Update copyright statements.
[ginac.git] / ginac / inifcns_nstdsums.cpp
1 /** @file inifcns_nstdsums.cpp
2  *
3  *  Implementation of some special functions that have a representation as nested sums.
4  *
5  *  The functions are:
6  *    classical polylogarithm              Li(n,x)
7  *    multiple polylogarithm               Li(lst(m_1,...,m_k),lst(x_1,...,x_k))
8  *                                         G(lst(a_1,...,a_k),y) or G(lst(a_1,...,a_k),lst(s_1,...,s_k),y)
9  *    Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
10  *    harmonic polylogarithm               H(m,x) or H(lst(m_1,...,m_k),x)
11  *    multiple zeta value                  zeta(m) or zeta(lst(m_1,...,m_k))
12  *    alternating Euler sum                zeta(m,s) or zeta(lst(m_1,...,m_k),lst(s_1,...,s_k))
13  *
14  *  Some remarks:
15  *
16  *    - All formulae used can be looked up in the following publications:
17  *      [Kol] Nielsen's Generalized Polylogarithms, K.S.Kolbig, SIAM J.Math.Anal. 17 (1986), pp. 1232-1258.
18  *      [Cra] Fast Evaluation of Multiple Zeta Sums, R.E.Crandall, Math.Comp. 67 (1998), pp. 1163-1172.
19  *      [ReV] Harmonic Polylogarithms, E.Remiddi, J.A.M.Vermaseren, Int.J.Mod.Phys. A15 (2000), pp. 725-754
20  *      [BBB] Special Values of Multiple Polylogarithms, J.Borwein, D.Bradley, D.Broadhurst, P.Lisonek, Trans.Amer.Math.Soc. 353/3 (2001), pp. 907-941
21  *      [VSW] Numerical evaluation of multiple polylogarithms, J.Vollinga, S.Weinzierl, hep-ph/0410259
22  *
23  *    - The order of parameters and arguments of Li and zeta is defined according to the nested sums
24  *      representation. The parameters for H are understood as in [ReV]. They can be in expanded --- only
25  *      0, 1 and -1 --- or in compactified --- a string with zeros in front of 1 or -1 is written as a single
26  *      number --- notation.
27  *
28  *    - All functions can be nummerically evaluated with arguments in the whole complex plane. The parameters
29  *      for Li, zeta and S must be positive integers. If you want to have an alternating Euler sum, you have
30  *      to give the signs of the parameters as a second argument s to zeta(m,s) containing 1 and -1.
31  *
32  *    - The calculation of classical polylogarithms is speeded up by using Bernoulli numbers and 
33  *      look-up tables. S uses look-up tables as well. The zeta function applies the algorithms in
34  *      [Cra] and [BBB] for speed up. Multiple polylogarithms use Hoelder convolution [BBB].
35  *
36  *    - The functions have no means to do a series expansion into nested sums. To do this, you have to convert
37  *      these functions into the appropriate objects from the nestedsums library, do the expansion and convert
38  *      the result back.
39  *
40  *    - Numerical testing of this implementation has been performed by doing a comparison of results
41  *      between this software and the commercial M.......... 4.1. Multiple zeta values have been checked
42  *      by means of evaluations into simple zeta values. Harmonic polylogarithms have been checked by
43  *      comparison to S(n,p,x) for corresponding parameter combinations and by continuity checks
44  *      around |x|=1 along with comparisons to corresponding zeta functions. Multiple polylogarithms were
45  *      checked against H and zeta and by means of shuffle and quasi-shuffle relations.
46  *
47  */
48
49 /*
50  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2014 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
51  *
52  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
53  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
54  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
55  *  (at your option) any later version.
56  *
57  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
58  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
59  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
60  *  GNU General Public License for more details.
61  *
62  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
63  *  along with this program; if not, write to the Free Software
64  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
65  */
66
67 #include "inifcns.h"
68
69 #include "add.h"
70 #include "constant.h"
71 #include "lst.h"
72 #include "mul.h"
73 #include "numeric.h"
74 #include "operators.h"
75 #include "power.h"
76 #include "pseries.h"
77 #include "relational.h"
78 #include "symbol.h"
79 #include "utils.h"
80 #include "wildcard.h"
81
82 #include <cln/cln.h>
83 #include <sstream>
84 #include <stdexcept>
85 #include <vector>
86
87 namespace GiNaC {
88
89
90 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
91 //
92 // Classical polylogarithm  Li(n,x)
93 //
94 // helper functions
95 //
96 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
97
98
99 // anonymous namespace for helper functions
100 namespace {
101
102
103 // lookup table for factors built from Bernoulli numbers
104 // see fill_Xn()
105 std::vector<std::vector<cln::cl_N> > Xn;
106 // initial size of Xn that should suffice for 32bit machines (must be even)
107 const int xninitsizestep = 26;
108 int xninitsize = xninitsizestep;
109 int xnsize = 0;
110
111
112 // This function calculates the X_n. The X_n are needed for speed up of classical polylogarithms.
113 // With these numbers the polylogs can be calculated as follows:
114 //   Li_p (x)  =  \sum_{n=0}^\infty X_{p-2}(n) u^{n+1}/(n+1)! with  u = -log(1-x)
115 //   X_0(n) = B_n (Bernoulli numbers)
116 //   X_p(n) = \sum_{k=0}^n binomial(n,k) B_{n-k} / (k+1) * X_{p-1}(k)
117 // The calculation of Xn depends on X0 and X{n-1}.
118 // X_0 is special, it holds only the non-zero Bernoulli numbers with index 2 or greater.
119 // This results in a slightly more complicated algorithm for the X_n.
120 // The first index in Xn corresponds to the index of the polylog minus 2.
121 // The second index in Xn corresponds to the index from the actual sum.
122 void fill_Xn(int n)
123 {
124         if (n>1) {
125                 // calculate X_2 and higher (corresponding to Li_4 and higher)
126                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize);
127                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = buf.begin();
128                 cln::cl_N result;
129                 *it = -(cln::expt(cln::cl_I(2),n+1) - 1) / cln::expt(cln::cl_I(2),n+1); // i == 1
130                 it++;
131                 for (int i=2; i<=xninitsize; i++) {
132                         if (i&1) {
133                                 result = 0; // k == 0
134                         } else {
135                                 result = Xn[0][i/2-1]; // k == 0
136                         }
137                         for (int k=1; k<i-1; k++) {
138                                 if ( !(((i-k) & 1) && ((i-k) > 1)) ) {
139                                         result = result + cln::binomial(i,k) * Xn[0][(i-k)/2-1] * Xn[n-1][k-1] / (k+1);
140                                 }
141                         }
142                         result = result - cln::binomial(i,i-1) * Xn[n-1][i-2] / 2 / i; // k == i-1
143                         result = result + Xn[n-1][i-1] / (i+1); // k == i
144                         
145                         *it = result;
146                         it++;
147                 }
148                 Xn.push_back(buf);
149         } else if (n==1) {
150                 // special case to handle the X_0 correct
151                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize);
152                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = buf.begin();
153                 cln::cl_N result;
154                 *it = cln::cl_I(-3)/cln::cl_I(4); // i == 1
155                 it++;
156                 *it = cln::cl_I(17)/cln::cl_I(36); // i == 2
157                 it++;
158                 for (int i=3; i<=xninitsize; i++) {
159                         if (i & 1) {
160                                 result = -Xn[0][(i-3)/2]/2;
161                                 *it = (cln::binomial(i,1)/cln::cl_I(2) + cln::binomial(i,i-1)/cln::cl_I(i))*result;
162                                 it++;
163                         } else {
164                                 result = Xn[0][i/2-1] + Xn[0][i/2-1]/(i+1);
165                                 for (int k=1; k<i/2; k++) {
166                                         result = result + cln::binomial(i,k*2) * Xn[0][k-1] * Xn[0][i/2-k-1] / (k*2+1);
167                                 }
168                                 *it = result;
169                                 it++;
170                         }
171                 }
172                 Xn.push_back(buf);
173         } else {
174                 // calculate X_0
175                 std::vector<cln::cl_N> buf(xninitsize/2);
176                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = buf.begin();
177                 for (int i=1; i<=xninitsize/2; i++) {
178                         *it = bernoulli(i*2).to_cl_N();
179                         it++;
180                 }
181                 Xn.push_back(buf);
182         }
183
184         xnsize++;
185 }
186
187 // doubles the number of entries in each Xn[]
188 void double_Xn()
189 {
190         const int pos0 = xninitsize / 2;
191         // X_0
192         for (int i=1; i<=xninitsizestep/2; ++i) {
193                 Xn[0].push_back(bernoulli((i+pos0)*2).to_cl_N());
194         }
195         if (Xn.size() > 1) {
196                 int xend = xninitsize + xninitsizestep;
197                 cln::cl_N result;
198                 // X_1
199                 for (int i=xninitsize+1; i<=xend; ++i) {
200                         if (i & 1) {
201                                 result = -Xn[0][(i-3)/2]/2;
202                                 Xn[1].push_back((cln::binomial(i,1)/cln::cl_I(2) + cln::binomial(i,i-1)/cln::cl_I(i))*result);
203                         } else {
204                                 result = Xn[0][i/2-1] + Xn[0][i/2-1]/(i+1);
205                                 for (int k=1; k<i/2; k++) {
206                                         result = result + cln::binomial(i,k*2) * Xn[0][k-1] * Xn[0][i/2-k-1] / (k*2+1);
207                                 }
208                                 Xn[1].push_back(result);
209                         }
210                 }
211                 // X_n
212                 for (size_t n=2; n<Xn.size(); ++n) {
213                         for (int i=xninitsize+1; i<=xend; ++i) {
214                                 if (i & 1) {
215                                         result = 0; // k == 0
216                                 } else {
217                                         result = Xn[0][i/2-1]; // k == 0
218                                 }
219                                 for (int k=1; k<i-1; ++k) {
220                                         if ( !(((i-k) & 1) && ((i-k) > 1)) ) {
221                                                 result = result + cln::binomial(i,k) * Xn[0][(i-k)/2-1] * Xn[n-1][k-1] / (k+1);
222                                         }
223                                 }
224                                 result = result - cln::binomial(i,i-1) * Xn[n-1][i-2] / 2 / i; // k == i-1
225                                 result = result + Xn[n-1][i-1] / (i+1); // k == i
226                                 Xn[n].push_back(result);
227                         }
228                 }
229         }
230         xninitsize += xninitsizestep;
231 }
232
233
234 // calculates Li(2,x) without Xn
235 cln::cl_N Li2_do_sum(const cln::cl_N& x)
236 {
237         cln::cl_N res = x;
238         cln::cl_N resbuf;
239         cln::cl_N num = x * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
240         cln::cl_I den = 1; // n^2 = 1
241         unsigned i = 3;
242         do {
243                 resbuf = res;
244                 num = num * x;
245                 den = den + i;  // n^2 = 4, 9, 16, ...
246                 i += 2;
247                 res = res + num / den;
248         } while (res != resbuf);
249         return res;
250 }
251
252
253 // calculates Li(2,x) with Xn
254 cln::cl_N Li2_do_sum_Xn(const cln::cl_N& x)
255 {
256         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator it = Xn[0].begin();
257         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator xend = Xn[0].end();
258         cln::cl_N u = -cln::log(1-x);
259         cln::cl_N factor = u * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
260         cln::cl_N uu = cln::square(u);
261         cln::cl_N res = u - uu/4;
262         cln::cl_N resbuf;
263         unsigned i = 1;
264         do {
265                 resbuf = res;
266                 factor = factor * uu / (2*i * (2*i+1));
267                 res = res + (*it) * factor;
268                 i++;
269                 if (++it == xend) {
270                         double_Xn();
271                         it = Xn[0].begin() + (i-1);
272                         xend = Xn[0].end();
273                 }
274         } while (res != resbuf);
275         return res;
276 }
277
278
279 // calculates Li(n,x), n>2 without Xn
280 cln::cl_N Lin_do_sum(int n, const cln::cl_N& x)
281 {
282         cln::cl_N factor = x * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
283         cln::cl_N res = x;
284         cln::cl_N resbuf;
285         int i=2;
286         do {
287                 resbuf = res;
288                 factor = factor * x;
289                 res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n);
290                 i++;
291         } while (res != resbuf);
292         return res;
293 }
294
295
296 // calculates Li(n,x), n>2 with Xn
297 cln::cl_N Lin_do_sum_Xn(int n, const cln::cl_N& x)
298 {
299         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator it = Xn[n-2].begin();
300         std::vector<cln::cl_N>::const_iterator xend = Xn[n-2].end();
301         cln::cl_N u = -cln::log(1-x);
302         cln::cl_N factor = u * cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
303         cln::cl_N res = u;
304         cln::cl_N resbuf;
305         unsigned i=2;
306         do {
307                 resbuf = res;
308                 factor = factor * u / i;
309                 res = res + (*it) * factor;
310                 i++;
311                 if (++it == xend) {
312                         double_Xn();
313                         it = Xn[n-2].begin() + (i-2);
314                         xend = Xn[n-2].end();
315                 }
316         } while (res != resbuf);
317         return res;
318 }
319
320
321 // forward declaration needed by function Li_projection and C below
322 const cln::cl_N S_num(int n, int p, const cln::cl_N& x);
323
324
325 // helper function for classical polylog Li
326 cln::cl_N Li_projection(int n, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
327 {
328         // treat n=2 as special case
329         if (n == 2) {
330                 // check if precalculated X0 exists
331                 if (xnsize == 0) {
332                         fill_Xn(0);
333                 }
334
335                 if (cln::realpart(x) < 0.5) {
336                         // choose the faster algorithm
337                         // the switching point was empirically determined. the optimal point
338                         // depends on hardware, Digits, ... so an approx value is okay.
