]> www.ginac.de Git - ginac.git/blob - doc/examples/lanczos.cpp
1 /*
2  * This program can be used to find the coefficients needed to approximate
3  * the gamma function using the Lanczos approximation.
4  *
5  * Usage: lanczos -n order -D digits
6  *
7  * The order defaults to 10. digits defaults to GiNaCs default.
8  * It is recommended to run the program several times with an increasing
9  * value for digits until numerically stablilty for the values has been
10  * reached. The program will also print the number of digits for which
11  * the approximation is still reliable. This will be lower then the
12  * number of digits given at command line. It is determined by comparing
13  * Gamma(1/2) to sqrt(Pi). Note that the program may crash if the number of
14  * digits is unreasonably small for the given order. Another thing that
15  * can happen if the number of digits is too small is that the program will
16  * print "Forget it, this is waaaaaaay too inaccurate." at the top of the
17  * output.
18  *
19  * The gamma function can be (for real_part(z) > -1/2) calculated using
20  *
21  *    Gamma(z+1) = sqrt(2*Pi)*power(z+g+ex(1)/2, z+ex(1)/2)*exp(-(z+g+ex(1)/2))
22  *                  *A_g(z),
23  * where,
24  *
25  *    A_g(z) = coeff + coeff/(z+1) + coeff/(z+2) + ...
26  *                + coeff[N-1]/(z+N-1).
27  *
28  * The value of g is taken to be equal to the order N.
29  *
30  * More details can be found at Wikipedia:
31  * http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_approximation.
32  *
33  * (C) 2006 Chris Dams
34  *
35  * This program is free software; you can redistribute it and/or modify
36  * it under the terms of the GNU General Public License as published by
37  * the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
38  * (at your option) any later version.
39  *
40  * This program is distributed in the hope that it will be useful,
41  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
42  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
43  * GNU General Public License for more details.
44  *
45  * You should have received a copy of the GNU General Public License
46  * along with this program; if not, write to the Free Software
47  * Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston,
48  * MA  02110-1301 USA
49  */
51 #include <getopt.h>
52 #include <vector>
53 #include <cstddef> // for size_t
54 #include <iostream>
55 #include <cln/io.h>
56 #include <cln/number.h>
57 #include <cln/integer.h>
58 #include <cln/rational.h>
59 #include <cln/real.h>
60 #include <cln/real_io.h>
61 #include <cln/complex.h>
63 using namespace std;
64 using namespace cln;
66 /*
67  * Chebyshev polynomial coefficient matrix as far as is required for
68  * the Lanczos approximation.
69  */
70 void calc_chebyshev(vector<vector<cl_I>>& C, const size_t size)
71 {
72         C.reserve(size);
73         for (size_t i=0; i<size; ++i)
74                 C.push_back(vector<cl_I>(size, 0));
75         C = cl_I(1);
76         C = cl_I(1);
77         for (size_t i=3; i<size; i+=2)
78                 C[i] = -C[i-2];
79         for (size_t i=3; i<size; ++i)
80                 C[i][i] = 2*C[i-1][i-1];
81         for (size_t j=2; j<size; ++j)
82                 for (size_t i=j+2; i<size; i+=2)
83                         C[i][j] = 2*C[i-1][j-1] - C[i-2][j];
84 }
86 /*
87  * The coefficients p_n(g) that occur in the Lanczos approximation.
88  */
89 const cl_F p(const size_t k, const cl_F& g, const vector<vector<cln::cl_I>>& C)
90 {
91         const float_format_t prec = float_format(g);
92         const cl_F sqrtPi = sqrt(pi(prec));
93         cl_F result = cl_float(0, prec);
95         result = result +
96                 (2*C[2*k+1])*recip(sqrtPi)*
97                 recip(sqrt(2*g+1))*exp(g+cl_RA(1)/2);
99         for (size_t a=1; a <= k; ++a)
100                 result = result +
101                         (2*C[2*k+1][2*a+1]*doublefactorial(2*a-1))*recip(sqrtPi)*
102                         recip(expt(2*cl_I(a)+2*g+1, a))*recip(sqrt(2*cl_I(a)+2*g+1))*
103                         exp(cl_I(a)+g+cl_RA(1)/2);
104         return result;
105 }
107 /*
108  * Calculate coefficients that occurs in the expression for the
109  * Lanczos approximation of order n.
110  */
111 void calc_lanczos_coeffs(vector<cl_F>& lanc, const cln::cl_F& g)
112 {
113         const size_t n = lanc.size();
114         vector<vector<cln::cl_I>> C;
115         calc_chebyshev(C, 2*n+2);
117         // \Pi_{i=1}^n (z-i+1)/(z+i) = \Pi_{i=1}^n (1 - (2i-1)/(z+i))
118         // Such a product can be rewritten as multivariate polynomial \in
119         // Q[1/(z+1),...1/(z+n)] of degree 1. To store coefficients of this
120         // polynomial we use vector<cl_I>, so the set of such polynomials is
121         // stored as
122         vector<vector<cln::cl_I>> fractions(n);
124         // xi = 1/(z+i)
125         fractions = vector<cl_I>(1);
126         fractions = cl_I(1);
127         fractions = fractions;
128         fractions.push_back(cl_I(-1)); // 1 - 1/(z+1)
130         for (size_t i=2; i<n; ++i)
131         {
132                 // next = previous*(1 - (2*i-1)*xi) =
133                 // previous - (2*i-1)*xi - (2i-1)*(previous-1)*xi
134                 // Such representation is convenient since previous contains only
135                 // only x1...x[i-1]
137                 fractions[i] = fractions[i-1];
138                 fractions[i].push_back(-cl_I(2*i-1)); // - (2*i-1)*xi
139                 // Now add -(2i+1)*(previous-1)*xi using formula
140                 // 1/(z+j)*1/(z+i) = 1/(i-j)*(1/(z+j) - 1/(z+i)), that is
141                 // xj*xi = 1/(i-j)(xj - xi)
142                 for (size_t j=1; j < i; j++) {
143                         cl_I curr = - exquo(cl_I(2*i-1)*fractions[i-1][j], cl_I(i-j));
144                         fractions[i][j] = fractions[i][j] + curr;
145                         fractions[i][i] = fractions[i][i] - curr;
146                         // N.B. i-th polynomial has (i+1) non-zero coefficients
147                 }
148         }
150         vector<cl_F> p_cache(n);
151         for (size_t i=0; i < n; i++)
152                 p_cache[i] = p(i, g, C);
154         lanc = p_cache/2;
156         float_format_t prec = float_format(g);
157         // A = p(i, g, C)*fraction[i] = p(i, g, C)*F[i][j]*xj,
158         for (size_t j=1; j < n; ++j) {
159                 lanc[j] = cl_float(0, prec);
160                 lanc = lanc + p_cache[j];
161                 for (size_t i=j; i < n; i++)
162                         lanc[j] = lanc[j] + p_cache[i]*fractions[i][j];
163         }
164 }
166 /*
167  * Calculate Gamma(z) using the Lanczos approximation with parameter g and
168  * coefficients stored in the exvector coeffs.
169  */
170 const cl_N calc_gamma(const cl_N& z, const cl_F& g, const vector<cl_F>& lanc)
171 {
172         const cl_F thePi = pi(float_format(g));
173         // XXX: need to check if z is floating-point and precision of z
174         // matches one of g
175         if (realpart(z) < 0.5)
176                 return (thePi/sin(thePi*z))/calc_gamma(1-z, g, lanc);
177         cl_N A = lanc;
178         for (size_t i=1; i < lanc.size(); ++i)
179                 A = A + lanc[i]/(z-1+i);
180         cl_N result = sqrt(2*thePi)*expt(z+g-cl_RA(1)/2, z-cl_RA(1)/2)*
181                             exp(-(z+g-cl_RA(1)/2))*A;
182         return result;
183 }
185 void usage(char *progname)
186 {       cout << "Usage: " << progname << " -n order -D digits" << endl;
187         exit(0);
188 }
190 void read_options(int argc, char**argv, int &order, int& digits)
191 {  int c;
192    while((c=getopt(argc,argv,"n:D:"))!=-1)
193    {  if(c=='n')
194          order = atoi(optarg);
195       else if (c=='D')
196          digits = atoi(optarg);
197       else
198          usage(argv);
199    }
200    if(optind!=argc)
201       usage(argv);
202 }
204 int main(int argc, char *argv[])
205 {
206 /*
207  * Handle command line options.
208  */
209         int order = 10;
210         int digits_ini = 17;
211         read_options(argc, argv, order, digits_ini);
212         float_format_t prec = float_format(digits_ini);
213         const cl_F thePi = pi(prec);
214 /*
215  * Calculate coefficients.
216  */
217         const cl_F g_val = cl_float(order, prec);
218         vector<cl_F> coeffs(order);
219         calc_lanczos_coeffs(coeffs, g_val);
220 /*
221  * Determine the accuracy by comparing Gamma(1/2) to sqrt(Pi).
222  */
223         cl_N gamma_half = calc_gamma(cl_float(cl_RA(1)/2, prec), g_val, coeffs);
224         cl_F digits = (ln(thePi)/2 - ln(abs(gamma_half - sqrt(thePi))))/ln(cl_float(10, prec));
225         int i_digits = cl_I_to_int(floor1(digits));
226         if (digits < cl_I(1))
227                 cout << "Forget it, this is waaaaaaay too inaccurate." << endl;
228         else
229                 cout << "Reliable digits: " << i_digits << endl;
230 /*
231  * Print the coefficients.
232  */
233         for (size_t i=0; i<coeffs.size(); ++i) {
234                 cout << "coeffs_" << order << "[" << i << "] = \"";
235                 cout << coeffs[i];
236                 cout << "\";" << endl;
237         }
238         return 0;
239 }