check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  26 {
  27         ex e = e1 - e2;
  28         if (!e.is_zero()) {
  29                 clog << e1 << "-" << e2 << " erroneously returned "
  30                      << e << " instead of 0" << endl;
  31                 return 1;
  32         }
  33         return 0;
  34 }
  35
  36 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  37 {
  38         ex e = simplify_indexed(e1) - e2;
  39         if (!e.is_zero()) {
  40                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ")-" << e2 << " erroneously returned "
  41                      << e << " instead of 0" << endl;
  42                 return 1;
  43         }
  44         return 0;
  45 }
  46
  47 static unsigned clifford_check1()
  48 {
  49         // checks general identities and contractions
  50
  51         unsigned result = 0;
  52
  53         symbol dim("D");
  54         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
  55         ex e;
  56
  57         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
  58         result += check_equal(e, dirac_ONE());
  59
  60         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
  61         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
  62
  63         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
  64             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
  65         result += check_equal(e, dirac_ONE());
  66
  67         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
  68             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
  69         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
  70
  71         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
  72             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
  73         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
  74
  75         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
  76             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
  77         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
  78         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
  79
  80         return result;
  81 }
  82
  83 static unsigned clifford_check2()
  84 {
  85         // checks identities relating to gamma5
  86
  87         unsigned result = 0;
  88
  89         symbol dim("D");
  90         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
  91         ex e;
  92
  93         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
  94         result += check_equal(e, 0);
  95
  96         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
  97         result += check_equal(e, 0);
  98
  99         return result;
 100 }
 101
 102 static unsigned clifford_check3()
 103 {
 104         // checks traces
 105
 106         unsigned result = 0;
 107
 108         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 109         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 110                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 111         ex e;
 112
 113         e = dirac_gamma(mu);
 114         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 115
 116         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 117         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 118
 119         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 120         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 121
 122         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 123         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 124
 125         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 126         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 127
 128         scalar_products sp;
 129         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 130         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 131         sp.add(l, q, ldotq);
 132
 133         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 134         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 135         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 136
 137         // cyclicity without gamma5
 138         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 139           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 140         e = dirac_trace(e);
 141         result += check_equal(e, 0);
 142
 143         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 144           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 145         e = dirac_trace(e).expand();
 146         result += check_equal(e, 0);
 147
 148         // cyclicity of gamma5 * S_4
 149         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 150           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 151         e = dirac_trace(e);
 152         result += check_equal(e, 0);
 153
 154         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 155         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 156           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 157         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 158         e = (e / (dim - 4)).normal();
 159         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 160
 161         // one-loop vacuum polarization in QED
 162         e = dirac_gamma(mu) *
 163             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 164             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 165             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 166         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 167         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 168
 169         e = dirac_slash(q, 4) *
 170             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 171             dirac_slash(q, 4) *
 172             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 173         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 174         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 175
 176         // stuff that had problems in the past
 177         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 178         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 179         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 180           - dirac_trace(prop * e);
 181         result += check_equal(e, 0);
 182
 183         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 184         e = dirac_trace(e);
 185         result += check_equal(e, 4);
 186
 187         // traces with multiple representation labels
 188         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 189         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 190         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 191         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 192         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 193
 194         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 195         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 196         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 197         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), e);
 198         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 199
 200         return result;
 201 }
 202
 203 static unsigned clifford_check4()
 204 {
 205         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 206
 207         unsigned result = 0;
 208
 209         symbol dim("D");
 210         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 211                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 212         ex e, t1, t2;
 213
 214         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 215         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 216         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 217         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 218
 219         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 220         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 221         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 222         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 223
 224         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 225         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 226         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 227         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 228
 229         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 230         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 231         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 232         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 233
 234         return result;
 235 }
 236
 237 static unsigned clifford_check5()
 238 {
 239         // canonicalize_clifford() checks
 240
 241         unsigned result = 0;
 242
 243         symbol dim("D");
 244         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 245         ex e;
 246
 247         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 248         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 249
 250         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 251            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 252            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 253            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 254            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 255            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 256           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 257           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 258           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 259           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 260         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 261
 262         return result;
 263 }
 264
 265 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
 266 {
 267         varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 268                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 269                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 270
 271         ex G = A;
 272
 273         matrix A2(4, 4);
 274         A2 = A.mul(A);
 275         ex e, e1;
 276
 277         int result = 0;
 278
 279         // checks general identities and contractions for clifford_unit
 280         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 281         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 282
 283         e = clifford_unit(varidx(2, 4), G) * clifford_unit(varidx(1, 4), G)
 284           * clifford_unit(varidx(1, 4), G) * clifford_unit(varidx(2, 4), G);
 285         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 286
 287         e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 288         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 289
 290         e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu, G);
 291         result += check_equal_simplify(e, indexed(G, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 292
 293         e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu, G);
 294         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, G));
 295
 296         e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 297         result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(G, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, G) - A.trace()*clifford_unit(mu, G));
 298
 299         e = clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G)
 300           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 301         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 302
 303         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 304           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 305         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 306
 307         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 308           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 309         result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 310
 311         e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G)
 312           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 313         result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 314
 315         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 316           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 317         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 318         result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu)) * clifford_unit(mu, G));
 319
 320         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho, G)
 321           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu, G);
 322         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 323         result += check_equal(e, (pow(A.trace(), 2)+4-4*A.trace()*indexed(A, mu, mu))* clifford_unit(mu, G));
 324
 325         // canonicalize_clifford() checks
 326         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 327         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
 328
 329         e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 330            + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 331            + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 332            - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 333            - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 334            - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 335           + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 336           - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 337           + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 338           - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 339         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 340
 341         // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
 342         symbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
 343
 344         ex c = clifford_unit(nu, G, 1);
 345         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, G, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 346         e1 = clifford_inverse(e);
 347         result += check_equal((e*e1).simplify_indexed().normal(), dirac_ONE(1));
 348
 349         return result;
 350 }
 351
 352 static unsigned clifford_check7()
 353 {
 354         // checks general identities and contractions
 355
 356         unsigned result = 0;
 357
 358         symbol dim("D");
 359         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 360                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 361
 362         ex e;
 363
 364         ex G = minkmetric();
 365
 366         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 367         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 368
 369         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 370         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 371
 372         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 373           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 374         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 375
 376         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 377           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 378         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 379
 380         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 381           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 382         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE() - pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 383
 384         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 385           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 386         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 387         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 388
 389         // canonicalize_clifford() checks
 390         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 391         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G, sy_symm(), mu, nu));
 392
 393         e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 394            + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 395            + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 396            - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 397            - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 398            - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 399           + indexed(G, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 400           - indexed(G, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 401           + indexed(G, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 402           - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 403         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 404
 405         return result;
 406 }
 407
 408 unsigned exam_clifford()
 409 {
 410         unsigned result = 0;
 411
 412         cout << "examining clifford objects" << flush;
 413         clog << "----------clifford objects:" << endl;
 414
 415         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 416         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 417         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 418         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 419         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 420
 421         matrix A(4, 4);
 422         A = -1, 0, 0, 0,
 423              0, 1, 0, 0,
 424              0, 0, 1, 0,
 425              0, 0, 0, 1;
 426         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 427
 428         A = -1, 0, 0, 0,
 429              0,-1, 0, 0,
 430              0, 0,-1, 0,
 431              0, 0, 0,-1;
 432         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 433
 434         A = -1, 0, 0, 0,
 435              0, 1, 0, 0,
 436              0, 0, 1, 0,
 437              0, 0, 0,-1;
 438         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 439
 440         A = -1, 0, 0, 0,
 441              0, 0, 0, 0,
 442              0, 0, 1, 0,
 443              0, 0, 0,-1;
 444         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 445
 446         result += clifford_check7(); cout << '.' << flush;
 447
 448         if (!result) {
 449                 cout << " passed " << endl;
 450                 clog << "(no output)" << endl;
 451         } else {
 452                 cout << " failed " << endl;
 453         }
 454
 455         return result;
 456 }