- expairseq.cpp: moved expairseq::to_rational to...
[ginac.git] / ginac / inifcns_trans.cpp
1 /** @file inifcns_trans.cpp
2  *
3  *  Implementation of transcendental (and trigonometric and hyperbolic)
4  *  functions. */
5
6 /*
7  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
8  *
9  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
10  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
11  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
12  *  (at your option) any later version.
13  *
14  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
15  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
16  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
17  *  GNU General Public License for more details.
18  *
19  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
20  *  along with this program; if not, write to the Free Software
21  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
22  */
23
24 #include <vector>
25 #include <stdexcept>
26
27 #include "inifcns.h"
28 #include "ex.h"
29 #include "constant.h"
30 #include "numeric.h"
31 #include "power.h"
32 #include "relational.h"
33 #include "symbol.h"
34 #include "pseries.h"
35 #include "utils.h"
36
37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
38 namespace GiNaC {
39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
40
41 //////////
42 // exponential function
43 //////////
44
45 static ex exp_evalf(const ex & x)
46 {
47     BEGIN_TYPECHECK
48         TYPECHECK(x,numeric)
49     END_TYPECHECK(exp(x))
50     
51     return exp(ex_to_numeric(x)); // -> numeric exp(numeric)
52 }
53
54 static ex exp_eval(const ex & x)
55 {
56     // exp(0) -> 1
57     if (x.is_zero()) {
58         return _ex1();
59     }
60     // exp(n*Pi*I/2) -> {+1|+I|-1|-I}
61     ex TwoExOverPiI=(_ex2()*x)/(Pi*I);
62     if (TwoExOverPiI.info(info_flags::integer)) {
63         numeric z=mod(ex_to_numeric(TwoExOverPiI),_num4());
64         if (z.is_equal(_num0()))
65             return _ex1();
66         if (z.is_equal(_num1()))
67             return ex(I);
68         if (z.is_equal(_num2()))
69             return _ex_1();
70         if (z.is_equal(_num3()))
71             return ex(-I);
72     }
73     // exp(log(x)) -> x
74     if (is_ex_the_function(x, log))
75         return x.op(0);
76     
77     // exp(float)
78     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
79         return exp_evalf(x);
80     
81     return exp(x).hold();
82 }
83
84 static ex exp_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
85 {
86     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
87
88     // d/dx exp(x) -> exp(x)
89     return exp(x);
90 }
91
92 REGISTER_FUNCTION(exp, eval_func(exp_eval).
93                        evalf_func(exp_evalf).
94                        derivative_func(exp_deriv));
95
96 //////////
97 // natural logarithm
98 //////////
99
100 static ex log_evalf(const ex & x)
101 {
102     BEGIN_TYPECHECK
103         TYPECHECK(x,numeric)
104     END_TYPECHECK(log(x))
105     
106     return log(ex_to_numeric(x)); // -> numeric log(numeric)
107 }
108
109 static ex log_eval(const ex & x)
110 {
111     if (x.info(info_flags::numeric)) {
112         if (x.is_equal(_ex0()))  // log(0) -> infinity
113             throw(std::domain_error("log_eval(): log(0)"));
114         if (x.info(info_flags::real) && x.info(info_flags::negative))
115             return (log(-x)+I*Pi);
116         if (x.is_equal(_ex1()))  // log(1) -> 0
117             return _ex0();
118         if (x.is_equal(I))       // log(I) -> Pi*I/2
119             return (Pi*I*_num1_2());
120         if (x.is_equal(-I))      // log(-I) -> -Pi*I/2
121             return (Pi*I*_num_1_2());
122         // log(float)
123         if (!x.info(info_flags::crational))
124             return log_evalf(x);
125     }
126     // log(exp(t)) -> t (if -Pi < t.imag() <= Pi):
127     if (is_ex_the_function(x, exp)) {
128         ex t = x.op(0);
129         if (t.info(info_flags::numeric)) {
130             numeric nt = ex_to_numeric(t);
131             if (nt.is_real())
132                 return t;
133         }
134     }
135     
136     return log(x).hold();
137 }
138
139 static ex log_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
140 {
141     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
142     
143     // d/dx log(x) -> 1/x
144     return power(x, _ex_1());
145 }
146
147 static ex log_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
148 {
149     const ex x_pt = x.subs(rel);
150     if (!x_pt.info(info_flags::negative) && !x_pt.is_zero())
151         throw do_taylor();  // caught by function::series()
152     // now we either have to care for the branch cut or the branch point:
153     if (x_pt.is_zero()) {  // branch point: return a plain log(x).
