check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2008 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include <iostream>
  24 #include "ginac.h"
  25 using namespace std;
  26 using namespace GiNaC;
  27
  28 static symbol x("x");
  29
  30 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  31 {
  32         ex es = e.series(x==point, order);
  33         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  34         if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
  35                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  36                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  37                      << ")" << endl;
  38                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  39                 return 1;
  40         }
  41         return 0;
  42 }
  43
  44 // Series expansion
  45 static unsigned exam_series1()
  46 {
  47         using GiNaC::log;
  48
  49         symbol a("a");
  50         symbol b("b");
  51         unsigned result = 0;
  52         ex e, d;
  53
  54         e = pow(a+b, x);
  55         d = 1 + Order(pow(x, 1));
  56         result += check_series(e, 0, d, 1);
  57
  58         e = sin(x);
  59         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  60         result += check_series(e, 0, d);
  61
  62         e = cos(x);
  63         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  64         result += check_series(e, 0, d);
  65
  66         e = exp(x);
  67         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  68         result += check_series(e, 0, d);
  69
  70         e = pow(1 - x, -1);
  71         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  72         result += check_series(e, 0, d);
  73
  74         e = x + pow(x, -1);
  75         d = x + pow(x, -1);
  76         result += check_series(e, 0, d);
  77
  78         e = x + pow(x, -1);
  79         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  80         result += check_series(e, 1, d);
  81
  82         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  83         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  84         result += check_series(e, 0, d);
  85
  86         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  87         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
  88         result += check_series(e, 0, d);
  89
  90         e = pow(sin(x), -2);
  91         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
  92         result += check_series(e, 0, d);
  93
  94         e = sin(x) / cos(x);
  95         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  96         result += check_series(e, 0, d);
  97
  98         e = cos(x) / sin(x);
  99         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
 100         result += check_series(e, 0, d);
 101
 102         e = pow(numeric(2), x);
 103         ex t = log(2) * x;
 104         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 105         result += check_series(e, 0, d.expand());
 106
 107         e = pow(Pi, x);
 108         t = log(Pi) * x;
 109         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 110         result += check_series(e, 0, d.expand());
 111
 112         e = log(x);
 113         d = e;
 114         result += check_series(e, 0, d, 1);
 115         result += check_series(e, 0, d, 2);
 116
 117         e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
 118         d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
 119         result += check_series(e, 0, d, 6);
 120
 121         e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
 122         d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
 123             + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
 124             + Order(pow(x, 2));
 125         result += check_series(e, 0, d, 2);
 126
 127         e = sqrt(1+x*x) * sqrt(1+2*x*x);
 128         d = 1 + Order(pow(x, 2));
 129         result += check_series(e, 0, d, 2);
 130
 131         e = pow(x, 4) * sin(a) + pow(x, 2);
 132         d = pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 133         result += check_series(e, 0, d, 3);
 134
 135         e = log(a*x + b*x*x*log(x));
 136         d = log(a*x) + b/a*log(x)*x - pow(b/a, 2)/2*pow(log(x)*x, 2) + Order(pow(x, 3));
 137         result += check_series(e, 0, d, 3);
 138
 139         e = pow((x+a), b);
 140         d = pow(a, b) + (pow(a, b)*b/a)*x + (pow(a, b)*b*b/a/a/2 - pow(a, b)*b/a/a/2)*pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 141         result += check_series(e, 0, d, 3);
 142
 143         return result;
 144 }
 145
 146 // Series addition
 147 static unsigned exam_series2()
 148 {
 149         unsigned result = 0;
 150         ex e, d;
 151
 152         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 153         d = Order(pow(x, 8));
 154         result += check_series(e, 0, d);
 155
 156         return result;
 157 }
 158
 159 // Series multiplication
 160 static unsigned exam_series3()
 161 {
 162         unsigned result = 0;
 163         ex e, d;
 164
 165         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 166         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 167         result += check_series(e, 0, d);
 168
 169         return result;
 170 }
 171
 172 // Series exponentiation
 173 static unsigned exam_series4()
 174 {
 175         unsigned result = 0;
 176         ex e, d;
 177
 178         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 179         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 180         result += check_series(e, 0, d);
 181
 182         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
 183         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2))
 184                 + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
 185         result += check_series(e, 0, d);
 186
 187         return result;
 188 }
 189
 190 // Order term handling
 191 static unsigned exam_series5()
 192 {
 193         unsigned result = 0;
 194         ex e, d;
 195
 196         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 197         d = Order(1);
 198         result += check_series(e, 0, d, 0);
 199         d = 1 + Order(x);
 200         result += check_series(e, 0, d, 1);
 201         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 202         result += check_series(e, 0, d, 2);
 203         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 204         result += check_series(e, 0, d, 3);
 205         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 206         result += check_series(e, 0, d, 4);
 207         return result;
 208 }
 209
 210 // Series expansion of tgamma(-1)
 211 static unsigned exam_series6()
 212 {
 213         ex e = tgamma(2*x);
 214         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 215                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 216                            numeric(1,2)*Euler) +
