65b1254936e0a378eb5ba1760ee9709a3a52c409
[ginac.git] / ginac / matrix.cpp
1 /** @file matrix.cpp
2  *
3  *  Implementation of symbolic matrices */
4
5 /*
6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2001 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
7  *
8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
11  *  (at your option) any later version.
12  *
13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
16  *  GNU General Public License for more details.
17  *
18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
21  */
22
23 #include <algorithm>
24 #include <map>
25 #include <stdexcept>
26
27 #include "matrix.h"
28 #include "numeric.h"
29 #include "lst.h"
30 #include "idx.h"
31 #include "indexed.h"
32 #include "power.h"
33 #include "symbol.h"
34 #include "normal.h"
35 #include "print.h"
36 #include "archive.h"
37 #include "utils.h"
38 #include "debugmsg.h"
39
40 namespace GiNaC {
41
42 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(matrix, basic)
43
44 //////////
45 // default ctor, dtor, copy ctor, assignment operator and helpers:
46 //////////
47
48 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
49 matrix::matrix() : inherited(TINFO_matrix), row(1), col(1)
50 {
51         debugmsg("matrix default ctor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
52         m.push_back(_ex0());
53 }
54
55 void matrix::copy(const matrix & other)
56 {
57         inherited::copy(other);
58         row = other.row;
59         col = other.col;
60         m = other.m;  // STL's vector copying invoked here
61 }
62
63 DEFAULT_DESTROY(matrix)
64
65 //////////
66 // other ctors
67 //////////
68
69 // public
70
71 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
72  *
73  *  @param r number of rows
74  *  @param c number of cols */
75 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
76   : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
77 {
78         debugmsg("matrix ctor from unsigned,unsigned",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
79         m.resize(r*c, _ex0());
80 }
81
82 // protected
83
84 /** Ctor from representation, for internal use only. */
85 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
86   : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c), m(m2)
87 {
88         debugmsg("matrix ctor from unsigned,unsigned,exvector",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
89 }
90
91 /** Construct matrix from (flat) list of elements. If the list has fewer
92  *  elements than the matrix, the remaining matrix elements are set to zero.
93  *  If the list has more elements than the matrix, the excessive elements are
94  *  thrown away. */
95 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const lst & l)
96   : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
97 {
98         debugmsg("matrix ctor from unsigned,unsigned,lst",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
99         m.resize(r*c, _ex0());
100
101         for (unsigned i=0; i<l.nops(); i++) {
102                 unsigned x = i % c;
103                 unsigned y = i / c;
104                 if (y >= r)
105                         break; // matrix smaller than list: throw away excessive elements
106                 m[y*c+x] = l.op(i);
107         }
108 }
109
110 //////////
111 // archiving
112 //////////
113
114 matrix::matrix(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
115 {
116         debugmsg("matrix ctor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
117         if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
118                 throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
119         m.reserve(row * col);
120         for (unsigned int i=0; true; i++) {
121                 ex e;
122                 if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
123                         m.push_back(e);
124                 else
125                         break;
126         }
127 }
128
129 void matrix::archive(archive_node &n) const
130 {
131         inherited::archive(n);
132         n.add_unsigned("row", row);
133         n.add_unsigned("col", col);
134         exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
135         while (i != iend) {
136                 n.add_ex("m", *i);
137                 ++i;
138         }
139 }
140
141 DEFAULT_UNARCHIVE(matrix)
142
143 //////////
144 // functions overriding virtual functions from bases classes
145 //////////
146
147 // public
148
149 void matrix::print(const print_context & c, unsigned level) const
150 {
151         debugmsg("matrix print", LOGLEVEL_PRINT);
152
153         if (is_of_type(c, print_tree)) {
154
155                 inherited::print(c, level);
156
157         } else {
158
159                 c.s << "[[ ";
160                 for (unsigned y=0; y<row-1; ++y) {
161                         c.s << "[[";
162                         for (unsigned x=0; x<col-1; ++x) {
163                                 m[y*col+x].print(c);
164                                 c.s << ",";
165                         }
166                         m[col*(y+1)-1].print(c);
167                         c.s << "]], ";
168                 }
169                 c.s << "[[";
170                 for (unsigned x=0; x<col-1; ++x) {
171                         m[(row-1)*col+x].print(c);
172                         c.s << ",";
173                 }
174                 m[row*col-1].print(c);
175                 c.s << "]] ]]";
176
177         }
178 }
179
180 /** nops is defined to be rows x columns. */
181 unsigned matrix::nops() const
182 {
183         return row*col;
184 }
185
186 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
187 ex matrix::op(int i) const
188 {
189         return m[i];
190 }
191
192 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
193 ex & matrix::let_op(int i)
194 {
195         GINAC_ASSERT(i>=0);
196         GINAC_ASSERT(i<nops());
197         
198         return m[i];
199 }
200
201 /** expands the elements of a matrix entry by entry. */
202 ex matrix::expand(unsigned options) const
203 {
204         exvector tmp(row*col);
205         for (unsigned i=0; i<row*col; ++i)
206                 tmp[i] = m[i].expand(options);
207         
208         return matrix(row, col, tmp);
209 }
210
211 /** Evaluate matrix entry by entry. */
212 ex matrix::eval(int level) const
213 {
214         debugmsg("matrix eval",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
215         
216         // check if we have to do anything at all
217         if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
218                 return *this;
219         
220         // emergency break
221         if (level == -max_recursion_level)
222                 throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
223         
224         // eval() entry by entry
225         exvector m2(row*col);
226         --level;
227         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
228                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
229                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
230         
231         return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
232                                                                                            status_flags::evaluated );
233 }
234
235 /** Evaluate matrix numerically entry by entry. */
236 ex matrix::evalf(int level) const
237 {
238         debugmsg("matrix evalf",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
239                 
240         // check if we have to do anything at all
241         if (level==1)
242                 return *this;
243         
244         // emergency break
245         if (level == -max_recursion_level) {
246                 throw (std::runtime_error("matrix::evalf(): recursion limit exceeded"));
247         }
248         
249         // evalf() entry by entry
250         exvector m2(row*col);
251         --level;
252         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
