ginac/clifford.h

   1 /** @file clifford.h
   2  *
   3  *  Interface to GiNaC's clifford algebra (Dirac gamma) objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #ifndef __GINAC_CLIFFORD_H__
  24 #define __GINAC_CLIFFORD_H__
  25
  26 #include "indexed.h"
  27 #include "tensor.h"
  28 #include "symbol.h"
  29 #include "idx.h"
  30
  31 #include <set>
  32
  33 namespace GiNaC {
  34
  35
  36 /** This class holds an object representing an element of the Clifford
  37  *  algebra (the Dirac gamma matrices). These objects only carry Lorentz
  38  *  indices. Spinor indices are hidden. A representation label (an unsigned
  39  *  8-bit integer) is used to distinguish elements from different Clifford
  40  *  algebras (objects with different labels commutate). */
  41 class clifford : public indexed
  42 {
  43         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(clifford, indexed)
  44
  45         // other constructors
  46 public:
  47         clifford(const ex & b, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false);
  48         clifford(const ex & b, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommut = false, int comm_sign = -1);
  49
  50         // internal constructors
  51         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, int comm_sign, const exvector & v, bool discardable = false);
  52         clifford(unsigned char rl, const ex & metr, bool anticommut, int comm_sign, std::auto_ptr<exvector> vp);
  53
  54         // functions overriding virtual functions from base classes
  55 public:
  56         unsigned precedence() const { return 65; }
  57 protected:
  58         ex eval_ncmul(const exvector & v) const;
  59         bool match_same_type(const basic & other) const;
  60         ex thiscontainer(const exvector & v) const;
  61         ex thiscontainer(std::auto_ptr<exvector> vp) const;
  62         unsigned return_type() const { return return_types::noncommutative; }
  63         unsigned return_type_tinfo() const { return TINFO_clifford + representation_label; }
  64
  65         // non-virtual functions in this class
  66 public:
  67         unsigned char get_representation_label() const { return representation_label; }
  68         ex get_metric() const { return metric; }
  69         virtual ex get_metric(const ex & i, const ex & j, bool symmetrised = false) const;
  70         bool same_metric(const ex & other) const;
  71         bool is_anticommuting() const { return anticommuting; } //**< See the member variable anticommuting */
  72         int get_commutator_sign() const { return commutator_sign; } //**< See the member variable commutator_sign */
  73
  74         inline size_t nops() const {return inherited::nops() + 1; }
  75         ex op(size_t i) const;
  76         ex & let_op(size_t i);
  77         ex subs(const exmap & m, unsigned options = 0) const { clifford c = ex_to<clifford>(inherited::subs(m, options)); c.metric_subs(m, options); return c;}
  78         ex subs(const lst & ls, const lst & lr, unsigned options = 0) const { clifford c = ex_to<clifford>(ex(*this).subs(ls, lr, options)); c.metric_subs(ls, lr, options); return c;}
  79         ex subs(const ex & e, unsigned options = 0) const{ clifford c = ex_to<clifford>(ex(*this).subs(e, options)); c.metric_subs(e, options); return c;};
  80
  81 protected:
  82         void do_print_dflt(const print_dflt & c, unsigned level) const;
  83         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
  84         void metric_subs(const exmap & m, unsigned options = 0) { metric = metric.subs(m, options); }
  85         void metric_subs(const lst & ls, const lst & lr, unsigned options = 0) { metric = metric.subs(ls, lr, options); }
  86         void metric_subs(const ex & e, unsigned options = 0) { metric = metric.subs(e, options); }
  87
  88         // member variables
  89 protected:
  90         unsigned char representation_label; /**< Representation label to distinguish independent spin lines */
  91         ex metric; /**< Metric of the space, all constructors make it an indexed object */
  92         bool anticommuting; /**< Simplifications for anticommuting units is much simpler and we need this info readily available */
  93         int commutator_sign; /**< It is the sign in the definition e~i e~j +/- e~j e~i = B(i, j) + B(j, i)*/
  94 };
  95
  96 /** This class represents the Clifford algebra unity element. */
  97 class diracone : public tensor
  98 {
  99         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracone, tensor)
 100
 101         // non-virtual functions in this class
 102 protected:
 103         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 104         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 105 };
 106
 107
 108 /** This class represents the Clifford algebra generators (units). */
 109 class cliffordunit : public tensor
 110 {
 111         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(cliffordunit, tensor)
 112
 113         // other constructors
 114 protected:
 115         cliffordunit(unsigned ti) : inherited(ti) {}
 116
 117         // functions overriding virtual functions from base classes
 118 public:
 119         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 120
 121         // non-virtual functions in this class
 122 protected:
 123         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 124         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 125 };
 126
 127
 128 /** This class represents the Dirac gamma Lorentz vector. */
 129 class diracgamma : public cliffordunit
 130 {
 131         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma, cliffordunit)
 132
 133         // functions overriding virtual functions from base classes
 134 public:
 135         bool contract_with(exvector::iterator self, exvector::iterator other, exvector & v) const;
 136
 137         // non-virtual functions in this class
 138 protected:
 139         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 140         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 141 };
 142
 143
 144 /** This class represents the Dirac gamma5 object which anticommutates with
 145  *  all other gammas. */
 146 class diracgamma5 : public tensor
 147 {
 148         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgamma5, tensor)
 149
 150         // functions overriding virtual functions from base classes
 151         ex conjugate() const;
 152
 153         // non-virtual functions in this class
 154 protected:
 155         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 156         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 157 };
 158
 159
 160 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 161  *  1/2 (1-gamma5). */
 162 class diracgammaL : public tensor
 163 {
 164         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaL, tensor)
 165
 166         // functions overriding virtual functions from base classes
 167         ex conjugate() const;
 168
 169         // non-virtual functions in this class
 170 protected:
 171         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 172         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 173 };
 174
 175
 176 /** This class represents the Dirac gammaL object which behaves like
 177  *  1/2 (1+gamma5). */
 178 class diracgammaR : public tensor
 179 {
 180         GINAC_DECLARE_REGISTERED_CLASS(diracgammaR, tensor)
 181
 182         // functions overriding virtual functions from base classes
 183         ex conjugate() const;
 184
 185         // non-virtual functions in this class
 186 protected:
 187         void do_print(const print_context & c, unsigned level) const;
 188         void do_print_latex(const print_latex & c, unsigned level) const;
 189 };
 190
 191
 192 // global functions
 193
 194 /** Specialization of is_exactly_a<clifford>(obj) for clifford objects. */
 195 template<> inline bool is_exactly_a<clifford>(const basic & obj)
 196 {
 197         return obj.tinfo()==TINFO_clifford;
 198 }
 199
 200 /** Create a Clifford unity object.
 201  *
 202  *  @param rl Representation label
 203  *  @return newly constructed object */
 204 ex dirac_ONE(unsigned char rl = 0);
 205
 206 /** Create a Clifford unit object.
 207  *
 208  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 209  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 210  *  @param rl Representation label
 211  *  @return newly constructed Clifford unit object */
 212 ex clifford_unit(const ex & mu, const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 213
 214 /** Create a Dirac gamma object.
 215  *
 216  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 217  *  @param rl Representation label
 218  *  @return newly constructed gamma object */
 219 ex dirac_gamma(const ex & mu, unsigned char rl = 0);
 220
 221 /** Create a Dirac gamma5 object.
 222  *
 223  *  @param rl Representation label
 224  *  @return newly constructed object */
 225 ex dirac_gamma5(unsigned char rl = 0);
 226
 227 /** Create a Dirac gammaL object.
 228  *
 229  *  @param rl Representation label
 230  *  @return newly constructed object */
 231 ex dirac_gammaL(unsigned char rl = 0);
 232
 233 /** Create a Dirac gammaR object.
 234  *
 235  *  @param rl Representation label
 236  *  @return newly constructed object */
 237 ex dirac_gammaR(unsigned char rl = 0);
 238
 239 /** Create a term of the form e_mu * gamma~mu with a unique index mu.
 240  *
 241  *  @param e Original expression
 242  *  @param dim Dimension of index
 243  *  @param rl Representation label */
 244 ex dirac_slash(const ex & e, const ex & dim, unsigned char rl = 0);
 245
 246 /** Calculate dirac traces over the specified set of representation labels.
 247  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 248  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 249  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 250  *
 251  *  @param e Expression to take the trace of
 252  *  @param rls Set of representation labels
 253  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 254 ex dirac_trace(const ex & e, const std::set<unsigned char> & rls, const ex & trONE = 4);
 255
 256 /** Calculate dirac traces over the specified list of representation labels.
 257  *  The computed trace is a linear functional that is equal to the usual
 258  *  trace only in D = 4 dimensions. In particular, the functional is not
 259  *  always cyclic in D != 4 dimensions when gamma5 is involved.
 260  *
 261  *  @param e Expression to take the trace of
 262  *  @param rll List of representation labels
 263  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 264 ex dirac_trace(const ex & e, const lst & rll, const ex & trONE = 4);
 265
 266 /** Calculate the trace of an expression containing gamma objects with
 267  *  a specified representation label. The computed trace is a linear
 268  *  functional that is equal to the usual trace only in D = 4 dimensions.
 269  *  In particular, the functional is not always cyclic in D != 4 dimensions
 270  *  when gamma5 is involved.
 271  *
 272  *  @param e Expression to take the trace of
 273  *  @param rl Representation label
 274  *  @param trONE Expression to be returned as the trace of the unit matrix */
 275 ex dirac_trace(const ex & e, unsigned char rl = 0, const ex & trONE = 4);
 276
 277 /** Bring all products of clifford objects in an expression into a canonical
 278  *  order. This is not necessarily the most simple form but it will allow
 279  *  to check two expressions for equality. */
 280 ex canonicalize_clifford(const ex & e);
 281
 282 /** Automorphism of the Clifford algebra, simply changes signs of all
 283  *  clifford units. */
 284 ex clifford_prime(const ex & e);
 285
 286 /** Main anti-automorphism of the Clifford algebra: makes reversion
 287  *  and changes signs of all clifford units. */
 288 inline ex clifford_bar(const ex & e) { return clifford_prime(e.conjugate()); }
 289
 290 /** Reversion of the Clifford algebra, coincides with the conjugate(). */
 291 inline ex clifford_star(const ex & e) { return e.conjugate(); }
 292
 293 /** Replaces dirac_ONE's (with a representation_label no less than rl) in e with 1.
 294  *  For the default value rl = 0 remove all of them. Aborts if e contains any
 295  *  clifford_unit with representation_label to be removed.
 296  *
 297  *  @param e Expression to be processed
 298  *  @param rl Value of representation label
 299  *  @param options Defines some internal use */
 300 ex remove_dirac_ONE(const ex & e, unsigned char rl = 0, unsigned options = 0);
 301
 302 /** Returns the maximal representation label of a clifford object
 303  *  if e contains at least one, otherwise returns -1
 304  *
 305  *  @param e Expression to be processed
 306  *  @ignore_ONE defines if clifford_ONE should be ignored in the search*/
 307 char clifford_max_label(const ex & e, bool ignore_ONE = false);
 308
 309 /** Calculation of the norm in the Clifford algebra. */
 310 ex clifford_norm(const ex & e);
 311
 312 /** Calculation of the inverse in the Clifford algebra. */
 313 ex clifford_inverse(const ex & e);
 314
 315 /** List or vector conversion into the Clifford vector.
 316  *
 317  *  @param v List or vector of coordinates
 318  *  @param mu Index (must be of class varidx or a derived class)
 319  *  @param metr Metric (should be indexed, tensmetric or a derived class, or a matrix)
 320  *  @param rl Representation label
 321  *  @param e Clifford unit object
 322  *  @return Clifford vector with given components */
 323 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & mu,  const ex & metr, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 324 ex lst_to_clifford(const ex & v, const ex & e);
 325
 326 /** An inverse function to lst_to_clifford(). For given Clifford vector extracts
 327  *  its components with respect to given Clifford unit. Obtained components may
 328  *  contain Clifford units with a different metric. Extraction is based on
 329  *  the algebraic formula (e * c.i + c.i * e)/ pow(e.i, 2) for non-degenerate cases
 330  *  (i.e. neither pow(e.i, 2) = 0).
 331  *
 332  *  @param e Clifford expression to be decomposed into components
 333  *  @param c Clifford unit defining the metric for splitting (should have numeric dimension of indices)
 334  *  @param algebraic Use algebraic or symbolic algorithm for extractions
 335  *  @return List of components of a Clifford vector*/
 336 lst clifford_to_lst(const ex & e, const ex & c, bool algebraic=true);
 337
 338 /** Calculations of Moebius transformations (conformal map) defined by a 2x2 Clifford matrix
 339  *  (a b\\c d) in linear spaces with arbitrary signature. The expression is
 340  *  (a * x + b)/(c * x + d), where x is a vector build from list v with metric G.
 341  *  (see Jan Cnops. An introduction to {D}irac operators on manifolds, v.24 of
 342  *  Progress in Mathematical Physics. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2002.)
 343  *
 344  *  @param a (1,1) entry of the defining matrix
 345  *  @param b (1,2) entry of the defining matrix
 346  *  @param c (2,1) entry of the defining matrix
 347  *  @param d (2,2) entry of the defining matrix
 348  *  @param v Vector to be transformed
 349  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 350  *  @param rl Representation label
 351  *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
 352  *  @return List of components of the transformed vector*/
 353 ex clifford_moebius_map(const ex & a, const ex & b, const ex & c, const ex & d, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 354
 355 /** The second form of Moebius transformations defined by a 2x2 Clifford matrix M
 356  *  This function takes the transformation matrix M as a single entity.
 357  *
 358  *  @param M the defining matrix
 359  *  @param v Vector to be transformed
 360  *  @param G Metric of the surrounding space, may be a Clifford unit then the next parameter is ignored
 361  *  @param rl Representation label
 362  *  @param anticommuting indicates if Clifford units anticommutes
 363  *  @return List of components of the transformed vector*/
 364 ex clifford_moebius_map(const ex & M, const ex & v, const ex & G, unsigned char rl = 0, bool anticommuting = false);
 365
 366 } // namespace GiNaC
 367
 368 #endif // ndef __GINAC_CLIFFORD_H__