8705901464af978c08a8042a5e754ff5903ff921
[ginac.git] / ginac / inifcns_trans.cpp
1 /** @file inifcns_trans.cpp
2  *
3  *  Implementation of transcendental (and trigonometric and hyperbolic)
4  *  functions. */
5
6 /*
7  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2000 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
8  *
9  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
10  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
11  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
12  *  (at your option) any later version.
13  *
14  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
15  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
16  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
17  *  GNU General Public License for more details.
18  *
19  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
20  *  along with this program; if not, write to the Free Software
21  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
22  */
23
24 #include <vector>
25 #include <stdexcept>
26
27 #include "inifcns.h"
28 #include "ex.h"
29 #include "constant.h"
30 #include "numeric.h"
31 #include "power.h"
32 #include "relational.h"
33 #include "symbol.h"
34 #include "pseries.h"
35 #include "utils.h"
36
37 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
38 namespace GiNaC {
39 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC
40
41 //////////
42 // exponential function
43 //////////
44
45 static ex exp_evalf(const ex & x)
46 {
47     BEGIN_TYPECHECK
48         TYPECHECK(x,numeric)
49     END_TYPECHECK(exp(x))
50     
51     return exp(ex_to_numeric(x)); // -> numeric exp(numeric)
52 }
53
54 static ex exp_eval(const ex & x)
55 {
56     // exp(0) -> 1
57     if (x.is_zero()) {
58         return _ex1();
59     }
60     // exp(n*Pi*I/2) -> {+1|+I|-1|-I}
61     ex TwoExOverPiI=(_ex2()*x)/(Pi*I);
62     if (TwoExOverPiI.info(info_flags::integer)) {
63         numeric z=mod(ex_to_numeric(TwoExOverPiI),_num4());
64         if (z.is_equal(_num0()))
65             return _ex1();
66         if (z.is_equal(_num1()))
67             return ex(I);
68         if (z.is_equal(_num2()))
69             return _ex_1();
70         if (z.is_equal(_num3()))
71             return ex(-I);
72     }
73     // exp(log(x)) -> x
74     if (is_ex_the_function(x, log))
75         return x.op(0);
76     
77     // exp(float)
78     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
79         return exp_evalf(x);
80     
81     return exp(x).hold();
82 }
83
84 static ex exp_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
85 {
86     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
87
88     // d/dx exp(x) -> exp(x)
89     return exp(x);
90 }
91
92 REGISTER_FUNCTION(exp, eval_func(exp_eval).
93                        evalf_func(exp_evalf).
94                        derivative_func(exp_deriv));
95
96 //////////
97 // natural logarithm
98 //////////
99
100 static ex log_evalf(const ex & x)
101 {
102     BEGIN_TYPECHECK
103         TYPECHECK(x,numeric)
104     END_TYPECHECK(log(x))
105     
106     return log(ex_to_numeric(x)); // -> numeric log(numeric)
107 }
108
109 static ex log_eval(const ex & x)
110 {
111     if (x.info(info_flags::numeric)) {
112         if (x.is_equal(_ex1()))  // log(1) -> 0
113             return _ex0();
114         if (x.is_equal(_ex_1())) // log(-1) -> I*Pi
115             return (I*Pi);        
116         if (x.is_equal(I))       // log(I) -> Pi*I/2
117             return (Pi*I*_num1_2());
118         if (x.is_equal(-I))      // log(-I) -> -Pi*I/2
119             return (Pi*I*_num_1_2());
120         if (x.is_equal(_ex0()))  // log(0) -> infinity
121             throw(std::domain_error("log_eval(): log(0)"));
122         // log(float)
123         if (!x.info(info_flags::crational))
124             return log_evalf(x);
125     }
126     // log(exp(t)) -> t (if -Pi < t.imag() <= Pi):
127     if (is_ex_the_function(x, exp)) {
128         ex t = x.op(0);
129         if (t.info(info_flags::numeric)) {
130             numeric nt = ex_to_numeric(t);
131             if (nt.is_real())
132                 return t;
133         }
134     }
135     
136     return log(x).hold();
137 }
138
139 static ex log_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
140 {
141     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
142
143     // d/dx log(x) -> 1/x
144     return power(x, _ex_1());
145 }
146
147 /*static ex log_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
148 {
149     const ex x_pt = x.subs(rel);
150     if (!x_pt.info(info_flags::negative) && !x_pt.is_zero())
151         throw do_taylor();  // caught by function::series()
152     // now we either have to care for the branch cut or the branch point:
153     if (x_pt.is_zero()) {  // branch point: return a plain log(x).
