ginac/matrix.cpp

   1 /** @file matrix.cpp
   2  *
   3  *  Implementation of symbolic matrices */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include <algorithm>
  24 #include <map>
  25 #include <stdexcept>
  26
  27 #include "matrix.h"
  28 #include "archive.h"
  29 #include "numeric.h"
  30 #include "lst.h"
  31 #include "utils.h"
  32 #include "debugmsg.h"
  33 #include "power.h"
  34 #include "symbol.h"
  35 #include "normal.h"
  36
  37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
  38 namespace GiNaC {
  39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
  40
  41 GINAC_IMPLEMENT_REGISTERED_CLASS(matrix, basic)
  42
  43 //////////
  44 // default constructor, destructor, copy constructor, assignment operator
  45 // and helpers:
  46 //////////
  47
  48 // public
  49
  50 /** Default ctor.  Initializes to 1 x 1-dimensional zero-matrix. */
  51 matrix::matrix()
  52     : inherited(TINFO_matrix), row(1), col(1)
  53 {
  54     debugmsg("matrix default constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  55     m.push_back(_ex0());
  56 }
  57
  58 matrix::~matrix()
  59 {
  60     debugmsg("matrix destructor",LOGLEVEL_DESTRUCT);
  61 }
  62
  63 matrix::matrix(const matrix & other)
  64 {
  65     debugmsg("matrix copy constructor",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
  66     copy(other);
  67 }
  68
  69 const matrix & matrix::operator=(const matrix & other)
  70 {
  71     debugmsg("matrix operator=",LOGLEVEL_ASSIGNMENT);
  72     if (this != &other) {
  73         destroy(1);
  74         copy(other);
  75     }
  76     return *this;
  77 }
  78
  79 // protected
  80
  81 void matrix::copy(const matrix & other)
  82 {
  83     inherited::copy(other);
  84     row = other.row;
  85     col = other.col;
  86     m = other.m;  // STL's vector copying invoked here
  87 }
  88
  89 void matrix::destroy(bool call_parent)
  90 {
  91     if (call_parent) inherited::destroy(call_parent);
  92 }
  93
  94 //////////
  95 // other constructors
  96 //////////
  97
  98 // public
  99
 100 /** Very common ctor.  Initializes to r x c-dimensional zero-matrix.
 101  *
 102  *  @param r number of rows
 103  *  @param c number of cols */
 104 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c)
 105     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c)
 106 {
 107     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 108     m.resize(r*c, _ex0());
 109 }
 110
 111  // protected
 112
 113 /** Ctor from representation, for internal use only. */
 114 matrix::matrix(unsigned r, unsigned c, const exvector & m2)
 115     : inherited(TINFO_matrix), row(r), col(c), m(m2)
 116 {
 117     debugmsg("matrix constructor from unsigned,unsigned,exvector",LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 118 }
 119
 120 //////////
 121 // archiving
 122 //////////
 123
 124 /** Construct object from archive_node. */
 125 matrix::matrix(const archive_node &n, const lst &sym_lst) : inherited(n, sym_lst)
 126 {
 127     debugmsg("matrix constructor from archive_node", LOGLEVEL_CONSTRUCT);
 128     if (!(n.find_unsigned("row", row)) || !(n.find_unsigned("col", col)))
 129         throw (std::runtime_error("unknown matrix dimensions in archive"));
 130     m.reserve(row * col);
 131     for (unsigned int i=0; true; i++) {
 132         ex e;
 133         if (n.find_ex("m", e, sym_lst, i))
 134             m.push_back(e);
 135         else
 136             break;
 137     }
 138 }
 139
 140 /** Unarchive the object. */
 141 ex matrix::unarchive(const archive_node &n, const lst &sym_lst)
 142 {
 143     return (new matrix(n, sym_lst))->setflag(status_flags::dynallocated);
 144 }
 145
 146 /** Archive the object. */
 147 void matrix::archive(archive_node &n) const
 148 {
 149     inherited::archive(n);
 150     n.add_unsigned("row", row);
 151     n.add_unsigned("col", col);
 152     exvector::const_iterator i = m.begin(), iend = m.end();
 153     while (i != iend) {
 154         n.add_ex("m", *i);
 155         ++i;
 156     }
 157 }
 158
 159 //////////
 160 // functions overriding virtual functions from bases classes
 161 //////////
 162
 163 // public
 164
 165 basic * matrix::duplicate() const
 166 {
 167     debugmsg("matrix duplicate",LOGLEVEL_DUPLICATE);
 168     return new matrix(*this);
 169 }
 170
 171 void matrix::print(std::ostream & os, unsigned upper_precedence) const
 172 {
 173     debugmsg("matrix print",LOGLEVEL_PRINT);
 174     os << "[[ ";
 175     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 176         os << "[[";
 177         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 178             os << m[r*col+c] << ",";
 179         os << m[col*(r+1)-1] << "]], ";
 180     }
 181     os << "[[";
 182     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 183         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 184     os << m[row*col-1] << "]] ]]";
 185 }
 186
 187 void matrix::printraw(std::ostream & os) const
 188 {
 189     debugmsg("matrix printraw",LOGLEVEL_PRINT);
 190     os << "matrix(" << row << "," << col <<",";
 191     for (unsigned r=0; r<row-1; ++r) {
 192         os << "(";
 193         for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 194             os << m[r*col+c] << ",";
 195         os << m[col*(r-1)-1] << "),";
 196     }
 197     os << "(";
 198     for (unsigned c=0; c<col-1; ++c)
 199         os << m[(row-1)*col+c] << ",";
 200     os << m[row*col-1] << "))";
 201 }
 202
 203 /** nops is defined to be rows x columns. */
 204 unsigned matrix::nops() const
 205 {
 206     return row*col;
 207 }
 208
 209 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 210 ex matrix::op(int i) const
 211 {
 212     return m[i];
 213 }
 214
 215 /** returns matrix entry at position (i/col, i%col). */
 216 ex & matrix::let_op(int i)
 217 {
 218     GINAC_ASSERT(i>=0);
 219     GINAC_ASSERT(i<nops());