154         epvector seq;
155         seq.push_back(expair(log(x), _ex0()));
156         return pseries(rel, seq);
157     } // on the branch cut:
158     const ex point = rel.rhs();
159     const symbol *s = static_cast<symbol *>(rel.lhs().bp);
160     const symbol foo;
161     // compute the formal series:
162     ex replx = series(log(x),*s==foo,order).subs(foo==point);
163     epvector seq;
164     seq.push_back(expair(-I*csgn(x*I)*Pi,_ex0()));
165     seq.push_back(expair(Order(_ex1()),order));
166     return series(replx - I*Pi + pseries(rel, seq),rel,order);
167 }
168
169 REGISTER_FUNCTION(log, eval_func(log_eval).
170                        evalf_func(log_evalf).
171                        derivative_func(log_deriv).
172                        series_func(log_series));
173
174 //////////
175 // sine (trigonometric function)
176 //////////
177
178 static ex sin_evalf(const ex & x)
179 {
180     BEGIN_TYPECHECK
181        TYPECHECK(x,numeric)
182     END_TYPECHECK(sin(x))
183     
184     return sin(ex_to_numeric(x)); // -> numeric sin(numeric)
185 }
186
187 static ex sin_eval(const ex & x)
188 {
189     // sin(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
190     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
191     ex sign = _ex1();
192     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
193         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num120());
194         if (z>=_num60()) {
195             // wrap to interval [0, Pi)
196             z -= _num60();
197             sign = _ex_1();
198         }
199         if (z>_num30()) {
200             // wrap to interval [0, Pi/2)
201             z = _num60()-z;
202         }
203         if (z.is_equal(_num0()))  // sin(0)       -> 0
204             return _ex0();
205         if (z.is_equal(_num5()))  // sin(Pi/12)   -> sqrt(6)/4*(1-sqrt(3)/3)
206             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex_1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
207         if (z.is_equal(_num6()))  // sin(Pi/10)   -> sqrt(5)/4-1/4
208             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex_1_4());
209         if (z.is_equal(_num10())) // sin(Pi/6)    -> 1/2
210             return sign*_ex1_2();
211         if (z.is_equal(_num15())) // sin(Pi/4)    -> sqrt(2)/2
212             return sign*_ex1_2()*power(_ex2(),_ex1_2());
213         if (z.is_equal(_num18())) // sin(3/10*Pi) -> sqrt(5)/4+1/4
214             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex1_4());
215         if (z.is_equal(_num20())) // sin(Pi/3)    -> sqrt(3)/2
216             return sign*_ex1_2()*power(_ex3(),_ex1_2());
217         if (z.is_equal(_num25())) // sin(5/12*Pi) -> sqrt(6)/4*(1+sqrt(3)/3)
218             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
219         if (z.is_equal(_num30())) // sin(Pi/2)    -> 1
220             return sign*_ex1();
221     }
222     
223     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
224         ex t = x.op(0);
225         // sin(asin(x)) -> x
226         if (is_ex_the_function(x, asin))
227             return t;
228         // sin(acos(x)) -> sqrt(1-x^2)
229         if (is_ex_the_function(x, acos))
230             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
231         // sin(atan(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
232         if (is_ex_the_function(x, atan))
233             return t*power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
234     }
235     
236     // sin(float) -> float
237     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
238         return sin_evalf(x);
239     
240     return sin(x).hold();
241 }
242
243 static ex sin_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
244 {
245     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
246     
247     // d/dx sin(x) -> cos(x)
248     return cos(x);
249 }
250
251 REGISTER_FUNCTION(sin, eval_func(sin_eval).
252                        evalf_func(sin_evalf).