253                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
254                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].evalf(level);
255         
256         return matrix(row, col, m2);
257 }
258
259 ex matrix::subs(const lst & ls, const lst & lr, bool no_pattern) const
260 {
261         exvector m2(row * col);
262         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
263                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
264                         m2[r*col+c] = m[r*col+c].subs(ls, lr, no_pattern);
265
266         return ex(matrix(row, col, m2)).bp->basic::subs(ls, lr, no_pattern);
267 }
268
269 // protected
270
271 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
272 {
273         GINAC_ASSERT(is_exactly_of_type(other, matrix));
274         const matrix & o = static_cast<matrix &>(const_cast<basic &>(other));
275         
276         // compare number of rows
277         if (row != o.rows())
278                 return row < o.rows() ? -1 : 1;
279         
280         // compare number of columns
281         if (col != o.cols())
282                 return col < o.cols() ? -1 : 1;
283         
284         // equal number of rows and columns, compare individual elements
285         int cmpval;
286         for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
287                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
288                         cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
289                         if (cmpval!=0) return cmpval;
290                 }
291         }
292         // all elements are equal => matrices are equal;
293         return 0;
294 }
295
296 /** Automatic symbolic evaluation of an indexed matrix. */
297 ex matrix::eval_indexed(const basic & i) const
298 {
299         GINAC_ASSERT(is_of_type(i, indexed));
300         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(i.op(0), matrix));
301
302         bool all_indices_unsigned = static_cast<const indexed &>(i).all_index_values_are(info_flags::nonnegint);
303
304         // Check indices
305         if (i.nops() == 2) {
306
307                 // One index, must be one-dimensional vector
308                 if (row != 1 && col != 1)
309                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): vector must have exactly 1 index"));
310
311                 const idx & i1 = ex_to_idx(i.op(1));
312
313                 if (col == 1) {
314
315                         // Column vector
316                         if (!i1.get_dim().is_equal(row))
317                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of index must match number of vector elements"));
318
319                         // Index numeric -> return vector element
320                         if (all_indices_unsigned) {
321                                 unsigned n1 = ex_to_numeric(i1.get_value()).to_int();
322                                 if (n1 >= row)
323                                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of index exceeds number of vector elements"));
324                                 return (*this)(n1, 0);
325                         }
326
327                 } else {
328
329                         // Row vector
330                         if (!i1.get_dim().is_equal(col))
331                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of index must match number of vector elements"));
332
333                         // Index numeric -> return vector element
334                         if (all_indices_unsigned) {
335                                 unsigned n1 = ex_to_numeric(i1.get_value()).to_int();
336                                 if (n1 >= col)
337                                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of index exceeds number of vector elements"));
338                                 return (*this)(0, n1);
339                         }
340                 }
341
342         } else if (i.nops() == 3) {
343
344                 // Two indices
345                 const idx & i1 = ex_to_idx(i.op(1));
346                 const idx & i2 = ex_to_idx(i.op(2));
347
348                 if (!i1.get_dim().is_equal(row))
349                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of first index must match number of rows"));
350                 if (!i2.get_dim().is_equal(col))
351                         throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): dimension of second index must match number of columns"));
352
353                 // Pair of dummy indices -> compute trace
354                 if (is_dummy_pair(i1, i2))
355                         return trace();
356
357                 // Both indices numeric -> return matrix element
358                 if (all_indices_unsigned) {
359                         unsigned n1 = ex_to_numeric(i1.get_value()).to_int(), n2 = ex_to_numeric(i2.get_value()).to_int();
360                         if (n1 >= row)
361                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of first index exceeds number of rows"));
362                         if (n2 >= col)
363                                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): value of second index exceeds number of columns"));
364                         return (*this)(n1, n2);
365                 }
366
367         } else
368                 throw (std::runtime_error("matrix::eval_indexed(): matrix must have exactly 2 indices"));
369
370         return i.hold();
371 }
372
373 /** Sum of two indexed matrices. */
374 ex matrix::add_indexed(const ex & self, const ex & other) const
375 {
376         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(self, indexed));
377         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(self.op(0), matrix));
378         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(other, indexed));
379         GINAC_ASSERT(self.nops() == 2 || self.nops() == 3);
380
381         // Only add two matrices
382         if (is_ex_of_type(other.op(0), matrix)) {
383                 GINAC_ASSERT(other.nops() == 2 || other.nops() == 3);
384
385                 const matrix &self_matrix = ex_to_matrix(self.op(0));
386                 const matrix &other_matrix = ex_to_matrix(other.op(0));
387
388                 if (self.nops() == 2 && other.nops() == 2) { // vector + vector
389
390                         if (self_matrix.row == other_matrix.row)
391                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix), self.op(1));
392                         else if (self_matrix.row == other_matrix.col)
393                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix.transpose()), self.op(1));
394
395                 } else if (self.nops() == 3 && other.nops() == 3) { // matrix + matrix
396
397                         if (self.op(1).is_equal(other.op(1)) && self.op(2).is_equal(other.op(2)))
398                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix), self.op(1), self.op(2));
399                         else if (self.op(1).is_equal(other.op(2)) && self.op(2).is_equal(other.op(1)))
400                                 return indexed(self_matrix.add(other_matrix.transpose()), self.op(1), self.op(2));
401
402                 }
403         }
404
405         // Don't know what to do, return unevaluated sum
406         return self + other;
407 }
408
409 /** Product of an indexed matrix with a number. */
410 ex matrix::scalar_mul_indexed(const ex & self, const numeric & other) const
411 {
412         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(self, indexed));
413         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(self.op(0), matrix));
414         GINAC_ASSERT(self.nops() == 2 || self.nops() == 3);
415
416         const matrix &self_matrix = ex_to_matrix(self.op(0));
417
418         if (self.nops() == 2)
419                 return indexed(self_matrix.mul(other), self.op(1));
420         else // self.nops() == 3
