check/exam_indexed.cpp

   1 /** @file exam_indexed.cpp
   2  *
   3  *  Here we test manipulations on GiNaC's indexed objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2002 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  26 {
  27         ex e = e1 - e2;
  28         if (!e.is_zero()) {
  29                 clog << e1 << "-" << e2 << " erroneously returned "
  30                      << e << " instead of 0" << endl;
  31                 return 1;
  32         }
  33         return 0;
  34 }
  35
  36 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  37 {
  38         ex e = simplify_indexed(e1) - e2;
  39         if (!e.is_zero()) {
  40                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
  41                      << e << " instead of 0" << endl;
  42                 return 1;
  43         }
  44         return 0;
  45 }
  46
  47 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2, const scalar_products &sp)
  48 {
  49         ex e = simplify_indexed(e1, sp) - e2;
  50         if (!e.is_zero()) {
  51                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
  52                      << e << " instead of 0" << endl;
  53                 return 1;
  54         }
  55         return 0;
  56 }
  57
  58 static unsigned delta_check(void)
  59 {
  60         // checks identities of the delta tensor
  61
  62         unsigned result = 0;
  63
  64         symbol s_i("i"), s_j("j"), s_k("k");
  65         idx i(s_i, 3), j(s_j, 3), k(s_k, 3);
  66         symbol A("A");
  67
  68         // symmetry
  69         result += check_equal(delta_tensor(i, j), delta_tensor(j, i));
  70
  71         // trace = dimension of index space
  72         result += check_equal(delta_tensor(i, i), 3);
  73         result += check_equal_simplify(delta_tensor(i, j) * delta_tensor(i, j), 3);
  74
  75         // contraction with delta tensor
  76         result += check_equal_simplify(delta_tensor(i, j) * indexed(A, k), delta_tensor(i, j) * indexed(A, k));
  77         result += check_equal_simplify(delta_tensor(i, j) * indexed(A, j), indexed(A, i));
  78         result += check_equal_simplify(delta_tensor(i, j) * indexed(A, i), indexed(A, j));
  79         result += check_equal_simplify(delta_tensor(i, j) * delta_tensor(j, k) * indexed(A, i), indexed(A, k));
  80
  81         return result;
  82 }
  83
  84 static unsigned metric_check(void)
  85 {
  86         // checks identities of the metric tensor
  87
  88         unsigned result = 0;
  89
  90         symbol s_mu("mu"), s_nu("nu"), s_rho("rho"), s_sigma("sigma");
  91         varidx mu(s_mu, 4), nu(s_nu, 4), rho(s_rho, 4), sigma(s_sigma, 4);
  92         symbol A("A");
  93
  94         // becomes delta tensor if indices have opposite variance
  95         result += check_equal(metric_tensor(mu, nu.toggle_variance()), delta_tensor(mu, nu.toggle_variance()));
  96
  97         // scalar contraction = dimension of index space
  98         result += check_equal(metric_tensor(mu, mu.toggle_variance()), 4);
  99         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * metric_tensor(mu.toggle_variance(), nu.toggle_variance()), 4);
 100
 101         // contraction with metric tensor
 102         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * indexed(A, nu), metric_tensor(mu, nu) * indexed(A, nu));
 103         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * indexed(A, nu.toggle_variance()), indexed(A, mu));
 104         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * indexed(A, mu.toggle_variance()), indexed(A, nu));
