ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
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  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44
  45         // other constructors
  46 public:
  47         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  48         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
  49
  50         // internal constructors
  51         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, const exvector & v, bool discardable = false);
  52         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, std::auto_ptr<exvector> vp);
  53
  54         // functions overriding virtual functions from base classes
  55 public:
  56         unsigned precedence() const { return 65; }
  57 protected:
  58         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  59         bool match_same_type(const basic & other) const;
  60         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  61         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  62         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  63         unsigned return_type_tinfo() const { return TINFO_clifford + representation_label; }
  64
  65         // non-virtual functions in this class
  66 public:
  67         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  68         ex get_metric() const { return metric; }
  69         ex get_metric(const ex & i, const ex & j) const;
  70         bool same_metric(const ex & other) const;
  71
  72 protected:
  73         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  74         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  75
  76         // member variables
  77 private:
  78         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  79         ex metric;
  80 };
  81
  82
  83 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  84 class diracone : public tensor
  85 {
  86         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  87
  88         // non-virtual functions in this class
  89 protected:
  90         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  91         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  92 };
  93
  94
  95 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
  96 class cliffordunit : public tensor
  97 {
  98         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
  99
 100         // other constructors
 101 protected:
 102         cliffordunit(unsigned ti) : inherited(ti) {}
 103
 104         // functions overriding virtual functions from base classes
 105 public:
 106         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 107
 108         // non-virtual functions in this class
 109 protected:
 110         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 111         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 112 };
 113
 114
 115 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 116 class diracgamma : public cliffordunit
 117 {
 118         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 119
 120         // functions overriding virtual functions from base classes
 121 public:
 122         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 123
 124         // non-virtual functions in this class
 125 protected:
 126         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 127         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 128 };
 129
 130
 131 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 132  *  all other gammas. */
 133 class diracgamma5 : public tensor
 134 {
 135         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 136
 137         // functions overriding virtual functions from base classes
 138         ex conjugate() const;
 139
 140         // non-virtual functions in this class
 141 protected:
 142         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 143         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 144 };
 145
 146
 147 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 148  *  1/2 (1-gamma5). */
 149 class diracgammaL : public tensor
 150 {
 151         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 152
 153         // functions overriding virtual functions from base classes
 154         ex conjugate() const;
 155
 156         // non-virtual functions in this class
 157 protected:
 158         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 159         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 160 };
 161
 162
 163 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 164  *  1/2 (1+gamma5). */
 165 class diracgammaR : public tensor
 166 {
 167         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 168
 169         // functions overriding virtual functions from base classes
 170         ex conjugate() const;
 171
 172         // non-virtual functions in this class
 173 protected:
 174         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 175         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 176 };
 177
 178
 179 // global functions
 180
 181 /** Specialization of is_exactly_a<clifford>(obj) for clifford objects. */
 182 template<> inline bool is_exactly_a<clifford>(const basic & obj)
 183 {
 184         return obj.tinfo()==TINFO_clifford;
 185 }
 186
 187 /** Create a Clifford unity object.
 188  *
 189  *  @param rl Representation label
 190  *  @return newly constructed object */
 191 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 192
 193 /** Create a Clifford unit object.
 194  *
 195  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 196  *  @param metr Metric (should be of class tensmetric or a derived class, or a matrix)
 197  *  @param rl Representation label
 198  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 199 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 200
 201 /** Create a Dirac gamma object.
 202  *
 203  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 204  *  @param rl Representation label
 205  *  @return newly constructed gamma object */
 206 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 207
 208 /** Create a Dirac gamma5 object.
 209  *
 210  *  @param rl Representation label
 211  *  @return newly constructed object */
 212 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 213
 214 /** Create a Dirac gammaL object.
 215  *
 216  *  @param rl Representation label
 217  *  @return newly constructed object */
 218 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 219
 220 /** Create a Dirac gammaR object.
 221  *
 222  *  @param rl Representation label
 223  *  @return newly constructed object */
 224 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 225
 226 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 227  *
 228  *  @param e Original expression
 229  *  @param dim Dimension of index
 230  *  @param rl Representation label */
 231 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 232
 233 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 234  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 235  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 236  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 237  *
 238  *  @param e Expression to take the trace of
 239  *  @param rls Set of representation labels
 240  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 241 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 242
 243 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 244  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 245  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 246  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 247  *
 248  *  @param e Expression to take the trace of
 249  *  @param rll List of representation labels
 250  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 251 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 252
 253 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 254  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 255  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 256  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 257  *  when gamma5 is involved.
 258  *
 259  *  @param e Expression to take the trace of
 260  *  @param rl Representation label
 261  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 262 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 263
 264 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 265  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 266  *  to check two expressions for equality. */
 267 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 268
 269 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 270  *  clifford units. */
 271 ex clifford_prime(const ex & e);
 272
 273 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 274  *  and changes signs of all clifford units. */
 275 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 276
 277 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 278 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 279
 280 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 281  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 282  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 283  *
 284  *  @param e Expression to be processed
 285  *  @param rl Value of representation label */
 286 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0);
 287
 288 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 289 ex clifford_norm(const ex & e);
 290
 291 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 292 ex clifford_inverse(const ex & e);
 293
 294 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 295  *
 296  *  @param v List or vector of coordinates
 297  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 298  *  @param metr Metric (should be of class tensmetric or a derived class, or a matrix)
 299  *  @param rl Representation label
 300  *  @param e Clifford unit object
 301  *  @return Clifford vector with given components */
 302 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 303 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 304
 305 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 306  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 307  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 308  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 309  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 310  *
 311  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 312  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 313  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 314  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 315 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 316
 317 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 318  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 319  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 320  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 321  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 322  *
 323  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 324  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 325  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 326  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 327  *  @param v Vector to be transformed
 328  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 329  *  @param rl Representation label
 330  *  @return List of components of the transformed vector*/
 331 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 332
 333 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 334  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 335  *
 336  *  @param M the defining matrix
 337  *  @param v Vector to be transformed
 338  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 339  *  @param rl Representation label
 340  *  @return List of components of the transformed vector*/
 341 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 342
 343 } // namespace GiNaC
 344
 345 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__