check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2003 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static symbol x("x");
  26
  27 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  28 {
  29         ex es = e.series(x==point, order);
  30         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  31         if (!(ep - d).is_zero()) {
  32                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  33                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  34                      << ")" << endl;
  35                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 // Series expansion
  42 static unsigned exam_series1()
  43 {
  44         using GiNaC::log;
  45
  46         unsigned result = 0;
  47         ex e, d;
  48
  49         e = sin(x);
  50         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  51         result += check_series(e, 0, d);
  52
  53         e = cos(x);
  54         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  55         result += check_series(e, 0, d);
  56
  57         e = exp(x);
  58         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  59         result += check_series(e, 0, d);
  60
  61         e = pow(1 - x, -1);
  62         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  63         result += check_series(e, 0, d);
  64
  65         e = x + pow(x, -1);
  66         d = x + pow(x, -1);
  67         result += check_series(e, 0, d);
  68
  69         e = x + pow(x, -1);
  70         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  71         result += check_series(e, 1, d);
  72
  73         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  74         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + Order(pow(x, 7));
  75         result += check_series(e, 0, d);
  76
  77         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  78         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + Order(pow(x, 6));
  79         result += check_series(e, 0, d);
  80
  81         e = pow(sin(x), -2);
  82         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + Order(pow(x, 5));
  83         result += check_series(e, 0, d);
  84
  85         e = sin(x) / cos(x);
  86         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  87         result += check_series(e, 0, d);
  88
  89         e = cos(x) / sin(x);
  90         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 + Order(pow(x, 6));
  91         result += check_series(e, 0, d);
  92
  93         e = pow(numeric(2), x);
  94         ex t = log(2) * x;
  95         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  96         result += check_series(e, 0, d.expand());
  97
  98         e = pow(Pi, x);
  99         t = log(Pi) * x;
 100         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 101         result += check_series(e, 0, d.expand());
 102
 103         e = log(x);
 104         d = e;
 105         result += check_series(e, 0, d, 1);
 106         result += check_series(e, 0, d, 2);
 107
 108         return result;
 109 }
 110
 111 // Series addition
 112 static unsigned exam_series2()
 113 {
 114         unsigned result = 0;
 115         ex e, d;
 116
 117         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 118         d = Order(pow(x, 6));
 119         result += check_series(e, 0, d);
 120
 121         return result;
 122 }
 123
 124 // Series multiplication
 125 static unsigned exam_series3()
 126 {
 127         unsigned result = 0;
 128         ex e, d;
 129
 130         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 131         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 132         result += check_series(e, 0, d);
 133
 134         return result;
 135 }
 136
 137 // Series exponentiation
 138 static unsigned exam_series4()
 139 {
 140         unsigned result = 0;
 141         ex e, d;
 142
 143         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 144         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 145         result += check_series(e, 0, d);
 146
 147         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 3);
 148         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2)) + Order(x);
 149         result += check_series(e, 0, d);
 150
 151         return result;
 152 }
 153
 154 // Order term handling
 155 static unsigned exam_series5()
 156 {
 157         unsigned result = 0;
 158         ex e, d;
 159
 160         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 161         d = Order(1);
 162         result += check_series(e, 0, d, 0);
 163         d = 1 + Order(x);
 164         result += check_series(e, 0, d, 1);
 165         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 166         result += check_series(e, 0, d, 2);
 167         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 168         result += check_series(e, 0, d, 3);
 169         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 170         result += check_series(e, 0, d, 4);
 171         return result;
 172 }
 173
 174 // Series expansion of tgamma(-1)
 175 static unsigned exam_series6()
 176 {
 177         ex e = tgamma(2*x);
 178         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 179                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 180                            numeric(1,2)*Euler) +
 181                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 182                            numeric(3,2)*Euler +
 183                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 184                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 185                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 186                            numeric(7,2)*Euler -
 187                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 188                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 189                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 190                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 191                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 192                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 193                            numeric(15,2)*Euler +
 194                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 195                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 196                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 197                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 198                            numeric(2)*zeta(3) +
 199                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 200                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 201                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 202                Order(pow(x+1,4));
 203         return check_series(e, -1, d, 4);
 204 }
 205
 206 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 207 static unsigned exam_series7()
 208 {
 209         ex e = tan(x*Pi/2);
 210         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 211               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 212               +Order(pow(x-1,8));
 213         return check_series(e,1,d,8);
 214 }
 215
 216 // Series expansion of log(sin(x==0))
 217 static unsigned exam_series8()
 218 {
 219         ex e = log(sin(x));
 220         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835
 221               +Order(pow(x,8));
 222         return check_series(e,0,d,8);
 223 }
 224
 225 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 226 static unsigned exam_series9()
 227 {
 228         ex e = Li2(sin(x));
 229         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 230                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 231                + Order(pow(x,8));
 232         return check_series(e,0,d,8);
 233 }
 234
 235 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 236 static unsigned exam_series10()
 237 {
 238         using GiNaC::log;
 239
 240         ex e = Li2(pow(x,2));
 241         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 242                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 243                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 244                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 245                + Order(pow(x-2,5));
 246         return check_series(e,2,d,5);
 247 }
 248
 249 // Series expansion of logarithms around branch points
 250 static unsigned exam_series11()
 251 {
 252         using GiNaC::log;
 253
 254         unsigned result = 0;
 255         ex e, d;
 256         symbol a("a");
 257
 258         e = log(x);
 259         d = log(x);
 260         result += check_series(e,0,d,5);
 261
 262         e = log(3/x);
 263         d = log(3)-log(x);
 264         result += check_series(e,0,d,5);
 265
 266         e = log(3*pow(x,2));
 267         d = log(3)+2*log(x);
 268         result += check_series(e,0,d,5);
 269
 270         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 271         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 272         e = log(-x);
 273         d = e;
 274         result += check_series(e,0,d,5);
 275
 276         e = log(I*(x-123));
 277         d = e;
 278         result += check_series(e,123,d,5);
 279
 280         e = log(a*x);
 281         d = e;  // we don't know anything about a!
 282         result += check_series(e,0,d,5);
 283
 284         e = log((1-x)/x);
 285         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3 + Order(pow(x-1,4));
 286         result += check_series(e,1,d,4);
 287
 288         return result;
 289 }
 290
 291 // Series expansion of other functions around branch points
 292 static unsigned exam_series12()
 293 {
 294         using GiNaC::log;
 295
 296         unsigned result = 0;
 297         ex e, d;
 298
 299         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 300         // takes into account that by assumption |x|<1.
 301         e = atan(x);
 302         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 303         result += check_series(e,I,d,3);
 304
 305         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 306         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 307         e = atan(x);
 308         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 309         result += check_series(e,-I,d,3);
 310
 311         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 312         e = atanh(x);
 313         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 314         result += check_series(e,-1,d,3);
 315
 316         return result;
 317 }
 318
 319
 320 unsigned exam_pseries()
 321 {
 322         unsigned result = 0;
 323
 324         cout << "examining series expansion" << flush;
 325         clog << "----------series expansion:" << endl;
 326
 327         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 328         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 329         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 330         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 331         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 332         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 333         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 334         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 335         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 336         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 337         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 338         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 339
 340         if (!result) {
 341                 cout << " passed " << endl;
 342                 clog << "(no output)" << endl;
 343         } else {
 344                 cout << " failed " << endl;
 345         }
 346         return result;
 347 }