check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static symbol x("x");
  26
  27 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  28 {
  29         ex es = e.series(x==point, order);
  30         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  31         if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
  32                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  33                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  34                      << ")" << endl;
  35                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 // Series expansion
  42 static unsigned exam_series1()
  43 {
  44         using GiNaC::log;
  45
  46         symbol a("a");
  47         symbol b("b");
  48         unsigned result = 0;
  49         ex e, d;
  50
  51         e = pow(a+b, x);
  52         d = 1 + Order(pow(x, 1));
  53         result += check_series(e, 0, d, 1);
  54
  55         e = sin(x);
  56         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  57         result += check_series(e, 0, d);
  58
  59         e = cos(x);
  60         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  61         result += check_series(e, 0, d);
  62
  63         e = exp(x);
  64         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  65         result += check_series(e, 0, d);
  66
  67         e = pow(1 - x, -1);
  68         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  69         result += check_series(e, 0, d);
  70
  71         e = x + pow(x, -1);
  72         d = x + pow(x, -1);
  73         result += check_series(e, 0, d);
  74
  75         e = x + pow(x, -1);
  76         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  77         result += check_series(e, 1, d);
  78
  79         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  80         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  81         result += check_series(e, 0, d);
  82
  83         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  84         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
  85         result += check_series(e, 0, d);
  86
  87         e = pow(sin(x), -2);
  88         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
  89         result += check_series(e, 0, d);
  90
  91         e = sin(x) / cos(x);
  92         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  93         result += check_series(e, 0, d);
  94
  95         e = cos(x) / sin(x);
  96         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
  97         result += check_series(e, 0, d);
  98
  99         e = pow(numeric(2), x);
 100         ex t = log(2) * x;
 101         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 102         result += check_series(e, 0, d.expand());
 103
 104         e = pow(Pi, x);
 105         t = log(Pi) * x;
 106         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 107         result += check_series(e, 0, d.expand());
 108
 109         e = log(x);
 110         d = e;
 111         result += check_series(e, 0, d, 1);
 112         result += check_series(e, 0, d, 2);
 113
 114         e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
 115         d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
 116         result += check_series(e, 0, d, 6);
 117
 118         e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
 119         d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
 120             + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
 121             + Order(pow(x, 2));
 122         result += check_series(e, 0, d, 2);
 123
 124         e = sqrt(1+x*x) * sqrt(1+2*x*x);
 125         d = 1 + Order(pow(x, 2));
 126         result += check_series(e, 0, d, 2);
 127
 128         e = pow(x, 4) * sin(a) + pow(x, 2);
 129         d = pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 130         result += check_series(e, 0, d, 3);
 131
 132         e = log(a*x + b*x*x*log(x));
 133         d = log(a*x) + b/a*log(x)*x - pow(b/a, 2)/2*pow(log(x)*x, 2) + Order(pow(x, 3));
 134         result += check_series(e, 0, d, 3);
 135
 136         e = pow((x+a), b);
 137         d = pow(a, b) + (pow(a, b)*b/a)*x + (pow(a, b)*b*b/a/a/2 - pow(a, b)*b/a/a/2)*pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 138         result += check_series(e, 0, d, 3);
 139
 140         return result;
 141 }
 142
 143 // Series addition
 144 static unsigned exam_series2()
 145 {
 146         unsigned result = 0;
 147         ex e, d;
 148
 149         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 150         d = Order(pow(x, 8));
 151         result += check_series(e, 0, d);
 152
 153         return result;
 154 }
 155
 156 // Series multiplication
 157 static unsigned exam_series3()
 158 {
 159         unsigned result = 0;
 160         ex e, d;
 161
 162         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 163         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 164         result += check_series(e, 0, d);
 165
 166         return result;
 167 }
 168
 169 // Series exponentiation
 170 static unsigned exam_series4()
 171 {
 172         unsigned result = 0;
 173         ex e, d;
 174
 175         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 176         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 177         result += check_series(e, 0, d);
 178
 179         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
 180         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2))
 181                 + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
 182         result += check_series(e, 0, d);
 183
 184         return result;
 185 }
 186
 187 // Order term handling
 188 static unsigned exam_series5()
 189 {
 190         unsigned result = 0;
 191         ex e, d;
 192
 193         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 194         d = Order(1);
 195         result += check_series(e, 0, d, 0);
 196         d = 1 + Order(x);
 197         result += check_series(e, 0, d, 1);
 198         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 199         result += check_series(e, 0, d, 2);
 200         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 201         result += check_series(e, 0, d, 3);
 202         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 203         result += check_series(e, 0, d, 4);
 204         return result;
 205 }
 206
 207 // Series expansion of tgamma(-1)
 208 static unsigned exam_series6()
 209 {
 210         ex e = tgamma(2*x);
 211         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 212                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 213                            numeric(1,2)*Euler) +
