 {
1208     unsigned k = ro;
1209
1210     if (symbolic) {  // search first non-zero
1211         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1212             if (!m[r*col+ro].is_zero()) {
1213                 k = r;
1214                 break;
1215             }
1216         }
1217     } else {  // search largest
1218         numeric tmp(0);
1219         numeric maxn(-1);
1220         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1221             GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(m[r*col+ro],numeric));
1222             if ((tmp = abs(ex_to_numeric(m[r*col+ro]))) > maxn &&
1223                 !tmp.is_zero()) {
1224                 maxn = tmp;
1225                 k = r;
1226             }
1227         }
1228     }
1229     if (m[k*col+ro].is_zero())
1230         return -1;
1231     if (k!=ro) {  // swap rows
1232         ensure_if_modifiable();
1233         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
1234             m[k*col+c].swap(m[ro*col+c]);
1235         }
1236         return k;
1237     }
1238     return 0;
1239 }
1240
1241 /** Convert list of lists to matrix. */
1242 ex lst_to_matrix(const ex &l)
1243 {
1244         if (!is_ex_of_type(l, lst))
1245                 throw(std::invalid_argument("argument to lst_to_matrix() must be a lst"));
1246
1247         // Find number of rows and columns
1248         unsigned rows = l.nops(), cols = 0, i, j;
1249         for (i=0; i<rows; i++)
1250                 if (l.op(i).nops() > cols)
1251                         cols = l.op(i).nops();
1252
1253         // Allocate and fill matrix
1254         matrix &m = *new matrix(rows, cols);
1255         for (i=0; i<rows; i++)
1256                 for (j=0; j<cols; j++)
1257                         if (l.op(i).nops() > j)
1258                                 m.set(i, j, l.op(i).op(j));
1259                         else
1260                                 m.set(i, j, ex(0));
1261         return m;
1262 }
1263
1264 //////////
1265 // global constants
1266 //////////
1267
1268 const matrix some_matrix;
1269 const type_info & typeid_matrix=typeid(some_matrix);
1270
1271 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1272 } // namespace GiNaC
1273 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC