d6544eda5a3461480600d9b31a908167df09c830
[ginac.git] / check / exam_clifford.cpp
1 /** @file exam_clifford.cpp
2  *
3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
4
5 /*
6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
7  *
8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
11  *  (at your option) any later version.
12  *
13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
16  *  GNU General Public License for more details.
17  *
18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
21  */
22
23 #include "exams.h"
24
25 const numeric half(1, 2);
26
27 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
28 {
29         ex e = normal(e1 - e2);
30         if (!e.is_zero()) {
31                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
32                      << e << " instead of 0" << endl;
33                 return 1;
34         }
35         return 0;
36 }
37
38 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
39 {
40         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
41         if (!e.is_zero()) {
42                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
43                          << e << " instead of 0" << endl;
44                 return 1;
45         }
46         return 0;
47 }
48
49 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
50 {
51         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
52                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
53                 if (!e.normal().is_zero()) {
54                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
55                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
56                         return 1;
57                 }
58         }
59         return 0;
60 }
61
62 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
63 {
64         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
65
66         for (int j=0; j<4; j++) {
67                 ex esub = e.subs(lst(is_a<varidx>(mu) ? 
68                                                          mu == idx(j, mu.get_dim()), ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim()) 
69                                                          : mu == idx(j, mu.get_dim())));
70                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
71                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
72                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
73                         return 1;
74                 }
75         }
76         return 0;
77 }
78
79 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
80 {
81         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
82         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
83                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
84                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
85                 return 1;
86         }
87         return 0;
88 }
89
90
91 static unsigned clifford_check1()
92 {
93         // checks general identities and contractions
94
95         unsigned result = 0;
96
97         symbol dim("D");
98         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
99         ex e;
100
101         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
102         result += check_equal(e, dirac_ONE());
103
104         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
105         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
106
107         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
108             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
109         result += check_equal(e, dirac_ONE());
110
111         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
112             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
113         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
114
115         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
116             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
117         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
118
119         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
120             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
121         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
122         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
123
124         return result;
125 }
126
127 static unsigned clifford_check2()
128 {
129         // checks identities relating to gamma5
130
131         unsigned result = 0;
132
133         symbol dim("D");
134         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
135         ex e;
136
137         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
138         result += check_equal(e, 0);
139
140         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
141         result += check_equal(e, 0);
142
143         return result;
144 }
145
146 static unsigned clifford_check3()
147 {
148         // checks traces
149
150         unsigned result = 0;
151
152         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
153         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
154                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
155         ex e;
156
157         e = dirac_gamma(mu);
158         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
159
160         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
161         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
162
163         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
164         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
165
166         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
167         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
168
169         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
170         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
171
172         scalar_products sp;
173         sp.add(q, q, pow(q, 2));
174         sp.add(l, l, pow(l, 2));
175         sp.add(l, q, ldotq);
176
177         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
178         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
179         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
180
181         // cyclicity without gamma5
182         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
183           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
184         e = dirac_trace(e);
185         result += check_equal(e, 0);
186
187         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
188           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
189         e = dirac_trace(e).expand();
190         result += check_equal(e, 0);
191
192         // cyclicity of gamma5 * S_4
193         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
194           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
195         e = dirac_trace(e);
196         result += check_equal(e, 0);
197
198         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
199         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
200           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
201         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
202         e = (e / (dim - 4)).normal();
203         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
204
205         // one-loop vacuum polarization in QED
206         e = dirac_gamma(mu) *
207             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
208             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
209             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
210         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
211         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
212
213         e = dirac_slash(q, 4) *
214             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
215             dirac_slash(q, 4) *
216             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
217         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
218         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
219
220         // stuff that had problems in the past
221         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
222         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
223         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
224           - dirac_trace(prop * e);
225         result += check_equal(e, 0);
226
227         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
228         e = dirac_trace(e);
229         result += check_equal(e, 4);
230
231         // traces with multiple representation labels
232         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
233         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
234         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
235         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
236         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
237
238         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
239         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
240         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
241         // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck. 
242         // TODO: better check.
243         //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
244         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
245
246         return result;
247 }
248
249 static unsigned clifford_check4()
250 {
251         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
252
253         unsigned result = 0;
254
255         symbol dim("D");
256         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
257                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
258         ex e, t1, t2;
259
260         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
261         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
262         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
263         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
264
265         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
266         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
267         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
268         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
269
270         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
271         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
272         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
273         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
274
275         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
276         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
277         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
278         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
279
280         return result;
281 }
282
283 static unsigned clifford_check5()
284 {
285         // canonicalize_clifford() checks
286
287         unsigned result = 0;
288
289         symbol dim("D");
290         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
291         ex e;
292
293         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
294         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
295
296         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
297            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
298            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
299            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
300            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
301            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
302           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
303           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
304           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
305           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
306         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
307
308         return result;
309 }
310
311 /* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
312  * the cases when used indexes have or have not variance.
313  * To this end we recycle the code through the following macros */
314
315 #define CHECK6(IDX,TOGGLE) {IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4), \
316                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),\
317                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);\
318 \
319 /* checks general identities and contractions for clifford_unit*/\
320         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);\
321         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));\
322 \
323         e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)\
324           * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);\
325         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());\
326 \
327         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)\
328           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);\
329         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());\
330 \
331         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A);\
332         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());\
333 \
334         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);\
335         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());\
336 \
337         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);\
338         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));\
339 \
340         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A);\
341         \
342         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);\
343 \
344         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A)\
345           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu TOGGLE, A);\
346         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());\
347 \
348         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)\
349           * clifford_unit(nu TOGGLE, A) * clifford_unit(mu TOGGLE, A);\
350         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());\
351 \
352         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)\
353           * clifford_unit(mu TOGGLE, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A);\
354 \
355         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE, mu TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());\
356 \
357         e = clifford_unit(mu TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)\
358           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A);\
359 \
360         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu TOGGLE, A) * clifford_unit(nu TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());\
361 \
362         e = clifford_unit(nu TOGGLE, A) * clifford_unit(rho TOGGLE, A)\
363           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);\
364         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));\
365         \
366         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) \
367                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho TOGGLE, mu) \
368                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);\
369 \
370         e = clifford_unit(nu TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)\
371           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);\
372         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));\
373         \
374         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A) \
375                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho TOGGLE, mu) \
376                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);\
377 \
378         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);\
379         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));\
380 \
381         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)\
382                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)\
383                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)\
384                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)\
385                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)\
386                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6\
387                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)\
388                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)\
389                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)\
390                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);\
391         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);\
392 \
393 /* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/\
394         realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");\
395         \
396         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);\
397         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);\
398         e1 = clifford_inverse(e);\
399         result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));\
400 \
401 /* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */\
402         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);\
403         c = clifford_unit(nu, A);\
404         \
405         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(), \
406                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); \
407 /* this is just the inversion*/\
408         M1 = 0, dirac_ONE(),\
409                 dirac_ONE(), 0;\
410         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); \
411 /* the inversion again*/\
412         result += check_equal_lst(e, e1);\
413         \
414         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);\
415         result += check_equal_lst(e, e1);\
416         \
417         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A), \
418                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); \
419 /*this is just a shift*/\
420         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),\
421                 0, dirac_ONE();\
422         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); \
423 /* the same shift*/\
424         result += check_equal_lst(e, e1);\
425                 \
426         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));\
427         \
428 /* Check the group law for Moebius maps */\
429         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c); \
430 /*composition of M1 and M2*/\
431         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c); \
432 /* the product M1*M2*/\
433         result += check_equal_lst(e, e1);}
434
435 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
436 {
437         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
438         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
439         A2 = A_symm.mul(A_symm);
440         
441         ex e, e1;
442         int result = 0;
443         
444         CHECK6(varidx,.toggle_variance())
445
446         return result;
447 }
448
449 static unsigned clifford_check6a(const matrix & A)
450 {
451         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
452         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
453         A2 = A_symm.mul(A_symm);
454         
455         ex e, e1;
456         int result = 0;
457
458         CHECK6(idx,)
459
460         return result;
461 }
462
463 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
464 {
465         // checks general identities and contractions
466
467         unsigned result = 0;
468
469         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
470                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
471
472         ex e;
473         clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
474         ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
475         
476         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
477         result += check_equal(e, dirac_ONE());
478
479         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
480         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
481
482         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
483           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
484         result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
485
486         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
487           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
488         result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
489
490         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
491           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
492         result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
493
494         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
495           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
496         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
497         result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
498
499         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
500         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
501                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
502                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
503                 
504                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
505                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
506                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
507                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
508                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
509                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
510                         + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
511                         - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
512                         + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
513                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
514                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
515         } else {
516                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
517                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
518                 
519                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
520                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
521                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
522                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
523                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
524                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
525                         + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
526                         - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
527                         + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
528                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
529                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
530         }
531         return result;
532 }
533
534 unsigned exam_clifford()
535 {
536         unsigned result = 0;
537         
538         cout << "examining clifford objects" << flush;
539         clog << "----------clifford objects:" << endl;
540
541         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
542         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
543         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
544         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
545         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
546
547         // anticommuting, symmetric examples
548         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));; cout << '.' << flush;
549         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))));; cout << '.' << flush;
550         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
551         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
552         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))));; cout << '.' << flush;
553
554         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
555         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))))+clifford_check6a(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))));; cout << '.' << flush;
556
557         matrix A(4, 4);
558         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
559                 0, -1, 0, 0,
560                 0, 0, 0, -1,
561                 0, 0, 1, 0; 
562         result += clifford_check6(A)+clifford_check6a(A);; cout << '.' << flush;
563
564         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
565                 0, 1, 0, 0,
566                 0, 0, 0, -1,
567                 0, 0, 1, 0; 
568         result += clifford_check6(A)+clifford_check6a(A);; cout << '.' << flush;
569
570         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
571                 0, -1, 0, 0,
572                 0, 0, 0, -1,
573                 0, 0, -1, 0; 
574         result += clifford_check6(A)+clifford_check6a(A);; cout << '.' << flush;
575
576         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
577                 0, 1, 0, 0,
578                 0, 0, 0, -1,
579                 0, 0, -1, 0; 
580         result += clifford_check6(A)+clifford_check6a(A);; cout << '.' << flush;
581
582         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
583                 0, 1, 1, 0,
584                 0, 0, 1, 1,
585                 0, 0, 0, 1; 
586         result += clifford_check6(A)+clifford_check6a(A);; cout << '.' << flush;
587
588         symbol dim("D");
589         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
590
591         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
592         result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
593
594         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
595
596         result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
597         result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
598
599         if (!result) {
600                 cout << " passed " << endl;
601                 clog << "(no output)" << endl;
602         } else {
603                 cout << " failed " << endl;
604         }
605
606         return result;
607 }