154         epvector seq;
155         seq.push_back(expair(log(x), _ex0()));
156         return pseries(rel, seq);
157     } // the branch cut:
158     const ex point = rel.rhs();
159     const symbol *s = static_cast<symbol *>(rel.lhs().bp);
160     const symbol foo;
161     // compute the formal series:
162     ex replx = series(log(x),*s==foo,order).subs(foo==point);
163     epvector seq;
164     // FIXME: this is probably off by 2 or so:
165     seq.push_back(expair(-I*csgn(x*I)*Pi,_ex0()));
166     seq.push_back(expair(Order(_ex1()),order));
167     return series(replx + pseries(rel, seq),rel,order);
168 }*/
169
170 static ex log_series(const ex &x, const relational &r, int order)
171 {
172         if (x.subs(r).is_zero()) {
173                 epvector seq;
174                 seq.push_back(expair(log(x), _ex0()));
175                 return pseries(r, seq);
176         } else
177                 throw do_taylor();
178 }
179
180 REGISTER_FUNCTION(log, eval_func(log_eval).
181                        evalf_func(log_evalf).
182                        derivative_func(log_deriv).
183                        series_func(log_series));
184
185 //////////
186 // sine (trigonometric function)
187 //////////
188
189 static ex sin_evalf(const ex & x)
190 {
191     BEGIN_TYPECHECK
192        TYPECHECK(x,numeric)
193     END_TYPECHECK(sin(x))
194     
195     return sin(ex_to_numeric(x)); // -> numeric sin(numeric)
196 }
197
198 static ex sin_eval(const ex & x)
199 {
200     // sin(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
201     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
202     ex sign = _ex1();
203     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
204         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num120());
205         if (z>=_num60()) {
206             // wrap to interval [0, Pi)
207             z -= _num60();
208             sign = _ex_1();
209         }
210         if (z>_num30()) {
211             // wrap to interval [0, Pi/2)
212             z = _num60()-z;
213         }
214         if (z.is_equal(_num0()))  // sin(0)       -> 0
215             return _ex0();
216         if (z.is_equal(_num5()))  // sin(Pi/12)   -> sqrt(6)/4*(1-sqrt(3)/3)
217             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex_1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
218         if (z.is_equal(_num6()))  // sin(Pi/10)   -> sqrt(5)/4-1/4
219             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex_1_4());
220         if (z.is_equal(_num10())) // sin(Pi/6)    -> 1/2
221             return sign*_ex1_2();
222         if (z.is_equal(_num15())) // sin(Pi/4)    -> sqrt(2)/2
223             return sign*_ex1_2()*power(_ex2(),_ex1_2());
224         if (z.is_equal(_num18())) // sin(3/10*Pi) -> sqrt(5)/4+1/4
225             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex1_4());
226         if (z.is_equal(_num20())) // sin(Pi/3)    -> sqrt(3)/2
227             return sign*_ex1_2()*power(_ex3(),_ex1_2());
228         if (z.is_equal(_num25())) // sin(5/12*Pi) -> sqrt(6)/4*(1+sqrt(3)/3)
229             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
230         if (z.is_equal(_num30())) // sin(Pi/2)    -> 1
231             return sign*_ex1();
232     }
233     
234     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
235         ex t = x.op(0);
236         // sin(asin(x)) -> x
237         if (is_ex_the_function(x, asin))
238             return t;
239         // sin(acos(x)) -> sqrt(1-x^2)
240         if (is_ex_the_function(x, acos))
241             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
242         // sin(atan(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
243         if (is_ex_the_function(x, atan))
244             return t*power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
245     }
246     
247     // sin(float) -> float
248     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
249         return sin_evalf(x);
250     
251     return sin(x).hold();
252 }
253
254 static ex sin_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
255 {
256     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
257     
258     // d/dx sin(x) -> cos(x)
259     return cos(x);
