check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2004 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static symbol x("x");
  26
  27 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  28 {
  29         ex es = e.series(x==point, order);
  30         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  31         if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
  32                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  33                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  34                      << ")" << endl;
  35                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 // Series expansion
  42 static unsigned exam_series1()
  43 {
  44         using GiNaC::log;
  45
  46         unsigned result = 0;
  47         ex e, d;
  48
  49         e = sin(x);
  50         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  51         result += check_series(e, 0, d);
  52
  53         e = cos(x);
  54         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  55         result += check_series(e, 0, d);
  56
  57         e = exp(x);
  58         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  59         result += check_series(e, 0, d);
  60
  61         e = pow(1 - x, -1);
  62         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  63         result += check_series(e, 0, d);
  64
  65         e = x + pow(x, -1);
  66         d = x + pow(x, -1);
  67         result += check_series(e, 0, d);
  68
  69         e = x + pow(x, -1);
  70         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  71         result += check_series(e, 1, d);
  72
  73         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  74         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  75         result += check_series(e, 0, d);
  76
  77         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  78         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
  79         result += check_series(e, 0, d);
  80
  81         e = pow(sin(x), -2);
  82         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
  83         result += check_series(e, 0, d);
  84
  85         e = sin(x) / cos(x);
  86         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  87         result += check_series(e, 0, d);
  88
  89         e = cos(x) / sin(x);
  90         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
  91         result += check_series(e, 0, d);
  92
  93         e = pow(numeric(2), x);
  94         ex t = log(2) * x;
  95         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  96         result += check_series(e, 0, d.expand());
  97
  98         e = pow(Pi, x);
  99         t = log(Pi) * x;
 100         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 101         result += check_series(e, 0, d.expand());
 102
 103         e = log(x);
 104         d = e;
 105         result += check_series(e, 0, d, 1);
 106         result += check_series(e, 0, d, 2);
 107
 108         e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
 109         d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
 110         result += check_series(e, 0, d, 6);
 111
 112         e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
 113         d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
 114             + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
 115             + Order(pow(x, 2));
 116         result += check_series(e, 0, d, 2);
 117
 118         e = sqrt(1+x*x) * sqrt(1+2*x*x);
 119         d = 1 + Order(pow(x, 2));
 120         result += check_series(e, 0, d, 2);
 121
 122         symbol a("a");
 123         e = pow(x, 4) * sin(a) + pow(x, 2);
 124         d = pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 125         result += check_series(e, 0, d, 3);
 126
 127         return result;
 128 }
 129
 130 // Series addition
 131 static unsigned exam_series2()
 132 {
 133         unsigned result = 0;
 134         ex e, d;
 135
 136         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 137         d = Order(pow(x, 8));
 138         result += check_series(e, 0, d);
 139
 140         return result;
 141 }
 142
 143 // Series multiplication
 144 static unsigned exam_series3()
 145 {
 146         unsigned result = 0;
 147         ex e, d;
 148
 149         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 150         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 151         result += check_series(e, 0, d);
 152
 153         return result;
 154 }
 155
 156 // Series exponentiation
 157 static unsigned exam_series4()
 158 {
 159         unsigned result = 0;
 160         ex e, d;
 161
 162         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 163         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 164         result += check_series(e, 0, d);
 165
 166         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
 167         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2))
 168                 + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
 169         result += check_series(e, 0, d);
 170
 171         return result;
 172 }
 173
 174 // Order term handling
 175 static unsigned exam_series5()
 176 {
 177         unsigned result = 0;
 178         ex e, d;
 179
 180         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 181         d = Order(1);
 182         result += check_series(e, 0, d, 0);
 183         d = 1 + Order(x);
 184         result += check_series(e, 0, d, 1);
 185         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 186         result += check_series(e, 0, d, 2);
 187         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 188         result += check_series(e, 0, d, 3);
 189         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 190         result += check_series(e, 0, d, 4);
 191         return result;
 192 }
 193
 194 // Series expansion of tgamma(-1)
 195 static unsigned exam_series6()
 196 {
 197         ex e = tgamma(2*x);
 198         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 199                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 200                            numeric(1,2)*Euler) +
 201                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 202                            numeric(3,2)*Euler +