339                         // it solves also the problem with precision due to the u=-log(1-x) transformation
340                         if (cln::abs(cln::realpart(x)) < 0.25) {
341                                 
342                                 return Li2_do_sum(x);
343                         } else {
344                                 return Li2_do_sum_Xn(x);
345                         }
346                 } else {
347                         // choose the faster algorithm
348                         if (cln::abs(cln::realpart(x)) > 0.75) {
349                                 if ( x == 1 ) {
350                                         return cln::zeta(2);
351                                 } else {
352                                         return -Li2_do_sum(1-x) - cln::log(x) * cln::log(1-x) + cln::zeta(2);
353                                 }
354                         } else {
355                                 return -Li2_do_sum_Xn(1-x) - cln::log(x) * cln::log(1-x) + cln::zeta(2);
356                         }
357                 }
358         } else {
359                 // check if precalculated Xn exist
360                 if (n > xnsize+1) {
361                         for (int i=xnsize; i<n-1; i++) {
362                                 fill_Xn(i);
363                         }
364                 }
365
366                 if (cln::realpart(x) < 0.5) {
367                         // choose the faster algorithm
368                         // with n>=12 the "normal" summation always wins against the method with Xn
369                         if ((cln::abs(cln::realpart(x)) < 0.3) || (n >= 12)) {
370                                 return Lin_do_sum(n, x);
371                         } else {
372                                 return Lin_do_sum_Xn(n, x);
373                         }
374                 } else {
375                         cln::cl_N result = 0;
376                         if ( x != 1 ) result = -cln::expt(cln::log(x), n-1) * cln::log(1-x) / cln::factorial(n-1);
377                         for (int j=0; j<n-1; j++) {
378                                 result = result + (S_num(n-j-1, 1, 1) - S_num(1, n-j-1, 1-x))
379                                                   * cln::expt(cln::log(x), j) / cln::factorial(j);
380                         }
381                         return result;
382                 }
383         }
384 }
385
386 // helper function for classical polylog Li
387 const cln::cl_N Lin_numeric(const int n, const cln::cl_N& x)
388 {
389         if (n == 1) {
390                 // just a log
391                 return -cln::log(1-x);
392         }
393         if (zerop(x)) {
394                 return 0;
395         }
396         if (x == 1) {
397                 // [Kol] (2.22)
398                 return cln::zeta(n);
399         }
400         else if (x == -1) {
401                 // [Kol] (2.22)
402                 return -(1-cln::expt(cln::cl_I(2),1-n)) * cln::zeta(n);
403         }
404         if (cln::abs(realpart(x)) < 0.4 && cln::abs(cln::abs(x)-1) < 0.01) {
405                 cln::cl_N result = -cln::expt(cln::log(x), n-1) * cln::log(1-x) / cln::factorial(n-1);
406                 for (int j=0; j<n-1; j++) {
407                         result = result + (S_num(n-j-1, 1, 1) - S_num(1, n-j-1, 1-x))
408                                 * cln::expt(cln::log(x), j) / cln::factorial(j);
409                 }
410                 return result;
411         }
412
413         // what is the desired float format?
414         // first guess: default format
415         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
416         const cln::cl_N value = x;
417         // second guess: the argument's format
418         if (!instanceof(realpart(x), cln::cl_RA_ring))
419                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
420         else if (!instanceof(imagpart(x), cln::cl_RA_ring))
421                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
422         
423         // [Kol] (5.15)
424         if (cln::abs(value) > 1) {
425                 cln::cl_N result = -cln::expt(cln::log(-value),n) / cln::factorial(n);
426                 // check if argument is complex. if it is real, the new polylog has to be conjugated.
427                 if (cln::zerop(cln::imagpart(value))) {
428                         if (n & 1) {
429                                 result = result + conjugate(Li_projection(n, cln::recip(value), prec));
430                         }
431                         else {
432                                 result = result - conjugate(Li_projection(n, cln::recip(value), prec));
433                         }
434                 }
435                 else {
436                         if (n & 1) {
437                                 result = result + Li_projection(n, cln::recip(value), prec);
438                         }
439                         else {
440                                 result = result - Li_projection(n, cln::recip(value), prec);
441                         }
442                 }
443                 cln::cl_N add;
444                 for (int j=0; j<n-1; j++) {
445                         add = add + (1+cln::expt(cln::cl_I(-1),n-j)) * (1-cln::expt(cln::cl_I(2),1-n+j))
446                                     * Lin_numeric(n-j,1) * cln::expt(cln::log(-value),j) / cln::factorial(j);
447                 }
448                 result = result - add;
449                 return result;
450         }
451         else {
452                 return Li_projection(n, value, prec);
453         }
454 }
455
456
457 } // end of anonymous namespace
458
459
460 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
461 //
462 // Multiple polylogarithm  Li(n,x)
463 //
464 // helper function
465 //
466 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
467
468
469 // anonymous namespace for helper function
470 namespace {
471
472
473 // performs the actual series summation for multiple polylogarithms
474 cln::cl_N multipleLi_do_sum(const std::vector<int>& s, const std::vector<cln::cl_N>& x)
475 {
476         // ensure all x <> 0.
477         for (std::vector<cln::cl_N>::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it) {
478                 if ( *it == 0 ) return cln::cl_float(0, cln::float_format(Digits));
479         }
480
481         const int j = s.size();
482         bool flag_accidental_zero = false;
483
484         std::vector<cln::cl_N> t(j);
485         cln::cl_F one = cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
486
487         cln::cl_N t0buf;
488         int q = 0;
489         do {
490                 t0buf = t[0];
491                 q++;
492                 t[j-1] = t[j-1] + cln::expt(x[j-1], q) / cln::expt(cln::cl_I(q),s[j-1]) * one;
493                 for (int k=j-2; k>=0; k--) {
494                         t[k] = t[k] + t[k+1] * cln::expt(x[k], q+j-1-k) / cln::expt(cln::cl_I(q+j-1-k), s[k]);
495                 }
496                 q++;
497                 t[j-1] = t[j-1] + cln::expt(x[j-1], q) / cln::expt(cln::cl_I(q),s[j-1]) * one;
498                 for (int k=j-2; k>=0; k--) {
499                         flag_accidental_zero = cln::zerop(t[k+1]);
500                         t[k] = t[k] + t[k+1] * cln::expt(x[k], q+j-1-k) / cln::expt(cln::cl_I(q+j-1-k), s[k]);
501                 }
502         } while ( (t[0] != t0buf) || cln::zerop(t[0]) || flag_accidental_zero );
503
504         return t[0];
505 }
506
507
508 // forward declaration for Li_eval()
509 lst convert_parameter_Li_to_H(const lst& m, const lst& x, ex& pf);
510
511
512 // type used by the transformation functions for G
513 typedef std::vector<int> Gparameter;
514
515
516 // G_eval1-function for G transformations
517 ex G_eval1(int a, int scale, const exvector& gsyms)
518 {
519         if (a != 0) {
520                 const ex& scs = gsyms[std::abs(scale)];
521                 const ex& as = gsyms[std::abs(a)];
522                 if (as != scs) {
523                         return -log(1 - scs/as);
524                 } else {
525                         return -zeta(1);
526                 }
527         } else {
528                 return log(gsyms[std::abs(scale)]);
529         }
530 }
531
532
533 // G_eval-function for G transformations
534 ex G_eval(const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
535 {
536         // check for properties of G
537         ex sc = gsyms[std::abs(scale)];
538         lst newa;
539         bool all_zero = true;
540         bool all_ones = true;
541         int count_ones = 0;
542         for (Gparameter::const_iterator it = a.begin(); it != a.end(); ++it) {
543                 if (*it != 0) {
544                         const ex sym = gsyms[std::abs(*it)];
545                         newa.append(sym);
546                         all_zero = false;
547                         if (sym != sc) {
548                                 all_ones = false;
549                         }
550                         if (all_ones) {
551                                 ++count_ones;
552                         }
553                 } else {
554                         all_ones = false;
555                 }
556         }
557
558         // care about divergent G: shuffle to separate divergencies that will be canceled
559         // later on in the transformation
560         if (newa.nops() > 1 && newa.op(0) == sc && !all_ones && a.front()!=0) {
561                 // do shuffle
562                 Gparameter short_a;
563                 Gparameter::const_iterator it = a.begin();
564                 ++it;
565                 for (; it != a.end(); ++it) {
566                         short_a.push_back(*it);
567                 }
568                 ex result = G_eval1(a.front(), scale, gsyms) * G_eval(short_a, scale, gsyms);
569                 it = short_a.begin();
570                 for (int i=1; i<count_ones; ++i) {
571                         ++it;
572                 }
573                 for (; it != short_a.end(); ++it) {
574
575                         Gparameter newa;
576                         Gparameter::const_iterator it2 = short_a.begin();
577                         for (; it2 != it; ++it2) {
578                                 newa.push_back(*it2);
579                         }
580                         newa.push_back(*it);
581                         newa.push_back(a[0]);
582                         it2 = it;
583                         ++it2;
584                         for (; it2 != short_a.end(); ++it2) {
585                                 newa.push_back(*it2);   
586                         }
587                         result -= G_eval(newa, scale, gsyms);
588                 }
589                 return result / count_ones;
590         }
591
592         // G({1,...,1};y) -> G({1};y)^k / k!
593         if (all_ones && a.size() > 1) {
594                 return pow(G_eval1(a.front(),scale, gsyms), count_ones) / factorial(count_ones);
595         }
596
597         // G({0,...,0};y) -> log(y)^k / k!
598         if (all_zero) {
599                 return pow(log(gsyms[std::abs(scale)]), a.size()) / factorial(a.size());
600         }
601
602         // no special cases anymore -> convert it into Li
603         lst m;
604         lst x;
605         ex argbuf = gsyms[std::abs(scale)];
606         ex mval = _ex1;
607         for (Gparameter::const_iterator it=a.begin(); it!=a.end(); ++it) {
608                 if (*it != 0) {
609                         const ex& sym = gsyms[std::abs(*it)];
610                         x.append(argbuf / sym);
611                         m.append(mval);
612                         mval = _ex1;
613                         argbuf = sym;
614                 } else {
615                         ++mval;
616                 }
617         }
618         return pow(-1, x.nops()) * Li(m, x);
619 }
620
621
622 // converts data for G: pending_integrals -> a
623 Gparameter convert_pending_integrals_G(const Gparameter& pending_integrals)
624 {
625         GINAC_ASSERT(pending_integrals.size() != 1);
626
627         if (pending_integrals.size() > 0) {
628                 // get rid of the first element, which would stand for the new upper limit
629                 Gparameter new_a(pending_integrals.begin()+1, pending_integrals.end());
630                 return new_a;
631         } else {
632                 // just return empty parameter list
633                 Gparameter new_a;
634                 return new_a;
635         }
636 }
637
638
639 // check the parameters a and scale for G and return information about convergence, depth, etc.