 105         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * metric_tensor(mu.toggle_variance(), rho.toggle_variance()) * indexed(A, nu.toggle_variance()), indexed(A, rho.toggle_variance()));
 106         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, rho) * metric_tensor(nu, sigma) * indexed(A, rho.toggle_variance(), sigma.toggle_variance()), indexed(A, mu, nu));
 107         result += check_equal_simplify(indexed(A, mu.toggle_variance()) * metric_tensor(mu, nu) - indexed(A, mu.toggle_variance()) * metric_tensor(nu, mu), 0);
 108         result += check_equal_simplify(indexed(A, mu.toggle_variance(), nu.toggle_variance()) * metric_tensor(nu, rho), indexed(A, mu.toggle_variance(), rho));
 109
 110         // contraction with delta tensor yields a metric tensor
 111         result += check_equal_simplify(delta_tensor(mu, nu.toggle_variance()) * metric_tensor(nu, rho), metric_tensor(mu, rho));
 112         result += check_equal_simplify(metric_tensor(mu, nu) * indexed(A, nu.toggle_variance()) * delta_tensor(mu.toggle_variance(), rho), indexed(A, rho));
 113
 114         return result;
 115 }
 116
 117 static unsigned epsilon_check(void)
 118 {
 119         // checks identities of the epsilon tensor
 120
 121         unsigned result = 0;
 122
 123         symbol s_mu("mu"), s_nu("nu"), s_rho("rho"), s_sigma("sigma"), s_tau("tau");
 124         symbol d("d");
 125         varidx mu(s_mu, 4), nu(s_nu, 4), rho(s_rho, 4), sigma(s_sigma, 4), tau(s_tau, 4);
 126         varidx mu_co(s_mu, 4, true), nu_co(s_nu, 4, true), rho_co(s_rho, 4, true), sigma_co(s_sigma, 4, true), tau_co(s_tau, 4, true);
 127
 128         // antisymmetry
 129         result += check_equal(lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) + lorentz_eps(sigma, rho, mu, nu), 0);
 130
 131         // convolution is zero
 132         result += check_equal(lorentz_eps(mu, nu, rho, nu_co), 0);
 133         result += check_equal(lorentz_eps(mu, nu, mu_co, nu_co), 0);
 134         result += check_equal_simplify(lorentz_g(mu_co, nu_co) * lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma), 0);
 135
 136         // contraction with symmetric tensor is zero
 137         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) * indexed(d, sy_symm(), mu_co, nu_co), 0);
 138         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) * indexed(d, sy_symm(), nu_co, sigma_co, rho_co), 0);
 139         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) * indexed(d, mu_co) * indexed(d, nu_co), 0);
 140         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(mu_co, nu, rho, sigma) * indexed(d, mu) * indexed(d, nu_co), 0);
 141         ex e = lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) * indexed(d, mu_co) - lorentz_eps(mu_co, nu, rho, sigma) * indexed(d, mu);
 142         result += check_equal_simplify(e, 0);
 143
 144         // contractions of epsilon tensors
 145         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(mu, nu, rho, sigma) * lorentz_eps(mu_co, nu_co, rho_co, sigma_co), -24);
 146         result += check_equal_simplify(lorentz_eps(tau, nu, rho, sigma) * lorentz_eps(mu_co, nu_co, rho_co, sigma_co), -6 * delta_tensor(tau, mu_co));
 147
 148         return result;
 149 }
 150
 151 DECLARE_FUNCTION_2P(symm_fcn)
 152 REGISTER_FUNCTION(symm_fcn, set_symmetry(sy_symm(0, 1)));
 153 DECLARE_FUNCTION_2P(anti_fcn)
 154 REGISTER_FUNCTION(anti_fcn, set_symmetry(sy_anti(0, 1)));
 155
 156 static unsigned symmetry_check(void)
 157 {
 158         // check symmetric/antisymmetric objects
 159
 160         unsigned result = 0;
 161
 162         idx i(symbol("i"), 3), j(symbol("j"), 3), k(symbol("k"), 3), l(symbol("l"), 3);
 163         symbol A("A"), B("B"), C("C");
