check/exam_clifford.cpp

   1 /** @file exam_clifford.cpp
   2  *
   3  *  Here we test GiNaC's Clifford algebra objects. */
   4
   5 /*
   6  *  GiNaC Copyright (C) 1999-2011 Johannes Gutenberg University Mainz, Germany
   7  *
   8  *  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   9  *  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  10  *  the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
  11  *  (at your option) any later version.
  12  *
  13  *  This program is distributed in the hope that it will be useful,
  14  *  but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  15  *  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  16  *  GNU General Public License for more details.
  17  *
  18  *  You should have received a copy of the GNU General Public License
  19  *  along with this program; if not, write to the Free Software
  20  *  Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
  21  */
  22
  23 #include "ginac.h"
  24 using namespace GiNaC;
  25
  26 #include <iostream>
  27 using namespace std;
  28
  29 const numeric half(1, 2);
  30
  31 static unsigned check_equal(const ex &e1, const ex &e2)
  32 {
  33         ex e = normal(e1 - e2);
  34         if (!e.is_zero()) {
  35                 clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  36                      << e << " instead of 0" << endl;
  37                 return 1;
  38         }
  39         return 0;
  40 }
  41
  42 static unsigned check_equal_simplify(const ex &e1, const ex &e2)
  43 {
  44         ex e = normal(simplify_indexed(e1) - e2);
  45         if (!e.is_zero()) {
  46                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  47                          << e << " instead of 0" << endl;
  48                 return 1;
  49         }
  50         return 0;
  51 }
  52
  53 static unsigned check_equal_lst(const ex & e1, const ex & e2)
  54 {
  55         for (unsigned int i = 0; i < e1.nops(); i++) {
  56                 ex e = e1.op(i) - e2.op(i);
  57                 if (!e.normal().is_zero()) {
  58                         clog << "(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  59                              << e << " instead of 0 (in the entry " << i  << ")" << endl;
  60                         return 1;
  61                 }
  62         }
  63         return 0;
  64 }
  65
  66 static unsigned check_equal_simplify_term(const ex & e1, const ex & e2, idx & mu)
  67 {
  68         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  69
  70         for (int j=0; j<4; j++) {
  71                 ex esub = e.subs(
  72                                 is_a<varidx>(mu)
  73                                         ? lst (
  74                                                         mu == idx(j, mu.get_dim()),
  75                                                         ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() == idx(j, mu.get_dim())
  76                                                 )
  77                                         : lst(mu == idx(j, mu.get_dim()))
  78                         );
  79                 if (!(canonicalize_clifford(esub).is_zero())) {
  80                         clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  81                                  << canonicalize_clifford(esub) << " instead of 0 for mu=" << j << endl;
  82                         return 1;
  83                 }
  84         }
  85         return 0;
  86 }
  87
  88 static unsigned check_equal_simplify_term2(const ex & e1, const ex & e2)
  89 {
  90         ex e = expand_dummy_sum(normal(simplify_indexed(e1) - e2), true);
  91         if (!(canonicalize_clifford(e).is_zero())) {
  92                 clog << "simplify_indexed(" << e1 << ") - (" << e2 << ") erroneously returned "
  93                          << canonicalize_clifford(e) << " instead of 0" << endl;
  94                 return 1;
  95         }
  96         return 0;
  97 }
  98
  99
 100 static unsigned clifford_check1()
 101 {
 102         // checks general identities and contractions
 103
 104         unsigned result = 0;
 105
 106         symbol dim("D");
 107         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim);
 108         ex e;
 109
 110         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 111         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 112
 113         e = dirac_ONE() * dirac_gamma(mu) * dirac_ONE();
 114         result += check_equal(e, dirac_gamma(mu));
 115
 116         e = dirac_gamma(varidx(2, dim)) * dirac_gamma(varidx(1, dim)) *
 117             dirac_gamma(varidx(1, dim)) * dirac_gamma(varidx(2, dim));
 118         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 119
 120         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 121             dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 122         result += check_equal_simplify(e, pow(dim, 2) * dirac_ONE());
 123
 124         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) *
 125             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 126         result += check_equal_simplify(e, 2*dim*dirac_ONE()-pow(dim, 2)*dirac_ONE());
 127
 128         e = dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(rho.toggle_variance()) *
 129             dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu);
 130         e = e.simplify_indexed().collect(dirac_gamma(mu));
 131         result += check_equal(e, pow(2 - dim, 2).expand() * dirac_gamma(mu));
