doc/powerlaws.tex

   1 \documentclass{article}
   2
   3 \begin{document}
   4
   5 \section{Power Laws}
   6
   7 \subsection{Definitions}
   8
   9 Definitions for power and log:
  10 \begin{equation}
  11 x^a \equiv e^{a \ln x}
  12 \end{equation}
  13 \begin{equation}
  14 \ln x \equiv \ln |x| + i \arg(x) \mbox{ where } -\pi < \arg(x) \le \pi
  15 \end{equation}
  16
  17 \subsection{General rules}
  18
  19 \begin{equation}
  20 e^x e^y = e^{x+y}
  21 \end{equation}
  22 for arbitrary complex $x$ and $y$
  23
  24 \begin{equation}
  25 x^{-a} = \frac{1}{x^a}
  26 \end{equation}
  27 for arbitrary complex $x$ and $a$
  28
  29 \subsection{$(ax)^b=a^b x^b$}
  30
  31 \subsubsection{$b$ integer, $x$ and $a$ arbitrary complex}
  32
  33 assume $b>0$
  34
  35 \begin{eqnarray}
  36 (ax)^b & = & \underbrace{(ax) \cdots (ax)}_{b \times}
  37 \nonumber\\
  38 & = & \underbrace{a \cdots a}_{b \times}
  39       \underbrace{x \cdots x}_{b \times}
  40 \nonumber\\
  41 & = & a^b x^b \mbox{ q.e.d.}
  42 \end{eqnarray}
  43
  44 if $b<0$ (so $b=-|b|$)
  45 \begin{eqnarray}
  46 (ax)^b & = & \frac{1}{(ax)^{|b|}}
  47 \nonumber\\
  48 & = & \frac{1}{a^{|b|} x^{|b|}}
  49 \nonumber\\
  50 & = & a^{-|b|} x^{-|b|}
  51 \nonumber\\
  52 & = & a^b x^b
  53 \end{eqnarray}
  54
  55 \subsubsection{$a>0$, $x$ and $b$ arbitrary complex}
  56
  57 \begin{eqnarray}
  58 (ax)^b & = & e^{b \ln(ax)}
  59 \nonumber\\
  60 & = & e^{b (\ln |ax| + i \arg(ax))}
  61 \end{eqnarray}
  62
  63 if $a$ is real and positive:
  64 \begin{equation}
  65 \ln |ax| = \ln |a| + \ln |x| = \ln a + \ln |x|
  66 \end{equation}
  67 and
  68 \begin{equation}
  69 \arg(ax) = \arg(x)
  70 \end{equation}
  71
  72 So
  73 \begin{eqnarray}
  74 e^{b (\ln |ax| + i \arg(ax))} & = &
  75 e^{b (\ln a + \ln |x| + i \arg(x))}
  76 \nonumber\\
  77 & = & e^{b (\ln a + \ln x)}
  78 \nonumber\\
  79 & = & e^{b \ln a} e^{b \ln x}
  80 \nonumber\\
  81 & = & a^b x^b \mbox{ q.e.d.}
  82 \end{eqnarray}
  83
  84 \subsection{$(x^a)^b = x^{ab}$}
  85
  86 \subsubsection{$b$ integer, $x$ and $a$ arbitrary complex}
  87
  88 assume $b>0$
  89
  90 \begin{eqnarray}
  91 (x^a)^b & = & \underbrace{(x^a) \cdots (x^a)}_{b \times}
  92 \nonumber\\
  93 & = & \underbrace{e^{a \ln x} \cdots e^{a \ln x}}_{b \times}
  94 \nonumber\\
  95 & = & e^{\underbrace{\scriptstyle a \ln x + \dots + a \ln x}_{b \times}}
  96 \nonumber\\
  97 & = & e^{a b \ln x}
  98 \nonumber\\
  99 & = & x^{ab} \mbox{ q.e.d.}
 100 \end{eqnarray}
 101
 102 if $b<0$ (so $b=-|b|$)
 103 \begin{eqnarray}
 104 (x^a)^b & = & \frac{1}{(x^a)^{|b|}}
 105 \nonumber\\
 106 & = & \frac{1}{x^{a|b|}}
 107 \nonumber\\
 108 & = & x^{-a|b|}
 109 \nonumber\\
 110 & = & x^{ab}
 111 \end{eqnarray}
 112
 113 \subsubsection{$-1 < a \le 1$, $x$ and $b$ arbitrary complex}
 114
 115 We have
 116 \begin{equation}
 117 x^a=e^{a \ln|x| + ia\arg(x)}
 118 \end{equation}
 119 if $a$ is real
 120 \begin{equation}
 121 |x^a|=e^{a\ln|x|}
 122 \end{equation}
 123 and
 124 \begin{equation}
 125 \arg(x^a)-a\arg(x)=2k\pi
 126 \end{equation}
 127 now if $-1 < a \le 1$, then $-\pi < a\arg(x) \le \pi$,
 128 and so $k=0$, i.e.
 129 \begin{equation}
 130 \arg(x^a)=a\arg(x)
 131 \end{equation}
 132 (Note that for $a=-1$ this may not be true, as $-1 \arg(x)$ may be equal to $-\pi$.)
 133 So
 134 \begin{eqnarray}
 135 \ln(x^a) & = & \ln|x^a| + i\arg(x^a)
 136 \nonumber\\
 137 & = & \ln (e^{a\ln|x|})+ia\arg(x)
 138 \nonumber\\
 139 & = & a \ln |x| + ia\arg(x) \mbox{ (because $a\ln|x|$ is real)}
 140 \nonumber\\
 141 & = & a\ln x
 142 \end{eqnarray}
 143 Hence
 144 \begin{eqnarray}
 145 (x^a)^b & = & e^{b\ln x^a}
 146 \nonumber\\
 147 & = & e^{ba\ln x}
 148 \nonumber\\
 149 & = & x^{ab} \mbox{ q.e.d.}
 150 \end{eqnarray}
 151
 152 proof contributed by Adam Strzebonski from Wolfram Research
 153 ({\tt adams@wolfram.com}) in newsgroup {\tt sci.math.symbolic}.
 154
 155 \end{document}