260 }
261
262 REGISTER_FUNCTION(sin, eval_func(sin_eval).
263                        evalf_func(sin_evalf).
264                        derivative_func(sin_deriv));
265
266 //////////
267 // cosine (trigonometric function)
268 //////////
269
270 static ex cos_evalf(const ex & x)
271 {
272     BEGIN_TYPECHECK
273         TYPECHECK(x,numeric)
274     END_TYPECHECK(cos(x))
275     
276     return cos(ex_to_numeric(x)); // -> numeric cos(numeric)
277 }
278
279 static ex cos_eval(const ex & x)
280 {
281     // cos(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
282     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
283     ex sign = _ex1();
284     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
285         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num120());
286         if (z>=_num60()) {
287             // wrap to interval [0, Pi)
288             z = _num120()-z;
289         }
290         if (z>=_num30()) {
291             // wrap to interval [0, Pi/2)
292             z = _num60()-z;
293             sign = _ex_1();
294         }
295         if (z.is_equal(_num0()))  // cos(0)       -> 1
296             return sign*_ex1();
297         if (z.is_equal(_num5()))  // cos(Pi/12)   -> sqrt(6)/4*(1+sqrt(3)/3)
298             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
299         if (z.is_equal(_num10())) // cos(Pi/6)    -> sqrt(3)/2
300             return sign*_ex1_2()*power(_ex3(),_ex1_2());
301         if (z.is_equal(_num12())) // cos(Pi/5)    -> sqrt(5)/4+1/4
302             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex1_4());
303         if (z.is_equal(_num15())) // cos(Pi/4)    -> sqrt(2)/2
304             return sign*_ex1_2()*power(_ex2(),_ex1_2());
305         if (z.is_equal(_num20())) // cos(Pi/3)    -> 1/2
306             return sign*_ex1_2();
307         if (z.is_equal(_num24())) // cos(2/5*Pi)  -> sqrt(5)/4-1/4x
308             return sign*(_ex1_4()*power(_ex5(),_ex1_2())+_ex_1_4());
309         if (z.is_equal(_num25())) // cos(5/12*Pi) -> sqrt(6)/4*(1-sqrt(3)/3)
310             return sign*_ex1_4()*power(_ex6(),_ex1_2())*(_ex1()+_ex_1_3()*power(_ex3(),_ex1_2()));
311         if (z.is_equal(_num30())) // cos(Pi/2)    -> 0
312             return sign*_ex0();
313     }
314     
315     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
316         ex t = x.op(0);
317         // cos(acos(x)) -> x
318         if (is_ex_the_function(x, acos))
319             return t;
320         // cos(asin(x)) -> (1-x^2)^(1/2)
321         if (is_ex_the_function(x, asin))
322             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
323         // cos(atan(x)) -> (1+x^2)^(-1/2)
324         if (is_ex_the_function(x, atan))
325             return power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
326     }
327     
328     // cos(float) -> float
329     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational))
330         return cos_evalf(x);
331     
332     return cos(x).hold();
333 }
334
335 static ex cos_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
336 {
337     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
338
339     // d/dx cos(x) -> -sin(x)
340     return _ex_1()*sin(x);
341 }
342
343 REGISTER_FUNCTION(cos, eval_func(cos_eval).
344                        evalf_func(cos_evalf).
345                        derivative_func(cos_deriv));
346
347 //////////
348 // tangent (trigonometric function)
349 //////////
350
351 static ex tan_evalf(const ex & x)
352 {
353     BEGIN_TYPECHECK
354        TYPECHECK(x,numeric)
355     END_TYPECHECK(tan(x)) // -> numeric tan(numeric)
356     
357     return tan(ex_to_numeric(x));
358 }
359
360 static ex tan_eval(const ex & x)
361 {
362     // tan(n/d*Pi) -> { all known non-nested radicals }
363     ex SixtyExOverPi = _ex60()*x/Pi;
364     ex sign = _ex1();
365     if (SixtyExOverPi.info(info_flags::integer)) {
366         numeric z = mod(ex_to_numeric(SixtyExOverPi),_num60());
367         if (z>=_num60()) {
368             // wrap to interval [0, Pi)
369             z -= _num60();
370         }
371         if (z>=_num30()) {
372             // wrap to interval [0, Pi/2)
373             z = _num60()-z;
374             sign = _ex_1();
375         }
376         if (z.is_equal(_num0()))  // tan(0)       -> 0
377             return _ex0();
378         if (z.is_equal(_num5()))  // tan(Pi/12)   -> 2-sqrt(3)
379             return sign*(_ex2()-power(_ex3(),_ex1_2()));
380         if (z.is_equal(_num10())) // tan(Pi/6)    -> sqrt(3)/3
381             return sign*_ex1_3()*power(_ex3(),_ex1_2());
382         if (z.is_equal(_num15())) // tan(Pi/4)    -> 1
383             return sign*_ex1();
384         if (z.is_equal(_num20())) // tan(Pi/3)    -> sqrt(3)
385             return sign*power(_ex3(),_ex1_2());
386         if (z.is_equal(_num25())) // tan(5/12*Pi) -> 2+sqrt(3)
387             return sign*(power(_ex3(),_ex1_2())+_ex2());
388         if (z.is_equal(_num30())) // tan(Pi/2)    -> infinity
389             throw (std::domain_error("tan_eval(): infinity"));
390     }
391     
392     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
393         ex t = x.op(0);
394         // tan(atan(x)) -> x
395         if (is_ex_the_function(x, atan))
396             return t;
397         // tan(asin(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
398         if (is_ex_the_function(x, asin))
399             return t*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
400         // tan(acos(x)) -> (1-x^2)^(1/2)/x
401         if (is_ex_the_function(x, acos))
402             return power(t,_ex_1())*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex1_2());
403     }
404     
405     // tan(float) -> float
406     if (x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational)) {
407         return tan_evalf(x);
408     }
409     
410     return tan(x).hold();
411 }
412
413 static ex tan_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
414 {
415     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
416     
417     // d/dx tan(x) -> 1+tan(x)^2;
418     return (_ex1()+power(tan(x),_ex2()));
419 }
420
421 static ex tan_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
422 {
423     // method:
424     // Taylor series where there is no pole falls back to tan_deriv.
425     // On a pole simply expand sin(x)/cos(x).
426     const ex x_pt = x.subs(rel);
427     if (!(2*x_pt/Pi).info(info_flags::odd))
428         throw do_taylor();  // caught by function::series()
429     // if we got here we have to care for a simple pole
430     return (sin(x)/cos(x)).series(rel, order+2);
431 }
432
433 REGISTER_FUNCTION(tan, eval_func(tan_eval).
434                        evalf_func(tan_evalf).
435                        derivative_func(tan_deriv).
436                        series_func(tan_series));
437
438 //////////
439 // inverse sine (arc sine)
440 //////////
441
442 static ex asin_evalf(const ex & x)
443 {
444     BEGIN_TYPECHECK
445        TYPECHECK(x,numeric)
446     END_TYPECHECK(asin(x))
447     
448     return asin(ex_to_numeric(x)); // -> numeric asin(numeric)
449 }
450
451 static ex asin_eval(const ex & x)
452 {
453     if (x.info(info_flags::numeric)) {
454         // asin(0) -> 0
455         if (x.is_zero())
456             return x;
457         // asin(1/2) -> Pi/6
458         if (x.is_equal(_ex1_2()))
459             return numeric(1,6)*Pi;
460         // asin(1) -> Pi/2
461         if (x.is_equal(_ex1()))
462             return _num1_2()*Pi;
463         // asin(-1/2) -> -Pi/6
464         if (x.is_equal(_ex_1_2()))
465             return numeric(-1,6)*Pi;
466         // asin(-1) -> -Pi/2
467         if (x.is_equal(_ex_1()))
468             return _num_1_2()*Pi;
469         // asin(float) -> float
470         if (!x.info(info_flags::crational))
471             return asin_evalf(x);
472     }
473     
474     return asin(x).hold();
475 }
476
477 static ex asin_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
478 {
479     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
480     
481     // d/dx asin(x) -> 1/sqrt(1-x^2)
482     return power(1-power(x,_ex2()),_ex_1_2());
483 }
484
485 REGISTER_FUNCTION(asin, eval_func(asin_eval).
486                         evalf_func(asin_evalf).
487                         derivative_func(asin_deriv));
488
489 //////////
490 // inverse cosine (arc cosine)
491 //////////
492
493 static ex acos_evalf(const ex & x)
494 {
495     BEGIN_TYPECHECK
496        TYPECHECK(x,numeric)
497     END_TYPECHECK(acos(x))
498     
499     return acos(ex_to_numeric(x)); // -> numeric acos(numeric)
500 }
501
502 static ex acos_eval(const ex & x)
503 {
504     if (x.info(info_flags::numeric)) {
505         // acos(1) -> 0
506         if (x.is_equal(_ex1()))
507             return _ex0();
508         // acos(1/2) -> Pi/3
509         if (x.is_equal(_ex1_2()))
510             return _ex1_3()*Pi;
511         // acos(0) -> Pi/2
512         if (x.is_zero())
513             return _ex1_2()*Pi;
514         // acos(-1/2) -> 2/3*Pi
515         if (x.is_equal(_ex_1_2()))
516             return numeric(2,3)*Pi;
517         // acos(-1) -> Pi
518         if (x.is_equal(_ex_1()))
519             return Pi;
520         // acos(float) -> float
521         if (!x.info(info_flags::crational))
522             return acos_evalf(x);
523     }
524     
525     return acos(x).hold();
526 }
527
528 static ex acos_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
529 {
530     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
531     
532     // d/dx acos(x) -> -1/sqrt(1-x^2)
533     return _ex_1()*power(1-power(x,_ex2()),_ex_1_2());
534 }
535
536 REGISTER_FUNCTION(acos, eval_func(acos_eval).
537                         evalf_func(acos_evalf).
538                         derivative_func(acos_deriv));
539
540 //////////
541 // inverse tangent (arc tangent)
542 //////////
543
544 static ex atan_evalf(const ex & x)
545 {
546     BEGIN_TYPECHECK
547         TYPECHECK(x,numeric)
548     END_TYPECHECK(atan(x))
549     
550     return atan(ex_to_numeric(x)); // -> numeric atan(numeric)
551 }
552
553 static ex atan_eval(const ex & x)
554 {
555     if (x.info(info_flags::numeric)) {
556         // atan(0) -> 0
557         if (x.is_equal(_ex0()))
558             return _ex0();
559         // atan(float) -> float
560         if (!x.info(info_flags::crational))
561             return atan_evalf(x);
562     }
563     
564     return atan(x).hold();
565 }    
566
567 static ex atan_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
568 {
569     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
570
571     // d/dx atan(x) -> 1/(1+x^2)
572     return power(_ex1()+power(x,_ex2()), _ex_1());
573 }
574
575 REGISTER_FUNCTION(atan, eval_func(atan_eval).
576                         evalf_func(atan_evalf).
