ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2008 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
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  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
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  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44         // other constructors
  45 public:
  46         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0);
  47         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, int comm_sign = -1);
  48
  49         // internal constructors
  50         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, const exvector & v, bool discardable = false);
  51         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, int comm_sign, std::auto_ptr<exvector> vp);
  52
  53         // functions overriding virtual functions from base classes
  54 public:
  55         unsigned precedence() const { return 65; }
  56 protected:
  57         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  58         bool match_same_type(const basic & other) const;
  59         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  60         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  61         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  62         return_type_t return_type_tinfo() const;
  63         // non-virtual functions in this class
  64 public:
  65         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  66         ex get_metric() const { return metric; }
  67         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  68         bool same_metric(const ex & other) const;
  69         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  70
  71         inline size_t nops() const {return inherited::nops() + 1; }
  72         ex op(size_t i) const;
  73         ex & let_op(size_t i);
  74         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const;
  75
  76 protected:
  77         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  78         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  79
  80         // member variables
  81 protected:
  82         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  83         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  84         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  85 };
  86
  87 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  88 class diracone : public tensor
  89 {
  90         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
  91
  92         // non-virtual functions in this class
  93 protected:
  94         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
  95         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  96 };
  97
  98
  99 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 100 class cliffordunit : public tensor
 101 {
 102         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 103
 104         // other constructors
 105 protected:
 106         cliffordunit(tinfo_t ti) : inherited(ti) {}
 107
 108         // functions overriding virtual functions from base classes
 109 public:
 110         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 111
 112         // non-virtual functions in this class
 113 protected:
 114         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 115         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 116 };
 117
 118
 119 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 120 class diracgamma : public cliffordunit
 121 {
 122         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 123
 124         // functions overriding virtual functions from base classes
 125 public:
 126         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 127
 128         // non-virtual functions in this class
 129 protected:
 130         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 131         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 132 };
 133
 134
 135 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 136  *  all other gammas. */
 137 class diracgamma5 : public tensor
 138 {
 139         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 140
 141         // functions overriding virtual functions from base classes
 142         ex conjugate() const;
 143
 144         // non-virtual functions in this class
 145 protected:
 146         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 147         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 148 };
 149
 150
 151 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 152  *  1/2 (1-gamma5). */
 153 class diracgammaL : public tensor
 154 {
 155         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 156
 157         // functions overriding virtual functions from base classes
 158         ex conjugate() const;
 159
 160         // non-virtual functions in this class
 161 protected:
 162         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 163         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 164 };
 165
 166
 167 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 168  *  1/2 (1+gamma5). */
 169 class diracgammaR : public tensor
 170 {
 171         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 172
 173         // functions overriding virtual functions from base classes
 174         ex conjugate() const;
 175
 176         // non-virtual functions in this class
 177 protected:
 178         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 179         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 180 };
 181
 182
 183 // global functions
 184
 185 /** Check whether a given return_type_t object (as returned by return_type_tinfo()
 186   * is that of a clifford object (with an arbitrary representation label).
 187   *
 188   * @param ti tinfo key */
 189 inline bool is_clifford_tinfo(const return_type_t& ti)
 190 {
 191         return *(ti.tinfo) == typeid(clifford);
 192 }
 193
 194 /** Create a Clifford unity object.
 195  *
 196  *  @param rl Representation label
 197  *  @return newly constructed object */
 198 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 199
 200 /** Create a Clifford unit object.
 201  *
 202  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 203  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 204  *  @param rl Representation label
 205  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 206 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 207
 208 /** Create a Dirac gamma object.
 209  *
 210  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 211  *  @param rl Representation label
 212  *  @return newly constructed gamma object */
 213 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 214
 215 /** Create a Dirac gamma5 object.
 216  *
 217  *  @param rl Representation label
 218  *  @return newly constructed object */
 219 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 220
 221 /** Create a Dirac gammaL object.
 222  *
 223  *  @param rl Representation label
 224  *  @return newly constructed object */
 225 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 226
 227 /** Create a Dirac gammaR object.
 228  *
 229  *  @param rl Representation label
 230  *  @return newly constructed object */
 231 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 232
 233 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 234  *
 235  *  @param e Original expression
 236  *  @param dim Dimension of index
 237  *  @param rl Representation label */
 238 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 239
 240 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 241  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 242  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 243  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 244  *
 245  *  @param e Expression to take the trace of
 246  *  @param rls Set of representation labels
 247  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 248 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 249
 250 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 251  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 252  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 253  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 254  *
 255  *  @param e Expression to take the trace of
 256  *  @param rll List of representation labels
 257  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 258 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 259
 260 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 261  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 262  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 263  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 264  *  when gamma5 is involved.
 265  *
 266  *  @param e Expression to take the trace of
 267  *  @param rl Representation label
 268  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 269 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 270
 271 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 272  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 273  *  to check two expressions for equality. */
 274 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 275
 276 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 277  *  clifford units. */
 278 ex clifford_prime(const ex & e);
 279
 280 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 281  *  and changes signs of all clifford units. */
 282 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 283
 284 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 285 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 286
 287 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 288  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 289  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 290  *
 291  *  @param e Expression to be processed
 292  *  @param rl Value of representation label
 293  *  @param options Defines some internal use */
 294 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 295
 296 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 297  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 298  *
 299  *  @param e Expression to be processed
 300  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 301 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 302
 303 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 304 ex clifford_norm(const ex & e);
 305
 306 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 307 ex clifford_inverse(const ex & e);
 308
 309 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 310  *
 311  *  @param v List or vector of coordinates
 312  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 313  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 314  *  @param rl Representation label
 315  *  @param e Clifford unit object
 316  *  @return Clifford vector with given components */
 317 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0);
 318 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 319
 320 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 321  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 322  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 323  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 324  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 325  *
 326  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 327  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 328  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 329  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 330 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 331
 332 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 333  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 334  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 335  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 336  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 337  *
 338  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 339  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 340  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 341  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 342  *  @param v Vector to be transformed
 343  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 344  *  @param rl Representation label
 345  *  @return List of components of the transformed vector*/
 346 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 347
 348 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 349  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 350  *
 351  *  @param M the defining matrix
 352  *  @param v Vector to be transformed
 353  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 354  *  @param rl Representation label
 355  *  @return List of components of the transformed vector*/
 356 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0);
 357
 358 } // namespace GiNaC
 359
 360 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__