+ // cyclicity
+ e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
+ - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
+ e = dirac_trace(e);
+ result += check_equal(e.expand(), 0);
+
+ e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
+ - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
+ e = dirac_trace(e);
+ result += check_equal(e.expand(), 0);
+
+ // one-loop vacuum polarization in QED
+ e = dirac_gamma(mu) *
+ (dirac_gamma(nu) * indexed(l, nu.toggle_variance()) + dirac_gamma(nu) * indexed(q, nu.toggle_variance()) + m * dirac_ONE()) *
+ dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
+ (dirac_gamma(rho) * indexed(l, rho.toggle_variance()) + m * dirac_ONE());
+ e = dirac_trace(e.expand()).simplify_indexed(sp);
+ result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
+
+ e = dirac_gamma(mu) * indexed(q, mu.toggle_variance()) *
+ (dirac_gamma(nu) * indexed(l, nu.toggle_variance()) + dirac_gamma(nu) * indexed(q, nu.toggle_variance()) + m * dirac_ONE()) *
+ dirac_gamma(sig) * indexed(q, sig.toggle_variance()) *
+ (dirac_gamma(rho) * indexed(l, rho.toggle_variance()) + m * dirac_ONE());
+ e = dirac_trace(e.expand()).simplify_indexed(sp);
+ result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
+