421                 return indexed(self_matrix.mul(other), self.op(1), self.op(2));
422 }
423
424 /** Contraction of an indexed matrix with something else. */
425 bool matrix::contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const
426 {
427         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(*self, indexed));
428         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(*other, indexed));
429         GINAC_ASSERT(self->nops() == 2 || self->nops() == 3);
430         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(self->op(0), matrix));
431
432         // Only contract with other matrices
433         if (!is_ex_of_type(other->op(0), matrix))
434                 return false;
435
436         GINAC_ASSERT(other->nops() == 2 || other->nops() == 3);
437
438         const matrix &self_matrix = ex_to_matrix(self->op(0));
439         const matrix &other_matrix = ex_to_matrix(other->op(0));
440
441         if (self->nops() == 2) {
442                 unsigned self_dim = (self_matrix.col == 1) ? self_matrix.row : self_matrix.col;
443
444                 if (other->nops() == 2) { // vector * vector (scalar product)
445                         unsigned other_dim = (other_matrix.col == 1) ? other_matrix.row : other_matrix.col;
446
447                         if (self_matrix.col == 1) {
448                                 if (other_matrix.col == 1) {
449                                         // Column vector * column vector, transpose first vector
450                                         *self = self_matrix.transpose().mul(other_matrix)(0, 0);
451                                 } else {
452                                         // Column vector * row vector, swap factors
453                                         *self = other_matrix.mul(self_matrix)(0, 0);
454                                 }
455                         } else {
456                                 if (other_matrix.col == 1) {
457                                         // Row vector * column vector, perfect
458                                         *self = self_matrix.mul(other_matrix)(0, 0);
459                                 } else {
460                                         // Row vector * row vector, transpose second vector
461                                         *self = self_matrix.mul(other_matrix.transpose())(0, 0);
462                                 }
463                         }
464                         *other = _ex1();
465                         return true;
466
467                 } else { // vector * matrix
468
469                         // B_i * A_ij = (B*A)_j (B is row vector)
470                         if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(1))) {
471                                 if (self_matrix.row == 1)
472                                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix), other->op(2));
473                                 else
474                                         *self = indexed(self_matrix.transpose().mul(other_matrix), other->op(2));
475                                 *other = _ex1();
476                                 return true;
477                         }
478
479                         // B_j * A_ij = (A*B)_i (B is column vector)
480                         if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(2))) {
481                                 if (self_matrix.col == 1)
482                                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix), other->op(1));
483                                 else
484                                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix.transpose()), other->op(1));
485                                 *other = _ex1();
486                                 return true;
487                         }
488                 }
489
490         } else if (other->nops() == 3) { // matrix * matrix
491
492                 // A_ij * B_jk = (A*B)_ik
493                 if (is_dummy_pair(self->op(2), other->op(1))) {
494                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix), self->op(1), other->op(2));
495                         *other = _ex1();
496                         return true;
497                 }
498
499                 // A_ij * B_kj = (A*Btrans)_ik
500                 if (is_dummy_pair(self->op(2), other->op(2))) {
501                         *self = indexed(self_matrix.mul(other_matrix.transpose()), self->op(1), other->op(1));
502                         *other = _ex1();
503                         return true;
504                 }
505
506                 // A_ji * B_jk = (Atrans*B)_ik
507                 if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(1))) {
508                         *self = indexed(self_matrix.transpose().mul(other_matrix), self->op(2), other->op(2));
509                         *other = _ex1();
510                         return true;
511                 }
512
513                 // A_ji * B_kj = (B*A)_ki
514                 if (is_dummy_pair(self->op(1), other->op(2))) {
515                         *self = indexed(other_matrix.mul(self_matrix), other->op(1), self->op(2));
516                         *other = _ex1();
517                         return true;
518                 }
519         }
520
521         return false;
522 }
523
524
525 //////////
526 // non-virtual functions in this class
527 //////////
528
529 // public
530
531 /** Sum of matrices.
532  *
533  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
534 matrix matrix::add(const matrix & other) const
535 {
536         if (col != other.col || row != other.row)
537                 throw (std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices"));
538         
539         exvector sum(this->m);
540         exvector::iterator i;
541         exvector::const_iterator ci;
542         for (i=sum.begin(), ci=other.m.begin(); i!=sum.end(); ++i, ++ci)
543                 (*i) += (*ci);
544         
545         return matrix(row,col,sum);
546 }
547
548
549 /** Difference of matrices.
550  *
551  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
552 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
553 {
554         if (col != other.col || row != other.row)
555                 throw (std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices"));
556         
557         exvector dif(this->m);
558         exvector::iterator i;
559         exvector::const_iterator ci;
560         for (i=dif.begin(), ci=other.m.begin(); i!=dif.end(); ++i, ++ci)
561                 (*i) -= (*ci);
562         
563         return matrix(row,col,dif);
564 }
565
566
567 /** Product of matrices.
568  *
569  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
570 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
571 {
572         if (this->cols() != other.rows())
573                 throw (std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices"));
574         
575         exvector prod(this->rows()*other.cols());
576         
577         for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
578                 for (unsigned c=0; c<this->cols(); ++c) {
579                         if (m[r1*col+c].is_zero())
580                                 continue;
581                         for (unsigned r2=0; r2<other.cols(); ++r2)
582                                 prod[r1*other.col+r2] += (m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2]).expand();
583                 }
584         }
585         return matrix(row, other.col, prod);
586 }
587
588
589 /** Product of matrix and scalar. */
590 matrix matrix::mul(const numeric & other) const
591 {
592         exvector prod(row * col);
593
594         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
595                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
596                         prod[r*col+c] = m[r*col+c] * other;
597
598         return matrix(row, col, prod);
599 }
600
601
602 /** operator() to access elements.