577                         derivative_func(atan_deriv));
578
579 //////////
580 // inverse tangent (atan2(y,x))
581 //////////
582
583 static ex atan2_evalf(const ex & y, const ex & x)
584 {
585     BEGIN_TYPECHECK
586         TYPECHECK(y,numeric)
587         TYPECHECK(x,numeric)
588     END_TYPECHECK(atan2(y,x))
589     
590     return atan(ex_to_numeric(y),ex_to_numeric(x)); // -> numeric atan(numeric)
591 }
592
593 static ex atan2_eval(const ex & y, const ex & x)
594 {
595     if (y.info(info_flags::numeric) && !y.info(info_flags::crational) &&
596         x.info(info_flags::numeric) && !x.info(info_flags::crational)) {
597         return atan2_evalf(y,x);
598     }
599     
600     return atan2(y,x).hold();
601 }    
602
603 static ex atan2_deriv(const ex & y, const ex & x, unsigned deriv_param)
604 {
605     GINAC_ASSERT(deriv_param<2);
606     
607     if (deriv_param==0) {
608         // d/dy atan(y,x)
609         return x*power(power(x,_ex2())+power(y,_ex2()),_ex_1());
610     }
611     // d/dx atan(y,x)
612     return -y*power(power(x,_ex2())+power(y,_ex2()),_ex_1());
613 }
614
615 REGISTER_FUNCTION(atan2, eval_func(atan2_eval).
616                          evalf_func(atan2_evalf).
617                          derivative_func(atan2_deriv));
618
619 //////////
620 // hyperbolic sine (trigonometric function)
621 //////////
622
623 static ex sinh_evalf(const ex & x)
624 {
625     BEGIN_TYPECHECK
626        TYPECHECK(x,numeric)
627     END_TYPECHECK(sinh(x))
628     
629     return sinh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric sinh(numeric)
630 }
631
632 static ex sinh_eval(const ex & x)
633 {
634     if (x.info(info_flags::numeric)) {
635         if (x.is_zero())  // sinh(0) -> 0
636             return _ex0();        
637         if (!x.info(info_flags::crational))  // sinh(float) -> float
638             return sinh_evalf(x);
639     }
640     
641     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
642         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // sinh(I*x) -> I*sin(x)
643         return I*sin(x/I);
644     
645     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
646         ex t = x.op(0);
647         // sinh(asinh(x)) -> x
648         if (is_ex_the_function(x, asinh))
649             return t;
650         // sinh(acosh(x)) -> (x-1)^(1/2) * (x+1)^(1/2)
651         if (is_ex_the_function(x, acosh))
652             return power(t-_ex1(),_ex1_2())*power(t+_ex1(),_ex1_2());
653         // sinh(atanh(x)) -> x*(1-x^2)^(-1/2)
654         if (is_ex_the_function(x, atanh))
655             return t*power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
656     }
657     
658     return sinh(x).hold();
659 }
660
661 static ex sinh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
662 {
663     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
664     
665     // d/dx sinh(x) -> cosh(x)
666     return cosh(x);
667 }
668
669 REGISTER_FUNCTION(sinh, eval_func(sinh_eval).
670                         evalf_func(sinh_evalf).
