check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2008 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include <iostream>
  24 #include "ginac.h"
  25 using namespace std;
  26 using namespace GiNaC;
  27
  28 const numeric half(1, 2);
  29
  30 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  31 {
  32         ex e = normal(e1 - e2);
  33         if (!e.is_zero()) {
  34                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  35                      << e << " instead of 0" << endl;
  36                 return 1;
  37         }
  38         return 0;
  39 }
  40
  41 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  42 {
  43         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
  44         if (!e.is_zero()) {
  45                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  46                          << e << " instead of 0" << endl;
  47                 return 1;
  48         }
  49         return 0;
  50 }
  51
  52 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
  53 {
  54         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
  55                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
  56                 if (!e.normal().is_zero()) {
  57                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  58                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
  59                         return 1;
  60                 }
  61         }
  62         return 0;
  63 }
  64
  65 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
  66 {
  67         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  68
  69         for (int j=0; j<4; j++) {
  70                 ex esub = e.subs(
  71                                 is_a<varidx>(mu)
  72                                         ? lst (
  73                                                         mu == idx(j, mu.get_dim()),
  74                                                         ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())
  75                                                 )
  76                                         : lst(mu == idx(j, mu.get_dim()))
  77                         );
  78                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
  79                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  80                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
  81                         return 1;
  82                 }
  83         }
  84         return 0;
  85 }
  86
  87 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
  88 {
  89         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  90         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
  91                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  92                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
  93                 return 1;
  94         }
  95         return 0;
  96 }
  97
  98
  99 static unsigned clifford_check1()
 100 {
 101         // checks general identities and contractions
 102
 103         unsigned result = 0;
 104
 105         symbol dim("D");
 106         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
 107         ex e;
 108
 109         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 110         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 111
 112         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
 113         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
 114
 115         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
 116             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
 117         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 118
 119         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 120             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 121         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 122
 123         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 124             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 125         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 126
 127         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
 128             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
 129         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
 130         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
 131
 132         return result;
 133 }
 134
 135 static unsigned clifford_check2()
 136 {
 137         // checks identities relating to gamma5
 138
 139         unsigned result = 0;
 140
 141         symbol dim("D");
 142         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
 143         ex e;
 144
 145         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 146         result += check_equal(e, 0);
 147
 148         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
 149         result += check_equal(e, 0);
 150
 151         return result;
 152 }
 153
 154 static unsigned clifford_check3()
 155 {
 156         // checks traces
 157
 158         unsigned result = 0;
 159
 160         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 161         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 162                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 163         ex e;
 164
 165         e = dirac_gamma(mu);
 166         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 167
 168         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 169         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 170
 171         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 172         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 173
 174         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 175         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 176
 177         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 178         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 179
 180         scalar_products sp;
 181         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 182         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 183         sp.add(l, q, ldotq);
 184
 185         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 186         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 187         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 188
 189         // cyclicity without gamma5
 190         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 191           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 192         e = dirac_trace(e);
 193         result += check_equal(e, 0);
 194
 195         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 196           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 197         e = dirac_trace(e).expand();
 198         result += check_equal(e, 0);
 199
 200         // cyclicity of gamma5 * S_4
 201         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 202           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 203         e = dirac_trace(e);
 204         result += check_equal(e, 0);
 205
 206         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 207         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 208           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 209         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 210         e = (e / (dim - 4)).normal();
 211         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 212
 213         // one-loop vacuum polarization in QED
 214         e = dirac_gamma(mu) *
 215             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 216             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 217             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 218         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 219         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 220
 221         e = dirac_slash(q, 4) *
 222             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 223             dirac_slash(q, 4) *
 224             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 225         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 226         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 227
 228         // stuff that had problems in the past
 229         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 230         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 231         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 232           - dirac_trace(prop * e);
 233         result += check_equal(e, 0);
 234
 235         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 236         e = dirac_trace(e);
 237         result += check_equal(e, 4);
 238
 239         // traces with multiple representation labels
 240         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 241         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 242         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 243         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 244         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 245
 246         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 247         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 248         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 249         // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck.
 250         // TODO: better check.
 251         //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
 252         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 253
 254         return result;
 255 }
 256
 257 static unsigned clifford_check4()
 258 {
 259         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 260
 261         unsigned result = 0;
 262
 263         symbol dim("D");
 264         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 265                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 266         ex e, t1, t2;
 267
 268         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 269         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 270         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 271         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 272
 273         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 274         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 275         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 276         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 277
 278         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 279         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 280         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 281         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 282
 283         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 284         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 285         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 286         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 287
 288         return result;
 289 }
 290
 291 static unsigned clifford_check5()
 292 {
 293         // canonicalize_clifford() checks
 294
 295         unsigned result = 0;
 296
 297         symbol dim("D");
 298         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 299         ex e;
 300
 301         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 302         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 303
 304         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 305            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 306            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 307            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 308            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 309            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 310           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 311           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 312           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 313           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 314         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 315
 316         return result;
 317 }
 318
 319 /* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
 320  * the cases when used indexes have or have not variance.
 321  * To this end we recycle the code through the following macros */
 322
 323 template <typename IDX> unsigned clifford_check6(const matrix &A)
 324 {
 325         unsigned result = 0;
 326
 327         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
 328         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
 329         A2 = A_symm.mul(A_symm);
 330
 331         IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 332                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 333                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 334         ex mu_TOGGLE = is_a<varidx>(mu) ? ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() : mu;
 335         ex nu_TOGGLE = is_a<varidx>(nu) ? ex_to<varidx>(nu).toggle_variance() : nu;
 336         ex rho_TOGGLE
 337                 = is_a<varidx>(rho) ? ex_to<varidx>(rho).toggle_variance() : rho;
 338
 339         ex e, e1;
 340
 341 /* checks general identities and contractions for clifford_unit*/
 342         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
 343         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 344
 345         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 346           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 347         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 348
 349         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 350           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 351         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 352
 353         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 354         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 355
 356         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
 357         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 358
 359         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);
 360         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 361
 362         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 363
 364         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 365
 366         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A)
 367           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 368         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 369
 370         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 371           * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 372         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 373
 374         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 375           * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 376
 377         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu_TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 378
 379         e = clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)
 380           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 381
 382         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 383
 384         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A)
 385           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
 386         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 387
 388         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 389                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 390                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 391
 392         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)
 393           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);
 394         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 395
 396         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 397                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 398                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 399
 400         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
 401         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
 402
 403         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
 404                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
 405                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 406                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
 407                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
 408                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
 409                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
 410                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
 411                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
 412                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
 413         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 414
 415 /* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/
 416         realsymbol s("s"), t("t"), x("x"), y("y"), z("z");
 417
 418         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
 419         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 420         e1 = clifford_inverse(e);
 421         result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
 422
 423 /* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for vectors*/
 424         e = lst(t, x, y, z);
 425         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
 426         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
 427
 428 /* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for pseudovectors*/
 429         e = lst(s, t, x, y, z);
 430         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
 431         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
 432
 433 /* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */
 434         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
 435         c = clifford_unit(nu, A);
 436
 437         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(),
 438                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A);
 439 /* this is just the inversion*/
 440         M1 = 0, dirac_ONE(),
 441                 dirac_ONE(), 0;
 442         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A);
 443 /* the inversion again*/
 444         result += check_equal_lst(e, e1);
 445
 446         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
 447         result += check_equal_lst(e, e1);
 448
 449         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A),
 450                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A);
 451 /*this is just a shift*/
 452         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
 453                 0, dirac_ONE();
 454         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c);
 455 /* the same shift*/
 456         result += check_equal_lst(e, e1);
 457
 458         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
 459
 460 /* Check the group law for Moebius maps */
 461         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c);
 462 /*composition of M1 and M2*/
 463         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c);
 464 /* the product M1*M2*/
 465         result += check_equal_lst(e, e1);
 466         return result;
 467 }
 468
 469 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 470 {
 471         // checks general identities and contractions
 472
 473         unsigned result = 0;
 474
 475         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 476                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 477
 478         ex e;
 479         clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
 480         ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
 481
 482         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 483         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 484
 485         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 486         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 487
 488         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 489           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 490         result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
 491
 492         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 493           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 494         result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
 495
 496         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 497           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 498         result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
 499
 500         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 501           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 502         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 503         result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 504
 505         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
 506         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
 507                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 508                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
 509
 510                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 511                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 512                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 513                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 514                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 515                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 516                         + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 517                         - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 518                         + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 519                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 520                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 521         } else {
 522                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 523                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
 524
 525                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 526                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 527                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 528                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 529                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 530                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 531                         + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
 532                         - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
 533                         + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
 534                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 535                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 536         }
 537         return result;
 538 }
 539
 540 unsigned exam_clifford()
 541 {
 542         unsigned result = 0;
 543
 544         cout << "examining clifford objects" << flush;
 545
 546         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 547         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 548         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 549         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 550         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 551
 552         // anticommuting, symmetric examples
 553         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));
 554         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));; cout << '.' << flush;
 555         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))));; cout << '.' << flush;
 556         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 557         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 558         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))));; cout << '.' << flush;
 559
 560         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
 561         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))));; cout << '.' << flush;
 562
 563         matrix A(4, 4);
 564         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
 565                 0, -1, 0, 0,
 566                 0, 0, 0, -1,
 567                 0, 0, 1, 0;
 568         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 569
 570         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
 571                 0, 1, 0, 0,
 572                 0, 0, 0, -1,
 573                 0, 0, 1, 0;
 574         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 575
 576         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
 577                 0, -1, 0, 0,
 578                 0, 0, 0, -1,
 579                 0, 0, -1, 0;
 580         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 581
 582         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
 583                 0, 1, 0, 0,
 584                 0, 0, 0, -1,
 585                 0, 0, -1, 0;
 586         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 587
 588         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
 589                 0, 1, 1, 0,
 590                 0, 0, 1, 1,
 591                 0, 0, 0, 1;
 592         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 593
 594         symbol dim("D");
 595         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
 596
 597         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 598         result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 599
 600         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 601
 602         result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 603         result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 604
 605         return result;
 606 }
 607
 608 int main(int argc, char** argv)
 609 {
 610         return exam_clifford();
 611 }