253                        derivative_func(sin_deriv));
254
255 //////////
256 // cosine (trigonometric function)
257 //////////
258
259 static ex cos_evalf(const ex & x)
260 {
261     BEGIN_TYPECHECK
262         TYPECHECK(x,numeric)
263     END_TYPECHECK(cos(x))
264     
265     return cos(ex_to_numeric(x)); // -> numeric cos(numeric)
266 }
267
268 static ex cos_eval(const ex & x)
269 {
270     // cos(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
271     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
272     ex sign = _ex1();
273     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
274         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num120());
275         if (z>=_num60()) {
276             // wrap to interval [0, Pi)
277             z = _num120()-z;
278         }
279         if (z>=_num30()) {
280             // wrap to interval [0, Pi/2)
281             z = _num60()-z;
282             sign = _ex_1();
283         }
284         if (z.is_equal(_num0()))  // cos(0)       -> 1
285             return sign*_ex1();
286         if (z.is_equal(_num5()))  // cos(Pi/12)   -> sqrt(6)/4*(1+sqrt(3)/3)
287             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
288         if (z.is_equal(_num10())) // cos(Pi/6)    -> sqrt(3)/2
289             return sign*_ex1_2()*power(_ex3(),_ex1_2());
290         if (z.is_equal(_num12())) // cos(Pi/5)    -> sqrt(5)/4+1/4
291             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex1_4());
292         if (z.is_equal(_num15())) // cos(Pi/4)    -> sqrt(2)/2
293             return sign*_ex1_2()*power(_ex2(),_ex1_2());
294         if (z.is_equal(_num20())) // cos(Pi/3)    -> 1/2
295             return sign*_ex1_2();
296         if (z.is_equal(_num24())) // cos(2/5*Pi)  -> sqrt(5)/4-1/4x
297             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex_1_4());
298         if (z.is_equal(_num25())) // cos(5/12*Pi) -> sqrt(6)/4*(1-sqrt(3)/3)
299             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex_1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
300         if (z.is_equal(_num30())) // cos(Pi/2)    -> 0
301             return sign*_ex0();
302     }
303     
304     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
305         ex t = x.op(0);
306         // cos(acos(x)) -> x
307         if (is_ex_the_function(x, acos))
308             return t;
309         // cos(asin(x)) -> (1-x^2)^(1/2)
310         if (is_ex_the_function(x, asin))
311             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
312         // cos(atan(x)) -> (1+x^2)^(-1/2)
313         if (is_ex_the_function(x, atan))
314             return power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
315     }
316     
317     // cos(float) -> float
318     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
319         return cos_evalf(x);
320     
321     return cos(x).hold();
322 }
323
324 static ex cos_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
325 {
326     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
327
328     // d/dx cos(x) -> -sin(x)
329     return _ex_1()*sin(x);
330 }
331
332 REGISTER_FUNCTION(cos, eval_func(cos_eval).
333                        evalf_func(cos_evalf).
334                        derivative_func(cos_deriv));
335
336 //////////
337 // tangent (trigonometric function)
338 //////////
339
340 static ex tan_evalf(const ex & x)
341 {
342     BEGIN_TYPECHECK
343        TYPECHECK(x,numeric)
344     END_TYPECHECK(tan(x)) // -> numeric tan(numeric)
345     
346     return tan(ex_to_numeric(x));
347 }
348
349 static ex tan_eval(const ex & x)
350 {
351     // tan(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
352     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
353     ex sign = _ex1();
354     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
355         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num60());
356         if (z>=_num60()) {
357             // wrap to interval [0, Pi)
358             z -= _num60();
359         }
360         if (z>=_num30()) {
361             // wrap to interval [0, Pi/2)
362             z = _num60()-z;
363             sign = _ex_1();
364         }
365         if (z.is_equal(_num0()))  // tan(0)       -> 0
366             return _ex0();
367         if (z.is_equal(_num5()))  // tan(Pi/12)   -> 2-sqrt(3)
368             return sign*(_ex2()-power(_ex3(),_ex1_2()));
369         if (z.is_equal(_num10())) // tan(Pi/6)    -> sqrt(3)/3
370             return sign*_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2());
371         if (z.is_equal(_num15())) // tan(Pi/4)    -> 1
372             return sign*_ex1();
373         if (z.is_equal(_num20())) // tan(Pi/3)    -> sqrt(3)
374             return sign*power(_ex3(),_ex1_2());
375         if (z.is_equal(_num25())) // tan(5/12*Pi) -> 2+sqrt(3)
376             return sign*(power(_ex3(),_ex1_2())+_ex2());
377         if (z.is_equal(_num30())) // tan(Pi/2)    -> infinity
378             throw (std::domain_error("tan_eval(): simple pole"));
379     }
380     
381     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
382         ex t = x.op(0);
383         // tan(atan(x)) -> x
384         if (is_ex_the_function(x, atan))
385             return t;
386         // tan(asin(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
387         if (is_ex_the_function(x, asin))
388             return t*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
389         // tan(acos(x)) -> (1-x^2)^(1/2)/x
390         if (is_ex_the_function(x, acos))
391             return power(t,_ex_1())*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
392     }
393     
394     // tan(float) -> float
395     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational)) {
396         return tan_evalf(x);
397     }
398     
399     return tan(x).hold();
400 }
401
402 static ex tan_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
403 {
404     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
405     
406     // d/dx tan(x) -> 1+tan(x)^2;
407     return (_ex1()+power(tan(x),_ex2()));
408 }
409
410 static ex tan_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
411 {
412     // method:
413     // Taylor series where there is no pole falls back to tan_deriv.
414     // On a pole simply expand sin(x)/cos(x).
415     const ex x_pt = x.subs(rel);
416     if (!(2*x_pt/Pi).info(info_flags::odd))
417         throw do_taylor();  // caught by function::series()
418     // if we got here we have to care for a simple pole
419     return (sin(x)/cos(x)).series(rel, order+2);
420 }
421
422 REGISTER_FUNCTION(tan, eval_func(tan_eval).
423                        evalf_func(tan_evalf).
424                        derivative_func(tan_deriv).
425                        series_func(tan_series));
426
427 //////////
428 // inverse sine (arc sine)
429 //////////
430
431 static ex asin_evalf(const ex & x)
432 {
433     BEGIN_TYPECHECK
434        TYPECHECK(x,numeric)
435     END_TYPECHECK(asin(x))
436     
437     return asin(ex_to_numeric(x)); // -> numeric asin(numeric)
438 }
439
440 static ex asin_eval(const ex & x)
441 {
442     if (x.info(info_flags::numeric)) {
443         // asin(0) -> 0
444         if (x.is_zero())
445             return x;
446         // asin(1/2) -> Pi/6
447         if (x.is_equal(_ex1_2()))
448             return numeric(1,6)*Pi;
449         // asin(1) -> Pi/2
450         if (x.is_equal(_ex1()))
451             return _num1_2()*Pi;
452         // asin(-1/2) -> -Pi/6
453         if (x.is_equal(_ex_1_2()))
454             return numeric(-1,6)*Pi;
455         // asin(-1) -> -Pi/2
456         if (x.is_equal(_ex_1()))
457             return _num_1_2()*Pi;
458         // asin(float) -> float
459         if (!x.info(info_flags::crational))
460             return asin_evalf(x);
461     }
462     
463     return asin(x).hold();
464 }
465
466 static ex asin_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
467 {
468     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
469     
470     // d/dx asin(x) -> 1/sqrt(1-x^2)
471     return power(1-power(x,_ex2()),_ex_1_2());
472 }
473
474 REGISTER_FUNCTION(asin, eval_func(asin_eval).
475                         evalf_func(asin_evalf).
476                         derivative_func(asin_deriv));
477
478 //////////
479 // inverse cosine (arc cosine)
480 //////////
481
482 static ex acos_evalf(const ex & x)
483 {
484     BEGIN_TYPECHECK
485        TYPECHECK(x,numeric)
486     END_TYPECHECK(acos(x))
487     
488     return acos(ex_to_numeric(x)); // -> numeric acos(numeric)
489 }
490
491 static ex acos_eval(const ex & x)
492 {
493     if (x.info(info_flags::numeric)) {
494         // acos(1) -> 0
495         if (x.is_equal(_ex1()))
496             return _ex0();
497         // acos(1/2) -> Pi/3
498         if (x.is_equal(_ex1_2()))
499             return _ex1_3()*Pi;
500         // acos(0) -> Pi/2
501         if (x.is_zero())
502             return _ex1_2()*Pi;
503         // acos(-1/2) -> 2/3*Pi
504         if (x.is_equal(_ex_1_2()))
505             return numeric(2,3)*Pi;
506         // acos(-1) -> Pi
507         if (x.is_equal(_ex_1()))
508             return Pi;
509         // acos(float) -> float
510         if (!x.info(info_flags::crational))
511             return acos_evalf(x);
512     }
513     
514     return acos(x).hold();
515 }
516
517 static ex acos_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
518 {
519     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
520     
521     // d/dx acos(x) -> -1/sqrt(1-x^2)
522     return _ex_1()*power(1-power(x,_ex2()),_ex_1_2());
523 }
524
525 REGISTER_FUNCTION(acos, eval_func(acos_eval).
526                         evalf_func(acos_evalf).
527                         derivative_func(acos_deriv));
528
529 //////////
530 // inverse tangent (arc tangent)
531 //////////
532
533 static ex atan_evalf(const ex & x)
534 {
535     BEGIN_TYPECHECK
536         TYPECHECK(x,numeric)
537     END_TYPECHECK(atan(x))
538     
539     return atan(ex_to_numeric(x)); // -> numeric atan(numeric)
540 }
541
542 static ex atan_eval(const ex & x)
543 {
544     if (x.info(info_flags::numeric)) {
545         // atan(0) -> 0
546         if (x.is_equal(_ex0()))
547             return _ex0();
548         // atan(float) -> float
549         if (!x.info(info_flags::crational))
550             return atan_evalf(x);
551     }
552     
553     return atan(x).hold();
554 }    
555
556 static ex atan_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
557 {
558     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
559
560     // d/dx atan(x) -> 1/(1+x^2)
561     return power(_ex1()+power(x,_ex2()), _ex_1());
562 }
563
564 REGISTER_FUNCTION(atan, eval_func(atan_eval).
565                         evalf_func(atan_evalf).
566                         derivative_func(atan_deriv));
567
568 //////////
569 // inverse tangent (atan2(y,x))
570 //////////
571
572 static ex atan2_evalf(const ex & y, const ex & x)
573 {
574     BEGIN_TYPECHECK
575         TYPECHECK(y,numeric)
576         TYPECHECK(x,numeric)
577     END_TYPECHECK(atan2(y,x))
578     
579     return atan(ex_to_numeric(y),ex_to_numeric(x)); // -> numeric atan(numeric)
580 }
581
582 static ex atan2_eval(const ex & y, const ex & x)
583 {
584     if (y.info(info_flags::numeric) && !y.info(info_flags::crational) &&
585         x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational)) {
586         return atan2_evalf(y,x);
587     }
588     
589     return atan2(y,x).hold();
590 }    
591
592 static ex atan2_deriv(const ex & y, const ex & x, unsigned deriv_param)
593 {
594     GINAC_ASSERT(deriv_param<2);
595     
596     if (deriv_param==0) {
597         // d/dy atan(y,x)
598         return x*power(power(x,_ex2())+power(y,_ex2()),_ex_1());
599     }
600     // d/dx atan(y,x)
601     return -y*power(power(x,_ex2())+power(y,_ex2()),_ex_1());
602 }
603
604 REGISTER_FUNCTION(atan2, eval_func(atan2_eval).
605                          evalf_func(atan2_evalf).
606                          derivative_func(atan2_deriv));
607
608 //////////
609 // hyperbolic sine (trigonometric function)
610 //////////
611
612 static ex sinh_evalf(const ex & x)
613 {
614     BEGIN_TYPECHECK
615        TYPECHECK(x,numeric)
616     END_TYPECHECK(sinh(x))
617     
618     return sinh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric sinh(numeric)
619 }
620
621 static ex sinh_eval(const ex & x)
622 {
623     if (x.info(info_flags::numeric)) {
624         if (x.is_zero())  // sinh(0) -> 0
625             return _ex0();        
626         if (!x.info(info_flags::crational))  // sinh(float) -> float
627             return sinh_evalf(x);
628     }
629     
630     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
631         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // sinh(I*x) -> I*sin(x)
632         return I*sin(x/I);
633     
634     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
635         ex t = x.op(0);
636         // sinh(asinh(x)) -> x
637         if (is_ex_the_function(x, asinh))
638             return t;
639         // sinh(acosh(x)) -> (x-1)^(1/2) * (x+1)^(1/2)
640         if (is_ex_the_function(x, acosh))
641             return power(t-_ex1(),_ex1_2())*power(t+_ex1(),_ex1_2());
642         // sinh(atanh(x)) -> x*(1-x^2)^(-1/2)
643         if (is_ex_the_function(x, atanh))
644             return t*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
645     }
646     
647     return sinh(x).hold();
648 }
649
650 static ex sinh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
651 {
652     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
653     
654     // d/dx sinh(x) -> cosh(x)
655     return cosh(x);
