check/exam_pseries.cpp

   1 /** @File exam_pseries.cpp
   2  *
   3  *  Series expansion test (Laurent and Taylor series). */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2021 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "ginac.h"
  24 using namespace GiNaC;
  25
  26 #include <iostream>
  27 using namespace std;
  28
  29 static symbol x("x");
  30
  31 static unsigned check_series(const ex &e, const ex &point, const ex &d, int order = 8)
  32 {
  33         ex es = e.series(x==point, order);
  34         ex ep = ex_to<pseries>(es).convert_to_poly();
  35         if (!(ep - d).expand().is_zero()) {
  36                 clog << "series expansion of " << e << " at " << point
  37                      << " erroneously returned " << ep << " (instead of " << d
  38                      << ")" << endl;
  39                 clog << tree << (ep-d) << dflt;
  40                 return 1;
  41         }
  42         return 0;
  43 }
  44
  45 // Series expansion
  46 static unsigned exam_series1()
  47 {
  48         using GiNaC::log;
  49
  50         symbol a("a");
  51         symbol b("b");
  52         unsigned result = 0;
  53         ex e, d;
  54
  55         e = pow(a+b, x);
  56         d = 1 + Order(pow(x, 1));
  57         result += check_series(e, 0, d, 1);
  58
  59         e = sin(x);
  60         d = x - pow(x, 3) / 6 + pow(x, 5) / 120 - pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  61         result += check_series(e, 0, d);
  62
  63         e = cos(x);
  64         d = 1 - pow(x, 2) / 2 + pow(x, 4) / 24 - pow(x, 6) / 720 + Order(pow(x, 8));
  65         result += check_series(e, 0, d);
  66
  67         e = exp(x);
  68         d = 1 + x + pow(x, 2) / 2 + pow(x, 3) / 6 + pow(x, 4) / 24 + pow(x, 5) / 120 + pow(x, 6) / 720 + pow(x, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
  69         result += check_series(e, 0, d);
  70
  71         e = pow(1 - x, -1);
  72         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3) + pow(x, 4) + pow(x, 5) + pow(x, 6) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  73         result += check_series(e, 0, d);
  74
  75         e = x + pow(x, -1);
  76         d = x + pow(x, -1);
  77         result += check_series(e, 0, d);
  78
  79         e = x + pow(x, -1);
  80         d = 2 + pow(x-1, 2) - pow(x-1, 3) + pow(x-1, 4) - pow(x-1, 5) + pow(x-1, 6) - pow(x-1, 7) + Order(pow(x-1, 8));
  81         result += check_series(e, 1, d);
  82
  83         e = pow(x + pow(x, 3), -1);
  84         d = pow(x, -1) - x + pow(x, 3) - pow(x, 5) + pow(x, 7) + Order(pow(x, 8));
  85         result += check_series(e, 0, d);
  86
  87         e = pow(pow(x, 2) + pow(x, 4), -1);
  88         d = pow(x, -2) - 1 + pow(x, 2) - pow(x, 4) + pow(x, 6) + Order(pow(x, 8));
  89         result += check_series(e, 0, d);
  90
  91         e = pow(sin(x), -2);
  92         d = pow(x, -2) + numeric(1,3) + pow(x, 2) / 15 + pow(x, 4) * 2/189 + pow(x, 6) / 675  + Order(pow(x, 8));
  93         result += check_series(e, 0, d);
  94
  95         e = sin(x) / cos(x);
  96         d = x + pow(x, 3) / 3 + pow(x, 5) * 2/15 + pow(x, 7) * 17/315 + Order(pow(x, 8));
  97         result += check_series(e, 0, d);
  98
  99         e = cos(x) / sin(x);
 100         d = pow(x, -1) - x / 3 - pow(x, 3) / 45 - pow(x, 5) * 2/945 - pow(x, 7) / 4725 + Order(pow(x, 8));
 101         result += check_series(e, 0, d);
 102
 103         e = pow(numeric(2), x);
 104         ex t = log(2) * x;
 105         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 106         result += check_series(e, 0, d.expand());
 107
 108         e = pow(Pi, x);
 109         t = log(Pi) * x;
 110         d = 1 + t + pow(t, 2) / 2 + pow(t, 3) / 6 + pow(t, 4) / 24 + pow(t, 5) / 120 + pow(t, 6) / 720 + pow(t, 7) / 5040 + Order(pow(x, 8));
 111         result += check_series(e, 0, d.expand());
