check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2005 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 const numeric half(1, 2);
  26
  27 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  28 {
  29         ex e = normal(e1 - e2);
  30         if (!e.is_zero()) {
  31                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  32                      << e << " instead of 0" << endl;
  33                 return 1;
  34         }
  35         return 0;
  36 }
  37
  38 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  39 {
  40         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
  41         if (!e.is_zero()) {
  42                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  43                          << e << " instead of 0" << endl;
  44                 return 1;
  45         }
  46         return 0;
  47 }
  48
  49 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
  50 {
  51         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
  52                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
  53                 if (!e.normal().is_zero()) {
  54                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  55                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
  56                         return 1;
  57                 }
  58         }
  59         return 0;
  60 }
  61
  62 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, varidx & mu)
  63 {
  64         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  65
  66         for (int j=0; j<4; j++) {
  67                 ex esub = e.subs(lst(mu == idx(j, mu.get_dim()), mu.toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())));
  68                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
  69                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  70                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
  71                         return 1;
  72                 }
  73         }
  74         return 0;
  75 }
  76
  77 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
  78 {
  79         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  80         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
  81                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  82                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
  83                 return 1;
  84         }
  85         return 0;
  86 }
  87
  88
  89 static unsigned clifford_check1()
  90 {
  91         // checks general identities and contractions
  92
  93         unsigned result = 0;
  94
  95         symbol dim("D");
  96         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
  97         ex e;
  98
  99         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 100         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 101
 102         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
 103         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
 104
 105         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
 106             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
 107         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 108
 109         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 110             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 111         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 112
 113         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 114             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 115         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 116
 117         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
 118             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
 119         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
 120         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
 121
 122         return result;
 123 }
 124
 125 static unsigned clifford_check2()
 126 {
 127         // checks identities relating to gamma5
 128
 129         unsigned result = 0;
 130
 131         symbol dim("D");
 132         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
 133         ex e;
 134
 135         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 136         result += check_equal(e, 0);
 137
 138         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
 139         result += check_equal(e, 0);
 140
 141         return result;
 142 }
 143
 144 static unsigned clifford_check3()
 145 {
 146         // checks traces
 147
 148         unsigned result = 0;
 149
 150         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 151         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 152                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 153         ex e;
 154
 155         e = dirac_gamma(mu);
 156         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 157
 158         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 159         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 160
 161         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 162         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 163
 164         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 165         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 166
 167         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 168         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 169
 170         scalar_products sp;
 171         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 172         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 173         sp.add(l, q, ldotq);
 174
 175         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 176         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 177         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 178
 179         // cyclicity without gamma5
 180         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 181           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 182         e = dirac_trace(e);
 183         result += check_equal(e, 0);
 184
 185         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 186           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 187         e = dirac_trace(e).expand();
 188         result += check_equal(e, 0);
 189
 190         // cyclicity of gamma5 * S_4
 191         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 192           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 193         e = dirac_trace(e);
 194         result += check_equal(e, 0);
 195
 196         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 197         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 198           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 199         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 200         e = (e / (dim - 4)).normal();
 201         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 202
 203         // one-loop vacuum polarization in QED
 204         e = dirac_gamma(mu) *
 205             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 206             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 207             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 208         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 209         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 210
 211         e = dirac_slash(q, 4) *
 212             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 213             dirac_slash(q, 4) *
 214             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 215         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 216         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 217
 218         // stuff that had problems in the past
 219         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 220         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 221         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 222           - dirac_trace(prop * e);
 223         result += check_equal(e, 0);
 224
 225         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 226         e = dirac_trace(e);
 227         result += check_equal(e, 4);
 228
 229         // traces with multiple representation labels
 230         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 231         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 232         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 233         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 234         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 235
 236         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 237         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 238         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 239         // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck.
 240         // TODO: better check.
 241         //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
 242         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 243
 244         return result;
 245 }
 246
 247 static unsigned clifford_check4()
 248 {
 249         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 250
 251         unsigned result = 0;
 252
 253         symbol dim("D");
 254         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 255                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 256         ex e, t1, t2;
 257
 258         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 259         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 260         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 261         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 262
 263         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 264         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 265         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 266         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 267
 268         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 269         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 270         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 271         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 272
 273         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 274         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 275         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 276         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 277
 278         return result;
 279 }
 280
 281 static unsigned clifford_check5()
 282 {
 283         // canonicalize_clifford() checks
 284
 285         unsigned result = 0;
 286
 287         symbol dim("D");
 288         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 289         ex e;
 290
 291         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 292         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 293
 294         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 295            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 296            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 297            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 298            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 299            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 300           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 301           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 302           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 303           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 304         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 305
 306         return result;
 307 }
 308
 309
 310 static unsigned clifford_check6(const matrix & A)
 311 {
 312         varidx v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 313                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 314                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 315
 316         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
 317         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
 318         A2 = A_symm.mul(A_symm);
 319
 320         ex e, e1;
 321         bool anticommuting = ex_to<clifford>(clifford_unit(nu, A)).is_anticommuting();
 322         int result = 0;
 323
 324         // checks general identities and contractions for clifford_unit
 325         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
 326         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 327
 328         e = clifford_unit(idx(2, 4), A) * clifford_unit(idx(1, 4), A)
 329           * clifford_unit(idx(1, 4), A) * clifford_unit(idx(2, 4), A);
 330         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 331
 332         e = clifford_unit(varidx(2, 4), A) * clifford_unit(varidx(1, 4), A)
 333           * clifford_unit(varidx(1, 4), A) * clifford_unit(varidx(2, 4), A);
 334         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 335
 336         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 337         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 338
 339         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
 340         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 341
 342         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu, A);
 343         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 344
 345         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 346         if (anticommuting)
 347                 result += check_equal_simplify(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*clifford_unit(mu, A) - A.trace()*clifford_unit(mu, A));
 348
 349         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 350
 351         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A)
 352           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
 353         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 354
 355         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 356           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A);
 357         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 358
 359         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 360           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 361         if (anticommuting)
 362                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 363
 364         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu.toggle_variance()) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 365
 366         e = clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A)
 367           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A);
 368         if (anticommuting) {
 369                 result += check_equal_simplify(e, 2*A2.trace()*dirac_ONE() - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 370                 e1 = remove_dirac_ONE(simplify_indexed(e));
 371                 result += check_equal(e1, 2*A2.trace() - pow(A.trace(), 2));
 372         }
 373
 374         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 375
 376         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A)
 377           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
 378         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 379         if (anticommuting)
 380                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4 * indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2)) * clifford_unit(mu, A));
 381
 382         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)
 383                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu)
 384                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 385
 386         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), A) * clifford_unit(rho, A)
 387           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), A) * clifford_unit(nu, A);
 388         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 389         if (anticommuting)
 390                 result += check_equal(e, (4*indexed(A2, sy_symm(), mu, mu) - 4*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, mu)*A.trace() +pow(A.trace(), 2))* clifford_unit(mu, A));
 391
 392         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(),  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu) *clifford_unit(nu, A)
 393                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho.toggle_variance(), mu)
 394                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu.toggle_variance(), mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 395
 396         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
 397         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
 398
 399         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
 400                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
 401                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 402                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
 403                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
 404                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
 405                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
 406                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
 407                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
 408                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
 409         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 410
 411         // lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check
 412         realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
 413
 414         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
 415         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 416         e1 = clifford_inverse(e);
 417         result += check_equal((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
 418
 419         // Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only
 420         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
 421         c = clifford_unit(nu, A);
 422
 423         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(),
 424                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A); // this is just the inversion
 425         M1 = 0, dirac_ONE(),
 426                 dirac_ONE(), 0;
 427         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A); // the inversion again
 428         result += check_equal_lst(e, e1);
 429
 430         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
 431         result += check_equal_lst(e, e1);
 432
 433         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A),
 434                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A); //this is just a shift
 435         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
 436                 0, dirac_ONE();
 437         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c); // the same shift
 438         result += check_equal_lst(e, e1);
 439
 440         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
 441
 442         // Check the group law for Moebius maps
 443         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c); //composition of M1 and M2
 444         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c); // the product M1*M2
 445         result += check_equal_lst(e, e1);
 446
 447         return result;
 448 }
 449
 450
 451 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 452 {
 453         // checks general identities and contractions
 454
 455         unsigned result = 0;
 456
 457         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 458                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 459
 460         ex e;
 461         clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
 462         ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
 463
 464         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 465         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 466
 467         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 468         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 469
 470         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 471           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 472         result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
 473
 474         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 475           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 476         result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
 477
 478         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 479           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 480         result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
 481
 482         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 483           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 484         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 485         result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 486
 487         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
 488         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
 489                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 490                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
 491
 492                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 493                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 494                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 495                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 496                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 497                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 498                         + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 499                         - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 500                         + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 501                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 502                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 503         } else {
 504                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 505                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
 506
 507                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 508                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 509                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 510                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 511                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 512                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 513                         + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
 514                         - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
 515                         + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
 516                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 517                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 518         }
 519         return result;
 520 }
 521
 522 unsigned exam_clifford()
 523 {
 524         unsigned result = 0;
 525
 526         cout << "examining clifford objects" << flush;
 527         clog << "----------clifford objects:" << endl;
 528
 529         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 530         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 531         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 532         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 533         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 534
 535 /*
 536         // anticommuting, symmetric examples
 537         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1)))); cout << '.' << flush;
 538         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1)))); cout << '.' << flush;
 539         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
 540         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1)))); cout << '.' << flush;
 541         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1)))); cout << '.' << flush;
 542
 543         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
 544         result += clifford_check6(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t)))); cout << '.' << flush;
 545
 546         matrix A(4, 4);
 547         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
 548                 0, -1, 0, 0,
 549                 0, 0, 0, -1,
 550                 0, 0, 1, 0;
 551         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 552
 553         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
 554                 0, 1, 0, 0,
 555                 0, 0, 0, -1,
 556                 0, 0, 1, 0;
 557         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 558
 559         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
 560                 0, -1, 0, 0,
 561                 0, 0, 0, -1,
 562                 0, 0, -1, 0;
 563         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 564
 565         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
 566                 0, 1, 0, 0,
 567                 0, 0, 0, -1,
 568                 0, 0, -1, 0;
 569         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 570
 571         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
 572                 0, 1, 1, 0,
 573                 0, 0, 1, 1,
 574                 0, 0, 0, 1;
 575         result += clifford_check6(A); cout << '.' << flush;
 576 */
 577
 578         symbol dim("D");
 579         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
 580
 581         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 582         result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 583
 584         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 585
 586         result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 587         result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 588
 589         if (!result) {
 590                 cout << " passed " << endl;
 591                 clog << "(no output)" << endl;
 592         } else {
 593                 cout << " failed " << endl;
 594         }
 595
 596         return result;
 597 }