 220
 221     return m[i];
 222 }
 223
 224 /** expands the elements of a matrix entry by entry. */
 225 ex matrix::expand(unsigned options) const
 226 {
 227     exvector tmp(row*col);
 228     for (unsigned i=0; i<row*col; ++i)
 229         tmp[i] = m[i].expand(options);
 230
 231     return matrix(row, col, tmp);
 232 }
 233
 234 /** Search ocurrences.  A matrix 'has' an expression if it is the expression
 235  *  itself or one of the elements 'has' it. */
 236 bool matrix::has(const ex & other) const
 237 {
 238     GINAC_ASSERT(other.bp!=0);
 239
 240     // tautology: it is the expression itself
 241     if (is_equal(*other.bp)) return true;
 242
 243     // search all the elements
 244     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r)
 245         if ((*r).has(other)) return true;
 246
 247     return false;
 248 }
 249
 250 /** evaluate matrix entry by entry. */
 251 ex matrix::eval(int level) const
 252 {
 253     debugmsg("matrix eval",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 254
 255     // check if we have to do anything at all
 256     if ((level==1)&&(flags & status_flags::evaluated))
 257         return *this;
 258
 259     // emergency break
 260     if (level == -max_recursion_level)
 261         throw (std::runtime_error("matrix::eval(): recursion limit exceeded"));
 262
 263     // eval() entry by entry
 264     exvector m2(row*col);
 265     --level;
 266     for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 267         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 268             m2[r*col+c] = m[r*col+c].eval(level);
 269
 270     return (new matrix(row, col, m2))->setflag(status_flags::dynallocated |
 271                                                status_flags::evaluated );
 272 }
 273
 274 /** evaluate matrix numerically entry by entry. */
 275 ex matrix::evalf(int level) const
 276 {
 277     debugmsg("matrix evalf",LOGLEVEL_MEMBER_FUNCTION);
 278
 279     // check if we have to do anything at all
 280     if (level==1)
 281         return *this;
 282
 283     // emergency break
 284     if (level == -max_recursion_level) {
 285         throw (std::runtime_error("matrix::evalf(): recursion limit exceeded"));
 286     }
 287
 288     // evalf() entry by entry
 289     exvector m2(row*col);
 290     --level;
 291     for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 292         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 293             m2[r*col+c] = m[r*col+c].evalf(level);
 294
 295     return matrix(row, col, m2);
 296 }
 297
 298 // protected
 299
 300 int matrix::compare_same_type(const basic & other) const
 301 {
 302     GINAC_ASSERT(is_exactly_of_type(other, matrix));
 303     const matrix & o = static_cast<matrix &>(const_cast<basic &>(other));
 304
 305     // compare number of rows
 306     if (row != o.rows())
 307         return row < o.rows() ? -1 : 1;
 308
 309     // compare number of columns
 310     if (col != o.cols())
 311         return col < o.cols() ? -1 : 1;
 312
 313     // equal number of rows and columns, compare individual elements
 314     int cmpval;
 315     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 316         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 317             cmpval = ((*this)(r,c)).compare(o(r,c));
 318             if (cmpval!=0) return cmpval;
 319         }
 320     }
 321     // all elements are equal => matrices are equal;
 322     return 0;
 323 }
 324
 325 //////////
 326 // non-virtual functions in this class
 327 //////////
 328
 329 // public
 330
 331 /** Sum of matrices.
 332  *
 333  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 334 matrix matrix::add(const matrix & other) const
 335 {
 336     if (col != other.col || row != other.row)
 337         throw (std::logic_error("matrix::add(): incompatible matrices"));
 338
 339     exvector sum(this->m);
 340     exvector::iterator i;
 341     exvector::const_iterator ci;
 342     for (i=sum.begin(), ci=other.m.begin(); i!=sum.end(); ++i, ++ci)
 343         (*i) += (*ci);
 344
 345     return matrix(row,col,sum);
 346 }
 347
 348
 349 /** Difference of matrices.
 350  *
 351  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 352 matrix matrix::sub(const matrix & other) const
 353 {
 354     if (col != other.col || row != other.row)
 355         throw (std::logic_error("matrix::sub(): incompatible matrices"));
 356
 357     exvector dif(this->m);
 358     exvector::iterator i;
 359     exvector::const_iterator ci;
 360     for (i=dif.begin(), ci=other.m.begin(); i!=dif.end(); ++i, ++ci)
 361         (*i) -= (*ci);
 362
 363     return matrix(row,col,dif);
 364 }
 365
 366
 367 /** Product of matrices.
 368  *
 369  *  @exception logic_error (incompatible matrices) */
 370 matrix matrix::mul(const matrix & other) const
 371 {
 372     if (col != other.row)
 373         throw (std::logic_error("matrix::mul(): incompatible matrices"));
 374
 375     exvector prod(row*other.col);
 376
 377     for (unsigned r1=0; r1<rows(); ++r1) {
 378         for (unsigned c=0; c<cols(); ++c) {
 379             if (m[r1*col+c].is_zero())
 380                 continue;
 381             for (unsigned r2=0; r2<other.col; ++r2)
 382                 prod[r1*other.col+r2] += m[r1*col+c] * other.m[c*other.col+r2];
 383         }
 384     }
 385     return matrix(row, other.col, prod);
 386 }
 387
 388
 389 /** operator() to access elements.
 390  *
 391  *  @param ro row of element
 392  *  @param co column of element
 393  *  @exception range_error (index out of range) */
 394 const ex & matrix::operator() (unsigned ro, unsigned co) const
 395 {
 396     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 397         throw (std::range_error("matrix::operator(): index out of range"));
 398
 399     return m[ro*col+co];
 400 }
 401
 402
 403 /** Set individual elements manually.