603  *
604  *  @param ro row of element
605  *  @param co column of element
606  *  @exception range_error (index out of range) */
607 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
608 {
609         if (ro>=row || co>=col)
610                 throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
611
612         return m[ro*col+co];
613 }
614
615
616 /** Set individual elements manually.
617  *
618  *  @exception range_error (index out of range) */
619 matrix & matrix::set(unsigned ro, unsigned co, ex value)
620 {
621         if (ro>=row || co>=col)
622                 throw (std::range_error("matrix::set(): index out of range"));
623     
624         ensure_if_modifiable();
625         m[ro*col+co] = value;
626         return *this;
627 }
628
629
630 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
631  *  represents the transposed. */
632 matrix matrix::transpose(void) const
633 {
634         exvector trans(this->cols()*this->rows());
635         
636         for (unsigned r=0; r<this->cols(); ++r)
637                 for (unsigned c=0; c<this->rows(); ++c)
638                         trans[r*this->rows()+c] = m[c*this->cols()+r];
639         
640         return matrix(this->cols(),this->rows(),trans);
641 }
642
643
644 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
645  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
646  *  run.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
647  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
648  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
649  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
650  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
651  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
652  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
653  *
654  *  @param     algo allows to chose an algorithm
655  *  @return    the determinant as a new expression
656  *  @exception logic_error (matrix not square)
657  *  @see       determinant_algo */
658 ex matrix::determinant(unsigned algo) const
659 {
660         if (row!=col)
661                 throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
662         GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
663         
664         // Gather some statistical information about this matrix:
665         bool numeric_flag = true;
666         bool normal_flag = false;
667         unsigned sparse_count = 0;  // counts non-zero elements
668         for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
669                 lst srl;  // symbol replacement list
670                 ex rtest = (*r).to_rational(srl);
671                 if (!rtest.is_zero())
672                         ++sparse_count;
673                 if (!rtest.info(info_flags::numeric))
674                         numeric_flag = false;
675                 if (!rtest.info(info_flags::crational_polynomial) &&
676                          rtest.info(info_flags::rational_function))
677                         normal_flag = true;
678         }
679         
680         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
681         if (algo == determinant_algo::automatic) {
682                 // Minor expansion is generally a good guess:
683                 algo = determinant_algo::laplace;
684                 // Does anybody know when a matrix is really sparse?
685                 // Maybe <~row/2.236 nonzero elements average in a row?
686                 if (row>3 && 5*sparse_count<=row*col)
687                         algo = determinant_algo::bareiss;
688                 // Purely numeric matrix can be handled by Gauss elimination.
689                 // This overrides any prior decisions.
690                 if (numeric_flag)
691                         algo = determinant_algo::gauss;
692         }
693         
694         // Trap the trivial case here, since some algorithms don't like it
695         if (this->row==1) {
696                 // for consistency with non-trivial determinants...
697                 if (normal_flag)
698                         return m[0].normal();
699                 else
700                         return m[0].expand();
701         }
702         
703         // Compute the determinant
704         switch(algo) {
705                 case determinant_algo::gauss: {
706                         ex det = 1;
707                         matrix tmp(*this);
708                         int sign = tmp.gauss_elimination(true);
709                         for (unsigned d=0; d<row; ++d)
710                                 det *= tmp.m[d*col+d];
711                         if (normal_flag)
712                                 return (sign*det).normal();
713                         else
714                                 return (sign*det).normal().expand();
715                 }
716                 case determinant_algo::bareiss: {
717                         matrix tmp(*this);
718                         int sign;
719                         sign = tmp.fraction_free_elimination(true);
720                         if (normal_flag)
721                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).normal();
722                         else
723                                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).expand();
724                 }
725                 case determinant_algo::divfree: {
726                         matrix tmp(*this);
727                         int sign;
728                         sign = tmp.division_free_elimination(true);
729                         if (sign==0)
730                                 return _ex0();
731                         ex det = tmp.m[row*col-1];
732                         // factor out accumulated bogus slag
733                         for (unsigned d=0; d<row-2; ++d)
734                                 for (unsigned j=0; j<row-d-2; ++j)
735                                         det = (det/tmp.m[d*col+d]).normal();
736                         return (sign*det);
737                 }
738                 case determinant_algo::laplace:
739                 default: {
740                         // This is the minor expansion scheme.  We always develop such
741                         // that the smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the
742                         // rightmost column.  For this to be efficient it turns out that
743                         // the emptiest columns (i.e. the ones with most zeros) should be
744                         // the ones on the right hand side.  Therefore we presort the
745                         // columns of the matrix:
746                         typedef std::pair<unsigned,unsigned> uintpair;
747                         std::vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
748                         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
749                                 unsigned acc = 0;
750                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
751                                         if (m[r*col+c].is_zero())
752                                                 ++acc;
753                                 c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
754                         }
755                         sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
756                         std::vector<unsigned> pre_sort;
757                         for (std::vector<uintpair>::iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
758                                 pre_sort.push_back(i->second);
759                         int sign = permutation_sign(pre_sort);
760                         exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
761                         unsigned c = 0;
762                         for (std::vector<unsigned>::iterator i=pre_sort.begin();
763                                  i!=pre_sort.end();
764                                  ++i,++c) {
765                                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
766                                         result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
767                         }
768                         
769                         if (normal_flag)
770                                 return (sign*matrix(row,col,result).determinant_minor()).normal();
771                         else
772                                 return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
773                 }
774         }
775 }
776
777
778 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
779  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
780  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
781  *
782  *  @return    the sum of diagonal elements
783  *  @exception logic_error (matrix not square) */
784 ex matrix::trace(void) const
785 {
786         if (row != col)
787                 throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
788         
789         ex tr;
790         for (unsigned r=0; r<col; ++r)
791                 tr += m[r*col+r];
792         
793         if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
794                 !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
795                 return tr.normal();
796         else
797                 return tr.expand();
798 }
799
800
801 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
802  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
803  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
804  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
805  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
806  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
807  *  new expression.