 203                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 204                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 205                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 206                            numeric(7,2)*Euler -
 207                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 208                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 209                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 210                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 211                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 212                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 213                            numeric(15,2)*Euler +
 214                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 215                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 216                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 217                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 218                            numeric(2)*zeta(3) +
 219                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 220                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 221                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 222                Order(pow(x+1,4));
 223         return check_series(e, -1, d, 4);
 224 }
 225
 226 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 227 static unsigned exam_series7()
 228 {
 229         ex e = tan(x*Pi/2);
 230         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 231               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 232               +Order(pow(x-1,9));
 233         return check_series(e,1,d,9);
 234 }
 235
 236 // Series expansion of log(sin(x==0))
 237 static unsigned exam_series8()
 238 {
 239         ex e = log(sin(x));
 240         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
 241         return check_series(e,0,d,9);
 242 }
 243
 244 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 245 static unsigned exam_series9()
 246 {
 247         ex e = Li2(sin(x));
 248         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 249                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 250                + Order(pow(x,8));
 251         return check_series(e,0,d,8);
 252 }
 253
 254 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 255 static unsigned exam_series10()
 256 {
 257         using GiNaC::log;
 258
 259         ex e = Li2(pow(x,2));
 260         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 261                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 262                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 263                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 264                + Order(pow(x-2,5));
 265         return check_series(e,2,d,5);
 266 }
 267
 268 // Series expansion of logarithms around branch points
 269 static unsigned exam_series11()
 270 {
 271         using GiNaC::log;
 272
 273         unsigned result = 0;
 274         ex e, d;
 275         symbol a("a");
 276
 277         e = log(x);
 278         d = log(x);
 279         result += check_series(e,0,d,5);
 280
 281         e = log(3/x);
 282         d = log(3)-log(x);
 283         result += check_series(e,0,d,5);
 284
 285         e = log(3*pow(x,2));
 286         d = log(3)+2*log(x);
 287         result += check_series(e,0,d,5);
 288
 289         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 290         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 291         e = log(-x);
 292         d = e;
 293         result += check_series(e,0,d,5);
 294
 295         e = log(I*(x-123));
 296         d = e;
 297         result += check_series(e,123,d,5);
 298
 299         e = log(a*x);
 300         d = e;  // we don't know anything about a!
 301         result += check_series(e,0,d,5);
 302
 303         e = log((1-x)/x);
 304         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
 305         result += check_series(e,1,d,5);
 306
 307         return result;
 308 }
 309
 310 // Series expansion of other functions around branch points
 311 static unsigned exam_series12()
 312 {
 313         using GiNaC::log;
 314
 315         unsigned result = 0;
 316         ex e, d;
 317
 318         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 319         // takes into account that by assumption |x|<1.
 320         e = atan(x);
 321         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 322         result += check_series(e,I,d,3);
 323
 324         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 325         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 326         e = atan(x);
 327         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 328         result += check_series(e,-I,d,3);
 329
 330         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 331         e = atanh(x);
 332         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 333         result += check_series(e,-1,d,3);
 334
 335         return result;
 336 }
 337
 338
 339 unsigned exam_pseries()
 340 {
 341         unsigned result = 0;
 342
 343         cout << "examining series expansion" << flush;
 344         clog << "----------series expansion:" << endl;
 345
 346         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 347         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 348         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 349         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 350         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 351         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 352         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 353         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 354         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 355         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 356         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 357         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 358
 359         if (!result) {
 360                 cout << " passed " << endl;
 361                 clog << "(no output)" << endl;
 362         } else {
 363                 cout << " failed " << endl;
 364         }
 365         return result;
 366 }