671                         derivative_func(sinh_deriv));
672
673 //////////
674 // hyperbolic cosine (trigonometric function)
675 //////////
676
677 static ex cosh_evalf(const ex & x)
678 {
679     BEGIN_TYPECHECK
680        TYPECHECK(x,numeric)
681     END_TYPECHECK(cosh(x))
682     
683     return cosh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric cosh(numeric)
684 }
685
686 static ex cosh_eval(const ex & x)
687 {
688     if (x.info(info_flags::numeric)) {
689         if (x.is_zero())  // cosh(0) -> 1
690             return _ex1();
691         if (!x.info(info_flags::crational))  // cosh(float) -> float
692             return cosh_evalf(x);
693     }
694     
695     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
696         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // cosh(I*x) -> cos(x)
697         return cos(x/I);
698     
699     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
700         ex t = x.op(0);
701         // cosh(acosh(x)) -> x
702         if (is_ex_the_function(x, acosh))
703             return t;
704         // cosh(asinh(x)) -> (1+x^2)^(1/2)
705         if (is_ex_the_function(x, asinh))
706             return power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex1_2());
707         // cosh(atanh(x)) -> (1-x^2)^(-1/2)
708         if (is_ex_the_function(x, atanh))
709             return power(_ex1()-power(t,_ex2()),_ex_1_2());
710     }
711     
712     return cosh(x).hold();
713 }
714
715 static ex cosh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
716 {
717     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
718     
719     // d/dx cosh(x) -> sinh(x)
720     return sinh(x);
721 }
722
723 REGISTER_FUNCTION(cosh, eval_func(cosh_eval).
724                         evalf_func(cosh_evalf).
725                         derivative_func(cosh_deriv));
726
727
728 //////////
729 // hyperbolic tangent (trigonometric function)
730 //////////
731
732 static ex tanh_evalf(const ex & x)
733 {
734     BEGIN_TYPECHECK
735        TYPECHECK(x,numeric)
736     END_TYPECHECK(tanh(x))
737     
738     return tanh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric tanh(numeric)
739 }
740
741 static ex tanh_eval(const ex & x)
742 {
743     if (x.info(info_flags::numeric)) {
744         if (x.is_zero())  // tanh(0) -> 0
745             return _ex0();
746         if (!x.info(info_flags::crational))  // tanh(float) -> float
747             return tanh_evalf(x);
748     }
749     
750     if ((x/Pi).info(info_flags::numeric) &&
751         ex_to_numeric(x/Pi).real().is_zero())  // tanh(I*x) -> I*tan(x);
752         return I*tan(x/I);
753     
754     if (is_ex_exactly_of_type(x, function)) {
755         ex t = x.op(0);
756         // tanh(atanh(x)) -> x
757         if (is_ex_the_function(x, atanh))
758             return t;
759         // tanh(asinh(x)) -> x*(1+x^2)^(-1/2)
760         if (is_ex_the_function(x, asinh))
761             return t*power(_ex1()+power(t,_ex2()),_ex_1_2());
762         // tanh(acosh(x)) -> (x-1)^(1/2)*(x+1)^(1/2)/x
763         if (is_ex_the_function(x, acosh))
764             return power(t-_ex1(),_ex1_2())*power(t+_ex1(),_ex1_2())*power(t,_ex_1());
765     }
766     
767     return tanh(x).hold();
768 }
769
770 static ex tanh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
771 {
772     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
773     
774     // d/dx tanh(x) -> 1-tanh(x)^2
775     return _ex1()-power(tanh(x),_ex2());
776 }
777
778 static ex tanh_series(const ex &x, const relational &rel, int order)
779 {
780     // method:
781     // Taylor series where there is no pole falls back to tanh_deriv.
782     // On a pole simply expand sinh(x)/cosh(x).
783     const ex x_pt = x.subs(rel);
784     if (!(2*I*x_pt/Pi).info(info_flags::odd))
785         throw do_taylor();  // caught by function::series()
786     // if we got here we have to care for a simple pole
787     return (sinh(x)/cosh(x)).series(rel, order+2);
788 }
789
790 REGISTER_FUNCTION(tanh, eval_func(tanh_eval).
791                         evalf_func(tanh_evalf).
792                         derivative_func(tanh_deriv).