808  *
809  *  @return    characteristic polynomial as new expression
810  *  @exception logic_error (matrix not square)
811  *  @see       matrix::determinant() */
812 ex matrix::charpoly(const symbol & lambda) const
813 {
814         if (row != col)
815                 throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
816         
817         bool numeric_flag = true;
818         for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
819                 if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
820                         numeric_flag = false;
821                 }
822         }
823         
824         // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
825         // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
826         // every coefficient.  The expensive part is the matrix multiplication.
827         if (numeric_flag) {
828                 matrix B(*this);
829                 ex c = B.trace();
830                 ex poly = power(lambda,row)-c*power(lambda,row-1);
831                 for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
832                         for (unsigned j=0; j<row; ++j)
833                                 B.m[j*col+j] -= c;
834                         B = this->mul(B);
835                         c = B.trace()/ex(i+1);
836                         poly -= c*power(lambda,row-i-1);
837                 }
838                 if (row%2)
839                         return -poly;
840                 else
841                         return poly;
842         }
843         
844         matrix M(*this);
845         for (unsigned r=0; r<col; ++r)
846                 M.m[r*col+r] -= lambda;
847         
848         return M.determinant().collect(lambda);
849 }
850
851
852 /** Inverse of this matrix.
853  *
854  *  @return    the inverted matrix
855  *  @exception logic_error (matrix not square)
856  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
857 matrix matrix::inverse(void) const
858 {
859         if (row != col)
860                 throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
861         
862         // This routine actually doesn't do anything fancy at all.  We compute the
863         // inverse of the matrix A by solving the system A * A^{-1} == Id.
864         
865         // First populate the identity matrix supposed to become the right hand side.
866         matrix identity(row,col);
867         for (unsigned i=0; i<row; ++i)
868                 identity.set(i,i,_ex1());
869         
870         // Populate a dummy matrix of variables, just because of compatibility with
871         // matrix::solve() which wants this (for compatibility with under-determined
872         // systems of equations).
873         matrix vars(row,col);
874         for (unsigned r=0; r<row; ++r)
875                 for (unsigned c=0; c<col; ++c)
876                         vars.set(r,c,symbol());
877         
878         matrix sol(row,col);
879         try {
880                 sol = this->solve(vars,identity);
881         } catch (const std::runtime_error & e) {
882             if (e.what()==std::string("matrix::solve(): inconsistent linear system"))
883                         throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
884                 else
885                         throw;
886         }
887         return sol;
888 }
889
890
891 /** Solve a linear system consisting of a m x n matrix and a m x p right hand
892  *  side by applying an elimination scheme to the augmented matrix.
893  *
894  *  @param vars n x p matrix, all elements must be symbols 
895  *  @param rhs m x p matrix
896  *  @return n x p solution matrix
897  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
898  *  @exception invalid_argument (1st argument must be matrix of symbols)
899  *  @exception runtime_error (inconsistent linear system)
900  *  @see       solve_algo */
901 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
902                                          const matrix & rhs,
903                                          unsigned algo) const
904 {
905         const unsigned m = this->rows();
906         const unsigned n = this->cols();
907         const unsigned p = rhs.cols();
908         
909         // syntax checks    
910         if ((rhs.rows() != m) || (vars.rows() != n) || (vars.col != p))
911                 throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
912         for (unsigned ro=0; ro<n; ++ro)
913                 for (unsigned co=0; co<p; ++co)
914                         if (!vars(ro,co).info(info_flags::symbol))
915                                 throw (std::invalid_argument("matrix::solve(): 1st argument must be matrix of symbols"));
916         
917         // build the augmented matrix of *this with rhs attached to the right
918         matrix aug(m,n+p);
919         for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
920                 for (unsigned c=0; c<n; ++c)
921                         aug.m[r*(n+p)+c] = this->m[r*n+c];
922                 for (unsigned c=0; c<p; ++c)
923                         aug.m[r*(n+p)+c+n] = rhs.m[r*p+c];
924         }
925         
926         // Gather some statistical information about the augmented matrix:
927         bool numeric_flag = true;
928         for (exvector::const_iterator r=aug.m.begin(); r!=aug.m.end(); ++r) {
929                 if (!(*r).info(info_flags::numeric))
930                         numeric_flag = false;
931         }
932         
933         // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
934         if (algo == solve_algo::automatic) {
935                 // Bareiss (fraction-free) elimination is generally a good guess:
936                 algo = solve_algo::bareiss;
937                 // For m<3, Bareiss elimination is equivalent to division free
938                 // elimination but has more logistic overhead
939                 if (m<3)
940                         algo = solve_algo::divfree;
941                 // This overrides any prior decisions.