 404  *
 405  *  @exception range_error (index out of range) */
 406 matrix & matrix::set(unsigned ro, unsigned co, ex value)
 407 {
 408     if (ro<0 || ro>=row || co<0 || co>=col)
 409         throw (std::range_error("matrix::set(): index out of range"));
 410
 411     ensure_if_modifiable();
 412     m[ro*col+co] = value;
 413     return *this;
 414 }
 415
 416
 417 /** Transposed of an m x n matrix, producing a new n x m matrix object that
 418  *  represents the transposed. */
 419 matrix matrix::transpose(void) const
 420 {
 421     exvector trans(col*row);
 422
 423     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 424         for (unsigned c=0; c<row; ++c)
 425             trans[r*row+c] = m[c*col+r];
 426
 427     return matrix(col,row,trans);
 428 }
 429
 430
 431 /** Determinant of square matrix.  This routine doesn't actually calculate the
 432  *  determinant, it only implements some heuristics about which algorithm to
 433  *  run.  If all the elements of the matrix are elements of an integral domain
 434  *  the determinant is also in that integral domain and the result is expanded
 435  *  only.  If one or more elements are from a quotient field the determinant is
 436  *  usually also in that quotient field and the result is normalized before it
 437  *  is returned.  This implies that the determinant of the symbolic 2x2 matrix
 438  *  [[a/(a-b),1],[b/(a-b),1]] is returned as unity.  (In this respect, it
 439  *  behaves like MapleV and unlike Mathematica.)
 440  *
 441  *  @param     algo allows to chose an algorithm
 442  *  @return    the determinant as a new expression
 443  *  @exception logic_error (matrix not square)
 444  *  @see       determinant_algo */
 445 ex matrix::determinant(unsigned algo) const
 446 {
 447     if (row!=col)
 448         throw (std::logic_error("matrix::determinant(): matrix not square"));
 449     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 450     if (this->row==1)  // continuation would be pointless
 451         return m[0];
 452
 453     // Gather some statistical information about this matrix:
 454     bool numeric_flag = true;
 455     bool normal_flag = false;
 456     unsigned sparse_count = 0;  // counts non-zero elements
 457     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 458         lst srl;  // symbol replacement list
 459         ex rtest = (*r).to_rational(srl);
 460         if (!rtest.is_zero())
 461             ++sparse_count;
 462         if (!rtest.info(info_flags::numeric))
 463             numeric_flag = false;
 464         if (!rtest.info(info_flags::crational_polynomial) &&
 465              rtest.info(info_flags::rational_function))
 466             normal_flag = true;
 467     }
 468
 469     // Here is the heuristics in case this routine has to decide:
 470     if (algo == determinant_algo::automatic) {
 471         // Minor expansion is generally a good starting point:
 472         algo = determinant_algo::laplace;
 473         // Does anybody know when a matrix is really sparse?
 474         // Maybe <~row/2.236 nonzero elements average in a row?
 475         if (5*sparse_count<=row*col)
 476             algo = determinant_algo::bareiss;
 477         // Purely numeric matrix can be handled by Gauss elimination.
 478         // This overrides any prior decisions.
 479         if (numeric_flag)
 480             algo = determinant_algo::gauss;
 481     }
 482
 483     switch(algo) {
 484         case determinant_algo::gauss: {
 485             ex det = 1;
 486             matrix tmp(*this);
 487             int sign = tmp.gauss_elimination();
 488             for (unsigned d=0; d<row; ++d)
 489                 det *= tmp.m[d*col+d];
 490             if (normal_flag)
 491                 return (sign*det).normal();
 492             else
 493                 return (sign*det).expand();
 494         }
 495         case determinant_algo::bareiss: {
 496             matrix tmp(*this);
 497             int sign;
 498             sign = tmp.fraction_free_elimination(true);
 499             if (normal_flag)
 500                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).normal();
 501             else
 502                 return (sign*tmp.m[row*col-1]).expand();
 503         }
 504         case determinant_algo::laplace:
 505         default: {
 506             // This is the minor expansion scheme.  We always develop such
 507             // that the smallest minors (i.e, the trivial 1x1 ones) are on the
 508             // rightmost column.  For this to be efficient it turns out that
 509             // the emptiest columns (i.e. the ones with most zeros) should be
 510             // the ones on the right hand side.  Therefore we presort the
 511             // columns of the matrix:
 512             typedef std::pair<unsigned,unsigned> uintpair;
 513             std::vector<uintpair> c_zeros;  // number of zeros in column
 514             for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 515                 unsigned acc = 0;
 516                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 517                     if (m[r*col+c].is_zero())
 518                         ++acc;
 519                 c_zeros.push_back(uintpair(acc,c));
 520             }
 521             sort(c_zeros.begin(),c_zeros.end());
 522             std::vector<unsigned> pre_sort;
 523             for (std::vector<uintpair>::iterator i=c_zeros.begin(); i!=c_zeros.end(); ++i)
 524                 pre_sort.push_back(i->second);
 525             int sign = permutation_sign(pre_sort);
 526             exvector result(row*col);  // represents sorted matrix
 527             unsigned c = 0;
 528             for (std::vector<unsigned>::iterator i=pre_sort.begin();
 529                  i!=pre_sort.end();
 530                  ++i,++c) {
 531                 for (unsigned r=0; r<row; ++r)
 532                     result[r*col+c] = m[r*col+(*i)];
 533             }
 534
 535             if (normal_flag)
 536                 return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor().normal();
 537             return sign*matrix(row,col,result).determinant_minor();
 538         }
 539     }
 540 }
 541
 542
 543 /** Trace of a matrix.  The result is normalized if it is in some quotient
 544  *  field and expanded only otherwise.  This implies that the trace of the
 545  *  symbolic 2x2 matrix [[a/(a-b),x],[y,b/(b-a)]] is recognized to be unity.