 112
 113         e = log(x);
 114         d = e;
 115         result += check_series(e, 0, d, 1);
 116         result += check_series(e, 0, d, 2);
 117
 118         e = pow(x, 8) * pow(pow(x,3)+ pow(x + pow(x,3), 2), -2);
 119         d = pow(x, 4) - 2*pow(x, 5) + Order(pow(x, 6));
 120         result += check_series(e, 0, d, 6);
 121
 122         e = cos(x) * pow(sin(x)*(pow(x, 5) + 4 * pow(x, 2)), -3);
 123         d = pow(x, -9) / 64 - 3 * pow(x, -6) / 256 - pow(x, -5) / 960 + 535 * pow(x, -3) / 96768
 124             + pow(x, -2) / 1280 - pow(x, -1) / 14400 - numeric(283, 129024) - 2143 * x / 5322240
 125             + Order(pow(x, 2));
 126         result += check_series(e, 0, d, 2);
 127
 128         e = sqrt(1+x*x) * sqrt(1+2*x*x);
 129         d = 1 + Order(pow(x, 2));
 130         result += check_series(e, 0, d, 2);
 131
 132         e = pow(x, 4) * sin(a) + pow(x, 2);
 133         d = pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 134         result += check_series(e, 0, d, 3);
 135
 136         e = log(a*x + b*x*x*log(x));
 137         d = log(a*x) + b/a*log(x)*x - pow(b/a, 2)/2*pow(log(x)*x, 2) + Order(pow(x, 3));
 138         result += check_series(e, 0, d, 3);
 139
 140         e = pow((x+a), b);
 141         d = pow(a, b) + (pow(a, b)*b/a)*x + (pow(a, b)*b*b/a/a/2 - pow(a, b)*b/a/a/2)*pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 142         result += check_series(e, 0, d, 3);
 143
 144         e = a * (1 / (x * sin(x)) - sin(x) / x);
 145         d = a * pow(x, -2) + Order(pow(x, -1));
 146         result += check_series(e, 0, d, -1);
 147
 148         return result;
 149 }
 150
 151 // Series addition
 152 static unsigned exam_series2()
 153 {
 154         unsigned result = 0;
 155         ex e, d;
 156
 157         e = pow(sin(x), -1).series(x==0, 8) + pow(sin(-x), -1).series(x==0, 12);
 158         d = Order(pow(x, 8));
 159         result += check_series(e, 0, d);
 160
 161         return result;
 162 }
 163
 164 // Series multiplication
 165 static unsigned exam_series3()
 166 {
 167         unsigned result = 0;
 168         ex e, d;
 169
 170         e = sin(x).series(x==0, 8) * pow(sin(x), -1).series(x==0, 12);
 171         d = 1 + Order(pow(x, 7));
 172         result += check_series(e, 0, d);
 173
 174         return result;
 175 }
 176
 177 // Series exponentiation
 178 static unsigned exam_series4()
 179 {
 180         using GiNaC::tgamma;
 181         unsigned result = 0;
 182         ex e, d;
 183
 184         e = pow((2*cos(x)).series(x==0, 5), 2).series(x==0, 5);
 185         d = 4 - 4*pow(x, 2) + 4*pow(x, 4)/3 + Order(pow(x, 5));
 186         result += check_series(e, 0, d);
 187
 188         e = pow(tgamma(x), 2).series(x==0, 2);
 189         d = pow(x,-2) - 2*Euler/x + (pow(Pi,2)/6+2*pow(Euler,2))
 190                 + x*(-4*pow(Euler, 3)/3 -pow(Pi,2)*Euler/3 - 2*zeta(3)/3) + Order(pow(x, 2));
 191         result += check_series(e, 0, d);
 192
 193         return result;
 194 }
 195
 196 // Order term handling
 197 static unsigned exam_series5()
 198 {
 199         unsigned result = 0;
 200         ex e, d;
 201
 202         e = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 203         d = Order(1);
 204         result += check_series(e, 0, d, 0);
 205         d = 1 + Order(x);
 206         result += check_series(e, 0, d, 1);
 207         d = 1 + x + Order(pow(x, 2));
 208         result += check_series(e, 0, d, 2);
 209         d = 1 + x + pow(x, 2) + Order(pow(x, 3));
 210         result += check_series(e, 0, d, 3);
 211         d = 1 + x + pow(x, 2) + pow(x, 3);
 212         result += check_series(e, 0, d, 4);
 213         return result;
 214 }
 215
 216 // Series expansion of tgamma(-1)
 217 static unsigned exam_series6()
 218 {
 219         using GiNaC::tgamma;
 220         ex e = tgamma(2*x);