942                 if (numeric_flag)
943                         algo = solve_algo::gauss;
944         }
945         
946         // Eliminate the augmented matrix:
947         switch(algo) {
948                 case solve_algo::gauss:
949                         aug.gauss_elimination();
950                         break;
951                 case solve_algo::divfree:
952                         aug.division_free_elimination();
953                         break;
954                 case solve_algo::bareiss:
955                 default:
956                         aug.fraction_free_elimination();
957         }
958         
959         // assemble the solution matrix:
960         matrix sol(n,p);
961         for (unsigned co=0; co<p; ++co) {
962                 unsigned last_assigned_sol = n+1;
963                 for (int r=m-1; r>=0; --r) {
964                         unsigned fnz = 1;    // first non-zero in row
965                         while ((fnz<=n) && (aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)].is_zero()))
966                                 ++fnz;
967                         if (fnz>n) {
968                                 // row consists only of zeros, corresponding rhs must be 0, too
969                                 if (!aug.m[r*(n+p)+n+co].is_zero()) {
970                                         throw (std::runtime_error("matrix::solve(): inconsistent linear system"));
971                                 }
972                         } else {
973                                 // assign solutions for vars between fnz+1 and
974                                 // last_assigned_sol-1: free parameters
975                                 for (unsigned c=fnz; c<last_assigned_sol-1; ++c)
976                                         sol.set(c,co,vars.m[c*p+co]);
977                                 ex e = aug.m[r*(n+p)+n+co];
978                                 for (unsigned c=fnz; c<n; ++c)
979                                         e -= aug.m[r*(n+p)+c]*sol.m[c*p+co];
980                                 sol.set(fnz-1,co,
981                                                 (e/(aug.m[r*(n+p)+(fnz-1)])).normal());
982                                 last_assigned_sol = fnz;
983                         }
984                 }
985                 // assign solutions for vars between 1 and
986                 // last_assigned_sol-1: free parameters
987                 for (unsigned ro=0; ro<last_assigned_sol-1; ++ro)
988                         sol.set(ro,co,vars(ro,co));
989         }
990         
991         return sol;
992 }
993
994
995 // protected
996
997 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
998  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
999  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
1000  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
1001  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
1002  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
1003  *  matrix' dimesion is larger than 7.
1004  *
1005  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
1006  *  @see matrix::determinant() */
1007 ex matrix::determinant_minor(void) const
1008 {
1009         // for small matrices the algorithm does not make any sense:
1010         const unsigned n = this->cols();
1011         if (n==1)
1012                 return m[0].expand();
1013         if (n==2)
1014                 return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
1015         if (n==3)
1016                 return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
1017                         m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
1018                         m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
1019         
1020         // This algorithm can best be understood by looking at a naive
1021         // implementation of Laplace-expansion, like this one:
1022         // ex det;
1023         // matrix minorM(this->rows()-1,this->cols()-1);
1024         // for (unsigned r1=0; r1<this->rows(); ++r1) {
1025         //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
1026         //     if (m[r1*col].is_zero())
1027         //         continue;
1028         //     // assemble the minor matrix
1029         //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
1030         //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
1031         //             if (r<r1)
1032         //                 minorM.set(r,c,m[r*col+c+1]);
1033         //             else
1034         //                 minorM.set(r,c,m[(r+1)*col+c+1]);
1035         //         }
1036         //     }
1037         //     // recurse down and care for sign:
1038         //     if (r1%2)
1039         //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
1040         //     else
1041         //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
1042         // }
1043         // return det.expand();
1044         // What happens is that while proceeding down many of the minors are
1045         // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
1046         // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
1047         // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
1048         // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
1049         // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most 
1050         // 2*binomial(n,n/2) minors.
1051         
1052         // Unique flipper counter for partitioning into minors
1053         std::vector<unsigned> Pkey;
1054         Pkey.reserve(n);
1055         // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
1056         std::vector<unsigned> Mkey;
1057         Mkey.reserve(n-1);
1058         // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
1059         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex> Rmap;
1060         typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
1061         Rmap A;
1062         Rmap B;
1063         ex det;
1064         // initialize A with last column:
1065         for (unsigned r=0; r<n; ++r) {
1066                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
1067                 Pkey.push_back(r);
1068                 A.insert(Rmap_value(Pkey,m[n*(r+1)-1]));
1069         }
1070         // proceed from right to left through matrix
1071         for (int c=n-2; c>=0; --c) {
1072                 Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
1073                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
1074                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
1075                         Pkey.push_back(i);
1076                 unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
1077                 do {
1078                         det = _ex0();
1079                         for (unsigned r=0; r<n-c; ++r) {
1080                                 // maybe there is nothing to do?
1081                                 if (m[Pkey[r]*n+c].is_zero())
1082                                         continue;
1083                                 // create the sorted key for all possible minors
1084                                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
1085                                 for (unsigned i=0; i<n-c; ++i)
1086                                         if (i!=r)
1087                                                 Mkey.push_back(Pkey[i]);
1088                                 // Fetch the minors and compute the new determinant
1089                                 if (r%2)
1090                                         det -= m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
1091                                 else
1092                                         det += m[Pkey[r]*n+c]*A[Mkey];
1093                         }
1094                         // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
1095                         det = det.expand();
1096                         // store the new determinant at its place in B:
1097                         if (!det.is_zero())
1098                                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
1099                         // increment our strange flipper counter
1100                         for (fc=n-c; fc>0; --fc) {
1101                                 ++Pkey[fc-1];
1102                                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
1103                                         break;
1104                         }
1105                         if (fc<n-c && fc>0)
1106                                 for (unsigned j=fc; j<n-c; ++j)
1107                                         Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
1108                 } while(fc);
1109                 // next column, so change the role of A and B:
1110                 A = B;
1111                 B.clear();
1112         }
1113         
1114         return det;
1115 }
1116
1117
1118 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the m x n
1119  *  matrix into an upper echelon form.  The algorithm is ok for matrices
1120  *  with numeric coefficients but quite unsuited for symbolic matrices.
1121  *
1122  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1123  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
1124  *  The others are set to zero in this case.
