check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2001 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static symbol x("x");
  26
  27 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  28 {
  29         ex es = e.series(x==point, order);
  30         ex ep = ex_to_pseries(es).convert_to_poly();
  31         if (!(ep - d).is_zero()) {
  32                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  33                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  34                      << ")" << endl;
  35                 (ep-d).printtree(clog);
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 // Series expansion
  42 static unsigned exam_series1(void)
  43 {
  44         unsigned result = 0;
  45         ex e, d;
  46
  47         e = sin(x);
  48         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  49         result += check_series(e, 0, d);
  50
  51         e = cos(x);
  52         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  53         result += check_series(e, 0, d);
  54
  55         e = exp(x);
  56         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  57         result += check_series(e, 0, d);
  58
  59         e = pow(1 - x, -1);
  60         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  61         result += check_series(e, 0, d);
  62
  63         e = x + pow(x, -1);
  64         d = x + pow(x, -1);
  65         result += check_series(e, 0, d);
  66
  67         e = x + pow(x, -1);
  68         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  69         result += check_series(e, 1, d);
  70
  71         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  72         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + Order(pow(x, 7));
  73         result += check_series(e, 0, d);
  74
  75         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  76         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + Order(pow(x, 6));
  77         result += check_series(e, 0, d);
  78
  79         e = pow(sin(x), -2);
  80         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + Order(pow(x, 5));
  81         result += check_series(e, 0, d);
  82
  83         e = sin(x) / cos(x);
  84         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  85         result += check_series(e, 0, d);
  86
  87         e = cos(x) / sin(x);
  88         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 + Order(pow(x, 6));
  89         result += check_series(e, 0, d);
  90
  91         e = pow(numeric(2), x);
  92         ex t = log(2) * x;
  93         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  94         result += check_series(e, 0, d.expand());
  95
  96         e = pow(Pi, x);
  97         t = log(Pi) * x;
  98         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  99         result += check_series(e, 0, d.expand());
 100
 101         return result;
 102 }
 103
 104 // Series addition
 105 static unsigned exam_series2(void)
 106 {
 107         unsigned result = 0;
 108         ex e, d;
 109
 110         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 111         d = Order(pow(x, 6));
 112         result += check_series(e, 0, d);
 113
 114         return result;
 115 }
 116
 117 // Series multiplication
 118 static unsigned exam_series3(void)
 119 {
 120         unsigned result = 0;
 121         ex e, d;
 122
 123         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 124         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 125         result += check_series(e, 0, d);
 126
 127         return result;
 128 }
 129
 130 // Series exponentiation
 131 static unsigned exam_series4(void)
 132 {
 133         unsigned result = 0;
 134         ex e, d;
 135
 136         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 137         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 138         result += check_series(e, 0, d);
 139
 140         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 3);
 141         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2)) + Order(x);
 142         result += check_series(e, 0, d);
 143
 144         return result;
 145 }
 146
 147 // Order term handling
 148 static unsigned exam_series5(void)
 149 {
 150         unsigned result = 0;
 151         ex e, d;
 152
 153         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 154         d = Order(1);
 155         result += check_series(e, 0, d, 0);
 156         d = 1 + Order(x);
 157         result += check_series(e, 0, d, 1);
 158         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 159         result += check_series(e, 0, d, 2);
 160         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 161         result += check_series(e, 0, d, 3);
 162         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 163         result += check_series(e, 0, d, 4);
 164         return result;
 165 }
 166
 167 // Series expansion of tgamma(-1)
 168 static unsigned exam_series6(void)
 169 {
 170         ex e = tgamma(2*x);
 171         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 172                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 173                            numeric(1,2)*Euler) +
 174                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 175                            numeric(3,2)*Euler +
 176                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 177                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 178                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 179                            numeric(7,2)*Euler -
 180                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 181                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 182                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 183                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 184                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 185                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 186                            numeric(15,2)*Euler +
 187                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 188                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 189                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 190                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 191                            numeric(2)*zeta(3) +
 192                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 193                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 194                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 195                Order(pow(x+1,4));
 196         return check_series(e, -1, d, 4);
 197 }
 198
 199 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 200 static unsigned exam_series7(void)
 201 {
 202         ex e = tan(x*Pi/2);
 203         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 204               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 205               +Order(pow(x-1,8));
 206         return check_series(e,1,d,8);
 207 }
 208
 209 // Series expansion of log(sin(x==0))
 210 static unsigned exam_series8(void)
 211 {
 212         ex e = log(sin(x));
 213         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835
 214               +Order(pow(x,8));
 215         return check_series(e,0,d,8);
 216 }
 217
 218 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 219 static unsigned exam_series9(void)
 220 {
 221         ex e = Li2(sin(x));
 222         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 223                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 224                + Order(pow(x,8));
 225         return check_series(e,0,d,8);
 226 }
 227
 228 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 229 static unsigned exam_series10(void)
 230 {
 231         ex e = Li2(pow(x,2));
 232         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 233                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 234                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 235                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 236                + Order(pow(x-2,5));
 237         return check_series(e,2,d,5);
 238 }
 239
 240 // Series expansion of logarithms around branch points
 241 static unsigned exam_series11(void)
 242 {
 243         unsigned result = 0;
 244         ex e, d;
 245         symbol a("a");
 246
 247         e = log(x);
 248         d = log(x);
 249         result += check_series(e,0,d,5);
 250
 251         e = log(3/x);
 252         d = log(3)-log(x);
 253         result += check_series(e,0,d,5);
 254
 255         e = log(3*pow(x,2));
 256         d = log(3)+2*log(x);
 257         result += check_series(e,0,d,5);
 258
 259         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 260         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 261         e = log(-x);
 262         d = e;
 263         result += check_series(e,0,d,5);
 264
 265         e = log(I*(x-123));
 266         d = e;
 267         result += check_series(e,123,d,5);
 268
 269         e = log(a*x);
 270         d = e;  // we don't know anything about a!
 271         result += check_series(e,0,d,5);
 272
 273         e = log((1-x)/x);
 274         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3 + Order(pow(x-1,4));
 275         result += check_series(e,1,d,4);
 276
 277         return result;
 278 }
 279
 280 // Series expansion of other functions around branch points
 281 static unsigned exam_series12(void)
 282 {
 283         unsigned result = 0;
 284         ex e, d;
 285
 286         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 287         // takes into account that by assumption |x|<1.
 288         e = atan(x);
 289         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 290         result += check_series(e,I,d,3);
 291
 292         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 293         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 294         e = atan(x);
 295         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 296         result += check_series(e,-I,d,3);
 297
 298         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 299         e = atanh(x);
 300         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 301         result += check_series(e,-1,d,3);
 302
 303         return result;
 304 }
 305
 306
 307 unsigned exam_pseries(void)
 308 {
 309         unsigned result = 0;
 310
 311         cout << "examining series expansion" << flush;
 312         clog << "----------series expansion:" << endl;
 313
 314         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 315         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 316         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 317         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 318         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 319         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 320         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 321         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 322         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 323         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 324         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 325         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 326
 327         if (!result) {
 328                 cout << " passed " << endl;
 329                 clog << "(no output)" << endl;
 330         } else {
 331                 cout << " failed " << endl;
 332         }
 333         return result;
 334 }