 546  *
 547  *  @return    the sum of diagonal elements
 548  *  @exception logic_error (matrix not square) */
 549 ex matrix::trace(void) const
 550 {
 551     if (row != col)
 552         throw (std::logic_error("matrix::trace(): matrix not square"));
 553     GINAC_ASSERT(row*col==m.capacity());
 554
 555     ex tr;
 556     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 557         tr += m[r*col+r];
 558
 559     if (tr.info(info_flags::rational_function) &&
 560         !tr.info(info_flags::crational_polynomial))
 561         return tr.normal();
 562     else
 563         return tr.expand();
 564 }
 565
 566
 567 /** Characteristic Polynomial.  Following mathematica notation the
 568  *  characteristic polynomial of a matrix M is defined as the determiant of
 569  *  (M - lambda * 1) where 1 stands for the unit matrix of the same dimension
 570  *  as M.  Note that some CASs define it with a sign inside the determinant
 571  *  which gives rise to an overall sign if the dimension is odd.  This method
 572  *  returns the characteristic polynomial collected in powers of lambda as a
 573  *  new expression.
 574  *
 575  *  @return    characteristic polynomial as new expression
 576  *  @exception logic_error (matrix not square)
 577  *  @see       matrix::determinant() */
 578 ex matrix::charpoly(const symbol & lambda) const
 579 {
 580     if (row != col)
 581         throw (std::logic_error("matrix::charpoly(): matrix not square"));
 582
 583     bool numeric_flag = true;
 584     for (exvector::const_iterator r=m.begin(); r!=m.end(); ++r) {
 585         if (!(*r).info(info_flags::numeric)) {
 586             numeric_flag = false;
 587         }
 588     }
 589
 590     // The pure numeric case is traditionally rather common.  Hence, it is
 591     // trapped and we use Leverrier's algorithm which goes as row^3 for
 592     // every coefficient.  The expensive part is the matrix multiplication.
 593     if (numeric_flag) {
 594         matrix B(*this);
 595         ex c = B.trace();
 596         ex poly = power(lambda,row)-c*power(lambda,row-1);
 597         for (unsigned i=1; i<row; ++i) {
 598             for (unsigned j=0; j<row; ++j)
 599                 B.m[j*col+j] -= c;
 600             B = this->mul(B);
 601             c = B.trace()/ex(i+1);
 602             poly -= c*power(lambda,row-i-1);
 603         }
 604         if (row%2)
 605             return -poly;
 606         else
 607             return poly;
 608     }
 609
 610     matrix M(*this);
 611     for (unsigned r=0; r<col; ++r)
 612         M.m[r*col+r] -= lambda;
 613
 614     return M.determinant().collect(lambda);
 615 }
 616
 617
 618 /** Inverse of this matrix.
 619  *
 620  *  @return    the inverted matrix
 621  *  @exception logic_error (matrix not square)
 622  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 623 matrix matrix::inverse(void) const
 624 {
 625     if (row != col)
 626         throw (std::logic_error("matrix::inverse(): matrix not square"));
 627
 628     matrix tmp(row,col);
 629     // set tmp to the unit matrix
 630     for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 631         tmp.m[i*col+i] = _ex1();
 632
 633     // create a copy of this matrix
 634     matrix cpy(*this);
 635     for (unsigned r1=0; r1<row; ++r1) {
 636         int indx = cpy.pivot(r1);
 637         if (indx == -1) {
 638             throw (std::runtime_error("matrix::inverse(): singular matrix"));
 639         }
 640         if (indx != 0) {  // swap rows r and indx of matrix tmp
 641             for (unsigned i=0; i<col; ++i)
 642                 tmp.m[r1*col+i].swap(tmp.m[indx*col+i]);
 643         }
 644         ex a1 = cpy.m[r1*col+r1];
 645         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 646             cpy.m[r1*col+c] /= a1;
 647             tmp.m[r1*col+c] /= a1;
 648         }
 649         for (unsigned r2=0; r2<row; ++r2) {
 650             if (r2 != r1) {
 651                 ex a2 = cpy.m[r2*col+r1];
 652                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
 653                     cpy.m[r2*col+c] -= a2 * cpy.m[r1*col+c];
 654                     tmp.m[r2*col+c] -= a2 * tmp.m[r1*col+c];
 655                 }
 656             }
 657         }
 658     }
 659     return tmp;
 660 }
 661
 662
 663 /** Solve a set of equations for an m x n matrix by fraction-free Gaussian
 664  *  elimination.  Based on algorithm 9.1 from 'Algorithms for Computer Algebra'
 665  *  by Keith O. Geddes et al.
 666  *
 667  *  @param vars n x p matrix
 668  *  @param rhs m x p matrix
 669  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 670  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 671 matrix matrix::fraction_free_elim(const matrix & vars,
 672                                   const matrix & rhs) const
 673 {
 674     // FIXME: use implementation of matrix::fraction_free_elimination instead!