656 }
657
658 REGISTER_FUNCTION(sinh, eval_func(sinh_eval).
659                         evalf_func(sinh_evalf).
660                         derivative_func(sinh_deriv));
661
662 //////////
663 // hyperbolic cosine (trigonometric function)
664 //////////
665
666 static ex cosh_evalf(const ex & x)
667 {
668     BEGIN_TYPECHECK
669        TYPECHECK(x,numeric)
670     END_TYPECHECK(cosh(x))
671     
672     return cosh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric cosh(numeric)
673 }
674
675 static ex cosh_eval(const ex & x)
676 {
677     if (x.info(info_flags::numeric)) {
678         if (x.is_zero())  // cosh(0) -> 1
679             return _ex1();
680         if (!x.info(info_flags::crational))  // cosh(float) -> float
681             return cosh_evalf(x);
682     }
683     
684     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
685         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // cosh(I*x) -> cos(x)
686         return cos(x/I);
687     
688     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
689         ex t = x.op(0);
690         // cosh(acosh(x)) -> x
691         if (is_ex_the_function(x, acosh))
692             return t;
693         // cosh(asinh(x)) -> (1+x^2)^(1/2)
694         if (is_ex_the_function(x, asinh))
695             return power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex1_2());
696         // cosh(atanh(x)) -> (1-x^2)^(-1/2)
697         if (is_ex_the_function(x, atanh))
698             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
699     }
700     
701     return cosh(x).hold();
702 }
703
704 static ex cosh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
705 {
706     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
707     
708     // d/dx cosh(x) -> sinh(x)
709     return sinh(x);
710 }
711
712 REGISTER_FUNCTION(cosh, eval_func(cosh_eval).
713                         evalf_func(cosh_evalf).
714                         derivative_func(cosh_deriv));
715
716
717 //////////
718 // hyperbolic tangent (trigonometric function)
719 //////////
720
721 static ex tanh_evalf(const ex & x)
722 {
723     BEGIN_TYPECHECK
724        TYPECHECK(x,numeric)
725     END_TYPECHECK(tanh(x))
726     
727     return tanh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric tanh(numeric)
728 }
729
730 static ex tanh_eval(const ex & x)
731 {
732     if (x.info(info_flags::numeric)) {
733         if (x.is_zero())  // tanh(0) -> 0
734             return _ex0();
735         if (!x.info(info_flags::crational))  // tanh(float) -> float
736             return tanh_evalf(x);
737     }
738     
739     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
740         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // tanh(I*x) -> I*tan(x);
741         return I*tan(x/I);
742     
743     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
744         ex t = x.op(0);
745         // tanh(atanh(x)) -> x
746         if (is_ex_the_function(x, atanh))
747             return t;
748         // tanh(asinh(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
749         if (is_ex_the_function(x, asinh))
750             return t*power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
751         // tanh(acosh(x)) -> (x-1)^(1/2)*(x+1)^(1/2)/x
752         if (is_ex_the_function(x, acosh))
753             return power(t-_ex1(),_ex1_2())*power(t+_ex1(),_ex1_2())*power(t,_ex_1());
754     }
755     
756     return tanh(x).hold();
757 }
758
759 static ex tanh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
760 {
761     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
762     
763     // d/dx tanh(x) -> 1-tanh(x)^2
764     return _ex1()-power(tanh(x),_ex2());
765 }
766
767 static ex tanh_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
768 {
769     // method:
770     // Taylor series where there is no pole falls back to tanh_deriv.
771     // On a pole simply expand sinh(x)/cosh(x).