 164         ex e;
 165
 166         result += check_equal(indexed(A, sy_symm(), i, j), indexed(A, sy_symm(), j, i));
 167         result += check_equal(indexed(A, sy_anti(), i, j) + indexed(A, sy_anti(), j, i), 0);
 168         result += check_equal(indexed(A, sy_anti(), i, j, k) - indexed(A, sy_anti(), j, k, i), 0);
 169         e = indexed(A, sy_symm(), i, j, k) *
 170             indexed(B, sy_anti(), l, k, i);
 171         result += check_equal_simplify(e, 0);
 172         e = indexed(A, sy_symm(), i, i, j, j) *
 173             indexed(B, sy_anti(), k, l); // GiNaC 0.8.0 had a bug here
 174         result += check_equal_simplify(e, e);
 175
 176         symmetry R = sy_symm(sy_anti(0, 1), sy_anti(2, 3));
 177         e = indexed(A, R, i, j, k, l) + indexed(A, R, j, i, k, l);
 178         result += check_equal(e, 0);
 179         e = indexed(A, R, i, j, k, l) + indexed(A, R, i, j, l, k);
 180         result += check_equal(e, 0);
 181         e = indexed(A, R, i, j, k, l) - indexed(A, R, j, i, l, k);
 182         result += check_equal(e, 0);
 183         e = indexed(A, R, i, j, k, l) + indexed(A, R, k, l, j, i);
 184         result += check_equal(e, 0);
 185
 186         e = indexed(A, i, j);
 187         result += check_equal(symmetrize(e) + antisymmetrize(e), e);
 188         e = indexed(A, sy_symm(), i, j, k, l);
 189         result += check_equal(symmetrize(e), e);
 190         result += check_equal(antisymmetrize(e), 0);
 191         e = indexed(A, sy_anti(), i, j, k, l);
 192         result += check_equal(symmetrize(e), 0);
 193         result += check_equal(antisymmetrize(e), e);
 194
 195         e = (indexed(A, sy_anti(), i, j, k, l) * (indexed(B, j) * indexed(C, k) + indexed(B, k) * indexed(C, j)) + indexed(B, i, l)).expand();
 196         result += check_equal_simplify(e, indexed(B, i, l));
 197
 198         result += check_equal(symm_fcn(0, 1) + symm_fcn(1, 0), 2*symm_fcn(0, 1));
 199         result += check_equal(anti_fcn(0, 1) + anti_fcn(1, 0), 0);
 200         result += check_equal(anti_fcn(0, 0), 0);
 201
 202         return result;
 203 }
 204
 205 static unsigned scalar_product_check(void)
 206 {
 207         // check scalar product replacement
 208
 209         unsigned result = 0;
 210
 211     idx i(symbol("i"), 3), j(symbol("j"), 3);
 212     symbol A("A"), B("B"), C("C");
 213         ex e;
 214
 215     scalar_products sp;
 216     sp.add(A, B, 0); // A and B are orthogonal
 217     sp.add(A, C, 0); // A and C are orthogonal
 218     sp.add(A, A, 4); // A^2 = 4 (A has length 2)
 219
 220     e = (indexed(A + B, i) * indexed(A + C, i)).expand(expand_options::expand_indexed);
 221         result += check_equal_simplify(e, indexed(B, i) * indexed(C, i) + 4, sp);
 222         e = indexed(A, i, i) * indexed(B, j, j); // GiNaC 0.8.0 had a bug here
 223         result += check_equal_simplify(e, e, sp);
 224
 225         return result;
 226 }
 227
 228 static unsigned edyn_check(void)
 229 {
 230         // Relativistic electrodynamics
 231
 232         // Test 1: check transformation laws of electric and magnetic fields by
 233         // applying a Lorentz boost to the field tensor
 234
 235         unsigned result = 0;
 236
 237         symbol beta("beta");
 238         ex gamma = 1 / sqrt(1 - pow(beta, 2));
 239         symbol Ex("Ex"), Ey("Ey"), Ez("Ez");
 240         symbol Bx("Bx"), By("By"), Bz("Bz");
 241
 242         // Lorentz transformation matrix (boost along x axis)
 243         matrix L(4, 4);
 244         L(0, 0) = gamma;
 245         L(0, 1) = -beta*gamma;
 246         L(1, 0) = -beta*gamma;
 247         L(1, 1) = gamma;
 248         L(2, 2) = 1; L(3, 3) = 1;
