doc/powerlaws.tex

   1 \documentclass{article}
   2
   3 \begin{document}
   4
   5 \section{Power Laws}
   6
   7 \subsection{Definitions}
   8
   9 Definitions for power and log:
  10 \begin{equation}\label{powerdef}
  11 x^a \equiv e^{a \ln x}
  12 \end{equation}
  13 \begin{equation}
  14 \ln x \equiv \ln |x| + i \arg(x) \mbox{ where } -\pi < \arg(x) \le \pi
  15 \end{equation}
  16
  17 \subsection{General rules}
  18
  19 \begin{equation}
  20 e^x e^y = e^{x+y}
  21 \end{equation}
  22 for arbitrary complex \(x\) and \(y\) (with~(\ref{powerdef}) we obtain
  23 the rule \(x^ax^b=x^{a+b}\) since \(x^ax^b\equiv e^{a\ln x}e^{b\ln x} =
  24 e^{(a+b)\ln x}\equiv x^{a+b}\) for arbitrary complex \(a,b,x\))
  25
  26 \begin{equation}
  27 x^{-a} = \frac{1}{x^a}
  28 \end{equation}
  29 for arbitrary complex \(x\) and \(a\)
  30
  31 \subsection{\((ax)^b=a^b x^b\)}
  32
  33 \subsubsection{\(b\) integer, \(x\) and \(a\) arbitrary complex}
  34
  35 assume \(b>0\)
  36
  37 \begin{eqnarray}
  38 (ax)^b & = & \underbrace{(ax) \cdots (ax)}_{b \times}
  39 \nonumber\\
  40 & = & \underbrace{a \cdots a}_{b \times}
  41       \underbrace{x \cdots x}_{b \times}
  42 \nonumber\\
  43 & = & a^b x^b \mbox{ q.e.d.}
  44 \end{eqnarray}
  45
  46 if \(b<0\) (so \(b=-|b|\))
  47 \begin{eqnarray}
  48 (ax)^b & = & \frac{1}{(ax)^{|b|}}
  49 \nonumber\\
  50 & = & \frac{1}{a^{|b|} x^{|b|}}
  51 \nonumber\\
  52 & = & a^{-|b|} x^{-|b|}
  53 \nonumber\\
  54 & = & a^b x^b
  55 \end{eqnarray}
  56
  57 \subsubsection{\(a>0\), \(x\) and \(b\) arbitrary complex}
  58
  59 \begin{eqnarray}
  60 (ax)^b & = & e^{b \ln(ax)}
  61 \nonumber\\
  62 & = & e^{b (\ln |ax| + i \arg(ax))}
  63 \end{eqnarray}
  64
  65 if \(a\) is real and positive:
  66 \begin{equation}
  67 \ln |ax| = \ln |a| + \ln |x| = \ln a + \ln |x|
  68 \end{equation}
  69 and
  70 \begin{equation}
  71 \arg(ax) = \arg(x)
  72 \end{equation}
  73
  74 So
  75 \begin{eqnarray}
  76 e^{b (\ln |ax| + i \arg(ax))} & = &
  77 e^{b (\ln a + \ln |x| + i \arg(x))}
  78 \nonumber\\
  79 & = & e^{b (\ln a + \ln x)}
  80 \nonumber\\
  81 & = & e^{b \ln a} e^{b \ln x}
  82 \nonumber\\
  83 & = & a^b x^b \mbox{ q.e.d.}
  84 \end{eqnarray}
  85
  86 \subsection{\((x^a)^b = x^{ab}\)}
  87
  88 \subsubsection{\(b\) integer, \(x\) and \(a\) arbitrary complex}
  89
  90 assume \(b>0\)
  91
  92 \begin{eqnarray}
  93 (x^a)^b & = & \underbrace{(x^a) \cdots (x^a)}_{b \times}
  94 \nonumber\\
  95 & = & \underbrace{e^{a \ln x} \cdots e^{a \ln x}}_{b \times}
  96 \nonumber\\
  97 & = & e^{\underbrace{\scriptstyle a \ln x + \dots + a \ln x}_{b \times}}
  98 \nonumber\\
  99 & = & e^{a b \ln x}
 100 \nonumber\\
 101 & = & x^{ab} \mbox{ q.e.d.}
 102 \end{eqnarray}
 103
 104 if \(b<0\) (so \(b=-|b|\))
 105 \begin{eqnarray}
 106 (x^a)^b & = & \frac{1}{(x^a)^{|b|}}
 107 \nonumber\\
 108 & = & \frac{1}{x^{a|b|}}
 109 \nonumber\\
 110 & = & x^{-a|b|}
 111 \nonumber\\
 112 & = & x^{ab}
 113 \end{eqnarray}
 114
 115 \subsubsection{\(-1 < a \le 1\), \(x\) and \(b\) arbitrary complex}
 116
 117 We have
 118 \begin{equation}
 119 x^a=e^{a \ln|x| + ia\arg(x)}
 120 \end{equation}
 121 if \(a\) is real
 122 \begin{equation}
 123 |x^a|=e^{a\ln|x|}
 124 \end{equation}
 125 and
 126 \begin{equation}
 127 \arg(x^a)-a\arg(x)=2k\pi
 128 \end{equation}
 129 now if \(-1 < a \le 1\), then \(-\pi < a\arg(x) \le \pi\),
 130 and so \(k=0\), i.e.
 131 \begin{equation}
 132 \arg(x^a)=a\arg(x)
 133 \end{equation}
 134 (Note that for \(a=-1\) this may not be true, as \(-1 \arg(x)\) may be equal to \(-\pi\).)
 135 So
 136 \begin{eqnarray}
 137 \ln(x^a) & = & \ln|x^a| + i\arg(x^a)
 138 \nonumber\\
 139 & = & \ln (e^{a\ln|x|})+ia\arg(x)
 140 \nonumber\\
 141 & = & a \ln |x| + ia\arg(x) \mbox{ (because \(a\ln|x|\) is real)}
 142 \nonumber\\
 143 & = & a\ln x
 144 \end{eqnarray}
 145 Hence
 146 \begin{eqnarray}
 147 (x^a)^b & = & e^{b\ln x^a}
 148 \nonumber\\
 149 & = & e^{ba\ln x}
 150 \nonumber\\
 151 & = & x^{ab} \mbox{ q.e.d.}
 152 \end{eqnarray}
 153
 154 proof contributed by Adam Strzebonski from Wolfram Research
 155 ({\tt adams@wolfram.com}) in newsgroup {\tt sci.math.symbolic}.
 156
 157 \end{document}