 132
 133         return result;
 134 }
 135
 136 static unsigned clifford_check2()
 137 {
 138         // checks identities relating to gamma5
 139
 140         unsigned result = 0;
 141
 142         symbol dim("D");
 143         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim);
 144         ex e;
 145
 146         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 147         result += check_equal(e, 0);
 148
 149         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma5() + dirac_gamma(mu);
 150         result += check_equal(e, 0);
 151
 152         return result;
 153 }
 154
 155 static unsigned clifford_check3()
 156 {
 157         // checks traces
 158
 159         unsigned result = 0;
 160
 161         symbol dim("D"), m("m"), q("q"), l("l"), ldotq("ldotq");
 162         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 163                sig(symbol("sig"), dim), kap(symbol("kap"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 164         ex e;
 165
 166         e = dirac_gamma(mu);
 167         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 168
 169         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 170         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 171
 172         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu);
 173         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 174
 175         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu);
 176         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 177
 178         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 179         result += check_equal(dirac_trace(e), 0);
 180
 181         scalar_products sp;
 182         sp.add(q, q, pow(q, 2));
 183         sp.add(l, l, pow(l, 2));
 184         sp.add(l, q, ldotq);
 185
 186         e = pow(m, 2) * dirac_slash(q, dim) * dirac_slash(q, dim);
 187         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 188         result += check_equal(e, 4*pow(m, 2)*pow(q, 2));
 189
 190         // cyclicity without gamma5
 191         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 192           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu);
 193         e = dirac_trace(e);
 194         result += check_equal(e, 0);
 195
 196         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam)
 197           - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu);
 198         e = dirac_trace(e).expand();
 199         result += check_equal(e, 0);
 200
 201         // cyclicity of gamma5 * S_4
 202         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig)
 203           - dirac_gamma(sig) * dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho);
 204         e = dirac_trace(e);
 205         result += check_equal(e, 0);
 206
 207         // non-cyclicity of order D-4 of gamma5 * S_6
 208         e = dirac_gamma5() * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap) * dirac_gamma(mu.toggle_variance())
 209           + dim * dirac_gamma5() * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(kap);
 210         e = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 211         e = (e / (dim - 4)).normal();
 212         result += check_equal(e, 8 * I * lorentz_eps(nu.replace_dim(4), rho.replace_dim(4), sig.replace_dim(4), kap.replace_dim(4)));
 213
 214         // one-loop vacuum polarization in QED
 215         e = dirac_gamma(mu) *
 216             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 217             dirac_gamma(mu.toggle_variance()) *
 218             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 219         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 220         result += check_equal(e, 4*((2-dim)*l*l + (2-dim)*ldotq + dim*m*m).expand());
 221
 222         e = dirac_slash(q, 4) *
 223             (dirac_slash(l, dim) + dirac_slash(q, 4) + m * dirac_ONE()) *
 224             dirac_slash(q, 4) *
 225             (dirac_slash(l, dim) + m * dirac_ONE());
 226         e = dirac_trace(e).simplify_indexed(sp);
 227         result += check_equal(e, 4*(2*ldotq*ldotq + q*q*ldotq - q*q*l*l + q*q*m*m).expand());
 228
 229         // stuff that had problems in the past
 230         ex prop = dirac_slash(q, dim) - m * dirac_ONE();
 231         e = dirac_slash(l, dim) * dirac_gamma5() * dirac_slash(l, dim) * prop;
 232         e = dirac_trace(dirac_slash(q, dim) * e) - dirac_trace(m * e)
 233           - dirac_trace(prop * e);
 234         result += check_equal(e, 0);
 235
 236         e = (dirac_gamma5() + dirac_ONE()) * dirac_gamma5();
 237         e = dirac_trace(e);
 238         result += check_equal(e, 4);
 239
 240         // traces with multiple representation labels
 241         e = dirac_ONE(0) * dirac_ONE(1) / 16;
 242         result += check_equal(dirac_trace(e, 0), dirac_ONE(1) / 4);
 243         result += check_equal(dirac_trace(e, 1), dirac_ONE(0) / 4);
 244         result += check_equal(dirac_trace(e, 2), e);
 245         result += check_equal(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 1);
 246
 247         e = dirac_gamma(mu, 0) * dirac_gamma(mu.toggle_variance(), 1) * dirac_gamma(nu, 0) * dirac_gamma(nu.toggle_variance(), 1);
 248         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 0), 4 * dim * dirac_ONE(1));
 249         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 1), 4 * dim * dirac_ONE(0));
 250         // Fails with new tinfo mechanism because the order of gamme matrices with different rl depends on luck.