 675     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 676         throw (std::logic_error("matrix::fraction_free_elim(): incompatible matrices"));
 677
 678     matrix a(*this);  // make a copy of the matrix
 679     matrix b(rhs);    // make a copy of the rhs vector
 680
 681     // given an m x n matrix a, reduce it to upper echelon form
 682     unsigned m = a.row;
 683     unsigned n = a.col;
 684     int sign = 1;
 685     ex divisor = 1;
 686     unsigned r = 0;
 687
 688     // eliminate below row r, with pivot in column k
 689     for (unsigned k=0; (k<n)&&(r<m); ++k) {
 690         // find a nonzero pivot
 691         unsigned p;
 692         for (p=r; (p<m)&&(a.m[p*a.cols()+k].is_zero()); ++p) {}
 693         // pivot is in row p
 694         if (p<m) {
 695             if (p!=r) {
 696                 // swap rows p and r
 697                 for (unsigned j=k; j<n; ++j)
 698                     a.m[p*a.cols()+j].swap(a.m[r*a.cols()+j]);
 699                 b.m[p*b.cols()].swap(b.m[r*b.cols()]);
 700                 // keep track of sign changes due to row exchange
 701                 sign *= -1;
 702             }
 703             for (unsigned i=r+1; i<m; ++i) {
 704                 for (unsigned j=k+1; j<n; ++j) {
 705                     a.set(i,j,(a.m[r*a.cols()+k]*a.m[i*a.cols()+j]
 706                               -a.m[r*a.cols()+j]*a.m[i*a.cols()+k])/divisor);
 707                     a.set(i,j,a.m[i*a.cols()+j].normal());
 708                 }
 709                 b.set(i,0,(a.m[r*a.cols()+k]*b.m[i*b.cols()]
 710                           -b.m[r*b.cols()]*a.m[i*a.cols()+k])/divisor);
 711                 b.set(i,0,b.m[i*b.cols()].normal());
 712                 a.set(i,k,_ex0());
 713             }
 714             divisor = a.m[r*a.cols()+k];
 715             ++r;
 716         }
 717     }
 718
 719 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 720     // test if we really have an upper echelon matrix
 721     int zero_in_last_row = -1;
 722     for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
 723         int zero_in_this_row=0;
 724         for (unsigned c=0; c<n; ++c) {
 725             if (a.m[r*a.cols()+c].is_zero())
 726                ++zero_in_this_row;
 727             else
 728                 break;
 729         }
 730         GINAC_ASSERT((zero_in_this_row>zero_in_last_row)||(zero_in_this_row=n));
 731         zero_in_last_row = zero_in_this_row;
 732     }
 733 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 734
 735     // assemble solution
 736     matrix sol(n,1);
 737     unsigned last_assigned_sol = n+1;
 738     for (int r=m-1; r>=0; --r) {
 739         unsigned first_non_zero = 1;
 740         while ((first_non_zero<=n)&&(a(r,first_non_zero-1).is_zero()))
 741             first_non_zero++;
 742         if (first_non_zero>n) {
 743             // row consists only of zeroes, corresponding rhs must be 0 as well
 744             if (!b.m[r*b.cols()].is_zero()) {
 745                 throw (std::runtime_error("matrix::fraction_free_elim(): singular matrix"));
 746             }
 747         } else {
 748             // assign solutions for vars between first_non_zero+1 and
 749             // last_assigned_sol-1: free parameters
 750             for (unsigned c=first_non_zero; c<last_assigned_sol-1; ++c)
 751                 sol.set(c,0,vars.m[c*vars.cols()]);
 752             ex e = b.m[r*b.cols()];
 753             for (unsigned c=first_non_zero; c<n; ++c)
 754                 e -= a.m[r*a.cols()+c]*sol.m[c*sol.cols()];
 755             sol.set(first_non_zero-1,0,
 756                     (e/(a.m[r*a.cols()+(first_non_zero-1)])).normal());
 757             last_assigned_sol = first_non_zero;
 758         }
 759     }
 760     // assign solutions for vars between 1 and
 761     // last_assigned_sol-1: free parameters
 762     for (unsigned c=0; c<last_assigned_sol-1; ++c)
 763         sol.set(c,0,vars.m[c*vars.cols()]);
 764
 765 #ifdef DO_GINAC_ASSERT
 766     // test solution with echelon matrix
 767     for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
 768         ex e = 0;
 769         for (unsigned c=0; c<n; ++c)
 770             e += a(r,c)*sol(c,0);
 771         if (!(e-b(r,0)).normal().is_zero()) {
 772             cout << "e=" << e;
 773             cout << "b(" << r <<",0)=" << b(r,0) << endl;
 774             cout << "diff=" << (e-b(r,0)).normal() << endl;
 775         }
 776         GINAC_ASSERT((e-b(r,0)).normal().is_zero());
 777     }
 778
 779     // test solution with original matrix
 780     for (unsigned r=0; r<m; ++r) {
 781         ex e = 0;
 782         for (unsigned c=0; c<n; ++c)
 783             e += this->m[r*cols()+c]*sol(c,0);
 784         try {
 785             if (!(e-rhs(r,0)).normal().is_zero()) {
 786                 cout << "e==" << e << endl;
 787                 e.printtree(cout);
 788                 ex en = e.normal();
 789                 cout << "e.normal()=" << en << endl;
 790                 en.printtree(cout);
 791                 cout << "rhs(" << r <<",0)=" << rhs(r,0) << endl;
 792                 cout << "diff=" << (e-rhs(r,0)).normal() << endl;
 793             }
 794         } catch (...) {
 795             ex xxx = e - rhs(r,0);
 796             cerr << "xxx=" << xxx << endl << endl;
 797         }
 798         GINAC_ASSERT((e-rhs(r,0)).normal().is_zero());
 799     }
 800 #endif // def DO_GINAC_ASSERT
 801
 802     return sol;
 803 }
 804
 805 /** Solve a set of equations for an m x n matrix.