1125  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1126  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1127 int matrix::gauss_elimination(const bool det)
1128 {
1129         ensure_if_modifiable();
1130         const unsigned m = this->rows();
1131         const unsigned n = this->cols();
1132         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1133         int sign = 1;
1134         
1135         unsigned r0 = 0;
1136         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
1137                 int indx = pivot(r0, r1, true);
1138                 if (indx == -1) {
1139                         sign = 0;
1140                         if (det)
1141                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
1142                 }
1143                 if (indx>=0) {
1144                         if (indx > 0)
1145                                 sign = -sign;
1146                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1147                                 if (!this->m[r2*n+r1].is_zero()) {
1148                                         // yes, there is something to do in this row
1149                                         ex piv = this->m[r2*n+r1] / this->m[r0*n+r1];
1150                                         for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c) {
1151                                                 this->m[r2*n+c] -= piv * this->m[r0*n+c];
1152                                                 if (!this->m[r2*n+c].info(info_flags::numeric))
1153                                                         this->m[r2*n+c] = this->m[r2*n+c].normal();
1154                                         }
1155                                 }
1156                                 // fill up left hand side with zeros
1157                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1158                                         this->m[r2*n+c] = _ex0();
1159                         }
1160                         if (det) {
1161                                 // save space by deleting no longer needed elements
1162                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
1163                                         this->m[r0*n+c] = _ex0();
1164                         }
1165                         ++r0;
1166                 }
1167         }
1168         
1169         return sign;
1170 }
1171
1172
1173 /** Perform the steps of division free elimination to bring the m x n matrix
1174  *  into an upper echelon form.
1175  *
1176  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1177  *  interested in the diagonal elements (i.e. for calculating determinants).
1178  *  The others are set to zero in this case.
1179  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1180  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1181 int matrix::division_free_elimination(const bool det)
1182 {
1183         ensure_if_modifiable();
1184         const unsigned m = this->rows();
1185         const unsigned n = this->cols();
1186         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1187         int sign = 1;
1188         
1189         unsigned r0 = 0;
1190         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
1191                 int indx = pivot(r0, r1, true);
1192                 if (indx==-1) {
1193                         sign = 0;
1194                         if (det)
1195                                 return 0;  // leaves *this in a messy state
1196                 }
1197                 if (indx>=0) {
1198                         if (indx>0)
1199                                 sign = -sign;
1200                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1201                                 for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c)
1202                                         this->m[r2*n+c] = (this->m[r0*n+r1]*this->m[r2*n+c] - this->m[r2*n+r1]*this->m[r0*n+c]).expand();
1203                                 // fill up left hand side with zeros
1204                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1205                                         this->m[r2*n+c] = _ex0();
1206                         }
1207                         if (det) {
1208                                 // save space by deleting no longer needed elements
1209                                 for (unsigned c=r0+1; c<n; ++c)
1210                                         this->m[r0*n+c] = _ex0();
1211                         }
1212                         ++r0;
1213                 }
1214         }
1215         
1216         return sign;
1217 }
1218
1219
1220 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1221  *  the matrix into an upper echelon form.  Fraction free elimination means
1222  *  that divide is used straightforwardly, without computing GCDs first.  This
1223  *  is possible, since we know the divisor at each step.
1224  *  
1225  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1226  *  interested in the last element (i.e. for calculating determinants). The
1227  *  others are set to zero in this case.
1228  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1229  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1230 int matrix::fraction_free_elimination(const bool det)
1231 {
1232         // Method:
1233         // (single-step fraction free elimination scheme, already known to Jordan)
1234         //
1235         // Usual division-free elimination sets m[0](r,c) = m(r,c) and then sets
1236         //     m[k+1](r,c) = m[k](k,k) * m[k](r,c) - m[k](r,k) * m[k](k,c).
1237         //
1238         // Bareiss (fraction-free) elimination in addition divides that element
1239         // by m[k-1](k-1,k-1) for k>1, where it can be shown by means of the
1240         // Sylvester determinant that this really divides m[k+1](r,c).
1241         //
1242         // We also allow rational functions where the original prove still holds.
1243         // However, we must care for numerator and denominator separately and
1244         // "manually" work in the integral domains because of subtle cancellations
1245         // (see below).  This blows up the bookkeeping a bit and the formula has
1246         // to be modified to expand like this (N{x} stands for numerator of x,
1247         // D{x} for denominator of x):
1248         //     N{m[k+1](r,c)} = N{m[k](k,k)}*N{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1249         //                     -N{m[k](r,k)}*N{m[k](k,c)}*D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}
1250         //     D{m[k+1](r,c)} = D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1251         // where for k>1 we now divide N{m[k+1](r,c)} by
1252         //     N{m[k-1](k-1,k-1)}
1253         // and D{m[k+1](r,c)} by
1254         //     D{m[k-1](k-1,k-1)}.
1255         
1256         ensure_if_modifiable();
1257         const unsigned m = this->rows();
1258         const unsigned n = this->cols();
1259         GINAC_ASSERT(!det || n==m);
1260         int sign = 1;
1261         if (m==1)
1262                 return 1;
1263         ex divisor_n = 1;
1264         ex divisor_d = 1;
1265         ex dividend_n;
1266         ex dividend_d;
1267         
1268         // We populate temporary matrices to subsequently operate on.  There is
1269         // one holding numerators and another holding denominators of entries.
1270         // This is a must since the evaluator (or even earlier mul's constructor)
1271         // might cancel some trivial element which causes divide() to fail.  The
1272         // elements are normalized first (yes, even though this algorithm doesn't
1273         // need GCDs) since the elements of *this might be unnormalized, which
1274         // makes things more complicated than they need to be.