 251         // TODO: better check.
 252         //result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, 2), canonicalize_clifford(e)); // e will be canonicalized by the calculation of the trace
 253         result += check_equal_simplify(dirac_trace(e, lst(0, 1)), 16 * dim);
 254
 255         return result;
 256 }
 257
 258 static unsigned clifford_check4()
 259 {
 260         // simplify_indexed()/dirac_trace() cross-checks
 261
 262         unsigned result = 0;
 263
 264         symbol dim("D");
 265         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 266                sig(symbol("sig"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 267         ex e, t1, t2;
 268
 269         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 270         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 271         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 272         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 273
 274         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(lam);
 275         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 276         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 277         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 278
 279         e = dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(nu.toggle_variance()) * dirac_gamma(mu.toggle_variance());
 280         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 281         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 282         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 283
 284         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(rho) * dirac_gamma(mu.toggle_variance()) * dirac_gamma(sig) * dirac_gamma(nu.toggle_variance());
 285         t1 = dirac_trace(e).simplify_indexed();
 286         t2 = dirac_trace(e.simplify_indexed());
 287         result += check_equal((t1 - t2).expand(), 0);
 288
 289         return result;
 290 }
 291
 292 static unsigned clifford_check5()
 293 {
 294         // canonicalize_clifford() checks
 295
 296         unsigned result = 0;
 297
 298         symbol dim("D");
 299         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), lam(symbol("lam"), dim);
 300         ex e;
 301
 302         e = dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu);
 303         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*lorentz_g(mu, nu));
 304
 305         e = (dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam)
 306            + dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu)
 307            + dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu)
 308            - dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam)
 309            - dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(mu)
 310            - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(lam) * dirac_gamma(nu)) / 6
 311           + lorentz_g(mu, nu) * dirac_gamma(lam)
 312           - lorentz_g(mu, lam) * dirac_gamma(nu)
 313           + lorentz_g(nu, lam) * dirac_gamma(mu)
 314           - dirac_gamma(mu) * dirac_gamma(nu) * dirac_gamma(lam);
 315         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 316
 317         return result;
 318 }
 319
 320 /* We make two identical checks with metrics defined through a matrix in
 321  * the cases when used indexes have or have not variance.