 806  *
 807  *  @param vars n x p matrix
 808  *  @param rhs m x p matrix
 809  *  @exception logic_error (incompatible matrices)
 810  *  @exception runtime_error (singular matrix) */
 811 matrix matrix::solve(const matrix & vars,
 812                      const matrix & rhs) const
 813 {
 814     if ((row != rhs.row) || (col != vars.row) || (rhs.col != vars.col))
 815         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 816
 817     throw (std::runtime_error("FIXME: need implementation."));
 818 }
 819
 820 /** Old and obsolete interface: */
 821 matrix matrix::old_solve(const matrix & v) const
 822 {
 823     if ((v.row != col) || (col != v.row))
 824         throw (std::logic_error("matrix::solve(): incompatible matrices"));
 825
 826     // build the augmented matrix of *this with v attached to the right
 827     matrix tmp(row,col+v.col);
 828     for (unsigned r=0; r<row; ++r) {
 829         for (unsigned c=0; c<col; ++c)
 830             tmp.m[r*tmp.col+c] = this->m[r*col+c];
 831         for (unsigned c=0; c<v.col; ++c)
 832             tmp.m[r*tmp.col+c+col] = v.m[r*v.col+c];
 833     }
 834     // cout << "augmented: " << tmp << endl;
 835     tmp.gauss_elimination();
 836     // cout << "degaussed: " << tmp << endl;
 837     // assemble the solution matrix
 838     exvector sol(v.row*v.col);
 839     for (unsigned c=0; c<v.col; ++c) {
 840         for (unsigned r=row; r>0; --r) {
 841             for (unsigned i=r; i<col; ++i)
 842                 sol[(r-1)*v.col+c] -= tmp.m[(r-1)*tmp.col+i]*sol[i*v.col+c];
 843             sol[(r-1)*v.col+c] += tmp.m[(r-1)*tmp.col+col+c];
 844             sol[(r-1)*v.col+c] = (sol[(r-1)*v.col+c]/tmp.m[(r-1)*tmp.col+(r-1)]).normal();
 845         }
 846     }
 847     return matrix(v.row, v.col, sol);
 848 }
 849
 850
 851 // protected
 852
 853 /** Recursive determinant for small matrices having at least one symbolic
 854  *  entry.  The basic algorithm, known as Laplace-expansion, is enhanced by
 855  *  some bookkeeping to avoid calculation of the same submatrices ("minors")
 856  *  more than once.  According to W.M.Gentleman and S.C.Johnson this algorithm
 857  *  is better than elimination schemes for matrices of sparse multivariate
 858  *  polynomials and also for matrices of dense univariate polynomials if the
 859  *  matrix' dimesion is larger than 7.
 860  *
 861  *  @return the determinant as a new expression (in expanded form)
 862  *  @see matrix::determinant() */
 863 ex matrix::determinant_minor(void) const
 864 {
 865     // for small matrices the algorithm does not make any sense:
 866     if (this->row==1)
 867         return m[0];
 868     if (this->row==2)
 869         return (m[0]*m[3]-m[2]*m[1]).expand();
 870     if (this->row==3)
 871         return (m[0]*m[4]*m[8]-m[0]*m[5]*m[7]-
 872                 m[1]*m[3]*m[8]+m[2]*m[3]*m[7]+
 873                 m[1]*m[5]*m[6]-m[2]*m[4]*m[6]).expand();
 874
 875     // This algorithm can best be understood by looking at a naive
 876     // implementation of Laplace-expansion, like this one:
 877     // ex det;
 878     // matrix minorM(this->row-1,this->col-1);
 879     // for (unsigned r1=0; r1<this->row; ++r1) {
 880     //     // shortcut if element(r1,0) vanishes
 881     //     if (m[r1*col].is_zero())
 882     //         continue;
 883     //     // assemble the minor matrix
 884     //     for (unsigned r=0; r<minorM.rows(); ++r) {
 885     //         for (unsigned c=0; c<minorM.cols(); ++c) {
 886     //             if (r<r1)
 887     //                 minorM.set(r,c,m[r*col+c+1]);
 888     //             else
 889     //                 minorM.set(r,c,m[(r+1)*col+c+1]);
 890     //         }
 891     //     }
 892     //     // recurse down and care for sign:
 893     //     if (r1%2)
 894     //         det -= m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 895     //     else
 896     //         det += m[r1*col] * minorM.determinant_minor();
 897     // }
 898     // return det.expand();
 899     // What happens is that while proceeding down many of the minors are
 900     // computed more than once.  In particular, there are binomial(n,k)
 901     // kxk minors and each one is computed factorial(n-k) times.  Therefore
 902     // it is reasonable to store the results of the minors.  We proceed from
 903     // right to left.  At each column c we only need to retrieve the minors
 904     // calculated in step c-1.  We therefore only have to store at most
 905     // 2*binomial(n,n/2) minors.
 906
 907     // Unique flipper counter for partitioning into minors
 908     std::vector<unsigned> Pkey;
 909     Pkey.reserve(this->col);
 910     // key for minor determinant (a subpartition of Pkey)
 911     std::vector<unsigned> Mkey;
 912     Mkey.reserve(this->col-1);
 913     // we store our subminors in maps, keys being the rows they arise from
 914     typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex> Rmap;
 915     typedef std::map<std::vector<unsigned>,class ex>::value_type Rmap_value;
 916     Rmap A;
 917     Rmap B;
 918     ex det;
 919     // initialize A with last column:
 920     for (unsigned r=0; r<this->col; ++r) {
 921         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());
 922         Pkey.push_back(r);
 923         A.insert(Rmap_value(Pkey,m[this->col*r+this->col-1]));
 924     }
 925     // proceed from right to left through matrix
 926     for (int c=this->col-2; c>=0; --c) {
 927         Pkey.erase(Pkey.begin(),Pkey.end());  // don't change capacity
 928         Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 929         for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 930             Pkey.push_back(i);
 931         unsigned fc = 0;  // controls logic for our strange flipper counter
 932         do {
 933             det = _ex0();
 934             for (unsigned r=0; r<this->col-c; ++r) {
 935                 // maybe there is nothing to do?