 221         ex d = pow(x+1,-1)*numeric(1,4) +
 222                pow(x+1,0)*(numeric(3,4) -
 223                            numeric(1,2)*Euler) +
 224                pow(x+1,1)*(numeric(7,4) -
 225                            numeric(3,2)*Euler +
 226                            numeric(1,2)*pow(Euler,2) +
 227                            numeric(1,12)*pow(Pi,2)) +
 228                pow(x+1,2)*(numeric(15,4) -
 229                            numeric(7,2)*Euler -
 230                            numeric(1,3)*pow(Euler,3) +
 231                            numeric(1,4)*pow(Pi,2) +
 232                            numeric(3,2)*pow(Euler,2) -
 233                            numeric(1,6)*pow(Pi,2)*Euler -
 234                            numeric(2,3)*zeta(3)) +
 235                pow(x+1,3)*(numeric(31,4) - pow(Euler,3) -
 236                            numeric(15,2)*Euler +
 237                            numeric(1,6)*pow(Euler,4) +
 238                            numeric(7,2)*pow(Euler,2) +
 239                            numeric(7,12)*pow(Pi,2) -
 240                            numeric(1,2)*pow(Pi,2)*Euler -
 241                            numeric(2)*zeta(3) +
 242                            numeric(1,6)*pow(Euler,2)*pow(Pi,2) +
 243                            numeric(1,40)*pow(Pi,4) +
 244                            numeric(4,3)*zeta(3)*Euler) +
 245                Order(pow(x+1,4));
 246         return check_series(e, -1, d, 4);
 247 }
 248
 249 // Series expansion of tan(x==Pi/2)
 250 static unsigned exam_series7()
 251 {
 252         ex e = tan(x*Pi/2);
 253         ex d = pow(x-1,-1)/Pi*(-2) + pow(x-1,1)*Pi/6 + pow(x-1,3)*pow(Pi,3)/360
 254               +pow(x-1,5)*pow(Pi,5)/15120 + pow(x-1,7)*pow(Pi,7)/604800
 255               +Order(pow(x-1,9));
 256         return check_series(e,1,d,9);
 257 }
 258
 259 // Series expansion of log(sin(x==0))
 260 static unsigned exam_series8()
 261 {
 262         ex e = log(sin(x));
 263         ex d = log(x) - pow(x,2)/6 - pow(x,4)/180 - pow(x,6)/2835 - pow(x,8)/37800 + Order(pow(x,9));
 264         return check_series(e,0,d,9);
 265 }
 266
 267 // Series expansion of Li2(sin(x==0))
 268 static unsigned exam_series9()
 269 {
 270         ex e = Li2(sin(x));
 271         ex d = x + pow(x,2)/4 - pow(x,3)/18 - pow(x,4)/48
 272                - 13*pow(x,5)/1800 - pow(x,6)/360 - 23*pow(x,7)/21168
 273                + Order(pow(x,8));
 274         return check_series(e,0,d,8);
 275 }
 276
 277 // Series expansion of Li2((x==2)^2), caring about branch-cut
 278 static unsigned exam_series10()
 279 {
 280         using GiNaC::log;
 281
 282         ex e = Li2(pow(x,2));
 283         ex d = Li2(4) + (-log(3) + I*Pi*csgn(I-I*pow(x,2))) * (x-2)
 284                + (numeric(-2,3) + log(3)/4 - I*Pi/4*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,2)
 285                + (numeric(11,27) - log(3)/12 + I*Pi/12*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,3)
 286                + (numeric(-155,648) + log(3)/32 - I*Pi/32*csgn(I-I*pow(x,2))) * pow(x-2,4)
 287                + Order(pow(x-2,5));
 288         return check_series(e,2,d,5);
 289 }
 290
 291 // Series expansion of logarithms around branch points
 292 static unsigned exam_series11()
 293 {
 294         using GiNaC::log;
 295
 296         unsigned result = 0;
 297         ex e, d;
 298         symbol a("a");
 299
 300         e = log(x);
 301         d = log(x);
 302         result += check_series(e,0,d,5);
 303
 304         e = log(3/x);
 305         d = log(3)-log(x);
 306         result += check_series(e,0,d,5);
 307
 308         e = log(3*pow(x,2));
 309         d = log(3)+2*log(x);
 310         result += check_series(e,0,d,5);
 311
 312         // These ones must not be expanded because it would result in a branch cut
 313         // running in the wrong direction. (Other systems tend to get this wrong.)