 322  * To this end we recycle the code through the following macros */
 323
 324 template <typename IDX> unsigned clifford_check6(const matrix &A)
 325 {
 326         unsigned result = 0;
 327
 328         matrix A_symm(4,4), A2(4, 4);
 329         A_symm = A.add(A.transpose()).mul(half);
 330         A2 = A_symm.mul(A_symm);
 331
 332         IDX v(symbol("v"), 4), nu(symbol("nu"), 4), mu(symbol("mu"), 4),
 333                psi(symbol("psi"),4), lam(symbol("lambda"), 4),
 334                xi(symbol("xi"), 4),  rho(symbol("rho"),4);
 335         ex mu_TOGGLE = is_a<varidx>(mu) ? ex_to<varidx>(mu).toggle_variance() : mu;
 336         ex nu_TOGGLE = is_a<varidx>(nu) ? ex_to<varidx>(nu).toggle_variance() : nu;
 337         ex rho_TOGGLE
 338                 = is_a<varidx>(rho) ? ex_to<varidx>(rho).toggle_variance() : rho;
 339
 340         ex e, e1;
 341
 342 /* checks general identities and contractions for clifford_unit*/
 343         e = dirac_ONE(2) * clifford_unit(mu, A, 2) * dirac_ONE(2);
 344         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, A, 2));
 345
 346         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 347           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 348         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 349
 350         e = clifford_unit(IDX(2, 4), A) * clifford_unit(IDX(1, 4), A)
 351           * clifford_unit(IDX(1, 4), A) * clifford_unit(IDX(2, 4), A);
 352         result += check_equal(e, A(1, 1) * A(2, 2) * dirac_ONE());
 353
 354         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 355         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * dirac_ONE());
 356
 357         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu, A);
 358         result += check_equal_simplify(e, indexed(A_symm, sy_symm(), nu, nu) * dirac_ONE());
 359
 360         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu, A);
 361         result += check_equal_simplify(e, A.trace() * clifford_unit(mu, A));
 362
 363         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 364
 365         result += check_equal_simplify_term(e,  2 * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)-A.trace()*clifford_unit(mu, A), mu);
 366
 367         e = clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A)
 368           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 369         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2) * dirac_ONE());
 370
 371         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 372           * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A);
 373         result += check_equal_simplify(e, pow(A.trace(), 2)  * dirac_ONE());
 374
 375         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 376           * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 377
 378         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu_TOGGLE) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 379
 380         e = clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A)
 381           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A);
 382
 383         result += check_equal_simplify_term2(e, 2*indexed(A_symm, nu, mu) * clifford_unit(mu_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu_TOGGLE, A) - pow(A.trace(), 2)*dirac_ONE());
 384
 385         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A)
 386           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho, A) * clifford_unit(nu, A);
 387         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 388
 389         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 390                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 391                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 392
 393         e = clifford_unit(nu_TOGGLE, A) * clifford_unit(rho, A)
 394           * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(rho_TOGGLE, A) * clifford_unit(nu, A);
 395         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, A));
 396
 397         result += check_equal_simplify_term(e, 4* indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE,  rho)*indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu) *clifford_unit(nu, A)
 398                                             - 2*A.trace() * (clifford_unit(rho, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), rho_TOGGLE, mu)
 399                                                              + clifford_unit(nu, A) * indexed(A_symm, sy_symm(), nu_TOGGLE, mu)) + pow(A.trace(),2)* clifford_unit(mu, A), mu);
 400
 401         e = clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A);
 402         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu));
 403
 404         e = (clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A)
 405                  + clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A)
 406                  + clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A)
 407                  - clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A)
 408                  - clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(mu, A)
 409                  - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(lam, A) * clifford_unit(nu, A)) / 6
 410                 + indexed(A_symm, sy_symm(), mu, nu) * clifford_unit(lam, A)
 411                 - indexed(A_symm, sy_symm(), mu, lam) * clifford_unit(nu, A)
 412                 + indexed(A_symm, sy_symm(), nu, lam) * clifford_unit(mu, A)
 413                 - clifford_unit(mu, A) * clifford_unit(nu, A) * clifford_unit(lam, A);
