ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2008 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
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  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44         // other constructors
  45 public:
  46         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  47         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, int comm_sign = -1);
  48
  49         // internal constructors
  50         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, const exvector & v, bool discardable = false);
  51         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, std::auto_ptr<exvector> vp);
  52
  53         // functions overriding virtual functions from base classes
  54 public:
  55         unsigned precedence() const { return 65; }
  56 protected:
  57         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  58         bool match_same_type(const basic & other) const;
  59         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  60         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  61         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  62         return_type_t return_type_tinfo() const;
  63         // non-virtual functions in this class
  64 public:
  65         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  66         ex get_metric() const { return metric; }
  67         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  68         bool same_metric(const ex & other) const;
  69         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  70
  71         inline size_t nops() const {return inherited::nops() + 1; }
  72         ex op(size_t i) const;
  73         ex & let_op(size_t i);
  74         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const;
  75
  76 protected:
  77         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  78         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  79
  80         // member variables
  81 protected:
  82         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  83         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  84         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  85 };
  86
  87 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  88 class diracone : public tensor
  89 {
  90         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  91
  92         // non-virtual functions in this class
  93 protected:
  94         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  95         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  96 };
  97
  98
  99 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 100 class cliffordunit : public tensor
 101 {
 102         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 103
 104         // functions overriding virtual functions from base classes
 105 public:
 106         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 107
 108         // non-virtual functions in this class
 109 protected:
 110         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 111         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 112 };
 113
 114
 115 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 116 class diracgamma : public cliffordunit
 117 {
 118         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 119
 120         // functions overriding virtual functions from base classes
 121 public:
 122         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 123
 124         // non-virtual functions in this class
 125 protected:
 126         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 127         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 128 };
 129
 130
 131 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 132  *  all other gammas. */
 133 class diracgamma5 : public tensor
 134 {
 135         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 136
 137         // functions overriding virtual functions from base classes
 138         ex conjugate() const;
 139
 140         // non-virtual functions in this class
 141 protected:
 142         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 143         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 144 };
 145
 146
 147 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 148  *  1/2 (1-gamma5). */
 149 class diracgammaL : public tensor
 150 {
 151         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 152
 153         // functions overriding virtual functions from base classes
 154         ex conjugate() const;
 155
 156         // non-virtual functions in this class
 157 protected:
 158         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 159         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 160 };
 161
 162
 163 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 164  *  1/2 (1+gamma5). */
 165 class diracgammaR : public tensor
 166 {
 167         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 168
 169         // functions overriding virtual functions from base classes
 170         ex conjugate() const;
 171
 172         // non-virtual functions in this class
 173 protected:
 174         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 175         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 176 };
 177
 178
 179 // global functions
 180
 181 /** Check whether a given return_type_t object (as returned by return_type_tinfo()
 182   * is that of a clifford object (with an arbitrary representation label).
 183   *
 184   * @param ti tinfo key */
 185 inline bool is_clifford_tinfo(const return_type_t& ti)
 186 {
 187         return *(ti.tinfo) == typeid(clifford);
 188 }
 189
 190 /** Create a Clifford unity object.
 191  *
 192  *  @param rl Representation label
 193  *  @return newly constructed object */
 194 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 195
 196 /** Create a Clifford unit object.
 197  *
 198  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 199  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 200  *  @param rl Representation label
 201  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 202 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 203
 204 /** Create a Dirac gamma object.
 205  *
 206  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 207  *  @param rl Representation label
 208  *  @return newly constructed gamma object */
 209 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 210
 211 /** Create a Dirac gamma5 object.
 212  *
 213  *  @param rl Representation label
 214  *  @return newly constructed object */
 215 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 216
 217 /** Create a Dirac gammaL object.
 218  *
 219  *  @param rl Representation label
 220  *  @return newly constructed object */
 221 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 222
 223 /** Create a Dirac gammaR object.
 224  *
 225  *  @param rl Representation label
 226  *  @return newly constructed object */
 227 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 228
 229 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 230  *
 231  *  @param e Original expression
 232  *  @param dim Dimension of index
 233  *  @param rl Representation label */
 234 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 235
 236 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 237  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 238  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 239  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 240  *
 241  *  @param e Expression to take the trace of
 242  *  @param rls Set of representation labels
 243  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 244 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 245
 246 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 247  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 248  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 249  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 250  *
 251  *  @param e Expression to take the trace of
 252  *  @param rll List of representation labels
 253  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 254 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 255
 256 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 257  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 258  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 259  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 260  *  when gamma5 is involved.
 261  *
 262  *  @param e Expression to take the trace of
 263  *  @param rl Representation label
 264  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 265 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 266
 267 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 268  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 269  *  to check two expressions for equality. */
 270 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 271
 272 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 273  *  clifford units. */
 274 ex clifford_prime(const ex & e);
 275
 276 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 277  *  and changes signs of all clifford units. */
 278 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 279
 280 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 281 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 282
 283 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 284  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 285  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 286  *
 287  *  @param e Expression to be processed
 288  *  @param rl Value of representation label
 289  *  @param options Defines some internal use */
 290 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 291
 292 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 293  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 294  *
 295  *  @param e Expression to be processed
 296  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 297 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 298
 299 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 300 ex clifford_norm(const ex & e);
 301
 302 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 303 ex clifford_inverse(const ex & e);
 304
 305 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 306  *
 307  *  @param v List or vector of coordinates
 308  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 309  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 310  *  @param rl Representation label
 311  *  @param e Clifford unit object
 312  *  @return Clifford vector with given components */
 313 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 314 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 315
 316 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 317  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 318  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 319  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 320  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 321  *
 322  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 323  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 324  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 325  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 326 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 327
 328 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 329  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 330  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 331  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 332  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 333  *
 334  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 335  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 336  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 337  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 338  *  @param v Vector to be transformed
 339  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 340  *  @param rl Representation label
 341  *  @return List of components of the transformed vector*/
 342 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 343
 344 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 345  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 346  *
 347  *  @param M the defining matrix
 348  *  @param v Vector to be transformed
 349  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 350  *  @param rl Representation label
 351  *  @return List of components of the transformed vector*/
 352 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 353
 354 } // namespace GiNaC
 355
 356 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__