check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 const numeric half(1, 2);
  26
  27 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  28 {
  29         ex e = normal(e1 - e2);
  30         if (!e.is_zero()) {
  31                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  32                      << e << " instead of 0" << endl;
  33                 return 1;
  34         }
  35         return 0;
  36 }
  37
  38 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  39 {
  40         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
  41         if (!e.is_zero()) {
  42                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  43                          << e << " instead of 0" << endl;
  44                 return 1;
  45         }
  46         return 0;
  47 }
  48
  49 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
  50 {
  51         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
  52                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
  53                 if (!e.normal().is_zero()) {
  54                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  55                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
  56                         return 1;
  57                 }
  58         }
  59         return 0;
  60 }
  61
  62 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, varidx & mu)
  63 {
  64         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  65
  66         for (int j=0; j<4; j++) {
  67                 ex esub = e.subs(lst(mu == idx(j, mu.get_dim()), mu.toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())));
  68                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
  69                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  70                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
  71                         return 1;
  72                 }
  73         }
  74         return 0;
  75 }
  76
  77 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
  78 {
  79         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  80         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
  81                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  82                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
  83                 return 1;
  84         }
  85         return 0;
  86 }
  87
  88
  89 static unsigned clifford_check1()
  90 {
  91         // checks general identities and contractions
  92
  93         unsigned result = 0;
  94
  95         symbol dim("D");
  96         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
  97         ex e;
  98
  99         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 100         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 101
 102         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
 103         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
 104
 105         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
 106             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
 107         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 108
 109         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 110             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 111         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 112
 113         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 114             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 115         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 116
 117         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
 118             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
 119         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
 120         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
 121
 122         return result;
 123 }
 124
 125 static unsigned clifford_check2()
 126 {
 127         // checks identities relating to gamma5
 128
 129         unsigned result = 0;
 130
 131         symbol dim("D");
 132         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
 133         ex e;
 134
 135         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 136         result += check_equal(e, 0);
 137
 138         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
 139         result += check_equal(e, 0);
 140
 141         return result;
 142 }
 143
 144 static unsigned clifford_check3()
 145 {
 146         // checks traces
 147
 148         unsigned result = 0;
 149
 150         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 151         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 152                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 153         ex e;
 154
 155         e = dirac_gamma(mu);
 156         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 157
 158         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 159         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 160
 161         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 162         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 163
 164         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 165         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 166
 167         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 168         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 169
 170         scalar_products sp;
 171         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 172         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 173         sp.add(l, q, ldotq);
 174
 175         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 176         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 177         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 178
 179         // cyclicity without gamma5
 180         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 181           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 182         e = dirac_trace(e);
 183         result += check_equal(e, 0);
 184
 185         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 186           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 187         e = dirac_trace(e).expand();
 188         result += check_equal(e, 0);
 189
 190         // cyclicity of gamma5 * S_4
 191         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 192           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 193         e = dirac_trace(e);
 194         result += check_equal(e, 0);
 195
 196         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 197         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 198           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 199         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 200         e = (e / (dim - 4)).normal();
 201         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 202
 203         // one-loop vacuum polarization in QED
 204         e = dirac_gamma(mu) *
 205             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 206             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 207             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 208         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 209         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 210
 211         e = dirac_slash(q, 4) *
 212             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 213             dirac_slash(q, 4) *
 214             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 215         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 216         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 217
 218         // stuff that had problems in the past
 219         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 220         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 221         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 222           - dirac_trace(prop * e);
 223         result += check_equal(e, 0);
 224
 225         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 226         e = dirac_trace(e);
 227         result += check_equal(e, 4);
 228
 229         // traces with multiple representation labels
 230         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 231         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 232         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 233         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 234         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 235
 236         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 237         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 238         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 239         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
 240         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 241
 242         return result;
 243 }
 244
 245 static unsigned clifford_check4()
 246 {
 247         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 248
 249         unsigned result = 0;
 250
 251         symbol dim("D");
 252         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 253                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 254         ex e, t1, t2;
 255
 256         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 257         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 258         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 259         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 260
 261         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 262         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 263         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 264         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 265
 266         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 267         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 268         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 269         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 270
 271         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 272         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 273         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 274         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 275
 276         return result;
 277 }
 278
 279 static unsigned clifford_check5()
 280 {
 281         // canonicalize_clifford() checks
 282
 283         unsigned result = 0;
 284
 285         symbol dim("D");
 286         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 287         ex e;
 288
 289         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 290         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 291
 292         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 293            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 294            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 295            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 296            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 297            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 298           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 299           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 300           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 301           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 302         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 303
 304         return result;
 305 }
 306
 307
 308 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
 309 {
 310         varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 311                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 312                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 313
 314         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
 315         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
 316         A2 = A_symm.mul(A_symm);
 317
 318         ex e, e1;
 319         bool anticommuting = ex_to<clifford>(clifford_unit(nu, A)).is_anticommuting();
 320         int result = 0;
 321
 322         // checks general identities and contractions for clifford_unit
 323         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
 324         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 325
 326         e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)
 327           * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);
 328         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 329
 330         e = clifford_unit(varidx(2, 4), A) * clifford_unit(varidx(1, 4), A)
 331           * clifford_unit(varidx(1, 4), A) * clifford_unit(varidx(2, 4), A);
 332         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 333
 334         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 335         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 336
 337         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
 338         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 339
 340         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu, A);
 341         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 342
 343         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 344         if (anticommuting)
 345                 result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, A) - A.trace()*clifford_unit(mu, A));
 346
 347         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 348
 349         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A)
 350           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
 351         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 352
 353         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 354           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
 355         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 356
 357         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 358           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 359         if (anticommuting)
 360                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 361
 362         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu.toggle_variance()) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 363
 364         e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A)
 365           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 366         if (anticommuting) {
 367                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 368                 e1 = remove_dirac_ONE(simplify_indexed(e));
 369                 result += check_equal(e1, 2*A2.trace() - pow(A.trace(), 2));
 370         }
 371
 372         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 373
 374         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A)
 375           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
 376         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 377         if (anticommuting)
 378                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4 * indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2)) * clifford_unit(mu, A));
 379
 380         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)
 381                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu)
 382                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 383
 384         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho, A)
 385           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A);
 386         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 387         if (anticommuting)
 388                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2))* clifford_unit(mu, A));
 389
 390         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)
 391                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu)
 392                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 393
 394         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
 395         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
 396
 397         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
 398                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
 399                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 400                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
 401                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
 402                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
 403                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
 404                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
 405                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
 406                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
 407         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 408
 409         // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
 410         realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
 411
 412         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
 413         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 414         e1 = clifford_inverse(e);
 415         result += check_equal((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
 416
 417         // Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only
 418         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
 419         c = clifford_unit(nu, A);
 420
 421         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(),
 422                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); // this is just the inversion
 423         M1 = 0, dirac_ONE(),
 424                 dirac_ONE(), 0;
 425         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); // the inversion again
 426         result += check_equal_lst(e, e1);
 427
 428         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
 429         result += check_equal_lst(e, e1);
 430
 431         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A),
 432                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); //this is just a shift
 433         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
 434                 0, dirac_ONE();
 435         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); // the same shift
 436         result += check_equal_lst(e, e1);
 437
 438         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
 439
 440         // Check the group law for Moebius maps
 441         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c); //composition of M1 and M2
 442         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c); // the product M1*M2
 443         result += check_equal_lst(e, e1);
 444
 445         return result;
 446 }
 447
 448
 449 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 450 {
 451         // checks general identities and contractions
 452
 453         unsigned result = 0;
 454
 455         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 456                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 457
 458         ex e, G_base;
 459
 460         if (is_a<indexed>(G))
 461                 G_base = G.op(0);
 462         else
 463                 G_base = G;
 464
 465         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 466         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 467
 468         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 469         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 470
 471         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 472           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 473         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 474
 475         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 476           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 477         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 478
 479         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 480           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 481         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE() - pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 482
 483         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 484           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 485         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 486         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 487
 488         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
 489         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
 490                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 491                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G_base, sy_symm(), nu, mu));
 492
 493                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 494                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 495                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 496                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 497                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 498                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 499                         + indexed(G_base, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 500                         - indexed(G_base, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 501                         + indexed(G_base, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 502                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 503                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 504         } else {
 505                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 506                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(indexed(G_base, mu, nu) + indexed(G_base, nu, mu)));
 507
 508                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 509                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 510                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 511                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 512                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 513                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 514                         + half * (indexed(G_base,  mu, nu) + indexed(G_base,  nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
 515                         - half * (indexed(G_base, mu, lam) + indexed(G_base, lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
 516                         + half * (indexed(G_base, nu, lam) + indexed(G_base, lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
 517                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 518                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 519         }
 520         return result;
 521 }
 522
 523 unsigned exam_clifford()
 524 {
 525         unsigned result = 0;
 526
 527         cout << "examining clifford objects" << flush;
 528         clog << "----------clifford objects:" << endl;
 529
 530         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 531         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 532         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 533         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 534         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 535
 536         // anticommuting, symmetric examples
 537         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1)))); cout << '.' << flush;
 538         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1)))); cout << '.' << flush;
 539         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
 540         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
 541         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1)))); cout << '.' << flush;
 542
 543         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
 544         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t)))); cout << '.' << flush;
 545
 546         matrix A(4, 4);
 547         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
 548                 0, -1, 0, 0,
 549                 0, 0, 0, -1,
 550                 0, 0, 1, 0;
 551         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 552
 553         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
 554                 0, 1, 0, 0,
 555                 0, 0, 0, -1,
 556                 0, 0, 1, 0;
 557         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 558
 559         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
 560                 0, -1, 0, 0,
 561                 0, 0, 0, -1,
 562                 0, 0, -1, 0;
 563         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 564
 565         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
 566                 0, 1, 0, 0,
 567                 0, 0, 0, -1,
 568                 0, 0, -1, 0;
 569         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 570
 571         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
 572                 0, 1, 1, 0,
 573                 0, 0, 1, 1,
 574                 0, 0, 0, 1;
 575         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 576
 577         symbol dim("D");
 578         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
 579
 580         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 581         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 582
 583         if (!result) {
 584                 cout << " passed " << endl;
 585                 clog << "(no output)" << endl;
 586         } else {
 587                 cout << " failed " << endl;
 588         }
 589
 590         return result;
 591 }