 414         result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 415
 416 /* lst_to_clifford() and clifford_inverse()  check*/
 417         realsymbol s("s"), t("t"), x("x"), y("y"), z("z");
 418
 419         ex c = clifford_unit(nu, A, 1);
 420         e = lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A, 1) * lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c);
 421         e1 = clifford_inverse(e);
 422         result += check_equal_simplify_term2((e*e1).simplify_indexed(), dirac_ONE(1));
 423
 424 /* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for vectors*/
 425         e = lst(t, x, y, z);
 426         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
 427         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
 428
 429 /* lst_to_clifford() and clifford_to_lst()  check for pseudovectors*/
 430         e = lst(s, t, x, y, z);
 431         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, false), e);
 432         result += check_equal_lst(clifford_to_lst(lst_to_clifford(e, c), c, true), e);
 433
 434 /* Moebius map (both forms) checks for symmetric metrics only */
 435         matrix M1(2, 2),  M2(2, 2);
 436         c = clifford_unit(nu, A);
 437
 438         e = clifford_moebius_map(0, dirac_ONE(),
 439                                                          dirac_ONE(), 0, lst(t, x, y, z), A);
 440 /* this is just the inversion*/
 441         M1 = 0, dirac_ONE(),
 442                 dirac_ONE(), 0;
 443         e1 = clifford_moebius_map(M1, lst(t, x, y, z), A);
 444 /* the inversion again*/
 445         result += check_equal_lst(e, e1);
 446
 447         e1 = clifford_to_lst(clifford_inverse(lst_to_clifford(lst(t, x, y, z), mu, A)), c);
 448         result += check_equal_lst(e, e1);
 449
 450         e = clifford_moebius_map(dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), nu, A),
 451                                                          0, dirac_ONE(), lst(t, x, y, z), A);
 452 /*this is just a shift*/
 453         M2 = dirac_ONE(), lst_to_clifford(lst(1, 2, 3, 4), c),
 454                 0, dirac_ONE();
 455         e1 = clifford_moebius_map(M2, lst(t, x, y, z), c);
 456 /* the same shift*/
 457         result += check_equal_lst(e, e1);
 458
 459         result += check_equal(e, lst(t+1, x+2, y+3, z+4));
 460
 461 /* Check the group law for Moebius maps */
 462         e = clifford_moebius_map(M1, ex_to<lst>(e1), c);
 463 /*composition of M1 and M2*/
 464         e1 = clifford_moebius_map(M1.mul(M2), lst(t, x, y, z), c);
 465 /* the product M1*M2*/
 466         result += check_equal_lst(e, e1);
 467         return result;
 468 }
 469
 470 static unsigned clifford_check7(const ex & G, const symbol & dim)
 471 {
 472         // checks general identities and contractions
 473
 474         unsigned result = 0;
 475
 476         varidx mu(symbol("mu"), dim), nu(symbol("nu"), dim), rho(symbol("rho"), dim),
 477                psi(symbol("psi"),dim), lam(symbol("lambda"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 478
 479         ex e;
 480         clifford unit = ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G));
 481         ex scalar = unit.get_metric(varidx(0, dim), varidx(0, dim));
 482
 483         e = dirac_ONE() * dirac_ONE();
 484         result += check_equal(e, dirac_ONE());
 485
 486         e = dirac_ONE() * clifford_unit(mu, G) * dirac_ONE();
 487         result += check_equal(e, clifford_unit(mu, G));
 488
 489         e = clifford_unit(varidx(2, dim), G) * clifford_unit(varidx(1, dim), G)
 490           * clifford_unit(varidx(1, dim), G) * clifford_unit(varidx(2, dim), G);
 491         result += check_equal(e, dirac_ONE()*pow(scalar, 2));
 492
 493         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 494           * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G);
 495         result += check_equal_simplify(e, pow(dim*scalar, 2) * dirac_ONE());
 496
 497         e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 498           * clifford_unit(mu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(nu.toggle_variance(), G);
 499         result += check_equal_simplify(e, (2*dim - pow(dim, 2))*pow(scalar,2)*dirac_ONE());
 500
 501         e = clifford_unit(nu.toggle_variance(), G) * clifford_unit(rho.toggle_variance(), G)
 502           * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(rho, G) * clifford_unit(nu, G);
 503         e = e.simplify_indexed().collect(clifford_unit(mu, G));
 504         result += check_equal(e, pow(scalar*(dim-2), 2).expand() * clifford_unit(mu, G));
 505
 506         // canonicalize_clifford() checks, only for symmetric metrics
 507         if (is_a<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()) &&
 508             ex_to<symmetry>(ex_to<indexed>(ex_to<clifford>(clifford_unit(mu, G)).get_metric()).get_symmetry()).has_symmetry()) {
 509                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 510                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 2*dirac_ONE()*unit.get_metric(nu, mu));
 511
 512                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 513                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 514                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 515                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 516                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 517                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 518                         + unit.get_metric(mu, nu) * clifford_unit(lam, G)
