ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2006 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
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  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44 public:
  45         static const tinfo_static_t return_type_tinfo_static[256];
  46
  47         // other constructors
  48 public:
  49         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  50         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, int comm_sign = -1);
  51
  52         // internal constructors
  53         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, const exvector & v, bool discardable = false);
  54         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, std::auto_ptr<exvector> vp);
  55
  56         // functions overriding virtual functions from base classes
  57 public:
  58         unsigned precedence() const { return 65; }
  59 protected:
  60         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  61         bool match_same_type(const basic & other) const;
  62         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  63         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  64         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  65         tinfo_t return_type_tinfo() const { return clifford::return_type_tinfo_static+representation_label; }
  66
  67         // non-virtual functions in this class
  68 public:
  69         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  70         ex get_metric() const { return metric; }
  71         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  72         bool same_metric(const ex & other) const;
  73         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  74
  75         inline size_t nops() const {return inherited::nops() + 1; }
  76         ex op(size_t i) const;
  77         ex & let_op(size_t i);
  78         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const;
  79
  80 protected:
  81         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  82         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  83
  84         // member variables
  85 protected:
  86         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  87         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  88         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  89 };
  90
  91 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  92 class diracone : public tensor
  93 {
  94         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  95
  96         // non-virtual functions in this class
  97 protected:
  98         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  99         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 100 };
 101
 102
 103 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 104 class cliffordunit : public tensor
 105 {
 106         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 107
 108         // other constructors
 109 protected:
 110         cliffordunit(tinfo_t ti) : inherited(ti) {}
 111
 112         // functions overriding virtual functions from base classes
 113 public:
 114         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 115
 116         // non-virtual functions in this class
 117 protected:
 118         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 119         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 120 };
 121
 122
 123 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 124 class diracgamma : public cliffordunit
 125 {
 126         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 127
 128         // functions overriding virtual functions from base classes
 129 public:
 130         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 131
 132         // non-virtual functions in this class
 133 protected:
 134         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 135         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 136 };
 137
 138
 139 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 140  *  all other gammas. */
 141 class diracgamma5 : public tensor
 142 {
 143         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 144
 145         // functions overriding virtual functions from base classes
 146         ex conjugate() const;
 147
 148         // non-virtual functions in this class
 149 protected:
 150         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 151         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 152 };
 153
 154
 155 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 156  *  1/2 (1-gamma5). */
 157 class diracgammaL : public tensor
 158 {
 159         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 160
 161         // functions overriding virtual functions from base classes
 162         ex conjugate() const;
 163
 164         // non-virtual functions in this class
 165 protected:
 166         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 167         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 168 };
 169
 170
 171 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 172  *  1/2 (1+gamma5). */
 173 class diracgammaR : public tensor
 174 {
 175         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 176
 177         // functions overriding virtual functions from base classes
 178         ex conjugate() const;
 179
 180         // non-virtual functions in this class
 181 protected:
 182         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 183         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 184 };
 185
 186
 187 // global functions
 188
 189 /** Check whether a given tinfo key (as returned by return_type_tinfo()
 190   * is that of a clifford object (with an arbitrary representation label).
 191   *
 192   * @param ti tinfo key */
 193 bool is_clifford_tinfo(tinfo_t ti);
 194
 195 /** Create a Clifford unity object.
 196  *
 197  *  @param rl Representation label
 198  *  @return newly constructed object */
 199 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 200
 201 /** Create a Clifford unit object.
 202  *
 203  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 204  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 205  *  @param rl Representation label
 206  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 207 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 208
 209 /** Create a Dirac gamma object.
 210  *
 211  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 212  *  @param rl Representation label
 213  *  @return newly constructed gamma object */
 214 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 215
 216 /** Create a Dirac gamma5 object.
 217  *
 218  *  @param rl Representation label
 219  *  @return newly constructed object */
 220 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 221
 222 /** Create a Dirac gammaL object.
 223  *
 224  *  @param rl Representation label
 225  *  @return newly constructed object */
 226 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 227
 228 /** Create a Dirac gammaR object.
 229  *
 230  *  @param rl Representation label
 231  *  @return newly constructed object */
 232 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 233
 234 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 235  *
 236  *  @param e Original expression
 237  *  @param dim Dimension of index
 238  *  @param rl Representation label */
 239 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 240
 241 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 242  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 243  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 244  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 245  *
 246  *  @param e Expression to take the trace of
 247  *  @param rls Set of representation labels
 248  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 249 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 250
 251 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 252  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 253  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 254  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 255  *
 256  *  @param e Expression to take the trace of
 257  *  @param rll List of representation labels
 258  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 259 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 260
 261 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 262  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 263  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 264  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 265  *  when gamma5 is involved.
 266  *
 267  *  @param e Expression to take the trace of
 268  *  @param rl Representation label
 269  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 270 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 271
 272 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 273  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 274  *  to check two expressions for equality. */
 275 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 276
 277 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 278  *  clifford units. */
 279 ex clifford_prime(const ex & e);
 280
 281 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 282  *  and changes signs of all clifford units. */
 283 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 284
 285 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 286 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 287
 288 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 289  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 290  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 291  *
 292  *  @param e Expression to be processed
 293  *  @param rl Value of representation label
 294  *  @param options Defines some internal use */
 295 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 296
 297 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 298  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 299  *
 300  *  @param e Expression to be processed
 301  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 302 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 303
 304 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 305 ex clifford_norm(const ex & e);
 306
 307 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 308 ex clifford_inverse(const ex & e);
 309
 310 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 311  *
 312  *  @param v List or vector of coordinates
 313  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 314  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 315  *  @param rl Representation label
 316  *  @param e Clifford unit object
 317  *  @return Clifford vector with given components */
 318 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 319 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 320
 321 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 322  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 323  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 324  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 325  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 326  *
 327  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 328  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 329  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 330  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 331 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 332
 333 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 334  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 335  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 336  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 337  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 338  *
 339  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 340  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 341  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 342  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 343  *  @param v Vector to be transformed
 344  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 345  *  @param rl Representation label
 346  *  @return List of components of the transformed vector*/
 347 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 348
 349 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 350  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 351  *
 352  *  @param M the defining matrix
 353  *  @param v Vector to be transformed
 354  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 355  *  @param rl Representation label
 356  *  @return List of components of the transformed vector*/
 357 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 358
 359 } // namespace GiNaC
 360
 361 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__