 314         e = log(-x);
 315         d = e;
 316         result += check_series(e,0,d,5);
 317
 318         e = log(I*(x-123));
 319         d = e;
 320         result += check_series(e,123,d,5);
 321
 322         e = log(a*x);
 323         d = e;  // we don't know anything about a!
 324         result += check_series(e,0,d,5);
 325
 326         e = log((1-x)/x);
 327         d = log(1-x) - (x-1) + pow(x-1,2)/2 - pow(x-1,3)/3  + pow(x-1,4)/4 + Order(pow(x-1,5));
 328         result += check_series(e,1,d,5);
 329
 330         return result;
 331 }
 332
 333 // Series expansion of other functions around branch points
 334 static unsigned exam_series12()
 335 {
 336         using GiNaC::log;
 337         using GiNaC::atanh;
 338
 339         unsigned result = 0;
 340         ex e, d;
 341
 342         // NB: Mma and Maple give different results, but they agree if one
 343         // takes into account that by assumption |x|<1.
 344         e = atan(x);
 345         d = (I*log(2)/2-I*log(1+I*x)/2) + (x-I)/4 + I*pow(x-I,2)/16 + Order(pow(x-I,3));
 346         result += check_series(e,I,d,3);
 347
 348         // NB: here, at -I, Mathematica disagrees, but it is wrong -- they
 349         // pick up a complex phase by incorrectly expanding logarithms.
 350         e = atan(x);
 351         d = (-I*log(2)/2+I*log(1-I*x)/2) + (x+I)/4 - I*pow(x+I,2)/16 + Order(pow(x+I,3));
 352         result += check_series(e,-I,d,3);
 353
 354         // This is basically the same as above, the branch point is at +/-1:
 355         e = atanh(x);
 356         d = (-log(2)/2+log(x+1)/2) + (x+1)/4 + pow(x+1,2)/16 + Order(pow(x+1,3));
 357         result += check_series(e,-1,d,3);
 358
 359         return result;
 360 }
 361
 362 // Test of the patch of Stefan Weinzierl that prevents an infinite loop if
 363 // a factor in a product is a complicated way of writing zero.
 364 static unsigned exam_series13()
 365 {
 366         unsigned result = 0;
 367
 368         ex e = (new mul(pow(2,x), (1/x*(-(1+x)/(1-x)) + (1+x)/x/(1-x)))
 369                )->setflag(status_flags::evaluated);
 370         ex d = Order(x);
 371         result += check_series(e,0,d,1);
 372
 373         return result;
 374 }
 375
 376 // Test if (1+x)^(1/x) can be expanded.
 377 static unsigned exam_series14()
 378 {
 379         unsigned result = 0;
 380
 381         ex e = pow(1+x, sin(x)/x);
 382         ex d = 1 + x - pow(x,3)/6 + Order(pow(x,4));
 383         try {
 384                 result += check_series(e,0,d,4);
 385         } catch (const pole_error& err) {
 386                 clog << "series expansion of " << e << " at 0 raised an exception." << endl;
 387                 ++result;
 388         }
 389
 390         return result;
 391 }
 392
 393 unsigned exam_pseries()
 394 {
 395         unsigned result = 0;
 396
 397         cout << "examining series expansion" << flush;
 398
 399         result += exam_series1();  cout << '.' << flush;
 400         result += exam_series2();  cout << '.' << flush;
 401         result += exam_series3();  cout << '.' << flush;
 402         result += exam_series4();  cout << '.' << flush;
 403         result += exam_series5();  cout << '.' << flush;
 404         result += exam_series6();  cout << '.' << flush;
 405         result += exam_series7();  cout << '.' << flush;
 406         result += exam_series8();  cout << '.' << flush;
 407         result += exam_series9();  cout << '.' << flush;
 408         result += exam_series10();  cout << '.' << flush;
 409         result += exam_series11();  cout << '.' << flush;
 410         result += exam_series12();  cout << '.' << flush;
 411         result += exam_series13();  cout << '.' << flush;
 412         result += exam_series14();  cout << '.' << flush;
 413
 414         return result;
 415 }
 416
 417 int main(int argc, char** argv)
 418 {
 419         return exam_pseries();
 420 }