640 // convergent     : true if G(a,scale) is convergent
641 // depth          : depth of G(a,scale)
642 // trailing_zeros : number of trailing zeros of a
643 // min_it         : iterator of a pointing on the smallest element in a
644 Gparameter::const_iterator check_parameter_G(const Gparameter& a, int scale,
645                 bool& convergent, int& depth, int& trailing_zeros, Gparameter::const_iterator& min_it)
646 {
647         convergent = true;
648         depth = 0;
649         trailing_zeros = 0;
650         min_it = a.end();
651         Gparameter::const_iterator lastnonzero = a.end();
652         for (Gparameter::const_iterator it = a.begin(); it != a.end(); ++it) {
653                 if (std::abs(*it) > 0) {
654                         ++depth;
655                         trailing_zeros = 0;
656                         lastnonzero = it;
657                         if (std::abs(*it) < scale) {
658                                 convergent = false;
659                                 if ((min_it == a.end()) || (std::abs(*it) < std::abs(*min_it))) {
660                                         min_it = it;
661                                 }
662                         }
663                 } else {
664                         ++trailing_zeros;
665                 }
666         }
667         if (lastnonzero == a.end())
668                 return a.end();
669         return ++lastnonzero;
670 }
671
672
673 // add scale to pending_integrals if pending_integrals is empty
674 Gparameter prepare_pending_integrals(const Gparameter& pending_integrals, int scale)
675 {
676         GINAC_ASSERT(pending_integrals.size() != 1);
677
678         if (pending_integrals.size() > 0) {
679                 return pending_integrals;
680         } else {
681                 Gparameter new_pending_integrals;
682                 new_pending_integrals.push_back(scale);
683                 return new_pending_integrals;
684         }
685 }
686
687
688 // handles trailing zeroes for an otherwise convergent integral
689 ex trailing_zeros_G(const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
690 {
691         bool convergent;
692         int depth, trailing_zeros;
693         Gparameter::const_iterator last, dummyit;
694         last = check_parameter_G(a, scale, convergent, depth, trailing_zeros, dummyit);
695
696         GINAC_ASSERT(convergent);
697
698         if ((trailing_zeros > 0) && (depth > 0)) {
699                 ex result;
700                 Gparameter new_a(a.begin(), a.end()-1);
701                 result += G_eval1(0, scale, gsyms) * trailing_zeros_G(new_a, scale, gsyms);
702                 for (Gparameter::const_iterator it = a.begin(); it != last; ++it) {
703                         Gparameter new_a(a.begin(), it);
704                         new_a.push_back(0);
705                         new_a.insert(new_a.end(), it, a.end()-1);
706                         result -= trailing_zeros_G(new_a, scale, gsyms);
707                 }
708
709                 return result / trailing_zeros;
710         } else {
711                 return G_eval(a, scale, gsyms);
712         }
713 }
714
715
716 // G transformation [VSW] (57),(58)
717 ex depth_one_trafo_G(const Gparameter& pending_integrals, const Gparameter& a, int scale, const exvector& gsyms)
718 {
719         // pendint = ( y1, b1, ..., br )
720         //       a = ( 0, ..., 0, amin )
721         //   scale = y2
722         //
723         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(0, ..., 0, sr; y2)
724         // where sr replaces amin
725
726         GINAC_ASSERT(a.back() != 0);
727         GINAC_ASSERT(a.size() > 0);
728
729         ex result;
730         Gparameter new_pending_integrals = prepare_pending_integrals(pending_integrals, std::abs(a.back()));
731         const int psize = pending_integrals.size();
732
733         // length == 1
734         // G(sr_{+-}; y2 ) = G(y2_{-+}; sr) - G(0; sr) + ln(-y2_{-+})
735
736         if (a.size() == 1) {
737
738           // ln(-y2_{-+})
739           result += log(gsyms[ex_to<numeric>(scale).to_int()]);
740                 if (a.back() > 0) {
741                         new_pending_integrals.push_back(-scale);
742                         result += I*Pi;
743                 } else {
744                         new_pending_integrals.push_back(scale);
745                         result -= I*Pi;
746                 }
747                 if (psize) {
748                         result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
749                                                    pending_integrals.front(),
750                                                    gsyms);
751                 }
752                 
753                 // G(y2_{-+}; sr)
754                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pending_integrals),
755                                            new_pending_integrals.front(),
756                                            gsyms);
757                 
758                 // G(0; sr)
759                 new_pending_integrals.back() = 0;
760                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pending_integrals),
761                                            new_pending_integrals.front(),
762                                            gsyms);
763
764                 return result;
765         }
766
767         // length > 1
768         // G_m(sr_{+-}; y2) = -zeta_m + int_0^y2 dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
769         //                            - int_0^sr dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
770
771         //term zeta_m
772         result -= zeta(a.size());
773         if (psize) {
774                 result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
775                                            pending_integrals.front(),
776                                            gsyms);
777         }
778         
779         // term int_0^sr dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
780         //    = int_0^sr dt/t G_{m-1}( t_{+-}; y2 )
781         Gparameter new_a(a.begin()+1, a.end());
782         new_pending_integrals.push_back(0);
783         result -= depth_one_trafo_G(new_pending_integrals, new_a, scale, gsyms);
784         
785         // term int_0^y2 dt/t G_{m-1}( (1/y2)_{+-}; 1/t )
786         //    = int_0^y2 dt/t G_{m-1}( t_{+-}; y2 )
787         Gparameter new_pending_integrals_2;
788         new_pending_integrals_2.push_back(scale);
789         new_pending_integrals_2.push_back(0);
790         if (psize) {
791                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pending_integrals),
792                                            pending_integrals.front(),
793                                            gsyms)
794                           * depth_one_trafo_G(new_pending_integrals_2, new_a, scale, gsyms);
795         } else {
796                 result += depth_one_trafo_G(new_pending_integrals_2, new_a, scale, gsyms);
797         }
798
799         return result;
800 }
801
802
803 // forward declaration
804 ex shuffle_G(const Gparameter & a0, const Gparameter & a1, const Gparameter & a2,
805              const Gparameter& pendint, const Gparameter& a_old, int scale,
806              const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only);
807
808
809 // G transformation [VSW]
810 ex G_transform(const Gparameter& pendint, const Gparameter& a, int scale,
811                const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only)
812 {
813         // main recursion routine
814         //
815         // pendint = ( y1, b1, ..., br )
816         //       a = ( a1, ..., amin, ..., aw )
817         //   scale = y2
818         //
819         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,sr,...,aw,y2)
820         // where sr replaces amin
821
822         // find smallest alpha, determine depth and trailing zeros, and check for convergence
823         bool convergent;
824         int depth, trailing_zeros;
825         Gparameter::const_iterator min_it;
826         Gparameter::const_iterator firstzero = 
827                 check_parameter_G(a, scale, convergent, depth, trailing_zeros, min_it);
828         int min_it_pos = min_it - a.begin();
829
830         // special case: all a's are zero
831         if (depth == 0) {
832                 ex result;
833
834                 if (a.size() == 0) {
835                   result = 1;
836                 } else {
837                   result = G_eval(a, scale, gsyms);
838                 }
839                 if (pendint.size() > 0) {
840                   result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pendint),
841                                              pendint.front(),
842                                              gsyms);
843                 } 
844                 return result;
845         }
846
847         // handle trailing zeros
848         if (trailing_zeros > 0) {
849                 ex result;
850                 Gparameter new_a(a.begin(), a.end()-1);
851                 result += G_eval1(0, scale, gsyms) * G_transform(pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
852                 for (Gparameter::const_iterator it = a.begin(); it != firstzero; ++it) {
853                         Gparameter new_a(a.begin(), it);
854                         new_a.push_back(0);
855                         new_a.insert(new_a.end(), it, a.end()-1);
856                         result -= G_transform(pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
857                 }
858                 return result / trailing_zeros;
859         }
860
861         // convergence case or flag_trailing_zeros_only
862         if (convergent || flag_trailing_zeros_only) {
863                 if (pendint.size() > 0) {
864                         return G_eval(convert_pending_integrals_G(pendint),
865                                       pendint.front(), gsyms)*
866                                 G_eval(a, scale, gsyms);
867                 } else {
868                         return G_eval(a, scale, gsyms);
869                 }
870         }
871
872         // call basic transformation for depth equal one
873         if (depth == 1) {
874                 return depth_one_trafo_G(pendint, a, scale, gsyms);
875         }
876
877         // do recursion
878         // int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,sr,...,aw,y2)
879         //  =  int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) G(a1,...,0,...,aw,y2)
880         //   + int_0^y1 ds1/(s1-b1) ... int dsr/(sr-br) int_0^{sr} ds_{r+1} d/ds_{r+1} G(a1,...,s_{r+1},...,aw,y2)
881
882         // smallest element in last place
883         if (min_it + 1 == a.end()) {
884                 do { --min_it; } while (*min_it == 0);
885                 Gparameter empty;
886                 Gparameter a1(a.begin(),min_it+1);
887                 Gparameter a2(min_it+1,a.end());
888
889                 ex result = G_transform(pendint, a2, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only)*
890                             G_transform(empty, a1, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
891
892                 result -= shuffle_G(empty, a1, a2, pendint, a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
893                 return result;
894         }
895
896         Gparameter empty;
897         Gparameter::iterator changeit;
898
899         // first term G(a_1,..,0,...,a_w;a_0)
900         Gparameter new_pendint = prepare_pending_integrals(pendint, a[min_it_pos]);
901         Gparameter new_a = a;
902         new_a[min_it_pos] = 0;
903         ex result = G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
904         if (pendint.size() > 0) {
905                 result *= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(pendint),
906                                            pendint.front(), gsyms);
907         }
908
909         // other terms
910         changeit = new_a.begin() + min_it_pos;
911         changeit = new_a.erase(changeit);
912         if (changeit != new_a.begin()) {
913                 // smallest in the middle
914                 new_pendint.push_back(*changeit);
915                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
916                                            new_pendint.front(), gsyms)*
917                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
918                 int buffer = *changeit;
919                 *changeit = *min_it;
920                 result += G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
921                 *changeit = buffer;
922                 new_pendint.pop_back();
923                 --changeit;
924                 new_pendint.push_back(*changeit);
925                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
926                                            new_pendint.front(), gsyms)*
927                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
928                 *changeit = *min_it;
929                 result -= G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
930         } else {
931                 // smallest at the front
932                 new_pendint.push_back(scale);
933                 result += trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
934                                            new_pendint.front(), gsyms)*
935                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
936                 new_pendint.back() =  *changeit;
937                 result -= trailing_zeros_G(convert_pending_integrals_G(new_pendint),
938                                            new_pendint.front(), gsyms)*
939                           G_transform(empty, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
940                 *changeit = *min_it;
941                 result += G_transform(new_pendint, new_a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
942         }
943         return result;
944 }
945
946
947 // shuffles the two parameter list a1 and a2 and calls G_transform for every term except
948 // for the one that is equal to a_old
949 ex shuffle_G(const Gparameter & a0, const Gparameter & a1, const Gparameter & a2,
950              const Gparameter& pendint, const Gparameter& a_old, int scale,
951              const exvector& gsyms, bool flag_trailing_zeros_only) 
952 {
953         if (a1.size()==0 && a2.size()==0) {
954                 // veto the one configuration we don't want
955                 if ( a0 == a_old ) return 0;
956
957                 return G_transform(pendint, a0, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
958         }
959
960         if (a2.size()==0) {
961                 Gparameter empty;
962                 Gparameter aa0 = a0;
963                 aa0.insert(aa0.end(),a1.begin(),a1.end());
964                 return shuffle_G(aa0, empty, empty, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
965         }
966
967         if (a1.size()==0) {
968                 Gparameter empty;
969                 Gparameter aa0 = a0;
970                 aa0.insert(aa0.end(),a2.begin(),a2.end());
971                 return shuffle_G(aa0, empty, empty, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
972         }
973
974         Gparameter a1_removed(a1.begin()+1,a1.end());
975         Gparameter a2_removed(a2.begin()+1,a2.end());
976
977         Gparameter a01 = a0;
978         Gparameter a02 = a0;
979
980         a01.push_back( a1[0] );
981         a02.push_back( a2[0] );
982
983         return shuffle_G(a01, a1_removed, a2, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only)
984              + shuffle_G(a02, a1, a2_removed, pendint, a_old, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
985 }
986
987 // handles the transformations and the numerical evaluation of G
988 // the parameter x, s and y must only contain numerics
989 static cln::cl_N
990 G_numeric(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
991           const cln::cl_N& y);
992
993 // do acceleration transformation (hoelder convolution [BBB])
994 // the parameter x, s and y must only contain numerics
995 static cln::cl_N
996 G_do_hoelder(std::vector<cln::cl_N> x, /* yes, it's passed by value */
997              const std::vector<int>& s, const cln::cl_N& y)
998 {
999         cln::cl_N result;
1000         const std::size_t size = x.size();
1001         for (std::size_t i = 0; i < size; ++i)
1002                 x[i] = x[i]/y;
1003
1004         for (std::size_t r = 0; r <= size; ++r) {
1005                 cln::cl_N buffer(1 & r ? -1 : 1);
1006                 cln::cl_RA p(2);
1007                 bool adjustp;
1008                 do {
1009                         adjustp = false;
1010                         for (std::size_t i = 0; i < size; ++i) {
1011                                 if (x[i] == cln::cl_RA(1)/p) {
1012                                         p = p/2 + cln::cl_RA(3)/2;
1013                                         adjustp = true;
1014                                         continue;
1015                                 }
1016                         }
1017                 } while (adjustp);
1018                 cln::cl_RA q = p/(p-1);
1019                 std::vector<cln::cl_N> qlstx;
1020                 std::vector<int> qlsts;
1021                 for (std::size_t j = r; j >= 1; --j) {
1022                         qlstx.push_back(cln::cl_N(1) - x[j-1]);
1023                         if (instanceof(x[j-1], cln::cl_R_ring) && realpart(x[j-1]) > 1) {
1024                                 qlsts.push_back(1);
1025                         } else {
1026                                 qlsts.push_back(-s[j-1]);
1027                         }
1028                 }
1029                 if (qlstx.size() > 0) {
1030                         buffer = buffer*G_numeric(qlstx, qlsts, 1/q);
1031                 }
1032                 std::vector<cln::cl_N> plstx;
1033                 std::vector<int> plsts;
1034                 for (std::size_t j = r+1; j <= size; ++j) {
1035                         plstx.push_back(x[j-1]);
1036                         plsts.push_back(s[j-1]);
1037                 }
1038                 if (plstx.size() > 0) {
1039                         buffer = buffer*G_numeric(plstx, plsts, 1/p);
1040                 }
1041                 result = result + buffer;
1042         }
1043         return result;
1044 }
1045
1046 class less_object_for_cl_N
1047 {
1048 public:
1049         bool operator() (const cln::cl_N & a, const cln::cl_N & b) const
1050         {
1051                 // absolute value?
1052                 if (abs(a) != abs(b))
1053                         return (abs(a) < abs(b)) ? true : false;
1054
1055                 // complex phase?
1056                 if (phase(a) != phase(b))
1057                         return (phase(a) < phase(b)) ? true : false;
1058
1059                 // equal, therefore "less" is not true
1060                 return false;
1061         }
1062 };
1063
1064
1065 // convergence transformation, used for numerical evaluation of G function.
