c0650a478bc43f7bc119f8655ca88bf82a27e8da
[ginac.git] / check / exam_clifford.cpp
1 /** @file exam_clifford.cpp
2  *
3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
4
5 /*
6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
7  *
8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
11  *  (at your option) any later version.
12  *
13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
16  *  GNU General Public License for more details.
17  *
18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
21  */
22
23 #include "exams.h"
24
25 const numeric half(1, 2);
26
27 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
28 {
29         ex e = normal(e1 - e2);
30         if (!e.is_zero()) {
31                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
32                      << e << " instead of 0" << endl;
33                 return 1;
34         }
35         return 0;
36 }
37
38 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
39 {
40         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
41         if (!e.is_zero()) {
42                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
43                          << e << " instead of 0" << endl;
44                 return 1;
45         }
46         return 0;
47 }
48
49 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
50 {
51         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
52                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
53                 if (!e.normal().is_zero()) {
54                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
55                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
56                         return 1;
57                 }
58         }
59         return 0;
60 }
61
62 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, varidx & mu)
63 {
64         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
65
66         for (int j=0; j<4; j++) {
67                 ex esub = e.subs(lst(mu == idx(j, mu.get_dim()), mu.toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())));
68                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
69                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
70                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
71                         return 1;
72                 }
73         }
74         return 0;
75 }
76
77 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
78 {
79         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
80         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
81                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
82                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
83                 return 1;
84         }
85         return 0;
86 }
87
88
89 static unsigned clifford_check1()
90 {
91         // checks general identities and contractions
92
93         unsigned result = 0;
94
95         symbol dim("D");
96         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
97         ex e;
98
99         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
100         result += check_equal(e, dirac_ONE());
101
102         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
103         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
104
105         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
106             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
107         result += check_equal(e, dirac_ONE());
108
109         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
110             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
111         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
112
113         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
114             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
115         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
116
117         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
118             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
119         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
120         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
121
122         return result;
123 }
124
125 static unsigned clifford_check2()
126 {
127         // checks identities relating to gamma5
128
129         unsigned result = 0;
130
131         symbol dim("D");
132         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
133         ex e;
134
135         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
136         result += check_equal(e, 0);
137
138         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
139         result += check_equal(e, 0);
140
141         return result;
142 }
143
144 static unsigned clifford_check3()
145 {
146         // checks traces
147
148         unsigned result = 0;
149
150         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
151         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
152                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
153         ex e;
154
155         e = dirac_gamma(mu);
156         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
157
158         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
159         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
160
161         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
162         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
163
164         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
165         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
166
167         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
168         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
169
170         scalar_products sp;
171         sp.add(q, q, pow(q, 2));
172         sp.add(l, l, pow(l, 2));
173         sp.add(l, q, ldotq);
174
175         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
176         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
177         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
178
179         // cyclicity without gamma5
180         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
181           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
182         e = dirac_trace(e);
183         result += check_equal(e, 0);
184
185         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
186           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
187         e = dirac_trace(e).expand();
188         result += check_equal(e, 0);
189
190         // cyclicity of gamma5 * S_4
191         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
192           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
193         e = dirac_trace(e);
194         result += check_equal(e, 0);
195
196         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
197         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
198           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
199         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
200         e = (e / (dim - 4)).normal();
201         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
202
203         // one-loop vacuum polarization in QED
204         e = dirac_gamma(mu) *
205             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
206             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
207             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
208         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
209         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
210
211         e = dirac_slash(q, 4) *
212             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
213             dirac_slash(q, 4) *
214             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
215         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
216         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
217
218         // stuff that had problems in the past
219         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
220         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
221         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
222           - dirac_trace(prop * e);
223         result += check_equal(e, 0);
224
225         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
226         e = dirac_trace(e);
227         result += check_equal(e, 4);
228
229         // traces with multiple representation labels
230         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
231         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
232         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
233         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
234         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
235
236         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
237         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
238         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
239         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
240         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
241
242         return result;
243 }
244
245 static unsigned clifford_check4()
246 {
247         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
248
249         unsigned result = 0;
250
251         symbol dim("D");
252         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
253                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
254         ex e, t1, t2;
255
256         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
257         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
258         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
259         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
260
261         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
262         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
263         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
264         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
265
266         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
267         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
268         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
269         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
270
271         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
272         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
273         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
274         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
275
276         return result;
277 }
278
279 static unsigned clifford_check5()
280 {
281         // canonicalize_clifford() checks
282
283         unsigned result = 0;
284
285         symbol dim("D");
286         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
287         ex e;
288
289         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
290         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
291
292         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
293            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
294            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
295            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
296            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
297            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
298           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
299           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
300           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
301           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
302         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
303
304         return result;
305 }
306
307
308 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
309 {
310         varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
311                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
312                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
313
314         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
315         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
316         A2 = A_symm.mul(A_symm);
317         
318         ex e, e1;
319         bool anticommuting = ex_to<clifford>(clifford_unit(nu, A)).is_anticommuting();
320         int result = 0;
321
322         // checks general identities and contractions for clifford_unit
323         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
324         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
325
326         e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)
327           * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);
328         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
329
330         e = clifford_unit(varidx(2, 4), A) * clifford_unit(varidx(1, 4), A)
331           * clifford_unit(varidx(1, 4), A) * clifford_unit(varidx(2, 4), A);
332         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
333
334         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
335         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
336
337         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
338         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
339
340         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu, A);
341         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
342
343         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
344         if (anticommuting)
345                 result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, A) - A.trace()*clifford_unit(mu, A));
346         
347         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
348
349         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A)
350           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
351         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
352
353         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
354           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
355         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
356
357         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
358           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
359         if (anticommuting) 
360                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
361
362         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu.toggle_variance()) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
363
364         e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A)
365           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
366         if (anticommuting) {
367                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
368                 e1 = remove_dirac_ONE(simplify_indexed(e));
369                 result += check_equal(e1, 2*A2.trace() - pow(A.trace(), 2));
370         }
371
372         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
373
374         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A)
375           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
376         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
377         if (anticommuting)
378                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4 * indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2)) * clifford_unit(mu, A));
379         
380         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A) 
381                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) 
382                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
383
384         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho, A)
385           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A);
386         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
387         if (anticommuting)
388                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2))* clifford_unit(mu, A));
389         
390         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A) 
391                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) 
392                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
393
394         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
395         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
396
397         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
398                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
399                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
400                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
401                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
402                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
403                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
404                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
405                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
406                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
407         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
408
409         // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
410         realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
411         
412         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
413         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
414         e1 = clifford_inverse(e);
415         result += check_equal((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
416
417         // Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only 
418         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
419         c = clifford_unit(nu, A);
420         
421         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(), 
422                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); // this is just the inversion
423         M1 = 0, dirac_ONE(),
424                 dirac_ONE(), 0;
425         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); // the inversion again
426         result += check_equal_lst(e, e1);
427         
428         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
429         result += check_equal_lst(e, e1);
430         
431         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A), 
432                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); //this is just a shift
433         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
434                 0, dirac_ONE();
435         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); // the same shift
436         result += check_equal_lst(e, e1);
437                 
438         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
439         
440         // Check the group law for Moebius maps 
441         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c); //composition of M1 and M2
442         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c); // the product M1*M2
443         result += check_equal_lst(e, e1);
444
445         return result;
446 }
447
448
449 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
450 {
451         // checks general identities and contractions
452
453         unsigned result = 0;
454
455         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
456                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
457
458         ex e, G_base;
459
460         if (is_a<indexed>(G))
461                 G_base = G.op(0);
462         else
463                 G_base = G;
464
465         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
466         result += check_equal(e, dirac_ONE());
467
468         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
469         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
470
471         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
472           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
473         result += check_equal(e, dirac_ONE());
474
475         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
476           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
477         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
478
479         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
480           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
481         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE() - pow(dim, 2)*dirac_ONE());
482
483         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
484           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
485         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
486         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
487
488         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
489         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
490                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
491                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(G_base, sy_symm(), nu, mu));
492                 
493                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
494                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
495                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
496                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
497                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
498                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
499                         + indexed(G_base, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
500                         - indexed(G_base, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
501                         + indexed(G_base, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
502                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
503                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
504         } else {
505                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
506                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(indexed(G_base, mu, nu) + indexed(G_base, nu, mu)));
507                 
508                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
509                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
510                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
511                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
512                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
513                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
514                         + half * (indexed(G_base,  mu, nu) + indexed(G_base,  nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
515                         - half * (indexed(G_base, mu, lam) + indexed(G_base, lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
516                         + half * (indexed(G_base, nu, lam) + indexed(G_base, lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
517                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
518                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
519         }
520         return result;
521 }
522
523 unsigned exam_clifford()
524 {
525         unsigned result = 0;
526         
527         cout << "examining clifford objects" << flush;
528         clog << "----------clifford objects:" << endl;
529
530         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
531         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
532         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
533         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
534         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
535
536         // anticommuting, symmetric examples
537         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1)))); cout << '.' << flush;
538         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1)))); cout << '.' << flush;
539         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
540         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
541         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1)))); cout << '.' << flush;
542
543         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
544         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t)))); cout << '.' << flush;
545
546         matrix A(4, 4);
547         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
548                 0, -1, 0, 0,
549                 0, 0, 0, -1,
550                 0, 0, 1, 0; 
551         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
552
553         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
554                 0, 1, 0, 0,
555                 0, 0, 0, -1,
556                 0, 0, 1, 0; 
557         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
558
559         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
560                 0, -1, 0, 0,
561                 0, 0, 0, -1,
562                 0, 0, -1, 0; 
563         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
564
565         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
566                 0, 1, 0, 0,
567                 0, 0, 0, -1,
568                 0, 0, -1, 0; 
569         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
570
571         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
572                 0, 1, 1, 0,
573                 0, 0, 1, 1,
574                 0, 0, 0, 1; 
575         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
576
577         symbol dim("D");
578         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
579
580         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
581         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
582
583         if (!result) {
584                 cout << " passed " << endl;
585                 clog << "(no output)" << endl;
586         } else {
587                 cout << " failed " << endl;
588         }
589
590         return result;
591 }