 217                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 218                            numeric(3,2)*Euler +
 219                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 220                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 221                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 222                            numeric(7,2)*Euler -
 223                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 224                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 225                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 226                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 227                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 228                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 229                            numeric(15,2)*Euler +
 230                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 231                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 232                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 233                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 234                            numeric(2)*zeta(3) +
 235                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 236                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 237                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 238                Order(pow(x+1,4));
 239         return check_series(e, -1, d, 4);
 240 }
 241
 242 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 243 static unsigned exam_series7()
 244 {
 245         ex e = tan(x*Pi/2);
 246         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 247               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 248               +Order(pow(x-1,9));
 249         return check_series(e,1,d,9);
 250 }
 251
 252 // Series expansion of log(sin(x==0))
 253 static unsigned exam_series8()
 254 {
 255         ex e = log(sin(x));
 256         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
 257         return check_series(e,0,d,9);
 258 }
 259
 260 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 261 static unsigned exam_series9()
 262 {
 263         ex e = Li2(sin(x));
 264         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 265                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 266                + Order(pow(x,8));
 267         return check_series(e,0,d,8);
 268 }
 269
 270 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 271 static unsigned exam_series10()
 272 {
 273         using GiNaC::log;
 274
 275         ex e = Li2(pow(x,2));
 276         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 277                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 278                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 279                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 280                + Order(pow(x-2,5));
 281         return check_series(e,2,d,5);
 282 }
 283
 284 // Series expansion of logarithms around branch points
 285 static unsigned exam_series11()
 286 {
 287         using GiNaC::log;
 288
 289         unsigned result = 0;
 290         ex e, d;
 291         symbol a("a");
 292
 293         e = log(x);
 294         d = log(x);
 295         result += check_series(e,0,d,5);
 296
 297         e = log(3/x);
 298         d = log(3)-log(x);
 299         result += check_series(e,0,d,5);
 300
 301         e = log(3*pow(x,2));
 302         d = log(3)+2*log(x);
 303         result += check_series(e,0,d,5);
 304
 305         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 306         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 307         e = log(-x);
 308         d = e;
 309         result += check_series(e,0,d,5);
 310
 311         e = log(I*(x-123));
 312         d = e;
 313         result += check_series(e,123,d,5);
 314
 315         e = log(a*x);
 316         d = e;  // we don't know anything about a!
 317         result += check_series(e,0,d,5);
 318
 319         e = log((1-x)/x);
 320         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
 321         result += check_series(e,1,d,5);
 322
 323         return result;
 324 }
 325
 326 // Series expansion of other functions around branch points
 327 static unsigned exam_series12()
 328 {
 329         using GiNaC::log;
 330
 331         unsigned result = 0;
 332         ex e, d;
 333
 334         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 335         // takes into account that by assumption |x|<1.
 336         e = atan(x);
 337         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 338         result += check_series(e,I,d,3);
 339
 340         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 341         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 342         e = atan(x);
 343         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 344         result += check_series(e,-I,d,3);
 345
 346         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 347         e = atanh(x);
 348         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 349         result += check_series(e,-1,d,3);
 350
 351         return result;
 352 }
 353
 354 // Test of the patch of Stefan Weinzierl that prevents an infinite loop if
 355 // a factor in a product is a complicated way of writing zero.
 356 static unsigned exam_series13()
 357 {
 358         unsigned result = 0;
 359
 360         ex e = (new mul(pow(2,x), (1/x*(-(1+x)/(1-x)) + (1+x)/x/(1-x)))
 361                )->setflag(status_flags::evaluated);
 362         ex d = Order(x);
 363         result += check_series(e,0,d,1);
 364
 365         return result;
 366 }
 367
 368 unsigned exam_pseries()
 369 {
 370         unsigned result = 0;
 371
 372         cout << "examining series expansion" << flush;
 373
 374         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 375         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 376         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 377         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 378         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 379         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 380         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 381         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 382         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 383         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 384         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 385         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 386         result += exam_series13();  cout << '.' << flush;
 387
 388         return result;
 389 }
 390
 391 int main(int argc, char** argv)
 392 {
 393         return exam_pseries();
 394 }