793                         series_func(tanh_series));
794
795 //////////
796 // inverse hyperbolic sine (trigonometric function)
797 //////////
798
799 static ex asinh_evalf(const ex & x)
800 {
801     BEGIN_TYPECHECK
802        TYPECHECK(x,numeric)
803     END_TYPECHECK(asinh(x))
804     
805     return asinh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric asinh(numeric)
806 }
807
808 static ex asinh_eval(const ex & x)
809 {
810     if (x.info(info_flags::numeric)) {
811         // asinh(0) -> 0
812         if (x.is_zero())
813             return _ex0();
814         // asinh(float) -> float
815         if (!x.info(info_flags::crational))
816             return asinh_evalf(x);
817     }
818     
819     return asinh(x).hold();
820 }
821
822 static ex asinh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
823 {
824     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
825     
826     // d/dx asinh(x) -> 1/sqrt(1+x^2)
827     return power(_ex1()+power(x,_ex2()),_ex_1_2());
828 }
829
830 REGISTER_FUNCTION(asinh, eval_func(asinh_eval).
831                          evalf_func(asinh_evalf).
832                          derivative_func(asinh_deriv));
833
834 //////////
835 // inverse hyperbolic cosine (trigonometric function)
836 //////////
837
838 static ex acosh_evalf(const ex & x)
839 {
840     BEGIN_TYPECHECK
841        TYPECHECK(x,numeric)
842     END_TYPECHECK(acosh(x))
843     
844     return acosh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric acosh(numeric)
845 }
846
847 static ex acosh_eval(const ex & x)
848 {
849     if (x.info(info_flags::numeric)) {
850         // acosh(0) -> Pi*I/2
851         if (x.is_zero())
852             return Pi*I*numeric(1,2);
853         // acosh(1) -> 0
854         if (x.is_equal(_ex1()))
855             return _ex0();
856         // acosh(-1) -> Pi*I
857         if (x.is_equal(_ex_1()))
858             return Pi*I;
859         // acosh(float) -> float
860         if (!x.info(info_flags::crational))
861             return acosh_evalf(x);
862     }
863     
864     return acosh(x).hold();
865 }
866
867 static ex acosh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
868 {
869     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
870     
871     // d/dx acosh(x) -> 1/(sqrt(x-1)*sqrt(x+1))
872     return power(x+_ex_1(),_ex_1_2())*power(x+_ex1(),_ex_1_2());
873 }
874
875 REGISTER_FUNCTION(acosh, eval_func(acosh_eval).
876                          evalf_func(acosh_evalf).
877                          derivative_func(acosh_deriv));
878
879 //////////
880 // inverse hyperbolic tangent (trigonometric function)
881 //////////
882
883 static ex atanh_evalf(const ex & x)
884 {
885     BEGIN_TYPECHECK
886        TYPECHECK(x,numeric)
887     END_TYPECHECK(atanh(x))
888     
889     return atanh(ex_to_numeric(x)); // -> numeric atanh(numeric)
890 }
891
892 static ex atanh_eval(const ex & x)
893 {
894     if (x.info(info_flags::numeric)) {
895         // atanh(0) -> 0
896         if (x.is_zero())
897             return _ex0();
898         // atanh({+|-}1) -> throw
899         if (x.is_equal(_ex1()) || x.is_equal(_ex1()))
900             throw (std::domain_error("atanh_eval(): infinity"));
901         // atanh(float) -> float
902         if (!x.info(info_flags::crational))
903             return atanh_evalf(x);
904     }
905     
906     return atanh(x).hold();
907 }
908
909 static ex atanh_deriv(const ex & x, unsigned deriv_param)
910 {
911     GINAC_ASSERT(deriv_param==0);
912     
913     // d/dx atanh(x) -> 1/(1-x^2)
914     return power(_ex1()-power(x,_ex2()),_ex_1());
915 }
916
917 REGISTER_FUNCTION(atanh, eval_func(atanh_eval).
918                          evalf_func(atanh_evalf).
919                          derivative_func(atanh_deriv));
920
921 #ifndef NO_NAMESPACE_GINAC
922 } // namespace GiNaC
923 #endif // ndef NO_NAMESPACE_GINAC