 936                 if (m[Pkey[r]*this->col+c].is_zero())
 937                     continue;
 938                 // create the sorted key for all possible minors
 939                 Mkey.erase(Mkey.begin(),Mkey.end());
 940                 for (unsigned i=0; i<this->col-c; ++i)
 941                     if (i!=r)
 942                         Mkey.push_back(Pkey[i]);
 943                 // Fetch the minors and compute the new determinant
 944                 if (r%2)
 945                     det -= m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 946                 else
 947                     det += m[Pkey[r]*this->col+c]*A[Mkey];
 948             }
 949             // prevent build-up of deep nesting of expressions saves time:
 950             det = det.expand();
 951             // store the new determinant at its place in B:
 952             if (!det.is_zero())
 953                 B.insert(Rmap_value(Pkey,det));
 954             // increment our strange flipper counter
 955             for (fc=this->col-c; fc>0; --fc) {
 956                 ++Pkey[fc-1];
 957                 if (Pkey[fc-1]<fc+c)
 958                     break;
 959             }
 960             if (fc<this->col-c)
 961                 for (unsigned j=fc; j<this->col-c; ++j)
 962                     Pkey[j] = Pkey[j-1]+1;
 963         } while(fc);
 964         // next column, so change the role of A and B:
 965         A = B;
 966         B.clear();
 967     }
 968
 969     return det;
 970 }
 971
 972
 973 /** Perform the steps of an ordinary Gaussian elimination to bring the matrix
 974  *  into an upper echelon form.
 975  *
 976  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
 977  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
 978 int matrix::gauss_elimination(void)
 979 {
 980     ensure_if_modifiable();
 981     int sign = 1;
 982     ex piv;
 983     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
 984         int indx = pivot(r1);
 985         if (indx == -1)
 986             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
 987         if (indx > 0)
 988             sign = -sign;
 989         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
 990             piv = this->m[r2*col+r1] / this->m[r1*col+r1];
 991             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
 992                 this->m[r2*col+c] -= piv * this->m[r1*col+c];
 993             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
 994                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
 995         }
 996     }
 997
 998     return sign;
 999 }
1000
1001
1002 /** Perform the steps of division free elimination to bring the matrix
1003  *  into an upper echelon form.
1004  *
1005  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1006  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1007 int matrix::division_free_elimination(void)
1008 {
1009     int sign = 1;
1010     ensure_if_modifiable();
1011     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1012         int indx = pivot(r1);
1013         if (indx==-1)
1014             return 0;  // Note: leaves *this in a messy state.
1015         if (indx>0)
1016             sign = -sign;
1017         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1018             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c)
1019                 this->m[r2*col+c] = this->m[r1*col+r1]*this->m[r2*col+c] - this->m[r2*col+r1]*this->m[r1*col+c];
1020             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1021                 this->m[r2*col+c] = _ex0();
1022         }
1023     }
1024
1025     return sign;
1026 }
1027
1028
1029 /** Perform the steps of Bareiss' one-step fraction free elimination to bring
1030  *  the matrix into an upper echelon form.  Fraction free elimination means
1031  *  that divide is used straightforwardly, without computing GCDs first.  This
1032  *  is possible, since we know the divisor at each step.
1033  *
1034  *  @param det may be set to true to save a lot of space if one is only
1035  *  interested in the last element (i.e. for calculating determinants), the
1036  *  others are set to zero in this case.
1037  *  @return sign is 1 if an even number of rows was swapped, -1 if an odd
1038  *  number of rows was swapped and 0 if the matrix is singular. */
1039 int matrix::fraction_free_elimination(bool det)
1040 {
1041     // Method:
1042     // (single-step fraction free elimination scheme, already known to Jordan)
1043     //
1044     // Usual division-free elimination sets m[0](r,c) = m(r,c) and then sets
1045     //     m[k+1](r,c) = m[k](k,k) * m[k](r,c) - m[k](r,k) * m[k](k,c).
1046     //
1047     // Bareiss (fraction-free) elimination in addition divides that element
1048     // by m[k-1](k-1,k-1) for k>1, where it can be shown by means of the
1049     // Sylvester determinant that this really divides m[k+1](r,c).
1050     //
1051     // We also allow rational functions where the original prove still holds.
1052     // However, we must care for numerator and denominator separately and
1053     // "manually" work in the integral domains because of subtle cancellations
1054     // (see below).  This blows up the bookkeeping a bit and the formula has
1055     // to be modified to expand like this (N{x} stands for numerator of x,
1056     // D{x} for denominator of x):
1057     //     N{m[k+1](r,c)} = N{m[k](k,k)}*N{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1058     //                     -N{m[k](r,k)}*N{m[k](k,c)}*D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}
1059     //     D{m[k+1](r,c)} = D{m[k](k,k)}*D{m[k](r,c)}*D{m[k](r,k)}*D{m[k](k,c)}
1060     // where for k>1 we now divide N{m[k+1](r,c)} by
1061     //     N{m[k-1](k-1,k-1)}
1062     // and D{m[k+1](r,c)} by
1063     //     D{m[k-1](k-1,k-1)}.
1064
1065     GINAC_ASSERT(det || row==col);
1066     ensure_if_modifiable();
1067     if (rows()==1)
1068         return 1;
1069
1070     int sign = 1;
1071     ex divisor_n = 1;
1072     ex divisor_d = 1;
1073     ex dividend_n;
1074     ex dividend_d;
1075
1076     // We populate temporary matrices to subsequently operate on.  There is
1077     // one holding numerators and another holding denominators of entries.
1078     // This is a must since the evaluator (or even earlier mul's constructor)
1079     // might cancel some trivial element which causes divide() to fail.  The
1080     // elements are normalized first (yes, even though this algorithm doesn't
1081     // need GCDs) since the elements of *this might be unnormalized, which
1082     // makes things more complicated than they need to be.