 249
 250         // Electromagnetic field tensor
 251         matrix F(4, 4, lst(
 252                  0, -Ex, -Ey, -Ez,
 253                 Ex,   0, -Bz,  By,
 254                 Ey,  Bz,   0, -Bx,
 255                 Ez, -By,  Bx,   0
 256         ));
 257
 258         // Indices
 259         symbol s_mu("mu"), s_nu("nu"), s_rho("rho"), s_sigma("sigma");
 260         varidx mu(s_mu, 4), nu(s_nu, 4), rho(s_rho, 4), sigma(s_sigma, 4);
 261
 262         // Apply transformation law of second rank tensor
 263         ex e = (indexed(L, mu, rho.toggle_variance())
 264               * indexed(L, nu, sigma.toggle_variance())
 265               * indexed(F, rho, sigma)).simplify_indexed();
 266
 267         // Extract transformed electric and magnetic fields
 268         ex Ex_p = e.subs(lst(mu == 1, nu == 0)).normal();
 269         ex Ey_p = e.subs(lst(mu == 2, nu == 0)).normal();
 270         ex Ez_p = e.subs(lst(mu == 3, nu == 0)).normal();
 271         ex Bx_p = e.subs(lst(mu == 3, nu == 2)).normal();
 272         ex By_p = e.subs(lst(mu == 1, nu == 3)).normal();
 273         ex Bz_p = e.subs(lst(mu == 2, nu == 1)).normal();
 274
 275         // Check results
 276         result += check_equal(Ex_p, Ex);
 277         result += check_equal(Ey_p, gamma * (Ey - beta * Bz));
 278         result += check_equal(Ez_p, gamma * (Ez + beta * By));
 279         result += check_equal(Bx_p, Bx);
 280         result += check_equal(By_p, gamma * (By + beta * Ez));
 281         result += check_equal(Bz_p, gamma * (Bz - beta * Ey));
 282
 283         // Test 2: check energy density and Poynting vector of electromagnetic field
 284
 285         // Minkowski metric
 286         ex eta = diag_matrix(lst(1, -1, -1, -1));
 287
 288         // Covariant field tensor
 289         ex F_mu_nu = (indexed(eta, mu.toggle_variance(), rho.toggle_variance())
 290                     * indexed(eta, nu.toggle_variance(), sigma.toggle_variance())
 291                     * indexed(F, rho, sigma)).simplify_indexed();
 292
 293         // Energy-momentum tensor
 294         ex T = (-indexed(eta, rho, sigma) * F_mu_nu.subs(s_nu == s_rho)
 295                 * F_mu_nu.subs(lst(s_mu == s_nu, s_nu == s_sigma))
 296               + indexed(eta, mu.toggle_variance(), nu.toggle_variance())
 297                 * F_mu_nu.subs(lst(s_mu == s_rho, s_nu == s_sigma))
 298                 * indexed(F, rho, sigma) / 4).simplify_indexed() / (4 * Pi);
 299
 300         // Extract energy density and Poynting vector
 301         ex E = T.subs(lst(s_mu == 0, s_nu == 0)).normal();
 302         ex Px = T.subs(lst(s_mu == 0, s_nu == 1));
 303         ex Py = T.subs(lst(s_mu == 0, s_nu == 2));
 304         ex Pz = T.subs(lst(s_mu == 0, s_nu == 3));
 305
 306         // Check results
 307         result += check_equal(E, (Ex*Ex+Ey*Ey+Ez*Ez+Bx*Bx+By*By+Bz*Bz) / (8 * Pi));
 308         result += check_equal(Px, (Ez*By-Ey*Bz) / (4 * Pi));
 309         result += check_equal(Py, (Ex*Bz-Ez*Bx) / (4 * Pi));
 310         result += check_equal(Pz, (Ey*Bx-Ex*By) / (4 * Pi));
 311
 312         return result;
 313 }
 314
 315 static unsigned spinor_check(void)
 316 {
 317         // check identities of the spinor metric
 318
 319         unsigned result = 0;
 320
 321         symbol psi("psi");
 322         spinidx A(symbol("A")), B(symbol("B")), C(symbol("C")), D(symbol("D"));
 323         ex A_co = A.toggle_variance(), B_co = B.toggle_variance();
 324         ex e;
 325
 326         e = spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(A, B);
 327         result += check_equal_simplify(e, 2);
 328         e = spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(B, A);