772     const ex x_pt = x.subs(rel);
773     if (!(2*I*x_pt/Pi).info(info_flags::odd))
774         throw do_taylor();  // caught by function::series()
775     // if we got here we have to care for a simple pole
776     return (sinh(x)/cosh(x)).series(rel, order+2);
777 }
778
779 REGISTER_FUNCTION(tanh, eval_func(tanh_eval).
780                         evalf_func(tanh_evalf).
781                         derivative_func(tanh_deriv).
782                         series_func(tanh_series));
783
784 //////////
785 // inverse hyperbolic sine (trigonometric function)
786 //////////
787
788 static ex asinh_evalf(const ex & x)
789 {
790     BEGIN_TYPECHECK
791        TYPECHECK(x,numeric)
792     END_TYPECHECK(asinh(x))
793     
794     return asinh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric asinh(numeric)
795 }
796
797 static ex asinh_eval(const ex & x)
798 {
799     if (x.info(info_flags::numeric)) {
800         // asinh(0) -> 0
801         if (x.is_zero())
802             return _ex0();
803         // asinh(float) -> float
804         if (!x.info(info_flags::crational))
805             return asinh_evalf(x);
806     }
807     
808     return asinh(x).hold();
809 }
810
811 static ex asinh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
812 {
813     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
814     
815     // d/dx asinh(x) -> 1/sqrt(1+x^2)
816     return power(_ex1()+power(x,_ex2()),_ex_1_2());
817 }
818
819 REGISTER_FUNCTION(asinh, eval_func(asinh_eval).
820                          evalf_func(asinh_evalf).
821                          derivative_func(asinh_deriv));
822
823 //////////
824 // inverse hyperbolic cosine (trigonometric function)
825 //////////
826
827 static ex acosh_evalf(const ex & x)
828 {
829     BEGIN_TYPECHECK
830        TYPECHECK(x,numeric)
831     END_TYPECHECK(acosh(x))
832     
833     return acosh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric acosh(numeric)
834 }
835
836 static ex acosh_eval(const ex & x)
837 {
838     if (x.info(info_flags::numeric)) {
839         // acosh(0) -> Pi*I/2
840         if (x.is_zero())
841             return Pi*I*numeric(1,2);
842         // acosh(1) -> 0
843         if (x.is_equal(_ex1()))
844             return _ex0();
845         // acosh(-1) -> Pi*I
846         if (x.is_equal(_ex_1()))
847             return Pi*I;
848         // acosh(float) -> float
849         if (!x.info(info_flags::crational))
850             return acosh_evalf(x);
851     }
852     
853     return acosh(x).hold();
854 }
855
856 static ex acosh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
857 {
858     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
859     
860     // d/dx acosh(x) -> 1/(sqrt(x-1)*sqrt(x+1))
861     return power(x+_ex_1(),_ex_1_2())*power(x+_ex1(),_ex_1_2());
862 }
863
864 REGISTER_FUNCTION(acosh, eval_func(acosh_eval).
865                          evalf_func(acosh_evalf).
866                          derivative_func(acosh_deriv));
867
868 //////////
869 // inverse hyperbolic tangent (trigonometric function)
870 //////////
871
872 static ex atanh_evalf(const ex & x)
873 {
874     BEGIN_TYPECHECK
875        TYPECHECK(x,numeric)
876     END_TYPECHECK(atanh(x))
877     
878     return atanh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric atanh(numeric)
879 }
880
881 static ex atanh_eval(const ex & x)
882 {
883     if (x.info(info_flags::numeric)) {
884         // atanh(0) -> 0
885         if (x.is_zero())
886             return _ex0();
887         // atanh({+|-}1) -> throw
888         if (x.is_equal(_ex1()) || x.is_equal(_ex_1()))
889             throw (std::domain_error("atanh_eval(): logarithmic pole"));
890         // atanh(float) -> float
891         if (!x.info(info_flags::crational))
892             return atanh_evalf(x);
893     }
894     
895     return atanh(x).hold();
896 }
897
898 static ex atanh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
899 {
900     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
901     
902     // d/dx atanh(x) -> 1/(1-x^2)
903     return power(_ex1()-power(x,_ex2()),_ex_1());
904 }
905
906 REGISTER_FUNCTION(atanh, eval_func(atanh_eval).
907                          evalf_func(atanh_evalf).
908                          derivative_func(atanh_deriv));
909
910 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
911 } // namespace GiNaC
912 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC