check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2004 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static symbol x("x");
  26
  27 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  28 {
  29         ex es = e.series(x==point, order);
  30         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  31         if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
  32                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  33                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  34                      << ")" << endl;
  35                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 // Series expansion
  42 static unsigned exam_series1()
  43 {
  44         using GiNaC::log;
  45
  46         unsigned result = 0;
  47         ex e, d;
  48
  49         e = sin(x);
  50         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  51         result += check_series(e, 0, d);
  52
  53         e = cos(x);
  54         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  55         result += check_series(e, 0, d);
  56
  57         e = exp(x);
  58         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  59         result += check_series(e, 0, d);
  60
  61         e = pow(1 - x, -1);
  62         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  63         result += check_series(e, 0, d);
  64
  65         e = x + pow(x, -1);
  66         d = x + pow(x, -1);
  67         result += check_series(e, 0, d);
  68
  69         e = x + pow(x, -1);
  70         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  71         result += check_series(e, 1, d);
  72
  73         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  74         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  75         result += check_series(e, 0, d);
  76
  77         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  78         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
  79         result += check_series(e, 0, d);
  80
  81         e = pow(sin(x), -2);
  82         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
  83         result += check_series(e, 0, d);
  84
  85         e = sin(x) / cos(x);
  86         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  87         result += check_series(e, 0, d);
  88
  89         e = cos(x) / sin(x);
  90         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
  91         result += check_series(e, 0, d);
  92
  93         e = pow(numeric(2), x);
  94         ex t = log(2) * x;
  95         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  96         result += check_series(e, 0, d.expand());
  97
  98         e = pow(Pi, x);
  99         t = log(Pi) * x;
 100         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 101         result += check_series(e, 0, d.expand());
 102
 103         e = log(x);
 104         d = e;
 105         result += check_series(e, 0, d, 1);
 106         result += check_series(e, 0, d, 2);
 107
 108         e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
 109         d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
 110         result += check_series(e, 0, d, 6);
 111
 112         e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
 113         d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
 114             + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
 115             + Order(pow(x, 2));
 116         result += check_series(e, 0, d, 2);
 117
 118         return result;
 119 }
 120
 121 // Series addition
 122 static unsigned exam_series2()
 123 {
 124         unsigned result = 0;
 125         ex e, d;
 126
 127         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 128         d = Order(pow(x, 8));
 129         result += check_series(e, 0, d);
 130
 131         return result;
 132 }
 133
 134 // Series multiplication
 135 static unsigned exam_series3()
 136 {
 137         unsigned result = 0;
 138         ex e, d;
 139
 140         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 141         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 142         result += check_series(e, 0, d);
 143
 144         return result;
 145 }
 146
 147 // Series exponentiation
 148 static unsigned exam_series4()
 149 {
 150         unsigned result = 0;
 151         ex e, d;
 152
 153         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 154         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 155         result += check_series(e, 0, d);
 156
 157         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
 158         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2))
 159                 + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
 160         result += check_series(e, 0, d);
 161
 162         return result;
 163 }
 164
 165 // Order term handling
 166 static unsigned exam_series5()
 167 {
 168         unsigned result = 0;
 169         ex e, d;
 170
 171         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 172         d = Order(1);
 173         result += check_series(e, 0, d, 0);
 174         d = 1 + Order(x);
 175         result += check_series(e, 0, d, 1);
 176         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 177         result += check_series(e, 0, d, 2);
 178         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 179         result += check_series(e, 0, d, 3);
 180         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 181         result += check_series(e, 0, d, 4);
 182         return result;
 183 }
 184
 185 // Series expansion of tgamma(-1)
 186 static unsigned exam_series6()
 187 {
 188         ex e = tgamma(2*x);
 189         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 190                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 191                            numeric(1,2)*Euler) +
 192                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 193                            numeric(3,2)*Euler +
 194                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 195                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 196                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 197                            numeric(7,2)*Euler -
 198                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 199                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 200                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 201                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 202                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 203                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 204                            numeric(15,2)*Euler +
 205                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 206                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 207                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 208                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 209                            numeric(2)*zeta(3) +
 210                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 211                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 212                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 213                Order(pow(x+1,4));
 214         return check_series(e, -1, d, 4);
 215 }
 216
 217 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 218 static unsigned exam_series7()
 219 {
 220         ex e = tan(x*Pi/2);
 221         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 222               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 223               +Order(pow(x-1,9));
 224         return check_series(e,1,d,9);
 225 }
 226
 227 // Series expansion of log(sin(x==0))
 228 static unsigned exam_series8()
 229 {
 230         ex e = log(sin(x));
 231         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
 232         return check_series(e,0,d,9);
 233 }
 234
 235 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 236 static unsigned exam_series9()
 237 {
 238         ex e = Li2(sin(x));
 239         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 240                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 241                + Order(pow(x,8));
 242         return check_series(e,0,d,8);
 243 }
 244
 245 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 246 static unsigned exam_series10()
 247 {
 248         using GiNaC::log;
 249
 250         ex e = Li2(pow(x,2));
 251         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 252                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 253                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 254                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 255                + Order(pow(x-2,5));
 256         return check_series(e,2,d,5);
 257 }
 258
 259 // Series expansion of logarithms around branch points
 260 static unsigned exam_series11()
 261 {
 262         using GiNaC::log;
 263
 264         unsigned result = 0;
 265         ex e, d;
 266         symbol a("a");
 267
 268         e = log(x);
 269         d = log(x);
 270         result += check_series(e,0,d,5);
 271
 272         e = log(3/x);
 273         d = log(3)-log(x);
 274         result += check_series(e,0,d,5);
 275
 276         e = log(3*pow(x,2));
 277         d = log(3)+2*log(x);
 278         result += check_series(e,0,d,5);
 279
 280         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 281         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 282         e = log(-x);
 283         d = e;
 284         result += check_series(e,0,d,5);
 285
 286         e = log(I*(x-123));
 287         d = e;
 288         result += check_series(e,123,d,5);
 289
 290         e = log(a*x);
 291         d = e;  // we don't know anything about a!
 292         result += check_series(e,0,d,5);
 293
 294         e = log((1-x)/x);
 295         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
 296         result += check_series(e,1,d,5);
 297
 298         return result;
 299 }
 300
 301 // Series expansion of other functions around branch points
 302 static unsigned exam_series12()
 303 {
 304         using GiNaC::log;
 305
 306         unsigned result = 0;
 307         ex e, d;
 308
 309         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 310         // takes into account that by assumption |x|<1.
 311         e = atan(x);
 312         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 313         result += check_series(e,I,d,3);
 314
 315         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 316         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 317         e = atan(x);
 318         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 319         result += check_series(e,-I,d,3);
 320
 321         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 322         e = atanh(x);
 323         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 324         result += check_series(e,-1,d,3);
 325
 326         return result;
 327 }
 328
 329
 330 unsigned exam_pseries()
 331 {
 332         unsigned result = 0;
 333
 334         cout << "examining series expansion" << flush;
 335         clog << "----------series expansion:" << endl;
 336
 337         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 338         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 339         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 340         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 341         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 342         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 343         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 344         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 345         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 346         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 347         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 348         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 349
 350         if (!result) {
 351                 cout << " passed " << endl;
 352                 clog << "(no output)" << endl;
 353         } else {
 354                 cout << " failed " << endl;
 355         }
 356         return result;
 357 }