 519                         - unit.get_metric(mu, lam) * clifford_unit(nu, G)
 520                         + unit.get_metric(nu, lam) * clifford_unit(mu, G)
 521                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 522                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 523         } else {
 524                 e = clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G);
 525                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), dirac_ONE()*(unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)));
 526
 527                 e = (clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G)
 528                          + clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G)
 529                          + clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G)
 530                          - clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G)
 531                          - clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(mu, G)
 532                          - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(lam, G) * clifford_unit(nu, G)) / 6
 533                         + half * (unit.get_metric(mu, nu) + unit.get_metric(nu, mu)) * clifford_unit(lam, G)
 534                         - half * (unit.get_metric(mu, lam) + unit.get_metric(lam, mu)) * clifford_unit(nu, G)
 535                         + half * (unit.get_metric(nu, lam) + unit.get_metric(lam, nu)) * clifford_unit(mu, G)
 536                         - clifford_unit(mu, G) * clifford_unit(nu, G) * clifford_unit(lam, G);
 537                 result += check_equal(canonicalize_clifford(e), 0);
 538         }
 539         return result;
 540 }
 541
 542 static unsigned clifford_check8()
 543 {
 544         unsigned result = 0;
 545
 546         realsymbol a("a");
 547         varidx mu(symbol("mu", "\\mu"), 1);
 548
 549         ex e = clifford_unit(mu, diag_matrix(lst(-1))), e0 = e.subs(mu==0);
 550         result += ( exp(a*e0)*e0*e0 == -exp(e0*a) ) ? 0 : 1;
 551
 552         return result;
 553 }
 554
 555 unsigned exam_clifford()
 556 {
 557         unsigned result = 0;
 558
 559         cout << "examining clifford objects" << flush;
 560
 561         result += clifford_check1(); cout << '.' << flush;
 562         result += clifford_check2(); cout << '.' << flush;
 563         result += clifford_check3(); cout << '.' << flush;
 564         result += clifford_check4(); cout << '.' << flush;
 565         result += clifford_check5(); cout << '.' << flush;
 566
 567         // anticommuting, symmetric examples
 568         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));
 569         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, 1))));; cout << '.' << flush;
 570         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, -1, -1, -1))));; cout << '.' << flush;
 571         result += clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 572         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 0, 1, -1))));; cout << '.' << flush;
 573         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-3, 0, 2, -1))));; cout << '.' << flush;
 574
 575         realsymbol s("s"), t("t"); // symbolic entries in matric
 576         result += clifford_check6<varidx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))))+clifford_check6<idx>(ex_to<matrix>(diag_matrix(lst(-1, 1, s, t))));; cout << '.' << flush;
 577
 578         matrix A(4, 4);
 579         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=0
 580                 0, -1, 0, 0,
 581                 0, 0, 0, -1,
 582                 0, 0, 1, 0;
 583         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 584
 585         A = 1, 0, 0, 0, // anticommuting, not symmetric, Tr=2
 586                 0, 1, 0, 0,
 587                 0, 0, 0, -1,
 588                 0, 0, 1, 0;
 589         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 590
 591         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=0
 592                 0, -1, 0, 0,
 593                 0, 0, 0, -1,
 594                 0, 0, -1, 0;
 595         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 596
 597         A = 1, 0, 0, 0, // not anticommuting, symmetric, Tr=2
 598                 0, 1, 0, 0,
 599                 0, 0, 0, -1,
 600                 0, 0, -1, 0;
 601         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 602
 603         A = 1, 1, 0, 0, // not anticommuting, not symmetric, Tr=4
 604                 0, 1, 1, 0,
 605                 0, 0, 1, 1,
 606                 0, 0, 0, 1;
 607         result += clifford_check6<varidx>(A)+clifford_check6<idx>(A);; cout << '.' << flush;
 608
 609         symbol dim("D");
 610         result += clifford_check7(minkmetric(), dim); cout << '.' << flush;
 611
 612         varidx chi(symbol("chi"), dim), xi(symbol("xi"), dim);
 613         result += clifford_check7(delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 614
 615         result += clifford_check7(lorentz_g(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 616
 617         result += clifford_check7(indexed(-2*minkmetric(), sy_symm(), xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 618         result += clifford_check7(-2*delta_tensor(xi, chi), dim); cout << '.' << flush;
 619
 620         result += clifford_check8(); cout << '.' << flush;
 621
 622         return result;
 623 }
 624
 625 int main(int argc, char** argv)
 626 {
 627         return exam_clifford();
 628 }