ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2009 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef GINAC_CLIFFORD_H
  24 #define GINAC_CLIFFORD_H
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  36  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  37  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  38  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  39  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  40 class clifford : public indexed
  41 {
  42         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  43         // other constructors
  44 public:
  45         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  46         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, int comm_sign = -1);
  47
  48         // internal constructors
  49         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, const exvector & v, bool discardable = false);
  50         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, std::auto_ptr<exvector> vp);
  51
  52         // functions overriding virtual functions from base classes
  53 public:
  54         unsigned precedence() const { return 65; }
  55         void archive(archive_node& n) const;
  56         void read_archive(const archive_node& n, lst& sym_lst);
  57 protected:
  58         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  59         bool match_same_type(const basic & other) const;
  60         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  61         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  62         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  63         return_type_t return_type_tinfo() const;
  64         // non-virtual functions in this class
  65 public:
  66         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  67         ex get_metric() const { return metric; }
  68         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  69         bool same_metric(const ex & other) const;
  70         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  71
  72         inline size_t nops() const {return inherited::nops() + 1; }
  73         ex op(size_t i) const;
  74         ex & let_op(size_t i);
  75         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const;
  76
  77 protected:
  78         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  79         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  80
  81         // member variables
  82 protected:
  83         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  84         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  85         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  86 };
  87 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(clifford);
  88
  89 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  90 class diracone : public tensor
  91 {
  92         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  93
  94         // non-virtual functions in this class
  95 protected:
  96         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  97         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  98 };
  99 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracone);
 100
 101
 102 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 103 class cliffordunit : public tensor
 104 {
 105         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 106
 107         // functions overriding virtual functions from base classes
 108 public:
 109         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 110
 111         // non-virtual functions in this class
 112 protected:
 113         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 114         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 115 };
 116
 117
 118 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 119 class diracgamma : public cliffordunit
 120 {
 121         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 122
 123         // functions overriding virtual functions from base classes
 124 public:
 125         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 126
 127         // non-virtual functions in this class
 128 protected:
 129         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 130         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 131 };
 132 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgamma);
 133
 134
 135 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 136  *  all other gammas. */
 137 class diracgamma5 : public tensor
 138 {
 139         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 140
 141         // functions overriding virtual functions from base classes
 142         ex conjugate() const;
 143
 144         // non-virtual functions in this class
 145 protected:
 146         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 147         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 148 };
 149 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgamma5);
 150
 151
 152 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 153  *  1/2 (1-gamma5). */
 154 class diracgammaL : public tensor
 155 {
 156         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 157
 158         // functions overriding virtual functions from base classes
 159         ex conjugate() const;
 160
 161         // non-virtual functions in this class
 162 protected:
 163         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 164         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 165 };
 166 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgammaL);
 167
 168
 169 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 170  *  1/2 (1+gamma5). */
 171 class diracgammaR : public tensor
 172 {
 173         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 174
 175         // functions overriding virtual functions from base classes
 176         ex conjugate() const;
 177
 178         // non-virtual functions in this class
 179 protected:
 180         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 181         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 182 };
 183 GINAC_DECLARE_UNARCHIVER(diracgammaR);
 184
 185
 186 // global functions
 187
 188 /** Check whether a given return_type_t object (as returned by return_type_tinfo()
 189   * is that of a clifford object (with an arbitrary representation label).
 190   *
 191   * @param ti tinfo key */
 192 inline bool is_clifford_tinfo(const return_type_t& ti)
 193 {
 194         return *(ti.tinfo) == typeid(clifford);
 195 }
 196
 197 /** Create a Clifford unity object.
 198  *
 199  *  @param rl Representation label
 200  *  @return newly constructed object */
 201 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 202
 203 /** Create a Clifford unit object.
 204  *
 205  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 206  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 207  *  @param rl Representation label
 208  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 209 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 210
 211 /** Create a Dirac gamma object.
 212  *
 213  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 214  *  @param rl Representation label
 215  *  @return newly constructed gamma object */
 216 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 217
 218 /** Create a Dirac gamma5 object.
 219  *
 220  *  @param rl Representation label
 221  *  @return newly constructed object */
 222 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 223
 224 /** Create a Dirac gammaL object.
 225  *
 226  *  @param rl Representation label
 227  *  @return newly constructed object */
 228 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 229
 230 /** Create a Dirac gammaR object.
 231  *
 232  *  @param rl Representation label
 233  *  @return newly constructed object */
 234 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 235
 236 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 237  *
 238  *  @param e Original expression
 239  *  @param dim Dimension of index
 240  *  @param rl Representation label */
 241 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 242
 243 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 244  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 245  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 246  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 247  *
 248  *  @param e Expression to take the trace of
 249  *  @param rls Set of representation labels
 250  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 251 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 252
 253 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 254  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 255  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 256  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 257  *
 258  *  @param e Expression to take the trace of
 259  *  @param rll List of representation labels
 260  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 261 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 262
 263 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 264  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 265  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 266  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 267  *  when gamma5 is involved.
 268  *
 269  *  @param e Expression to take the trace of
 270  *  @param rl Representation label
 271  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 272 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 273
 274 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 275  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 276  *  to check two expressions for equality. */
 277 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 278
 279 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 280  *  clifford units. */
 281 ex clifford_prime(const ex & e);
 282
 283 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 284  *  and changes signs of all clifford units. */
 285 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 286
 287 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 288 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 289
 290 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 291  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 292  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 293  *
 294  *  @param e Expression to be processed
 295  *  @param rl Value of representation label
 296  *  @param options Defines some internal use */
 297 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 298
 299 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 300  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 301  *
 302  *  @param e Expression to be processed
 303  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 304 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 305
 306 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 307 ex clifford_norm(const ex & e);
 308
 309 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 310 ex clifford_inverse(const ex & e);
 311
 312 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 313  *
 314  *  @param v List or vector of coordinates
 315  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 316  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 317  *  @param rl Representation label
 318  *  @param e Clifford unit object
 319  *  @return Clifford vector with given components */
 320 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 321 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 322
 323 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 324  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 325  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 326  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 327  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 328  *
 329  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 330  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 331  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 332  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 333 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 334
 335 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 336  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 337  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 338  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 339  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 340  *
 341  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 342  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 343  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 344  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 345  *  @param v Vector to be transformed
 346  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 347  *  @param rl Representation label
 348  *  @return List of components of the transformed vector*/
 349 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 350
 351 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 352  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 353  *
 354  *  @param M the defining matrix
 355  *  @param v Vector to be transformed
 356  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 357  *  @param rl Representation label
 358  *  @return List of components of the transformed vector*/
 359 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 360
 361 } // namespace GiNaC
 362
 363 #endif // ndef GINAC_CLIFFORD_H