ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44
  45         // other constructors
  46 public:
  47         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false);
  48         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false);
  49
  50         // internal constructors
  51         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, const exvector & v, bool discardable = false);
  52         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, std::auto_ptr<exvector> vp);
  53
  54         // functions overriding virtual functions from base classes
  55 public:
  56         unsigned precedence() const { return 65; }
  57 protected:
  58         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  59         bool match_same_type(const basic & other) const;
  60         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  61         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  62         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  63         unsigned return_type_tinfo() const { return TINFO_clifford + representation_label; }
  64
  65         // non-virtual functions in this class
  66 public:
  67         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  68         ex get_metric() const { return metric; }
  69         ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  70         bool same_metric(const ex & other) const;
  71         bool is_anticommuting() const { return anticommuting; } //**< See the member variable anticommuting */
  72
  73 protected:
  74         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  75         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  76
  77         // member variables
  78 private:
  79         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  80         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  81         bool anticommuting; /**< Simplifications for anticommuting units is much simpler and we need this info readily available */
  82 };
  83
  84
  85 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  86 class diracone : public tensor
  87 {
  88         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  89
  90         // non-virtual functions in this class
  91 protected:
  92         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  93         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  94 };
  95
  96
  97 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
  98 class cliffordunit : public tensor
  99 {
 100         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 101
 102         // other constructors
 103 protected:
 104         cliffordunit(unsigned ti) : inherited(ti) {}
 105
 106         // functions overriding virtual functions from base classes
 107 public:
 108         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 109
 110         // non-virtual functions in this class
 111 protected:
 112         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 113         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 114 };
 115
 116
 117 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 118 class diracgamma : public cliffordunit
 119 {
 120         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 121
 122         // functions overriding virtual functions from base classes
 123 public:
 124         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 125
 126         // non-virtual functions in this class
 127 protected:
 128         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 129         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 130 };
 131
 132
 133 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 134  *  all other gammas. */
 135 class diracgamma5 : public tensor
 136 {
 137         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 138
 139         // functions overriding virtual functions from base classes
 140         ex conjugate() const;
 141
 142         // non-virtual functions in this class
 143 protected:
 144         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 145         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 146 };
 147
 148
 149 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 150  *  1/2 (1-gamma5). */
 151 class diracgammaL : public tensor
 152 {
 153         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 154
 155         // functions overriding virtual functions from base classes
 156         ex conjugate() const;
 157
 158         // non-virtual functions in this class
 159 protected:
 160         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 161         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 162 };
 163
 164
 165 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 166  *  1/2 (1+gamma5). */
 167 class diracgammaR : public tensor
 168 {
 169         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 170
 171         // functions overriding virtual functions from base classes
 172         ex conjugate() const;
 173
 174         // non-virtual functions in this class
 175 protected:
 176         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 177         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 178 };
 179
 180
 181 // global functions
 182
 183 /** Specialization of is_exactly_a<clifford>(obj) for clifford objects. */
 184 template<> inline bool is_exactly_a<clifford>(const basic & obj)
 185 {
 186         return obj.tinfo()==TINFO_clifford;
 187 }
 188
 189 /** Create a Clifford unity object.
 190  *
 191  *  @param rl Representation label
 192  *  @return newly constructed object */
 193 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 194
 195 /** Create a Clifford unit object.
 196  *
 197  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 198  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 199  *  @param rl Representation label
 200  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 201 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 202
 203 /** Create a Dirac gamma object.
 204  *
 205  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 206  *  @param rl Representation label
 207  *  @return newly constructed gamma object */
 208 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 209
 210 /** Create a Dirac gamma5 object.
 211  *
 212  *  @param rl Representation label
 213  *  @return newly constructed object */
 214 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 215
 216 /** Create a Dirac gammaL object.
 217  *
 218  *  @param rl Representation label
 219  *  @return newly constructed object */
 220 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 221
 222 /** Create a Dirac gammaR object.
 223  *
 224  *  @param rl Representation label
 225  *  @return newly constructed object */
 226 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 227
 228 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 229  *
 230  *  @param e Original expression
 231  *  @param dim Dimension of index
 232  *  @param rl Representation label */
 233 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 234
 235 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 236  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 237  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 238  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 239  *
 240  *  @param e Expression to take the trace of
 241  *  @param rls Set of representation labels
 242  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 243 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 244
 245 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 246  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 247  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 248  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 249  *
 250  *  @param e Expression to take the trace of
 251  *  @param rll List of representation labels
 252  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 253 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 254
 255 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 256  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 257  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 258  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 259  *  when gamma5 is involved.
 260  *
 261  *  @param e Expression to take the trace of
 262  *  @param rl Representation label
 263  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 264 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 265
 266 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 267  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 268  *  to check two expressions for equality. */
 269 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 270
 271 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 272  *  clifford units. */
 273 ex clifford_prime(const ex & e);
 274
 275 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 276  *  and changes signs of all clifford units. */
 277 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 278
 279 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 280 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 281
 282 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 283  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 284  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 285  *
 286  *  @param e Expression to be processed
 287  *  @param rl Value of representation label
 288  *  @param options Defines some internal use */
 289 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 290
 291 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 292  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 293  *
 294  *  @param e Expression to be processed
 295  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 296 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 297
 298 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 299 ex clifford_norm(const ex & e);
 300
 301 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 302 ex clifford_inverse(const ex & e);
 303
 304 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 305  *
 306  *  @param v List or vector of coordinates
 307  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 308  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 309  *  @param rl Representation label
 310  *  @param e Clifford unit object
 311  *  @return Clifford vector with given components */
 312 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 313 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 314
 315 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 316  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 317  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 318  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 319  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 320  *
 321  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 322  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 323  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 324  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 325 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 326
 327 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 328  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 329  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 330  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 331  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 332  *
 333  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 334  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 335  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 336  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 337  *  @param v Vector to be transformed
 338  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 339  *  @param rl Representation label
 340  *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
 341  *  @return List of components of the transformed vector*/
 342 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 343
 344 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 345  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 346  *
 347  *  @param M the defining matrix
 348  *  @param v Vector to be transformed
 349  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 350  *  @param rl Representation label
 351  *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
 352  *  @return List of components of the transformed vector*/
 353 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 354
 355 } // namespace GiNaC
 356
 357 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__