1066 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1067 static cln::cl_N
1068 G_do_trafo(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
1069            const cln::cl_N& y, bool flag_trailing_zeros_only)
1070 {
1071         // sort (|x|<->position) to determine indices
1072         typedef std::multimap<cln::cl_N, std::size_t, less_object_for_cl_N> sortmap_t;
1073         sortmap_t sortmap;
1074         std::size_t size = 0;
1075         for (std::size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
1076                 if (!zerop(x[i])) {
1077                         sortmap.insert(std::make_pair(x[i], i));
1078                         ++size;
1079                 }
1080         }
1081         // include upper limit (scale)
1082         sortmap.insert(std::make_pair(y, x.size()));
1083
1084         // generate missing dummy-symbols
1085         int i = 1;
1086         // holding dummy-symbols for the G/Li transformations
1087         exvector gsyms;
1088         gsyms.push_back(symbol("GSYMS_ERROR"));
1089         cln::cl_N lastentry(0);
1090         for (sortmap_t::const_iterator it = sortmap.begin(); it != sortmap.end(); ++it) {
1091                 if (it != sortmap.begin()) {
1092                         if (it->second < x.size()) {
1093                                 if (x[it->second] == lastentry) {
1094                                         gsyms.push_back(gsyms.back());
1095                                         continue;
1096                                 }
1097                         } else {
1098                                 if (y == lastentry) {
1099                                         gsyms.push_back(gsyms.back());
1100                                         continue;
1101                                 }
1102                         }
1103                 }
1104                 std::ostringstream os;
1105                 os << "a" << i;
1106                 gsyms.push_back(symbol(os.str()));
1107                 ++i;
1108                 if (it->second < x.size()) {
1109                         lastentry = x[it->second];
1110                 } else {
1111                         lastentry = y;
1112                 }
1113         }
1114
1115         // fill position data according to sorted indices and prepare substitution list
1116         Gparameter a(x.size());
1117         exmap subslst;
1118         std::size_t pos = 1;
1119         int scale = pos;
1120         for (sortmap_t::const_iterator it = sortmap.begin(); it != sortmap.end(); ++it) {
1121                 if (it->second < x.size()) {
1122                         if (s[it->second] > 0) {
1123                                 a[it->second] = pos;
1124                         } else {
1125                                 a[it->second] = -int(pos);
1126                         }
1127                         subslst[gsyms[pos]] = numeric(x[it->second]);
1128                 } else {
1129                         scale = pos;
1130                         subslst[gsyms[pos]] = numeric(y);
1131                 }
1132                 ++pos;
1133         }
1134
1135         // do transformation
1136         Gparameter pendint;
1137         ex result = G_transform(pendint, a, scale, gsyms, flag_trailing_zeros_only);
1138         // replace dummy symbols with their values
1139         result = result.eval().expand();
1140         result = result.subs(subslst).evalf();
1141         if (!is_a<numeric>(result))
1142                 throw std::logic_error("G_do_trafo: G_transform returned non-numeric result");
1143         
1144         cln::cl_N ret = ex_to<numeric>(result).to_cl_N();
1145         return ret;
1146 }
1147
1148 // handles the transformations and the numerical evaluation of G
1149 // the parameter x, s and y must only contain numerics
1150 static cln::cl_N
1151 G_numeric(const std::vector<cln::cl_N>& x, const std::vector<int>& s,
1152           const cln::cl_N& y)
1153 {
1154         // check for convergence and necessary accelerations
1155         bool need_trafo = false;
1156         bool need_hoelder = false;
1157         bool have_trailing_zero = false;
1158         std::size_t depth = 0;
1159         for (std::size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
1160                 if (!zerop(x[i])) {
1161                         ++depth;
1162                         const cln::cl_N x_y = abs(x[i]) - y;
1163                         if (instanceof(x_y, cln::cl_R_ring) &&
1164                             realpart(x_y) < cln::least_negative_float(cln::float_format(Digits - 2)))
1165                                 need_trafo = true;
1166
1167                         if (abs(abs(x[i]/y) - 1) < 0.01)
1168                                 need_hoelder = true;
1169                 }
1170         }
1171         if (zerop(x.back())) {
1172                 have_trailing_zero = true;
1173                 need_trafo = true;
1174         }
1175
1176         if (depth == 1 && x.size() == 2 && !need_trafo)
1177                 return - Li_projection(2, y/x[1], cln::float_format(Digits));
1178         
1179         // do acceleration transformation (hoelder convolution [BBB])
1180         if (need_hoelder && !have_trailing_zero)
1181                 return G_do_hoelder(x, s, y);
1182         
1183         // convergence transformation
1184         if (need_trafo)
1185                 return G_do_trafo(x, s, y, have_trailing_zero);
1186
1187         // do summation
1188         std::vector<cln::cl_N> newx;
1189         newx.reserve(x.size());
1190         std::vector<int> m;
1191         m.reserve(x.size());
1192         int mcount = 1;
1193         int sign = 1;
1194         cln::cl_N factor = y;
1195         for (std::size_t i = 0; i < x.size(); ++i) {
1196                 if (zerop(x[i])) {
1197                         ++mcount;
1198                 } else {
1199                         newx.push_back(factor/x[i]);
1200                         factor = x[i];
1201                         m.push_back(mcount);
1202                         mcount = 1;
1203                         sign = -sign;
1204                 }
1205         }
1206
1207         return sign*multipleLi_do_sum(m, newx);
1208 }
1209
1210
1211 ex mLi_numeric(const lst& m, const lst& x)
1212 {
1213         // let G_numeric do the transformation
1214         std::vector<cln::cl_N> newx;
1215         newx.reserve(x.nops());
1216         std::vector<int> s;
1217         s.reserve(x.nops());
1218         cln::cl_N factor(1);
1219         for (lst::const_iterator itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1220                 for (int i = 1; i < *itm; ++i) {
1221                         newx.push_back(cln::cl_N(0));
1222                         s.push_back(1);
1223                 }
1224                 const cln::cl_N xi = ex_to<numeric>(*itx).to_cl_N();
1225                 factor = factor/xi;
1226                 newx.push_back(factor);
1227                 if ( !instanceof(factor, cln::cl_R_ring) && imagpart(factor) < 0 ) {
1228                         s.push_back(-1);
1229                 }
1230                 else {
1231                         s.push_back(1);
1232                 }
1233         }
1234         return numeric(cln::cl_N(1 & m.nops() ? - 1 : 1)*G_numeric(newx, s, cln::cl_N(1)));
1235 }
1236
1237
1238 } // end of anonymous namespace
1239
1240
1241 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1242 //
1243 // Generalized multiple polylogarithm  G(x, y) and G(x, s, y)
1244 //
1245 // GiNaC function
1246 //
1247 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1248
1249
1250 static ex G2_evalf(const ex& x_, const ex& y)
1251 {
1252         if (!y.info(info_flags::positive)) {
1253                 return G(x_, y).hold();
1254         }
1255         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst(x_);
1256         if (x.nops() == 0) {
1257                 return _ex1;
1258         }
1259         if (x.op(0) == y) {
1260                 return G(x_, y).hold();
1261         }
1262         std::vector<int> s;
1263         s.reserve(x.nops());
1264         bool all_zero = true;
1265         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it) {
1266                 if (!(*it).info(info_flags::numeric)) {
1267                         return G(x_, y).hold();
1268                 }
1269                 if (*it != _ex0) {
1270                         all_zero = false;
1271                 }
1272                 if ( !ex_to<numeric>(*it).is_real() && ex_to<numeric>(*it).imag() < 0 ) {
1273                         s.push_back(-1);
1274                 }
1275                 else {
1276                         s.push_back(1);
1277                 }
1278         }
1279         if (all_zero) {
1280                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1281         }
1282         std::vector<cln::cl_N> xv;
1283         xv.reserve(x.nops());
1284         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it)
1285                 xv.push_back(ex_to<numeric>(*it).to_cl_N());
1286         cln::cl_N result = G_numeric(xv, s, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1287         return numeric(result);
1288 }
1289
1290
1291 static ex G2_eval(const ex& x_, const ex& y)
1292 {
1293         //TODO eval to MZV or H or S or Lin
1294
1295         if (!y.info(info_flags::positive)) {
1296                 return G(x_, y).hold();
1297         }
1298         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst(x_);
1299         if (x.nops() == 0) {
1300                 return _ex1;
1301         }
1302         if (x.op(0) == y) {
1303                 return G(x_, y).hold();
1304         }
1305         std::vector<int> s;
1306         s.reserve(x.nops());
1307         bool all_zero = true;
1308         bool crational = true;
1309         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it) {
1310                 if (!(*it).info(info_flags::numeric)) {
1311                         return G(x_, y).hold();
1312                 }
1313                 if (!(*it).info(info_flags::crational)) {
1314                         crational = false;
1315                 }
1316                 if (*it != _ex0) {
1317                         all_zero = false;
1318                 }
1319                 if ( !ex_to<numeric>(*it).is_real() && ex_to<numeric>(*it).imag() < 0 ) {
1320                         s.push_back(-1);
1321                 }
1322                 else {
1323                         s.push_back(+1);
1324                 }
1325         }
1326         if (all_zero) {
1327                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1328         }
1329         if (!y.info(info_flags::crational)) {
1330                 crational = false;
1331         }
1332         if (crational) {
1333                 return G(x_, y).hold();
1334         }
1335         std::vector<cln::cl_N> xv;
1336         xv.reserve(x.nops());
1337         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it)
1338                 xv.push_back(ex_to<numeric>(*it).to_cl_N());
1339         cln::cl_N result = G_numeric(xv, s, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1340         return numeric(result);
1341 }
1342
1343
1344 unsigned G2_SERIAL::serial = function::register_new(function_options("G", 2).
1345                                 evalf_func(G2_evalf).
1346                                 eval_func(G2_eval).
1347                                 do_not_evalf_params().
1348                                 overloaded(2));
1349 //TODO
1350 //                                derivative_func(G2_deriv).
1351 //                                print_func<print_latex>(G2_print_latex).
1352
1353
1354 static ex G3_evalf(const ex& x_, const ex& s_, const ex& y)
1355 {
1356         if (!y.info(info_flags::positive)) {
1357                 return G(x_, s_, y).hold();
1358         }
1359         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst(x_);
1360         lst s = is_a<lst>(s_) ? ex_to<lst>(s_) : lst(s_);
1361         if (x.nops() != s.nops()) {
1362                 return G(x_, s_, y).hold();
1363         }
1364         if (x.nops() == 0) {
1365                 return _ex1;
1366         }
1367         if (x.op(0) == y) {
1368                 return G(x_, s_, y).hold();
1369         }
1370         std::vector<int> sn;
1371         sn.reserve(s.nops());
1372         bool all_zero = true;
1373         for (lst::const_iterator itx = x.begin(), its = s.begin(); itx != x.end(); ++itx, ++its) {
1374                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1375                         return G(x_, y).hold();
1376                 }
1377                 if (!(*its).info(info_flags::real)) {
1378                         return G(x_, y).hold();
1379                 }
1380                 if (*itx != _ex0) {
1381                         all_zero = false;
1382                 }
1383                 if ( ex_to<numeric>(*itx).is_real() ) {
1384                         if ( ex_to<numeric>(*itx).is_positive() ) {
1385                                 if ( *its >= 0 ) {
1386                                         sn.push_back(1);
1387                                 }
1388                                 else {
1389                                         sn.push_back(-1);
1390                                 }
1391                         } else {
1392                                 sn.push_back(1);
1393                         }
1394                 }
1395                 else {
1396                         if ( ex_to<numeric>(*itx).imag() > 0 ) {
1397                                 sn.push_back(1);
1398                         }
1399                         else {
1400                                 sn.push_back(-1);
1401                         }
1402                 }
1403         }
1404         if (all_zero) {
1405                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1406         }
1407         std::vector<cln::cl_N> xn;
1408         xn.reserve(x.nops());
1409         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it)
1410                 xn.push_back(ex_to<numeric>(*it).to_cl_N());
1411         cln::cl_N result = G_numeric(xn, sn, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1412         return numeric(result);
1413 }
1414
1415
1416 static ex G3_eval(const ex& x_, const ex& s_, const ex& y)
1417 {
1418         //TODO eval to MZV or H or S or Lin
1419
1420         if (!y.info(info_flags::positive)) {
1421                 return G(x_, s_, y).hold();
1422         }
1423         lst x = is_a<lst>(x_) ? ex_to<lst>(x_) : lst(x_);
1424         lst s = is_a<lst>(s_) ? ex_to<lst>(s_) : lst(s_);
1425         if (x.nops() != s.nops()) {
1426                 return G(x_, s_, y).hold();
1427         }
1428         if (x.nops() == 0) {
1429                 return _ex1;
1430         }
1431         if (x.op(0) == y) {
1432                 return G(x_, s_, y).hold();
1433         }
1434         std::vector<int> sn;
1435         sn.reserve(s.nops());
1436         bool all_zero = true;
1437         bool crational = true;
1438         for (lst::const_iterator itx = x.begin(), its = s.begin(); itx != x.end(); ++itx, ++its) {
1439                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1440                         return G(x_, s_, y).hold();
1441                 }
1442                 if (!(*its).info(info_flags::real)) {
1443                         return G(x_, s_, y).hold();
1444                 }
1445                 if (!(*itx).info(info_flags::crational)) {
1446                         crational = false;
1447                 }
1448                 if (*itx != _ex0) {
1449                         all_zero = false;
1450                 }
1451                 if ( ex_to<numeric>(*itx).is_real() ) {
1452                         if ( ex_to<numeric>(*itx).is_positive() ) {
1453                                 if ( *its >= 0 ) {
1454                                         sn.push_back(1);
1455                                 }
1456                                 else {
1457                                         sn.push_back(-1);
1458                                 }
1459                         } else {
1460                                 sn.push_back(1);
1461                         }
1462                 }
1463                 else {
1464                         if ( ex_to<numeric>(*itx).imag() > 0 ) {
1465                                 sn.push_back(1);
1466                         }
1467                         else {
1468                                 sn.push_back(-1);
1469                         }
1470                 }
1471         }
1472         if (all_zero) {
1473                 return pow(log(y), x.nops()) / factorial(x.nops());
1474         }
1475         if (!y.info(info_flags::crational)) {
1476                 crational = false;
1477         }
1478         if (crational) {
1479                 return G(x_, s_, y).hold();
1480         }
1481         std::vector<cln::cl_N> xn;
1482         xn.reserve(x.nops());
1483         for (lst::const_iterator it = x.begin(); it != x.end(); ++it)
1484                 xn.push_back(ex_to<numeric>(*it).to_cl_N());
1485         cln::cl_N result = G_numeric(xn, sn, ex_to<numeric>(y).to_cl_N());
1486         return numeric(result);
1487 }
1488
1489
1490 unsigned G3_SERIAL::serial = function::register_new(function_options("G", 3).