1275         matrix tmp_n(*this);
1276         matrix tmp_d(m,n);  // for denominators, if needed
1277         lst srl;  // symbol replacement list
1278         exvector::iterator it = this->m.begin();
1279         exvector::iterator tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1280         exvector::iterator tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1281         for (; it!= this->m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it) {
1282                 (*tmp_n_it) = (*it).normal().to_rational(srl);
1283                 (*tmp_d_it) = (*tmp_n_it).denom();
1284                 (*tmp_n_it) = (*tmp_n_it).numer();
1285         }
1286         
1287         unsigned r0 = 0;
1288         for (unsigned r1=0; (r1<n-1)&&(r0<m-1); ++r1) {
1289                 int indx = tmp_n.pivot(r0, r1, true);
1290                 if (indx==-1) {
1291                         sign = 0;
1292                         if (det)
1293                                 return 0;
1294                 }
1295                 if (indx>=0) {
1296                         if (indx>0) {
1297                                 sign = -sign;
1298                                 // tmp_n's rows r0 and indx were swapped, do the same in tmp_d:
1299                                 for (unsigned c=r1; c<n; ++c)
1300                                         tmp_d.m[n*indx+c].swap(tmp_d.m[n*r0+c]);
1301                         }
1302                         for (unsigned r2=r0+1; r2<m; ++r2) {
1303                                 for (unsigned c=r1+1; c<n; ++c) {
1304                                         dividend_n = (tmp_n.m[r0*n+r1]*tmp_n.m[r2*n+c]*
1305                                                       tmp_d.m[r2*n+r1]*tmp_d.m[r0*n+c]
1306                                                      -tmp_n.m[r2*n+r1]*tmp_n.m[r0*n+c]*
1307                                                       tmp_d.m[r0*n+r1]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1308                                         dividend_d = (tmp_d.m[r2*n+r1]*tmp_d.m[r0*n+c]*
1309                                                       tmp_d.m[r0*n+r1]*tmp_d.m[r2*n+c]).expand();
1310                                         bool check = divide(dividend_n, divisor_n,
1311                                                             tmp_n.m[r2*n+c], true);
1312                                         check &= divide(dividend_d, divisor_d,
1313                                                         tmp_d.m[r2*n+c], true);
1314                                         GINAC_ASSERT(check);
1315                                 }
1316                                 // fill up left hand side with zeros
1317                                 for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1318                                         tmp_n.m[r2*n+c] = _ex0();
1319                         }
1320                         if ((r1<n-1)&&(r0<m-1)) {
1321                                 // compute next iteration's divisor
1322                                 divisor_n = tmp_n.m[r0*n+r1].expand();
1323                                 divisor_d = tmp_d.m[r0*n+r1].expand();
1324                                 if (det) {
1325                                         // save space by deleting no longer needed elements
1326                                         for (unsigned c=0; c<n; ++c) {
1327                                                 tmp_n.m[r0*n+c] = _ex0();
1328                                                 tmp_d.m[r0*n+c] = _ex1();
1329                                         }
1330                                 }
1331                         }
1332                         ++r0;
1333                 }
1334         }
1335         // repopulate *this matrix:
1336         it = this->m.begin();
1337         tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1338         tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1339         for (; it!= this->m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it)
1340                 (*it) = ((*tmp_n_it)/(*tmp_d_it)).subs(srl);
1341         
1342         return sign;
1343 }
1344
1345
1346 /** Partial pivoting method for matrix elimination schemes.
1347  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1348  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1349  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1350  *  with the first non-zero element.
1351  *
1352  *  @param ro is the row from where to begin
1353  *  @param co is the column to be inspected
1354  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1355  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1356  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1357  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1358  */
1359 int matrix::pivot(unsigned ro, unsigned co, bool symbolic)
1360 {
1361         unsigned k = ro;
1362         if (symbolic) {
1363                 // search first non-zero element in column co beginning at row ro
1364                 while ((k<row) && (this->m[k*col+co].expand().is_zero()))
1365                         ++k;
1366         } else {
1367                 // search largest element in column co beginning at row ro
1368                 GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(this->m[k*col+co],numeric));
1369                 unsigned kmax = k+1;
1370                 numeric mmax = abs(ex_to_numeric(m[kmax*col+co]));
1371                 while (kmax<row) {
1372                         GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(this->m[kmax*col+co],numeric));
1373                         numeric tmp = ex_to_numeric(this->m[kmax*col+co]);
1374                         if (abs(tmp) > mmax) {
1375                                 mmax = tmp;
1376                                 k = kmax;
1377                         }
1378                         ++kmax;
1379                 }
1380                 if (!mmax.is_zero())
1381                         k = kmax;
1382         }
1383         if (k==row)
1384                 // all elements in column co below row ro vanish
1385                 return -1;
1386         if (k==ro)
1387                 // matrix needs no pivoting
1388                 return 0;
1389         // matrix needs pivoting, so swap rows k and ro
1390         ensure_if_modifiable();
1391         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1392                 this->m[k*col+c].swap(this->m[ro*col+c]);
1393         
1394         return k;
1395 }
1396
1397 ex lst_to_matrix(const lst & l)
1398 {
1399         // Find number of rows and columns
1400         unsigned rows = l.nops(), cols = 0, i, j;
1401         for (i=0; i<rows; i++)
1402                 if (l.op(i).nops() > cols)
1403                         cols = l.op(i).nops();
1404
1405         // Allocate and fill matrix
1406         matrix &m = *new matrix(rows, cols);
1407         m.setflag(status_flags::dynallocated);
1408         for (i=0; i<rows; i++)
1409                 for (j=0; j<cols; j++)
1410                         if (l.op(i).nops() > j)
1411                                 m.set(i, j, l.op(i).op(j));
1412                         else
1413                                 m.set(i, j, ex(0));
1414         return m;
1415 }
1416
1417 ex diag_matrix(const lst & l)
1418 {
1419         unsigned dim = l.nops();
1420
1421         matrix &m = *new matrix(dim, dim);
1422         m.setflag(status_flags::dynallocated);
1423         for (unsigned i=0; i<dim; i++)
1424                 m.set(i, i, l.op(i));
1425
1426         return m;
1427 }
1428
1429 } // namespace GiNaC