 329         result += check_equal_simplify(e, -2);
 330         e = spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(A, C);
 331         result += check_equal_simplify(e, delta_tensor(B_co, C));
 332         e = spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(B, C);
 333         result += check_equal_simplify(e, -delta_tensor(A_co, C));
 334         e = spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(C, A);
 335         result += check_equal_simplify(e, -delta_tensor(B_co, C));
 336         e = spinor_metric(A, B) * indexed(psi, B_co);
 337         result += check_equal_simplify(e, indexed(psi, A));
 338         e = spinor_metric(A, B) * indexed(psi, A_co);
 339         result += check_equal_simplify(e, -indexed(psi, B));
 340         e = spinor_metric(A_co, B_co) * indexed(psi, B);
 341         result += check_equal_simplify(e, -indexed(psi, A_co));
 342         e = spinor_metric(A_co, B_co) * indexed(psi, A);
 343         result += check_equal_simplify(e, indexed(psi, B_co));
 344         e = spinor_metric(D, A) * spinor_metric(A_co, B_co) * spinor_metric(B, C) - spinor_metric(D, A_co) * spinor_metric(A, B_co) * spinor_metric(B, C);
 345         result += check_equal_simplify(e, 0);
 346
 347         return result;
 348 }
 349
 350 static unsigned dummy_check(void)
 351 {
 352         // check dummy index renaming/repositioning
 353
 354         unsigned result = 0;
 355
 356         symbol p("p"), q("q");
 357         idx i(symbol("i"), 3), j(symbol("j"), 3), n(symbol("n"), 3);
 358         varidx mu(symbol("mu"), 4), nu(symbol("nu"), 4);
 359         ex e;
 360
 361         e = indexed(p, i) * indexed(q, i) - indexed(p, j) * indexed(q, j);
 362         result += check_equal_simplify(e, 0);
 363
 364         e = indexed(p, i) * indexed(p, i) * indexed(q, j) * indexed(q, j)
 365           - indexed(p, n) * indexed(p, n) * indexed(q, j) * indexed(q, j);
 366         result += check_equal_simplify(e, 0);
 367
 368         e = indexed(p, mu, mu.toggle_variance()) - indexed(p, nu, nu.toggle_variance());
 369         result += check_equal_simplify(e, 0);
 370
 371         e = indexed(p, mu.toggle_variance(), nu, mu) * indexed(q, i)
 372           - indexed(p, mu, nu, mu.toggle_variance()) * indexed(q, i);
 373         result += check_equal_simplify(e, 0);
 374
 375         e = indexed(p, mu, mu.toggle_variance()) - indexed(p, nu.toggle_variance(), nu);
 376         result += check_equal_simplify(e, 0);
 377         e = indexed(p, mu.toggle_variance(), mu) - indexed(p, nu, nu.toggle_variance());
 378         result += check_equal_simplify(e, 0);
 379
 380         return result;
 381 }
 382
 383 unsigned exam_indexed(void)
 384 {
 385         unsigned result = 0;
 386
 387         cout << "examining indexed objects" << flush;
 388         clog << "----------indexed objects:" << endl;
 389
 390         result += delta_check();  cout << '.' << flush;
 391         result += metric_check();  cout << '.' << flush;
 392         result += epsilon_check();  cout << '.' << flush;
 393         result += symmetry_check();  cout << '.' << flush;
 394         result += scalar_product_check();  cout << '.' << flush;
 395         result += edyn_check();  cout << '.' << flush;
 396         result += spinor_check(); cout << '.' << flush;
 397         result += dummy_check(); cout << '.' << flush;
 398
 399         if (!result) {
 400                 cout << " passed " << endl;
 401                 clog << "(no output)" << endl;
 402         } else {
 403                 cout << " failed " << endl;
 404         }
 405
 406         return result;
 407 }