1491                                 evalf_func(G3_evalf).
1492                                 eval_func(G3_eval).
1493                                 do_not_evalf_params().
1494                                 overloaded(2));
1495 //TODO
1496 //                                derivative_func(G3_deriv).
1497 //                                print_func<print_latex>(G3_print_latex).
1498
1499
1500 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1501 //
1502 // Classical polylogarithm and multiple polylogarithm  Li(m,x)
1503 //
1504 // GiNaC function
1505 //
1506 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1507
1508
1509 static ex Li_evalf(const ex& m_, const ex& x_)
1510 {
1511         // classical polylogs
1512         if (m_.info(info_flags::posint)) {
1513                 if (x_.info(info_flags::numeric)) {
1514                         int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1515                         const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_).to_cl_N();
1516                         const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1517                         return numeric(result);
1518                 } else {
1519                         // try to numerically evaluate second argument
1520                         ex x_val = x_.evalf();
1521                         if (x_val.info(info_flags::numeric)) {
1522                                 int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1523                                 const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_val).to_cl_N();
1524                                 const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1525                                 return numeric(result);
1526                         }
1527                 }
1528         }
1529         // multiple polylogs
1530         if (is_a<lst>(m_) && is_a<lst>(x_)) {
1531
1532                 const lst& m = ex_to<lst>(m_);
1533                 const lst& x = ex_to<lst>(x_);
1534                 if (m.nops() != x.nops()) {
1535                         return Li(m_,x_).hold();
1536                 }
1537                 if (x.nops() == 0) {
1538                         return _ex1;
1539                 }
1540                 if ((m.op(0) == _ex1) && (x.op(0) == _ex1)) {
1541                         return Li(m_,x_).hold();
1542                 }
1543
1544                 for (lst::const_iterator itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1545                         if (!(*itm).info(info_flags::posint)) {
1546                                 return Li(m_, x_).hold();
1547                         }
1548                         if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1549                                 return Li(m_, x_).hold();
1550                         }
1551                         if (*itx == _ex0) {
1552                                 return _ex0;
1553                         }
1554                 }
1555
1556                 return mLi_numeric(m, x);
1557         }
1558
1559         return Li(m_,x_).hold();
1560 }
1561
1562
1563 static ex Li_eval(const ex& m_, const ex& x_)
1564 {
1565         if (is_a<lst>(m_)) {
1566                 if (is_a<lst>(x_)) {
1567                         // multiple polylogs
1568                         const lst& m = ex_to<lst>(m_);
1569                         const lst& x = ex_to<lst>(x_);
1570                         if (m.nops() != x.nops()) {
1571                                 return Li(m_,x_).hold();
1572                         }
1573                         if (x.nops() == 0) {
1574                                 return _ex1;
1575                         }
1576                         bool is_H = true;
1577                         bool is_zeta = true;
1578                         bool do_evalf = true;
1579                         bool crational = true;
1580                         for (lst::const_iterator itm = m.begin(), itx = x.begin(); itm != m.end(); ++itm, ++itx) {
1581                                 if (!(*itm).info(info_flags::posint)) {
1582                                         return Li(m_,x_).hold();
1583                                 }
1584                                 if ((*itx != _ex1) && (*itx != _ex_1)) {
1585                                         if (itx != x.begin()) {
1586                                                 is_H = false;
1587                                         }
1588                                         is_zeta = false;
1589                                 }
1590                                 if (*itx == _ex0) {
1591                                         return _ex0;
1592                                 }
1593                                 if (!(*itx).info(info_flags::numeric)) {
1594                                         do_evalf = false;
1595                                 }
1596                                 if (!(*itx).info(info_flags::crational)) {
1597                                         crational = false;
1598                                 }
1599                         }
1600                         if (is_zeta) {
1601                                 lst newx;
1602                                 for (lst::const_iterator itx = x.begin(); itx != x.end(); ++itx) {
1603                                         GINAC_ASSERT((*itx == _ex1) || (*itx == _ex_1));
1604                                         // XXX: 1 + 0.0*I is considered equal to 1. However
1605                                         // the former is a not automatically converted
1606                                         // to a real number. Do the conversion explicitly
1607                                         // to avoid the "numeric::operator>(): complex inequality"
1608                                         // exception (and similar problems).
1609                                         newx.append(*itx != _ex_1 ? _ex1 : _ex_1);
1610                                 }
1611                                 return zeta(m_, newx);
1612                         }
1613                         if (is_H) {
1614                                 ex prefactor;
1615                                 lst newm = convert_parameter_Li_to_H(m, x, prefactor);
1616                                 return prefactor * H(newm, x[0]);
1617                         }
1618                         if (do_evalf && !crational) {
1619                                 return mLi_numeric(m,x);
1620                         }
1621                 }
1622                 return Li(m_, x_).hold();
1623         } else if (is_a<lst>(x_)) {
1624                 return Li(m_, x_).hold();
1625         }
1626
1627         // classical polylogs
1628         if (x_ == _ex0) {
1629                 return _ex0;
1630         }
1631         if (x_ == _ex1) {
1632                 return zeta(m_);
1633         }
1634         if (x_ == _ex_1) {
1635                 return (pow(2,1-m_)-1) * zeta(m_);
1636         }
1637         if (m_ == _ex1) {
1638                 return -log(1-x_);
1639         }
1640         if (m_ == _ex2) {
1641                 if (x_.is_equal(I)) {
1642                         return power(Pi,_ex2)/_ex_48 + Catalan*I;
1643                 }
1644                 if (x_.is_equal(-I)) {
1645                         return power(Pi,_ex2)/_ex_48 - Catalan*I;
1646                 }
1647         }
1648         if (m_.info(info_flags::posint) && x_.info(info_flags::numeric) && !x_.info(info_flags::crational)) {
1649                 int m__ = ex_to<numeric>(m_).to_int();
1650                 const cln::cl_N x__ = ex_to<numeric>(x_).to_cl_N();
1651                 const cln::cl_N result = Lin_numeric(m__, x__);
1652                 return numeric(result);
1653         }
1654
1655         return Li(m_, x_).hold();
1656 }
1657
1658
1659 static ex Li_series(const ex& m, const ex& x, const relational& rel, int order, unsigned options)
1660 {
1661         if (is_a<lst>(m) || is_a<lst>(x)) {
1662                 // multiple polylog
1663                 epvector seq;
1664                 seq.push_back(expair(Li(m, x), 0));
1665                 return pseries(rel, seq);
1666         }
1667         
1668         // classical polylog
1669         const ex x_pt = x.subs(rel, subs_options::no_pattern);
1670         if (m.info(info_flags::numeric) && x_pt.info(info_flags::numeric)) {
1671                 // First special case: x==0 (derivatives have poles)
1672                 if (x_pt.is_zero()) {
1673                         const symbol s;
1674                         ex ser;
1675                         // manually construct the primitive expansion
1676                         for (int i=1; i<order; ++i)
1677                                 ser += pow(s,i) / pow(numeric(i), m);
1678                         // substitute the argument's series expansion
1679                         ser = ser.subs(s==x.series(rel, order), subs_options::no_pattern);
1680                         // maybe that was terminating, so add a proper order term
1681                         epvector nseq;
1682                         nseq.push_back(expair(Order(_ex1), order));
1683                         ser += pseries(rel, nseq);
1684                         // reexpanding it will collapse the series again
1685                         return ser.series(rel, order);
1686                 }
1687                 // TODO special cases: x==1 (branch point) and x real, >=1 (branch cut)
1688                 throw std::runtime_error("Li_series: don't know how to do the series expansion at this point!");
1689         }
1690         // all other cases should be safe, by now:
1691         throw do_taylor();  // caught by function::series()
1692 }
1693
1694
1695 static ex Li_deriv(const ex& m_, const ex& x_, unsigned deriv_param)
1696 {
1697         GINAC_ASSERT(deriv_param < 2);
1698         if (deriv_param == 0) {
1699                 return _ex0;
1700         }
1701         if (m_.nops() > 1) {
1702                 throw std::runtime_error("don't know how to derivate multiple polylogarithm!");
1703         }
1704         ex m;
1705         if (is_a<lst>(m_)) {
1706                 m = m_.op(0);
1707         } else {
1708                 m = m_;
1709         }
1710         ex x;
1711         if (is_a<lst>(x_)) {
1712                 x = x_.op(0);
1713         } else {
1714                 x = x_;
1715         }
1716         if (m > 0) {
1717                 return Li(m-1, x) / x;
1718         } else {
1719                 return 1/(1-x);
1720         }
1721 }
1722
1723
1724 static void Li_print_latex(const ex& m_, const ex& x_, const print_context& c)
1725 {
1726         lst m;
1727         if (is_a<lst>(m_)) {
1728                 m = ex_to<lst>(m_);
1729         } else {
1730                 m = lst(m_);
1731         }
1732         lst x;
1733         if (is_a<lst>(x_)) {
1734                 x = ex_to<lst>(x_);
1735         } else {
1736                 x = lst(x_);
1737         }
1738         c.s << "\\mathrm{Li}_{";
1739         lst::const_iterator itm = m.begin();
1740         (*itm).print(c);
1741         itm++;
1742         for (; itm != m.end(); itm++) {
1743                 c.s << ",";
1744                 (*itm).print(c);
1745         }
1746         c.s << "}(";
1747         lst::const_iterator itx = x.begin();
1748         (*itx).print(c);
1749         itx++;
1750         for (; itx != x.end(); itx++) {
1751                 c.s << ",";
1752                 (*itx).print(c);
1753         }
1754         c.s << ")";
1755 }
1756
1757
1758 REGISTER_FUNCTION(Li,
1759                   evalf_func(Li_evalf).
1760                   eval_func(Li_eval).
1761                   series_func(Li_series).
1762                   derivative_func(Li_deriv).
1763                   print_func<print_latex>(Li_print_latex).
1764                   do_not_evalf_params());
1765
1766
1767 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1768 //
1769 // Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
1770 //
1771 // helper functions
1772 //
1773 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
1774
1775
1776 // anonymous namespace for helper functions
1777 namespace {
1778
1779
1780 // lookup table for special Euler-Zagier-Sums (used for S_n,p(x))
1781 // see fill_Yn()
1782 std::vector<std::vector<cln::cl_N> > Yn;
1783 int ynsize = 0; // number of Yn[]
1784 int ynlength = 100; // initial length of all Yn[i]
1785
1786
1787 // This function calculates the Y_n. The Y_n are needed for the evaluation of S_{n,p}(x).
1788 // The Y_n are basically Euler-Zagier sums with all m_i=1. They are subsums in the Z-sum
1789 // representing S_{n,p}(x).
1790 // The first index in Y_n corresponds to the parameter p minus one, i.e. the depth of the
1791 // equivalent Z-sum.
1792 // The second index in Y_n corresponds to the running index of the outermost sum in the full Z-sum
1793 // representing S_{n,p}(x).
1794 // The calculation of Y_n uses the values from Y_{n-1}.
1795 void fill_Yn(int n, const cln::float_format_t& prec)
1796 {
1797         const int initsize = ynlength;
1798         //const int initsize = initsize_Yn;
1799         cln::cl_N one = cln::cl_float(1, prec);
1800
1801         if (n) {
1802                 std::vector<cln::cl_N> buf(initsize);
1803                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = buf.begin();
1804                 std::vector<cln::cl_N>::iterator itprev = Yn[n-1].begin();
1805                 *it = (*itprev) / cln::cl_N(n+1) * one;
1806                 it++;
1807                 itprev++;
1808                 // sums with an index smaller than the depth are zero and need not to be calculated.
1809                 // calculation starts with depth, which is n+2)
1810                 for (int i=n+2; i<=initsize+n; i++) {
1811                         *it = *(it-1) + (*itprev) / cln::cl_N(i) * one;
1812                         it++;
1813                         itprev++;
1814                 }
1815                 Yn.push_back(buf);
1816         } else {
1817                 std::vector<cln::cl_N> buf(initsize);
1818                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = buf.begin();
1819                 *it = 1 * one;
1820                 it++;
1821                 for (int i=2; i<=initsize; i++) {
1822                         *it = *(it-1) + 1 / cln::cl_N(i) * one;
1823                         it++;
1824                 }
1825                 Yn.push_back(buf);
1826         }
1827         ynsize++;
1828 }
1829
1830
1831 // make Yn longer ... 