1083     matrix tmp_n(*this);
1084     matrix tmp_d(row,col);  // for denominators, if needed
1085     lst srl;  // symbol replacement list
1086     exvector::iterator it = m.begin();
1087     exvector::iterator tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1088     exvector::iterator tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1089     for (; it!= m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it) {
1090         (*tmp_n_it) = (*it).normal().to_rational(srl);
1091         (*tmp_d_it) = (*tmp_n_it).denom();
1092         (*tmp_n_it) = (*tmp_n_it).numer();
1093     }
1094
1095     for (unsigned r1=0; r1<row-1; ++r1) {
1096         int indx = tmp_n.pivot(r1);
1097         if (det && indx==-1)
1098             return 0;  // FIXME: what to do if det is false, some day?
1099         if (indx>0) {
1100             sign = -sign;
1101             // rows r1 and indx were swapped, so pivot matrix tmp_d:
1102             for (unsigned c=0; c<col; ++c)
1103                 tmp_d.m[row*indx+c].swap(tmp_d.m[row*r1+c]);
1104         }
1105         if (r1>0) {
1106             divisor_n = tmp_n.m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1107             divisor_d = tmp_d.m[(r1-1)*col+(r1-1)].expand();
1108             // save space by deleting no longer needed elements:
1109             if (det) {
1110                 for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
1111                     tmp_n.m[(r1-1)*col+c] = 0;
1112                     tmp_d.m[(r1-1)*col+c] = 1;
1113                 }
1114             }
1115         }
1116         for (unsigned r2=r1+1; r2<row; ++r2) {
1117             for (unsigned c=r1+1; c<col; ++c) {
1118                 dividend_n = (tmp_n.m[r1*col+r1]*tmp_n.m[r2*col+c]*
1119                               tmp_d.m[r2*col+r1]*tmp_d.m[r1*col+c]
1120                              -tmp_n.m[r2*col+r1]*tmp_n.m[r1*col+c]*
1121                               tmp_d.m[r1*col+r1]*tmp_d.m[r2*col+c]).expand();
1122                 dividend_d = (tmp_d.m[r2*col+r1]*tmp_d.m[r1*col+c]*
1123                               tmp_d.m[r1*col+r1]*tmp_d.m[r2*col+c]).expand();
1124                 bool check = divide(dividend_n, divisor_n,
1125                                     tmp_n.m[r2*col+c],true);
1126                 check &= divide(dividend_d, divisor_d,
1127                                 tmp_d.m[r2*col+c],true);
1128                 GINAC_ASSERT(check);
1129             }
1130             // fill up left hand side.
1131             for (unsigned c=0; c<=r1; ++c)
1132                 tmp_n.m[r2*col+c] = _ex0();
1133         }
1134     }
1135     // repopulate *this matrix:
1136     it = m.begin();
1137     tmp_n_it = tmp_n.m.begin();
1138     tmp_d_it = tmp_d.m.begin();
1139     for (; it!= m.end(); ++it, ++tmp_n_it, ++tmp_d_it)
1140         (*it) = ((*tmp_n_it)/(*tmp_d_it)).subs(srl);
1141
1142     return sign;
1143 }
1144
1145
1146 /** Partial pivoting method for matrix elimination schemes.
1147  *  Usual pivoting (symbolic==false) returns the index to the element with the
1148  *  largest absolute value in column ro and swaps the current row with the one
1149  *  where the element was found.  With (symbolic==true) it does the same thing
1150  *  with the first non-zero element.
1151  *
1152  *  @param ro is the row to be inspected
1153  *  @param symbolic signal if we want the first non-zero element to be pivoted
1154  *  (true) or the one with the largest absolute value (false).
1155  *  @return 0 if no interchange occured, -1 if all are zero (usually signaling
1156  *  a degeneracy) and positive integer k means that rows ro and k were swapped.
1157  */
1158 int matrix::pivot(unsigned ro, bool symbolic)
1159 {
1160     unsigned k = ro;
1161
1162     if (symbolic) {  // search first non-zero
1163         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1164             if (!m[r*col+ro].expand().is_zero()) {
1165                 k = r;
1166                 break;
1167             }
1168         }
1169     } else {  // search largest
1170         numeric tmp(0);
1171         numeric maxn(-1);
1172         for (unsigned r=ro; r<row; ++r) {
1173             GINAC_ASSERT(is_ex_of_type(m[r*col+ro],numeric));
1174             if ((tmp = abs(ex_to_numeric(m[r*col+ro]))) > maxn &&
1175                 !tmp.is_zero()) {
1176                 maxn = tmp;
1177                 k = r;
1178             }
1179         }
1180     }
1181     if (m[k*col+ro].is_zero())
1182         return -1;
1183     if (k!=ro) {  // swap rows
1184         ensure_if_modifiable();
1185         for (unsigned c=0; c<col; ++c) {
1186             m[k*col+c].swap(m[ro*col+c]);
1187         }
1188         return k;
1189     }
1190     return 0;
1191 }
1192
1193 /** Convert list of lists to matrix. */
1194 ex lst_to_matrix(const ex &l)
1195 {
1196         if (!is_ex_of_type(l, lst))
1197                 throw(std::invalid_argument("argument to lst_to_matrix() must be a lst"));
1198
1199         // Find number of rows and columns
1200         unsigned rows = l.nops(), cols = 0, i, j;
1201         for (i=0; i<rows; i++)
1202                 if (l.op(i).nops() > cols)
1203                         cols = l.op(i).nops();
1204
1205         // Allocate and fill matrix
1206         matrix &m = *new matrix(rows, cols);
1207         for (i=0; i<rows; i++)
1208                 for (j=0; j<cols; j++)
1209                         if (l.op(i).nops() > j)
1210                                 m.set(i, j, l.op(i).op(j));
1211                         else
1212                                 m.set(i, j, ex(0));
1213         return m;
1214 }
1215
1216 //////////
1217 // global constants
1218 //////////
1219
1220 const matrix some_matrix;
1221 const type_info & typeid_matrix=typeid(some_matrix);
1222
1223 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
1224 } // namespace GiNaC
1225 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC