check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2007 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "exams.h"
  24
  25 const numeric half(1, 2);
  26
  27 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  28 {
  29         ex e = normal(e1 - e2);
  30         if (!e.is_zero()) {
  31                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  32                      << e << " instead of 0" << endl;
  33                 return 1;
  34         }
  35         return 0;
  36 }
  37
  38 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  39 {
  40         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
  41         if (!e.is_zero()) {
  42                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  43                          << e << " instead of 0" << endl;
  44                 return 1;
  45         }
  46         return 0;
  47 }
  48
  49 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
  50 {
  51         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
  52                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
  53                 if (!e.normal().is_zero()) {
  54                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  55                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
  56                         return 1;
  57                 }
  58         }
  59         return 0;
  60 }
  61
  62 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
  63 {
  64         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  65
  66         for (int j=0; j<4; j++) {
  67                 ex esub = e.subs(
  68                                 is_a<varidx>(mu)
  69                                         ? lst (
  70                                                         mu == idx(j, mu.get_dim()),
  71                                                         ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())
  72                                                 )
  73                                         : lst(mu == idx(j, mu.get_dim()))
  74                         );
  75                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
  76                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  77                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
  78                         return 1;
  79                 }
  80         }
  81         return 0;
  82 }
  83
  84 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
  85 {
  86         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  87         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
  88                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  89                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
  90                 return 1;
  91         }
  92         return 0;
  93 }
  94
  95
  96 static unsigned clifford_check1()
  97 {
  98         // checks general identities and contractions
  99
 100         unsigned result = 0;
 101
 102         symbol dim("D");
 103         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
 104         ex e;
 105
 106         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 107         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 108
 109         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
 110         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
 111
 112         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
 113             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
 114         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 115
 116         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 117             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 118         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 119
 120         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 121             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 122         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 123
 124         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
 125             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
 126         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
 127         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
 128
 129         return result;
 130 }
 131
 132 static unsigned clifford_check2()
 133 {
 134         // checks identities relating to gamma5
 135
 136         unsigned result = 0;
 137
 138         symbol dim("D");
 139         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
 140         ex e;
 141
 142         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 143         result += check_equal(e, 0);
 144
 145         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
 146         result += check_equal(e, 0);
 147
 148         return result;
 149 }
 150
 151 static unsigned clifford_check3()
 152 {
 153         // checks traces
 154
 155         unsigned result = 0;
 156
 157         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 158         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 159                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 160         ex e;
 161
 162         e = dirac_gamma(mu);
 163         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 164
 165         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 166         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 167
 168         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 169         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 170
 171         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 172         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 173
 174         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 175         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 176
 177         scalar_products sp;
 178         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 179         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 180         sp.add(l, q, ldotq);
 181
 182         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 183         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 184         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 185
 186         // cyclicity without gamma5
 187         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 188           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 189         e = dirac_trace(e);
 190         result += check_equal(e, 0);
 191
 192         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 193           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 194         e = dirac_trace(e).expand();
 195         result += check_equal(e, 0);
 196
 197         // cyclicity of gamma5 * S_4
 198         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 199           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 200         e = dirac_trace(e);
 201         result += check_equal(e, 0);
 202
 203         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 204         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 205           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 206         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 207         e = (e / (dim - 4)).normal();
 208         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 209
 210         // one-loop vacuum polarization in QED
 211         e = dirac_gamma(mu) *
 212             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 213             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 214             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 215         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 216         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 217
 218         e = dirac_slash(q, 4) *
 219             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 220             dirac_slash(q, 4) *
 221             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 222         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 223         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 224
 225         // stuff that had problems in the past
 226         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 227         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 228         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 229           - dirac_trace(prop * e);
 230         result += check_equal(e, 0);
 231
 232         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 233         e = dirac_trace(e);
 234         result += check_equal(e, 4);
 235
 236         // traces with multiple representation labels
 237         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 238         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 239         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 240         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 241         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 242
 243         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 244         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 245         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 246         // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck.
 247         // TODO: better check.
 248         //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
 249         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 250
 251         return result;
 252 }
 253
 254 static unsigned clifford_check4()
 255 {
 256         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 257
 258         unsigned result = 0;
 259
 260         symbol dim("D");
 261         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 262                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 263         ex e, t1, t2;
 264
 265         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 266         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 267         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 268         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 269
 270         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 271         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 272         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 273         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 274
 275         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 276         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 277         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 278         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 279
 280         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 281         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 282         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 283         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 284
 285         return result;
 286 }
 287
 288 static unsigned clifford_check5()
 289 {
 290         // canonicalize_clifford() checks
 291
 292         unsigned result = 0;
 293
 294         symbol dim("D");
 295         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 296         ex e;
 297
 298         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 299         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 300
 301         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 302            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 303            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 304            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 305            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 306            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 307           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 308           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 309           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 310           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 311         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 312
 313         return result;
 314 }
 315
 316 /* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
 317  * the cases when used indexes have or have not variance.
 318  * To this end we recycle the code through the following macros */
 319
 320 template <typename IDX> unsigned clifford_check6(const matrix &A)
 321 {
 322         unsigned result = 0;
 323
 324         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
 325         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
 326         A2 = A_symm.mul(A_symm);
 327
 328         IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 329                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 330                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 331         ex mu_TOGGLE = is_a<varidx>(mu) ? ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() : mu;
 332         ex nu_TOGGLE = is_a<varidx>(nu) ? ex_to<varidx>(nu).toggle_variance() : nu;
 333         ex rho_TOGGLE
 334                 = is_a<varidx>(rho) ? ex_to<varidx>(rho).toggle_variance() : rho;
 335
 336         ex e, e1;
 337
 338 /* checks general identities and contractions for clifford_unit*/
 339         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
 340         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 341
 342         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 343           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 344         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 345
 346         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 347           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 348         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 349
 350         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 351         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 352
 353         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
 354         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 355
 356         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);
 357         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 358
 359         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 360
 361         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 362
 363         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A)
 364           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 365         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 366
 367         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 368           * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 369         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 370
 371         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 372           * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 373
 374         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu_TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 375
 376         e = clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)
 377           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 378
 379         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 380
 381         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A)
 382           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
 383         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 384
 385         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 386                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 387                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 388
 389         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)
 390           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);
 391         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 392
 393         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 394                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 395                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 396
 397         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
 398         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
 399
 400         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
 401                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
 402                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 403                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
 404                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
 405                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
 406                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
 407                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
 408                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
 409                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
 410         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 411
 412 /* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/
 413         realsymbol x("x"), y("y"), t("t"), z("z");
 414
 415         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
 416         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 417         e1 = clifford_inverse(e);
 418         result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
 419
 420 /* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */
 421         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
 422         c = clifford_unit(nu, A);
 423
 424         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(),
 425                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A);
 426 /* this is just the inversion*/
 427         M1 = 0, dirac_ONE(),
 428                 dirac_ONE(), 0;
 429         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A);
 430 /* the inversion again*/
 431         result += check_equal_lst(e, e1);
 432
 433         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
 434         result += check_equal_lst(e, e1);
 435
 436         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A),
 437                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A);
 438 /*this is just a shift*/
 439         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
 440                 0, dirac_ONE();
 441         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c);
 442 /* the same shift*/
 443         result += check_equal_lst(e, e1);
 444
 445         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
 446
 447 /* Check the group law for Moebius maps */
 448         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c);
 449 /*composition of M1 and M2*/
 450         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c);
 451 /* the product M1*M2*/
 452         result += check_equal_lst(e, e1);
 453         return result;
 454 }
 455
 456 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 457 {
 458         // checks general identities and contractions
 459
 460         unsigned result = 0;
 461
 462         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 463                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 464
 465         ex e;
 466         clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
 467         ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
 468
 469         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 470         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 471
 472         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 473         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 474
 475         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 476           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 477         result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
 478
 479         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 480           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 481         result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
 482
 483         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 484           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 485         result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
 486
 487         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 488           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 489         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 490         result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 491
 492         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
 493         if (ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
 494                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 495                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
 496
 497                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 498                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 499                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 500                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 501                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 502                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 503                         + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 504                         - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 505                         + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 506                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 507                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 508         } else {
 509                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 510                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
 511
 512                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 513                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 514                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 515                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 516                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 517                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 518                         + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
 519                         - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
 520                         + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
 521                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 522                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 523         }
 524         return result;
 525 }
 526
 527 unsigned exam_clifford()
 528 {
 529         unsigned result = 0;
 530
 531         cout << "examining clifford objects" << flush;
 532         clog << "----------clifford objects:" << endl;
 533
 534         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 535         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 536         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 537         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 538         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 539
 540         // anticommuting, symmetric examples
 541         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));
 542         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));; cout << '.' << flush;
 543         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))));; cout << '.' << flush;
 544         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 545         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 546         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))));; cout << '.' << flush;
 547
 548         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
 549         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))));; cout << '.' << flush;
 550
 551         matrix A(4, 4);
 552         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
 553                 0, -1, 0, 0,
 554                 0, 0, 0, -1,
 555                 0, 0, 1, 0;
 556         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 557
 558         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
 559                 0, 1, 0, 0,
 560                 0, 0, 0, -1,
 561                 0, 0, 1, 0;
 562         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 563
 564         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
 565                 0, -1, 0, 0,
 566                 0, 0, 0, -1,
 567                 0, 0, -1, 0;
 568         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 569
 570         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
 571                 0, 1, 0, 0,
 572                 0, 0, 0, -1,
 573                 0, 0, -1, 0;
 574         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 575
 576         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
 577                 0, 1, 1, 0,
 578                 0, 0, 1, 1,
 579                 0, 0, 0, 1;
 580         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 581
 582         symbol dim("D");
 583         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
 584
 585         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 586         result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 587
 588         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 589
 590         result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 591         result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 592
 593         if (!result) {
 594                 cout << " passed " << endl;
 595                 clog << "(no output)" << endl;
 596         } else {
 597                 cout << " failed " << endl;
 598         }
 599
 600         return result;
 601 }