1832 void make_Yn_longer(int newsize, const cln::float_format_t& prec)
1833 {
1834
1835         cln::cl_N one = cln::cl_float(1, prec);
1836
1837         Yn[0].resize(newsize);
1838         std::vector<cln::cl_N>::iterator it = Yn[0].begin();
1839         it += ynlength;
1840         for (int i=ynlength+1; i<=newsize; i++) {
1841                 *it = *(it-1) + 1 / cln::cl_N(i) * one;
1842                 it++;
1843         }
1844
1845         for (int n=1; n<ynsize; n++) {
1846                 Yn[n].resize(newsize);
1847                 std::vector<cln::cl_N>::iterator it = Yn[n].begin();
1848                 std::vector<cln::cl_N>::iterator itprev = Yn[n-1].begin();
1849                 it += ynlength;
1850                 itprev += ynlength;
1851                 for (int i=ynlength+n+1; i<=newsize+n; i++) {
1852                         *it = *(it-1) + (*itprev) / cln::cl_N(i) * one;
1853                         it++;
1854                         itprev++;
1855                 }
1856         }
1857         
1858         ynlength = newsize;
1859 }
1860
1861
1862 // helper function for S(n,p,x)
1863 // [Kol] (7.2)
1864 cln::cl_N C(int n, int p)
1865 {
1866         cln::cl_N result;
1867
1868         for (int k=0; k<p; k++) {
1869                 for (int j=0; j<=(n+k-1)/2; j++) {
1870                         if (k == 0) {
1871                                 if (n & 1) {
1872                                         if (j & 1) {
1873                                                 result = result - 2 * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n-2*j,p,1) / cln::factorial(2*j);
1874                                         }
1875                                         else {
1876                                                 result = result + 2 * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n-2*j,p,1) / cln::factorial(2*j);
1877                                         }
1878                                 }
1879                         }
1880                         else {
1881                                 if (k & 1) {
1882                                         if (j & 1) {
1883                                                 result = result + cln::factorial(n+k-1)
1884                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1885                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1886                                         }
1887                                         else {
1888                                                 result = result - cln::factorial(n+k-1)
1889                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1890                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1891                                         }
1892                                 }
1893                                 else {
1894                                         if (j & 1) {
1895                                                 result = result - cln::factorial(n+k-1) * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1896                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1897                                         }
1898                                         else {
1899                                                 result = result + cln::factorial(n+k-1)
1900                                                                   * cln::expt(cln::pi(),2*j) * S_num(n+k-2*j,p-k,1)
1901                                                                   / (cln::factorial(k) * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(2*j));
1902                                         }
1903                                 }
1904                         }
1905                 }
1906         }
1907         int np = n+p;
1908         if ((np-1) & 1) {
1909                 if (((np)/2+n) & 1) {
1910                         result = -result - cln::expt(cln::pi(),np) / (np * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(p));
1911                 }
1912                 else {
1913                         result = -result + cln::expt(cln::pi(),np) / (np * cln::factorial(n-1) * cln::factorial(p));
1914                 }
1915         }
1916
1917         return result;
1918 }
1919
1920
1921 // helper function for S(n,p,x)
1922 // [Kol] remark to (9.1)
1923 cln::cl_N a_k(int k)
1924 {
1925         cln::cl_N result;
1926
1927         if (k == 0) {
1928                 return 1;
1929         }
1930
1931         result = result;
1932         for (int m=2; m<=k; m++) {
1933                 result = result + cln::expt(cln::cl_N(-1),m) * cln::zeta(m) * a_k(k-m);
1934         }
1935
1936         return -result / k;
1937 }
1938
1939
1940 // helper function for S(n,p,x)
1941 // [Kol] remark to (9.1)
1942 cln::cl_N b_k(int k)
1943 {
1944         cln::cl_N result;
1945
1946         if (k == 0) {
1947                 return 1;
1948         }
1949
1950         result = result;
1951         for (int m=2; m<=k; m++) {
1952                 result = result + cln::expt(cln::cl_N(-1),m) * cln::zeta(m) * b_k(k-m);
1953         }
1954
1955         return result / k;
1956 }
1957
1958
1959 // helper function for S(n,p,x)
1960 cln::cl_N S_do_sum(int n, int p, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
1961 {
1962         static cln::float_format_t oldprec = cln::default_float_format;
1963
1964         if (p==1) {
1965                 return Li_projection(n+1, x, prec);
1966         }
1967
1968         // precision has changed, we need to clear lookup table Yn
1969         if ( oldprec != prec ) {
1970                 Yn.clear();
1971                 ynsize = 0;
1972                 ynlength = 100;
1973                 oldprec = prec;
1974         }
1975                 
1976         // check if precalculated values are sufficient
1977         if (p > ynsize+1) {
1978                 for (int i=ynsize; i<p-1; i++) {
1979                         fill_Yn(i, prec);
1980                 }
1981         }
1982
1983         // should be done otherwise
1984         cln::cl_F one = cln::cl_float(1, cln::float_format(Digits));
1985         cln::cl_N xf = x * one;
1986         //cln::cl_N xf = x * cln::cl_float(1, prec);
1987
1988         cln::cl_N res;
1989         cln::cl_N resbuf;
1990         cln::cl_N factor = cln::expt(xf, p);
1991         int i = p;
1992         do {
1993                 resbuf = res;
1994                 if (i-p >= ynlength) {
1995                         // make Yn longer
1996                         make_Yn_longer(ynlength*2, prec);
1997                 }
1998                 res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n+1) * Yn[p-2][i-p]; // should we check it? or rely on magic number? ...
1999                 //res = res + factor / cln::expt(cln::cl_I(i),n+1) * (*it); // should we check it? or rely on magic number? ...
2000                 factor = factor * xf;
2001                 i++;
2002         } while (res != resbuf);
2003         
2004         return res;
2005 }
2006
2007
2008 // helper function for S(n,p,x)
2009 cln::cl_N S_projection(int n, int p, const cln::cl_N& x, const cln::float_format_t& prec)
2010 {
2011         // [Kol] (5.3)
2012         if (cln::abs(cln::realpart(x)) > cln::cl_F("0.5")) {
2013
2014                 cln::cl_N result = cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * cln::expt(cln::log(x),n)
2015                                    * cln::expt(cln::log(1-x),p) / cln::factorial(n) / cln::factorial(p);
2016
2017                 for (int s=0; s<n; s++) {
2018                         cln::cl_N res2;
2019                         for (int r=0; r<p; r++) {
2020                                 res2 = res2 + cln::expt(cln::cl_I(-1),r) * cln::expt(cln::log(1-x),r)
2021                                               * S_do_sum(p-r,n-s,1-x,prec) / cln::factorial(r);
2022                         }
2023                         result = result + cln::expt(cln::log(x),s) * (S_num(n-s,p,1) - res2) / cln::factorial(s);
2024                 }
2025
2026                 return result;
2027         }
2028         
2029         return S_do_sum(n, p, x, prec);
2030 }
2031
2032
2033 // helper function for S(n,p,x)
2034 const cln::cl_N S_num(int n, int p, const cln::cl_N& x)
2035 {
2036         if (x == 1) {
2037                 if (n == 1) {
2038                     // [Kol] (2.22) with (2.21)
2039                         return cln::zeta(p+1);
2040                 }
2041
2042                 if (p == 1) {
2043                     // [Kol] (2.22)
2044                         return cln::zeta(n+1);
2045                 }
2046
2047                 // [Kol] (9.1)
2048                 cln::cl_N result;
2049                 for (int nu=0; nu<n; nu++) {
2050                         for (int rho=0; rho<=p; rho++) {
2051                                 result = result + b_k(n-nu-1) * b_k(p-rho) * a_k(nu+rho+1)
2052                                                   * cln::factorial(nu+rho+1) / cln::factorial(rho) / cln::factorial(nu+1);
2053                         }
2054                 }
2055                 result = result * cln::expt(cln::cl_I(-1),n+p-1);
2056
2057                 return result;
2058         }
2059         else if (x == -1) {
2060                 // [Kol] (2.22)
2061                 if (p == 1) {
2062                         return -(1-cln::expt(cln::cl_I(2),-n)) * cln::zeta(n+1);
2063                 }
2064 //              throw std::runtime_error("don't know how to evaluate this function!");
2065         }
2066
2067         // what is the desired float format?
2068         // first guess: default format
2069         cln::float_format_t prec = cln::default_float_format;
2070         const cln::cl_N value = x;
2071         // second guess: the argument's format
2072         if (!instanceof(realpart(value), cln::cl_RA_ring))
2073                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::realpart(value)));
2074         else if (!instanceof(imagpart(value), cln::cl_RA_ring))
2075                 prec = cln::float_format(cln::the<cln::cl_F>(cln::imagpart(value)));
2076
2077         // [Kol] (5.3)
2078         // the condition abs(1-value)>1 avoids an infinite recursion in the region abs(value)<=1 && abs(value)>0.95 && abs(1-value)<=1 && abs(1-value)>0.95
2079         // we don't care here about abs(value)<1 && real(value)>0.5, this will be taken care of in S_projection
2080         if ((cln::realpart(value) < -0.5) || (n == 0) || ((cln::abs(value) <= 1) && (cln::abs(value) > 0.95) && (cln::abs(1-value) > 1) )) {
2081
2082                 cln::cl_N result = cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * cln::expt(cln::log(value),n)
2083                                    * cln::expt(cln::log(1-value),p) / cln::factorial(n) / cln::factorial(p);
2084
2085                 for (int s=0; s<n; s++) {
2086                         cln::cl_N res2;
2087                         for (int r=0; r<p; r++) {
2088                                 res2 = res2 + cln::expt(cln::cl_I(-1),r) * cln::expt(cln::log(1-value),r)
2089                                               * S_num(p-r,n-s,1-value) / cln::factorial(r);
2090                         }
2091                         result = result + cln::expt(cln::log(value),s) * (S_num(n-s,p,1) - res2) / cln::factorial(s);
2092                 }
2093
2094                 return result;
2095                 
2096         }
2097         // [Kol] (5.12)
2098         if (cln::abs(value) > 1) {
2099                 
2100                 cln::cl_N result;
2101
2102                 for (int s=0; s<p; s++) {
2103                         for (int r=0; r<=s; r++) {
2104                                 result = result + cln::expt(cln::cl_I(-1),s) * cln::expt(cln::log(-value),r) * cln::factorial(n+s-r-1)
2105                                                   / cln::factorial(r) / cln::factorial(s-r) / cln::factorial(n-1)
2106                                                   * S_num(n+s-r,p-s,cln::recip(value));
2107                         }
2108                 }
2109                 result = result * cln::expt(cln::cl_I(-1),n);
2110
2111                 cln::cl_N res2;
2112                 for (int r=0; r<n; r++) {
2113                         res2 = res2 + cln::expt(cln::log(-value),r) * C(n-r,p) / cln::factorial(r);
2114                 }
2115                 res2 = res2 + cln::expt(cln::log(-value),n+p) / cln::factorial(n+p);
2116
2117                 result = result + cln::expt(cln::cl_I(-1),p) * res2;
2118
2119                 return result;
2120         }
2121
2122         if ((cln::abs(value) > 0.95) && (cln::abs(value-9.53) < 9.47)) {
2123                 lst m;
2124                 m.append(n+1);
2125                 for (int s=0; s<p-1; s++)
2126                         m.append(1);
2127
2128                 ex res = H(m,numeric(value)).evalf();
2129                 return ex_to<numeric>(res).to_cl_N();
2130         }
2131         else {
2132                 return S_projection(n, p, value, prec);
2133         }
2134 }
2135
2136
2137 } // end of anonymous namespace
2138
2139
2140 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2141 //
2142 // Nielsen's generalized polylogarithm  S(n,p,x)
2143 //
2144 // GiNaC function
2145 //
2146 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2147
2148
2149 static ex S_evalf(const ex& n, const ex& p, const ex& x)
2150 {
2151         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint)) {
2152                 const int n_ = ex_to<numeric>(n).to_int();
2153                 const int p_ = ex_to<numeric>(p).to_int();
2154                 if (is_a<numeric>(x)) {
2155                         const cln::cl_N x_ = ex_to<numeric>(x).to_cl_N();
2156                         const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_);
2157                         return numeric(result);
2158                 } else {
2159                         ex x_val = x.evalf();
2160                         if (is_a<numeric>(x_val)) {
2161                                 const cln::cl_N x_val_ = ex_to<numeric>(x_val).to_cl_N();
2162                                 const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_val_);
2163                                 return numeric(result);
2164                         }
2165                 }
2166         }
2167         return S(n, p, x).hold();
2168 }
2169
2170
2171 static ex S_eval(const ex& n, const ex& p, const ex& x)
2172 {
2173         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint)) {
2174                 if (x == 0) {
2175                         return _ex0;
2176                 }
2177                 if (x == 1) {
2178                         lst m(n+1);
2179                         for (int i=ex_to<numeric>(p).to_int()-1; i>0; i--) {
2180                                 m.append(1);
2181                         }
2182                         return zeta(m);
2183                 }
2184                 if (p == 1) {
2185                         return Li(n+1, x);
2186                 }
2187                 if (x.info(info_flags::numeric) && (!x.info(info_flags::crational))) {
2188                         int n_ = ex_to<numeric>(n).to_int();
2189                         int p_ = ex_to<numeric>(p).to_int();
2190                         const cln::cl_N x_ = ex_to<numeric>(x).to_cl_N();
2191                         const cln::cl_N result = S_num(n_, p_, x_);
2192                         return numeric(result);
2193                 }
2194         }
2195         if (n.is_zero()) {
2196                 // [Kol] (5.3)
2197                 return pow(-log(1-x), p) / factorial(p);
2198         }
2199         return S(n, p, x).hold();
2200 }
2201
2202
2203 static ex S_series(const ex& n, const ex& p, const ex& x, const relational& rel, int order, unsigned options)
2204 {
2205         if (p == _ex1) {
2206                 return Li(n+1, x).series(rel, order, options);
2207         }
2208
2209         const ex x_pt = x.subs(rel, subs_options::no_pattern);
2210         if (n.info(info_flags::posint) && p.info(info_flags::posint) && x_pt.info(info_flags::numeric)) {
2211                 // First special case: x==0 (derivatives have poles)
2212                 if (x_pt.is_zero()) {
2213                         const symbol s;
2214                         ex ser;
2215                         // manually construct the primitive expansion
2216                         // subsum = Euler-Zagier-Sum is needed
2217                         // dirty hack (slow ...) calculation of subsum:
2218                         std::vector<ex> presubsum, subsum;
2219                         subsum.push_back(0);
2220                         for (int i=1; i<order-1; ++i) {
2221                                 subsum.push_back(subsum[i-1] + numeric(1, i));
2222                         }
2223                         for (int depth=2; depth<p; ++depth) {
2224                                 presubsum = subsum;
2225                                 for (int i=1; i<order-1; ++i) {
2226                                         subsum[i] = subsum[i-1] + numeric(1, i) * presubsum[i-1];
2227                                 }
2228                         }
2229                                 
2230                         for (int i=1; i<order; ++i) {
2231                                 ser += pow(s,i) / pow(numeric(i), n+1) * subsum[i-1];
2232                         }
2233                         // substitute the argument's series expansion
2234                         ser = ser.subs(s==x.series(rel, order), subs_options::no_pattern);
2235                         // maybe that was terminating, so add a proper order term
2236                         epvector nseq;
2237                         nseq.push_back(expair(Order(_ex1), order));
2238                         ser += pseries(rel, nseq);
2239                         // reexpanding it will collapse the series again
2240                         return ser.series(rel, order);
2241                 }
2242                 // TODO special cases: x==1 (branch point) and x real, >=1 (branch cut)
2243                 throw std::runtime_error("S_series: don't know how to do the series expansion at this point!");
2244         }
2245         // all other cases should be safe, by now:
2246         throw do_taylor();  // caught by function::series()
2247 }
2248
2249
2250 static ex S_deriv(const ex& n, const ex& p, const ex& x, unsigned deriv_param)
2251 {
2252         GINAC_ASSERT(deriv_param < 3);
2253         if (deriv_param < 2) {
2254                 return _ex0;
2255         }
2256         if (n > 0) {
2257                 return S(n-1, p, x) / x;
2258         } else {
2259                 return S(n, p-1, x) / (1-x);
2260         }
2261 }
2262
2263
2264 static void S_print_latex(const ex& n, const ex& p, const ex& x, const print_context& c)
2265 {
2266         c.s << "\\mathrm{S}_{";
2267         n.print(c);
2268         c.s << ",";
2269         p.print(c);
2270         c.s << "}(";
2271         x.print(c);
2272         c.s << ")";
2273 }
2274
2275
2276 REGISTER_FUNCTION(S,
2277                   evalf_func(S_evalf).
2278                   eval_func(S_eval).
2279                   series_func(S_series).
2280                   derivative_func(S_deriv).
2281                   print_func<print_latex>(S_print_latex).
2282                   do_not_evalf_params());
2283
2284
2285 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2286 //
2287 // Harmonic polylogarithm  H(m,x)
2288 //
2289 // helper functions
2290 //
2291 //////////////////////////////////////////////////////////////////////
2292
2293
2294 // anonymous namespace for helper functions
2295 namespace {
2296
2297         
2298 // regulates the pole (used by 1/x-transformation)
2299 symbol H_polesign("IMSIGN");
2300
2301
2302 // convert parameters from H to Li representation
2303 // parameters are expected to be in expanded form, i.e. only 0, 1 and -1
2304 // returns true if some parameters are negative
2305 bool convert_parameter_H_to_Li(const lst& l, lst& m, lst& s, ex& pf)
2306 {
2307         // expand parameter list
2308         lst mexp;
2309         for (lst::const_iterator it = l.begin(); it != l.end(); it++) {
2310                 if (*it > 1) {
2311                         for (ex count=*it-1; count > 0; count--) {
2312                                 mexp.append(0);
2313                         }
2314                         mexp.append(1);
2315                 } else if (*it < -1) {
2316                         for (ex count=*it+1; count < 0; count++) {
2317                                 mexp.append(0);
2318                         }
2319                         mexp.append(-1);
2320                 } else {
2321                         mexp.append(*it);
2322                 }
2323         }
2324         
2325         ex signum = 1;
2326         pf = 1;
2327         bool has_negative_parameters = false;
2328         ex acc = 1;
2329         for (lst::const_iterator it = mexp.begin(); it != mexp.end(); it++) {
2330                 if (*it == 0) {
2331                         acc++;
2332                         continue;
2333                 }
2334                 if (*it > 0) {
2335                         m.append((*it+acc-1) * signum);
2336                 } else {
2337                         m.append((*it-acc+1) * signum);
2338                 }
2339                 acc = 1;
2340                 signum = *it;
2341                 pf *= *it;
2342                 if (pf < 0) {
2343                         has_negative_parameters = true;
2344                 }
2345         }
2346         if (has_negative_parameters) {
2347                 for (std::size_t i=0; i<m.nops(); i++) {
2348                         if (m.op(i) < 0) {
2349                                 m.let_op(i) = -m.op(i);
2350                                 s.append(-1);
2351                         } else {
2352                                 s.append(1);
2353                         }
2354                 }
2355         }
2356         
2357         return has_negative_parameters;
2358 }
2359
2360
2361 // recursivly transforms H to corresponding multiple polylogarithms
2362 struct map_trafo_H_convert_to_Li : public map_function
2363 {
2364         ex operator()(const ex& e)
2365         {
2366                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2367                         return e.map(*this);
2368                 }
2369                 if (is_a<function>(e)) {
2370                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2371                         if (name == "H") {
2372                                 lst parameter;
2373                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2374                                                 parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2375                                 } else {
2376                                         parameter = lst(e.op(0));
2377                                 }
2378                                 ex arg = e.op(1);
2379
2380                                 lst m;
2381                                 lst s;
2382                                 ex pf;
2383                                 if (convert_parameter_H_to_Li(parameter, m, s, pf)) {
2384                                         s.let_op(0) = s.op(0) * arg;
2385                                         return pf * Li(m, s).hold();
2386                                 } else {
2387                                         for (std::size_t i=0; i<m.nops(); i++) {
2388                                                 s.append(1);
2389                                         }
2390                                         s.let_op(0) = s.op(0) * arg;
2391                                         return Li(m, s).hold();
2392                                 }
2393                         }
2394                 }
2395                 return e;
2396         }
2397 };
2398
2399
2400 // recursivly transforms H to corresponding zetas
2401 struct map_trafo_H_convert_to_zeta : public map_function
2402 {
2403         ex operator()(const ex& e)
2404         {
2405                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2406                         return e.map(*this);
2407                 }
2408                 if (is_a<function>(e)) {
2409                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2410                         if (name == "H") {
2411                                 lst parameter;
2412                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2413                                                 parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2414                                 } else {
2415                                         parameter = lst(e.op(0));
2416                                 }
2417
2418                                 lst m;
2419                                 lst s;
2420                                 ex pf;
2421                                 if (convert_parameter_H_to_Li(parameter, m, s, pf)) {
2422                                         return pf * zeta(m, s);
2423                                 } else {
2424                                         return zeta(m);
2425                                 }
2426                         }
2427                 }
2428                 return e;
2429         }
2430 };
2431
2432
2433 // remove trailing zeros from H-parameters
2434 struct map_trafo_H_reduce_trailing_zeros : public map_function
2435 {
2436         ex operator()(const ex& e)
2437         {
2438                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2439                         return e.map(*this);
2440                 }
2441                 if (is_a<function>(e)) {
2442                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2443                         if (name == "H") {
2444                                 lst parameter;
2445                                 if (is_a<lst>(e.op(0))) {
2446                                         parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2447                                 } else {
2448                                         parameter = lst(e.op(0));
2449                                 }
2450                                 ex arg = e.op(1);
2451                                 if (parameter.op(parameter.nops()-1) == 0) {
2452                                         
2453                                         //
2454                                         if (parameter.nops() == 1) {
2455                                                 return log(arg);
2456                                         }
2457                                         
2458                                         //
2459                                         lst::const_iterator it = parameter.begin();
2460                                         while ((it != parameter.end()) && (*it == 0)) {
2461                                                 it++;
2462                                         }
2463                                         if (it == parameter.end()) {
2464                                                 return pow(log(arg),parameter.nops()) / factorial(parameter.nops());
2465                                         }
2466                                         
2467                                         //
2468                                         parameter.remove_last();
2469                                         std::size_t lastentry = parameter.nops();
2470                                         while ((lastentry > 0) && (parameter[lastentry-1] == 0)) {
2471                                                 lastentry--;
2472                                         }
2473                                         
2474                                         //
2475                                         ex result = log(arg) * H(parameter,arg).hold();
2476                                         ex acc = 0;
2477                                         for (ex i=0; i<lastentry; i++) {
2478                                                 if (parameter[i] > 0) {
2479                                                         parameter[i]++;
2480                                                         result -= (acc + parameter[i]-1) * H(parameter, arg).hold();
2481                                                         parameter[i]--;
2482                                                         acc = 0;
2483                                                 } else if (parameter[i] < 0) {
2484                                                         parameter[i]--;
2485                                                         result -= (acc + abs(parameter[i]+1)) * H(parameter, arg).hold();
2486                                                         parameter[i]++;
2487                                                         acc = 0;
2488                                                 } else {
2489                                                         acc++;
2490                                                 }
2491                                         }
2492                                         
2493                                         if (lastentry < parameter.nops()) {
2494                                                 result = result / (parameter.nops()-lastentry+1);
2495                                                 return result.map(*this);
2496                                         } else {
2497                                                 return result;
2498                                         }
2499                                 }
2500                         }
2501                 }
2502                 return e;
2503         }
2504 };
2505
2506
2507 // returns an expression with zeta functions corresponding to the parameter list for H
2508 ex convert_H_to_zeta(const lst& m)
2509 {
2510         symbol xtemp("xtemp");
2511         map_trafo_H_reduce_trailing_zeros filter;
2512         map_trafo_H_convert_to_zeta filter2;
2513         return filter2(filter(H(m, xtemp).hold())).subs(xtemp == 1);
2514 }
2515
2516
2517 // convert signs form Li to H representation
2518 lst convert_parameter_Li_to_H(const lst& m, const lst& x, ex& pf)
2519 {
2520         lst res;
2521         lst::const_iterator itm = m.begin();
2522         lst::const_iterator itx = ++x.begin();
2523         int signum = 1;
2524         pf = _ex1;
2525         res.append(*itm);
2526         itm++;
2527         while (itx != x.end()) {
2528                 GINAC_ASSERT((*itx == _ex1) || (*itx == _ex_1));
2529                 // XXX: 1 + 0.0*I is considered equal to 1. However the former
2530                 // is not automatically converted to a real number.
2531                 // Do the conversion explicitly to avoid the
2532                 // "numeric::operator>(): complex inequality" exception.
2533                 signum *= (*itx != _ex_1) ? 1 : -1;
2534                 pf *= signum;
2535                 res.append((*itm) * signum);
2536                 itm++;
2537                 itx++;
2538         }
2539         return res;
2540 }
2541
2542
2543 // multiplies an one-dimensional H with another H
2544 // [ReV] (18)
2545 ex trafo_H_mult(const ex& h1, const ex& h2)
2546 {
2547         ex res;
2548         ex hshort;
2549         lst hlong;
2550         ex h1nops = h1.op(0).nops();
2551         ex h2nops = h2.op(0).nops();
2552         if (h1nops > 1) {
2553                 hshort = h2.op(0).op(0);
2554                 hlong = ex_to<lst>(h1.op(0));
2555         } else {
2556                 hshort = h1.op(0).op(0);
2557                 if (h2nops > 1) {
2558                         hlong = ex_to<lst>(h2.op(0));
2559                 } else {
2560                         hlong = h2.op(0).op(0);
2561                 }
2562         }
2563         for (std::size_t i=0; i<=hlong.nops(); i++) {
2564                 lst newparameter;
2565                 std::size_t j=0;
2566                 for (; j<i; j++) {
2567                         newparameter.append(hlong[j]);
2568                 }
2569                 newparameter.append(hshort);
2570                 for (; j<hlong.nops(); j++) {
2571                         newparameter.append(hlong[j]);
2572                 }
2573                 res += H(newparameter, h1.op(1)).hold();
2574         }
2575         return res;
2576 }
2577
2578
2579 // applies trafo_H_mult recursively on expressions
2580 struct map_trafo_H_mult : public map_function
2581 {
2582         ex operator()(const ex& e)
2583         {
2584                 if (is_a<add>(e)) {
2585                         return e.map(*this);
2586                 }
2587
2588                 if (is_a<mul>(e)) {
2589
2590                         ex result = 1;
2591                         ex firstH;
2592                         lst Hlst;
2593                         for (std::size_t pos=0; pos<e.nops(); pos++) {
2594                                 if (is_a<power>(e.op(pos)) && is_a<function>(e.op(pos).op(0))) {
2595                                         std::string name = ex_to<function>(e.op(pos).op(0)).get_name();
2596                                         if (name == "H") {
2597                                                 for (ex i=0; i<e.op(pos).op(1); i++) {
2598                                                         Hlst.append(e.op(pos).op(0));
2599                                                 }
2600                                                 continue;
2601                                         }
2602                                 } else if (is_a<function>(e.op(pos))) {
2603                                         std::string name = ex_to<function>(e.op(pos)).get_name();
2604                                         if (name == "H") {
2605                                                 if (e.op(pos).op(0).nops() > 1) {
2606                                                         firstH = e.op(pos);
2607                                                 } else {
2608                                                         Hlst.append(e.op(pos));
2609                                                 }
2610                                                 continue;
2611                                         }
2612                                 }
2613                                 result *= e.op(pos);
2614                         }
2615                         if (firstH == 0) {
2616                                 if (Hlst.nops() > 0) {
2617                                         firstH = Hlst[Hlst.nops()-1];
2618                                         Hlst.remove_last();
2619                                 } else {
2620                                         return e;
2621                                 }
2622                         }
2623
2624                         if (Hlst.nops() > 0) {
2625                                 ex buffer = trafo_H_mult(firstH, Hlst.op(0));
2626                                 result *= buffer;
2627                                 for (std::size_t i=1; i<Hlst.nops(); i++) {
2628                                         result *= Hlst.op(i);
2629                                 }
2630                                 result = result.expand();
2631                                 map_trafo_H_mult recursion;
2632                                 return recursion(result);
2633                         } else {
2634                                 return e;
2635                         }
2636
2637                 }
2638                 return e;
2639         }
2640 };
2641
2642
2643 // do integration [ReV] (55)
2644 // put parameter 0 in front of existing parameters
2645 ex trafo_H_1tx_prepend_zero(const ex& e, const ex& arg)
2646 {
2647         ex h;
2648         std::string name;
2649         if (is_a<function>(e)) {
2650                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2651         }
2652         if (name == "H") {
2653                 h = e;
2654         } else {
2655                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2656                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2657                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2658                                 if (name == "H") {
2659                                         h = e.op(i);
2660                                 }
2661                         }
2662                 }
2663         }
2664         if (h != 0) {
2665                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2666                 newparameter.prepend(0);
2667                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(newparameter);
2668                 return e.subs(h == (addzeta-H(newparameter, h.op(1)).hold())).expand();
2669         } else {
2670                 return e * (-H(lst(ex(0)),1/arg).hold());
2671         }
2672 }
2673
2674
2675 // do integration [ReV] (49)
2676 // put parameter 1 in front of existing parameters
2677 ex trafo_H_prepend_one(const ex& e, const ex& arg)
2678 {
2679         ex h;
2680         std::string name;
2681         if (is_a<function>(e)) {
2682                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2683         }
2684         if (name == "H") {
2685                 h = e;
2686         } else {
2687                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2688                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2689                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2690                                 if (name == "H") {
2691                                         h = e.op(i);
2692                                 }
2693                         }
2694                 }
2695         }
2696         if (h != 0) {
2697                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2698                 newparameter.prepend(1);
2699                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold());
2700         } else {
2701                 return e * H(lst(ex(1)),1-arg).hold();
2702         }
2703 }
2704
2705
2706 // do integration [ReV] (55)
2707 // put parameter -1 in front of existing parameters
2708 ex trafo_H_1tx_prepend_minusone(const ex& e, const ex& arg)
2709 {
2710         ex h;
2711         std::string name;
2712         if (is_a<function>(e)) {
2713                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2714         }
2715         if (name == "H") {
2716                 h = e;
2717         } else {
2718                 for (std::size_t i=0; i<e.nops(); i++) {
2719                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2720                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2721                                 if (name == "H") {
2722                                         h = e.op(i);
2723                                 }
2724                         }
2725                 }
2726         }
2727         if (h != 0) {
2728                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2729                 newparameter.prepend(-1);
2730                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(newparameter);
2731                 return e.subs(h == (addzeta-H(newparameter, h.op(1)).hold())).expand();
2732         } else {
2733                 ex addzeta = convert_H_to_zeta(lst(ex(-1)));
2734                 return (e * (addzeta - H(lst(ex(-1)),1/arg).hold())).expand();
2735         }
2736 }
2737
2738
2739 // do integration [ReV] (55)
2740 // put parameter -1 in front of existing parameters
2741 ex trafo_H_1mxt1px_prepend_minusone(const ex& e, const ex& arg)
2742 {
2743         ex h;
2744         std::string name;
2745         if (is_a<function>(e)) {
2746                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2747         }
2748         if (name == "H") {
2749                 h = e;
2750         } else {
2751                 for (std::size_t i = 0; i < e.nops(); i++) {
2752                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2753                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2754                                 if (name == "H") {
2755                                         h = e.op(i);
2756                                 }
2757                         }
2758                 }
2759         }
2760         if (h != 0) {
2761                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2762                 newparameter.prepend(-1);
2763                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold()).expand();
2764         } else {
2765                 return (e * H(lst(ex(-1)),(1-arg)/(1+arg)).hold()).expand();
2766         }
2767 }
2768
2769
2770 // do integration [ReV] (55)
2771 // put parameter 1 in front of existing parameters
2772 ex trafo_H_1mxt1px_prepend_one(const ex& e, const ex& arg)
2773 {
2774         ex h;
2775         std::string name;
2776         if (is_a<function>(e)) {
2777                 name = ex_to<function>(e).get_name();
2778         }
2779         if (name == "H") {
2780                 h = e;
2781         } else {
2782                 for (std::size_t i = 0; i < e.nops(); i++) {
2783                         if (is_a<function>(e.op(i))) {
2784                                 std::string name = ex_to<function>(e.op(i)).get_name();
2785                                 if (name == "H") {
2786                                         h = e.op(i);
2787                                 }
2788                         }
2789                 }
2790         }
2791         if (h != 0) {
2792                 lst newparameter = ex_to<lst>(h.op(0));
2793                 newparameter.prepend(1);
2794                 return e.subs(h == H(newparameter, h.op(1)).hold()).expand();
2795         } else {
2796                 return (e * H(lst(ex(1)),(1-arg)/(1+arg)).hold()).expand();
2797         }
2798 }
2799
2800
2801 // do x -> 1-x transformation
2802 struct map_trafo_H_1mx : public map_function
2803 {
2804         ex operator()(const ex& e)
2805         {
2806                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2807                         return e.map(*this);
2808                 }
2809                 
2810                 if (is_a<function>(e)) {
2811                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2812                         if (name == "H") {
2813
2814                                 lst parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2815                                 ex arg = e.op(1);
2816
2817                                 // special cases if all parameters are either 0, 1 or -1
2818                                 bool allthesame = true;
2819                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2820                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2821                                                 if (parameter.op(i) != 0) {
2822                                                         allthesame = false;
2823                                                         break;
2824                                                 }
2825                                         }
2826                                         if (allthesame) {
2827                                                 lst newparameter;
2828                                                 for (int i=parameter.nops(); i>0; i--) {
2829                                                         newparameter.append(1);
2830                                                 }
2831                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(newparameter, 1-arg).hold();
2832                                         }
2833                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {
2834                                         throw std::runtime_error("map_trafo_H_1mx: cannot handle weights equal -1!");
2835                                 } else {
2836                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2837                                                 if (parameter.op(i) != 1) {
2838                                                         allthesame = false;
2839                                                         break;
2840                                                 }
2841                                         }
2842                                         if (allthesame) {
2843                                                 lst newparameter;
2844                                                 for (int i=parameter.nops(); i>0; i--) {
2845                                                         newparameter.append(0);
2846                                                 }
2847                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(newparameter, 1-arg).hold();
2848                                         }
2849                                 }
2850
2851                                 lst newparameter = parameter;
2852                                 newparameter.remove_first();
2853
2854                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2855
2856                                         // leading zero
2857                                         ex res = convert_H_to_zeta(parameter);
2858                                         //ex res = convert_from_RV(parameter, 1).subs(H(wild(1),wild(2))==zeta(wild(1)));
2859                                         map_trafo_H_1mx recursion;
2860                                         ex buffer = recursion(H(newparameter, arg).hold());
2861                                         if (is_a<add>(buffer)) {
2862                                                 for (std::size_t i = 0; i < buffer.nops(); i++) {
2863                                                         res -= trafo_H_prepend_one(buffer.op(i), arg);
2864                                                 }
2865                                         } else {
2866                                                 res -= trafo_H_prepend_one(buffer, arg);
2867                                         }
2868                                         return res;
2869
2870                                 } else {
2871
2872                                         // leading one
2873                                         map_trafo_H_1mx recursion;
2874                                         map_trafo_H_mult unify;
2875                                         ex res = H(lst(ex(1)), arg).hold() * H(newparameter, arg).hold();
2876                                         std::size_t firstzero = 0;
2877                                         while (parameter.op(firstzero) == 1) {
2878                                                 firstzero++;
2879                                         }
2880                                         for (std::size_t i = firstzero-1; i < parameter.nops()-1; i++) {
2881                                                 lst newparameter;
2882                                                 std::size_t j=0;
2883                                                 for (; j<=i; j++) {
2884                                                         newparameter.append(parameter[j+1]);
2885                                                 }
2886                                                 newparameter.append(1);
2887                                                 for (; j<parameter.nops()-1; j++) {
2888                                                         newparameter.append(parameter[j+1]);
2889                                                 }
2890                                                 res -= H(newparameter, arg).hold();
2891                                         }
2892                                         res = recursion(res).expand() / firstzero;
2893                                         return unify(res);
2894                                 }
2895                         }
2896                 }
2897                 return e;
2898         }
2899 };
2900
2901
2902 // do x -> 1/x transformation
2903 struct map_trafo_H_1overx : public map_function
2904 {
2905         ex operator()(const ex& e)
2906         {
2907                 if (is_a<add>(e) || is_a<mul>(e)) {
2908                         return e.map(*this);
2909                 }
2910
2911                 if (is_a<function>(e)) {
2912                         std::string name = ex_to<function>(e).get_name();
2913                         if (name == "H") {
2914
2915                                 lst parameter = ex_to<lst>(e.op(0));
2916                                 ex arg = e.op(1);
2917
2918                                 // special cases if all parameters are either 0, 1 or -1
2919                                 bool allthesame = true;
2920                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2921                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2922                                                 if (parameter.op(i) != 0) {
2923                                                         allthesame = false;
2924                                                         break;
2925                                                 }
2926                                         }
2927                                         if (allthesame) {
2928                                                 return pow(-1, parameter.nops()) * H(parameter, 1/arg).hold();
2929                                         }
2930                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {
2931                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2932                                                 if (parameter.op(i) != -1) {
2933                                                         allthesame = false;
2934                                                         break;
2935                                                 }
2936                                         }
2937                                         if (allthesame) {
2938                                                 map_trafo_H_mult unify;
2939                                                 return unify((pow(H(lst(ex(-1)),1/arg).hold() - H(lst(ex(0)),1/arg).hold(), parameter.nops())
2940                                                        / factorial(parameter.nops())).expand());
2941                                         }
2942                                 } else {
2943                                         for (std::size_t i = 1; i < parameter.nops(); i++) {
2944                                                 if (parameter.op(i) != 1) {
2945                                                         allthesame = false;
2946                                                         break;
2947                                                 }
2948                                         }
2949                                         if (allthesame) {
2950                                                 map_trafo_H_mult unify;
2951                                                 return unify((pow(H(lst(ex(1)),1/arg).hold() + H(lst(ex(0)),1/arg).hold() + H_polesign, parameter.nops())
2952                                                        / factorial(parameter.nops())).expand());
2953                                         }
2954                                 }
2955
2956                                 lst newparameter = parameter;
2957                                 newparameter.remove_first();
2958
2959                                 if (parameter.op(0) == 0) {
2960                                         
2961                                         // leading zero
2962                                         ex res = convert_H_to_zeta(parameter);
2963                                         map_trafo_H_1overx recursion;
2964                                         ex buffer = recursion(H(newparameter, arg).hold());
2965                                         if (is_a<add>(buffer)) {
2966                                                 for (std::size_t i = 0; i < buffer.nops(); i++) {
2967                                                         res += trafo_H_1tx_prepend_zero(buffer.op(i), arg);
2968                                                 }
2969                                         } else {
2970                                                 res += trafo_H_1tx_prepend_zero(buffer, arg);
2971                                         }
2972                                         return res;
2973
2974                                 } else if (parameter.op(0) == -1) {
2975
2976                                         // leading negative one
2977                                         ex res = convert_H_to_zeta(parameter);
2978                                         map_trafo_H_1overx recursion;
2979                                         ex buffer = recursion(H(newparameter, arg).hold());
2980                                         if (is_a<add>(buffer)) {
2981            &nb