 214                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 215                            numeric(3,2)*Euler +
 216                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 217                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 218                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 219                            numeric(7,2)*Euler -
 220                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 221                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 222                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 223                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 224                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 225                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 226                            numeric(15,2)*Euler +
 227                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 228                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 229                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 230                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 231                            numeric(2)*zeta(3) +
 232                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 233                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 234                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 235                Order(pow(x+1,4));
 236         return check_series(e, -1, d, 4);
 237 }
 238
 239 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 240 static unsigned exam_series7()
 241 {
 242         ex e = tan(x*Pi/2);
 243         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 244               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 245               +Order(pow(x-1,9));
 246         return check_series(e,1,d,9);
 247 }
 248
 249 // Series expansion of log(sin(x==0))
 250 static unsigned exam_series8()
 251 {
 252         ex e = log(sin(x));
 253         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
 254         return check_series(e,0,d,9);
 255 }
 256
 257 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 258 static unsigned exam_series9()
 259 {
 260         ex e = Li2(sin(x));
 261         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 262                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 263                + Order(pow(x,8));
 264         return check_series(e,0,d,8);
 265 }
 266
 267 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 268 static unsigned exam_series10()
 269 {
 270         using GiNaC::log;
 271
 272         ex e = Li2(pow(x,2));
 273         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 274                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 275                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 276                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 277                + Order(pow(x-2,5));
 278         return check_series(e,2,d,5);
 279 }
 280
 281 // Series expansion of logarithms around branch points
 282 static unsigned exam_series11()
 283 {
 284         using GiNaC::log;
 285
 286         unsigned result = 0;
 287         ex e, d;
 288         symbol a("a");
 289
 290         e = log(x);
 291         d = log(x);
 292         result += check_series(e,0,d,5);
 293
 294         e = log(3/x);
 295         d = log(3)-log(x);
 296         result += check_series(e,0,d,5);
 297
 298         e = log(3*pow(x,2));
 299         d = log(3)+2*log(x);
 300         result += check_series(e,0,d,5);
 301
 302         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 303         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 304         e = log(-x);
 305         d = e;
 306         result += check_series(e,0,d,5);
 307
 308         e = log(I*(x-123));
 309         d = e;
 310         result += check_series(e,123,d,5);
 311
 312         e = log(a*x);
 313         d = e;  // we don't know anything about a!
 314         result += check_series(e,0,d,5);
 315
 316         e = log((1-x)/x);
 317         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
 318         result += check_series(e,1,d,5);
 319
 320         return result;
 321 }
 322
 323 // Series expansion of other functions around branch points
 324 static unsigned exam_series12()
 325 {
 326         using GiNaC::log;
 327
 328         unsigned result = 0;
 329         ex e, d;
 330
 331         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 332         // takes into account that by assumption |x|<1.
 333         e = atan(x);
 334         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 335         result += check_series(e,I,d,3);
 336
 337         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 338         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 339         e = atan(x);
 340         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 341         result += check_series(e,-I,d,3);
 342
 343         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 344         e = atanh(x);
 345         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 346         result += check_series(e,-1,d,3);
 347
 348         return result;
 349 }
 350
 351
 352 unsigned exam_pseries()
 353 {
 354         unsigned result = 0;
 355
 356         cout << "examining series expansion" << flush;
 357         clog << "----------series expansion:" << endl;
 358
 359         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 360         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 361         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 362         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 363         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 364         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 365         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 366         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 367         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 368         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 369         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 370         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 371
 372         if (!result) {
 373                 cout << " passed " << endl;
 374                 clog << "(no output)" << endl;
 375         } else {
 376                 cout << " failed " << endl;
 377         }
 378         return result;
 379 }